济南市高三上学期数学期中考试试卷A卷

2022学年山东省济南市高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集为R ，集合A ={x|(12)x ≤1}，B ={x|x 2−6x +8≤0}，则A ∩(∁R B)=( )A.{x|x ≤0}B.{x|2≤x ≤4}C.{x|0≤x <2或x >4}D.{x|0<x ≤2或x ≥4}2. 已知a 是实数，a−i 1+i是纯虚数，则a =( )A.1B.−1C.√2D.−√23. “a =18”是“对任意的正数x ，2x +ax ≥1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为( ) A.540 B.300C.180D.1505. 设a =(34)12,b =(43)14,c =(23)34，则a ，b ，c 的大小顺序是（ ）A.c <a <bB.c <b <aC.a <c <bD.b <c <a6. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为（ ） A.6斤 B.9斤C.9.5斤D.12斤7. 已知函数f(x)＝，若关于x 的方程f(x)＝x +a 无实根，则实数a的取值范围为（ ）A.(−∞, 0)∪（，1)B.(−1, 0)C.(0，）D.(0, 1)8. 我国古代入民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB →=a →,AD →=b →，E 为BF 的中点，则AE →=( )A.45a →+25b →B.25a →+45b →C.43a →+23b →D.23a →+43b →二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期期中检测数学试题一、单选题1．已知集合{}2|log 2A x x =<，{}2|230B x x x =--<，则A B = （）A ．{|4}x x <B ．{|13}x x -<<C ．{|03}x x <<D ．{|34}x x <<2．若1i +（i 为虚数单位）是关于x 的方程20(,)x ax b a b ++=∈R 的一个根，则b =（）A ．0B ．2C ．3D ．43．已知向量a ，b不共线，2AB a b λ=+ ，AC a b μ=+ ，若A ，B ，C 三点共线，则λμ=（）A ．2-B ．1-.C ．1D ．24．设a ，b ∈R ，则使a b >成立的一个充分不必要条件是（）A ．33a b >B ．n 0()l a b ->C ．22a b >D ．||a b>5．已知数列{}n a 满足11a =，112n n n n a a a a ++-=，则数列{}1n n a a +的前8项和为（）A ．817B ．1225C ．78D ．896．若sin 25α=，sin()10βα-=，且,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3,2βππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+=（）A ．43πB ．53πC ．74πD ．116π7．用min{,,}a b c 表示a ，b ，c 中的最小数，若函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，{}2()min 1,1,6f x x x x x =+-+-+，则()f x 的极值点的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．58．若定义在R 上的函数()f x 满足(2)()(4)f x f x f ++=，(21)f x +是奇函数，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则5112k k f k =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、多选题9．已知函数()sin(2)1(0,||π)f x x ωθωθ=++><，两条相邻对称轴之间的距离为π2，且π()6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则（）A ．1ω=B ．π6θ=C ．()f x 关于π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增10．记ABC V 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4c =，2b =，若O 为ABC V 的外心，则（）A ．||||||OA OB OC == B ．60OA BC ⋅+=C ．()0OA OB AB +⋅= D ．0aOA bOB cOC ++= 11．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N 分别为CD ，11A B 的中点，点P 为MN 上一动点，则（）A ．存在点P 使得AP BP ⊥B ．1PA PD +的最小值为C ．以MN 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12D ．已知球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，若在正方体内部与球O 外部之间的空隙处放入一个小球，则放入的小球体积最大值为(1043π-三、填空题12．已知函数23,()1e ,02,xf x x x x ⎧≤<⎪=⎨+≤<⎪⎩则1(e)e f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.13．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2(1)2nn n a a n ++-=+，49S =，则1a =.14．已知函数3()e 3xx f x m =+，曲线()y f x =在不同的三点处的切线斜率均为3，则实数m 的取值范围是.四、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，//AB CD ，1AB AD ==，2CD =，PD PC ==E 在棱PA 上，且2PE EA =.(1)求证：平面PAD ⊥平面DBE ；(2)求平面PAB 与平面ABCD 所成角的大小.16．已知锐角ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin 0a C C b c --=，角A 的平分线交BC 于D ，2AD =.(1)求A ；(2)求BD CD ⋅的取值范围.17．将2n 个实数排成n 行n 列的数阵形式如下；11121312122232123n n n n n nna a a a a a a a a a a a(1)当7n =时，若每一行每一列均构成等差数列，且445a =，求该数阵中所有数的和M ；(2)若0(,1,2,,)ij a i j n >= ，且每一行均为公差相同的等差数列，每一列均为公比为q 的等比数列.已知2310a =，2518a =，4688a =，设1122nn S a a a =+++ ，求S 的值.18．已知函数3()2sin f x ax x x =+-.(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(3)当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.19．已知集合{}()*0,1,2,,5nS n =∈N ，集合T S ⊆，记T 的元素个数为T .若集合T 中存在三个元素a ，b ，()c a b c <<，使得23c a b +>，则称T 为“理想集”.(1)若1n =，分别判断集合1{0,2,3,5}T =，2{0,1,2,5}T =是否为“理想集”（不需要说明理由）；(2)若1n =，写出所有的“理想集”T 的个数并列举；(3)若||42T n =+，证明：集合T 必为“理想集”.。

2022学年山东省济南市章丘区高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合A＝{x|<1}，B＝{x|x2−2x−8>0)，则A∩B＝（）A.(−∞, −2)∪(4, +∞)B.(4, +∞)C.(−2, 0)∪(1, 4)D.(1, 4)2. 复数z=2−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）1−2iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 已知a＝log23，b＝log48，c＝ln2，则实数a，b，c的大小关系是（）A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.a<b<c4. 已知平面向量＝(2, m)，＝(1，-），且|2-|＝|2+|，则|+|＝（）A.1B.2C.3D.45. “|x−3|<1”是“>1”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6. 函数f(x)＝的图象大致为（）A. B.C. D.7. 若x>0，y>0，且x+4y＝7，则+的最小值为（）A.2B.C.D.8. 设f(x)是定义在(−∞, 0)∪(0, +∞)上的函数，f′(x)为其导函数，f(1−2x)=f(2x−1)，f(−2)=0，当x>0时，−xf′(x)<f(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是（）A.(−2, 0)∪(0, 2)B.(−∞, −2)∪(2, +∞)C.(−∞, −2)∪(0, 2)D.(0, 2)∪(2, +∞)二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分若命题“∃x∈R，(k2−1)x2+4(1−k)x+3≤0”是假命题，则k的值可能为（）A.−1 B.1 C.4 D.7函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(ω>0, A>0)的部分图象如图所示，则（）A. B. C. D.为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，发现用模型y ＝ce kx 拟合比较合适，令z ＝lny ，得到z ＝1.3x +a ，经计算发现x ，z 满足如表：则（ ） A.c ＝e −0.2 B.k ＝1.3C.c ＝e 0.2D.k ＝−1.3已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝[f(x)]2−4f(x)+m +1恰有8个零点，则（ ） A.m 的最小值为1 B.m 的最小值为2 C.m 的最大值为3 D.m 无最大值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.已知sinαcosα＝-，α∈(0, π)，则cosα−sinα＝________．先将函数y =cos(x +φ)（φ∈(0, π)）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π3个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则φ=________．在△ABC 中，AC =BC =3，AB =2，点M 和点N 分别是边BC 和边AB 上的点，且满足MC →=2BM →，AN →=NB →，则AM →⋅CN →=________．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其外接圆的半径为1．若acosA +bcosB +ccosC ＝，则△ABC 的面积为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤在①C =π4，②△ABC 的面积为12√3，③BA →⋅BC →=ac −bcsinA 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，_____，且asinB +√3bcosA =√3b ，△ABC 的外接圆的半径为4．求△ABC 的周长．某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成[0, 1）,[1, 2),[2, 3),[3, 4),[4, 5),[5, 6]共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）． 乙班同学学习数学平均时间的频率分布表[5, 6]3（1）从甲班每天学习数学的平均时间在[0, 2)的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0, 1)范围内的概率；（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．已知向量a →=(cosx, cosx +sinx)，b →=(√3sinx, 12cosx −12sinx)，且函数f(x)＝a →⋅b →．（1）求f(x)的解析式及单调递增区间；（2）若α为锐角，且f(α)＝13，求cos2α的值．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b +a(sinC −cosC)＝0． （1）求A ；（2）若D为BC边上一点，且AD⊥BC，BC＝(2+2)AD，求sin2B．已知函数f(x)＝(log2x)2−2log2x+a2．（1）若对任意x∈(0, +∞)，f(x)>0恒成立，求a的取值范围；（2）设m>1，若对任意x∈[2, +∞)，不等式f（m(2x−2−x)）<f(4x+4−x−1)恒成立，求m的取值范围．已知函数f(x)=(e ax−1)lnx(a>0)．（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在（1, f(1)）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若关于x的方程f(x)=ax2−ax在[1, +∞)上恰有三个不同的实数解，求a的取值范围．参考答案与试题解析2022学年山东省济南市章丘区高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】本题主要考查复数的运算及复数的几何意义.【解答】解：∵ z=2−i1−2i =(2−i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=45+35i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(45,35)，位于第一象限.故选A.3.【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】C【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】此题暂无解析此题暂无解答5.【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】C【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据函数奇偶性的概念判断f(x)为奇函数，排除选项B和D；再对比余下两个选项，不妨比较f(1)与0的大小关系．【解答】取x＝1，则f(1)＝，排除选项A，故选：C．7.【答案】B【考点】基本不等式及其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】根据题意构造函数g(x)=xf(x)，由求导公式和法则求出g′(x)，结合条件判断出g′(x)的符号，即可得到函数g(x)的单调区间，根据f(x)是偶函数判断出g(x)是奇函数，由f(−2)=0求出g(−2)=g(2)=0，结合函数g(x)的单调性、奇偶性将问题转化为g(x)>g(2)，求出不等式成立时x的取值范围即可．由题意设g(x)=xf(x)，则g′(x)=xf′(x)+f(x)，∵当x>0时，有xf′(x)+f(x)>0，∴则当x>0时，g′(x)>0，∴函数g(x)=xf(x)在(0, +∞)上为增函数，∵f(1−2x)=f(2x−1)，故函数f(x)是偶函数，∴g(−x)=(−x)f(−x)=(−x)[f(x)]=−xf(x)=−g(x)，∴函数g(x)为定义域上的奇函数，由f(−2)=0得，g(−2)=−g(2)=0，f(x)>0即x>0时，g(x)>0=g(2)，解得：x>2，x<0时，g(x)<0，解得：x<−2∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是：(−∞, −2)∪(2, +∞)，二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分【答案】B,C【考点】全称命题与特称命题全称量词与存在量词【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】A,B,C,D【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】A,B【考点】求解线性回归方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】B,D【考点】函数的零点与方程根的关系此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 【答案】-【考点】同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】5π6【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得φ的值．【解答】先将函数y=cos(x+φ)（φ∈(0, π)）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得y=cos(12x+φ)的图象；再向左平移π3个单位长度，可得函数y=cos(12x+π6+φ)的图象，根据所得函数图象关于y轴对称，可得π6+φ=kπ，k∈Z，则φ=5π6，【答案】−8 3【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】画出图形，利用已知条件表示所求向量的数量积的向量，然后利用数量积公式求解即可．【解答】在△ABC 中，AC =BC =3，AB =2，点M 和点N 分别是边BC和边AB 上的点，且满足MC →=2BM →，AN →=NB →，如图： AM →=13AC →+23AB →，CN →=12CA →+12CB →， 则AM →⋅CN →=(13AC →+23AB →)⋅(12CA →+12CB →) =−16AC →2+13AB →⋅CA →+16AC →⋅CB →+13AB →⋅CB →=−16×32−13×3×2×13+16×3×3×(−32+32−222×3×3)+13×2×3×13=−83． 【答案】【考点】 正弦定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 【答案】因为asinB +√3bcosA =√3b ，由正弦定理可得sinAsinB +√3sinBcosA =√3sinB ， 因为sinB ≠0，所以sinA +√3cosA =√3，可得sin(A +π3)=√32， 因为A ∈(0, π)，A +π3∈(π3, 4π3)，所以A +π3=2π3，可得A =π3， 由于△ABC 的外接圆的半径R =4， 由正弦定理可得√32=8，解得a =4√3，若选①：C =π4，可得B =π−A −C =5π12，由正弦定理可得√2+√64=√22=8，解得△ABC 的周长为a +b +c =4√3+2√6+6√2； 若选②：△ABC 的面积为12√3=12bcsinA =√34bc ，解得bc =48，又由余弦定理可得48=b 2+c 2−bc =(b +c)2−3bc =(b +c)2−3×48，解得b +c =8√3，解得△ABC 的周长为a +b +c =4√3+8√3=12√3； 若选③：BA →⋅BC →=ac −bcsinA ，可得accosB =ac −bcsinA ，即acosB =a −bsinA ， 由正弦定理可得sinAcosB =sinA −sinBsinA ，由于A =π3， 可得sinB +cosB =√2sin(B +π4)=1，可得sin(B +π4)=√22， 因为B +π4∈(π4, 5π4)，可得B +π4=3π4，解得B =π2，C =π−A −B =π6，由正弦定理可得b =8sinB =8，c =8sinC =4， 解得△ABC 的周长为a +b +c =12+4√3． 【考点】余弦定理 正弦定理 【解析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sinB ≠0，可得sin(A +π3)=√32，结合范围A +π3∈(π3, 4π3)，可求A 的值，进而利用正弦定理可求a 的值，若选①：利用三角形内角和定理可求B ，由正弦定理可求b ，c 的值，即可解得△ABC 的周长；若选②：利用三角形的面积公式可得bc =48，由余弦定理可解得b +c =8√3，即可得解△ABC 的周长；若选③：利用平面向量数量积的运算，正弦定理，两角和的正弦公式可求sin(B +π4)=√22，结合范围B +π4∈(π4, 5π4)，可求得B =π2，利用三角形内角和定理可求C ，由正弦定理可得b ，c 的值，即可得解△ABC 的周长． 【解答】因为asinB +√3bcosA =√3b ，由正弦定理可得sinAsinB +√3sinBcosA =√3sinB ， 因为sinB ≠0，所以sinA +√3cosA =√3，可得sin(A +π3)=√32， 因为A ∈(0, π)，A +π3∈(π3, 4π3)， 所以A +π3=2π3，可得A =π3， 由于△ABC 的外接圆的半径R =4， 由正弦定理可得√32=8，解得a =4√3，若选①：C =π4，可得B =π−A −C =5π12，由正弦定理可得√2+√64=√22=8，解得△ABC 的周长为a +b +c =4√3+2√6+6√2； 若选②：△ABC 的面积为12√3=12bcsinA =√34bc ，解得bc =48，又由余弦定理可得48=b 2+c 2−bc =(b +c)2−3bc =(b +c)2−3×48，解得b +c =8√3，解得△ABC 的周长为a +b +c =4√3+8√3=12√3； 若选③：BA →⋅BC →=ac −bcsinA ，可得accosB =ac −bcsinA ，即acosB =a −bsinA ， 由正弦定理可得sinAcosB =sinA −sinBsinA ，由于A =π3， 可得sinB +cosB =√2sin(B +π4)=1，可得sin(B +π4)=√22， 因为B +π4∈(π4, 5π4)，可得B +π4=3π4，解得B =π2，C =π−A −B =π6， 由正弦定理可得b =8sinB =8，c =8sinC =4， 解得△ABC 的周长为a +b +c =12+4√3． 【答案】易知乙班人数共有50人，即甲班共有50人．甲班在[0, 2)中的人数有50×(0.04+0.08)×1＝6（人），在[0, 1)中的人数有50×0.04＝2（人）．令A ＝事件“3人中恰有1人学习数学“，故P(A)＝．即3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0, 1)范围内的概率为0.6．甲班中每天学习数学时间不小5小时的人数为50×0.08＝4（人），乙班有3人． 故甲乙两班每天学习数学不小于5小时的人数共有4+3＝7人．从这7人中任取4人，设4人中乙班学生的人数为ξ，ξ的可能取值为0，1，2，3．；；；．故ξ的分布列为：123故期望Eξ＝＝．【考点】离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】（1）先利用组合数公式求出从全部人数、[0, 1)中求出任选3人的取法数，然后再利用概率公式计算概率；（2）先求出两个班中每天学习数学平均时间不小于5个小时的人数，然后再求出ξ取值的所有情况，且求出对应的概率，最后列出分布列、求出期望值． 【解答】易知乙班人数共有50人，即甲班共有50人．甲班在[0, 2)中的人数有50×(0.04+0.08)×1＝6（人），在[0, 1)中的人数有50×0.04＝2（人）．令A ＝事件“3人中恰有1人学习数学“，故P(A)＝．即3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0, 1)范围内的概率为0.6．甲班中每天学习数学时间不小5小时的人数为50×0.08＝4（人），乙班有3人． 故甲乙两班每天学习数学不小于5小时的人数共有4+3＝7人．从这7人中任取4人，设4人中乙班学生的人数为ξ，ξ的可能取值为0，1，2，3．；；；．故ξ的分布列为：123故期望Eξ＝＝．【答案】f(x)＝a →⋅b →＝√3cosxsinx +12(cosx +sinx)(cosx −sinx)=√32sin2x +12cos2x ＝sin(2x +π6)，令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，k ∈Z ， 得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ](k ∈Z)． 因为α为锐角，所以2α+π6∈(π6,7π6)，又因为0<f(α)＝sin(2α+π6)＝13<12， 所以2α+π6∈(π2,π)，所以cos(2α+π6)＝−2√23，所以cos2α＝cos[(2α+π6)−π6]=cos(2α+π6)cos π6+sin(2α+π6)sin π6＝1−2√66． 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 两角和与差的三角函数 【解析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过正弦函数的单调性求解函数的单调增区间即可． （2）利用函数的解析式求解cos(2α+π6)＝−2√23，然后利用二倍角公式求解即可． 【解答】f(x)＝a →⋅b →＝√3cosxsinx +12(cosx +sinx)(cosx −sinx)=√32sin2x +12cos2x ＝sin(2x +π6)，令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，k ∈Z ， 得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ](k ∈Z)．因为α为锐角，所以2α+π6∈(π6,7π6)，又因为0<f(α)＝sin(2α+π6)＝13<12， 所以2α+π6∈(π2,π)， 所以cos(2α+π6)＝−2√23，所以cos2α＝cos[(2α+π6)−π6]=cos(2α+π6)cosπ6+sin(2α+π6)sinπ6＝1−2√66．【答案】因为b+a(sinC−cosC)＝0，所以sinB+sinA(sinC−cosC)＝0，所以sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC−sinAcosC＝5，即cosAsinC+sinAsinC＝0，因为0<C<π，所以sinC≠2，则tanA＝−1，因为0<A<π，所以A＝．因为AD⊥BC，所以S△ABC＝bcsinA＝，即bc＝a⋅AD，因为BC＝(2+2)AD，所以AD＝，所以a2＝(4+）bc，由余弦定理可得a2＝b7+c2−2bccosA，则(6+2+c8+bc2＝5，即b＝c，因为A＝，所以B＝＝．【考点】余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】可令t＝log2x，则y＝t2−2t+a2，由x>0，可得t∈R，对任意x∈(2, +∞)，等价为t∈R2−2t+a7>0恒成立，则△＝4−5a2<0，解得a>5或a<−1；令t＝log2x，因为x≥5，因为y＝t2−2t+a7的对称轴为t＝1，所以y＝t2−3t+a2在[1, +∞)递增，+∞)递增，因为x≥8，所以2x−2−x≥>2，4x+2−x−1>2，因为m>8，所以m(2x−2−x)>8，因为f（m(2x−2−x)）<f(4x+4−x−1)，所以m(5x−2−x)<4x+3−x−1，即m<，因为4x+4−x−2＝(2x−2−x)4+1，所以m<2x−8−x+，因为2x−2−x≥，所以2x−2−x+≥+＝，故m<，因为m>1，所以m的取值范围是(4，）．【考点】函数恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】当a=1时，f(x)=(e x−1)lnx，可得f(1)=0，f(x)的导数f′(x)=e x lnx+e x−1lnx，所以切线的斜率为k=f′(1)=e−1，则切线的方程为y=(e−1)(x−1)，该切线与x轴的交点为(1, 0)，与y轴的交点为(0, 1−e)，所以所求三角形的面积为12×1×(e−1)=e−12；显然x=1为方程f(x)=ax2−ax的根，当x>0且x≠1时，原方程等价于e ax−1ax=x−1lnx=e lnx−1lnx，设g(x)=e x−1x(x>0)，g′(x)=(x−1)e x+1x2，设ℎ(x)=1+(x−1)e x(x>0)，ℎ′(x)=xe x>0，可得ℎ(x)在(0, +∞)递增，则ℎ(x)>ℎ((0)=0，即g′(x)>0，g(x)在(0, +∞)递增，原方程等价于g(ax)=g(lnx)，只需ax=lnx在(1, +∞)上有两个不等实根．故只需ax=lnx在(1, +∞)上有两个不等的实根．则a=lnxx(x>1)，设k(x)=lnxx (x>1)，k′(x)=1−lnxx2，可得k(x)在(1, e)递增，在(e, +∞)递减，则k(x)的最大值为k(e)=1e，又k(1)=0，所以a的范围是(0, 1e)．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程函数的零点与方程根的关系【解析】（1）求得a=1时，f(x)的导数，可得切线的斜率和方程，可得切线与x，y轴的交点，由三角形的面积公式，可得所求值；（2）显然x=1为方程f(x)=ax2−ax的根，当x>0且x≠1时，原方程等价于e ax−1 ax =x−1lnx=e lnx−1lnx，构造函数g(x)=ex−1x(x>0)，求得导数，判断单调性，可得原方程即为ax=lnx，由参数分离和构造新函数，求得导数和最值，即可得到所求范围．【解答】当a=1时，f(x)=(e x−1)lnx，可得f(1)=0，f(x)的导数f′(x)=e x lnx+e x−1lnx，所以切线的斜率为k=f′(1)=e−1，则切线的方程为y=(e−1)(x−1)，该切线与x轴的交点为(1, 0)，与y轴的交点为(0, 1−e)，所以所求三角形的面积为12×1×(e−1)=e−12；显然x=1为方程f(x)=ax2−ax的根，当x>0且x≠1时，原方程等价于e ax−1ax=x−1lnx=e lnx−1lnx，设g(x)=e x−1x(x>0)，g′(x)=(x−1)e x+1x2，设ℎ(x)=1+(x−1)e x(x>0)，ℎ′(x)=xe x>0，可得ℎ(x)在(0, +∞)递增，则ℎ(x)>ℎ((0)=0，即g′(x)>0，g(x)在(0, +∞)递增，原方程等价于g(ax)=g(lnx)，只需ax=lnx在(1, +∞)上有两个不等实根．故只需ax=lnx在(1, +∞)上有两个不等的实根．则a=lnxx(x>1)，设k(x)=lnxx (x>1)，k′(x)=1−lnxx2，可得k(x)在(1, e)递增，在(e, +∞)递减，则k(x)的最大值为k(e)=1e，又k(1)=0，所以a的范围是(0, 1e)．。

山东省2021版数学高三上学期理数期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2019高一下·柳州期末) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （1分） (2019高二上·双鸭山期末) 对于空间的两条直线和一个平面，下列命题中的真命题是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则3. （1分） (2020高一下·忻州月考) 下列说法正确的是（）A . 单位向量都相等B . 若，则C . 若，则D . 若，则4. （1分）(2019·山西模拟) 已知函数的定义域为A，则（）A . 或B . 或C .D .5. （1分）将函数y=sin(x+)的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（）A . y=sin(2x+)B . y=sin(+)C . y=sin(-)D . y=sin(+)6. （1分） (2020高一上·长春期末) 下列各式中,值为的是（）A .B .C .D .7. （1分） (2017高二上·清城期末) 设p：x2﹣3x+2＞0，q：＞0，则p是q（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （1分） (2018高一上·定州期中) 设，，，则的大小关系为（）．A .B .C .D .9. （1分）设数列{an}的前n项和Sn=，则a5=（）A . 3B . 4C . 5D . 610. （1分）函数f(x）在定义域R内可导，若f(x)=f(2-x)且（x-1）f'(x)<0，若a=f(0),b=f（）,c=f(3)则a,b,c的大小关系是（）A . a>b>cB . c>b>aC . b>a>cD . a>c>b11. （1分） (2018高二下·晋江期末) 设，分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是（）A .B .C .D .12. （1分）(2020·鄂尔多斯模拟) 已知两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于，当时，函数取得最小值，则的值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知 =（﹣1，3）， =（1，t），若∥ ，则t=________．14. （1分） (2018高二上·通辽月考) 若x，y满足约束条件则的最大值为________.15. （1分） (2020高二下·扶风月考) 观察下列等式：根据上述规律，第四个等式为________.16. （1分）(2020·江西模拟) 已知函数是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为________．三、解答题 (共6题；共12分)17. （2分） (2016高三上·虎林期中) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，已知a=csinB+bcosC．（1）求A+C的值；（2）若b= ，求△ABC面积的最值．18. （2分）已知函数f(x)＝lnx－x＋，其中a>0.（1）若f(x)在(0，＋∞)上存在极值点，求a的取值范围；（2）设a∈(1，e]，当x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)时，记f(x2)－f(x1)的最大值为M(a)．那么M(a)是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．19. （2分） (2019高一下·鹤岗月考) 已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．（1）求的通项公式;（2）设，求数列的前项和 .20. （2分） (2016高一上·唐山期中) 设定义在[﹣2，2]上的函数f（x）是减函数，若f（m﹣1）＜f（﹣m），求实数m的取值范围．21. （2分） (2018高二下·中山月考) 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A、B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A、B 等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP ，设排污管道的总长度为 km．（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO= (rad)，将表示成的函数；②设OP (km) ，将表示成的函数．（2）请选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道总长度最短．22. （2分） (2019高二上·泊头月考) 已知函数，，其中是自然对数的底数.（1）求函数在[0，π] 上的最大值与最小值；（2）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.参考答案一、单选题 (共12题；共12分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共12分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

2023—2024学年度第一学期月考高三数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}20,1,A a =，{}1,0,2B a =+，若A B =，则a 等于（）A.1-或2B.0或1- C.2D.1-【答案】C 【解析】【分析】利用相等集合求出a 值，再验证即得.【详解】集合{}20,1,A a=，{}1,0,2B a =+，由A B =，得22aa =+，解得1a =-或2a =，当1a =-时，集合A 中元素21a =，与集合元素的互异性矛盾，当2a =时，{}0,1,4A B ==，符合题意，所以2a =.故选：C2.已知复数z 满足320z z++=，则3z =（）A.3B.1C.33D.【答案】D 【解析】【分析】先求得z ，进而求得3z.【详解】设i,,R z a b a b ∈=+，依题意3i 20ia b a b +++=+，()()()3i i 20i i a b a b a b a b -+++=+-，22222i 033a b a b b a b a ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭，所以222232030aa ab b b a b ⎧++=⎪⎪+⎨⎪-=⎪+⎩，解得21,2a b =-=，则33z z===故选：D3.设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：π2αβ+=，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式与基本关系式，结合充要条件的判断方法即可得解.【详解】当22sin sin 1αβ+=时，取π5π,36αβ==，满足要求，但π2αβ+≠，则甲不是乙的充分条件；当π2αβ+=时，π2βα=-，则πsin sin cos 2βαα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2222sin sin sin cos 1αβαα+=+=，则甲是乙的必要条件；综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.故选：B.4.已知正项等比数列{}n a 中，220234a a =，则212222024log log log a a a +++= （）A.1012B.2024C.10122 D.20242【解析】【分析】根据等比数列性质得到120242202130123022101324a a a a a a a a ===== ，结合对数运算法则求出答案.【详解】正项等比数列{}n a 中，220234a a =，故120242202130123022101324a a a a a a a a ===== ，故()21222202421220232024log log log log a a a a a a a +++= ()()()21202422023101310121022124log l 41012410122o 202og l g a a a a a a ====⨯= .故选：B5.近来汽油价格起伏较大，假设第一周、第二周的汽油价格分别为m 元/升，n 元/升(m n ≠)，甲和乙购买汽油的方式不同，甲每周购买40元的汽油，乙每周购买12升汽油，甲、乙两次购买平均单价分别记为1a ，2a ，则下列结论正确的是（）A.12a a = B.12a a > C.21a a > D.1a ，2a 的大小无法确定【答案】C 【解析】【分析】分别计算出1a ，2a 关于m ，n 的表达式，再根据基本不等式即可求解．【详解】由题意得0m >，0n >，m n ≠，则140224040mn a m n m n⨯==<=++212121222m n m n a ++==>⨯，所以21a a >．故选：C ．6.已知πtan 2tan 74θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 2θ=（）A.2B.2± C.45±D.45【解析】【分析】根据题意利用两角和的正切公式可得tan 2θ=，再利用倍角公式结合齐次式问题运算求解.【详解】因为πtan tanπtan 14tan 2tan 7π41tan 1tan tan 4θθθθθθ++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-，整理得2tan 4tan 40θθ-+=，解得tan 2θ=，所以2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15θθθθθθθ===++.故选：D.7.ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 上靠近点B 的三等分点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（）A.23-B.112-C.112D.23【答案】B 【解析】【分析】把32DF DE = 和7162AF BA BC =-+代入AF BC ⋅ 计算即可.【详解】点D ，E 分别是边AB ，BC 上靠近点B 的三等分点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则32DF DE =，()2323231132323233AF AD DF AB DE AB BE BD AB BC BA ⎛⎫=+=+=+-=+- ⎪⎝⎭7162BA BC =-+，所以27171711111626262212AF BC BA BC BC BA BC BC ⎛⎫⋅=-+⋅=-⋅+⋅=-⨯⨯⨯+=- ⎪⎝⎭.故选：B8.若存在实数π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得函数()πsin 03y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象关于直线x ϕ=对称，则ω的取值范围为（）A.1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】以π3ωϕ+为整体结合正弦型函数的性质求出结果.【详解】因为π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且0ω>，则ππππ,3323ωϕω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，若函数()πsin 03y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象关于直线x ϕ=对称，则πππ232ω+>，解得13ω>.故选：C.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.在下列函数中，最小值是2的函数有（）A.()1f x x x =+B.()4sin sin f x x x =+，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C.函数2log log 2x y x =+，0x >且1x ≠D.()42f x x x =++，2x >-【答案】AD 【解析】【分析】根据基本不等式的性质求最值，逐项分析判断即可.【详解】对于A ，当0x >时，()112,f x x x x x =+=+≥当且仅当1x x=，即1x =时等号成立；当0x <时，()112,f x x x x x =+=-+≥-当且仅当1x x-=-，即=1x -时等号成立；综上所述，()1f x x x=+的最小值是2，故A 正确；对于B,因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin (0,1)x ∈，则()4sin 4sin f x x x =+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，不成立，故()4sin 4sin f x x x=+>，故B 错误；对于C ，当01x <<时，2log 0x <且log 20x <，则函数2log log 22,x y x =+≤-=-此时没有最小值，故C 错误；对于D ,2x >-时，20x +>，则()44222222f x x x x x =+=++-≥=++，当且仅当422x x +=+，即0x =时，等号成立，故()42f x x x =++的最小值为2，故D 正确；故选：AD.10.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，*,N m n ∀∈，m n m n S S S +=，则（）A.{}n a 是等比数列B.2nn S =C.8567892a a a a a ++++= D.0m ∃≥，()()()2213S m S m S m +=++【答案】BD【解析】【分析】根据给定条件可得12n n S S +=，求出n S 及n a ，再逐项判断即可．【详解】由12a =，*,N m n ∀∈，m n m n S S S +=，得1112n n n n S S S S a S +===，又112S a ==，因此数列{}n S 是首项为2，公比为2的等比数列，则2nn S =，B 正确；当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，而12a =，不满足上式，于是12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，A 错误；8567899494222a a a a a S S +++=-+=->，C 错误；显然123,4,28S S S ===，并且有221316S S S ==⋅，因此当0m =时，()()()2213S m S m S m +=++成立，D 正确.故选：BD11.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下说法中正确的是（）A.若A B >，则sin sin A B >，cos cos A B>B.若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B >，sin cos B A >C.若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 为锐角三角形D.若21sin222A b c +=，则ABC 为直角三角形【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，利用正弦定理及余弦三角函数的性质即可求解；对于B ，利用锐角三角形的定义及正弦函数的性质，结合诱导公式即可求解；对于C ，利用三角形的内角和定理及诱导公式，结合两角和的正切公式及三角形的特点即可求解；对于D ，利用二倍角的余弦公式及正弦定理的边化角，结合三角形的内角和定理及两角和的正弦公式即可求解.【详解】对于A ，由A B >，得a b >，由正弦定理，得sin sin A B >，在ABC 中，所以π0A B >>>，又cos y x =在()0,π上单调递减，所以cos cos A B <，故A 错误；对于B ，因为ABC 为锐角三角形，可得π2A B +>,则π2A B >-,因为π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ0,22B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，又sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，同理可得sin cos B A >，故B 正确；对于C ，在ABC 中，πA B C ++=,所以()()tan tan tan tan πtan 1tan tan A BC A B A B A B+=-+=-+=-⎡⎤⎣⎦-,化为()tan tan tan tan tan 1A B C A B +=-,即tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=,又tan tan tan 0A B C ++>，所以tan tan tan 0A B C >，在ABC 中，最多只有一个角为钝角，所以tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>，即三个角都为锐角，所以ABC 为锐角三角形，故C 正确；对于D ，由21sin 222A b c +=及正弦定理，得1cos sin 122sin 2A B C -+=，即sin cos sin BA C=，于是有()()cos sin sin sin πsin A C B A C A C ==-+=+⎡⎤⎣⎦，所以cos sin sin cos cos sin A C A C A C =+,即sin cos 0A C =，又0πA <<,所以sin 0A ≠，所以cos 0C =，又0πC <<,所以π2C =，所以ABC 为直角三角形，故D 正确.故选：BCD.12.已知函数()f x ，()g x 是定义在R 上的非常数函数，满足()()213f x g x ++-=，()()13f x g x +-=，且()1f x +为奇函数，则（）．A.()f x 为奇函数B.()f x 为偶函数C.()20241k f k ==∑ D.()202416072k g k ==∑【答案】BCD 【解析】【分析】根据已知条件，利用变量代换可推出函数()f x 的周期，继而推出()()f x f x -=，结合函数()f x 是定义在R 上的非常数函数，即可判断()f x 的奇偶性，判断A ，B ；利用()f x 的周期可求得()20241k f k =∑的值，判断C ；根据()()13f x g x +-=结合变量代换可推出()3(1)g x f x =++，从而将()20241k g k =∑化为()202411][3k f k =++∑，结合()f x 的周期求值即可判断D.【详解】函数()f x 是定义在R 上的非常数函数，由于()1f x +为奇函数，故(1)(1)f x f x -+=-+，即(1)(1)0++-=f x f x ，即()(2)0f x f x +-=，由于()()213f x g x ++-=，用2x -代换x 可得()()413f x g x -+-=，结合()()13f x g x +-=得：(4)()f x f x -=，即()22)(f x f x -+=，结合()(2)0f x f x +-=得()(2)(2)f x f x f x =--=-+，即(2)()f x f x +=-，故(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即4为函数()f x 的周期，故()(4)()f x f x f x -=-=，故()f x 为偶函数，由于()f x 是定义在R 上的非常数函数，故()f x 不是奇函数，故A 错误，B 正确；由于()(2)0f x f x +-=，故()(2)0f x f x -+-=，即()(2)0f x f x ++=，故(1)(3)0,(2)(4)0f f f f +=+=，故()20241506[(1)(2)(3)(4)]0k f k f f f f ==+++=∑，故C 正确；由()()13f x g x +-=得()()13f x g x -+=，而()f x 为偶函数且()(2)0f x f x +-=，故(1)(1)f x f x -=-+，则()()313(1)g x f x f x =--=++，因为()202410k f k ==∑，所以()202411506[(2)(3)(4)(5)]506[(1)(2)(3)(4)]0k f k f f f f f f f f =+=+++=+++=∑，故()()()2024202420241111]607216072[3k k k g k f k k f ====+=++=+∑∑∑，D 正确，故选：BCD【点睛】难点点睛：本题考查了抽象函数的性质的应用问题，涉及到函数的奇偶性以及周期性，难点在于要根据已知条件，经过变量代换，推出函数()f x 的周期，进而推出函数()f x 为偶函数，从而再根据(),()f x g x 之间的关系，推出()3(1)g x f x =++，结合函数的周期性，即可求出和式()20241k f k =∑，()20241k g k =∑的值.三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.若ABC 为钝角三角形，请写出三边a ，b ，c 所满足的一个关系式______（答案不唯一）．【答案】222a b c +<（答案不唯一）【解析】【分析】根据钝角三角形的知识写出答案.【详解】ABC 为钝角三角形，如C 为钝角，由余弦定理得222cos 02a b c C ab+-=<，所以222a b c +<.故答案为：222a b c +<（答案不唯一）14.O 是锐角三角形ABC 内的一点，A ，B ，C 是ABC 的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅，则O 是ABC 的______心．【答案】垂【解析】【分析】根据向量数量积及其运算律可证垂直，从而得出结果.【详解】因为()00OA OB OB OC OB OA OC OB CA OB CA ⋅=⋅⇔⋅-=⇔⋅=⇔⊥，同理OA CB ⊥，OC AB ⊥，故O 为ABC 的垂心.故答案为：垂.15.已知函数()2sin f x x m x =-在R 上不是单调函数，则实数m 的取值范围是______．【答案】2m <-或m>2【解析】【分析】将问题转化为()f x 有极值点，即()f x '有变号零点，从而得解.【详解】因为()2sin f x x m x =-，所以()2cos f x m x '=-，又()f x 不是单调函数，所以函数()f x 有极值点，即()f x '在R 上有变号零点，则2cos 0m x -=成立，当cos 0x =时，2cos 0m x -=可化为20=，显然不成立；当cos 0x ≠时，2cos m x=，因为x ∈R ，1cos 1x -≤≤，所以22cos x ≤-或22cos x≥，所以实数m 的取值范围为2m <-或m>2（因为要有变号零点，故不能取等号），经检验，2m <-或m>2满足要求.故答案为：2m <-或m>2.16.著名的斐波那契数列{}n a 满足121a a ==，21n n n a a a ++=+，其通项公式为1122n nn a ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦，则2221220232023++⋅⋅⋅+a a a a 是该数列的第______项；12121122⎛⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．【答案】①.2024②.322【解析】【分析】空1：根据题意可得21121n n n n n a a a a a ++++=-，根据题意结合裂项相消法运算求解；空2：分析可知121226115222⎛⎛+-+=+ ⎝⎭⎝⎭a ，结合递推公式运算求解.【详解】空1：因为21n n n a a a ++=+，即12n n n a a a ++=-，则21121n n n n n a a a a a ++++=-，可得()()()22221220231322142024202320232032322++⋅⋅⋅+=+-+-+-⋅⋅⋅+a a a a a a a a a a a a a a a a 20242023202420312212=-=+a a a a a a a ，所以22212202320232024202320422203++⋅⋅⋅+==a a a a aa a a ，即2221220232023++⋅⋅⋅+a a a a 是该数列的第2024项；空2：因为21212266611112522222⎡⎤⎛⎫⎛⎛⎛+-+-⎢⎥+=-+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦a ，又因为121a a ==，则34562,3,5,8a a a a ====，所以121226115232222⎛⎫⎛+-+=+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭a .故答案为：2024；322.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合|0x A x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，ππ|tan 2,0,44B y y a x a a x ⎧⎫⎛⎫==+>∈-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭．（1）若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围；（2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．【答案】（1）322a ≤≤（2）6a ≥或12a ≤【解析】【分析】（1）首先求解两个集合，由题意转化为两个集合的包含关系，列不等式求解；（2）根据,A B 两个集合，并结合A B ⋂=∅，即可列式求解.【小问1详解】0x ≤，得()(2642020x x x ⎧--≤⎪⎨⎪-≠⎩，得264x <≤，解得：362x <≤，即362A x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，ππtan 2,0,,44y a x a a x ⎛⎫=+>∈- ⎪⎝⎭，函数单调递增，所以(),3y a a ∈，即{}3B y a y a =<<，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则BA ，即3236a a ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，解得：322a ≤≤；【小问2详解】若A B ⋂=∅，则6a ≥或332a ≤，解得：6a ≥或12a ≤.18.已知函数()()sin f x A x =+ωϕπ0,0,2A ωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示（1）求()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移π4个单位，再横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间()0,π上的值域．【答案】（1）()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）(]0,3【解析】【分析】（1）根据图象，依次求得,,A ωϕ的值，从而求得()f x 的解析式.（2）利用函数图象变换求出函数()g x 的解析式，再利用余弦函数的单调性求得()g x 在区间()0,π上的值域.【小问1详解】根据函数()()sin f x A x =+ωϕπ0,0,2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象，可得2A =，17πππ41234T =-=，即2ππT ω==，得2ω=，又函数()f x 过π(,0)3，所以π2π,Z 3k k ϕ⨯+=∈，2ππ,Z 3k k ϕ=-∈，而π2<ϕ，则π3ϕ=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】根据题意，将函数()f x 的图象向右平移π4个单位得：πππππ2sin 2(2sin(2)2cos(2)43233y x x x ⎡⎤=-+=-+=-+⎢⎣⎦，再横坐标伸长为原来的2倍得：1ππ2cos(2)2cos()233y x x =-⨯+=-+，最后将图象向上平移1个单位得到函数π()2cos()13g x x =-++的图象.由0πx <<得ππ4π333x <+<，当πππ33x <+<，即2π(0,)3x ∈时，()g x 单调递增，当π4ππ33x <+<，即2π(,π)3x ∈时，()g x 单调递减，所以，()0,πx ∈时，2π2ππ()(2cos()13333g x g ≤=-++=，且()()πππ02cos10,π2cos π12cos 12333g g ⎛⎫=-+==-++=+= ⎪⎝⎭，可知()()00g x g >=.综上所述，()g x 在区间()0,π上的值域为(]0,3.19.“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，终值是现在的一笔钱按给定的利息率计算所得到的在未来某个时间点的价值。

山东省济南市高三上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高一上·北京月考) 下列集合中表示同一集合的是（）A . ，B . ，C . ，D . ，2. （2分） (2019高二上·哈尔滨期末) 已知复数，则的共轭复数的虚部为（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高二上·汕头期末) 若x,y满足约束条件则的最大值为（）A . 10B . 8C . 7D . 64. （2分）为非零向量，“函数为偶函数”是“”的（）A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2019高三上·葫芦岛月考) 函数的图象大致为（）A .B .C .D .6. （2分）设函数，则满足f（f（a））=2f（a）的a取值范围是（）A . [,]B . [,+)C . [,+)D . [,+)7. （2分） (2019高一上·山西月考) 下列各组中，不同解的是（）A . 与B . 与C . 与或D . 与8. （2分） (2017高一下·宜昌期中) 在△ABC中，边AC长为，| + |=2 ，D是BC边上的点，且 =2 ，• =0，则cos∠BAC=（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高三下·滨海模拟) 已知函数，若存在，使得关于的函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）(2020·西安模拟) 已知函数，若数列满足，且对任意的都有，那么实数的值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共8分)11. （2分）(2018·恩施模拟) 的展开式中常数项为________．12. （1分）在等比数列{an}中，a3a7=8，则a5=________．13. （1分） (2018高一下·淮北期末) 中，边上的高，角所对的边分别是，则的取值范围是________．14. （1分）已知函数f（x）=x+ （a＞0），若对任意的m、n、，长为f（m）、f（n）、f（p）的三条线段均可以构成三角形，则正实数a的取值范围是________15. （1分）函数y=﹣x2﹣2x+3，x∈[﹣4，5]的最小值是________．16. （1分） (2019高三上·西湖期中) 已知平面向量满足，，，则的最大值为________．17. （1分） (2019高二下·佛山月考) 已知函数的最小值为0，其中，则的值为________．三、解答题 (共5题；共45分)18. （5分） (2016高一上·扬州期末) 已知函数y= sin（ωx+ ）（ω＞0）．（1）若ω= ，求函数的单调增区间和对称中心；（2）函数的图象上有如图所示的A，B，C三点，且满足AB⊥BC．①求ω的值；②求函数在x∈[0，2）上的最大值，并求此时x的值．19. （10分） (2015高一上·莆田期末) 已知向量 =（2cos2x，）， =（1，sin2x），函数f（x）=• ﹣1．（1）当x= 时，求|a﹣b|的值；（2）求函数f（x）的最小正周期以及单调递增区间；（3）求方程f（x）=k，（0＜k＜2），在[﹣， ]内的所有实数根之和．20. （10分）(2018高三上·静安期末) 设数列满足：① ；②所有项；③．设集合，将集合中的元素的最大值记为．换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．（1）若数列的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，请写出数列；（2）设，求数列的伴随数列的前100之和；（3）若数列的前项和（其中常数），试求数列的伴随数列前项和．21. （10分）(2017·天津) 设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0 ， g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0 ， 2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0 ， 2]，满足|﹣x0|≥ ．22. （10分） (2017高二下·宾阳开学考) 已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共8分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共45分) 18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、。

2024-2025学年山东师大附中高三（上）期中数学模拟试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|log 3x <2}，B ={y|y = x }，则(∁R A)∩B =( )A. (0,9)B. [9,+∞)C. {0}∪[9,+∞)D. [0,9)2.若“sinθ=−22”是“tanθ=1”的充分条件，则θ是( )A. 第四象限角 B. 第三象限角C. 第二象限角D. 第一象限角3.已知正数x ，y 满足 9x 2−1+ 9y 2−1=9xy ，则4x 2+y 2的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 44.在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 为△ABC 内的一点，AP =xAB +yAC ，则下列说法错误的是( )A. 若P 为△ABC 的重心，则2x +y =1B. 若P 为△ABC 的外心，则PB ⋅BC =18C. 若P 为△ABC 的垂心，则x +y =716D. 若P 为△ABC 的内心，则x +y =585.数列{a n }满足a 1=1，a n +1+a n =2n +1，若数列{a n +1+1a n ⋅a n +1⋅2a n }的前n 项的和为T n ，则T n >20232024的n 的最小值为( )A. 6B. 7C. 8D. 96.已知f(x)=−x 2+2|x|，若关于x 的方程[f(x)]2+mf(x)+n =0(m,n ∈R)恰好有三个互不相等的实根，则实数m 的取值范围为( )A. m <−1B. m ≤0C. m <−1或m >0D. m =0或m <−17.设a =ln 54,b =sin 14,c =0.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. b >a >cC. b >c >aD. c >b >a8.f(x)是定义在[a,b]上的函数，f′(x)为f(x)的导函数，若方程f(x)=f′(x)在[a,b]上至少有3个不同的解，则称f(x)为[a,b]上的“波浪函数”.已知定义在[−4,3]上的函数f(x)=x 3+2x 2+mx +8为“波浪函数”，则实数m 的取值范围是( )A. −565⩽m <−7B. −565⩽m <−4C. −4⩽m <565D. −7⩽m <−4二、多选题：本题共3小题，共18分。

山东省济南市数学高三上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·邵东月考) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高二上·林芝期末) 设向量，，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高二上·蕲春期中) 下列否定不正确的是（）A . “∀x∈R，x2＞0””的否定是“∃x0∈R，x02≤0”B . “∃x0∈R，x02＜0”的否定是“∀x∈R，x2＜0”C . “∀θ∈R，sinθ≤1”的否定是∃θ0∈R，sinθ0＞1D . “∃θ0∈R，sinθ0+cosθ0＜1”的否定是“∀θ∈R，sinθ+cosθ≥1”4. （2分）已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4-x)，且当时其导函数满足,若2<a<4则（）A .B .C .D .5. （2分）不等式的解集是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高二上·集宁月考) 若 ,则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高二下·昭通月考) 已知向量，且，则（）A .B .C .D .8. （2分）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，,则（）A . （－2，－4）B . （－3，－5）C . （3，5）D . （2，4）9. （2分） (2018高二上·镇原期中) 在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域的面积是（）A . 3B . 6C . 9D . 1210. （2分） (2019高一下·余姚月考) 已知的面积，则 =（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高一下·四川月考) 数列的通项公式为，则的第5项是（）A . 13B .C .D . 1512. （2分） (2018高二上·汕头期末) 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·桂林月考) 的值为________．14. （1分） (2017高一上·泰州期末) 函数y= 的定义域为________15. （1分） (2017高一上·密云期末) 已知α∈（0，），sinα= ，则cosα=________．16. （1分）(2017·乌鲁木齐模拟) 若2x+4y=4，则x+2y的最大值是________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分）函数y=sin（2x+ ）（1）求A，ω，φ的值；（2）求x∈[0， ]的值域．18. （15分）(2018·全国Ⅰ卷文) 已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=（1）求b1,b2,b3（2）判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;（3）求{an}的通项公式19. （10分） (2018高二上·黑龙江期末) 已知分别为三个内角的对边,且．（1）求角的大小；（2），求的面积．20. （10分） (2018高二下·西宁期末) 已知函数在x=1处有极值10.（1）求a、b的值；（2）求在上的最大值与最小值.21. （10分） (2017高一下·池州期末) 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=1，前n项和为Sn ，，（1）求数列{bn}的通项公式；（2）求证：b1+b2+…+bn＜2．22. （15分） (2018高二下·中山月考) 设函数，已知曲线在点处的切线与直线平行（1）求的值；（2）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由。