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等差数列的通项公式及性质.ppt

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4.2.1 第一课时 等差数列的概念及通项公式(课件(人教版))

4.2.1 第一课时 等差数列的概念及通项公式(课件(人教版))
4．2 等差数列
4．2.1 等差数列的概念
新课程标准解读 1.通过生活中的实例，理解等差数列的 概念和通项公式的意义. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的 等差关系，并解决相应的问题. 3.体会等差数列与一元一次函数的关系.
核心素养
数学抽象
逻辑推理、数学 运算
数学抽象
第一课时 等差数列的概念及通项公式
[随堂检测] 1．已知等差数列{an}的通项公式为 an＝3－2n，则它的公差为
()
A．2
B．3
C．－2
D．－3
解析：∵an＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)，∴d＝－2，故选 C.
答案：C
2．在△ABC 中，三内角 A，B，C 成等差数列，则 B 等于( )
A．30° C．90°
B．60° D．120°
[问题导入] 预习课本第 12～15 页，思考并完成以下问题 1．等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列？
2．等差数列的通项公式是什么？
3．等差中项的定义是什么？
[新知初探]
知识点一 等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等 于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常 数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示．
令(n－6)d＝0，得 n＝6，故选 A.
法二：设公差为 d(d≠0)，因为 4a3＝3a2，所以 a3＝－3d，又
因为 a3＝a1＋2d，所以 a1＝－5d，故 an＝－5d＋(n－1)d，令
an＝0.得 n＝6，所以数列{an}中 a6＝0.故选 A. 答案：A
5．一个等差数列的第 5 项 a5＝10，且 a1＋a2＋a3＝3，则首 项 a1＝________，公差 d＝________. a5＝a1＋4d＝10， 解析：由题意得 a1＋a1＋d＋a1＋2d＝3，

等差数列课件ppt课件

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等差数列课件 ppt
contents
目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？

人教A版高中数学必修5课件：2.2等差数列定义及通项公式(共37张PPT)

人教A版高中数学必修5课件：2.2等差数列定义及通项公式(共37张PPT)
证明．在求{an}通项公式时，要用到{an－2}是等差数列，先求 1
{an－2}的通项，再求{an}的通项公式．
➢ 等差数列的判定与证明 等差数列的判定方法有以下二种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数 列． 如果要证明一个数列是等差数列，必须用定义法或等差 中项法．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面 的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数 列不能称为等差数列．
2．怎样认识等差数列通项公式 (1)确定 a1 和 d 是确定通项的一般方法． (2)由方程思想，根据 an，a1，n，d 中任何三个量可求 解另一个量，即知三求一． (3)通项公式可变形为 an＝dn＋(a1－d)，可把 an 看作自 变量为 n 的一次函数．
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
项公式是
.
3．等差中项
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差
中项．
1.正确理解等差数列的定义 (1)注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件的两层含 义，其一，第 1 项前面没有项，无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必 须从第 2 项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．

苏教版数学必修五2《等差数列的概念及通项公式》ppt课件

苏教版数学必修五2《等差数列的概念及通项公式》ppt课件

aa11＋＋（（nm－－11））dd＝＝mn，，解得ad1＝＝－m1＋. n－1，
∴am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝m＋n－1－(m＋n－1)＝0.
栏 目
链
故选 B.
接
方法二 设 am＋n＝y，则由三点共线有mn－－mn＝（my＋－nm）－n
⇒y＝0.
方法三 由 am＝n，an＝m 知，在直角坐标平面上的 A(m，n)、 B(n，m)两点关于直线 y＝x 对称，又∵A、B、C(m＋n，am＋n)是等 差数列中的项，∴A、B、C 在同一直线上且斜率为－1.∴mam＋＋nn－－mn＝
苏教版数学必修五
2．2.1 等差数列的概念及通项公式
情景导入
栏 目 链
接
相信同学们都听说过天才数学家高斯小时候计算1＋2＋3 ＋…＋100的故事，不过，这很可能是一个不真实的传说， 据对高斯素有研究的数学史家E.T.贝尔(E.T.Bell)考证，高斯 的老师布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81 297＋81 495＋81 693＋…＋100 899.当布特纳刚写完这道题 时，高斯也算完了，并把答案写在了小石板上．你知道高 斯是如何计算的吗？
个常数叫做等差数列的公差．应当注意的是：
栏
(1)在定义中，之所以说“从第2项起”，首先是因为首项 没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，
目 链 接
而是从第3项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数
(an＋1－an＝d，n∈N*，且n≥2)，那么这个数列不是等差数 列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个
(7)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋
栏 目
2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．

等差数列ppt课件

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等差数列的表示方法
通项公式
an = a1 + (n-1)d，其中an是第n项 ，a1是首项，d是公差。
前n项和公式
Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中Sn 是前n项和，a1是首项，d是公差。
等差数列的性质
01
02
03
公差性质
公差d是任意两个相邻项 的差，即an - a(n-1) = d 。
04
等差数列的应用
在数学中的应用
基础概念理解
等差数列是数学中的基础 概念，对于理解数列、函 数等其他数学概念有着重 要作用。
数学运算
等差数列的特性使其在数 学运算中有着广泛的应用 ，例如求和、求差等。
解决数学问题
等差数列可以用来解决一 些复杂的数学问题，例如 求解方程、不等式等。
在物理中的应用
综合练习题
题目：已知一个等差数列的前4项 和为40，前8项和为64，求这个 等差数列的前12项和。
答案：88
解析：根据等差数列的求和公式 ，得到前4项和$S_4 = frac{4}{2} times (2a_1 + (4-1)d) = 40$， 前8项和$S_8 = frac{8}{2} times (2a_1 + (8-1)d) = 64$。解这个 方程组得到首项$a_1=13$，公差 $d=-2$。然后根据等差数列的求 和公式，得到前12项和$S_{12} = frac{12}{2} times (2 times 13 + (12-1) times (-2)) = 88$。
等差数列在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，如计算 存款利息、解决几何问题等。
公式中的参数意义
01
02

等差数列公式ppt课件

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下节课预告
• 下节课我们将学习等差数列在实际生活中的应用，以及如何利 用等差数列解决实际问题。同时，我们还将学习等差数列的性 质，进一步加深对等差数列的理解。
感谢观看
THANKS
一般形式
等差数列的通项公式可以 表示为an=kn+b，其中k 和b是常数，n是项数。
特殊形式
当k=0时，等差数列变为 常数列；当b=0时，等差 数列变为等差序列。
扩展形式
通过变换通项公式，我们 可以得到其他形式的等差 数列。
等差数列通项公式的应用
数学问题求解
数学建模
利用通项公式可以求解等差数列中的 未知数。
日常计数
在日常生活中，我们经常使用等差 数列来计数物品，例如按顺序排列 的电话号码、门牌号等。
等差数列在数学领域中的应用
数学分析
在数学分析中，等差数列是研究 函数和级数的重要工具，可以用
于证明一些数学定理和性质。
几何学
在几何学中，等差数列可以用于 计算一些几何形状的周长、面积
和体积等。
组合数学
在组合数学中，等差数列可以用 于计算组合数的公式和性质。
通过建立数学模型，我们可以利用通 项公式解决实际问题。
实际应用
等差数列在日常生活和科学研究中有 着广泛的应用，例如在统计学、物理 学等领域。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
01
通过对等差数列的性质进行归纳 和演绎，利用倒序相加法推导出 等差数列的求和公式。
02
倒序相加法的原理是将等差数列 的前n项和与后n项和相加，再除 以2得到n项和的公式。
等差数列求和公式还可以用于解决一 些实际问题，例如计算存款的本金和 利息、计算工资等。

等差数列的概念及通项公式课件


2n－12.
【名师点评】 根据等差数列的通项公式an＝ a1＋(n－1)d，由已知等差数列的任意两项，就 可以求出首项和公差，从而写出数列的通项公
式．
等差中项 若 a、A、b 成等差数列，即 A＝a＋2 b，则 A 就是 a 与 b 的等差中项，若 A＝12(a＋b)时，则 a、A、b 成等差数列，这是判定三个数成等差数列的条件．
等差数列的判定与证明
根据等差数列的定义可知，一个数列是否为等差 数列，要看任意相邻两项的差是否为同一常数， 要判断一个数列为等差数列，需证明an＋1－an＝ d(d为常数)对n∈N*恒成立，若要判断一个数列不 是等差数列，只需举出一个反例即可．
例3 已知数列{an}，满足 a1＝2，an＋1＝a2n＋an2. (1)数列{a1n}是否为等差数列？说明理由；(2)求 an.
例1 已知{an}是等差数列，根据下列条件求它的 通项公式：a5＝－2，a9＝6. 【思路点拨】 由条件列方程求得其首项与公差，
即可由公 aa59＝ ＝－6，2， 则
aa11＋ ＋48dd＝ ＝－6，2， 解方程得ad1＝＝2－. 10，
所以数列{an}的通项公式为 an＝－10＋2(n－1)＝
【名师点评】 判断一个数列是否为等差数列的 方法有以下几种： (1)定义法：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)⇔{an} 为等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数 列．
(3)通项法：an＝kn＋b(k、b为常数)⇔{an}是等差 数列．
警示：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)对任意n∈N ＋都要恒成立，不能几项成立便说{an}为等差数 列．
例2 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这 五个数成等差数列，求此数列．

等差数列的前n项求和公式ppt课件


由等差数列的性质 即
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
2Sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
Sn=n(a1+an)/2
5
如果代入等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，Sn也可 以用首项a1和公差d表示，即 Sn=na1+n(n-1)d/2 所以，等差数列的前n项求和公式是
-------方程、函数思想 3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个 -------知三求二
15
A组2、4、5
16
谢谢观赏
17
S
n

n a1 a n 2
或
S
n
n a1
n n 1 d 2
6
例题
例1
54？
等差数列-10，-6，-2， 2，…前多少项的和是
例2
已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前 20项的和是1220 .求等差数列的前n项和的公式
例3
求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且m<100}的元素 个数, 并求这些元素的和.
8a 52 d n 2 14n nn 1 d S na d
a
n 1
13 d 0 d 0 2
2
2
解2： S3 S11
即 n=7
a1 0
由等差数列构成的函数图象，可知 n=（3+11）/2=7时，Sn最大
12
an 例8.等差数列 的前项n和S n，且a3 12 ，S12 0, S13 0

数列等差数列等差数列的概念及通项公式ppt


简单明了
数列等差数列的通项公式形式 简洁，易于理解和记忆。
普适性
通项公式可以应用于任何等差 数列，具有广泛的适用性。
重要性
通项公式是解决等差数列问题 的基础和关键，对于理解等差 数列的性质和求解相关问题具
有重要的意义。
03
数列等差数列的求和公式
数列等差数列求和公式的推导
公式推导
利用等差数列的概念和通项公式，推导出等差数列的求和公 式。
声学中的等差数列
在声学中，等差数列被广泛应用于解决一些与声音的频率、 振幅等有关的问题。例如，在研究乐器的声音时，常常需要 使用等差数列来描述音高、音强等物理量随时间的变化规律 。
数列等差数列在计算机科学中的应用
数据结构中的等差数列
在计算机科学中，等差数列被广泛应用于解决一些与数据结构、算法有关的 问题。例如，在解决一些与数组操作、链表操作有关的问题时，常常需要使 用等差数列来描述问题的规律。
密码学中的等差数列
在密码学中，等差数列被广泛应用于解决一些与加密、解密有关的问题。例 如，在一些简单的加密算法中，常常需要使用等差数列来生成密钥、加密和 解密数据。
05
数列等差数列的拓展知识
数列等差数列与等比数列的关系
1
数列等差数列与等比数列是两种常见的数列类 型，具有重要的数学意义和应用价值。
2023
数列等差数列等差数列的 概念及通项公式ppt
目录
• 数列等差数列的概念 • 数列等差数列的通项公式 • 数列等差数列的求和公式 • 数列等差数列的应用实例 • 数列等差数列的拓展知识
01
数列等差数列的概念
数列等差数列的定义
等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同 一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数 列的公差。

等差数列前n项和公式PPT课件


sn
(a1
an)n 2
（补成平行四边形）
.
11
例1． 某长跑运动员7天里每天的训 练量（单位：m）是：
7500, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500
这位运动员7天共跑了多少米？ 解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，
记为｛an}, 其中 a1=7500, a7=10500.
an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有:
an=am+ (n-m) d (2) 等差数列的性质:
在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N*),那么: am+ an = ap+aq
.
2
问题呈现
问题1
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世 纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所 建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的 主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇 迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令 人叫绝。
的前n项和，则有a1=－10, d=－6－(－10)=4
设该数列前n 项和为54
n(n- 1) 根据等差数列前n项和公式： sn=na1+ 2 d
×4=54成立
整 理 后 ,得 n 2-6 n -2 7=0
解得 n1=9, n２=－3(舍去) 因此等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和是 54.
.
14
小结：
1.推导等差数列前 n项和公式的方法 -------倒序相加法
2.公式的应用中的数学思想.
-------方程思想
3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个 -------知三求二
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…
知识点1：等差数列的通项公式
若数列{an }为等差数a2列，ad1为公d差，则
a3 a2 d
a4 a3 d
an1 an2 d
an an1 d
累加得: an a1 (n 1)d
等差数列的通项公式: an a1 (n 1)d
点评： （1）该公式中有四个量： an 、a1、n、 d （2）四个量：an 、a1、n、d 中，任意知道三个量，可 以求出第四个量，即根据已知条件可求项或项数或公差 或首项，简称“知三求一”。 （3）已知首项a1、公差d即可求出通项公式，进而可求 出数列中的每一项。 （4）等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可化为an=kn+b, 即等差数列的通项公式是an关于n的一次函数
A.公差为d的等差数列 B.公差为３d的等差数列 C.非等差数列 Ｄ.以上都不是
能力提升
例4：在数列an中，a1=1，lg an lg an1 2,
求数列的通项公式an。
﹢
，
性质3：
若数列an 为有穷等差数列，则与首末两项等距离
的两项之和都相等。
即：a1 an a2 an1 a3 an2 ...
1. 在等差数列{an}中，a₁+a10=30，求S10= ———
性质4：
当d 0时，{an}是递增数列； 当d 0时，{an}是递减数列； 当d =0时，{an}是常数列；
mn
性质2：
若 m+n=p+q， 则：am an ap aq
(m、n、p、q∈N )
特别地，若 m+n=2p,则：am an 2ap
例 2：在等差数列 中，
（1）若a3+a7=12，则a2+a8= ，2a5=
(2) 若a8=7， 则a3+a13=
，，
(3) 若a5+a6 +a10+a11=40，则a2+a14=
性质5：
等差数列{an}的公差为d,那么： （1）数列{an+k} 是 等差数列，公差为__d_____. （2）数列{λan} 是 等差数列，公差为_λ__d____. （3）数列{λan+b}_是__等差数列，公差为__λ__d_____. （λ,b是常数）
例5：若等差数列an的公差为d，则3an是( )
等差数列的通项公式及性质
复习
知识点1：
后项减前项
从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数.
这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示.
知识点2： an1 an d 即an1 an d
例1：已知等差数列的首项a1 12,公差d =-5，试写出数列的 第二项到第5项。 第100项呢？第1000项呢？
（1）已知a100
48, d
1 3
,
求a1.an
a1
(n 1)d
（2）已知a1=3，an =21，d=2，求n；
3 若a5 10, a9 18, 求an ,并判断 32是不是
该数列中的项。
例3：P7---例4
变式：已知三个数成等差数列，它们的和为12，积为28，求 这三个数.
பைடு நூலகம்识点2：性质
性质1： an am n m d m, n N
分例析1：： 1已在 知任等意一差项数 am及列 公差{da即n可}求中出通：项公式。
21当 若 m 1a时1，0 得an20a,1 dn1 d1. , 求an； 此32公可式变若 实形质为a反5：映an了-a3任m,意dm两项n4之 d,间.求的关a系10。 43可变若形a为3：d =5an,-aam7. 13, 求an
数列an是等差数列 an =kn bk、b为常数
用一下
等差数列的通项公式：an a1 (n 1)d
例1.(1)求等差数列-1,5,11,17，…的第 50项。
an 3n 11 a20 49
(2)求等差数列 3，7，11，… 的第 15项；
an 4n 1 a4 69
例2：在等差数列{an}中： 等差数列的通项公式：