拉普拉斯定理_行列式乘法

线性代数重要公式定理大全线性代数是数学中的一个重要分支，它研究矩阵、向量、线性方程组等基本概念和性质，并运用线性代数的理论和方法解决实际问题。

在学习线性代数时，了解一些重要的公式和定理，不仅可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的知识，还能为进一步学习和研究提供基础。

在线性代数中，有许多公式和定理与行列式、矩阵、向量、线性变换和特征值等相关。

下面我将介绍一些重要的公式和定理，希望对你的学习有所帮助。

一、行列式的公式和定理1. 行列式的定义：设有n阶方阵A，它的行列式记作，A，或det(A)，定义为：A，=a₁₁A₁₁-a₁₂A₁₂+...+(-1)^(1+n)a₁ₙA₁其中，a₁₁，a₁₂，...，a₁ₙ分别是矩阵第一行元素，A₁₁，A₁₂，...，A₁ₙ是矩阵去掉第一行和第一列的余子式。

2.行列式的性质：（1）行互换改变行列式的符号，列互换改变行列式的符号。

（2）行列式相邻行（列）对换，行列式的值不变。

（3）行列式其中一行（列）中的各项都乘以同一个数k，行列式的值也乘以k。

（4）互换行列式的两行（列），行列式的值不变。

（5）若行列式的行（列）的元素都是0，那么行列式的值为0。

（6）行列式的其中一行（列）的元素都是两数之和，那么行列式的值等于两个行列式的值之和。

3.行列式的计算：（1）按第一行展开计算行列式：将行列式的第一行元素与其所对应的代数余子式相乘，然后加上符号，得到行列式的值。

（2）按第一列展开计算行列式：将行列式的第一列元素与其所对应的代数余子式相乘，然后加上符号，得到行列式的值。

4.行列式的性质定理：（1）拉普拉斯定理：行列式等于它的每一行（列）的元素与其所对应的代数余子式的乘积之和。

（2）行（列）对阵定理：行列式的值等于它的转置矩阵的值。

（3）行列式的转置等于行列式的值不变。

二、矩阵的公式和定理1.矩阵的定义：将一个复数域上的m行n列数排成一个长方形，并按照一定的顺序进行排列，这个排列称为一个m×n矩阵，其中m是矩阵的行数，n是矩阵的列数。

一k级子式余子式代数余子式余子式二、拉普拉斯(Laplace)定理拉普拉斯(Laplace)定理三、行列式乘法法则级子式与余子式、一、k级子式与余子式、代数余子式定义在一个n级行列式D中任意选定k行k列k2个元素(k≤n),位于这些行和列的交叉点上的位于这些行和列的交叉点上的按照原来次序组成一个k级行列式M,称为行列按照原来次序组成一个，称为行列级子式；式D的一个k级子式；在D中划去这k行k列后余下的元素按照原来的次序组成的nk级行列余子式；式M′,称为k级子式M的余子式；§2.8Laplace定理Laplace定理中所在的行、若k级子式M在D中所在的行、列指标分别是i1,i2,L,ik;j1,j2,L,jk,则在M的余子式M′前(1)i1+i2+L+ik+j1+j2+L+jk后称之为M的代数后称之为加上符号余子式，余子式，记为A=(1)i1+i2+L+ik+j1+j2+L+jkM′.注：①k级子式不是唯一的级子式不是唯一的.kk级子式).(任一n级行列式有CnCn个k级子式).②k=1时，D中每个元素都是一个级子式；中每个元素都是一个1级子式中每个元素都是一个级子式；k=n时，D本身为一个级子式.本身为一个n级子式本身为一个级子式.§2.8Laplace定理Laplace定理二、拉普拉斯(Laplace)定理拉普拉斯定理引理行列式D的任一子式M与它的代数余子式A的乘积中的每一项都是行列式D的展开式中的乘积中的每一项都是行列式的一项，而且符号也一致.的一项，而且符号也一致.§2.8Laplace定理Laplace定理Laplace定理设在行列式D中任意取k(1≤k≤n1)行，行元素所组成的一切k级子式与它们的由这k行元素所组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积和等于D.即.若D中取定k行后，由这k行得到的k级子式行后，为M1,M2,L,Mt,它们对应的代数余子式分别为它们对应的代数余子式分别为A1,A2,L,At,则D=M1A1+M2A2+L+MtAt..§2.8Laplace定理Laplace定理注：①k=1时，D=M1A1+M2A2+L+MtAt按某行展开；即为行列式D按某行展开；a11La1k0L0LLLLLLaL11ak1Lakk0L0=LL②D=b11Lb1raLk1某LLLbr1Lbrra1kLakkb11Lbr1LLLb1rLbrr行运用Laplace定理结果.定理结果.为行列式D取定前k行运用§2.8Laplace定理Laplace定理10例1:计算行列式D=1:0M1=12=2,解：10214121013131M2=11=0,11M3=14=1,13M5=24=6,03它们的代数余子式为§2.8Laplace定理Laplace定理21=2,M4=01M6=14=113A1=(1)1+3+1+201=0A=(1)1+3+2+411=2,,2110112=5A=(1)1+3+1+201=0,4,130102=0,A=(1)1+3+1+201=0.60301A3=(1)A5=(1)1+3+2+34+1+1+3∴D=(2)1+0(2)+(1)5+20+60+(1)0=7§2.8Laplace定理Laplace定理三、行列式乘法法则设有两个n设有两个级行列式a11a12La1nb11b12a21a22La2nb21b22D1=,D2=MMMMMMan1an2Lannbn1bn2LLMLb1nb2nMbnnc11c12Lc1nc21c22Lc2n则D1D2=MMMMcn1cn2Lcnnn其中cij=ai1b1j+ai2b2j+L+ainbnj=∑aikbkj,i,j=1,2,L,n§2.8Laplace定理Laplace定理k=1证：作一个级的行列式作一个2n级的行列式a11La1n0LLLLan1Lann0D=b111OL1bn1由拉普拉斯定理LLLLLL0L0b1nLbnna11La1nb11Lb1nD=LLLLLL=aijbijan1Lannbn1Lbnn§2.8Laplace定理Laplace定理又对D作初等行变换：又对作初等行变换：作初等行变换ri=ai1rn+1+ai2rn+2+L+ainr2n,i=1,2,L,n.可得0L0c11LLLL0L0cn1D=b111OL1bn1LLLLLLc1nLcnnb1nLbnn这里cij=ai1b1j+ai2b2j+L+ainbnj,i,j=1,2,L,n.§2.8Laplace定理Laplace定理∴D=(1)1+2+L+n+(n+1)+L+2ncij(1)n=cij从而aijbij=cij,cij=ai1b1j+ai2b2j+L+ainbnj,i,j=1,2,L,n.§2.8Laplace定理Laplace定理例2:证明齐次性方程组：a某1+b某2+c某3+d某4b某1a某2+d某3c某4c某d某a某+b某d某1+c某2b某3a某42341=0=0=0=0只有零解.不全为0.只有零解.其中a,b,c,d不全为.§2.8Laplace定理Laplace定理证：系数行列式a2′=bD=DDcdaD=bcdbadccdabbadcdcbaabcdcdabbadcdcbacdabdcbaa2+b2+c2+d2000000a2+b2+c2+d2=00a2+b2+c2+d20a2+b2+c2+d2000§2 .8Laplace定理Laplace定理=(a+b+c+d)22224a,b,c,d不全为，有(a2+b2+c2+d2)4≠0不全为0,由故方程组只有零解.即D≠0,故方程组只有零解.§2.8Laplace定理Laplace定理。

拉普拉斯定理行列式的乘法规则det(A) = ∑(−1)^(i+j) * a_ij * M_ij其中，det(A)表示矩阵A的行列式；a_ij表示矩阵A的第i行第j 列的元素；M_ij表示矩阵A的第i行第j列元素的代数余子式，它是将a_ij从矩阵中删去后所形成的(n-1) × (n-1)次方阵的行列式。

A=[a11,a12,a13][a21,a22,a23][a31,a32,a33]根据拉普拉斯定理，我们可以计算出该矩阵的行列式为：det(A) = a11 * M_11 - a12 * M_12 + a13 * M_13其中，M_11,M_12和M_13分别是由删去第1行第1列、第1行第2列和第1行第3列元素所形成的2×2次方阵的行列式。

以M_11为例，它的计算公式为：M_11=a22*a33-a23*a32类似地，可以计算出M_12和M_13的值。

将它们代入行列式的展开式中，即可得到方阵A的行列式的数值。

行列式的乘法规则是指两个方阵的行列式相乘的规则。

设有两个n × n的方阵A和B，它们的行列式分别为det(A)和det(B)，则它们的乘积的行列式为：det(A * B) = det(A) * det(B)这个规则的意义在于，可以通过行列式的乘积来求解两个矩阵的乘积的行列式。

在实际计算中，我们可以先计算两个矩阵的行列式，再将它们相乘，从而避免了直接计算矩阵乘积的复杂性。

行列式的乘法规则也可以用于计算矩阵的幂。

设有一个n × n的方阵A，它的行列式为det(A)，则A的k次幂的行列式为：det(A^k) = [det(A)]^k这个公式表明，矩阵的乘幂的行列式等于该矩阵的行列式的k次幂，用于快速计算矩阵的高次幂的行列式十分有效。

拉普拉斯定理和行列式的乘法规则在许多领域都有广泛的应用，特别是在线性方程组的求解中。

通过拉普拉斯定理，我们可以将线性方程组转化为行列式的计算问题，从而可以方便地求解线性方程组的解。

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０１９ １９利用拉普拉斯定理计算行列式利用拉普拉斯定理计算行列式Һ马佳奇㊀(青海师范大学ꎬ青海㊀西宁㊀８１０００８)㊀㊀ʌ摘要ɔ拉普拉斯定理是行列式按行按列展开定理的推广ꎬ可用于简洁快速地解决某些高阶行列式的计算和证明.本文首先介绍了拉普拉斯定理的内容ꎬ然后介绍了拉普拉斯定理在证明分块矩阵乘法方面的应用ꎬ最后利用拉普拉斯定理计算某些高阶的行列式.ʌ关键词ɔ行列式ꎻ拉普拉斯ꎻ子式ꎻ代数余子式高等代数在行列式这一章中介绍了行列式按行(列)展开定理和拉普拉斯定理ꎬ前者每次展开只能降低一阶ꎬ对计算某些高阶行列式而言使用效果不佳ꎻ而拉普拉斯定理降阶速度快ꎬ对计算某些高阶行列式来说十分方便ꎬ所以为了推广这种方法ꎬ本文归纳了拉普拉斯定理ꎬ并给出了该定理在行列式计算中的应用.一㊁拉普拉斯定理(一)拉普拉斯定理定理１[１]㊀设在行列式Ｄ中任意取定了ｋ(１ɤｋɤｎ－１)行ꎬ由这ｋ行元素所组成的一切ｋ级子式为Ｍ１ꎬＭ２ꎬ ꎬＭｔ(ｔ＝Ｃｋｎ)ꎬ它所对应的代数余子式为Ａ１ꎬＡ２ꎬ ꎬＡｉꎬ则Ｄ＝Ｍ１Ａ１＋Ｍ２Ａ２＋ ＋ＭｔＡｉ＝ðｔｉ＝１ＭｉＡｉ.(二)拉普拉斯定理求行列式的两个重要结论定理２[２]㊀(１)ｍ＋ｎ阶行列式Ａｍˑｍ０ＢｎˑｍＣｎˑｎ＝｜Ａｎˑｍ｜｜Ｃｎˑｎ｜ꎻ(２)ｍ＋ｎ阶行列式０ＡｍˑｍＣｎˑｎＢｎˑｍ＝(－１)ｍｎ｜Ａｍˑｍ｜｜Ｃｎˑｎ｜.(二)拉普拉斯定理的应用１.利用拉普拉斯定理证明相关命题定理３[３]㊀设ＡꎬＢ是ｎ阶方阵ꎬ则｜ＡＢ｜＝｜Ａ｜｜Ｂ｜.定理４㊀Ａ１００００Ａ２００００⋱００００Ａｓ＝｜Ａ１｜｜Ａ２｜ ｜Ａｓ｜ꎬ其中Ａｉ是ｎｉ阶方阵ꎬｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｓ.定理４由定理２易得.２.利用拉普拉斯定理计算行列式例１㊀计算行列式Ｄ＝ａ００ｂ０ｃｄ００ｅｆ０ｇ００ｈ.解㊀由于Ｄ的第一㊁四行中只有一个２阶子式不为零ꎬ因此ꎬ取这两行ꎬ然后根据拉普拉斯定理展开得Ｄ＝ａｂｇｈ(－１)(１＋４)＋(１＋４)ｃｄｅｆ＝ａｃｆｈ－ａｄｅｈ＋ｂｅｄｇ－ｂｃｇｈ.例２㊀设Ａ＝３４００４－３００００２０００２２ꎬ求｜Ａ８｜及Ａ４.解㊀若记ＡＡ１００Ａ２æèçöø÷ꎬ其中Ａ１＝３４４－３æèçöø÷ꎬＡ２＝２０２２æèçöø÷ꎬ则Ａ成为一个分块对角矩阵.于是｜Ａ８｜＝｜Ａ｜８＝(｜Ａ１｜｜Ａ２｜)８＝｜Ａ１｜８｜Ａ２｜８＝１０１６ꎻＡ４＝Ａ４１００Ａ４２æèçöø÷.因为ꎬＡ２１＝２５００２５æèçöø÷ꎬ所以Ａ４１＝５４ＥꎻＡ２＝２１０４１æèçöø÷.代入即得Ａ４＝５４００００５４００００２４０００２６２４æèççççöø÷÷÷÷.三㊁结束语利用拉普拉斯定理对某些高阶行列式计算和证明ꎬ可以对高阶行列式更快地降阶ꎬ并且简单易操作ꎬ因而ꎬ学习者应重视拉普拉斯定理的学习应用.ʌ参考文献ɔ[１]王文省.高等代数[Ｍ].济南:山东大学出版社ꎬ２００４.[２]朱亚茹ꎬ牛泽钊.谈拉普拉斯定理及其应用[Ｊ].科技信息ꎬ２００９(３１):４９８－４９９.[３]蓝以中.高等代数学习指南[Ｍ].北京:北京大学出版社ꎬ２００８.[４]肖马成ꎬ周概容.线性代数㊁概率论与数理统计证明题５００例解析[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２００８.。