2021年高二下学期第一次月考数学试题(理科零班) 含答案

2021-2022年高二下学期第一次月考数学（理）试题含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）.1．下面是关于复数的四个命题：，，的共轭复数为，的虚部为．其中真命题为（）A． B． C． D．2．已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为（）A． B．C． D．3．设函数，则（）A．为的极大值点B．为的极小值点C．为的极大值点D．为的极小值点4．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……，将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数是（）A．12 B．13 C．14 D．155．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误6．函数在闭区间[3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，-1 B．1，-17 C．9，-19 D．3，-177．函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．8．设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（）A．B．1 C．D．29．已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则＝（）A．2或2 B．9或3 C．1或1 D．3或110.设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的部分图象为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．曲线在点 处的切线倾斜角为_________________.12．函数的导数为_________________.13．观察下列不等式，……照此规律，第五．个不等式为 . 14．若，则常数的值为____________________.15．若函数在上是增函数，则的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共75分）．16. （本小题满分12分）求由直线，，及曲线所围成的图形的面积．17. （本小题满分12分）（1）依次计算 ，，31112(1)(1)(1)4916a =---， 411112(1)(1)(1)(1)491625a =---- （2）猜想211112(1)(1)(1)(1)4916(1)n a n =----+的结果，并用数学归纳法证明论．18.（本小题满分12分）设13()ln 122f x a x x x =+++，其中，曲线在点处的切线垂直于轴． （1）求的值；（2）求函数的极值．19．（本小题满分12）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120)12800080y x x x =-+<≤．已知甲、乙两地相距100千米．（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？20. （本小题满分13分）设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，．（1）求的最小值；（2）若对恒成立，求实数的取值范围．21.（本小题满分14分）已知函数，函数是区间[1，1]上的减函数.（1）求的最大值；（2）讨论关于的方程的根的个数．理科数学答案 xx3月 一、选择题C BD C C D B A A B二、填空题2222211111111234566+++++< 3三、解答题16．解 由，得到或，……………………………………………………………2分则………………………………………………………6分……………………………………………………10分…………………………………………………………………………………………………………12分17．解：（1），，，，………………………………………4分（2）猜想：，………………………………………………………………………5分证明：①当时，，显然成立 …………………………………………………6分 ②假设当命题成立，即2111122(1)(1)(1)(1)4916(1)1k k a k k +=----=++，……………7分 则当时， 122111112(1)(1)(1)(1)(1)4916(1)(2)k a k k +=-----++ ………………………………………………………………………11分所以当时，命题成立，由①，②可知，命题对成立．………………………………………………………………12分18. 解：（1）由13()ln 122f x a x x x =+++，得，……………………………2分 又曲线在点处的切线垂直于轴，故，解得；…………………………………………………………6分（2）， 由，得或（舍去），……………………………………………………8分当时，，当时，，故在上是减函数，在上是增函数，所以函数在处取得极小值，无极大值．…………………………………12分19．解：（1）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，……………………………2分要耗没313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=（升）．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．…………………6分（2）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升， 依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤…………8分332280080'()(0120)640640x x h x x x x -=-=<≤令得 当时，是减函数；当时，是增函数．所以当时，取到极小值也是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最小为11.25升．………12分20. 解 23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ，，当时，取最小值，即．……………………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--，由得，（不合题意，舍去）．当变化时，的变化情况如下表：在内有最大值．…………………………………………………………8分 在内恒成立等价于在内恒成立，即等价于，所以的取值范围为．………………………………………………………………………13分21．解：（1）∵在上单调递减，∴在上恒成立，即在[-1，1]上恒成立，，故的最大值为…………………………4分（2）由.2ln )(ln 2m ex x x x x f x +-== 令,2)(,ln )(221m ex x x f xx x f +-==当上为增函数；当时，为减函数； 当,1)()]([,1max 1e e f x f e x ===时……………………………………………………………8分 而,)()(222e m e x x f -+-=当时，………………………………………………………………10分,1,122时即当ee m e e m +>>-∴方程无解； 当时，方程有一个根；当时，方程有两个根. ……………………………………………14分28942 710E 焎23138 5A62 婢28049 6D91 涑033769 83E9 菩B25201 6271 扱34216 85A8 薨38596 96C4 雄40467 9E13 鸓 l22522 57FA 基~r。

年高二下学期第一次月考数学理试题 含答案一、选择题（本大题共10小 题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、下列图形中不一定是平面图形的是（ ）A,三角形 B.四边相等的四边形 C.梯形 D.平行四边形 2. 在空间直角坐标系中, 点B 是点关于xOy 面的对称点，则= ( )A. 10B.C.D. 38 3.下列命题正确的是（ ）A.平行于同一平面的两条直线平行B.垂直于同一直线的两条直线平行C.与某一平面成等角的两条直线平行D.垂直于同一平面的两条直线平行4．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取（ )A ．7B ．8C ．9D ．105．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.13n ＋2 B.13n ＋13n ＋1 C.13n ＋1＋13n ＋2 D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2 6．和是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面和平行的是（ ）。

A. 和都垂直于平面B. 内不共线的三点到的距离相等C. 是平面内的直线且D. 是两条异面直线且7．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M是对角线A1B上的动点，则AM+MD1的最小值为（）（A）（B）（C）（D）29.有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影, 其投影面积的最大值是（D ）第8题图A. B. C. D.10．如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是A.B.C.三棱锥的体积为定值D.异面直线所成的角为定值二.填空题(本大题共5小题，每小题5分,共25分)11．n为正奇数时，求证：x n＋y n被x＋y整除，当第二步假设n＝2k－1命题为真时，进而需证n＝________，命题为真．12．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交。

上高县第二中学2021-2021学年高二下学期第一次月考本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

数学〔理〕试题一、选择题〔本大题一一共12小题，一共36.0分〕1.设ξ～B〔n，p〕，Eξ=3，Dξ=，那么n与p的值是〔〕A. n=12，B. n=12，C. n=24，D. n=24，【答案】A【解析】【分析】根据ξ～B〔n，p〕利用Eξ与Dξ的公式得到关于的方程组，即可求解．【详解】由题意，可知ξ～B〔n，p〕，且Eξ=3，Dξ=，那么，所以，应选：A．【点睛】此题考察了二项分布与n次HY重复试验的应用，其中解答熟记二项分布的期望与方差的公式是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题．2.设随机变量ξ服从正态分布N〔1，〕，P〔ξ＞2〕=0.3，那么P〔0＜ξ＜1〕=〔〕【答案】C【解析】【分析】根据随机变量ξ服从正态分布，得出正态曲线的对称轴，由P〔ξ＞2〕=0.3，利用根据正态分布对称性，即可求得答案．【详解】由题意，随机变量ξ服从正态分布N〔1，〕，∴正态曲线的对称轴是：x=1，又∵P〔ξ＞2〕=0.3，∴P〔ξ≤0〕=0.3，∴P〔0＜ξ＜1〕=[1-〔0.3+0.3〕]=0.2，应选：C．【点睛】本小题主要考察正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、正态分布曲线的对称性的应用等根底知识，着重考察运算求解才能，及数形结合思想，属于根底题．3.一个口袋中装有假设干个除颜色外都一样的黑色、白色的小球，从中取出一个小球是白球的概率为，连续取出两个小球都是白球的概率为，某次取出的小球是白球，那么随后一次取出的小球为白球的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用条件概率公式求解即可.【详解】设第一次取白球为事件，第二次取白球为事件，连续取出两个小球都是白球为事件，那么，，某次取出的小球是白球，那么随后一次取出的小球为白球的概率为，应选B.【点睛】此题主要考察条件概率公式的应用，属于根底题.求解条件概率时，一要区分条件概率与HY事件同时发生的概率的区别与联络；二要熟记条件概率公式.4.的展开式中各项系数的和32，那么展开式中项的系数为〔〕A. 120B. 100C. 80D. 60【答案】A【解析】【分析】先由x=y=1，求得n=5，得到展开式中含项，确定m的值，代入即可求解．【详解】由题意，令x=y=1，得，解得n=5，那么展开式含项的项为，令6-m=5，得m=1，即展开式中项的系数为，应选：A．【点睛】此题主要考察了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，以及展开式的系数问题的求法是解答此题的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题．5. 高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，那么不同排法的种数是〔〕A. 1800B. 3600C. 4320D. 5040【答案】B【解析】试题分析：先排除了舞蹈节目以外的5个节目，一共种，把2个舞蹈节目插在6个空位中，有种，所以一共有种.考点：排列组合.，那么此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据n次HY重复试验中恰好发生k次的概率，可得这名射手射击命中3次的概率，再根据互相HY事件的概率乘法运算求得结果.【详解】根据射手每次射击击中目的的概率是，且各次射击的结果互不影响，故此人射击6次，3次命中的概率为，恰有两次连续击中目的的概率为，故此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为.应选B【点睛】此题主要考察HY重复试验的概率问题，熟记概念和公式即可，属于常考题型.7.随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城和非一线城的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表．非一线一线总计愿生45 20 65不愿生13 22 35总计58 42 100附表：P〔〕k由算得，参照附表，得到的正确结论是〔〕A. 在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“生育意愿与城级别有关〞B. 在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“生育意愿与城级别无关〞C. 有99％以上的把握认为“生育意愿与城级别有关〞D. 有99％以上的把握认为“生育意愿与城级别无关〞【答案】C【解析】K2≈9.616>6.635，∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城级别有关〞，此题选择C选项.点睛：HY性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否那么就可能对统计计算的结果作出错误的解释．8.以下说法：①分类变量A与B的随机变量越大，说明“A与B有关系〞的可信度越大．②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，将其变换后得到线性方程z=0.3x+4，那么c，k的值分别是和0.3．③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y=a+bx中，b=2，，，那么a=1．正确的个数是〔〕A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】分类变量与的随机变量越大,说明“与有关系〞的可信度越大,①正确;===,所以=4,,所以的值分别是和0.3,②正确;回归直线=过点,即3=,解得,即③正确.所以正确的个数是3.应选D.9.一个袋中放有大小、形状均一样的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球．当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，那么〔〕A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.【详解】可能的取值为；可能的取值为，，，，故，.，，故，,故，.应选B.【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.10.对任意x∈R恒成立，且，那么b=〔〕A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】根据，根据它的展开式形式，由题意可得，，即可求出b的值．【详解】由题意知即，且，可得，，解得b=1，n=9，应选：A．【点睛】此题主要考察二项式定理的应用，其中解答中合理构造，熟记二项展开式的通项公式，准确化简、运算是解答的关键，着重考察了构造思想，以及运算与求解才能，属于中档题．11.某单位安排7位员工对一周的7个夜晚值班，每位员工值一个夜班且不重复值班，其中员工甲必须安排在星期一或者星期二值班，员工乙不能安排在星期二值班，员工丙必须安排在星期五值班，那么这个单位安排夜晚值班的方案一共有〔〕A. 96种B. 144种C. 200种D. 216种【答案】D【解析】【分析】可分为两类：甲安排在星期一，丙排在星期五和甲安排在星期二，丙排在星期五，再由分类计数原理，即可求解．【详解】由题意，先安排丙和甲，再安排乙，其余的人任意排．假设甲安排在星期一，丙排在星期五，那么乙有4种安排方法，其余的4人任意排，一共有4=96种．假设甲安排在星期二，丙排在星期五，那么其余的5人任意排，一共有=120种．由分类计数原理，可得这个单位安排夜晚值班的方案一共有96+120=216种，应选：D．【点睛】此题主要考察排列、组合以及简单计数原理的应用，表达了分类讨论的数学思想，注意把特殊元素与位置综合分析，分类讨论，属于中档题．12.随机变量ξ的分布列如下，那么E〔ξ〕的最大值是〔〕ξ-1 0 aPA. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据分布列的性质得到b=a,再由均值的概念得到，由二次函数的性质得到结果即可. 【详解】根据分布列的性质的到,所有的概率和为1,且每个概率都介于0和1之间，得到b-a=0,，根据公式得到化简得到，根据二次函数的性质得到函数最大值在轴处取，代入得到.此时,经检验合适题意.故答案为：B.【点睛】这个题目考察了分布列的性质以及应用，分布列的概率和为1，每个概率值介于0和1之间，或者者可以等于0或者1，根底题型.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共12.0分〕13.某人一共有五发子弹，他射击一次命中目的的概率是，击中目的后射击停顿，射击次数X为随机变量，那么EX=_________．【答案】【解析】【分析】由题意，利用HY事件同时发生的概率公式求出每个随机变量对应的概率，可得分布列，根据期望公式可计算期望.【详解】，，，列表X 1 2 3 4 5P所以【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值〞，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率〞，即利用排列组合、枚举法、概率公式〔常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、HY事件的概率公式以及对立事件的概率公式等〕，求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列〞，即按标准形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或者某事件的概率是否正确；④“求期望〞，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．14.在一只布袋中有形状大小一样的32颗棋子，其中有16颗红棋子，16棵绿棋子．某人无放回地依次从中摸出1棵棋子，那么第1次摸出红棋子，第2次摸出绿棋子的概率是_________．【答案】【解析】【分析】根据无放回地依次从中摸出1棵棋子，那么第1次摸出红棋子的概率是，第2次摸出绿棋子的概率是，根据互相HY事件的概率公式，即可得到结果．【详解】由题意，无放回地依次从中摸出1棵棋子，那么第1次摸出红棋子的概率是第2次摸出绿棋子的概率是，根据互相对立事件的概率公式可得，第1次摸出红棋子，第2次摸出绿棋子的概率是. 故答案为：【点睛】此题考察互相HY事件同时发生的概率，其中解答中认真审题，合理计算第一次摸出红棋子和第二次摸出绿棋子的概率，再利用互相HY事件的概率计算公式求解是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题．的展开式中，其常数项为_________．【答案】-495【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，求出展开式的通项，令x的指数为0，得出的取值，即可求出展开式的常数项，得到答案．【详解】由题意，可得展开项的通项为令，那么或者，所以展开式的常数项为．故答案为-495【点睛】此题主要考察了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，合理求解的取值是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题．16.在一个正六边形的六个区域栽种欣赏植物〔如图〕，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有3种不同的植物可供选择，那么有_________种栽种方案．【答案】66【解析】【分析】根据题意，分3种情况讨论：①当A、C、E种同一种植物，②当A、C、E种二种植物，③当A、C、E种三种植物，再由分类计数原理，即可求得，得到答案．【详解】根据题意，分3种情况讨论：①当A、C、E种同一种植物，此时一共有3×2×2×2=24种方法；②当A、C、E种二种植物，此时一共有C32×A32×2×1×1=36种方法；③当A、C、E种三种植物，此时一共有A33×1×1×1=6种方法；那么一一共有24+36+6=66种不同的栽种方案；故答案为：66．【点睛】此题主要考察分类计数原理，及有关排列组合的综合问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件，解题过程中要首先分清“是分类还是分步〞、“是排列还是组合〞，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复穿插讨论又不能遗漏，同时在某些特定问题上，也可充分考虑“正难那么反〞的思维方式．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共72.0分〕的展开式中二项式系数和为256．〔1〕求展开式中常数项；〔2〕求展开式中二项式系数最大的项．【答案】〔1〕；〔2〕【解析】试题分析：〔1〕借助题设条件运用通项公式待定求解；〔2〕借助题设条件运用二项式展开式中的组合数性质求解.试题解析：〔1〕二项式系数和为，〔，〕当时，常数项为〔2〕第5项二项式系数最大二项式系数最大的项为考点：二项式定理等有关知识的综合运用．18.?高考HY试点方案?规定：从2021年秋季高中入学的新生开场，不分文理科；2021年开场，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E一共8个等级．参照正态分布原那么，确定各等级人数所占比例分别为3％、7％、16％、24％、24％、16％、7％、3％．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，按照等比例转换法那么，分别转换到[91，100]、[81，90]、[71，80]、[61，70]、[51，60]、[41，50]、[31，40]、[21，30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级一共2000人，为给高一学生合理选科提供根据，对六个选考科目进展测试，其中物理考试原始成绩根本服从正态分布N〔60，169〕．〔Ⅰ〕求物理原始成绩在区间〔47，86〕的人数；〔Ⅱ〕按高考HY方案，假设从全考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61，80]的人数，求X的分布列和数学期望．〔附：假设随机变量ξ～N〔μ，〕，那么P〔μ-σ＜ξ＜μ+σ〕=0.682，P〔μ-2σ＜ξ＜μ+2σ〕=0.954，P〔μ-3σ＜ξ＜μ+3σ〕=0.997〕【答案】〔Ⅰ〕1636人；〔Ⅱ〕见解析。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第二学期第一次月考高二数学理科试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，仅有一项符合题目要求）1. 已知集合P={x|1≤x≤3}，Q={x|(x-1)2≤4}，则P Q=（）A．[-1，3] B . [1，3] C. [1，2] D. (],3-∞2. 已知，则（）A．f（2）＞f（e）＞f（3） B．f（3）＞f（e）＞f（2）C．f（3）＞f（2）＞f（e） D．f（e）＞f（3）＞f（2）3．下列说法正确的是（）A．“sinα=”是“cos2α=”的必要不充分条件B．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题是“若xy≠0，则x≠0或y≠0”C．已知命题p：∃x∈R，使2x＞3x；命题q：∀x∈（0，+∞），都有＜，则p∧（￢q）是真命题D．从匀速传递的生产流水线上，质检员每隔5分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这是分层抽样4.已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．x ﹣1 0 2 3 4f（x） 1 2 0 2 0当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．55. 如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A． B．C． D．6.函数f（x）=sinx•ln（x2+1）的部分图象可能是（）A． B．C. D．7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．18B．16C． D．18．如果函数f （x ）为奇函数，当x<0时，f （x ）= ln(-x)+3x,则曲线在点(1,-3)处的切线方程为 ( ).32(1) .32(1) .34(1) .34(1)A y x B y x C y x D y x +=--+=-+=--=+9. 已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=1和两点A （﹣m ，0），B （m ，0）（m ＞0），若圆C 上存在点P ，使得∠APB=90°，则m 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．410.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD ，△PAB 和△PAD 都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为（ ） A ．45° B ．75° C ．60° D ．90° 11．已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x ﹣4y=0交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．（0，] B ．（0，] C ．[，1） D ．[，1）12. 设函数f （x ）在（m ，n ）上的导函数为g （x ），x ∈（m ，n ），若g （x ）的导函数小于零恒成立，则称函数f （x ）在（m ，n ）上为“凸函数”．已知当a ≤2时，3211()62f x x ax x =-+，在x ∈（﹣1，2）上为“凸函数”，则函数f （x ）在（﹣1，2）上结论正确的是（ ） A ．有极大值，没有极小值 B ．没有极大值，有极小值C ．既有极大值，也有极小值D ．既无极大值，也没有极小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）. 13.设向量(,1)a m =,(1,2)b =,且222a b a b +=+,则m=________. 14.函数2cos 2y x =的图象可由sin 2cos 2y x x =+的图象至少向左平移_______个单位长度得到.15.若函数2()f x x x a =-（）在 2x =处取得极小值，则a =________． 16. 设函数()f x 的导函数是'()f x ,且'1()2() () ,2f x f x x R f e ⎛⎫>∈=⎪⎝⎭（e 是自然对数的底数），则不等式2()f lnx x <的解集为___________.三．解答题（本大题共6小题，共70分；说明：17-21共5小题，每题12分，第22题10分）. 17. 已知数列{a n }（n ∈N *）的前n 项的S n =n 2． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求使成立的最小正整数n 的值．18.设函数f （x ）=lnx ﹣x+1. （Ⅰ）分析f （x ）的单调性； （Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x.19.如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E 、F 分别为AC 、DC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ⊥BC ；（Ⅱ）求二面角E ﹣BF ﹣C 的正弦值．20.已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，F 是椭圆的焦点，点A （0，﹣2），直线AF 的斜率为，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．21.已知函数2()1xe f x x mx =-+.（Ⅰ）若()2,2m ∈-，求函数()y f x =的单调区间;（Ⅱ）若10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则当[]0,1x m ∈+时，函数()y f x =的图象是否总在直线y x =上方？请写出判断过程.22.（选修4-4坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．高二第一次月考理科数学参考答案一、BDCCC DBBBD BA 二、13. -2 ； 14 . 8π； 15. 2 ； 16. ()0,e .三、 17.解：（Ⅰ）∵S n =n 2，当n ≥2时，S n ﹣1=（n ﹣1）2∴相减得a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣1又a 1=S 1=1符合上式∴数列{a n }，的通项公式a n =2n ﹣1 （II ）由（I ）知∴T n =b 1+b 2+b 3++b n ==又∵∴∴成立的最小正整数n 的值为518.解：（Ⅰ）由f （x ）=lnx ﹣x+1，有'1()(0)xf x x x-=>，则()f x 在（0，1）上递增，在（1，+∞）递减； （Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x ，即为lnx ＜x ﹣1＜xlnx ．结合（Ⅰ）知，当1x >时'()0f x <恒成立，即()f x 在（1，+∞）递减，可得f （x ）＜f （1）=0，即有lnx ＜x ﹣1；设F （x ）=xlnx ﹣x+1，x ＞1，F′（x ）=1+lnx ﹣1=lnx ，当x ＞1时，F′（x ）＞0，可得F （x ）递增，即有F （x ）＞F （1）=0， 即有xlnx ＞x ﹣1，则原不等式成立； 19.解：（Ⅰ）证明：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B （0，0，0），A （0，﹣1，），D （，﹣1，0），C （0，2，0），因而E （0，，），F （，，0），所以=（，0，﹣），=（0，2，0），因此•=0，所以EF ⊥BC ．（Ⅱ）在图中，设平面BFC 的一个法向量=（0，0，1），平面BEF 的法向量=（x ，y ，z ），又=（，，0），=（0，，），由得其中一个=（1，﹣，1），设二面角E ﹣BF ﹣C 的大小为θ，由题意知θ为锐角，则 cosθ=|cos ＜，＞|=||=，因此sinθ==，即所求二面角正弦值为．20.解：（Ⅰ） 设F （c ，0），由条件知，得又，所以a=2，b 2=a 2﹣c 2=1，故E 的方程．…．（6分）（Ⅱ）依题意当l ⊥x 轴不合题意，故设直线l ：y=kx ﹣2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2） 将y=kx ﹣2代入，得（1+4k 2）x 2﹣16kx+12=0， 当△=16（4k 2﹣3）＞0，即时，从而又点O 到直线PQ 的距离，所以△OPQ 的面积=，设，则t ＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y=x ﹣2或y=﹣x ﹣2．…（12分）21. 解：（Ⅰ）易知()2,2m ∈-时，函数的定义域为R ，()()()2'2222(1)2(1)(1)()11x xx e x mx x m e e x x m f x xmx xmx -+-----==-+-+，①若11,m +=即0m =，则'()0f x ≥，此时()f x 在R 上递增；②11,m +>即02m <<，则当(),1x ∈-∞和()1,x m ∈++∞时，'()0f x >，()f x 递增；当()1,1x m ∈+时，'()0f x <，()f x 递减；综上，当0m =时，()f x 的递增区间为(),-∞+∞；当02m <<时，()f x 的递增区间为(),1-∞和()1,m ++∞，()f x 的减区间为()1,1m +（Ⅱ）当10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（Ⅰ）知()f x 在()0,1上单调递增，在()1,1m +上单调递减.令()g x x =，①当[]0,1x ∈时min max ()(0)1,()1,f x f g x ===这时函数()f x 的图象总在直线()g x 上方. ②当[]1,1x m ∈+时,函数()f x 单调递减，所以1min()(1)2m e f x f m m +=+=+，()g x 的最大值为1m +.下面(1)f m +判断与1m +的大小，即判断xe 与(1)x x +的大小，其中311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦解法一：令()(1)xm x e x x =-+，则'()21xm x e x =--，令'()()h x m x =，则'()2xh x e =-.因为311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦所以'()20x h x e =->，所以'()m x 单调递增.又因为'(1)30m e =-<，3'23()402m e =->，所以存在031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得0'00()210.x m x e x =---所以()m x 在()01,x 上单调递减，在03,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以022200000000()()21 1.x m x m x e x x x x x x x ≥=--=+--=-++因为当031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，2000()10,m x x x =-++>所以(1)x e x x >+，即(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方.解法二：判断xe 与(1)x x +的大小可以转化为比较x 与[]ln (1)x x +的大小.令[]()ln (1)x x x x ϕ=-+，则2'21()x x x x x ϕ--=+，令2()1,u x x x =--当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，易知()u x 递增，所以31()()024u x u ≤=-<，所以当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减，所以3315()()ln0224x ϕϕ≥=->.所以[]ln (1)x x x >+，所以(1)xe x x >+，所以(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方. 22.解：（1）曲线C 1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y 2=cos 2α+sin 2α=1，即有椭圆C 1：+y 2=1； 曲线C 2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y ﹣4=0，即有C 2的直角坐标方程为直线x+y ﹣4=0； （2）由题意可得当直线x+y ﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．。

2021年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）含解析一、选择题1．“x≠1”是“x2﹣3x+2≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若p∧q是假命题，则（）A．p是真命题，q是假命题B．p、q均为假命题C．p、q至少有一个是假命题D．p、q至少有一个是真命题3．已知F1，F2是距离为6的两个定点，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆4．双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．5．中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个焦点到最近顶点的距离是，则双曲线的方程是（）A．B．C．D．6．已知正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，顶点C，D在椭圆上，则此椭圆的离心率为（）A． B． C． D．7．椭圆与双曲线﹣=1有相同的焦点，则a的值为（）A．1 B． C．2 D．38．已知A（﹣1，﹣2，6），B（1，2，﹣6）O为坐标原点，则向量与的夹角是（）A．0 B． C．πD．9．与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（）A．（，1，1）B．（﹣1，﹣3，2）C．（﹣，，﹣1）D．（，﹣3，﹣2）10．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为（）A．60°B．90°C．45°D．以上都不正确二、填空题11．已知向量=（1，2，﹣3）与=（2，x，y）平行，则（x+y）的值是．12．如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成角的余弦值是．13．已知椭圆x2+ky2=3k（k＞0）的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是．14．已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为．15．已知命题P：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根．命题Q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“P或Q”为真，“P且Q”为假，则实数m的取值范围是．三、解答题16．在三棱锥P﹣ABC中，PB2=PC2+BC2，PA⊥平面ABC．（1）求证：AC⊥BC；（2）如果AB=4，AC=3，当PA取何值时，使得异面直线PB与AC所成的角为60°．17．求渐近线方程为，且过点的双曲线的标准方程及离心率．18．设命题p：不等式|2x﹣1|＜x+a的解集是；命题q：不等式4x≥4ax2+1的解集是∅，若“p或q”为真命题，试求实数a的值取值范围．19．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（﹣3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．20．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程．xx学年山东省淄博市淄川一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．“x≠1”是“x2﹣3x+2≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由x2﹣3x+2≠0，推出x≠1且x≠2，因此前者是后者的必要不充分条件．【解答】解：由x2﹣3x+2≠0，得x≠1且x≠2，能够推出x≠1，而由x≠1，不能推出x≠1且x≠2；因此前者是后者的必要不充分条件．故答案为：B．2．若p∧q是假命题，则（）A．p是真命题，q是假命题B．p、q均为假命题C．p、q至少有一个是假命题D．p、q至少有一个是真命题【考点】复合命题的真假．【分析】根据p∧q是假命题，则可知p，q至少有一个为假命题，即可判断．【解答】解：根据复合命题与简单命题真假之间的关系可知，若p∧q是假命题，则可知p，q至少有一个为假命题．故选C．3．已知F1，F2是距离为6的两个定点，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹是（）A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆【考点】轨迹方程．【分析】可以画出线段F1F2，根据图形即可找到满足条件的点M的分布情况，从而得出M 点的轨迹．【解答】解：M一定在线段F1F2上，如果点M不在该线段上，如图所示：①若M不在直线F1F2上时，根据两边之和大于第三边知：|MF1|+|MF2|＞|F1F2|=6；即这种情况不符合条件；②M在F1F2的延长线或其反向延长线上时，显然也不符合条件；∴只有M在线段F1F2上符合条件；∴M点的轨迹是线段．故选：C．4．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由解析式求出a=4，b=3；再代入焦点在x轴上的渐近线方程的公式即可找到答案．【解答】解：由题得，a=4，b=3，且焦点在x轴上；所以渐近线方程为y=x=．故选C．5．中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个焦点到最近顶点的距离是，则双曲线的方程是（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意知，双曲线的焦点在y轴，c=，a=1，从而可得其标准方程．【解答】解：∵中心在原点的双曲线，一个焦点为F（0，），∴其焦点在y轴，且半焦距c=；又F到最近顶点的距离是﹣1，∴a=1，∴b2=c2﹣a2=3﹣1=2．∴该双曲线的标准方程是y2﹣=1．故选A．6．已知正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，顶点C，D在椭圆上，则此椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆方程为（a＞b＞0），可得正方形边长AB=2c，再根据正方形的性质，可计算出2a=AC+BC=2c+2c，最后可得椭圆的离心率e==．【解答】解：设椭圆方程为，（a＞b＞0）∵正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，∴焦距2c=AB，其中c=＞0∵BC⊥AB，且BC=AB=2c∴AC==2c根据椭圆的定义，可得2a=AC+BC=2c+2c∴椭圆的离心率e====故选A7．椭圆与双曲线﹣=1有相同的焦点，则a的值为（）A．1 B． C．2 D．3【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】确定a＞0，且椭圆的焦点应该在x轴上，4﹣a2=a+2，即可求出a的值．【解答】解：因为椭圆与双曲线﹣=1有相同的焦点，所以a＞0，且椭圆的焦点应该在x轴上，所以4﹣a2=a+2，所以a=﹣2，或a=1．因为a＞0，所以a=1．故选：A．8．已知A（﹣1，﹣2，6），B（1，2，﹣6）O为坐标原点，则向量与的夹角是（）A．0 B． C．πD．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】由cos＜＞==﹣1，能求出向量与的夹角为π．【解答】解：∵A（﹣1，﹣2，6），B（1，2，﹣6）O为坐标原点，∴向量=（﹣1，﹣2，6），=（1，2，﹣6），∴cos＜＞==﹣1，∴向量与的夹角为π．故选：C．9．与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（）A．（，1，1）B．（﹣1，﹣3，2）C．（﹣，，﹣1）D．（，﹣3，﹣2）【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】利用向量共线定理即可判断出．【解答】解：对于C中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣，因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是．故选：C．10．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为（）A．60°B．90°C．45°D．以上都不正确【考点】直线与平面垂直的判定．【分析】根据本题的条件，E是BB1的中点且AA1=2，AB=BC=1，容易证明∠AEA1=90°，再由长方体的性质容易证明AD⊥平面ABB1A1，从而证明AE⊥平面A1ED1，是一个特殊的线面角．【解答】解：∵E是BB1的中点且AA1=2，AB=BC=1，∴∠AEA1=90°，又在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，∴A1D1⊥AE，∴AE⊥平面A1ED1，故选B二、填空题11．已知向量=（1，2，﹣3）与=（2，x，y）平行，则（x+y）的值是﹣2．【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】由向量=（1，2，﹣3）与=（2，x，y）平行，知，由此能求出x+y．【解答】解：∵向量=（1，2，﹣3）与=（2，x，y）平行，∴，解得x=4，y=﹣6，∴x+y=4﹣6=﹣2．故答案为：﹣2．12．如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成角的余弦值是．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；异面直线及其所成的角．【分析】根据题图中的坐标系得到向量，，，的坐标，利用向量的坐标运算解答．【解答】解：由已知题图中坐标系得到D（0，0，0），B（1，1，0），E1（1，，1），F1（0，，1），=（0，﹣，1），=（0，，1），所以cos＜，＞===，所以BE1与DF1所成的角的余弦值为．故答案为：．13．已知椭圆x2+ky2=3k（k＞0）的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是．【考点】圆锥曲线的共同特征；椭圆的简单性质．【分析】先将椭圆方程转化为标准方程，由“一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合”得到焦点的x轴上，从而确定a2，b2，再由“c2=a2﹣b2”建立k的方程求解，最后求得该椭圆的离心率．【解答】解：抛物线y2=12x的焦点（3，0）方程可化为．∵焦点（3，0）在x轴上，∴a2=3k，b2=3，又∵c2=a2﹣b2=9，∴a2=12，解得：k=4．=故答案为：．14．已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】根据题意，方程表示椭圆，则x2，y2项的系数均为正数且不相等列出不等关系，解可得答案．【解答】解：∵方程表示椭圆，则⇒解得k∈故答案为：．15．已知命题P：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根．命题Q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“P或Q”为真，“P且Q”为假，则实数m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．【考点】复合命题的真假．【分析】利用一元二次方程的实数根与判别式的关系、不等式的解法可得命题P与Q的m 的取值范围，再由“P或Q”为真，“P且Q”为假，可得P与Q必然一个为真一个为假．即可得出．【解答】解：命题P：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根．∴，解得m＞2．命题Q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得：1＜m＜3．若“P或Q”为真，“P且Q”为假，∴P与Q必然一个为真一个为假．∴或，解得1＜m≤2，或m≥3．则实数m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．故答案为：（1，2]∪[3，+∞）．三、解答题16．在三棱锥P﹣ABC中，PB2=PC2+BC2，PA⊥平面ABC．（1）求证：AC⊥BC；（2）如果AB=4，AC=3，当PA取何值时，使得异面直线PB与AC所成的角为60°．【考点】异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由已知得PC⊥BC，PA⊥BC，由此能证明AC⊥BC．（2）推导出PA⊥AC，设PA=x，由向量运算法则能求出当PA=时，异面直线PB与AC所成的角为600．【解答】（本题12分）证明：（1）∵PB2=PC2+BC2，∴PC⊥BC，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴，∴AC⊥BC；…解：（2）∵PA⊥平面ABC，PA⊥AC，，设PA=x，又异面直线PB与AC所成的角为600，则．而∴=，=．∴，．当PA=时，异面直线PB与AC所成的角为600．…17．求渐近线方程为，且过点的双曲线的标准方程及离心率．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，设双曲线方程为，将点A坐标代入算出，从而得到双曲线方程．再将双曲线方程化成标准形式，即可算出a、b、c的值，从而得到该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为，∴设所求双曲线方程为∵点在双曲线上，∴，解之得∴所求双曲线方程为∵，∴可得，得c=因此，双曲线的离心率为：18．设命题p：不等式|2x﹣1|＜x+a的解集是；命题q：不等式4x≥4ax2+1的解集是∅，若“p或q”为真命题，试求实数a的值取值范围．【考点】其他不等式的解法；命题的真假判断与应用．【分析】若“p或q”为真命题即为p真或q真，只要分别求出p真、q真时a的范围，再求并集即可．【解答】解：由|2x﹣1|＜x+a得，由题意得．∴命题p：a=2．由4x≥4ax2+1的解集是∅，得4ax2﹣4x+1≤0无解，即对∀x∈R，4ax2﹣4x+1＞0恒成立，∴，得a＞1．∴命题q：a＞1．由“p或q”为真命题，得p、q中至少有一个真命题．∴实数a的值取值范围是（1，+∞）．19．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（﹣3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．【考点】抛物线的标准方程．【分析】先设抛物线的标准方程，把点M代入抛物线方程求得m和p的关系，根据M到焦点的距离求得m和p的另一个关系式，联立方程求得m和p．【解答】解：设抛物线方程为y2=﹣2px（p＞0）点F（﹣，0）由题意可得，解之得或，故所求的抛物线方程为y2=﹣8x，m的值为±220．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角．【分析】首先根据题意以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；（Ⅰ）根据坐标系，求出、、的坐标，由向量积的运算易得•=0，•=0；进而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得证明；（Ⅱ）依题意结合坐标系，可得B、、的坐标，进而求出平面的PBC的法向量与平面PBQ 法向量，进而求出cos＜，＞，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案．【解答】解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；（Ⅰ）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；则=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，﹣1，0），所以•=0，•=0；即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，故PQ⊥平面DCQ，又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；（Ⅱ）依题意，有B（1，0，1），=（1，0，0），=（﹣1，2，﹣1）；设=（x，y，z）是平面的PBC法向量，则即，因此可取=（0，﹣1，﹣2）；设是平面PBQ的法向量，则，可取=（1，1，1），所以cos＜，＞=﹣，故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值为﹣．21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义可得a，由焦距的概念可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线l：y=kx﹣2代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由中点坐标公式和两直线垂直的条件，可得k的方程，解方程可得直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2a=6，2c=2，解得a=3，c=，所以b2=a2﹣c2=3，所以椭圆C的方程为+=1．（Ⅱ）由得（1+3k2）x2﹣12kx+3=0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以△=144k2﹣12（1+3k2）＞0解得．设A（x1，y1），B（x2，y2）则，，，所以，A，B中点坐标E（，），因为|PA|=|PB|，所以PE⊥AB，即k PE•k AB=﹣1，所以•k=﹣1解得k=±1，经检验，符合题意，所以直线l的方程为x﹣y﹣2=0或x+y+2=0．xx年10月18日f22103 5657 噗22380 576C 坬27823 6CAF 沯36307 8DD3 跓40156 9CDC 鳜32650 7F8A 羊- 39709 9B1D 鬝37477 9265 鉥|T37923 9423 鐣。

2021年高二下学期第一次月考数学理科试题 含答案学号 班级姓名 成绩一、 选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，满分40分。

在每小题的四个选项中，只有一项符合要求）1．若复数2-b i （）的实部与虚部互为相反数，则b 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．D ． 2．曲线在点（0，1）处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．3、下列结论中正确的是 （ ） A. 导数为零的点一定是极值点B. 如果在附近的左侧右侧那么是极大值C. 如果在附近的左侧右侧那么是极小值D. 如果在附近的左侧右侧那么是极大值 4、下列表述正确的是（ ）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A ．①②③ B ．②③④ C ．②④⑤ D ．①③⑤. 5、（ ）A. B.- C. D. 6、设函数在定义域内可导，的图象如图1所示，则导函数可能为 （ ）7、若函数的图像上一点及邻近一点， 则（ ）A ．3B ．C ．D ． 8、设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x < 0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且，则不等式f (x )g (x )<0的解集是（ ）A . (－3，0)∪(3，+∞) B. (－3，0)∪(0，3) C . (－∞，－3)∪(3，+∞) D. (－∞，－3)∪(0，3) 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分） 9、计算 .10、若关于的函数的导数为,则的值为__________ 11. 观察下列等式：1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第五个等式应为 .12、,124,a b R a ai bi b ∈-+=+=已知，且则 13、 若有极值，则的取值范围是__ 14、设，已知，，则猜想的值为 .三、解答题：（本大题共6个小题，满分80分） 15、（12分）求函数的单调区间和极值．16、（12分）已知复数z=（m 2+3m+2）+（m 2-m-6）i ，则当实数m 为何值时，复数z是：（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数； （4）对应的点在第三象限．17．（本小题满分14分）已知函数的图象与x轴相切于点（1，0）.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在上的最值.18、（本小题满分14分）设数列的前n项和为，且（）.（1）求，，，的值；（2）猜想的表达式，并加以证明.19、（14分）某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元。

2021年高二下学期第一次（3月）月考数学理试题 含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

把答案填写在答题卡上）1．方程表示双曲线，则k 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜k ＜1B ．k ＞0C ．k≥0D ．k ＞1或k ＜﹣1 2．设函数在处可导，则 ( )A ．仅与x 0有关而与h 无关B ．仅与h 有关而与x 0无关C ．与x 0，h 都有关D ．与x 0、h 均无关 3.已知双曲线的离心率为，则C 的渐近线方程为（ ） A ． B ．C ．D ．4．用反证法证明命题 “自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”时，需假设原命题不成立，下列假设正确的是（ ）A ．a 、b 、c 都是奇数B ．a 、b 、c 都是偶数C ．a 、b 、c 中或都是奇数或至少有两个偶数D ．a 、b 、c 中至少有两个偶数5．用数学归纳法证明)()"12(212)()2)(1("*N n n n n n n n ∈-⋅⋅=+++ 时，从“到”时，左边应添乘的式子是（ ） A ． B ． C ． D ． 6.已知， ，由此推算：当n≥2时，有( ) A ． B ． C ． D ．7.已知两个不重合的平面α，β和两条不同直线m ，n ，则下列说法正确的是( ) A ．若m⊥n，n⊥α，m ⊂β，则α⊥β B ．若α∥β，n⊥α，m⊥β，则m∥nC．若m⊥n，n⊂α，m⊂β，则α⊥β D．若α∥β，n⊂α，m∥β，则m∥n8．一只蚂蚁从正方体的顶点处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A．①② B．①③ C．③④ D．②④9．已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，且有，那么的取值范围是（）A. B. C. D.10．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（）A. B. C. D.11．已知双曲线两个焦点为分别为，过点的直线与该双曲线的右支交于两点，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，则为( )A．B．C．D．12.已知的导函数是,记，，则下列结论正确的是（）A． B。

2021年高二下学期第一次月考试题数学（理）含答案一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上。

）1.若，则复数z的虚部为（）A. B. C.1 D.-12.观察下列顺序排列的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31,......，猜想第n个等式（n为正整数）应为（）A．9（n+1）+n=10n+9 B．9（n﹣1）+n=10n﹣9C．9n+（n﹣1）=10n﹣1 D．9（n﹣1）+（n﹣1）=10n﹣103.已知命题，则是（）A. B.C. D.4.“”为“曲线经过点的”（）充分而不必要条件必要而不充分条件充要条件既不充分也不必要条件5.在的展开式中，的系数为（）A.2B. 4C.6D.86. .将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为()A．18 B．24 C．30 D．367.如图，函数y=﹣x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是（）A.1B.C.D. 28.已知直线是的切线，则的值为（）A. B. C. D.9.已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，若其渐进线与圆相切，则此双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.10.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.11.已知椭圆的右焦点为F，离心率，过原点的直线交椭圆E于A，B两点，若，则椭圆E的方程是（）A. B.C. D.12.若定义在R上的函数满足，其导函数满足，则与大小关系一定是（）A. B.C. D.二、填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分。

把正确答案填在答题卡的相应位置。

）13. 1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C1010除以88的余数是________．14.已知抛物线的准线方程为，则实数_________.15. 5个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有________种．16.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是_________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分。

第二中学2021-2021学年高二下学期第一次月考制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

数学〔理〕试题一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕1.假设曲线y=x2+ax+b在点〔0，b〕处的切线方程x-y+1=0，那么〔〕A. ，B. ，C. ，D. ，2.复数〔i为虚数单位〕在复平面内对应的点所在象限为〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论〞推理出一个结论，那么这个结论是〔〕A. 正方形的对角线相等B. 平行四边形的对角线相等C. 正方形是平行四边形D. 以上均不正确4.观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，问第100项为〔〕A. 10B. 14C. 13D. 1005.如图，阴影局部的面积为〔〕6.A.B.C.D.7.用反证法证明命题“假设a2+b2=0〔a，b∈R〕，那么a，b全为0〞，其反设正确的选项是〔〕A. a，b至少有一个为0B. a，b至少有一个不为0C. a，b全部为0D. a，b中只有一个为08.f〔n〕=+++…+．那么〔〕A. 中一共有n项，当时，B. 中一共有项，当时，C. 中一共有项，当时，D. 中一共有项，当时，9.函数f〔x〕在其定义域内可导，其图象如下图，那么导函数y=f′〔x〕的图象可能为〔〕A.B.C.D.10.在平面几何里有射影定理：设三角形ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，那么AB2=BD•BC．拓展到空间，在四面体A-BCD中，AD⊥面ABC，点O是A在面BCD内的射影，且O在△BCD内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是〔〕A. B.C. D.11.函数f〔x〕=x3+mx2+x的两个极值点分别为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，点P〔m，n〕表示的平面区域内存在点〔x0，y0〕满足y0=log a〔x0+4〕，那么实数a的取值范围是〔〕A. B.C. D. ，12.定义复数的一种运算z1*z2=〔等式右边为普通运算〕，假设复数z=a+bi，且正实数a，b满足a+b=3，那么z*最小值为〔〕A. B. C. D.13.a为常数，函数f〔x〕=x〔ln x-ax〕有两个极值点x1，x2〔x1＜x2〕〔〕A. B.C. D.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕14.假设复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，那么z的实部为______．15.a＞0，b＞0，m=lg，n=lg，那么m与n的大小关系为______．16.设f〔x〕=，假设f〔f〔1〕〕=1，那么a=______．17.函数f〔x〕=．假设f〔x〕所有零点之和为1，那么实数a的取值范围是______．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共分〕18.设函数f〔x〕=，求函数f〔x〕的单调区间．19.20.21.22.23.24.26.直线l过点〔0，5〕，且在两坐标轴上的截距之和为2．27.〔1〕求直线l的方程；28.〔2〕假设直线l1过点〔，-1〕且与直线l垂直，直线l2与直线l1关于x轴对称，求直线l2的方程．29.30.31.32.33.34.35.36.函数f〔x〕=其中a，b∈R，且曲线y=f〔x〕在点〔0，f〔0〕〕处的切线斜率为3．37.〔Ⅰ〕求b的值；38.〔Ⅱ〕假设函数f〔x〕在x=1处获得极大值，求a的值．39.40.41.43.44.45.46.⊙O与⊙C：x2+y2-6y+8=0相切于点M〔0，2〕，且经过点N〔2，0〕．47.〔1〕求⊙O的方程；48.〔2〕假设直线L：y=kx-〔k+1〕截⊙O两点弧长之比为3：1，务实数k的值．49.50.51.52.53.54.55.56.椭圆G：=1〔a＞b＞0〕的离心率为，右焦点为〔2，0〕，斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P〔-3，2〕．57.〔Ⅰ〕求椭圆G的方程；58.〔Ⅱ〕求△PAB的面积．59.60.61.63.64.65.66.设a＞1，函数f〔x〕=〔1+x2〕e x-a．67.〔1〕求f〔x〕的单调区间；68.〔2〕证明f〔x〕在〔-∞，+∞〕上仅有一个零点；69.〔3〕假设曲线y=f〔x〕在点P处的切线与x轴平行，且在点M〔m，n〕处的切线与直线OP平行，〔O是坐标原点〕，证明：m≤-1．70.71.72.73.74.75.答案和解析1.【答案】A【解析】解：y=x2+ax+b的导数为y′=2x+a，可得在点〔0，b〕处的切线斜率为a，由点〔0，b〕处的切线方程为x-y+1=0，可得a=1，b=1，应选：A．求出函数的导数，运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得切线的斜率，由切线方程可得a=1，b=1．此题考察导数的运用：求切线的斜率，考察导数的几何意义，以及直线方程的运用，属于根底题．2.【答案】D【解析】解：∵==-i∴复数在复平面对应的点的坐标是〔，-〕∴它对应的点在第四象限，应选：D．先将复数z进展复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的一共轭复数，整理后得到代数形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限．判断复数对应的点所在的位置，只要看出实部和虚部与零的关系即可，把所给的式子展开变为复数的代数形式，得到实部和虚部的取值范围，得到结果．3.【答案】A【解析】解：由演绎推理三段论可得“三段论〞推理出一个结论，那么这个结论是：〞正方形的对角线相等“，应选：A．三段论是由两个含有一个一共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理．在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“平行四边形的对角线相等〞；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“正方形是平行四边形〞．另外一个是结论．三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理．它包含两个性质判断构成的前提，和一个性质判断构成的结论．一个正确的三段论有仅有三个词项，其中联络大小前提的词项叫中项；出如今大前提中，又在结论中做谓项的词项叫大项；出如今小前提中，又在结论中做主项的词项叫小项．4.【答案】B【解析】解：设n∈N*，那么数字n一共有n个所以由≤100，即n〔n+1〕≤200，又因为n∈N*，所以n=13，到第13个13时一共有=91项，从第92项开场为14，故第100项为14．应选：B．根据数列项的值，寻找规律即可得到结论．此题主要考察数列的简单表示，根据条件寻找规律是解决此题的关键．5.【答案】C【解析】解：由题意阴影局部的面积等于〔3-x2-2x〕dx=〔3x-x3-x2〕=〔3--1〕-〔-9+9-9〕=，应选：C．确定积分区间与被积函数，求出原函数，即可求得定积分．此题考察定积分求面积，考察导数知识的运用，考察学生的计算才能，属于根底题．6.【答案】B【解析】解：由于“a、b全为0〔a、b∈R〕〞的否认为：“a、b至少有一个不为0〞，应选：B．把要证的结论否认之后，即得所求的反设．此题考察用反证法证明数学命题，得到“a、b全为0〔a、b∈R〕〞的否认为：“a、b至少有一个不为0〞，是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：f〔n〕=+++…+．表达式中一共有n2-n+1项，当n=2时，f〔2〕=++．应选：D．利用条件，通过表达式写出结果即可．此题考察归纳推理的简单应用，是根底题．8.【答案】C【解析】解：由函数f〔x〕的图象可知，函数在自变量逐渐增大的过程中，函数先递增，然后递减，再递增，当x＞0时，函数单调递增，所以导数f'〔x〕的符号是正，负，正，正．对应的图象为C．应选：C．根据函数的单调性确定f'〔x〕的符号即可．此题主要考察函数的单调性与导，数符号之间的关系，由f〔x〕的图象看函数的单调性，由f'〔x〕的图象看f'〔x〕的符号．9.【答案】A【解析】解：由在平面几何中，假设△ABC中，AB⊥AC，AE⊥BC，E是垂足，那么AB2=BD•BC，我们可以类比这一性质，推理出：假设三棱锥A-BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，那么〔S△ABC〕2=S△BOC．S△BDC．应选：A．这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由在平面几何中，〔如下图〕假设△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D 是垂足，那么AB2=BD•BC，我们可以类比这一性质，推理出假设三棱锥A-BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，那么〔S△ABC〕2=S△BOC．S△BDC类比推理的一般步骤是：〔1〕找出两类事物之间的相似性或者一致性；〔2〕用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题〔猜测〕．10.【答案】B【解析】解：∵函数f〔x〕=x3+mx2+x的两个极值点分别为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，∴f′〔x〕=x2+mx+=0的两根x1，x2满足0＜x1＜1＜x2，那么x1+x2=-m，x1x2=＞0，〔x1-1〕〔x2-1〕=x1x2-〔x1+x2〕+1=+m+1＜0，即n+3m+2＜0，∴-m＜n＜-3m-2，为平面区域D，∵直线m+n=0，2+3m+n=0的交点坐标为〔-1，1〕∴要使函数y=log a〔x+4〕的图象上存在区域D上的点，那么必须满足1＜log a〔-1+4〕∴log a3＞1，解得1＜a＜3或者0＜a＜1，应选：B．根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，可得方程x2+mx+=0的两根，一根属于〔0，1〕，另一根属于〔1，+∞〕，从而可确定平面区域为D，进而利用函数y=log a〔x+4〕的图象上存在区域D上的点，可务实数a的取值范围．此题考察了利用导数研究函数的单调性极值、一元二次方程的根与系数的关系、线性规划、对数函数的单调性，考察了推理才能和计算才能，属于难题．11.【答案】B【解析】解：z*=，∴，z*=．应选：B．先由新定义用a和b表示出z*，再利用根本不等式求最值即可．此题考察复数的模、利用根本不等式求最值等知识，难度不大．12.【答案】D【解析】解：∵f′〔x〕=lnx+1-2ax，〔x＞0〕令f′〔x〕=0，由题意可得lnx=2ax-1有两个解x1，x2⇔函数g〔x〕=lnx+1-2ax有且只有两个零点⇔g′〔x〕在〔0，+∞〕上的唯一的极值不等于0．．①当a≤0时，g′〔x〕＞0，f′〔x〕单调递增，因此g〔x〕=f′〔x〕至多有一个零点，不符合题意，应舍去．②当a＞0时，令g′〔x〕=0，解得x=，∵x，g′〔x〕＞0，函数g〔x〕单调递增；时，g′〔x〕＜0，函数g〔x〕单调递减．∴x=是函数g〔x〕的极大值点，那么＞0，即＞0，∴ln〔2a〕＜0，∴0＜2a＜1，即．故当0＜a＜时，g〔x〕=0有两个根x1，x2，且x1＜＜x2，又g〔1〕=1-2a＞0，∴x1＜1＜＜x2，从而可知函数f〔x〕在区间〔0，x1〕上递减，在区间〔x1，x2〕上递增，在区间〔x2，+∞〕上递减．∴f〔x1〕＜f〔1〕=-a＜0，f〔x2〕＞f〔1〕=-a＞-．应选：D．先求出f′〔x〕，令f′〔x〕=0，由题意可得lnx=2ax-1有两个解x1，x2⇔函数g〔x〕=lnx+1-2ax有且只有两个零点⇔g′〔x〕在〔0，+∞〕上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．此题考察了利用导数研究函数极值的方法，考察了分类讨论的思想方法，考察了推理才能与计算才能，属于难题．13.【答案】2【解析】解：由i•z=1+2i，得z=，∴z的实部为2．故答案为：2．把等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．此题考察复数代数形式的乘除运算，考察复数的根本概念，是根底题．14.【答案】m＞n【解析】解：∵，∴＞∴＞又y=lgx是增函数，故lg＞lg，即m＞n故答案为m＞n先比拟真数与大小，再利用对数的单调性比拟m，n的大小此题考察不等式比拟大小，解题的关键是先用平方法比拟两具真数的大小，以及掌握对数的单调性，灵敏选择对数的大小比拟角度，可以降低解题难度．15.【答案】1【解析】解：∵f〔x〕=∴f〔1〕=0，那么f〔f〔1〕〕=f〔0〕=1即∫0a3t2dt=1=t3|0a=a3解得：a=1故答案为：1．先根据分段函数求出f〔1〕的值，然后将0代入x≤0的解析式，最后根据定积分的定义建立等式关系，解之即可．此题主要考察了分段函数的应用，以及定积分的求解，同时考察了计算才能，属于根底题．16.【答案】〔2e，e2+1〕【解析】解：当x＜0时，由ln〔-x〕=0，得到函数的一个零点是x=-1，当x≥0时，f〔x〕=e x+e2-x-a，f〔2-x〕=e2-x+e x-a，故f〔x〕=f〔2-x〕，即此时函数f〔x〕的图象关于直线x=1对称〔此时函数图象局部对称，假设去掉x≥0的限制，函数图象完全对称〕，此时函数假设有零点，那么必然满足x1+x2=2，故所有零点之和为1，满足题意；又f'〔x〕=e x-e2-x，当x∈〔0，1〕时，f'〔x〕＜0，即f〔x〕单调递减，当x∈〔1，+∞〕时，f'〔x〕＞0，即f〔x〕单调递增，故函数；但要使得函数f〔x〕有零点必须满足条件f〔x〕min＜0且f〔0〕＞0，〔这是为了保证函数有两个零点，且在〔0，1〕段上的零点必须存在〕即2e-a＜0且e0+e2-a＞0，即a＞2e且a＜e2+1，从而解得a的范围是：2e＜a＜e2+1．容易求出其中一个零点x=-1，然后研究x≥0时的函数f〔x〕的对称性，由图象的对称性和单调性得出函数在x≥0上的两个对称的零点的条件，从而得到a的取值范围．①此题目考察函数的零点，考察的很灵敏，借助图象类似开口向上的抛物线的函数的对称性考察零点的存在性，很有创意，而且我们一般很难想到研究函数的对称性．大多可能会朝对勾形函数做转化，结果思路变得模糊而不可解．②对抽象函数而言，当我们看到条件f〔x〕=f〔2-x〕，肯定能想到函数有对称轴x=1，但碰到详细的函数我们取往往想不到用f〔x〕=f〔2-x〕来判断函数的对称性．17.【答案】解：易知f〔x〕的定义域为〔-∞，0〕∪〔0，+∞〕，那么．当f′〔x〕＞0，即x＞1时，函数f〔x〕单调递增；当f′〔x〕＜0，即x＜0或者0＜x＜1时，函数f〔x〕单调递减．故函数函数f〔x〕的单调增区间为〔1，+∞〕，单调减区间为〔-∞，0〕，〔0，1〕．【解析】首先确定函数的定义域，再求出函数的导数f′〔x〕，判断导数f′〔x〕的符号，求出函数f〔x〕的单调区间．此题考察了利用导数求解函数的单调区间，属于中档题目．18.【答案】解：〔1〕∵直线l过点〔0，5〕，且在两坐标轴上的截距之和为2，∴直线在x，y轴上的截距分别为-3，5，∴直线l的方程为=1，即5x-3y+15=0；〔2〕直线l1过点〔，-1〕且与直线l垂直，方程为3x+5y-3=0，∵直线l2与直线l1关于x轴对称，∴直线l2的斜率为，且过点〔1，0〕，∴直线l2的方程为y=〔x-1〕，即3x-5y-3=0．【解析】〔1〕求出直线在x，y轴上的截距分别为-3，5，可得直线l的方程；〔2〕求出直线l2的方程，利用对称性，可得直线l2的斜率为，且过点〔1，0〕，即可求直线l2的方程．此题考察直线方程，考察直线的对称性，正确计算是关键．19.【答案】解：〔I〕f′〔x〕=a2x2-4ax+b，由题意可得f′〔0〕=b=3．∴b=3．〔II〕由函数f〔x〕在x=1处获得极大值，∴f′〔1〕=a2-4a+3=0，解得a=1或者3．①当a=1时，f′〔x〕=x2-4x+3=〔x-1〕〔x-3〕．列表如下：由表格可知：函数f〔x〕在x=1处获得极大值，满足题意．②同理可得：当a=3时，函数f〔x〕在x=1处获得极小值，不符合题意，应舍去．综上所述：当a=1时，函数f〔x〕在x=1处获得极大值．【解析】〔I〕利用f′〔0〕=3即可解出；〔II〕由函数f〔x〕在x=1处获得极大值，可得f′〔1〕=a2-4a+3=0，解得a=1或者3．再分别讨论是否符合获得极大值的充分条件即可．纯熟掌握导数的几何意义、利用导数研究函数的极值等是解题的关键．20.【答案】解：〔1〕⊙O与⊙C：x2+y2-6y+8=0相切于点M〔0，2〕，且经过点N〔2，0〕．x2+y2-6y+8=0的圆心〔0，3〕，半径为：1，设所求圆的圆心位于y轴，因为|OM|=|ON|，所以O为所求圆的圆心半径为2，⊙O的方程：x2+y2=4．〔2〕直线y=kx-〔k+1〕恒过〔1，-1〕，假设直线L：y=kx-〔k+1〕截⊙O两点弧长之比为3：1，所以直线与圆的交点劣弧的圆心距为90°，圆心到直线的间隔为：=，∴解得：k=1．【解析】〔1〕求出圆的圆心与半径，即可求⊙O的方程；〔2〕通过直线L：y=kx-〔k+1〕截⊙O两点弧长之比为3：1，利用圆心到直线的间隔半径半弦长的关系，列出方程即可务实数k的值．此题考察圆的方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考察计算才能．21.【答案】解：〔Ⅰ〕由得，c=，，解得a=，又b2=a2-c2=4，所以椭圆G的方程为．〔Ⅱ〕设直线l的方程为y=x+m，由得4x2+6mx+3m2-12=0．①设A，B的坐标分别为〔x1，y1〕，〔x2，y2〕〔x1＜x2〕，AB的中点为E〔x0，y0〕，那么x0==-，y0=x0+m=，因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k=，解得m=2．此时方程①为4x2+12x=0．解得x1=-3，x2=0，所以y1=-1，y2=2，所以|AB|=3，此时，点P〔-3，2〕．到直线AB：y=x+2间隔d=，所以△PAB的面积s=|AB|d=．【解析】〔Ⅰ〕根据椭圆离心率为，右焦点为〔，0〕，可知c=，可求出a的值，再根据b2=a2-c2求出b的值，即可求出椭圆G的方程；〔Ⅱ〕设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的间隔，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积．此题是个中档题．考察待定系数法求椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考察了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的才能．22.【答案】解：〔1〕f′〔x〕=e x〔x2+2x+1〕=e x〔x+1〕2，∴f′〔x〕≥0，∴f〔x〕=〔1+x2〕e x-a在〔-∞，+∞〕上为增函数．〔2〕证明：∵f〔0〕=1-a，a＞1，∴1-a＜0，即f〔0〕＜0，∵f〔〕=〔1+a〕-a=+a〔-1〕，a＞1，∴＞1，-1＞0，即f〔〕＞0，且由〔1〕问知函数在〔-∞，+∞〕上为增函数，∴f〔x〕在〔-∞，+∞〕上有且只有一个零点．〔3〕证明：f′〔x〕=e x〔x+1〕2，设点P〔x0，y0〕那么〕f'〔x〕=e x0〔x0+1〕2，∵y=f〔x〕在点P处的切线与x轴平行，∴f′〔x0〕=0，即：e x0〔x0+1〕2=0，∴x0=-1，将x0=-1代入y=f〔x〕得y0=．∴，∴，要证m≤-1，即证〔m+1〕3≤a-，需要证〔m+1〕3≤e m〔m+1〕2，即证m+1≤e m，因此构造函数g〔m〕=e m-〔m+1〕，那么g′〔m〕=e m-1，由g′〔m〕=0得m=0．当m∈〔0，+∞〕时，g′〔m〕＞0，当m∈〔-∞，0〕时，g′〔m〕＜0，∴g〔m〕的最小值为g〔0〕=0，∴g〔m〕=e m-〔m+1〕≥0，∴e m≥m+1，∴e m〔m+1〕2≥〔m+1〕3，即：，∴m≤．【解析】〔1〕利用f′〔x〕＞0，求出函数单调增区间．〔2〕证明只有1个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点．〔3〕利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂．此题考察了导数在函数单调性和最值上的应用，属于综合应用，在高考中属于压轴题目，有较大难度．制卷人：打自企；成别使；而都那。