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1．4.3 含有一个量词的命题的否定1．含有一个量词的全称命题的否定全称命题p 綈p 结论∀x∈M，p(x)□01∃x0∈M，綈p(x0) 全称命题的否定是□02特称命题2．含有一个量词的特称命题的否定特称命题p 綈p 结论∃x0∈M，p(x0)□03∀x∈M，綈p(x)特称命题的否定是□04全称命题1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．( )(2)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．( )(3)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”．( ) 答案(1)√(2)×(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)“至多有一个”的否定为_______________________________________．(2)已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则綈p是_____________________________．(3)命题“∃x0∈Q，x20＝5”的否定是________(填“真”或“假”)命题．(4)已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为________．答案(1)至少有两个(2)∃x0∈R，sin x0>1 (3)真(4)∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1探究1 全称命题的否定例1 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．(1)p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ＋1sin x ≥2；(2)p ：∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx 是偶函数； (3)p ：每个三角形至少有两个锐角．[解] (1)p 是真命题，由x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2得sin x ∈(0,1)，sin x ＋1sin x>2sin x ·1sin x＝2，故p 为真命题．綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0＋1sin x 0<2.(2)p 是假命题，当m ＝0时，f (x )才是偶函数． 綈p ：∃m 0∈R ，函数f (x )＝x 2＋m 0x 不是偶函数． (3)p 是真命题．綈p ：有的三角形至多有一个锐角． 拓展提升1.对全称命题否定的两个步骤(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 2．全称命题否定后的真假判断方法全称命题的否定是特称命题，其真假性与全称命题相反；要说明一个全称命题是假命题，只需举一个反例即可．【跟踪训练1】 写出下列全称命题的否定，并判断真假． (1)p ：正方形是矩形； (2)p ：∀α∈R ，都有cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α.解 (1)綈p ：存在一个正方形不是矩形，这是假命题．(2)綈p ：∃α0∈R ，使得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α0≠sin α0，这是假命题． 探究2 特称命题的否定例2 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定． (1)p ：有一个奇数不能被3整除； (2)p ：有些三角形的三个内角都是60°；(3)p ：∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β. [解] (1)p 是真命题，如5不能被3整除． 綈p ：任意一个奇数都能被3整除．(2)p 是真命题，等边三角形的三个内角都为60°. 綈p ：任意三角形的三个内角不都为60°.(3)p 是真命题，∵当α＝π4，β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β.綈p ：∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β. 拓展提升1.对特称命题否定的两个步骤(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 2．特称命题否定后的真假判断特称命题的否定是全称命题，其真假性与特称命题相反；要说明一个特称命题是真命题，只需要找到一个实例即可．【跟踪训练2】 写出下列特称命题的否定，并判断真假． (1)p ：有的一元二次方程有实数根； (2)p ：∃x 0∈R ，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π2＝sin x 0.解 (1)綈p ：所有的一元二次方程都没有实数根，这是假命题．(2)綈p ：∀x ∈R ，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2≠sin x ，这是假命题，如sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋π2＝sin π4. 探究3 含有一个量词的命题的否定 例3 写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)q ：存在一个实数x 0，使得x 20＋x 0＋1≤0； (3)r ：等圆的面积相等，周长相等．[解] (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，其否定形式是綈p ：存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根．注意到当Δ＝1＋4m <0时，即m <－14时，一元二次方程没有实数根，所以綈p 是真命题．(2)这一命题的否定形式是綈q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.由x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0知，綈q 是真命题．(3)这一命题的否定形式是綈r ：存在二个等圆，其面积不相等或周长不相等．由平面几何知识知綈r 是假命题．拓展提升分清所给命题是全称命题还是特称命题是正确写出其否定的关键，同时要熟悉常用量词的否定形式．【跟踪训练3】 写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p ：∀x >1，log 2x >0；(2)p ：直线l ⊥平面α，则对任意l ′⊂平面α，l ⊥l ′； (3)p ：∀x 0>1，使x 20－2x 0－3＝0. 解 (1)綈p ：∃x 0>1，log 2x 0≤0. ∵当x >1时，log 2x >0， ∴綈p 为假命题．(2)綈p ：直线l ⊥平面α，∃l ′⊂α，l 与l ′不垂直． ∵直线l ⊥平面α，l ′⊂α，∴l ⊥l ′，∴綈p 是假命题．(3)綈p ：∃x >1，使x 2－2x －3≠0. ∵当x ＝2>1时，x 2－2x －3≠0， ∴綈p 是真命题．探究4 求参数的取值X 围例4 已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1≠0，q ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≤0.若(綈p )∧(綈q )为真命题，某某数a 的取值X 围．[解]∵(綈p )∧(綈q )为真命题，∴綈p 与綈q 都是真命题，从而p 与q 都是假命题． ∴“关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有解”与“ax 2＋ax ＋1>0对一切x ∈R 恒成立”都是真命题．由关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有解，得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，4－4a ≥0，即a ＝0或a ≤1且a ≠0，∴a ≤1.由ax 2＋ax ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，即a ＝0或0<a <4，∴0≤a <4.由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，0≤a <4得0≤a ≤1，故实数a 的取值X 围是[0,1]． [解法探究] 此题有没有其他解法呢？解 ∵p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1≠0，q ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≤0，∴綈p ：∃x ∈R ，ax 2＋2x ＋1＝0，綈q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，由(綈p )∧(綈q )为真命题知，綈p 与綈q 都是真命题．由綈p 为真命题得a ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，4－4a ≥0，故a ≤1.由綈q 为真命题得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，故0≤a <4.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，0≤a <4，解得0≤a ≤1.故实数a 的取值X 围是[0,1]．拓展提升含有一个量词的命题与参数X围的求解策略(1)对于全称命题“∀x∈M，a>f(x)(或a<f(x))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即a>f(x)max(或a<f(x)min)．(2)对于特称命题“∃x0∈M，a>f(x0)(或a<f(x0))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即a>f(x)min(或a<f(x)max)．(3)若全称命题为假命题，通常转化为其否定命题——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定命题——全称命题为真命题解决．【跟踪训练4】已知函数f(x)＝x2－mx＋1，命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”．命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”．若命题“非p”与“q”均为真命题，某某数m的取值X 围．解由于命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，所以非p：“不等式f(x)≤0在实数集上有解”，故Δ＝m2－4≥0，得m≤－2或m≥2.又命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”，即不等式x2<9－m2在实数集上有解，故9－m2>0，所以－3<m<3.因为命题“非p”与“q”均为真命题，所以m的取值X围为(－3，－2]∪[2,3)．1.对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定.2.对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定．含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断.3.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此在书写时，要注意量词以及形式的变化，熟练掌握常见词语的否定形式.1．命题“∃x0∈R,3x0≤0”的否定是( )A．∀x∈R,3x≤0 B．∃x0∈R,3x0≥0C．∃x0∈R,3x0>0 D．∀x∈R,3x>0答案 D解析特称命题的否定是全称命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论即“≤”改为“>”．故选D.2．全称命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是( )A．所有能被5整除的整数都不是奇数B．所有奇数都不能被5整除C．存在一个能被5整除的整数不是奇数D．存在一个奇数，不能被5整除答案 C解析全称命题的否定是特称命题，而A，B是全称命题，所以A，B错误．因为“所有能被5整除的整数”的否定是“存在一个能被5整除的整数”，所以D错误，C正确．故选C.3．对下列命题的否定，其中说法错误的是( )A．p：∀x≥3，x2－2x－3≥0；綈p：∃x≥3，x2－2x－3<0B．p：存在一个四边形的四个顶点不共圆；綈p：每一个四边形的四个顶点共圆C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D．p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；綈p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0答案 C解析若p：有的三角形为正三角形，则綈p：所有的三角形都不是正三角形，故C错误．4．若命题“∃x0∈R，x20＋(a－1)x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值X围为________．答案[－1,3]解析依题意可得“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”为真命题，所以Δ＝(a－1)2－4≤0，所以－1≤a≤3.5．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：矩形是平行四边形；(2)q：∀x≥0，x2>0；(3)r：存在一个三角形，它的内角和大于180°；(4)t：某些梯形的对角线互相平分．解(1)綈p：存在一个矩形不是平行四边形，假命题．(2)綈q：∃x≥0，x2≤0，真命题．(3)綈r：所有三角形的内角和都小于或等于180°，真命题．(4)綈t：每一个梯形的对角线都不互相平分，真命题．。
1.4.3含有一个量词的命题的否定【教学内容分析】“含有一个量词的命题的否定”选自数学人教A版选修2-1第一章第四节的内容，它包括两块内容：一是含有一个全称量词的命题的否定，二是含有一个存在量词的命题的否定。
本节课是学生在老师的带领下，通过探究理解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，并且会正确地对含有一个量词的命题进行否定。
在教学中使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力,通过学生的合作探究,培养培养他们的良好的思维品质。
【学情分析】本节内容是数学选修2-1第一章的最后一节内容,学习对象为高二年级学生，他们在前面已经学习了全称量词与存在量词的定义，以及否命题和一般命题的否定。
所以本节课在此基础上，也是学生对命题的否定的再认识，学生能够知道含有一个量词的命题的否定方法和前面学习的一般命题的否定方法有部分区别。
同时学好本节课也是为了让学生对否命题与命题的否定能够区分开。
【教学目标】1．知识与技能目标：理解全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；2．过程与方法目标：通过探究实例，能够归纳出含一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律；3．情感态度价值观：通过本节课的学习，培养学生的辨析能力以及良好的思维品质。
【教学重难点】重点：理解全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定。
【设计思路】本节课是针对于高二年级的教学内容，“含有一个量词的命题的否定”即是含有全称量词或者存在量词的命题的否定。
学生通过探究实例，老师进行引导归纳出全称命题的否定变成了特称命题，在这一过程当中，量词进行改变，条件不变，结论进行否定。
其次学生通过类比全称命题的否定是特称命题，自行归纳得出特称命题的否定是全称命题，在这一过程当中，还是量词进行改变，条件不变，结论否定。
所以通过对比形式变化，可以得出：含有一个量词的命题的否定即是：量词改变，结论否定。
1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定1.理解全称量词与全称命题、存在量词与特称命题的定义.2.会判断一个命题是全称命题还是特称命题，并会判断它们的真假.(重点)3.能写出含有一个量词的命题的否定.(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1 全称量词与存在量词阅读教材P21思考～P22第1段，P22思考～P23例2以上部分，完成下列问题.1.全称量词与全称命题(1)全称量词短语：“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词.(2)全称命题含有全称量词的命题叫做全称命题.全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.2.存在量词与特称命题(1)存在量词短语：“存在一个”“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词.(2)特称命题含有存在量词的命题，叫做特称命题.特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.( )(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”.()(3)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词.( )【答案】(1)×(2)√(3)×教材整理2 含有一个量词的命题的否定阅读教材P24探究～P24例3以上部分，P25探究～P25例4以上部分，完成下列问题.命题命题的表述全称命题p ∀x∈M，p(x)全称命题的否定﹁p ∃x0∈M，﹁p(x0)特称命题p ∃x0∈M，p(x0)特称命题的否定﹁p ∀x∈M，﹁p(x)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题﹁p的否定是p.( )(2)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反.( )(3)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定.( )【答案】(1)√(2)√(3)√[小组合作型]全称命题与特称命题的区别(1)下列命题中全称命题的个数是( )①任意一个自然数都是正整数；②有的等差数列也是等比数列；③三角形的内角和是180°.A.0B.1C.2D.3【解析】观察分析命题是否含有“任意”“所有的”“每一个”等全称量词.命题①含有全称量词，而命题③可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有两个全称命题.【答案】 C(2)下列命题中特称命题的个数是( )①至少有一个偶数是质数；②∃x0∈R，log2x0>0；③有的向量方向不确定.A.0B.1C.2D.3【解析】 ①中含有存在量词“至少有一个”，所以是特称命题； ②中含有存在量词符号“∃”，所以是特称命题； ③中含有存在量词“有的”，所以是特称命题. 【答案】 D(3)用全称量词或存在量词表示下列语句： ①不等式x 2＋x ＋1>0恒成立；②当x 为有理数时，13x 2＋12x ＋1也是有理数；③等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β对有些角α，β成立； ④方程3x －2y ＝10有整数解.【解】 ①对任意实数x ，不等式x 2＋x ＋1>0成立. ②对任意有理数x ，13x 2＋12x ＋1是有理数.③存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立. ④存在一对整数x ，y ，使3x －2y ＝10成立.1.判断一个命题是特称命题，还是全称命题，要根据命题中所含量词来判断.2.有些命题中表面上看并不含量词，但从意义上理解却含有“全部”“所有”等这样的意思，也是全称命题.[再练一题]1.(1)下列语句是特称命题的是( )【导学号：97792009】A.整数n 是2和7的倍数B.存在整数n ，使n 能被11整除C.x ＞7D.∀x ∈M ，p (x )成立【解析】 B 选项中有存在量词“存在”，故是特称命题，A 和C 不是命题，D 是全称命题.【答案】 B(2)用全称量词或存在量词表示下列语句： ①有理数都能写成分数形式； ②方程x 2＋2x ＋8＝0有实数解； ③有一个实数乘以任意一个实数都等于0.【解】①任意一个有理数都能写成分数形式.②存在实数x，使方程x2＋2x＋8＝0成立.③存在一个实数x，它乘以任意一个实数都等于0.全称命题与特称命题的真假判断指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假. (1)∀x∈N,2x＋1是奇数；(2)存在一个x0∈R，使1x0－1＝0；(3)存在一组m，n的值，使m－n＝1；(4)至少有一个集合A，满足A{1,2,3}.【精彩点拨】先确定命题类型，然后推理证明或举反例来判断真假.【自主解答】(1)是全称命题.因为对任意自然数x,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题.(2)是特称命题.因为不存在x0∈R，使1x0－1＝0成立，所以该命题是假命题.(3)是特称命题.当m＝4，n＝3时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题.(4)是特称命题.存在A＝{3}，使A{1,2,3}成立，所以该命题是真命题.1.要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).2.要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题.[再练一题]2.试判断下面命题的真假.(1)∀x∈R，x2＋2>0；(2)∀x∈N，x4≥1；(3)∃x0∈Z，x30<1；(4)∃x0∈Q，x20＝3.【解】(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题.(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题.(3)由于－1∈Z，当x0＝－1时，能使x30<1，所以命题“∃x0∈Z，x30<1”是真命题.(4)由于使x20＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数.因此，任何一个有理数的平方都不等于3，所以命题“∃x0∈Q，x20＝3”是假命题.[探究共研型]全称命题与特称命题的否定探究1 全称命题和特称命题的否定各有什么特点？【提示】全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.探究2 不等式有解和不等式恒成立有何区别？【提示】不等式有解是存在一个元素，使不等式成立，相当于一个特称命题；不等式恒成立则是给定集合中的所有元素都能使不等式成立，相当于一个全称命题.写出下列命题的否定，并判断真假.(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)非负数的平方是正数；(3)有的四边形没有外接圆；(4)∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.【精彩点拨】本题主要考查全称命题与特称命题的否定.可先将命题写成较明显、易理解的形式，再对一些关键词语进行否定.【自主解答】(1)命题的否定：“存在一个平行四边形的对边不都平行”.由平行四边形的定义知，这是假命题.(2)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数”.因为02＝0，不是正数，所以该命题是真命题.(3)命题的否定：“所有四边形都有外接圆”.因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真，所以命题的否定为假命题.(4)命题的否定：“∀x，y∈Z，都有2x＋y≠3”.∵当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，∴原命题为真，命题的否定为假命题.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题1.确定命题类型，是全称命题还是特称命题.2.改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.3.否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.4.无量词的全称命题要先补回量词再否定.[再练一题]3.(1)命题“存在x 0∈R ，使得e x 0≤0”的否定是( )【导学号：97792010】A.不存在x 0∈R ，使得e x 0＞0 B.对任意x ∈R ，e x＞0 C.对任意x ∈R ，e x≤0 D.存在x 0∈R ，使得e x 0＞0(2)命题“任意x ∈R ，若y ＞0，则x 2＋y ＞0”的否定是________.【解析】 (1)命题“存在x 0∈R ，使得e x 0≤0”的否定是对任意x ∈R ，e x＞0. (2)已知命题是一个全称命题，其否定为特称命题，先将“任意”换成“存在”再否定结论，即命题的否定是：存在x 0∈R ，若y ＞0，则x 20＋y ≤0. 【答案】 (1)B(2)存在x 0∈R ，若y ＞0，则x 20＋y ≤0若命题“∀x ∈[－1，＋∞)，x 2－2ax ＋2≥a ”是真命题，求实数a 的取值范围. 【精彩点拨】 全称命题为真，意味着对限定集合[－1，＋∞)中的每一个元素x ，x2－2ax ＋2≥a 都成立，因此属于恒成立问题，即转化为x ∈[－1，＋∞)时，(x 2－2ax ＋2)min ≥a .【自主解答】 ∵命题“∀x ∈[－1，＋∞)，x 2－2ax ＋2≥a ”为真命题， ∴x ≥－1时，x 2－2ax ＋2≥a 恒成立. 令f (x )＝x 2－2ax ＋2＝(x －a )2＋2－a 2， 则当a ≥－1时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.当a ＜－1时，f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1，3＋2a ≥a ，解得－3≤a ＜－1，综上可得－3≤a ≤1. 即a 的取值范围为[－3,1].求解含有量词的命题中参数范围的策略1.对于全称命题“∀x∈M，a＞f(x)(或a＜f(x))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即a＞f(x)max(或a＜f(x)min).2.对于特称命题“∃x0∈M，a＞f(x0)(或a＜f(x0))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即a＞f(x)min(或a＜f(x)max).[再练一题]4.已知函数f(x)＝x2－2x＋5，若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围.【解】不等式m－f(x0)>0，可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又因为f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞).1.下列说法中，正确的个数是( )①存在一个实数x0，使－2x20＋x0－4＝0；②所有的素数都是奇数；③在同一平面中，斜率相等且不重合的两条直线都平行；④至少存在一个正整数，能被5和7整除.A.1B.2C.3D.4【解析】①方程－2x2＋x－4＝0无实根；②2是素数，但不是奇数；③④正确.故选B.【答案】 B2.下列命题中，正确的全称命题是( )A.对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0B.菱形的两条对角线相等C.∃x0∈R，x20＝x0D.对数函数在定义域上是单调函数【解析】A项中含有全称量词“任意”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以不正确；B项在叙述上没有全称量词，实际上是“所有的”，因为菱形的对角线不一定相等，所以错误；C项是特称命题；D项正确.【答案】 D3.设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则﹁p为( )A.∀n∈N，n2＞2nB.∃n∈N，n2≤2nC.∀n∈N，n2≤2nD.∃n∈N，n2＝2n【解析】因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，﹁p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”.故选C.【答案】 C4.若命题“∀x∈(3，＋∞)，x>a”是真命题，则a的取值范围是________.【解析】由题意知当x>3，有x>a恒成立，故a≤3.【答案】(－∞，3]5.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定.(1)有一个奇数不能被3整除；(2)∀x∈Z，x2与3的和不等于0；(3)有些三角形的三个内角都为60°；(4)每个三角形至少有两个锐角；(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.【解】(1)是特称命题，否定为：每一个奇数都能被3整除.(2)是全称命题，否定为：∃x0∈Z，x20与3的和等于0.(3)是特称命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°.(4)是全称命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角.(5)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.。
1.4 全称量词与存在量词基础练习1．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( ) A ．所有不能被2整除的整数都是偶数 B ．所有能被2整除的整数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数 【答案】D【解析】原命题是全称命题，其否定是：存在一个能被2整除的数不是偶数． 2．给出下列几个命题：①至少有一个x 0，使x 20＋2x 0＋1＝0成立； ②对任意的x ，都有x 2＋2x ＋1＝0成立； ③对任意的x ，都有x 2＋2x ＋1＝0不成立； ④存在x 0，使x 20＋2x 0＋1＝0成立． 其中是全称命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0【答案】B【解析】命题②③都含有全称量词“任意的”，故②③是全称命题． 3．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>2【答案】B【解析】选项A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；选项B 中x ＝0时，x 2＝0，所以选项B 既是特称命题又是真命题；选项C 中因为3＋(－3)＝0，所以选项C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有1x<0，所以选项D 是假命题．4．已知命题p ：∀x ∈R ，2x ＜3x ；命题q ：∃x 0∈R ，x 30＝1－x 20，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )【答案】B【解析】因为x ＝－1时，2－1＞3－1，所以命题p ：“∀x ∈R,2x ＜3x”为假命题，则¬p 为真命题．令f (x )＝x 3＋x 2－1，因为f (0)＝－1＜0，f (1)＝1＞0，所以函数f (x )＝x 3＋x 2－1在(0,1)上存在零点，即命题q ：“∃x 0∈R ，x 30＝1－x 20”为真命题．则(¬p )∧q 为真命题．故选B ．5．命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0＋3＝0”的否定是__________． 【答案】∀x ∈R ，x 2－x ＋3≠0【解析】∵命题“∃x ∈R ，x 2－x ＋3＝0”是特称命题，∴其否定命题为“∀x ∈R ，x 2－x ＋3≠0”．6．给出下列命题： ①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数．其中是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号) 【答案】①②③④【解析】①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．7．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定． (1)∀x ∈N ，x 3>x 2；(2)所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； (3)∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0；(4)存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分．解：(1)当x ＝1时，13＝12，∴x ＝1时，x 3>x 2不成立，即此命题是假命题． 命题的否定：∃x 0∈N ，x 30≤x 20.(2)15可以被5整除，但15的末位数字不是0， ∴此命题是假命题．命题的否定：有些可以被5整除的整数，末位数字不是0.(3)∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0恒成立，∴此命题是假命题．命题的否定：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.(4)菱形的对角线互相垂直且平分，∴此命题是真命题．命题的否定：任何一个四边形，它的对角线不互相垂直或不互相平分．8．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，某某数a的取值X围．解：若命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”为真命题，则a≤x2在区间[1,2]恒成立，所以a≤(x2)min＝1.若命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”为真命题，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，所以a≥1或a≤－2.命题“p且q”为真命题，即命题p，q都为真命题，所以取两个X围的交集，实数a的取值X围为a≤－2或a＝1.能力提升9．(2019年某某某某模拟)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则f(a＋b)的值为( )A．－1 B．0C．1 D．2【答案】B【解析】若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命题，即f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，则a＋b＝0，即f(a＋b)＝f(0)＝0.10．(2019年某某某某期中)下列关于函数f(x)＝x2与函数g(x)＝2x的描述，正确的是( )A．∃a0∈R，当x>a0时，总有f(x)<g(x)B．∀x∈R，f(x)<g(x)C．∀x<0，f(x)≠g(x)D．方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)内有且只有一个实数解【答案】A【解析】在同一坐标系内作出两函数的大致图象，两交点为(2,4)，(4,16)．当x>4时，由图象知f(x)<g(x)，选项A正确，选项B，C，D均错误．11．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同时满足条件：①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0.则m的取值X围是________．【答案】(－4，－2)【解析】由题意知m ≠0，∴f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)为二次函数．若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则f (x )必须开口向下，即m <0.f (x )＝0的两根x 1＝2m ，x 2＝－m －3，则x 1－x 2＝3m ＋3.(1)当x 1>x 2，即m >－1时，必须大根x 1＝2m <1，即m <12；(2)当x 1<x 2，即m <－1时，大根x 2＝－m －3<1，即m >－4；(3)当x 1＝x 2，即m ＝－1时，x 1＝x 2＝－2<1也满足条件．∴满足条件①的m 的取值X 围为－4<m <0.若∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0，则满足方程f (x )＝0的小根小于－4.(1)当m >－1时，小根x 2＝－m －3<－4且m <0，无解；(2)当m <－1时，小根x 1＝2m <－4且m <0，解得m <－2；(3)当m ＝－1时，f (x )＝－(x ＋2)2≤0恒成立，∴不满足②.∴满足①②的m 的取值X 围是－4<m <－2.12．已知命题p ：∃x ∈R ，使得x 2－2ax ＋2a 2－5a ＋4＝0；命题q ：∀x ∈[0,1]，都有(a 2－4a ＋3)x －3<0.若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，某某数a 的取值X 围．解：若p 为真命题，则Δ＝4a 2－4(2a 2－5a ＋4)≥0， 解得1≤a ≤4.对于q ，令f (x )＝(a 2－4a ＋3)x －3，若q 为真命题，则f (0)＜0且f (1)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3＜0，a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4.由“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，知p ，q 一真一假，所以⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，a ≤0或a ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1或a ＞4，0＜a ＜4.解得0＜a ＜1 或a ＝4.故a 的取值X 围是{a |0＜a ＜1 或a ＝4}．。
1．4.3含有一个量词的命题的否定学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.掌握对全称命题与特称命题否定的方法．知识点一全称命题的否定全称命题p 綈p 结论∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)全称命题的否定是特称命题知识点二特称命题的否定特称命题p 綈p 结论∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)特称命题的否定是全称命题1．命题綈p的否定为p.(√)2．∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．(√)3．从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(×)4．用自然语言描述的全称命题的否定形式是唯一的．(×)一、全称命题的否定例1写出下列全称命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解．解(1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．(2)其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．(3)其否定：∃a ，b ∈R ，使方程ax ＝b 的解不唯一或不存在．反思感悟 全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定． 跟踪训练1 写出下列全称命题的否定： (1)p ：所有自然数的平方都是正数； (2)p ：任何实数x 都是方程5x －12＝0的根； (3)p ：对任意实数x ，x 2＋1≥0.解 (1)綈p ：有些自然数的平方不是正数． (2)綈p ：存在实数x 0不是方程5x 0－12＝0的根． (3)綈p ：存在实数x 0，使得x 20＋1<0. 二、特称命题的否定例2 写出下列特称命题的否定，并判断其真假． (1)p ：∃x 0∈R,2x 0＋1≥0； (2)q ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14<0； (3)r ：有些分数不是有理数．解 (1)綈p ：∀x ∈R ,2x ＋1<0，綈p 为假命题． (2)綈q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0.∵x 2－x ＋14＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0， ∴綈q 是真命题．(3)綈r ：一切分数都是有理数，綈r 是真命题．反思感悟 特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p ：∃x 0∈M ，p (x 0)成立⇒綈p ：∀x ∈M ，綈p (x )成立． 跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．三、全称命题、特称命题的应用例3已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围．解因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x0∈R，x20＋ax0＋1<0”．由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．由于函数f (x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象(图略)易知，Δ＝a2－4>0，解得a<－2或a>2.所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．反思感悟若全称命题为假命题，通常转化为其否定形式——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称命题为真命题解决．跟踪训练3已知函数f (x)＝x2＋ax－2.(1)∀x∈[1，＋∞)，都有f (x)>0，求实数a的取值范围；(2)∃x0∈(1，＋∞)，f (x0)<0，求实数a的取值范围．解(1)f (x)>0⇔x2＋ax－2>0，－x<a(x∈[1，＋∞))，又x≥1，所以2x设g(x)＝2－x(x∈[1，＋∞))，x依题意得g(x)<a在[1，＋∞)上恒成立．又g(x)在[1，＋∞)上是减函数，－1＝1.所以g(x)max＝g(1)＝21因此a>1，故实数a的取值范围是(1，＋∞)．(2)f (x)<0⇔x2＋ax－2<0.－x>a，x∈(1，＋∞)，又x>1，所以2x－x(x∈(1，＋∞))，设h(x)＝2x依题意得h (x )>a 在(1，＋∞)上有解，由h (x )在(1，＋∞)上是减函数，结合图象(图略)， 可知h (x )<1，因此a <1，故实数a 的取值范围是(－∞，1)．1．命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |＋x 2<0 B ．∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0 C ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥0 答案 C2．∃m 0，n 0∈Z ，使得m 20＝n 20＋2 019的否定是( )A ．∀m ，n ∈Z ，使得m 2＝n 2＋2 019B ．∃m 0，n 0∈Z ，使得m 20≠n 20＋2 019C ．∀m ，n ∈Z ，使得m 2≠n 2＋2 019D ．以上都不对 答案 C3．命题“存在一个三角形，内角和不等于180°”的否定为( ) A ．存在一个三角形，内角和等于180° B ．所有三角形，内角和都等于180° C ．所有三角形，内角和都不等于180° D ．很多三角形，内角和不等于180° 答案 B4．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1<0，命题q ：∃x 0∈R ，3sin x 0＋4cos x 0＝5，则p ∨q ，p ∧q ，綈p ，綈q 中是真命题的有________． 答案 p ∨q ，綈p解析 ∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34， ∴p 是假命题．∵3sin x ＋4cos x ＝5sin(x ＋φ)，其中cos φ＝35，sin φ＝45.故q是真命题．因此p∨q是真命题，綈p是真命题．5．设命题p：∀x∈R，x2＋ax＋2<0，若綈p为真，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，＋∞)解析綈p：∃x0∈R，x20＋ax0＋2≥0为真命题，显然a∈R.1．知识清单：(1)全称命题的否定．(2)特称命题的否定．2．方法归纳：定义法．3．常见误区：方法不清．1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．存在x0∈R，x30－x20＋1≤0B．存在x0∈R，x30－x20＋1≥0C．存在x0∈R，x30－x20＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0答案 C解析由题意知，原命题为全称命题，故其否定为特称命题，所以否定为“存在x0∈R，x30－x20＋1>0”．故选C.2．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为()A．所有实数的平方都不是正数B．有的实数的平方是正数C．至少有一个实数的平方不是正数D．至少有一个实数的平方是正数答案 C3．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，02x<x 20”的否定为( ) A ．∀x ∈(0，＋∞)，2x <x 2 B ．∀x ∈(0，＋∞)，2x ≥x 2 C ．∀x ∈(0，＋∞)，2x >x 2 D ．∃x 0∈(0，＋∞)，02x>x 20 答案 B4．下列否定不正确的是( )A ．“∀x ∈R ，x 2>0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20≤0”B ．“∃x 0∈R ，x 20<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2<0”C ．“∀θ∈R ，sin θ≤1”的否定是“∃θ0∈R ，sin θ0>1”D ．“∃θ0∈R ，sin θ0＋cos θ0<1”的否定是“∀θ∈R ，sin θ＋cos θ≥1” 答案 B解析 特称命题的否定是全称命题，将存在改为任意，并将结论加以否定，因此命题“∃x 0∈R ，x 20<0”的否定形式是“∀x ∈R ，x 2≥0”．5．已知命题p ：“∀x ∈R ，e x >0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 0－2>x 20”，则( ) A ．命题p ∨q 是假命题 B ．命题p ∧q 是真命题 C ．命题p ∧(綈q )是假命题 D ．命题p ∨(綈q )是真命题 答案 D解析 命题p ：“∀x ∈R ，e x >0”是真命题， 命题q ：“∃x 0∈R ，x 0－2>x 20”， 即x 20－x 0＋2<0， 即⎝⎛⎭⎫x 0－122＋74<0， 显然是假命题，所以p ∨q 真，p ∧q 假，p ∧(綈q )真，p ∨(綈q )真．故选D. 6．命题“∀x >0，x ＋1x ≥1”的否定为______________．答案 ∃x 0>0，x 0＋1x 0<17．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是_______．答案 ∀x ∈R ，|x |≤0解析 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，而命题的否定只否定结论．8．已知p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0，如果綈p 是真命题，那么a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，13 解析 易知綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋2x 0＋3≤0， 显然当a ＝0时，满足题意； 当a >0时，由Δ≥0，得0<a ≤13；当a <0时，满足题意． 所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，13. 9．判断下列命题的真假，并写出它们的否定： (1)∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β； (2)∃x 0，y 0∈Z,3x 0－4y 0＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解．解 (1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题． 命题的否定为：∃α0，β0∈R ，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0. (2)真命题．命题的否定为：∀x ，y ∈Z ,3x －4y ≠20.(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．10．已知p ：∀a ∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x a ＋π3的最小正周期不大于4π. (1)写出綈p ；(2)当綈p 是假命题时，求实数b 的最大值． 解 (1)綈p ：∃a 0∈(0，b ](b ∈R 且b >0)， 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x a 0＋π3的最小正周期大于4π. (2)由于綈p 是假命题，所以p 是真命题， 所以∀a ∈(0，b ]，2π1a≤4π恒成立，解得a≤2，所以0<b≤2，所以实数b的最大值是2.11．命题“∀n∈N*，f (n)∈N*且f (n)≤n”的否定形式是()A．∀n∈N*，f (n)∉N*且f (n)>nB．∀n∈N*，f (n)∉N*或f (n)>nC．∃n0∈N*，f (n0)∉N*且f (n0)>n0D．∃n0∈N*，f (n0)∉N*或f (n0)>n0答案 D解析“f (n)∈N*且f (n)≤n”的否定为“f (n)∉N*或f (n)>n”，全称命题的否定为特称命题，故选D.12．已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x0∈R，x30＝1－x20.则下列命题为真命题的是() A．p∧q B．(綈p)∧qC．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)答案 B解析由20＝30知，p为假命题；令h(x)＝x3＋x2－1，则h(0)＝－1<0，h(1)＝1>0，∴方程x3＋x2－1＝0在(0,1)内有解，∴q为真命题，∴p∧q，p∧(綈q)，(綈p)∧(綈q)均为假命题，(綈p)∧q为真命题，故选B.13．若∃x0∈R，x20－ax0＋1≤0为假命题，则a的取值范围为________．答案(－2,2)解析∃x0∈R，x20－ax0＋1≤0为假命题，即对∀x∈R，x2－ax＋1>0为真命题．需Δ＝(－a)2－4<0，即a2－4<0，解得－2<a<2，故a的取值范围为(－2,2)．14．已知命题p：y＝(3－c)x在R上为减函数，命题q：∀x∈R，x2＋2c－3>0.若綈(p∧q)为假命题，则实数c的取值范围为________．答案 (2,3)解析 由题意可知p ∧q 为真命题，所以p ，q 都是真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<3－c <1，2c －3>0，解得2<c <3，故实数c 的取值范围为(2,3)．15．已知函数f (x )＝x －1，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－3]解析 由题意知f (x )min ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2,3])， 因为f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上为减函数，g (x )在[2,3]上为增函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝1，g (x )min ＝g (2)＝4＋a ， 所以1≥4＋a ，即a ≤－3.16．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈ [－1,1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1时，p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，求m 的取值范围． 解 (1)对任意x ∈[0,1]， 不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立， 令f (x )＝2x －2(x ∈[0,1])， 则f (x )min ≥m 2－3m ，当x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－2， 即m 2－3m ≤－2，解得1≤m ≤2.因此，当p 为真命题时，m 的取值范围是[1,2]． (2)当a ＝1时，若q 为真命题，则存在x ∈[－1,1]，使得m ≤x 成立，所以m ≤1. 因此，当命题q 为真时，m ≤1.因为p 且q 为假命题，p 或q 为真命题， 所以p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m >1，得1<m ≤2；当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m <1或m >2，m ≤1，得m <1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．。
1．4 全称量词与存在量词1．4.1 全称量词1．4.2 存在量词1．4.3 含有一个量词的命题的否定内容标准学科素养1.理解全称量词、存在量词的含义．2.掌握全称命题与特称命题的真假判断．3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.应用直观想象发展逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第13页[基础认识]知识点一全称量词与全称命题预习教材P21－22，思考并完成以下问题什么是命题？命题的结构形式是什么？提示：命题是可以判断真假的陈述句，命题由条件和结论构成．下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)x>3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数．提示：语句(1)(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．知识梳理全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(4)全称命题的真假判断：要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立；但要判断一个全称命题是假命题，只需列举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可．知识点二存在量词与特称命题预习教材P22－23，思考并完成以下问题下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)2x＋1＝3；(2)x能被2和3整除；(3)存在一个x0∈R，使2x0＋1＝3；(4)至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除．提示：容易判断，(1)(2)不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x 的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．知识梳理存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为：∃x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．(4)特称命题的真假判断：要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0，使得命题p(x0)成立即可；否则这一命题就是假命题．知识点三含有一个量词的命题的否定预习教材P24－26，思考并完成以下问题命题“所有的四边形都是平行四边形”的否定是“所有的四边形都不是平行四边形”吗？若不是，应怎样写出？其含义是什么？提示：由p与綈p的真假性相反可知，不是．该命题的否定是：并非所有的四边形都是平行四边形．其含义是“存在一个”四边形“不是平行四边形”．写出下列命题的否定：(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？提示：命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；命题(3)的否定是“并非所有的x∈R，x2－2x＋1≥0”，也就是说，∃x0∈R，x20－2x0＋1<0.知识梳理全称命题与特称命题的否定1．给出下列命题：①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．其中全称命题的个数为( ) A．0 B．1C．2 D．3答案：C2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( ) A．存在一个θ，使tan θ＝tan(90°－θ)B．存在实数x0，使sin x0＝π2C．对一切θ，使sin θ＝sin(180°－θ)D．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β答案：A3．命题“存在一个三角形，内角和不等于180°”的否定为( ) A．存在一个三角形的内角和等于180°B．所有三角形的内角和都等于180°C．所有三角形的内角和都不等于180°D．很多三角形的内角和不等于180°答案：B授课提示：对应学生用书第15页探究一全称命题和特称命题的概念及真假判断[阅读教材P22－23例1、例2]判断下列全称命题和特称命题的真假：(1)所有的素数是奇数；(2)∀x∈R，x2＋1≥1；(3)对每一个无理数x，x2也是无理数；(4)∃x0∈R，x20＋2x0＋3＝0；(5)存在两相交平面垂直于同一条直线；(6)有些整数只有两个正因数．题型：全称命题真假的判断方法步骤：要判断全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对M中的每个元素x证明p(x)成立．如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．[例1] 判断下列命题是全称命题还是特称命题？(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)有些素数的和仍是素数；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[解析](1)可以改写为所有的凸多边形的外角和都等于360°，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故为特称命题．(3)含有全称量词“任意”，故为全称命题．(4)含有存在量词“有些”，故为特称命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．[例2]判断下列命题的真假：(1)p：任意等比数列的公比不能等于0；(2)q：存在等差数列，其前n项和S n＝n2＋2n－1；(3)r：∀x∈R，sin x＋cos x≥－1；(4)s：∃x0∈R，x20－2x0＋3<0.[解析](1)这是全称命题，由等比数列的定义知，等比数列中任意项a n≠0，所以其公比q＝a n＋1a n≠0(n∈N＋)，故该命题为真命题．(2)这是特称命题，对于任意等差数列{a n}，若设其公差为d，则前n项和S n＝na1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，因此不可能是S n ＝n 2＋2n －1这种形式，故该命题是假命题．(3)这是全称命题，因为对∀x ∈R ，sin x ＋cos x ＝ 2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2，所以存在x 0∈R ，sin x ＋cos x ∈[－2，－1)，故该命题为假命题．(4)这是特称命题，因为对任意x ∈R ，x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2>0，所以不存在x 0∈R ，使x 20－2x 0＋3<0，故命题为假命题．方法技巧 1.判定一个命题是全称命题还是特称命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词．当然有些全称命题中并不含全称量词，这时要根据命题所涉及的意义去判断．2．全称命题与特称命题真假的判断方法：(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 证明p (x )成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个x 0，使得p (x 0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，能找到一个x 0使p (x 0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．跟踪探究 1.将下列命题用“∀”或“∃”表示． (1)实数的平方是非负数；(2)方程ax 2＋2x ＋1＝0(a <1)至少存在一个负根； (3)若直线l 垂直于平面α内任一直线，则l ⊥α. 解析：(1)∀x ∈R ，x 2≥0.(2)∃x 0<0，ax 20＋2x 0＋1＝0(a <1)． (3)若∀a ⊂α，l ⊥a ，则l ⊥α. 2．判断下列命题的真假． (1)∀x ∈R ，x 2－x ＋1>12；(2)∃α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β； (3)存在一个函数既是偶函数又是奇函数； (4)每一条线段的长度都能用正有理数表示． 解析：(1)真命题， ∵x 2－x ＋1－12＝x 2－x ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14≥14>0， ∴x 2－x ＋1>12恒成立． (2)真命题，例如α＝π4，β＝π2，符合题意．(3)真命题，函数f (x )＝0既是偶函数又是奇函数． (4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为2，它的长度就不是有理数．探究二 含有一个量词的命题的否定[阅读教材P 24－25例3、例4]写出下列命题的否定： (1)p ：所有能被3整除的整数都是奇数； (2)p ：每一个四边形的四个顶点共圆； (3)p ：对任意x ∈Z ，x 2的个位数字不等于3； (4)p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0； (5)p ：有的三角形是等边三角形； (6)p ：有一个素数含三个正因数． 类型：全称命题和特称命题的否定．方法步骤：(1)先确定命题是全称命题还是特称命题．(2)根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，正确地写出命题的否定．[例3]写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x ∈R ，x 2＋3x ＋7≤0； (4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0. [解析](1)綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，是假命题． ∵∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0恒成立， ∴綈p 是假命题．(2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题． (3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋3x ＋7>0，是真命题． ∵∀x ∈R ，x 2＋3x ＋7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋194>0恒成立， ∴綈r 是真命题．(4)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，是假命题． ∵当x ＝－1时，x 3＋1＝0， ∴綈s 是假命题．方法技巧对全称命题和特称命题进行否定的步骤与 方法(1)确定类型：是特称命题还是全称命题．(2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词． (3)否定性质：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．注意：无量词的全称命题要先补回量词再否定． 跟踪探究 3.写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q ：存在一个实数x 0使得x 20＋x 0＋1≤0； (3)s ：对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.解析：(1)綈p ：至少存在一个实数m 0，方程x 2＋x －m 0＝0无实数根，真命题． (2)綈q ：所有的实数x ，都有x 2＋x ＋1>0，真命题． (3)綈s ：存在一个角α0，使得sin 2α0＋cos 2α≠1，假命题． 探究三 全称命题与特称命题的应用[例4](1)命题p ：∀x ∈R ，sin x cos x ≥m ，若命题p 是真命题，某某数m 的取值X 围； (2)命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0cos x 0≥m ，若命题q 是真命题，某某数m 的取值X 围． [解析]令f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，∵x ∈R ，∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.(1)若命题p 是真命题，则m ≤－12.(2)若命题q 是真命题，则m ≤12.方法技巧含有一个量词的命题与参数X 围的求解 策略(1)对于全称命题“∀x ∈M ，a >f (x )(或a <f (x ))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f (x )的最大值(或最小值)，即a >f (x )max (a <f (x )min )．(2)对于特称命题“∃x 0∈M ，a >f (x 0)(或a <f (x 0))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f (x )的最小值(或最大值)，即a >f (x )min (或a <f (x )max )．(3)若全称命题为假命题，通常转化为其否定形式——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称命题为真命题解决．跟踪探究 4.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由； (2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，某某数m 的取值X 围．解析：(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.∴所某某数m的取值X围是(4，＋∞)．授课提示：对应学生用书第16页[课后小结](1)判定一个命题是全称命题还是特称命题的主要方法是看命题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称命题．(2)要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题，只要举出一个反例即可；对特称命题真假的判定方法正好与之相反．(3)全称命题与特称命题的否定，其模式是固定的，即把相应的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词，并把命题的结论加以否定．(4)利用全称命题和特称命题的真假求参数的取值X围问题时，转化恒成立或有解的数学问题来解决．[素养培优]1．对含有一个量词的命题进行否定时，未改变量词致误写出命题“∀x∈R，若y>0，则x2＋y>0”的否定．易错分析写已知命题的否定时，没有改变量词，只改变结论致误．考查直观想象的学科素养．高考自我纠正该命题的否定为：∃x0∈R，若y0>0，则x20＋y0≤0.2．对含有一个量词的命题进行否定时，改变条件致误命题p：∃x0<3，x20>9的否定綈p为____________．易错分析写已知命题的否定时，既改变了命题的条件，也改变了命题的结论致误．考查直观想象和逻辑推理的学科素养．自我纠正原命题的否定为：∀x<3，x2≤9.答案：∀x<3，x2≤9- 11 - / 11。
2023年高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”考试要求 1.了解逻辑联结词、“且”、“或”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫作逻辑联结词.(2)命题p且q，p或q，非p的真假判断p q p且q p或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.3.全称命题和特称命题名称全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记任意x∈M，p(x)存在x0∈M，p(x0)否定存在x0∈M，非p(x0)任意x∈M，非p(x)1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p或q→见真即真，p且q→见假即假，p 与非p→真假相反.2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.3.“p或q”的否定是“(非p)且(非q)”，“p且q”的否定是“(非p)或(非q)”.4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)命题“5>6或5>2”是假命题.()(2)命题非(p且q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)存在x0∈M，p(x0)与任意x∈M，非p(x)的真假性相反.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)错误.命题p或q中，p，q有一真则真.(2)错误.p且q是真命题，则p，q都是真命题.(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.2.(2021·全国乙卷)已知命题p：存在x∈R，sin x<1；命题q：任意x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是()A.p且qB.(非p)且qC.p且(非q)D.非(p或q)答案A解析由正弦函数的图象及性质可知，存在x∈R，使得sin x<1，所以命题p为真命题.对任意的x∈R，均有e|x|≥e0＝1成立，故命题q为真命题，所以命题p 且q为真命题，故选A.3.(2017·山东卷)已知命题p：任意x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是()A.p且qB.p且(非q)C.(非p)且qD.(非p)且(非q)答案B解析由已知得p真，q假，故非q真，所以p且(非q)真，故选B.4.(易错题)命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则非p是________.答案所有三角形都不是等腰三角形5.(易错题)命题“任意x∈R，ax2－ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围为________.答案[0，4)解析①当a＝0时，1>0恒成立；②当a≠0a>0，Δ＝a2－4a<0，∴0<a<4.综上0≤a<4.6.(2021·合肥调研)能说明命题“任意x∈R且x≠0，x＋1x≥2”是假命题的x的值可以是________(写出一个即可).答案－1(任意负数)解析当x>0时，x＋1x≥2，当且仅当x＝1时取等号，当x<0时，x＋1x≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，∴x的取值为负数即可，例如x＝－1.考点一含有逻辑联结词的命题1.(2021·成都调研)已知命题p：函数y＝2sin x＋sin x，x∈(0，π)的最小值为22；命题q：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0.下列命题为真命题的是()A.(非p)且qB.p或qC.p且(非q)D.(非p)且(非q)答案D解析命题p：函数y＝2sin x＋sin x，x∈(0，π)，由基本不等式成立的条件可知，y>22sin x·sin x＝22，等号取不到，所以命题p是假命题.命题q：取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，所以命题q是假命题.所以非p为真，非q为真.因此，只有(非p)且(非q)为真命题.2.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A.(非p)或(非q)B.p且(非q)C.(非p)且(非q)D.p或q答案A解析命题p是“甲降落在指定范围”，则非p是“甲没降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则非q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(非p)或(非q).3.(2022·洛阳质检)设a，b，c均为非零向量，已知命题p：a＝b是a·c＝b·c的必要不充分条件，命题q：x>1是|x|>1的充分不必要条件.则下列命题中为真命题的是()A.p且qB.p或qC.(非p)且(非q)D.p或(非q)答案B解析由a＝b⇒a·c＝b·c，但a·c＝b·c⇒/a＝b，故p为假命题.命题q：∵|x|>1，∴x>1或x<－1，∴由x>1⇒|x|>1，但|x|>1⇒/x>1，故q为真命题.故选B.4.(2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是________.①p1且p4②p1且p2③(非p2)或p3④(非p3)或(非p4)答案①③④解析p1是真命题，两两相交不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p1为真命题；p2是假命题，因为空间三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线.由以上结论知非p2，非p3，非p4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题为真命题，②中命题为假命题.感悟提升 1.“p或q”，“p且q”，“非p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p或q”“p且q”“非p”形式命题的真假.2.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p与p的真假性相反.考点二全称量词与存在量词例1(1)(2021·江南十校联考)已知f(x)＝sin x－tan x，命题p：存在x0∈0，π2f(x0)<0，则()A.p是假命题，非p：任意x 0π2，f(x)≥0B.p是假命题，非p：存在x0∈0，π2f(x0)≥0C.p是真命题，非p：任意x 0，π2，f(x)≥0D.p是真命题，非p：存在x0∈0，π2f(x0)≥0(2)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A.任意x∈R，f(－x)≠f(x)B.任意x∈R，f(－x)≠－f(x)C.存在x0∈R，f(－x0)≠f(x0)D.存在x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)答案(1)C(2)C解析(1)当x π4，π2sin x<1，tan x>1.此时sin x－tan x<0，故命题p为真命题.由于命题p为特称命题，所以命题p 的否定为全称命题，则非p 为：任意x f (x )≥0.(2)∵定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，∴任意x ∈R ，f (－x )＝f (x )为假命题，∴存在x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)为真命题.感悟提升1.全称命题与特称命题的否定与一般命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题“任意x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可.训练1(1)设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则非p 为()A.所有正方形都不是平行四边形B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形(2)下列四个命题：p 1：存在x 0∈(0，＋∞)00；p 2：存在x 0∈(0，π)，sin x 0<cos x 0；p 3：任意x ∈R ，e x >x ＋1；p 4：任意x <log 13x .其中真命题是()A.p 1，p 3B.p 1，p 4C.p 2，p 3D.p 2，p 4答案(1)C(2)D解析(1)“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即非p 为有的正方形不是平行四边形.(2)对于p 1，当x 0∈(0，＋∞)00成立，故p 1是假命题；对于p 2，当x0＝π6时，sin x0<cos x0，故p2为真命题；对于p3，当x＝0时，e x＝x＋1，故p3为假命题；对于p4，结合指数函数y＝12与对数函数y＝log13x0，13上的图象(图略)可以判断p4为真命题.考点三由命题的真假求参数例2(1)已知命题p：任意x∈[1，2]，x2－a≥0；q：存在x0∈R，x20＋2ax0＋2－a ＝0，若(非p)且q是真命题，则实数a的取值范围是________________.(2)(经典母题)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)12－m，若对任意x1∈[0，3]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________.答案(1)(1，＋∞)(2)14，＋∞解析(1)∵(非p)且q是真命题，∴p假q真.p：任意x∈[1，2]，x2－a≥0为假命题，∴存在x∈[1，2]，x2－a<0为真命题，即a>x2成立，∴a>1.q：存在x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0为真命题，所以Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，∴a≥1或a≤－2.综上，a>1.(2)当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥14－m，所以m≥14.迁移本例(2)中，若将“存在x2∈[1，2]”改为“任意x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________.答案12，＋∞解析当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝12－m，对任意x1∈[0，3]，任意x2∈[1，2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)max，得0≥1 2－m，∴m≥1 2 .感悟提升 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.2.全称命题可转化为恒成立问题.3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.训练2(2022·许昌质检)已知p：关于x的方程e x－a＝0在(－∞，0)上有解；q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是________.答案，12∪[1，＋∞)解析p真：a＝e x在(－∞，0)上有解，∴0<a<1.q真：ax2－x＋a>0在R上恒成立，当a＝0时，显然不成立；当a≠0>0，＝（－1）2－4a2<0，∴a>12.又p或q为真，p且q为假，∴p真q假或p假q真.当p真qa<1，≤12，∴0<a≤12，当p假q≤0或a≥1，>12，∴a≥1.∴0<a≤12或a≥1.1.(2021·成都诊断)已知命题p：对任意的x∈R，2x－x2≥1，则非p为()A.对任意的x∉R，2x－x2<1B.存在x∉R，2x－x2<1C.对任意的x∈R，2x－x2<1D.存在x∈R，2x－x2<1答案D解析p：任意x∈R，2x－x2≥1，∴非p：存在x∈R，2x－x2<1.2.“p且q是真命题”是“p或q是真命题”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A3.下列命题的否定是真命题的是()A.有些实数的绝对值是正数B.所有平行四边形都不是菱形C.任意两个等边三角形都是相似的D.3是方程x2－9＝0的一个根答案B4.命题“任意x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否定是()A.任意x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0B.任意x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C.存在x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0D.存在x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0答案D解析根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得：命题“任意x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“存在x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”.故选D.5.命题p：甲的数学成绩不低于100分，命题q：乙的数学成绩低于100分，则p 或(非q)表示()A.甲、乙两人的数学成绩都低于100分B.甲、乙两人至少有一人的数学成绩低于100分C.甲、乙两人的数学成绩都不低于100分D.甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分答案D解析由于命题q：乙的数学成绩低于100分，因此非q：乙的数学成绩不低于100分，所以p或(非q)表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分. 6.已知命题“存在x∈R，4x2＋(a－2)x＋14≤0”是假命题，则实数a的取值范围为()A.(－∞，0)B.[0，4]C.[4，＋∞)D.(0，4)答案D解析因为命题“存在x∈R，4x2＋(a－2)x＋14≤0”是假命题，所以其否定为“任意x∈R，4x2＋(a－2)x＋14>0”是真命题.则Δ＝(a－2)2－4×4×14＝a2－4a<0，解得0<a<4.7.(2021·衡水检测)命题p：若向量a·b<0，则a与b的夹角为钝角；命题q：若cosα·cosβ＝1，则sin(α＋β)＝0.下列命题为真命题的是()A.pB.非qC.p且qD.p或q答案D解析当a，b方向相反时，a·b<0，但夹角是180°，不是钝角，命题p是假命题；若cosαcosβ＝1，则cosα＝cosβ＝1或cosα＝cosβ＝－1，所以sinα＝sinβ＝0，从而sin(α＋β)＝0，命题q是真命题，所以p或q是真命题.8.已知命题p：“任意x∈[0，1]，a≥e x”；命题q：“存在x0∈R，使得x20＋4x0＋a＝0”.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为()A.[e，4]B.(－∞，e]C.[e，4)D.[4，＋∞)答案A解析若命题“p且q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由任意x∈[0，1]，a≥e x，得a≥e；由存在x0∈R，使x20＋4x0＋a＝0，得Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.9.命题：存在x0∈R，1<f(x0)<2的否定是________________________.答案任意x∈R，f(x)≤1或f(x)≥210.若“任意x∈0，π4，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.答案1解析∵函数y＝tan x在0，π4上是增函数，∴y max＝tan π4＝1，依题意，m≥y max，即m≥1.∴m的最小值为1.11.下列命题为真命题的是________(填序号).①存在x0∈R，x20＋x0＋1≤0；②任意a∈R，f(x)＝log(a2＋2)x在定义域内是增函数；③若f(x)＝2x－2－x，则任意x∈R，f(－x)＝－f(x)；④若f(x)＝x＋1x，则∃x0∈(0，＋∞)，f(x0)＝1.答案②③解析x20＋x0＋10＋34>0，故①错误；∵a2＋2≥2>1，∴f(x)＝log(a2＋2)x在(0，＋∞)上是增函数，故②正确；f(x)为奇函数，所以任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，故③正确；x0∈(0，＋∞)时，f(x0)＝x0＋1x0≥2，当且仅当x0＝1时取“＝”，故④错误.综上有②③正确.12.(2022·周口调研)已知p：函数f(x)＝x2－(2a＋4)x＋6在(1，＋∞)上是增函数，q：任意x∈R，x2＋ax＋2a－3>0，若p且(非q)是真命题，则实数a的取值范围为________.答案(－∞，－1]解析依题意，p为真命题，非q为真命题.若p为真命题，则2a＋42≤1，解得a≤－1.①若非q为真命题，则存在x0∈R，x20＋ax0＋2a－3≤0成立.∴a2－4(2a－3)≥0，解之得a≥6或a≤2.②结合①②，知a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1].13.已知命题p：任意x>0，e x>x＋1，命题q：存在x∈(0，＋∞)，ln x≥x，则下列命题为真命题的是()A.p且qB.(非p)且qC.p且(非q)D.(非p)且(非q)答案C解析令f(x)＝e x－x－1，则f′(x)＝e x－1，当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)>f(0)＝0，即e x>x＋1，则命题p真；令g(x)＝ln x－x，x>0，则g′(x)＝1x－1＝1－xx，当x∈(0，1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，即当x＝1时，g(x)取得极大值，也是最大值，所以g(x)max＝g(1)＝－1<0，∴g(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，则命题q假，因此非q为真，故p且(非q)为真.14.(2019·全国Ⅲ卷)＋y≥6，x－y≥0表示的平面区域为D.命题p：存在(x，y)∈D，2x＋y≥9；命题q：任意(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题①p或q；②(非p)或q；③p且(非q)；④(非p)且(非q).这四个命题中，所有真命题的编号是()A.①③B.①②C.②③D.③④答案A 解析由不等式组画出平面区域D ，如图阴影部分所示，在图中画出直线2x ＋y ＝9，可知p 为真命题，非p 为假命题，作出直线2x ＋y ＝12，2x ＋y ≤12表示直线及其下方区域，易知命题q 为假命题；命题非q 为真命题；∴p 或q 为真，(非p )或q 为假，p 且(非q )为真，(非p )且(非q )为假.故真命题的编号为①③.15.已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“存在x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________.答案0解析“存在x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”的否定是任意x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0，依题意：命题任意x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0为真命题，故函数y ＝f (x )，x ∈(a ，b )为奇函数，∴a ＋b ＝0，∴f (a ＋b )＝f (0)＝0.16.若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，任意x 1∈[－1，2]，存在x 0∈[－1，2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________.答案，12解析设f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)在[－1，2]上的值域分别为A ，B ，则A ＝[－1，3]，B ＝[－a ＋2，2a ＋2]，a ＋2≥－1，a ＋2≤3，∴a ≤12，又∵a >0，∴0<a ≤12.。
高中数学第一章常用逻辑术语1.4全称量词与存在量词1.4.3含有一个量词的命题的否定讲义新人教A版选修21123102251．4.3 含有一个量词的命题的否定1．含有一个量词的全称命题的否定全称命题p 綈p 结论∀x∈M，p(x)□01∃x0∈M，綈p(x0) 全称命题的否定是□02特称命题2．含有一个量词的特称命题的否定特称命题p 綈p 结论∃x0∈M，p(x0)□03∀x∈M，綈p(x)特称命题的否定是□04全称命题1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．( )(2)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．( )(3)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”．( ) 答案(1)√(2)×(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)“至多有一个”的否定为_______________________________________．(2)已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则綈p是_____________________________．(3)命题“∃x0∈Q，x20＝5”的否定是________(填“真”或“假”)命题．(4)已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为________．答案(1)至少有两个(2)∃x0∈R，sin x0>1 (3)真(4)∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1探究1 全称命题的否定例1 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定． (1)p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ＋1sin x ≥2；(2)p ：∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx 是偶函数； (3)p ：每个三角形至少有两个锐角．[解] (1)p 是真命题，由x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2得sin x ∈(0,1)，sin x ＋1sin x>2sin x ·1sin x＝2，故p 为真命题．綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0＋1sin x 0<2.(2)p 是假命题，当m ＝0时，f (x )才是偶函数． 綈p ：∃m 0∈R ，函数f (x )＝x 2＋m 0x 不是偶函数． (3)p 是真命题．綈p ：有的三角形至多有一个锐角． 拓展提升1.对全称命题否定的两个步骤(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 2．全称命题否定后的真假判断方法全称命题的否定是特称命题，其真假性与全称命题相反；要说明一个全称命题是假命题，只需举一个反例即可．【跟踪训练1】 写出下列全称命题的否定，并判断真假． (1)p ：正方形是矩形； (2)p ：∀α∈R ，都有cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α.解 (1)綈p ：存在一个正方形不是矩形，这是假命题．(2)綈p ：∃α0∈R ，使得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α0≠sin α0，这是假命题． 探究2 特称命题的否定例2 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定． (1)p ：有一个奇数不能被3整除； (2)p ：有些三角形的三个内角都是60°；(3)p ：∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β. [解] (1)p 是真命题，如5不能被3整除． 綈p ：任意一个奇数都能被3整除．(2)p 是真命题，等边三角形的三个内角都为60°. 綈p ：任意三角形的三个内角不都为60°.(3)p 是真命题，∵当α＝π4，β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β.綈p ：∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β. 拓展提升1.对特称命题否定的两个步骤(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 2．特称命题否定后的真假判断特称命题的否定是全称命题，其真假性与特称命题相反；要说明一个特称命题是真命题，只需要找到一个实例即可．【跟踪训练2】 写出下列特称命题的否定，并判断真假． (1)p ：有的一元二次方程有实数根； (2)p ：∃x 0∈R ，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π2＝sin x 0. 解 (1)綈p ：所有的一元二次方程都没有实数根，这是假命题．(2)綈p ：∀x ∈R ，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2≠sin x ，这是假命题，如sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋π2＝sin π4. 探究3 含有一个量词的命题的否定 例3 写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)q ：存在一个实数x 0，使得x 20＋x 0＋1≤0； (3)r ：等圆的面积相等，周长相等．[解] (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，其否定形式是綈p ：存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根．注意到当Δ＝1＋4m <0时，即m <－14时，一元二次方程没有实数根，所以綈p 是真命题．(2)这一命题的否定形式是綈q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.由x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0知，綈q 是真命题．(3)这一命题的否定形式是綈r ：存在二个等圆，其面积不相等或周长不相等．由平面几何知识知綈r 是假命题．拓展提升分清所给命题是全称命题还是特称命题是正确写出其否定的关键，同时要熟悉常用量词的否定形式．【跟踪训练3】 写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p ：∀x >1，log 2x >0；(2)p ：直线l ⊥平面α，则对任意l ′⊂平面α，l ⊥l ′； (3)p ：∀x 0>1，使x 20－2x 0－3＝0. 解 (1)綈p ：∃x 0>1，log 2x 0≤0. ∵当x >1时，log 2x >0， ∴綈p 为假命题．(2)綈p ：直线l ⊥平面α，∃l ′⊂α，l 与l ′不垂直． ∵直线l ⊥平面α，l ′⊂α，∴l ⊥l ′， ∴綈p 是假命题．(3)綈p ：∃x >1，使x 2－2x －3≠0. ∵当x ＝2>1时，x 2－2x －3≠0， ∴綈p 是真命题．探究4 求参数的取值范围例4 已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1≠0，q ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≤0.若(綈p )∧(綈q )为真命题，求实数a 的取值范围．[解] ∵(綈p )∧(綈q )为真命题，∴綈p 与綈q 都是真命题，从而p 与q 都是假命题． ∴“关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有解”与“ax 2＋ax ＋1>0对一切x ∈R 恒成立”都是真命题．由关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有解，得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，4－4a ≥0，即a ＝0或a ≤1且a ≠0，∴a ≤1.由ax 2＋ax ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，即a ＝0或0<a <4，∴0≤a <4.由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，0≤a <4得0≤a ≤1，故实数a 的取值范围是[0,1]． [解法探究] 此题有没有其他解法呢？解 ∵p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1≠0，q ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≤0，∴綈p ：∃x ∈R ，ax 2＋2x ＋1＝0，綈q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，由(綈p )∧(綈q )为真命题知，綈p 与綈q 都是真命题．由綈p 为真命题得a ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，4－4a ≥0，故a ≤1.由綈q 为真命题得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，故0≤a <4.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，0≤a <4，解得0≤a ≤1.故实数a 的取值范围是[0,1]． 拓展提升含有一个量词的命题与参数范围的求解策略(1)对于全称命题“∀x ∈M ，a >f (x )(或a <f (x ))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f (x )的最大值(或最小值)，即a >f (x )max (或a <f (x )min )．(2)对于特称命题“∃x 0∈M ，a >f (x 0)(或a <f (x 0))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f (x )的最小值(或最大值)，即a >f (x )min (或a <f (x )max )．(3)若全称命题为假命题，通常转化为其否定命题——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定命题——全称命题为真命题解决．【跟踪训练4】已知函数f(x)＝x2－mx＋1，命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”．命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”．若命题“非p”与“q”均为真命题，求实数m的取值范围．解由于命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，所以非p：“不等式f(x)≤0在实数集上有解”，故Δ＝m2－4≥0，得m≤－2或m≥2.又命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”，即不等式x2<9－m2在实数集上有解，故9－m2>0，所以－3<m<3.因为命题“非p”与“q”均为真命题，所以m的取值范围为(－3，－2]∪[2,3)．1.对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定.2.对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定．含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断.3.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此在书写时，要注意量词以及形式的变化，熟练掌握常见词语的否定形式.1．命题“∃x0∈R,3x0≤0”的否定是( )A．∀x∈R,3x≤0 B．∃x0∈R,3x0≥0C．∃x0∈R,3x0>0 D．∀x∈R,3x>0答案 D解析特称命题的否定是全称命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论即“≤”改为“>”．故选D.2．全称命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是( )A．所有能被5整除的整数都不是奇数B．所有奇数都不能被5整除C．存在一个能被5整除的整数不是奇数D．存在一个奇数，不能被5整除答案 C解析全称命题的否定是特称命题，而A，B是全称命题，所以A，B错误．因为“所有能被5整除的整数”的否定是“存在一个能被5整除的整数”，所以D错误，C正确．故选C.3．对下列命题的否定，其中说法错误的是( )A．p：∀x≥3，x2－2x－3≥0；綈p：∃x≥3，x2－2x－3<0B．p：存在一个四边形的四个顶点不共圆；綈p：每一个四边形的四个顶点共圆C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D．p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；綈p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0答案 C解析若p：有的三角形为正三角形，则綈p：所有的三角形都不是正三角形，故C错误．4．若命题“∃x0∈R，x20＋(a－1)x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为________．答案[－1,3]解析依题意可得“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”为真命题，所以Δ＝(a－1)2－4≤0，所以－1≤a≤3.5．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：矩形是平行四边形；(2)q：∀x≥0，x2>0；(3)r：存在一个三角形，它的内角和大于180°；(4)t：某些梯形的对角线互相平分．解(1)綈p：存在一个矩形不是平行四边形，假命题．(2)綈q：∃x≥0，x2≤0，真命题．(3)綈r：所有三角形的内角和都小于或等于180°，真命题．(4)綈t：每一个梯形的对角线都不互相平分，真命题．。
第一章 1.4 1.4.1 1.4.2A 级 基础巩固一、选择题1．下列命题中，全称命题的个数为( C )①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A ．0B ．1C ．2D ．3[解析]①②是全称命题，③是特称命题．2．下列特称命题中真命题的个数是( D )①∃x ∈R ，x ≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∃x ∈{x |x 是整数}，x 2是整数．A ．0B ．1C ．2D ．3 [解析]①②③都是真命题．3．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( A )A ．存在一个α0，使tan(90°－α0)＝tan α0B ．存在实数x 0，使sin x 0＝π2C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β[解析]选项A ，B 为特称命题，故排除C 、D ．因π2>1，则不存在实数x 0，使sin x 0＝π2，故排除B ，故选A ．4．下列命题：①至少有一个x 使x 2＋2x ＋1＝0成立；②对任意的x 都有x 2＋2x ＋1＝0成立；③对任意的x 都有x 2＋2x ＋1＝0不成立；④存在x 使得x 2＋2x ＋1＝0成立．其中是全称命题的有( B )A ．1个B ．2个C．3个D．0个[解析]②③含有全称量词，所以是全称命题．5．下列命题中为特称命题的是(C)A．所有的整数都是有理数B．三角形的内角和都是180°C．有些三角形是等腰三角形D．正方形都是菱形[解析]A、B、D为全称命题，C中含有存在量词“有些”，故为特称命题．6．已知命题p：∃x0∈R，x20＋ax0＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值X围是(A) A．[0,4] B．(0,4)C．(－∞，0)∪(4，＋∞) D．(－∞，0]∪[4，＋∞)[解析]假设p为真，Δ＝a2－4a>0即a>4或a<0∵p为假，∴0≤a≤4∴实数a的取值X围[0,4]．二、填空题7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成特称命题为__∃x0<0，(1＋x0)(1－9x0)2>0__.[解析]根据特称命题的定义改写．8．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为__0__.[解析]x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题，对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题，4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．三、解答题9．用符号表示下列全称命题：(1)对任意a >1，都有函数f (x )＝a x 在R 上是增函数；(2)对所有实数m ，都有2－m 2－1<0； (3)对每一个实数x ，都有cos x <1.[解析](1)∀a >1，函数f (x )＝a x 在R 上是增函数．(2)∀m ∈R ，2－m 2－1<0. (3)∀x ∈R ，cos x <1.B 级 素养提升一、选择题1．下列命题为特称命题的是( D )A ．偶函数的图象关于y 轴对称B ．正四棱柱都是平行六面体C ．不相交的两条直线是平行直线D ．存在大于等于3的实数[解析]选项A ，B ，C 是全称命题，选项D 含有存在量词．故选D ．2．下列命题是真命题的是( D )A ．∀x ∈R ，(x －2)2>0B ．∀x ∈Q ，x 2>0C ．∃x 0∈Z,3x 0＝812D ．∃x 0∈R,3x 20－4＝6x 0[解析]A 中当x ＝2时不成立，B 中由于0∈Q ，故B 不正确，C 中满足3x 0＝812的x 0不是整数，故只有D 正确．3．(多选题)已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值可以是( BC )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1[解析]p 真：m <0.q 真：Δ＝m 2－4<0，∴－2<m <2.∵p ∧q 为真命题，∴p 、q 均为真命题，∴－2<m <0，故选BC ．4．(多选题)已知命题p ：∃x 0∈N ，x 30<x 20；命题q ：∀a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图象过点(2,0)，则下列说法错误的是( BCD )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真[解析]由x 30<x 20，得x 20(x 0－1)<0，解得x 0<0或0<x 0<1，在这个X 围内没有自然数， ∴命题p 为假命题；∵对任意的a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，均有f (2)＝log a 1＝0，∴命题q 为真命题．故选BCD ．二、填空题5．下列特称命题是真命题的序号是__①③④__.①有些不相似的三角形面积相等；②存在一实数x 0，使x 20＋x 0＋1<0；③存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．[解析]①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，所以不存在实数x 0，使x 20＋x 0＋1<0，故②为假命题；③中当实数a 大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题，故选①③④.6．给出下列语句：①所有的偶数都是素数；②有些二次函数的图象不过坐标原点；③|x －1|<2；④对任意的实数x >5，都有x >3.其中是全称命题的是__①④__.(填序号)[解析]①④是全称命题，②是特称命题，③不是命题．三、解答题7．判断下列命题的真假：(1)任给x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数； (2)存在α、β∈R ，sin (α＋β)＝sin α＋sin β；(3)存在x 、y ∈Z,3x －2y ＝10；(4)任给a 、b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解．[解析](1)∵x ∈Q ，∴13x 2与12x 均为有理数，从而13x 2＋12x ＋1是有理数，∴(1)真； (2)当α＝0，β＝π3时，sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立， ∴(2)真；(3)当x ＝4，y ＝1时，3x －2y ＝10，∴(3)真；(4)当a ＝0，b ＝1时，0x ＋1＝0无解，∴(4)假．8．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，某某数a 的取值X 围．[解析]由“p 且q ”是真命题，知p 为真命题，q 也为真命题．若p 为真命题，则a ≤x 2对于x ∈[1,2]恒成立．所以a ≤1.若q 为真命题，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，所以Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2.综上，实数a 的取值X 围为a ≤－2或a ＝1.。
含有一个量词的命题的否定
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．∃m 0，n 0∈Z，使得m 20＝n 20＋1998的否定是( )
A ．∀m ，n ∈Z ，使得m 2＝n 2＋1998
B ．∃m 0，n 0∈Z ，使得m 20≠n 20＋1998
C ．∀m ，n ∈Z ，使得m 2≠n 2＋1998
D ．以上都不对
2．命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0”的否定是( )
A ．∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋1<0
B ．∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋1≥0
C ．∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋1≤0
D ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋1<0
3．命题“存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m ≤0”的否定是( )
A ．存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0
B ．不存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0
C ．对于任意x ∈Z ，都有x 2＋2x ＋m ≤0
D ．对于任意x ∈Z ，都有x 2＋2x ＋m >0
4．特称命题“∃x 0∉M ，p (x 0)”的否定是( )
A ．∀x ∈M ，綈p (x )
B ．∀x ∉M ，p (x )
C ．∀x ∉M ，綈p (x )
D ．∀x ∈M ，p (x )
5．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)
B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)
C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)
D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)
6．若函数f (x )＝x 2＋a x
(a ∈R)，则下列结论正确的是( )
A ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数
B ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数
C ．∃a ∈R ，f (x )是偶函数
D ．∃a ∈R ，f (x )是奇函数
二、填空题(每小题8分，共24分)
7．命题“∃x 0∈R ，x 20≤0”的否定是________．
8．已知命题p ：“∀x ∈R ，e x ≤1”，则命题綈p 是________．
9．设命题p：c2<c和命题q：对∀x∈R，x2＋4cx＋1>0，若p和q有且仅有一个成立，则实数c的取值范围是________．
三、解答题(共40分)
10．(10分)判断下列命题的真假，并写出它们的否定：
(1)∀α，β∈R，sin(α＋β)≠sinα＋sinβ；
(2)∃x0，y0∈Z,3x0－4y0＝20；
(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；
(4)正数的对数都是正数．
11．(15分)用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)二次函数的图象是抛物线．
(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象．
(3)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．
(4)∀T＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T)＝sin x.
12．(15分)给定两个命题：
p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；
q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；
如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
参考答案:
1.解析：这是一个特称命题，其否定为全称命题，形式是：∀m，n∈Z，有m2≠n2＋1998.
答案：C
2.解析：由定义直接可得．
答案：A
3.解析：由特称命题的否定得出．
答案：D
4.解析：由特称命题的否定的定义可得．
答案：C
5.解析：由题知：x0＝－b
2a
为函数f(x)图象的对称轴，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的，故选C.
答案：C
6.解析：对于A只有在a≤0时f(x)在(0，＋∞)上是增函数，否则不满足；对于B，如果a≤0就不成立；对于D若a＝0，则成为偶函数了，因此只有C是正确的，即对于a＝0时有f(x)＝x2是一个偶函数，因此存在这样的a，使f(x)是偶函数．
答案：C
7.解析：由题知，本题为特称命题，故其否定为全称命题．
答案：∀x ∈R ，x 2
>0
8.解析：由定义直接可得．
答案：∃x 0∈R ，e x 0>1
9.解析：p ：0<c <1；q ：由Δ<0知－12<c <12
. ∴若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<c <1，c ≥12或c ≤－12，得12≤c <1. 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ c ≤0或c ≥1，－12<c <12
，得－12
<c ≤0. 综上：12≤c <1或－12
<c ≤0. 10.答案：－12<c ≤0或12≤c <1 11.解：(1)假命题，否定为：∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；
(2)真命题，否定为：∀x ，y ∈Z,3x －4y ≠20；
(3)真命题，否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解；
(4)假命题，否定为：存在一个正数，它的对数不是正数．
12.解：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a>0Δ<0⇔0≤a<4；
关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根⇔1－4a≥0⇔a≤14
； 若p 真，且q 假，有0≤a<4，且a>14，∴14
<a<4； 若q 真，且p 假，有a<0或a≥4，且a≤14
，∴a<0. 所以实数a 的取值范围为(－∞，0)∪(14
，4)． 13.解：(1)綈p ：∃x 0∈{二次函数}，x 0的图象不是抛物线．假命题．
(2)綈p ：在直角坐标系中，∃x 0∈{直线}，x 0不是一次函数的图象．真命题．
(3)綈p ：∃a 0，b 0∈R ，方程a 0x ＋b 0＝0无解或至少有两解．真命题．
(4)綈p ：∃T 0＝2kπ(k ∈Z)，sin(x ＋T 0)≠sin x ，是假命题．。
