平行四边形证明题练习

平行四边形参考答案典型例题例1．证明：∵DM⊥AC, BN⊥AC,DM=BN,AM=CN ∴△ADM≌△CBN ∴AD=CB,∠DAM=∠BCN ∴AD∥CB ∴平行四边形ABCD是平行四边形例2.解：∵BC∥AD,BC=AD, ∴ED=BF∴四边形BFDE是平行四边形，所以EB与DF平行且相等①成立，因为ED=BF，四边形BFDE仍是平行四边形，所以EB与DF仍平行且相等②成立，只要ED=BF，就成立③成立。

∵∠ABC=∠ADC, ∠BAD=∠BCD, ∠ABE=∠CDF∴∠EBF=∠EDF, ∠BED=∠BFD∴四边形BFDE是平行四边形，所以EB与DF平行且相等例3.解：PF∥AB,PE∥AC，则四边形AEPF是平行四边形，其周长为2(PE+PF)点P是BC的三等分点，则13PF CPAB CB==,23PE BPAC BC==, 又AB=AC，所以2(PE+PF)=2*12()33+AB=2AB例4.解：①连结AC，BD②将AD和BC四等分，连结对应分点③连结AC，取BC和AD的中点分别为E、F,连结AE、CF例5.解：CF=BE ∵DE∥BC EF∥AC ∴四边形EDCF是平行四边形∴CF=ED ∵BD平分∠ABC, ∠CBD=∠BDE ∴∠DBE=∠BDE ∴BE=ED ∴CF=BE例6.解：连结BD，则GF∥BD，HE∥BD, GF=HE=12BD，所以四边形EFGH是平行四边形例7.（1）证明：旋转90°时，EF⊥AC,又AB⊥AC 则AB∥EF,又AF∥BE，所以四边形ABEF是平行四边形（2）∵AO=CO，∠AOF=∠COE, ∠OAF=∠OCE∴△AOF≌△COE ∴AF=CE（3）可能。

此时EF⊥BD,旋转的角度为∠AOF=90°-∠AOB, AC=2,AO=1=AB,所以∠AOB=45°，所以旋转的角度为45°双基练习1.19,112.1203.1444.185. 50°6.C7.D8.D9.解：∵∠AEB=∠DAE, ∠DAE=∠BAE∴AB=BE=BC-CE=3∴周长为2(AD+AB)=18巩固练习1.AO=CO或BO=DO2.C3.D4.C5.156.187.15,108.解：∵AO=CO,EO为公共边，∠AOE=∠COE∴△AOE≌△COE,∴AE=CE∴周长为CD+DE+CE=CD+AD=89.10.DF和AE相互平分。

平行四边形证明练习题一．解答题1．如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，中，BE=DF BE=DF BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF．．求证：∠DAE=∠BCF．2．在▱ABCD 中，中，E E ，F 分别是BC BC、、AD 上的点，且BE=DF BE=DF．求证：．求证：．求证：AE=CF AE=CF AE=CF．．3．如图，四边形ABCD 是平行四边形，是平行四边形，E E 、F 分别是BC BC．．AD 上的点，∠1=∠2求证：△ABE≌△CDF．4．如图，已知：平行四边形ABCD 中，中，E E 是CD 边的中点，连接BE 并延长与AD 的延长线相交于F 点．求证：点．求证：BC=DF BC=DF BC=DF．．5．如图，在▱ABCD 中，中，AC AC 交BD 于点O ，点E 、点F 分别是OA OA、、OC 的中点，请判断线段BE BE、、DF 的关系，并证明你的结论．6．已知：如图，▱ABCD 中，中，E E 、F 是对角线AC 上的点，且AE=CF AE=CF．求证：△ABE≌△CDF．．求证：△ABE≌△CDF．8．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，中，AD∥BC，AB=CD=AE AB=CD=AE AB=CD=AE．四边形．四边形AECD 是平行四边形吗？为什么？9．如图，．如图，E E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，上的两点，AE=CF AE=CF AE=CF．求证：．求证：．求证：DE=BF DE=BF DE=BF．．1010．如图，四边形．如图，四边形ABCD 中，中，AD=BC AD=BC AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E 、F ，AE=CF AE=CF，求证：四边形，求证：四边形ABCD 是平行四边形．1111．如图，在△ABC ．如图，在△ABC 中，中，AD AD 是中线，点E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，连接BF BF．． 求证：四边形AFBD 是平行四边形．1212．如图，在等腰梯形．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，中，AD∥BC，AB=DC AB=DC AB=DC，DE∥AB，，DE∥AB，，DE∥AB，AD+DC=BC AD+DC=BC AD+DC=BC．．求证：（1）DE=DC DE=DC；；（2）△DEC 是等边三角形．1313．已知：如图，．已知：如图，．已知：如图，E E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，上的两点，AE=CF AE=CF AE=CF．．求证：（1）△ADF≌△CBE；1414．如图，平行四边形．如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在AB AB、、BC BC、、CD CD、、AD 边上且AE=CG AE=CG，，AH=CF AH=CF．．求证：四边形EFGH 是平行四边形．1515．如图，在平行四边形．如图，在平行四边形ABCD 中，中，E E 、F 是对角线AC 上的点，且AE=CF AE=CF．．（1）猜想探究：）猜想探究：BE BE 与DF 之间的关系： _________（2）请证明你的猜想．1616．如图，．如图，．如图，E E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，且BE∥DF．求证：∠1=∠2．1717．如图，已知．如图，已知E ，F 分别是▱ABCD 的边AB AB，，CD 的中点．求证：的中点．求证：ED=BF ED=BF ED=BF．．1818．如图，．如图，．如图，BD BD 是▱ABCD 的对角线，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ．求证：四边形DEBF 为平行四边形．1919．如图，在．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，已知点E 、F 分别为AO AO、、OC 的中点，证明：四边形BFDE 是平2020．如图所示，．如图所示，．如图所示，A A ，E ，F ，C 在一条直线上，在一条直线上，AE=CF AE=CF AE=CF，过，过E ，F 分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD AB=CD，可以得到，可以得到BD 平分EF EF，为什么？说明理由．，为什么？说明理由．2121．如图，△ABC ．如图，△ABC 的中线BD BD、、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB OB、、OC 的中点．求证：求证：EF=DG EF=DG 且EF∥DG．2222．已知如图所示，．已知如图所示，▱ABCD 的对角线AC AC、、BD 交于O ，GH 过点O ，分别交AD AD、、BC 于G 、H ，E 、F 在AC 上且AE=CF AE=CF，，求证：四边形EHFG 是平行四边形．平行四边形证明练习题参考答案与试题解析一．解答题（共22小题）1．如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，中，BE=DF BE=DF BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF．．求证：∠DAE=∠BCF．考点： 平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．分析： 根据平行四边形性质求出AD∥BC，且AD=BC AD=BC，推出∠ADE=∠CBF，求出，推出∠ADE=∠CBF，求出DE=BF DE=BF，证△ADE≌△CBF，推出，证△ADE≌△CBF，推出∠DAE=∠BCF 即可．解答： 证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC AD=BC，，∴∠ADE=∠CBF又∵BE=DF，∴BF=DE，∵在△ADE 和△CBF 中，∴△ADE≌△CBF，∴∠DAE=∠BCF．点评： 本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出证出△ADE 和△CBF全等的三个条件，主要考查学生的推理能力．2．在▱ABCD 中，中，E E ，F 分别是BC BC、、AD 上的点，且BE=DF BE=DF．求证：．求证：．求证：AE=CF AE=CF AE=CF．．考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．分析： 根据平行四边形的性质得出AB=CD AB=CD，∠B=∠D，根据，∠B=∠D，根据SAS 证出△ABE≌△CDF 即可推出答案．解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF．点评： 本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能根据性质证出△ABE≌△CDF 是证此题的关键．求证：△ABE≌△CDF．考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定．分析： 利用平行四边形的性质和题目提供的相等的角可以为证明三角形全等提供足够的条件．解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B=∠D，∴∠B=∠D，AB=CD AB=CD AB=CD，，∴在：△ABE 与△CDF 中，∴△ABE≌△CDF（∴△ABE≌△CDF（ASA ASA ASA））点评： 本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，根据平行四边形找到证明全等三角形足够的条件是解决本题的关键．4．如图，已知：平行四边形ABCD 中，中，E E 是CD 边的中点，连接BE 并延长与AD 的延长线相交于F 点．求证：点．求证：BC=DF BC=DF BC=DF．．考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．分析： 由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD∥BC，根据平行线的性质即可求得∠EBC=∠F，∠C=∠EDF，又由E是CD 边的中点，根据AAS 即可求得△EBC≌△EFD，则问题得证．解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EBC=∠F，∠C=∠EDF，又∵EC=ED，∴△EBC≌△EFD（∴△EBC≌△EFD（AAS AAS AAS））， ∴BC=DF．点评： 此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．5．（2013•莒南县二模）如图，在▱ABCD 中，中，AC AC 交BD 于点O ，点E 、点F 分别是OA OA、、OC 的中点，请判断线段BE BE、、DF 的关系，并证明你的结论．边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE 是平行四边形，从而得出BE=DF BE=DF，，BE∥DF．解答： 解：由题意得：解：由题意得：BE=DF BE=DF BE=DF，BE∥DF．理由如下：，BE∥DF．理由如下：连接DE DE、、BF BF．．∵ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，∴OA=OC，OB=OD OB=OD OB=OD，，∵E，∵E，F F 分别是OA OA，，OC 的中点，∴OE=OF，∴BFDE 是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．点评： 本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．6．已知：如图，▱ABCD 中，中，E E 、F 是对角线AC 上的点，且AE=CF AE=CF．．求证：△ABE≌△CDF．考点： 平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定．分析： 根据平行四边形的性质得出AB∥DC，AB∥DC，AB=CD AB=CD AB=CD，根据平行线的性质推出∠BAC=∠DCF，根据，根据平行线的性质推出∠BAC=∠DCF，根据SAS 证出即可． 解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥DC，∴AB∥DC，AB=CD AB=CD AB=CD，，∴∠BAC=∠DCF，∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF．点评： 本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出证△ABE≌△CDF 的三个条件是解此题的关键．7．如图，已知在▱ABCD 中，过AC 中点的直线交CD CD，，AB 于点E ，F ．求证：．求证：DE=BF DE=BF DE=BF．．考点： 平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．解答： 证明：∵四边形ABCD ABCD 是平行四边形，是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB，∴∠ECA=∠BAC，∠CEO=∠AFO，∵OA=OC，∴△AOF≌△COE，∴CE=AF，∵DC=AB，∴DE=BF．点评： 本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，解此题的关键是根据平行四边形的性质证出△AOF 和△COE 全等．8．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，中，AD∥BC，AB=CD=AE AB=CD=AE AB=CD=AE．四边形．四边形AECD 是平行四边形吗？为什么？考点： 等腰梯形的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定．分析： 根据等腰三角形性质求出∠B=∠C，根据等腰三角形性质推出∠AEC=∠B=∠C，推出AE∥CD，根据平行四边形的判定推出即可．解答： 解：是平行四边形，理由：∵四边形ABCD 是等腰梯形，AD∥BC，∴AB=DC，∠B=∠C，∵AB=AE，∴∠AEB=∠B，∴∠AEB=∠C，∴AE∥DC，又∵AD∥BC，∴四边形AECD 是平行四边形．点评： 本题考查了等腰三角形的性质，等腰梯形的性质，平行线的性质和判定，平行四边形的判定等知识点的应用，关键是根据题意推出AE∥CD，培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目较好，综合性比较强．9．如图，．如图，E E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，上的两点，AE=CF AE=CF AE=CF．求证：．求证：．求证：DE=BF DE=BF DE=BF．．考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．分析： 连接BE BE，，DF DF，，BD BD，，BD 交AC 于O ，根据平行四边形性质求出OA=OC OA=OC，，OD=OB OD=OB，推出，推出OE=OF OE=OF，根据平行四边形的，根据平行四边形的判定推出四边形BEDF 是平行四边形即可．解答： 证明：连接BE BE，，DF DF，，BD BD，，BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，∴OA=OC，OD=OB OD=OB OD=OB，，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴DE=BF．点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定等应用，关键是能熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理，此题的证明方法二是证△AED≌△CFB，推出DE=BF DE=BF．．1010．如图，四边形．如图，四边形ABCD 中，中，AD=BC AD=BC AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E 、F ，AE=CF AE=CF，求证：四边形，求证：四边形ABCD 是平行四边形．考点： 平行四边形的判定；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．分析： 求出∠AED=∠CFB=90°，根据HL 证Rt△AED≌Rt△CFB，推出∠ADE=∠CBD，得到AD∥BC，根据平行四边形的判定判断即可．解答： 证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，在Rt△AED 和Rt△CFB 中，∴Rt△AED≌Rt△CFB（∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL HL HL））， ∴∠ADE=∠CBD，∴AD∥BC，∵AD=BC，∴四边形ABCD 是平行四边形．点评： 本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出AD∥BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力．1111．如图，在△ABC ．如图，在△ABC 中，中，AD AD 是中线，点E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，连接BF BF．． 求证：四边形AFBD 是平行四边形．考点： 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．专题： 证明题．分析： 求出AE=DE AE=DE，∠AFE=∠DCE，证△AEF≌△CED，推出，∠AFE=∠DCE，证△AEF≌△CED，推出AF=DC AF=DC，得出，得出AF∥BD，AF∥BD，AF=BD AF=BD AF=BD，根据平行四边形的判定推，根据平行四边形的判定推出即可．解答： 证明：∵E 为AD 中点，∴∠AFE=∠DCE，在△AEF 和△CED 中∵，∴△AEF≌△CED（∴△AEF≌△CED（AAS AAS AAS））， ∴AF=DC，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=DC，∴AF=BD，即AF∥BD，AF∥BD，AF=BD AF=BD AF=BD，，故四边形AFBD 是平行四边形．点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，关键是推出AF=DC=BD AF=DC=BD．．1212．如图，在等腰梯形．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，中，AD∥BC，AB=DC AB=DC AB=DC，DE∥AB，，DE∥AB，，DE∥AB，AD+DC=BC AD+DC=BC AD+DC=BC．．求证：（1）DE=DC DE=DC；；（2）△DEC 是等边三角形．考点： 等腰梯形的性质；等边三角形的判定；平行四边形的判定与性质．分析： （1）证出平行四边形ABED ABED，，推出DE=AB DE=AB，，即可推出答案；（2）根据BE=AD BE=AD，，AD+DC=BC AD+DC=BC，，BE+EC=BC BE+EC=BC，，推出DC=EC 即可证出答案．解答： 证明：（1）∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED 是平行四边形，∴DE=AB，∵AB=DC，∴DE=DC．（2）证明：∵BE=AD，）证明：∵BE=AD，AD+DC=BC AD+DC=BC AD+DC=BC，，BE+EC=BC BE+EC=BC，，∴DC=EC，由（由（11）知：）知：DE=DC DE=DC DE=DC，，∴DE=DC=EC，∴△DEC 是等边三角形．点评： 本题主要考查对等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等边三角形的判定等知识点的理解和掌握，证出平行四边形ABED 和DC=EC 是解此题的关键．1313．已知：如图，．已知：如图，．已知：如图，E E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，上的两点，AE=CF AE=CF AE=CF．．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）连接DE DE、、BF BF，试判断四边形，试判断四边形DEBF 的形状，并说明理由．分析： （1）根据平行四边形的性质对边平行且相等得到AD 与BC 平行且相等，由AD 与BC 平行得到内错角∠DAF与∠BCA 相等，再由已知的AE=CF AE=CF，根据“SAS”得到△ADF ，根据“SAS”得到△ADF 与△CBE 全等；（2）由（）由（11）证出的全等，根据全等三角形的性质得到DF 与EB 相等且∠DFA 与∠BEC 相等，由内错角相等两直线平行得到DF 与BE 平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得到四边形DEBF 的形状．解答： 证明：（1）∵ABCD 是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC（∴AD=BC，AD∥BC（11分）∴∠DAF=∠BCA（∴∠DAF=∠BCA（22分），∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE AF=CE（（3分）∴△ADF≌△CBE（∴△ADF≌△CBE（44分）（2）四边形DEBF 是平行四边形（是平行四边形（55分）∵△ADF≌△CBE，∴∠DFA=∠BEC，∴∠DFA=∠BEC，DF=BE DF=BE DF=BE，，∴DF∥BE，∴四边形DEBF 是平行四边形（是平行四边形（66分）点评： 本题综合考查了全等三角形的判断与性质，以及平行四边形的判断与性质．其中第2问是一道先试验猜想，再探索证明的新型题，其目的是考查学生提出问题，解决问题的能力，这类几何试题将成为今后中考的热点试题．1414．如图，平行四边形．如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在AB AB、、BC BC、、CD CD、、AD 边上且AE=CG AE=CG，，AH=CF AH=CF．．求证：四边形EFGH 是平行四边形．考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析： 易证得△AEH≌△CGF，从而证得对应边BE=DG BE=DG、、DH=BF DH=BF．故有△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边．故有△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．解答： 证明：在平行四边形ABCD 中，∠A=∠C（平行四边形的对边相等）；又∵AE=CG，又∵AE=CG，AH=CF AH=CF AH=CF（已知）（已知）， ∴△AEH≌△CGF（∴△AEH≌△CGF（SAS SAS SAS））， ∴EH=GF（全等三角形的对应边相等）；在平行四边形ABCD 中，中，AB=CD AB=CD AB=CD，，AD=BC AD=BC（平行四边形的对边相等）（平行四边形的对边相等）， ∴AB﹣∴AB﹣AE=CD AE=CD AE=CD﹣﹣CG CG，，AD AD﹣﹣AH=BC AH=BC﹣﹣CF CF，，即BE=DG BE=DG，，DH=BF DH=BF．．又∵在平行四边形ABCD 中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH；∴GH=EF（全等三角形的对应边相等）；∴四边形EFGH 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．点评： 本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．1515．如图，在平行四边形．如图，在平行四边形ABCD 中，中，E E 、F 是对角线AC 上的点，且AE=CF AE=CF．．（1）猜想探究：）猜想探究：BE BE 与DF 之间的关系： 平行且相等（2）请证明你的猜想．考点： 平行四边形的判定与性质．分析： （1）BE 平行且等于DF DF；；（2）连接BD 交AC 于O ，根据平行四边形的性质得出OA=OC OA=OC，，OD=OB OD=OB，推出，推出OE=OF OE=OF，得出平行四边形，得出平行四边形BEDF即可．解答： （1）解：）解：BE BE 和DF 的关系是：的关系是：BE=DF BE=DF BE=DF，BE∥DF，，BE∥DF，故答案为：平行且相等．（2）证明：连接BD 交AC 于O ，∵ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，∴OA=OC，OB=OD OB=OD OB=OD，，∵AE=CF，∴OE=OF，∴BFDE 是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，主要检查学生能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能力．1616．如图，．如图，．如图，E E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，且BE∥DF．求证：∠1=∠2．考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析： 由三角形全等（△ABE≌△CDF）得到BE=DF BE=DF，所以四边形，所以四边形BFDE 是平行四边形，根据对角相等即可得证． 解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形（已知），∴AB=CD，AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等），∴∠BAE=∠DCF（两直线平行，内错角相等）；∵BE∥DF（已知），∴∠BEF=∠DFE（两直线平行，内错角相等），∴∠AEB=∠CFD（等量代换），∴△ABE≌△CDF（∴△ABE≌△CDF（AAS AAS AAS））； ∴BE=DF（全等三角形的对应边相等），∵BE∥DF，∴四边形BEDF 是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴∠1=∠2（平行四边形的对角相等）．点评： 本题主要考查平行四边形的性质和三角形全等的判定，需要熟练掌握并灵活运用．平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形．1717．如图，已知．如图，已知E ，F 分别是▱ABCD 的边AB AB，，CD 的中点．求证：的中点．求证：ED=BF ED=BF ED=BF．．考点： 平行四边形的判定与性质．分析： 根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD AB=CD，，根据线段的中点的定义得到EB=AB AB，，DF=CD CD，，即BE=DF BE=DF，，BE∥DF，得到平行四边形EBFD EBFD，根据平行四边形的性质即可得到答案．，根据平行四边形的性质即可得到答案．解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，∴AB∥CD，AB=CD AB=CD AB=CD，，∵E，∵E，F F 分别是▱ABCD 的边AB AB，，CD 的中点，∴EB=AB AB，，DF=CD CD，，∴BE=DF，∵BE∥DF，∴四边形EBFD 是平行四边形，∴ED=BF．点评： 本题主要考查对平行四边形的性质和判定的理解和掌握，能灵活运用平行四边形的性质和判定进行证明是解此题的关键．1818．如图，．如图，．如图，BD BD 是▱ABCD 的对角线，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ．求证：四边形DEBF 为平行四边形．考点： 平行四边形的判定与性质；角平分线的定义．分析： 根据平行四边形性质和角平分线定义求出∠FDB=∠EBD，推出DF∥BE，根据平行四边形的判定判断即可． 解答： 解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD，∵DF 平分∠CDB，平分∠CDB，BE BE 平分∠ABD，∴∠FDB=∠CDB，∠EBD=∠ABD，∴∠FDB=∠EBD，∴DF∥BE，∵AD∥BC，即ED∥BF，∴四边形DEBF 是平行四边形．点评： 本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质和判定等的应用，关键是推出DF∥BE，主要检查学生能否运用定理进行推理，题型较好，难度适中．1919．如图，在．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，已知点E 、F 分别为AO AO、、OC 的中点，证明：四边形BFDE 是平行四边形．考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析： 利用“平行四边形的对角线互相平分”的性质推知OA=OC OA=OC，，OB=OD OB=OD；然后由已知条件“点；然后由已知条件“点E 、F 分别为AO AO、、OC 的中点”可以证得OE=OF OE=OF；最后根据平行四边形的判定定理“对角线相互平分的四边形为平行四边形”；最后根据平行四边形的判定定理“对角线相互平分的四边形为平行四边形”即可证得结论．解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，∴OA=OC，OB=OD OB=OD OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）（平行四边形的对角线互相平分）． 又∵点E 、F 分别为AO AO、、OC 的中点，∴OE=OF．∴四边形BFDE 是平行四边形（对角线相互平分的四边形为平行四边形）．点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．2020．如图所示，．如图所示，．如图所示，A A ，E ，F ，C 在一条直线上，在一条直线上，AE=CF AE=CF AE=CF，过，过E ，F 分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD AB=CD，可以得到，可以得到BD 平分EF EF，为什么？说明理由．，为什么？说明理由．考点： 全等三角形的判定与性质；垂线；直角三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质．分析： 求出∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，推出AF=CE AF=CE，连接，连接BE BE、、DF DF，根据，根据HL 证Rt△ABF≌Rt△CDE，推出DE=BF DE=BF，，得出平行四边形DEBF DEBF，根据平行四边形的性质推出即可．，根据平行四边形的性质推出即可．解答： 解：解：BD BD 平分EF EF，理由是：，理由是：证法一、连接BE BE、、DF DF．．∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE AF=CE，，在Rt△ABF 和Rt△CDE 中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形DEBF 是平行四边形，∴BD 平分EF EF；；证法二、∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE AF=CE，，在Rt△ABF 和Rt△CDE 中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE，∴DE=BF，∵在△BFG 和△DEG 中，∴△BFG≌△DEG（∴△BFG≌△DEG（AAS AAS AAS））， ∴EG=FG，即BD 平分EF EF．．点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定，垂线，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，关键是得出平行四边形DEBF DEBF，题目比较好，难度适中．，题目比较好，难度适中．2121．如图，△ABC ．如图，△ABC 的中线BD BD、、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB OB、、OC 的中点．求证：求证：EF=DG EF=DG 且EF∥DG．考点： 三角形中位线定理；三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的判定与性质．分析： 根据三角形的中位线推出DE∥BC，DE∥BC，DE=DE=BC BC，，GF∥BC，GF∥BC，GF=GF=BC BC，，推出GF=DE GF=DE，，GF∥DE，GF∥DE，得出平行四边形得出平行四边形DEFG DEFG，，根据平行四边形的性推出即可．解答： 证明：∵BD、证明：∵BD、CE CE 是△ABC 的中线，∴DE∥BC，∴DE∥BC，DE=DE=BC BC，，同理：GF∥BC，同理：GF∥BC，GF=GF=BC BC，，∴GF=DE，GF∥DE，∴四边形DEFG 是平行四边形，∴EF=DG，EF∥DG．点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的中位线，三角形的中线等知识点，主要检查学生能否熟练的运用性质进行推理，题目比较典型，难度适中，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力．考点： 平行四边形的判定与性质．分析： 根据平行四边形性质得出OA=OC OA=OC，，AD∥BC，推出OE=OF OE=OF，，∠GAO=∠HCO，∠AGO=∠CHO，根据AAS 证△AGO≌△CHO，推出OG=OH OG=OH，根据平行四边形的判定推出即可．，根据平行四边形的判定推出即可．解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∵AE=CF，∴OE=OF，∵AD∥BC，∴∠GAO=∠HCO，∠AGO=∠CHO，在△AGO 和△CHO 中，∴△AGO≌△CHO（∴△AGO≌△CHO（AAS AAS AAS））， ∴OG=OH，∵OE=OF，∴四边形EHFG 是平行四边形．点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，平行四边形的性质和判定等知识点，注意：平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．。

1如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC．求证：四边形ADCE是平行四边形．2、如图，F、C是线段AD上的两点,AB∥DE，BC∥EF,AF=DC,连接AE、BD，求证：四边形ABDE 是平行四边形．3、如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：四边形BCEF是平行四边形．4、如图,E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证:四边形DEBF是平行四边形．5如图,已知□ABCD的对角线AC , BD相交于点O ，直线EF经过点O ，且分别交AB ，CD于点E ，F。

求证：四边形BFDE是平行四边形．．6、如图,平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD,垂足分别是E、F．求证:△ABE≌△CDF．7、已知ABCD是平行四边形，用尺规分别作出△BAC与△DAC共公边AC上的高BE、DF．求证：BE=DF．8、如图,在▱ABCD中，点E是DC的中点,连接AE，并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：△ADE和△CEF的面积相等（2）若AB=2AD，试说明AF恰好是∠BAD的平分线9、如图，在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线AC上两点,且AE=CF．试说明：∠EBF=∠FDE．10如图,在正方形ABCD中，AB=4，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（)11、已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,DE∥AC，交BC的延长线于点E，EF⊥AB于点F，求证：AD=CF．12、如图，在正方形ABCD中,点E在对角线AC上,点F在边BC上，连接BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE=DG．(1)求证：AE=CG；（2）试判断BE和DF的位置关系，并说明理由．13、如图,点B、C、E是同一直线上的三点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连接BG、DE．求证：BG=DE；14、已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足．求证:AP=EF．15、如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E，F分别在AB，AD上,AE=AF．求证：CE=CF．15、如图，四边形ABCD是矩形,直线L垂直分线段AC，垂足为O，直线L分别于线段AD，CB的延长线交于点E,F，证明四边形AFCE是菱形．16、如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AE=CF,DF∥BE，DF=BE．(1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC平分∠BAD，求证：▱ABCD为菱形．17、如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4．求：（1）对角线AC，BD的长;（2）菱形ABCD的面积．18、如图，四边形ABCD是矩形,点E是边AD的中点．求证：EB=EC．19、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,∠AOB=60°，AB=3，求BD的长．20、在矩形ABCD中,已知AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，求CE的长．21、已知:矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BOC=120°,AC=4cm,求矩形ABCD的周长．。

第一部分 平行四边形的性质练习题 例题1、平行四边形得周长为50cm ，两邻边之差为5cm,求各边长。

变题1.平行四边形ABCD 的周长为40cm,两邻边AB 、AC 之比为2：3，则AB=_______,BC=________. 变题2.四边形ABCD 是平行四边形，∠BAC=90°,AB=3,AC=4,求AD 的长。

例题2.平行四边形ABCD 中，∠A-∠B=20°,求平行四边形各内角的度数。

变题3.平行四边形ABCD 中，AE 平分∠DAB, ∠DEA=20°,则∠C=_________,∠B_________. 变题4.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAC=34°, ∠ACB=26°，求∠DAC 与∠D 的度数。

例题3.如图，在平行四边形ABCD 中，CE ⊥AD,CF ⊥BA 交BA 的延长线于F ，∠FBC=30°,CE=3cm,CF=5cm,求平行四边形ABCD 的周长。

变题5.如图，平行四边形ABCD 的周长为50，其中AB=15，∠ABC=60°，求平行四边形面积。

1、如图，四边形ABCD 是平行四边形，AB=6cm,BC=8cm ，∠B=70°,则AD=________,CD=______,∠D=_______,∠A=______,∠C=_______.2、平行四边形ABCD 的周长为40cm,两邻边AB 、AC 之比为2：3，则AB=_______,BC=________.3、平行四边形得周长为50cm ，两邻边之差为5cm,则长边是________ ，短边是__________.4、平行四边形ABCD 中，∠A-∠B=20°, 则∠A=_______ ∠B=________5、.平行四边形ABCD 中，AE 平分∠DAB, ∠DEA=20°,则∠C=____,∠B_____.6、平行四边形 ABCD 中，∠A+∠C=200°.则：∠A= _______，∠B= _________ .7、如图，平行四边形ABCD 的周长为50，其中AB=15，∠ABC=60°，求平行四边形面积。

平行四边形证明典型题1．如下图，已知平行四边形ABCD,E为AD上的点，且AE=AB,BE和CD的延长线交于F，且∠BFC=40°,求平行四边形ABCD各内角的度数.2.已知平行四边形一组邻角的比是2∶3，求它的四个内角的度数.3.如下图所示，ABCD是平行四边形，以AD、BC为边在形外作等边三角形ADE和CBF，连结BD、EF，且它们相交于O，求证：EO=FO，DO=BO。

4。

已知：平行四边形ABCD中，AD=2AB，延长AB到F，使BF=AB，延长BA到E使AE=AB，求证：CE⊥DF5.如图所示，已知平行四边形ABCD,直线FH与AB、CD相交，过A、B、C、D向FH作垂线，垂足为E、H、G、F，求证:AE—DF=CG—BH6。

平行四边形ABCD中，E为DC中点,延长BE与AD的延长线交于F，求证:E为BF中点，D为AF的中点.7.如图所示,平行四边形ABCD中,以BC、CD为边向内作等边三角形BCE和CDF。

求证：△AEF为等边三角形.8。

如图所示,在△ABC中，BD平分∠B，DE∥BC交AB于E，EF∥AC交BC于F，求证：BE=FC9。

如图所示，平行四边形ABCD中,E是AB的中点，F是CD中点,分别延长BA和DC到G、H，使AG=CH,连结GF、EH，求证:GF∥EH10.如图所示，平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC上,且AE=CF，AF与BE相交于G,CE与DF相交于H.求证:EF与GH互相平分11.在四边形ABCD中,AB∥DC，对角线AC、BD交于O，EF过O交AB于E，交DC于F，且OE=OF，求证：四边形ABCD是平行四边形.12。

如图所示，已知△ABC，分别以AB、BC、AC为边向BC同侧作等边三角形ABE、BCD、ACF。

求证:DEAF 为平行四边形.13。

已知:如下图，在四边形ABCD中,AB=DC,AE⊥BD，CF⊥BD,垂足分别是E、F，AE=CF,求证:四边形ABCD 是平行四边形.14.点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，△AOB的面积为7cm2，求平行四边形ABCD的面积.15.有两个村庄A和B位于一条河的两岸，假定河岸是两条平行的直线，现在要在河上架一座与河岸垂直的桥PQ,问桥应架在何处，才能使从A到B总的路程最短。

平行四边形的判定练习题(含答案)（1）因为AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四边形．（）（2）因为AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（3）因为AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（4）因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四边形．（）（5）因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（6）因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形．（）5．已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件________．6．如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD是不是平行四边形．7．如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E，F 为对角线AC上的点，且AE=CF，求证：BE=DF．8．如图所示，D为△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，且AE=CE，FC∥AB．求证：CD=AF．9．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，在AB 的延长线上截取BE=•AB，BF=BD，连接CE，DF，相交于点M．求证：CD=CM．10．如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC为边作□ACED，延长DC•交EB于F，求证：EF=FB．知能点2 三角形的中位□线11．如图所示，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，求证：AB=2OF．12．如图所示，在ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF•交于点M，连接CF，DE交AD．于点N，求证：MN∥AD且MN=1213．如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE=_______．14．如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OE∥BC交CD•于E，•若OE=3cm，则AD的长为（）． A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 15．如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，•则四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？16．如图所示，在△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求△DEF的面积．规律方法应用17．如图所示，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，•并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离是多少？18．如图所示，在□ABCD中，AB=2AD，∠A=60°，E，F 分别为AB，CD的中点，EF=1cm，那么对角线BD的长度是多少？你是怎样得到的？19．如图所示，在△ABC中，E为AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D．•（BC-AC）．试说明：（1）DE∥BC．（2）DE=12开放探索创新20．如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD•于E，EF∥BC交AC于F，那么AE与CF相等吗？请验证你的结论．中考真题实战21．（长沙）如下左图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD•为平行四边形，则应添加的条件是________．（添加一个即可）22．（呼和浩特）如上右图所示，已知E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，•则S四边形EFGH ：S四边形ABCD的值是_________．23．（南京）已知如图19-1-55所示，在Y ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：（1） △AFD≌△CEB．（2）四边形AECF是平行四边形．答案:1．C 2．C 3．D4．（1）× （2）× （3）∨ （4）∨ （5）∨ （6）×5．AD=BC或AB∥CD6．解：∵∠1=∠2，∴AD∥BC．又∵∠3=∠4，∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．7．证明：∵AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF．又∵AE=CE，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE=EF．8．证明：∵FC∥AB，∴∠DAC=∠ACF，∠ADF=∠DFC．又∵AE=CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=EF．∵AE=CE，∴四边形ADCF为平行四边形．∴CD=AF．9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AB//DC．又∵BE=AB，∴BE//DC，∴四边形BDCE是平行四边形．∵DC∥BF，∴∠CDF=∠F．同理，∠BDM=∠DMC．∵BD=BF，∴∠BDF=∠F．∴∠CDF=∠CMD，∴CD=CM．10．证明：过点B作BG∥AD，交DC的延长线于G，连接EG．∵DC∥AB，∴ABGD是平行四边形，∴BG// AD．在□ACED中，AD//CE，∴CE//BG．∴四边形BCEG为平行四边形，∴EF=FB．11．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD=BC．∵CE=CD，∴AB//CE，∴四边形ABEC为平行四边形．∴BF=FC，∴OF//1AB，即AB=2OF．212．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．又∵EF∥AB，∴EF∥CD．∴四边形ABEF，ECDF均为平行四边形．又∵M，N分别为Y ABEF和Y ECDF对角线的交点．∴M为AE的中点，N为DE的中点，即MN为△AED的中位线．∴MN∥AD且MN=12AD．13．4 14．B15．解：EFGH是平行四边形，连接AC，在△ABC中，∵EF是中位线，∴EF//12AC．同理，GH//12AC．∴EF//GH，∴四边形EFGH为平行四边形．16．解：∵EF，DE，DF是△ABC的中位线，∴EF=12AB，DE=12AC，DF=12BC．又∵AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，∴EF=5cm，DE=3cm，DF=4cm，而32+42=25=52，即DE2+DF2=EF2．∴△EDF为直角三角形．∴S△EDF =12DE·DF=12×3×4=6（cm2）．17．解：∵M，N分别是AC，BC的中点．∴MN是△ABC的中位线，∴MN=12AB．∴AB=2MN=2×20=40（m）．故A，B两点间的距离是40m．18．解：连接DE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD．∵DF=12CD，AE=12AB，∴DF//AE．∴四边形ADFE是平行四边形．∴EF=AD=1cm．∵AB=2AD，∴AB=2cm．∵AB=2AD，∴AB=2AE，∴AD=AE．∴∠1=∠4．∵∠A=60°，∠1+∠4+∠A=180°，∴∠1=∠A=∠4=60°．∴△ADE是等边三角形，∴DE=AE．∵AE=BE，∴DE=BE，∴∠2=∠3．∵∠1=∠2+∠3，∠1=60°，∴∠2=∠3=30°．∴∠ADB=∠3+∠4=90°．=cm）．19．解：延长AD交BC于F．（1）∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠FDC=90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD．在△ACD与△FCD中，∠ADC=∠FDC，DC=DC，∠ACD=∠FCD．∴△ACD≌△FCD，∴AC=FC，AD=DF．又∵E为AB的中点，∴DE∥BF，即DE∥BC．（2）由（1）知AC=FC，DE=12BF．∴DE=12（BC-FC）=12（BC-AC）．20．解：AE=CF．理由：过E作EG∥CF交BC于G，∴∠3=∠C．∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠ABC+∠C=90°，∠ABD+∠BAD=90°．∴∠C=∠BAD，∴∠3=∠BAD．又∵∠1=∠2，BE=BE，∴△ABE≌△GBE（AAS），∴AE=GE．∵EF∥BC，EG∥CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∴GE=CF，∴AE=CF．21．答案不唯一，如AB=CD或AD∥BC．22．1223．解：（1）在□ABCD中，AD=CB，AB=CD，∠D=∠B．∵E，F分别为AB，CD的中点，∴DF=12CD，BE=12AB，∴DF=BE，∴△AFD≌△CEB．（2）在□ABCD中，AB=CD，AB∥CD．由（1）得BE=DF，∴AE=CE，∴四边形AECF是平行四边形．。

人教版八年级下册数学平行四边形证明题专题训练1．ABCD 中，点E 、F 是AC 上的两点，并且AE CF =．求证：四边形BFDE 是平行四边形．2．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且//,//DE AC CE BD ．求证：四边形OCED 是菱形．3．如图，在ABC 中，90CAB ∠=︒，DE ，DF 是ABC 的中位线，连接EF ，AD ．求证：EF AD =．4．如图，将▱AECF 的对角线EF 向两端延长，分别至点B 和点D ，且使EB ＝FD ．求证：四边形ABCD 为平行四边形．5．如图，在四边形ABCD 中，AB CD =，BE DF =；AE BD ⊥，CF BD ⊥，垂足分别为E ，F ．（1）求证：ABE △≌CDF ；（2）若AC 与BD 交于点O ，求证：AO CO =．6．如图，在ABCD中，点E，F分别在AD、BC上，且AE CF=，连接EF，AC交于点O．求证：OE OF=．7．已知：如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别相交于点E、F．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF与AC满足什么关系时，以A、E、C、F为顶点的四边形是菱形？并给出证明．8．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF ＝BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．AC，连接CE、OE，连接AE交9．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝12OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在边CD上，连接AE，将四边形ABCE沿直线AE折叠，得''，且B C''恰好经过点D．到多边形AB C E（1）线段DC′的长度；（2）求ADE的面积．11．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．12．如图将矩形ABCD沿对角线AC对折,使△ABC落在△ACE的位置,且CE与AD相交于点F,求证:EF=DF.13．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．14．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF，（1）证明：∠BAC=∠DAC．（2）若∠BEC=∠ABE，试证明四边形ABCD是菱形．15．如图，在ABCD中，过点D作DE AB=，连接AF，BF．⊥于点E，点F在边CD上，CF AE（1）求证：四边形BFDE是矩形；AD=，求DC的长度．（2）已知60∠=︒，AF是DABDAB∠的平分线，若316．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．17．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F，使EF＝DE，连接BF．（1）求证：四边形ABFD是平行四边形；（2）求证：BF＝DC．18．如图，在□ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF 是平行四边形．19．如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE点F在AB上，且BF=DE（1）求证：四边形BDEF 是平行四边形（2）线段AB ，BF ，AC 之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论20．如图，在矩形ABCD 中，8AB cm =，16BC cm =，点P 从点D 出发向点A 运动，运动到点A 停止，同时，点Q 从点B 出发向点C 运动，运动到点C 即停止，点P 、Q 的速度都是1/cm s ．连接PQ 、AQ 、CP ．设点P 、Q 运动的时间为ts ．（1）当t 为何值时，四边形ABQP 是矩形；（2）当t 为何值时，四边形AQCP 是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP 的周长和面积．参考答案：1．证明：如图，连接,BD 交AC 于,OABCD ,,,OA OC OB OD ∴==,AE CF =,OA AE OC CF ∴-=-,OE OF ∴=∴四边形BFDE 是平行四边形．2．∵////DE AC CE BD ，，∴四边形OCED 是平行四边形．∵矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，∴OC=OD ，∴四边形OCED 是菱形．3．证明：∵DE 、DF 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，DF ∥AC ，∴四边形DEAF 是平行四边形，∵∠CAB ＝90°，∴四边形DEAF 是矩形，∴EF ＝AD ．4．解：连接AC 交EF 于点O∵四边形AECF 为平行四边形∴OF OE =，OA OC =∵EB FD =∴OF FD OE EB +=+∴OD OB =∴四边形ABCD 为平行四边形5．【详解】（1）证明：∵AE BD ⊥，CF BD ⊥，∴90AEB CFD ∠=∠=︒，∵AB CD =，BE DF =，∴ABE △≌CDF ．（2）由（1）ABE △≌CDF ，∴AE CF =，∵AE BD ⊥，CF BD ⊥，∴90AEO CFO ∠=∠=︒，∵AOE COF ∠=∠，∴()AEO CFO AAS ≌∴AO CO =．6． 证明：四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，AEO CFO在AOE △和COF 中AOE COF AEO CFO AE CF ∠=∠⎧⎪∴∠=∠⎨⎪=⎩AOE COF ∴≅OE OF ∴=．7．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB =OD ，∵AE //CF ，∴∠E =∠F ，∠OBE =∠ODF ，在△BOE 与△DOF 中，E F OBE ODF OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOE ≌△DOF （AAS ）；（2）当EF ⊥AC 时，四边形AECF 是菱形．证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴OE =OF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA =OC ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形．8．证明： （1）∵AF ∥BC ，∴∠AFE =∠DCE ，∵E 是AD 的中点，∴AE =DE ，∵∠AFE ＝∠DCE ， ∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=DC，∵AF=BD，∴BD=CD，∴D是BC的中点；（2）四边形AFBD是矩形．理由：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵AF=BD，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形，又∵∠ADB=90°，∴四边形AFBD是矩形．9．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴OC＝1AC，AC⊥BD，2AC，∵DE＝12∴DE＝OC，∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2，AC=1，AC⊥BD，AD=2，∵OA=12∴OD=∴在矩形OCED 中，CE ＝OD∴在Rt △ACE 中，AE10．解：（1）∵四边形ABCD 是矩形∴AD=BC=10，AB=CD=6，∠B=∠C=90°∵将四边形ABCE 沿直线AE 折叠，得到多边形AB′C′E ， ∴AB=AB'=6，CE=C'E ，B'C'=BC=10，∠B'=∠B=90°，∠C=∠C'=90°∵8∴C'D=B'C'-B'D=2，（2）设DE=x ，则EC′=6-x ，由（1）可知∠C'=90°，C'D=2∴在Rt △C′DE 中，222(6)2x x -+=，解得：103x =∴ADE 的面积为111050102233AD DE ⋅=⨯⨯= 11．证明：（1）∵BF=DE ，∴BF EF DE EF -=-，即BE=DF ，∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB=∠CFD=90°，在Rt △ABE 与Rt △CDF 中，AB CD BE DF=⎧⎨=⎩, ∴Rt ABE Rt CDF ∆∆≌（HL ）；（2）如图，连接AC 交BD 于O ，∵Rt ABE Rt CDF ∆∆≌，∴ABE CDF ∠=∠，∴//D AB C ，∵=D AB C ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AO CO =．12．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D =∠E ，AE =CD ，又∵∠AFE =∠CFD ，在△AEF 和△CDF 中，E D AFE CFD AE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△CDF (AAS )，∴EF =DF .13．(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，AB AD CB CD AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADC(SSS)，∴∠BAC=∠DAC ，在△ABF 和△ADF 中,AB AD BAF DAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△ADF(SAS)，∴∠AFB=∠AFD ，∵∠CFE=∠AFB ，∴∠AFD=∠CFE ，∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；(2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；(3)BE⊥CD时，∠BCD=∠EFD；理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∵CF=CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD=∠EFD.14．（1）在△ABC和△ADC中，∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，在△ABF和△ADF中，∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，AF=AF，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB=∠AFD．（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠BAC=∠DAC ，∴∠ACD=∠CAD ，∴AD=CD ，∵AB=AD ，CB=CD ，∴AB=CB=CD=AD ，∴四边形ABCD 是菱形．15．解：（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形， //DC AB ∴，DC AB =，CF AE =，DF BE ∴=且//DC AB ，∴四边形DFBE 是平行四边形，又DE AB ⊥，∴四边形DFBE 是矩形；（2）60DAB ∠=︒，3AD =，DE AB ⊥，32AE ∴=，DE =四边形DFBE 是矩形，BF DE ∴==AF 平分DAB ∠，1302FAB DAB ∴∠=∠=︒，且BF AB ⊥， 92AB ∴==， 92CD ∴=． 16．证明：（1）∵▱ABCD ，∴AO ＝OC ，∵△ACE 是等边三角形，∴EO ⊥AC （三线合一）即 BD ⊥AC ，∴▱ABCD是菱形；（2）∵△ACE是等边三角形，∠EAC＝60°由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形∴∠EAO＝60°，∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，∵▱ABCD是菱形，∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，∴菱形ABCD是正方形．17．（1）∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，AB=2DE，AD=CD，∵EF=DE，∴DF=2DE，∴AB=DF，且AB∥DF，∴四边形ABFD是平行四边形；（2）∵四边形ABFD是平行四边形，∴AD=BF，且AD=CD，∴BF=DC．18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD，又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，∴DE=BF，AE=CF，∠DAE=∠BCF=60°，∴∠BCD-∠BCF=∠DAB-∠DAE，即∠DCF=∠BAE，∴△DCF≌△BAE（SAS），∴DF=BE，∴四边形BEDF是平行四边形.19．（1）证明：延长CE 交AB 于点G∵AE ⊥CE∴90AEG AEC ︒∠=∠=在AEG ∆和AEC ∆GAE CAE AE AEAEG AEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AEG ∆≅AEC ∆∴GE=EC∵BD=CD∴DE 为CGB ∆的中位线∴DE //AB∵DE=BF∴四边形BDEF 是平行四边形（2）1()2BF AB AC =- 理由如下：∵四边形BDEF 是平行四边形∴BF=DE∵D ，E 分别是BC ，GC 的中点∴BF=DE=12BG∵AEG ∆≅AEC ∆∴AG=AC BF=12（AB-AG ）=12（AB-AC ）．20．解：（1）在矩形ABCD 中，8AB cm =，16BC cm =， 16BC AD cm ∴==，8AB CD cm ==，由已知可得，BQ DP tcm ==，(16)AP CQ t cm ==-， 在矩形ABCD 中，90B ∠=︒，//AD BC ，当BQ AP =时，四边形ABQP 为矩形，16t t ∴=-，得8t =，故当8t s =时，四边形ABQP 为矩形；（2）AP CQ =，//AP CQ ，∴四边形AQCP 为平行四边形，∴当AQ CQ =时，四边形AQCP 为菱形16t -时，四边形AQCP 为菱形，解得6t =， 故当6t s =时，四边形AQCP 为菱形；（3）当6t s =时，16610AQ CQ CP AP cm ====-=， 则周长为41040cm cm ⨯=；面积为210880cm cm cm ⨯=．。

八年级平行四边形专项练习1.如图在Rt△ABC中∠ACB＝90，过点C的直线MN∥AB；D为AB 边上一点，过点D作DE⊥BC交直线MN 于E垂足为F，连接CD、BE(1）求证：CE = AD(2）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由2. 如图在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC 的垂线，分别交射线AD、CB 于点E、F，连接AF、CE 求证：四边形AFCE 是菱形3．如图在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD 的中点，将△ADE沿AE 对折至△AFE，延长EF交边BC 于点G，连接AG(1）求证：△ABG ≌△AFG(2）求∠EAG 的度数；(3）求BG 的长4.如图▭ABCD 的对角线相交于点O,EF过点O分别与AD、BC相交于点E、F(1）求证：△AOE≌△COF(2）若AB =4 BC =7 OE =3试求四边形EFCD的周长5如图BD 是△ABC 的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB 交BC 于点F(1）求证：四边形BEDF是菱形；(2）若∠ABC =60°∠ACB =45°CD =6√2求菱形BEDF的面积6.如图在△ABC中中线BE、CD 交于点O，F、G 分别是OB、OC 的中点求证：(1) DE ∥FG(2) DG 和EF 互相平分．7. 如图在△ABC 中AB＝AC ,D为BC上一点以AB、BD 为邻边作平行四边形ABDE连接AD、EC(1）求证：△ADC ≌△ECD ;(2）若BD ＝CD 求证：四边形ADCE 是矩形8.如图在Rt△ABC 中∠ACB =90°，过点C 的直线MN ∥AB , D为AB 边上一点，过点D作DE⊥BC ，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE(1）求证：CE = AD(2）当D在AB中点时，四边BECD是什么特殊四边形？说明你的理由9.如图四边形ABCD是正方形，点E在BC延长线上，DF ⊥AE 于点F 点G在AE 上且∠ABG =∠E求证：AG = DF10. 如图是直角三角尺△ABC 和等腰直角三角尺△ BCD放置在同一平面内,斜边BC重合在一起∠A =∠BDC =90°∠ABC =30°BD = CD DE⊥AB 交AB 于点E 作DF⊥AC 交AC 的延长线于点F (1）求证：四边形AEDF 是正方形(2）当AC =4时，求正方形AEDF 的边长11．如图点0是口ABCD 对角线的交点，过点0作直线分别交AB、CD 的延长线于点E、F求证：BE = DF12. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD 于点F，交BC的延长线于点E(1）求证：BE = CD(2）若BF 恰好平分∠ABE ，连接AC、DE求证：四边形ACED 是平行四边形13.如图1在正方形ABCD 中，E、F分别是边AD、DC 上的点且AF⊥BE(1）求证：AF = BE(2）如图2在正方形ABCD 中，M、N、P、Q 分别是边AB、BC、CD、DA 上的点且MP⊥NQ 判断MP 与NQ 是否相等？并说明理由14.如图在平行四边形ABCD中，0为对角线交点，DP 平分∠ADC，CP 平分∠BCD，AB =6 AD =10则OP的长是多少？15. 如图矩形ABCD中延长AB至E,延长CD至F . BE = DF连接EF与BC、AD 分别相交于P、Q两点(1）求证：CP = AQ(2）若BP =1 PQ =2 ∠AEF =45°求矩形ABCD 的面积16.如图在Rt△ABC中∠BAC =90° AD⊥BC于D BG 平分∠ABC EF∥BC交AC 于F求证：AE = CF17.如图将矩形纸片ABCD沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B '的位置，AB '与CD 交于点E(1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明；(2）若AB =8 DE =3 , P为线段AC上的任意一点PG⊥AE 于G PH⊥EC于H 试求PG + PH的值并说明理由18.如图在△ABC 中AB = BC ，BD 平分∠ABC 四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点 F 连接CE求证：四边形BECD 是矩形19.如图1将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F 分别在边AB、CD上，使点B 落在AD 边上的点M 处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP (1）如图②若M 为AD 边的中点①△AEM 的周长＝cm②求证：EP = AE + DP(2）随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置（点M 不与A、D 重合），△PDM的周长是否发生变化？若发生变化，直接写出△ PDM 的周长，若发生变化，请说明理由。

平行四边形的证明题一．解答题（共30小题）1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF 的形状（不必说明理由）．2．如图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形．3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．6．如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形MFNE是平行四边形．7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AECF是平行四边形．8．在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．10．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？11．如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，求证：AE与DF互相平分．12．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．13．如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD 的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上．求证：EF和GH互相平分．14．如图：▱ABCD中，MN∥AC，试说明MQ=NP．15．已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．16．如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H 分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）17．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．（1）求证：AF=CE；（2）如果AC=EF，且∠ACB=135°，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．18．如图平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF=2（1）求证：D是EC中点；（2）求FC的长．19．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2）若BF=EF，求证：AE=AD．20．如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么；（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？21．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．（1）当AB≠AC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．22．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形即△ABD、△BCE、△ACF，那么，四边形AFED是否为平行四边形？如果是，请证明之，如果不是，请说明理由．23．在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE ∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB．请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明24．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．25．在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有无数组；（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？26．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q 从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q 同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．27．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O（0，0）、A（2，0）、B（1，1），则第四个顶点C的坐标是多少？28．已知平行四边形ABCD的周长为36cm，过D作AB，BC边上的高DE、DF，且cm，，求平行四边形ABCD的面积．29．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A（﹣3，），B（﹣2，3），C（2，3），点D在第一象限．（1）求D点的坐标；（2）将平行四边形ABCD先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？（3）求平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积？30．如图所示．▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求证：BE=CF．1、解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF（A．A．S．），∴BE=DF；（2）四边形MENF是平行四边形．证明：有（1）可知：BE=DF，∵四边形ABCD为平行四边行，∴AD∥BC，∴∠MDB=MBD，∵DM=BN，∴△DNF≌△BNE，∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，∴∠MFE=∠NEF，∴MF∥NE，∴四边形MENF是平行四边形．2、解答：证明：∵四边形AECF是平行四边形∴OE=OF，OA=OC，AE∥CF，∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO，∴△FDO≌△EBO，∴OD=OB，∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形．3、解答：证明：（1）∵BF=DE，∴BF﹣EF=DE﹣EF，即BE=DE，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，∵AB=CD，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；（2）∵△ABE≌△CDF，∴∠ABE=∠CDF，∴AB∥CD，∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．4、解答：证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，又∵∠BAC=90°，∴平行四边形AEDF是矩形，∴EF=AD．5、解答：解：猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：平行且相等．证明：∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，∵OA=OC，∴△ADO≌△ECO，∴AD=CE，∴四边形ADCE是平行四边形，∴CD AE．6、解答：证明：由平行四边形可知，AD=CB，∠DAE=∠FCB，又∵AE=CF，∴△DAE≌△BCF，∴DE=BF，∠AED=∠CFB又∵M、N分别是DE、BF的中点，∴ME=NF又由AB∥DC，得∠AED=∠EDC∴∠EDC=∠BFC，∴ME∥NF∴四边形MFNE为平行四边形．7、解答：证明：连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵BE=DF，∴OE=OF．∴四边形AECF为平行四边形．8、解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD．又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，∴DE=BF，AE=CF．∠DAE=∠BCF=60°．∵∠DCF=∠BCD﹣∠BCF，∠BAE=∠DAB﹣∠DAE，∴∠DCF=∠BAE．∴△DCF≌△BAE（SAS）．∴DF=BE．∴四边形BEDF是平行四边形．9、解答：证明：∵E是AC的中点，∴EC=AC，又∵DB=AC，∴DB=EC．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．10、解答：解：设P，Q同时出发t秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，根据已知得到AP=t，PD=24﹣t，CQ=2t，BQ=30﹣2t．（1）若四边形PDCQ是平行四边形，则PD=CQ，∴24﹣t=2t∴t=8∴8秒后四边形PDCQ是平行四边形；（2）若四边形APQB是平行四边形，则AP=BQ，∴t=30﹣2t∴t=10∴10秒后四边形APQB 是平行四边形11、解答：证明：∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知：DE∥AC，DE=AF，EF∥AB，EF=AD，∴四边形ADEF为平行四边形．故AE与DF互相平分．12、解答：证明：∵▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，∴OB=OD，又∵四边形AODE是平行四边形，∴AE∥OD且AE=OD，∴AE∥OB且AE=OB，∴四边形ABOE是平行四边形，同理可证，四边形DCOE也是平行四边形．13、解答：证明：连接EG、GF、FH、HE，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．在△ABC中，EG=BC；在△DBC中，HF=BC，∴EG=HF．同理EH=GF．∴四边形EGFH为平行四边形．∴EF与GH互相平分．14、解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AM∥QC，AP∥NC．又∵MN∥AC，∴四边形AMQC为平行四边形，四边形APNC为平行四边形．∴AC=MQ AC=NP．∴MQ=NP．15、解答：证明：如答图所示，∵点O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，∴OA=OC，OB=OD．∵G，H分别为OA，OC的中点，∴OG=OA，OH=OC，∴OG=OH．又∵AB∥CD，∴∠1=∠2．在△OEB和△OFD中，∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，∴△OEB≌△OFD，∴OE=OF．∴四边形EHFG为平行四边形．16、解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，17、∴AB=CD，AB∥CD，∴∠GBE=∠HDF．又∵AG=CH，∴BG=DH．又∵BE=DF，∴△GBE≌△HDF．∴GE=HF，∠GEB=∠HFD，∴∠GEF=∠HFE，∴GE∥HF，∴四边形GEHF是平行四边形．（2）解：仍成立．（证法同上）17、解答：（1）证明：∵AF∥EC，∴∠DFA=∠DEC，∠DAF=∠DCE，∵D是AC的中点，∴DA=DC，∴△DAF≌△DCE，∴AF=CE；（2）解：四边形AFCE是正方形．理由如下：∵AF∥EC，AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵AC=EF，∴平行四边形AFCE是矩形，∴∠FCE=∠CFA=90°，而∠ACB=135°，∴∠FCA=135°﹣90°=45°，∴∠FAC=45°，∴FC=FA，∴矩形AFCE是正方形．18、解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE，∴CD=DE，即D是EC的中点；（2）解：连接EF，∵EF⊥BF，∴△EFC是直角三角形，又∵D是EC的中点，∴DF=CD=DE=2，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∵∠ABC=60°，∴∠ECF=∠ABC=60°，∴△CDF是等边三角形，∴FC=DF=2．故答案为：2．19、解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB，∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行），∵DC=EF，∴四边形EFCD是平行四边形；（2）连接BE∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等边三角形，∴EB=EF，∠EBF=60°∵DC=EF，∴EB=DC，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC，∴∠EBF=∠ACB，∴△AEB≌△ADC，∴AE=AD．20、解答：解：（1）如图，四边形EFGH是平行四边形．连接AC，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC同理HG∥AC，∴EF∥HG，EF=HG∴EFGH是平行四边形；（2）四边形ABCD的对角线垂直且相等．∵假若四边形EFGH为正方形，∴它的每一组邻边互相垂直且相等，∴根据中位线定理得到四边形ABCD的对角线应该互相垂直且相等．21、解答：（1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．∴∠CBA=∠FBE．∴△ABC≌△EBF．∴EF=AC．又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC．∴EF=AD．同理可得AE=DF．∴四边形AEFD是平行四边形．（2）解：构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段．当图形为菱形时，∠BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）当图形为线段时，∠BAC=60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）．22、解答：解：四边形AFED是平行四边形．证明如下：在△BED与△BCA中，BE=BC，BD=BA（均为同一等边三角形的边）∠DBE=∠ABC=60°﹣∠EBA∴△BED≌△BCA（SAS）∴DE=AC又∵AC=AF∴DE=AF在△CBA与△CEF中，CB=CE，CA=CF∠ACB=∠FCE=60°+∠ACE∴△CBA≌△CEF（SAS）∴BA=EF又∵BA=DA，∴DA=EF故四边形AFED为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．23、解答：解：图2结论：PD+PE+PF=AB．证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，由题意得PE+PF=AM．∵四边形BDPM是平行四边形，∴MB=PD．∴PD+PE+PF=MB+AM=AB，即PD+PE+PF=AB．图3结论：PE+PF﹣PD=AB．24、解答：解：（1）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC．（2）如图4，如图5．（3）方法一：如图6，连接BE，∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，∴△PMA≌△EMB．∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，∴PA∥BE．∵平行四边形PADC，∴PA∥DC，PA=DC．∴BE∥DC，BE=DC，∴四边形DEBC是平行四边形．∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴DE⊥AC．方法二：如图7，连接BE，PB，AE，∵PM=ME，AM=MB，∴四边形PAEB是平行四边形．∴PA∥BE，PA=BE，余下部分同方法一：方法三：如图8，连接PD，交AC于N，连接MN，∵平行四边形PADC，∴AN=NC，PN=ND．∵AM=BM，AN=NC，∴MN∥BC，MN=BC．又∵PN=ND，PM=ME，∴MN∥DE，MN=DE．∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．∴DE⊥AC．（4）如图9，DE∥BC，DE=BC．25、解答：解：（1）无数；（2）作图的时候要首先找到对角线的交点，只要过对角线的交点，任画一条直线即可．如图有：AE=BE=DF=CF，AM=CN．（3）这两条直线过平行四边形的对称中心（或对角线的交点）．26、解答：解：（1）过点A作AM⊥CD于M，根据勾股定理，AD=10，AM=BC=8，∴DM==6，∴CD=16；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图，由题知：BP=10﹣3t，DQ=2t∴10﹣3t=2t，解得t=2此时，BP=DQ=4，CQ=12∴∴四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）=；（3）①当点P在线段AB上时，即时，如图∴．②当点P在线段BC上时，即时，如图BP=3t﹣10，CQ=16﹣2t∴化简得：3t2﹣34t+100=0，△=﹣44＜0，所以方程无实数解．③当点P在线段CD上时，若点P在Q的右侧，即6≤t≤，则有PQ=34﹣5t，＜6，舍去若点P在Q的左侧，即，则有PQ=5t﹣34，，t=7.8．综合得，满足条件的t存在，其值分别为，t2=7.8．27、解答：解：当BC∥OA，BC=OA时，C和B的纵坐标相等，若选择AB为对角线，则C1（3，1）；若选择OB为对角线，则C2（﹣1，1）；当AB∥OC，AB=OC时，选择OA为对角线，则C3（1，﹣1）．故第四个顶点坐标是：C1（3，1），C2（﹣1，1），C3（1，﹣1）．28、解答：解：设AB=x，则BC=18﹣x，由AB•DE=BC•DFF得：，解之x=10，所以平行四边形ABCD的面积为．29、解答：解：（1）由B、C的坐标可知，AD=BC=4，则可得点D的横坐标为1，点D的纵坐标与点A的纵坐标相等，为，可得点D的坐标为（1，）．（2）依题意得A1、B1、C1、D1的坐标分别为A（﹣3+，0），B（﹣2+，2）C（2+，2），D（1+，0）．（3）如图，平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积为平行四边形DEFG的面积，由题意可得GD=AD﹣AG=4﹣，平行四边形DEFG的高为2﹣=，∴重叠部分的面积为（4﹣）•=4﹣2．30、解答：证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAF=∠F，又AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF，∴∠BAF=∠F，∴AB=BF，又AF平分∠BAD，DE⊥AF，∴∠AOD=∠ADO，又∠BOE=∠AOD=∠EDC，∠ADO=∠E，∴∠EDC=∠E，∴CE=CD，又AB=CD，∴BE=CF．。

中考数学模拟题汇总《平行四边形的判定与证明》专项练习(附答案解析)一、综合题1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC的延长线上，∠FEC=∠B．（1）求证：DE=CF；（2）若AC=6cm，AB=10cm，求四边形DCFE的面积．2．已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，OD∥AC，AD＝OC.（1）求证：四边形OCAD是平行四边形；（2）若AD与⊙O相切，求∠B.3．已知：如图，点D在ΔABC的边AB上，CF//AB，DF交AC于E，EA=EC．（1）如图1，求证：CD=AF；（2）如图2，若AD=BD，请直接写出和ΔBDC面积相等的三角形．4．如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE=CF，DF=BE，且DF//BE，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若tan∠CAB=25，∠CBG=45°，BC=4√2，则▱ABCD的面积是．5．已知，如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．（1）求证：△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．6．如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点.（1）求证：BE=DF；（2）设ACBD=k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由.7．如图，在ΔABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE // BC，EF // AB．（1）求证：ΔADE∽ΔEFC；（2）如果AB=6，AD=4，求SΔADESΔEFC的值．8．如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AM⊥BC于M，交BD于E，过C点作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值．BC，9．如图，等边△ABC的边长是4,D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=12连接CD和EF .（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长.10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD交于点H.（1）求证：四边形DEBC是平行四边形；（2）若BD＝9，求DH的长.11．已知锐角△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，连接AO．（1）如图1，求证：∠BAO＝∠CAD；（2）如图2，CE⊥AB于点E，交AD于点F，过点O作OH⊥BC于点H，求证：AF＝2OH；，BC＝2√15，求AC的长．（3）如图3，在（2）的条件下，若AF＝AO，tan∠BAO＝1312．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(−1，0)，B(5，0)，与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标.（2）连结AD，点E是对称轴与x轴的交点，过E作EF∥AD交抛物线于点F（F在E的右侧），过点F作FG∥x轴交ED于点H，交AD于点G，求HF的长.13．如图，CD是⊙O的直径，点A是⊙O外一点，AD与⊙O相切于点D，点B是⊙O上一点（点B不与点C，D重合），连接AO，AB，BC .（1）当BC与AO满足什么位置关系时，AB是⊙O的切线？请说明理由；（2）在（1）的条件下，当∠DAO=度时，四边形AOCB是平行四边形.（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为（2，2）．过点A作AC⊥x轴，垂足14．如图，已知函数y= kx为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点EOD，求a、b的值；（1）若AC= 32（2）若BC∥AE，求BC的长．15．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．16．如图.在一次数学研究性学习中，小华将两个全等的直角三角形纸片Rt△ABC和Rt△DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图），其中∠ACB=∠DFE=90°，发现四边形ABDE是平行四边形.如图，小华继续将图中的纸片Rt△DEF沿AC方向平移，连结AE，BD，当点F与点C重合时停止平移.（1）请问：四边形ABDE是平行四边形吗？说明理由.cm时，请判断四边形ABDE的形（2）如图，若BC=EF=6cm，AC=DF=8cm，当AF=92状，并说明理由.参考答案与解析1．【答案】（1）证明：在△CDE 和△ECF 中，∵∠ACB=∠ECF=90°，点D 、E 是分别是AB 、BC 的中点．∴CD=BD=AD ，∴∠B=∠DCE ，∠CED=∠ECF=90°， 又∵∠FEC=∠B ．．∠FEC=∠DCE ，又∵CE=EC ．∴△CDE ≌△ECF （ASA ），∴DE=CF ；（2）解：在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，∴BC=√AB 2−AC 2=√102−62=8cm ， ∵点D 、E 分别是AB 、BC 的中点，∴DE ∥CF ，又DE=CF ， ∴四边形DCFE 是平行四边形，∴DE=12AC=12×6=3cm ，CE=12BC=12×8=4cm ， ∴S 四边形DCFE =DE ×CE=3×4=12cm ． 2．【答案】（1）证明：∵OA ＝OC ＝AD ， ∴∠OCA ＝∠OAC ，∠AOD ＝∠ADO ， ∵OD ∥AC ， ∴∠OAC ＝∠AOD ，∴180°﹣∠OCA ﹣∠OAC ＝180°﹣∠AOD ﹣∠ADO ， 即∠AOC ＝∠OAD ， ∴OC ∥AD ， ∵OD ∥AC ，∴四边形OCAD 是平行四边形；（2）解：∵AD 与⊙O 相切，OA 是半径， ∴∠OAD ＝90°， ∵OA ＝OC ＝AD ， ∴∠AOD ＝∠ADO ＝45°，∵OD∥AC，∴∠OAC＝∠AOD＝45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝45°.3．【答案】（1）证明：∵CF//AB∴∠DFC=∠ADF，∠DAC=∠ACF又∵EA=EC∴ΔADE≌ΔCFE(AAS)∴CF=AD又∵CF//AD∴四边形ADCF为平行四边形∴DC=AF（有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）（2）解：ΔADC，ΔADF，ΔCFD，ΔCFA∵AD=BD，∴SΔADC=SΔBDC (等底等高面积相等)∵四边形ADCF是平行四边形，∴SΔADC=SΔCDF=SΔADF=SΔACFF (等底等高面积相等) ．故与ΔBDC面积相等的三角形为：ΔADC，ΔADF，ΔCFD，ΔCFA．4．【答案】（1）证明：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，∵DF//BE，∴∠DFA=∠BEC，∵DF=BE，∴ΔADF≅ΔCBE(SAS)，∴AD=CB，∠DAF=∠BCE，∴AD//CB，四边形ABCD是平行四边形（2）245．【答案】（1）证明：∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC，在△ADF和△CBE中{DF=BE∠DFA=∠BECAF=CE，∴△AFD≌△CEB（SAS).（2）解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下：∵△AFD≌△CEB，∴AD=CB，∠DAF=∠BCE，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．6．【答案】（1）证明：如图，连接DE，BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE=12OA=12OC=OF，∴四边形DEBF是平行四边形，∴BE=DF .（2）解：由（1）已证：四边形DEBF是平行四边形，要使平行四边形DEBF是矩形，则BD=EF，∵OE=12OA=12OC=OF，∴EF=OE+OF=12OA+12OC=OA=12AC，即AC=2EF，∴k=ACBD =2EFEF=2，故当k=2时，四边形DEBF是矩形. 7．【答案】（1）证明：∵DE//BC，EF//AB，∴∠A＝∠CEF，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△EFC．（2）解：∵AB＝6，AD＝4，∴DB＝6－4＝2，∵DE//BC，EF//AB，∴四边形DBFE是平行四边形，∴EF＝DB=2，∵△ADE∽△EFC，SΔADE SΔEFC =(ADEF)2=(42)2=4．8．【答案】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形（已知），∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）。