对数运算法则课件

对数运算法则
高一年级 数学
对数的性质
1的对数为0，底的对数为1.
loga 1 0 loga a 1 .
底数的幂指数次方的对数为幂指数.
loga ab b .
aloga N N .
log6 3
问题一： 你知道 log6 3与log6 2的值吗？ 你能算出log6 3+ log6 2的值吗？
预估 log3 5 1，而0 lg 3, lg 5 1 .
能不能 log3 5 lg 3 lg 5 呢？
只能
log3
5
lg lg
5 3
.
log6 3
设 log3 5 x，则3x =5 .
xlg3 lg5，
x
lg 5 lg 3
.
lg 5 0.6990
log3 5 lg 3 0.4771 1.4651 .
x y 1. log6 3 log6 2 log6 (3 2) 1.
log6 3
积的对数
例1 已知 a 0 且 a 1, M , N 0 ，证明:loga M loga N loga (MN ) .
设 loga M , loga N ， 则 a M 0, a N 0 .
（1）底数能否任意？ （2）对数能否任意？
log6 3
换底公式
设 loga b x，ax =b .
两边取以c为底的对数，
x logc a logc b .
x
logc logc
b a
，loga
b
logc logc
b a
.
log6 3
换底公式
换底公式：
loga b
logc b logc a
，
其中a 0且a 1,b 0, c 0且c 1 .

【内化·悟】 1.lg 2与lg 5之间有何关系? 提示:lg 2+lg 5=1,lg 2=1-lg 5,lg 5=1-lg 2. 2.应用对数运算性质求值时关键是什么? 提示:关键是对数的底数应该相同,才能利用性 质合并计算.
【类题·通】
利用对数运算求值的方法 (1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商) 的对数. (2)“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数 的和(差).
【习练·破】 1.(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 2=________. 【解析】原式=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2=lg 5+lg 2=
lg 10=1. 答案:1
2.计算:
log 27 3
+lg
4+lg
25.
【解析】原式= log 3 ( 3 )6+2lg 2+2lg 5=6+2(lg 2 +lg 5)=8.
【解析】选C.因为lg 2=m,lg 3=n, 所以 lg 12 2lg 2 lg 3 2m n 2m n .
lg 15 lg 3 lg 5 n 1 lg 2 n 1 m
2.化简 x2 y .
loga 3 z
【解析】因为 x2 y >0且x2>0, y >0,所以
y>0,z>0.
【思考】
(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么
形式?
提示:logab= logNM ,logab= logNM. .
(2)你能用换底公式推导出结论logNn Mm
提示: lg b
ln b

m吗? n
lg a
ln a

本课结束
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(3)计算：①lg5 100； ②log2(47×25)； ③(lg 2)2＋lg 20×lg 5.
2
9 (1)4
9 (2)2
[(1)原式＝(23) -3＋lg 4－(lg 1－lg 25)
＝14＋lg(4×25)＝14＋2＝94.
(2)原式＝32＋lg 102＋1＝32＋2＋1＝92.]
(3)解：①lg5 100＝15lg 102＝25lg 10＝25. ②log2(47×25)＝log247＋log225 ＝log222×7＋log225＝2×7＋5＝19. ③(lg 2)2＋lg 20×lg 5＝(lg 2)2＋(1＋lg 2)(1－lg 2) ＝(lg 2)2＋1－(lg 2)2＝1.
2．若 2a＝3b(ab≠0)，则 log32＝( )
b
a
A.a
B.b
C．ab
a2 D.b2
A [2a＝3b⇒alg 2＝blg 3，所以 log32＝llgg 23＝ba.]
3．下列结论正确的是( ) A．loga(x－y)＝logax－logay B.llooggaaxy＝logax－logay C．logaxy＝logax－logay D．logayx＝llooggaaxy C [由对数的运算性质，知 A，B，D 错误，C 正确．]
[母题探究]
1．(变条件)将本例中的条件“1a＋1b＝2”改为“1a－1b＝2”，
则实数 c 又为多少？
[解] 由 3a＝4b＝c 得：a＝log3c，b＝log4c， 所以1a＝lo1g3c＝logc3，1b＝lo1g4c＝logc4. 又1a－1b＝2，所以 logc3－logc4＝logc34＝2，

怎样由这两个式子得到 + ？
(2)由指数运算的法则 = + 能得出对数运算具有什么运算法则？
由指数运算的运算法则可知6+ = 6 × 6 = 3 × 2 = 6，因此 + = 1.
一般地，设 = > 0， = > 0，则 = ， = .
(4)：(2)2 +20
× 5 =
(2)2 +(10
× 2) ×
10

2
= (2)2 +(1 + 2) × (1 − 2) = (2)2 +1 − (2)2 = 1.
例2说明，利用对数运算的运算法则，可以在不求出对数值的前提下，算出一
些含对数的对数式的值.
新知探索
3
例题
例2
计算下列各式的值：
5
(1)4 + 25；(2) 100；(3)2 (47 × 25 )；(4)(2)2 +20 × 5.
解(1)：4 + 25 = (4 × 25) = 100 = 2.
5
1
5
1
5
2
5
(2)： 100 = 100 = 100 = .
23
32
27
×
25
33
=
23
32

，其中



=

.

×
52
33
=
10
.
9
> 0且 ≠ 1， > 0， ∈ ， ∈ 且 ≠ 0.
练习
题型一：对数运算性质的应用
例1.(1)若2 = ，3 = ，则
2+

由llooggcc53＝x，则 logc5＝xlogc3， 即 logc5＝logc3x，
∴3x＝5，由指数和对数的互化可得 x＝log35， ∴llooggcc53＝log35.
探究 5 假设llooggccba＝x，我们会得到什么样的式子呢？你能写出它的推导过程吗？
提示 将公式进行推广， 可得 logab＝llooggccba(a>0，且 a≠1；c>0，且 c≠1；b>0)， 推导如下： 由llooggccba＝x，则 logcb＝xlogca，即 logcb＝logcax， ∴ax＝b，由指数和对数的互化可得 x＝logab，∴llooggccba＝logab.
1 234
2.若 log513×log36×log6x＝2，则 x 等于
1
A.9
B.9
C.25
√1
D.25
由题意得－lglg53×llgg 63×llgg x6＝－llgg x5＝2，
所以 lg x＝－2lg 5＝lg 5－2， 所以 x＝5－2＝215.
1 234
3.计算：2713－log39 的值为____1____. 2713－log39＝3－2＝1.
探究 3 结合探究 1，若 ap＝M，则 Mn＝(ap)n＝anp(n∈R)，你能得到 logaMn ＝nlogaM 吗？
提示 由 M＝ap，得 p＝logaM， 又由 Mn＝anp， 得 logaMn＝np＝nlogaM(n∈R).
知识梳理
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝__l_o_g_a_M_＋__l_o_g_a_N__；
A.a2＋b
√B.2a＋bCΒιβλιοθήκη a＋2bD.4 D.a＋b2

3
(2)log2 4=
答案:(1)1
;
.
2
(2)
3
二、换底公式
1.对数log32能否用lg 2和lg 3表示?能否用ln 2和ln 3表示?能否用loga2和
loga3表示?
lg2
提示:log32=lg3
=
ln2
ln3
=
log 2
.
log 3
log
2.一般地,我们有 logab=log
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差.(
)
(2)logaxy=logax·logay(a>0且a≠1,x>0,y>0).( × )
(3)log a(-5)2=2log a(-5)(a>0且a≠1).( × )
(4)logaN=logbN×logba(a,b>0且a,b≠1,N>0).( × )
(5)logab·logbc·logcd=logad(a,b,c>0且a,b,c≠1,d>0).(
log2 25 log2 5
log5 4
log5 8
解:(方法一)原式=(log2125+
+
)(log52+
+
)
log2 4
log2 8
log5 25 log5 125
2log2 5
log2 5
2log5 2 3log5 2
1
=(3log25+
+
)(log
+
)=
3
+
1
+
log
3log
52+
25·
52

(1)解 ∵ 3 = 4 = 36,∴ = 336, = 436.∴
2

2

=
2
log3 36
=
2
log36 36
log36 3
1

1
log4 36
1

1
log3
= 2363 = 369, =
=
1
log36 36
log36 4
= 364. ∴
1

+ = 369 + 364 = 3636 = 1.
对数运算法则
学习目标
1.理解对数的运算性质,并能运用运算性质化简、求值.
2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
3.能用对数的运算性质和换底公式进行一些简单的化简和证明.
核心素养：逻辑推理、数学运算
新知学习
情景引入
地震是一种常见的自然灾害,它的强度一般用里氏震级来表示.里氏震级是一种以发生地震时产生的水平位
1
1
1
∴ = log, = log, = log. ∴ = log, = log, = log.
1
1
1
∵ + + = 0,∴ log + log + log = 0,即log() = 0.∴ = 1.
反思感悟
条件求值问题的求解方法
c
名师点析
1.换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义.
2.换底公式的意义就在于把对数式的底数改变,把不同底问题转化为同底问题进行化简、计算和证明.换底
公式在实际应用中究竟换成以什么为底,要由具体已知的条件来确定,一般换成以10为底的常用对数.

作业 1. 用lgｘ，lgｙ，lgｚ表示下列各式： （1） （2）
lg(xyz)
xy lg z
2
（3）
xy lg z
3
x （4） lg 2 y z
3
2.求下列各式的值
（ ） 2 (16 4 ); （2） 3 12 log3 4; 1 log log
1 2 （3） lg 2 3 lg 5 lg （4） 2 lg 20 lg 5. 4 ; lg 5
7 例2 计算： （1）lg 14 2 lg lg 7 lg 18 3
解法一： 解法二：
7 7 lg 14 2 lg lg 7 lg 18 lg 14 2 lg lg 7 lg 18 3 3 7 7 2 lg 14 lg( ) lg 7 lg 18 lg(2 7) 2 lg 3 3 lg 7 lg(2 32 ) 14 7 lg 7 2 lg 2 lg 7 2(lg 7 lg 3) ( ) 18 3 lg 7 (lg 2 2 lg 3) lg 1 0 0 常用对数 log N ln N (e 2.71828 ...) 自然对数 log10 N lg N e
6 （1） log 2 6 log 2 3 log 2 log 2 2 1 3 lg(5 2) lg 10 1 （2） lg 5 lg 2
1 （3） log 5 3 log 5 3
1 log5 (3 ) log 5 1 0 3 5 log3 log3 31 1 （4）log3 5 log3 15 15
①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……
②有时逆向运用公式
③真数的取值范围必须是 (0,) ④对公式容易错误记忆，要特别注意：

∴log ( ) = log

− log
练习
练习
练习
对数的运算法则-数乘公式
n个M相乘
log = log ( × × ⋯ … × ）
n个log 相加
= log + log + ⋯ … + log
= log
练习
常用对数与自然对数
对数的基本运算
a＞0且 ≠ 1，log 1 = 0
a＞0且≠1，log = 1
a＞0且≠1，log = x
ln = 1
lg 10 = 1
ln 1 = 0
lg 1 = 0
对数恒等式

log
=
令 =
log
则
=
∴log = log
∵log =
lg
lg Leabharlann lg log b =
lg b
lg lg
∴log × log = × =1
lg
lg b

=

=

= log

练习
练习
练习
即=+
∴log () = +
∴log () = log + log
对数的运算法则-减法公式
令log = , log =
则 = , =

∴ = ÷ = −


即 =−


∴log ( ) = −
∴t=N
log
∴
=
练习
3log3 2 = 2

a
x
logcb
xlogca
logcb
可得
x
log c
b
logca
所以log a
b
logcb
log c
a
人们最常用的换底公式是loga
N
lg N lg a
和
loga
N
ln N ln a
.这样，人们计算起来就比较
返 回
简单。
目
录
4 例题讲解
4
例题讲解
例1.已知 求2100 有多少位整数
解:设 x 2100 , 等号两边同取以10为底的对数,得
2log3 3 3log3 2
5log3 2 3log3 3
3l
2 og3
2
5log3 2 3
10 9
返 回 目
录
6 课后延伸
6
课后延伸
已知logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，那么式子logabcx＝________.
返 回 目 录
b
.
证明：(1)由换底公式可以得到
loga
b
logb logb
b a
1 logb
a
所以 loga b logb a 1
(2)由换底公式可以得到
logan
bm
loga bm loga an
m loga b n loga a
m n loga b
返
回
目录4来自例题讲解例4 设3a 4b 36，求 2 1的值。
对数的运算法则
——4.3.2 换底公式
1
课堂任务
CONTENTS
2
创设情景
目
3
归纳探索

[变式探究] 若在本例中将条件改为“已知 10a＝2,10b＝3”，又如何 用 a，b 表示 log3645? 解 ∵log3645＝llgg 45××99＝2lglg52＋＋22llgg33 ＝1－ 2lglg2＋ 2＋22lglg33＝1－ 2aa＋＋22bb， ∴log3645＝1－ 2aa＋＋22bb.
[方法总结] 换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式 转化成自然对数式或常用对数式，解决一般对数求值的问题．
[跟踪训练2] 计算下列各式的值： ( 1 ) l o g 2 3 ·l o g 3 6 ·l o g 6 8 ； (2)(log23＋log43)(log32＋log274)．
法二
原式＝lg472－lg 4＋lg 7
5＝lg4
2×7 7×4
5
＝lg ( 2· 5)＝lg 10＝12.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
探究二 换底公式
【例 2】计算下列各式的值：
(3)分子＝lg 5(3＋3lg 2)＋3(lg 2)2＝3lg 5＋3lg 2(lg 5＋lg 2)
＝3lg 5＋3lg 2＝3(lg 5＋lg 2)＝3；
分母＝(lg 6＋2)－lg 1 30600×110＝lg 6＋2－lg1600＝4.∴原式＝34.
(4)原式＝12lg( 3＋ 5＋ 3－ 5)2＝12lg(3＋ 5＋3－ 5＋2 9－5)＝12lg 10＝12.
[方法总结] 1．利用换底公式化简、求值时应注意的问题 (1)针对具体问题，选择恰当的底数． (2)注意换底公式与对数运算法则结合使用． (3)换底公式的正用与逆用． (4)恰当应用换底公式的两个常用结论．

值呢？
x
x
设 log 3 5 x ，则 3 5 ，从而 lg 3 lg 5 ，即 x lg 3 lg 5 ，
所以 x
lg 5
，
lg 3
也就是说 log 3 5
lg 5 0.699 0

1.4651 .
lg 3 0.477 1
换底公式
一般地，我们有
log a b
log c b
5

lg 27 lg 8

lg 4 lg 25
1
1
lg 5 3lg 3 3lg 2 lg 5 9



，故 B 错误；对于 C， log 2 25 log3 log5
16
9
lg 9 2 lg 2 2 lg 5 2 lg 3 8
log 2 52 log 3 24 log 5 32

4 log8 27
3log 2 3
log 2 27
1 ，


，
9
log 2 3 log 2 8 log 2 3 3log 2 3


( 2 3)0 1 ， log 3 1 0 ， 2lg 5 lg 4 lg 52 4 lg102 2 ， 5log5 2 2 ，
60
则 log z m 的值为_____________.
解析： log x m 24 ， log y m 40 ， log xyz m 12 ， log m x
log m xyz
1
1
， log m y
，
24
40
1
1
1
1
1

x
x
=x,则 log25=xlog23,即 log25=log23 ,从而有 3 =5,将

其化为对数式得 x=log35,若将对数函数的底数 2 换成 c(c>0 且 c≠1),

=log35 还成立吗?

提示:成立,证明如下:

设
x
x
=x,则 logc5=xlogc3,即 logc5=logc3 ,从而有 5=3 ,即 x=log35,
数学

(2)loga = logaM-logaN .

即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数.
(3)logaMn= nlogaM(n∈R) .
即正数幂的对数等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数.
特别地,logaaN=N.
数学
2.换底公式及导出公式
[问题 2] 假设

=(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2
=(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2
=(lg 5+lg 2)lg 5+lg 2
=lg 5+lg 2=1.
数学




+ +
(2)
-
-

;

(3)log535-2log5 +log57-log51.8.


= (lg 2+lg 5)





= lg 10= .
数学
法二
=lg
原式=lg
×
×
=lg( × )
=lg

= .

8．已知 x，y，z 为正数，3x＝4y＝6z，2x＝py.
(1)求 p；
(2)求证：1z－1x＝21y.
解 (1)设 3x＝4y＝6z＝k(k>1)， 则 x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k， 由 2x＝py，得 2log3k＝plog4k＝p·lloogg334k， ∵log3k≠0，∴p＝2log34. (2)证明：1z－1x＝lo1g6k－lo1g3k＝logk6－logk3＝logk2＝12logk4＝21y， ∴1z－1x＝21y.
18
2
＝(log62)2＋(log63)2＋3log62×log63 9 ＝(log62)2＋(log63)2＋2log62×log63 ＝(log62＋log63)2 ＝1.
解
10．设 0<a<1，x，y 满足 logax＋3logxa－logxy＝3，若当 y＝ 42时，
logay 取得最小值，求 a 的值．
C．logam Mn＝
D．logaM＝lloogg((－－22))Ma
解析
由对数的运算性质知
A，B
错误；对于
C，logam
n
Mn＝logaMm
＝
mn logaM，
＝mn logaM，∴C 正确；D 中－2 不能做底数，∴D 错误．故
选 C.
2．给出下列式子： ①lg (3＋2 2)－lg (3－2 2)＝0； ②lg (10＋ 99)×lg (10－ 99)＝0；
)
A．13
B．3
C．－13
D．－3
解析 由 2.5x＝1000，0.25y＝1000 得 x＝log2.51000＝lg 32.5，y＝
log0.251000＝lg 03.25，∴1x－1y＝lg 32.5－lg 03.25＝13.

对数函数的运算法则 课件
• 对数函数的基本性质 • 对数函数的运算法则 • 对数函数的复合运算 • 对数函数的应用 • 对数函数与其他函数的比较
目录
Part
01
对数函数的基本性质
定义与性质
定义
对数函数是指数函数的反函数，记作y=logₐx（a>0，a≠1），其定义域为（0，+∞）， 值域为R。
除法定理
总结词
对数函数的除法定理是指数相除的对 数等于对数相除。
详细描述
对于任意两个正数a和b（a > b）， 有log(a/b) = log(a) - log(b)。这个 定理可以用于简化对数运算，特别是 当需要对多个数求商时。
Part
03
对数函数的复合运算
复合函数的定义
总结词
由多个函数组合而成的函数
在声学中，声音的传播距 离与声强和传播时间的关 系常用对数函数表示。
电磁学计算
在电磁学中，对数函数常 用于计算电磁波的传播和 衰减。
热力学计算
在热力学中，对数函数常 用于计算热传导和热辐射 等问题。
在经济中的应用
STEP 01
复利计算
STEP 02
市场需求预测
在金融领域，对数函数常 用于计算复利，即计算本 金经过一段时间后的增长 值。
Part
02
对数函数的运算法则
加法定理
总结词
对数函数的加法定理是指数相加的对数等于对数相加。
详细描述
对于任意两个正数a和b，有log(a+b) = log(a) + log(b)。这个定理可以用于简 化对数运算，特别是当需要对多个数求和时。
减法定理
总结词
对数函数的减法定理是指数相减的对 数等于对数相减。

题型三 用已知对数表示其他对数 例 3 已知 log189＝a,18b＝5，用 a，b 表示 log3645. 【解】 方法一 因为 log189＝a，所以 9＝18a. 又 5＝18b，所以 log3645＝log2×18(5×9) ＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818. 又因为 log2×1818＝log18118×2＝1＋l1og182 ＝1＋lo1g18198＝1＋1－1log189＝2－1 a，所以原式＝a2＋ －ba.
方法归纳 (1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般 来讲，对数的底越小越便于化简，如 an 为底的换为 a 为底． (2)换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；loganbm＝mn logab.
跟踪训练 2 (1)式子 log916·log881 的值为( )
方法归纳 用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； (2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； (3)注意一些派生公式的使用．
跟踪训练 3 (1)已知 log62＝p，log65＝q，则 lg 5＝________； (用 p，q 表示) (2)①已知 log147＝a,14b＝5，用 a，b 表示 log3528. ②设 3x＝4y＝36，求2x＋1y的值． 解析：(1)lg 5＝lloogg66150＝log62＋q log65＝p＋q q.
1
8
3
A.18 B.18 C.3
D.8
(2)(log43＋log83)(log32＋log98)等于( )
5 A.6
25
9
B.12 C.4
D．以上都不对

lg20-lg2
13
新问题：
lo aM g n ?(a 0 ,a 1 ,M 0 )
证明：设
loagMp, 则
ap M,
Mn(ap)napn
loag M nnloag M
14
巩固练习
1．计算
(1)lo9g3lo9g27(2)lg 5 100
(3)lg 1 2lg5 4
(4)lo2g(44)
=7
返回上级
7
log35+log3（1/5） log35× （1/5） =log31 =0
返回上级
8
log6（2×3） =log66 =1
log62+log63
9
新问题： lo aM N g?(a0 ,a1 ,M ,N0)
得： loagM NloagMloagN
证明：设 loaM gp ,loaN gq则
ap M,aq N
由指数运算法则得：
ap apq M
aq
N
∴
loaM g NpqloaM gloaN g 10
例题2、计算
10
(1) lg
答案
100
(2)lg20 lg2
答案
11
=lg（1/10） =lg10-1 = -1
(1) lg 10 100
返回上级
12
= lg（20/2） =lg10 =1
§2.2.2对数的运算法则
1
如果看到logaN=b这个式子你会有什么感想？
a＞0 a≠1 N＞0 ab=N
2
先回顾一下指数的运算法则：
amanamn
a m a mn an
(am)n am n
3
问题：若a＞0，a≠ 1， M＞0，N＞0，logaM+logaN=logaMN