第二十二章曲面积分

第二十二章曲面积分习题课一 疑难问题与注意事项1.第一型曲面积分的计算方法：答 1）先把S 的方程代入，再利用SdS ⎰⎰为S 的表面积；例如,22⎰⎰+S yx dS其中S 为柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分； 解22221122SSdS H dS RH x y R R Rππ===+⎰⎰⎰⎰. 2)利用公式（1）设有光滑曲面:(,),(,)S z z x y x y D =∈，(,,)f x y z 为S 上的连续函数，则(,,)(,,(,SDf x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰．注 一投------将曲面S 向xOy 面投影得D ；二代------将(,)z z x y =代入到(,,)f x y z 中； 三变换------dS.（2）类似地，如果光滑曲面S 由方程(,),(,)x x y z y z D =∈，则(,,)d ((,),,d SDf x y z S f x y z y z y z =⎰⎰⎰⎰，其中D 表示曲面S 在yOz 面上的投影．（3）如果光滑曲面S 由方程(,),(,)y y x z x z D =∈，则(,,)d (,(,),d SDf x y z S f x y x z z x z =⎰⎰⎰⎰．其中D 表示曲面S 在xOz 面上的投影．3)利用对称性（1）若曲面∑关于xoy 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑位于xoy 上部的曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z z f x y z S f x y z S f x y z z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（2）若曲面∑关于yoz 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑中0x ≥的那部分曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z x f x y z S f x y z S f x y z x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（3）若曲面∑关于xoz 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑中0y ≥的那部分曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z y f x y z S f x y z S f x y z y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（4）若积分曲面∑关于,,x y z 具有轮换对称性,则有[]1(,,)(,,)(,,)3f x y z f y z x f z x y ds ∑=++⎰⎰． 2.第二型曲面积分的方法：答 1）公式：（1）设R 是定义在光滑曲面上的连续函数， 以S 的上侧为正侧，则有注一投-----曲面:(,)S z z x y =向xOy 面投影得D ；二代----将(,)z z x y =代入到(,,)R x y z 中；三定向—看S 的法线方向与z 轴的夹角，若夹角为锐角，则为正，否则为负． （2）类似地，当P 在光滑曲面 上连续时，有这里S 是以S 的法线方向与x 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，（3）当Q 在光滑曲面 上连续时，有这里S 是以S 的法线方向与y 轴的正向成锐角的那一侧为正侧． 2）若(,)z z x y =，则 3）高斯公式注 高斯公式(),VSP Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰的适用条件是：1）函数(,,)P x y z ，(,,)Q x y z ，(,,)R x y z 在V 上具有一阶连续的偏导数． 2）S 封闭，若S 不封闭需要补面，让它封闭，假如补面S *后封闭，则有 3）S 取外侧；如果S 取内侧，则S -取外侧，则有 3.各种积分间的联系τ格林公式 n二 1.计算第一型曲面积分()Sx y z dS ++⎰⎰，其中S 是上半球面2222x y z a ++=(0)a >，0z ≥．解 把:S z=xoy 面投影得222:D x y a +≤(()SDx y z dS x y ++=+⎰⎰⎰⎰3a π=．注(0Dx y +=⎰⎰，因为222:D x y a +≤关于,x y 轴对称，且(x y +2.计算曲面积分2Sz dS ⎰⎰，其中S 是球面2222xy z a ++=．解： ∵球面2222x y z a ++=关于x ,y ,z 具有对称性， ∴222SSSx dS y dS z dS ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ∴2Sz dS ⎰⎰=2221()3Sx y z dS ++⎰⎰ =22133S Sa a ds ds =⎰⎰⎰⎰22214.433a a a ππ==． 3．计算曲面积分⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z )(2，其中∑是旋转抛物面)(2122y x z +=介于平面0=z 及2=z 之间部分的下侧．解 补平面2:1=∑z 的上侧，则1∑+∑为封闭曲面，在其上应用高斯公式：π82)11(=+-=⎰⎰⎰⎰⎰ΩxyD dxdy dxdydz ．4．计算第二型曲面积分Sxdydz ydzdx zdxdy -+⎰⎰，其中曲面S为椭球面2222221x y z a b c ++=的上半部分，其方向为下侧． 解：为求1SI xdydz ydzdx zdxdy =-+⎰⎰ (S 取下侧)，只须求2SI xdydz ydzdx zdxdy =-+⎰⎰(S 取上侧)，那么12I I =-．为求2I ，将S 与底面'S (其中'S 是S 在xoy 坐标面上的投影)组成的封闭曲面记为total S ，即'total S SS =，其中S 方向取上侧，'S 方向取下侧．设total S 围成的区域为()222222,,|1,0x y z V x y z z a b c ⎧⎫=++≤≥⎨⎬⎩⎭，由高斯公式：213Vabcdxdydz π==⎰⎰⎰． 又由于'0S xdydz ydzdx zdxdy -+=⎰⎰，那么223I abc π=，从而 123SabcI xdydz ydzdx zdxdy π=-+=-⎰⎰． 5．计算Sxdydz ydzdx zdxdy ++⎰⎰，其中S是上半球面z =解：曲面S 不封闭，补上曲面2221:0()S z x y a =+≤，取下侧6.⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333，其中S 是单位球面1222=++z y x 的外侧． 解333222()SVx dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz ++=++⎰⎰⎰⎰⎰2140123sin 5d d r dr ππϕθϕπ==⎰⎰⎰．7.求222222()()()CI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰，其中C 是立方体{0,0,0,}x a y a z a ≤≤≤≤≤≤的表面与平面32x y z a ++=的交线，取向从z 轴正向看去是逆时针方向． 解：可见交线若分为六段积分的计算量很大，且C 也不便于表示为一个统一的参数式，因C 为闭曲线，且22P y z =-，22Q z x =-，22R x y =-连续可微，故考虑用斯托克斯公式，令∑为32x y z a ++=被C 所围的一块，取上侧，则C 的取向与∑的取侧相容，应用斯托克斯公式得23394()242a x y z dS dS a a ∑∑=-++==-⋅=-⎰⎰⎰⎰． 8.计算()d ()d ()d I z y x x z y x y z Γ=-+-+-⎰，其中221:2x y x y z ⎧+=Γ⎨-+=⎩，从z 轴正向看为顺时针方向（图10-23）．解 用斯托克斯公式取:2x y z ∑-+=以Γ为边界所围有限部分的下侧，它在xOy 面上的投影区域为22{(,)1}xy D x y x y =+≤，则d d d d d d y z z x x yI x y z z yx zx y∑∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰2d d 2d d 2xyD x y x y π∑==-=-⎰⎰⎰⎰．。

S6
3
x
S3 S1
S4 S6
y
y( x z)dydz x2dzdx ( y2 xz)dxdy a4
S
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13
P289 1(3) xydydz yzdzdx xzdxdy, S为平面
S
x y z 0, x y z 1外侧四面体表面取外侧. z
数学分析
xydydz yzdzdx xzdxdy 0
D By
2(dydz dzdx dxdy)
A x
原式=2 dydz dzdx dxdy 6 dxdy 6 dxdy
S
S
D
3a2
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24
P296 4(1) 求yzdx xzdy xydz的原函数.
dydz dzdx dxdy dydz dzdx dxdy
x2 + y2 = z2与平面z h所区域表面的外侧.
数学分析
解：P Q R 2( x y z) x y z
z
原式 2( x y z)dxdydz
V
2 ( x y)dxdydz 2 zdxdydz
V
0 V
2
h
zdz
2
d
z rdr h4 .
0
0
0
2
截面法， 利用柱坐标
2024/10/13
S4 y
15
数学分析
P289 1(4) yzdzdx, S为球面x2 y2 z2 1的上半部取外侧.
S
z
S1 : y 1 x2 z2 ,
S2 S1
S2 : y 1 x2 z2 .
y
S1、S2在zx面上的投影均为D：
xz

z =z x2 + y2
下的部分 (图22-2). 解 对于圆锥面=z x2 + y2 ,
O
y
x
x2 + y2 = 2ax
图 22 − 2
有 zx
= x2x+ y2 , z y
y
, x2 + y2
1
+
z
2 x
+
z
2 y
=2;
而 S 在 xy 平面上的投影为 D( xy) : ( x − a)2 + y2 ≤ a2 . 因此
∫∫ f ( x, y, z( x, y))
1
+
z
2 x
+
z
2 y
dxdy
.
S
D
(2)
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§1 第一型曲面积分 第一型曲面积分的概念 第一型曲面积分的计算
例2 计算 ∫∫( xy + zx + yz)dS,
S
其中 S 为圆锥面=z x2 + y2
被圆柱面 x2 + y2 = 2ax 所割
数学分析 第二十二章 曲面积分
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§1 第一型曲面积分 第一型曲面积分的概念 第一型曲面积分的计算
EG − F 2 = 1 + u2 .
然后由公式 (3) 求得:
∫∫ ∫ ∫ =I
v 1= + u2dudv
2π
vdv
a
1 + u2du
0
0
D
( ) =
2π
2

u 2
1 + u2 + 1 ln u + 2

第二十二章 曲面积分1. 计算曲面积分⎰⎰++SdS zx yz xy )(,其中S 为圆锥曲面22y x z +=被曲面ax y x 222=+所割下的部分.2. 计算⎰⎰SdS xyz ,其中S 是曲面22y x z +=介于两平面1,0==z z 之间的部分.3. 计算⎰⎰S dS z xγcos 2,其中S 是球面2222a z y x =++的下半部, γ是曲面的法线方向与z 轴正向的夹角.4. 计算⎰⎰+S dS y x 221, 其中S 是柱面222R y x =+在平面0=z 和H z =之间的部分.5. 计算⎰⎰S dydz xz 2,其中S 是上半球面222y x a z --=的上侧.6. 计算⎰⎰++S dxdy z dxdz y dydz x 222, 其中S 为球体2222)()()(R c z b y a x ≤-+-+-的表面, 并取外侧.7. 计算⎰⎰++Sdxdy z h dxdz y g dydz x f )()()(,其中)(),(),(z h y g x f 为连续函数; S 为平行六面体c z b y a x <<<<<<0,0,0的外表面.8. 计算曲面积分⎰⎰++S zdxdy x ydzdx xdydz x 223,其中S 为b z z a y x ===+,0,222所围成的立体的表面积.9. 计算⎰⎰+++S xydxdy ydzdx z xyzdydz )(22,其中S 为曲面224z x y +=-上0≥y 的那部分取正侧.10. 计算曲线积分⎰+++++Ldz x dy z dx y )3()2()1(,其中L 是圆周,0,2222=++=++z y x R z y x 若从x 轴正向看去, L 是沿逆时针方向运行.11. 计算⎰+++++=Ldz y x dy x z dx z y I )()()(222222, L 是曲线)0,0(2,222222><<=+==++z R a ax y x Rx a z y x , 且L 的正向是使它在求外表面所围小区域在它的左方.12. 计算⎰⎰+++S z dxdy dzdx dydz e y x ),(22其中S 是为曲面22y x z +=及平面2,1==z z 所围成的立体的表面外侧.13. 计算⎰⎰+S y dxdz z x e 22，其中S 是由曲面22z x y +=与平面2,1==y y 所围成立体表面的外侧.。