...届高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第15讲导数....ppt.ppt

0
二、复习要点及其运用 （一） 导数与函数的单调性的关系
h
L1
0
0
t1
t L2 L4 L3
图（一）
图（二）
二、复习要点及其运用
（a , b） （a）设 y f ( x) x （1）若 f ( x) 0 恒成立，则 y f ( x) 为 (a , b) 上 的单调 递增函数 （2）若 f ( x) 0 恒成立，则 y f ( x) 为 (a , b) 上的单调递减函数 （注：若 x0 (a , b) 使得 f ( x0 ) 0 则称 x0 为 y f ( x) 的 临界 点）
A、 ( , )和(0, ) 2 2


C、 ( , )和( , ) 2 2


,0)和(0, ) 2 2 D、 ( ,0)和( , ) 2 2
B、 (


3、如图,液体从一圆锥形漏斗漏入 一圆柱形桶中,开始时漏斗盛满液体, 经过3分钟漏完,若圆柱中液面上升 速度是一常量,H是圆锥形漏斗中液 面下落的距离,则H与下落时间分钟 的函数关系表示的图象可能是（ ）
f ( x) 0 与 （b）
f ( x)为增函数的关系：f ( x) 0
能推出 f ( x)为增函数，但反之不一定。如 3 f ( x) 0 ) 函数 f ( x) x 在 (,上单调递增，但 所以 f ( x) 0 是f ( x)为增函数的充分不必要条 件。 f ( x) 0 是 f ( x)为减函数的充分不必 同理， 要条件。
(1)
(2)
(3)
(4)
A
B
C
D
（1）
B
（2）
A
（3）
D （4）

返回目录
第15讲 运用导数研究函数的最值与生活中的优化 问题举例
双 向 固 基 础
3．[教材改编] 做一个容积为 256 dm3 的底面为正方形的 无盖水箱，若要使用料最省，则它的高为________dm.
[答案] 4
256 [解析] 设底面边长为 x，则高为 h＝ x2 ，其表面积为 256×4 256 2 2 S＝x ＋4× x2 ×x＝x ＋ x . 256×4 则 S′＝2x－ x2 ， 令 S′＝0， 则 x＝8.当 x<8 时， S′<0； 当 x>8 时，S′>0.所以 S 在 x＝8 时取得极小值，也是最小 256 值，用料最省，故高 h＝ ＝4(dm)． 64
返回目录
第15讲 运用导数研究函数的最值与生活中的优化 问题举例
双 向 固 基 础
[答案] (1)×
(2)√
(3)√
(4)×
(5)×
[解析] (1)函数在某区间上有极值，则不一定有最值．如 函数 f(x)＝x3－3x 在 R 上只有极值没有最值． (2)根据最值的概念知命题正确． (3)二次函数的极值也是最值． 1 (4)对于 f(x)＝ x＋x－1，f′(x)＝ ＋1≥0 在区间(0， 2 x ＋∞)上恒成立，所以 f(x)为增函数，且定义域为[0，＋∞)， 所以 f(x)的最小值为 f(0)＝－1.对于 g(x)＝ x－x－1，令 g′(x) 1 1 1 1 ＝ －1＝0，得 x＝ .当 x∈(0， )时，g′(x)>0；当 x∈( ， 4 4 4 2 x 1 ＋∞)时，g′(x)<0，所以 g(x)在区间(0，4)上是增函数，在区 间
双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

2.
核心考点
-14-
关闭
答案
考点1
考点2 知识方法 易错易混
核心考点
-15-
思考:函数求导应遵循怎样的原则? 解题心得:函数求导应遵循的原则: (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式变形等对函数进行化简, 然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错. (2)进行导数运算时,要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切 忌记错记混. (3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变 量,确定复合过程,然后求导.
标是
.
关闭
由题意得 y'=-e-x,设 P(x0,y0),直线 2x+y+1=0 的斜率为-2,所 以,-e-������0=-2,解得 x0=-ln 2,所以e-������0=2=y0.故 P(-ln 2,2).
关闭
(-ln 2,2)
解析 答案
双击自测
-12-
12345
5.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f'(1)= .
知识梳理
-7-
4.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);
(2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);
(3)
������(������) ������(������)
'=������'(������)������[(������������()���-������)���](2������)������'(������)(g(x)≠0).
(2)∴求曲经线过在点点A((22,,-f2(2)的))处曲的线切f(x线)的方切程线为方y+程2.=x-2,

（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
解：（1）切线方程可化为 .当时，.又 ，于是解得 故 .
（2）证明：设 为曲线上任一点，由，知曲线在点处的切线方程为 ，即 .令，得 ，从而得切线与直线的交点坐标为， .令，得 ，
从而得切线与直线的交点坐标为 .所以点处的切线与直线， 所围成的三角形的面积为 .故曲线上任一点处的切线与直线， 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
变式1（1） 若函数，则 的值为__.
解：.令，得，所以 ，则.故填 .
（2）设函数，且，则 ( )
A.0 B. C.3 D.
解：因为 ,所以 ,所以，解得 .故选B.
√
（3）设函数在内可导，且，则 ___.
2
解：（方法一）令，则，所以，即 .所以，所以 .（方法二）等式两边同时求导，得.令，得 .故填2.
复合函数
常用结论
1.导数的两条性质 （1）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数. （2）可导函数的导数为，若为增函数,则 的图象是下凹的；反之，若为减函数,则 的图象是上凸的.
2.几类重要的切线方程 （1）是曲线的切线，是曲线的切线， ,是曲线 的切线，如图1.
命题角度3 根据切线情况求参数
例4 （2022年新课标Ⅰ卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是___________________.
解：因为，所以 .设切点为,则,切线斜率 .切线方程为 .因为切线过原点，所以 ,整理得 .
因为切线有两条，所以 .解得或 .另解：由切线斜率,与 联立，可得 .所以的取值范围是 .故填 .
变式3（1） 若函数与 的图象在一个公共点处的切线相同，则实数 ________.

7 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
2．函数 y＝(3－x2)ex 的单调递增区间是( )
A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)
解析 y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝ex(－x2－2x＋3)，
6 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
1．思维辨析 (1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)>0.( × ) (2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在此区间内没有单调性．( √ ) (3)f(x)在(a，b)上单调递增与(a，b)是 f(x)的单调递增区间是相同的说法．( × )
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
考点一 函数的单调性与导数
4 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
撬点·基础点 重难点
5 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
1 函数的单调性与导数的关系
命题法 判断函数的单调性 典例 已知函数 f(x)＝ln x－mx＋m，m∈R. (1)已知函数 f(x)在点(1，f(1))处与 x 轴相切，求实数 m 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间； (3)在(1)的结论下，对于任意的 0<a<b，证明：fbb－ －afa<1a－1. [解] 由 f(x)＝ln x－mx＋m，得 f′(x)＝1x－m(x>0)． (1)依题意得 f′(1)＝1－m＝0，即 m＝1.

撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
撬点·基础点 重难点
4 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
1 利用导数证明不等式的常用技巧 (1)利用给定函数的某些性质，如函数的单调性、最值、极值等，服务于所要证明的不等式． (2)当给出的不等式无法直接证明时，先对不等式进行等价转化后再进行求证． (3)根据不等式的结构特征构造函数，利用函数的最值进行求证，构造函数的方法较为灵活，要结合具 体问题，平时要多积累． 其一般步骤为：构造可导函数→研究其单调性求最值→得出不等关系→整理得出所证明的结论． 2 导数在研究函数零点中的作用 (1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等． (2)用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面， 也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
[解] (1)函数 f(x)＝x2＋bln (x＋1)的定义域为(－1，＋∞)①，
f′(x)＝2x＋x＋b 1＝2x2＋x＋2x1＋b，
令 g(x)＝2x2＋2x＋b，则 Δ＝22－8b，由 b>12，得 Δ<0，
即 g(x)＝2x2＋2x＋b>0 在(－1，＋∞)上恒成立，所以 f′(x)>0.
解析 构造函数 f(x)＝sinx－x，则 f′(x)＝cosx－1≤0 且不恒等于 0，故函数 f(x)在(0，π)上单调递减， 所以 f(x)<f(0)＝0，故 sinx<x.

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义
第三章
§3.1 导数的概念及 其意义、导数的运算
课标要求
1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2.通过函数图象，理解导数的几何意义. 3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求 简单的复合函数的导数.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
跟踪训练2 (1)(2023·深圳质检)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝x3－x，
则曲线y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程是
A.2x－y－2＝0
B.4x－y－4＝0
√C.2x＋y－2＝0
D.4x＋y－4＝0
当x<0时，f(x)＝x3－x，则f′(x)＝3x2－1，所以f′(－1)＝2， 由f(x)为偶函数，得f′(1)＝－f′(－1)＝－2， 则曲线y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程是y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.
跟踪训练1 (多选)下列命题正确的是
A.若f(x)＝xsin x－cos x，则f′(x)＝sin x－xcos x＋sin x
√B.设函数f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝e
C.已知函数f(x)＝3x2ex，则f′(1)＝12e
√D.设函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且 f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则 f′(2)＝－94
因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a＝ －3a－1， 解得 a＝1 或 a＝－34(舍去)， 又由g(1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)， 将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m， 可得m＝1.
(2)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是

• 4．(2017·镇江期末)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2) 处的切线方程为________．
• 解析 ∵y′＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率k ＝ －5y′(|xx＝－00＝)，－即5e50x＝＋－y＋5，2＝∴0切. 线方程为y－(－2)＝
• 答案 5x＋y＋2＝0
• 5．(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的 图 象 在 点 (1 ， f(1)) 处 的 切 线 过 点 (2,7) ， 则 a ＝ ________.
• (2)如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再 求导．
•
【训练1】 (1)f(x)＝x(2 则x0＝________.
017＋ln
答案
13 4
• 3．(2016·天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x) 为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．
• 解析 因为f(x)＝(2x＋1)ex， • 所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，
• 所以f′(0)＝3e0＝3. • 答案 3
知识梳理 1．导数的概念
设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且 x0∈(a，b)，若 Δx 无限 趋近于 0 时，比值ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0无限趋近于一个常数 A，则 称 f(x)在 x＝x0 处可导，并称该常数 A 为函数 f(x)在 x＝x0 处的导 数，记作 f′(x0)． 若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则 f(x)在各点的导 数也随着 x 的变化而变化，因而是自变量 x 的函数，该函数称作 f(x)的导函数，记作 f′(x) ．
• 2．导数的几何意义
• 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是

(ⅰ)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在区间(-∞,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.
(ⅱ)设a<0,由f'(x)=0,得x=1或x=ln(-2a). ①若 a=-e2,则 f'(x)=(x-1)(ex-e), 所以 f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增. ②若 a>-e2,则 ln(-2a)<1,
内单调递减,
所以当 x∈(0,+∞)时,f'(x)≤0,f(x)单调递减,不符合题意.
④当 a>12时,0<21������<1,当 x∈
1 2������
,1
时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当 x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
所以 f(x)在 x=1 处取极大值,符合题意.
可得函数 y 在区间(1,+∞)内单调递增,在区间(0,1)内单调递减.
故函数 y 在 x=1 处取得极小值,也是最小值 1,即有 x-ln x>0, 即 ln x<x,即有 a≤������������2-l-n2������������. 设 φ(x)=������������2-l-n2������������,则 φ'(x)=(������-1()���(������-���l+n2������-)22ln ������). 设 h(x)=x+2-2ln x,则 h'(x)=1-���2���,
0,
1 2������
内单调递增,

0
− e ,即 =
= e,所以 e, 1 ,

.
e
由曲线 = ln 的对称性，知另一条切线的方程为 =

− .
e
[总结反思]
（1）曲线 = 在点 0 , 0 处的切线方程为 − 0 = ′ 0 − 0 ;
（2）注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别.
1.变化率与导数
（1）
概念
几何意
义
平均变化率：
0 +Δ − 0
Δ
对于函数 = ,把比值
=________________叫作函数
= 从
Δ
Δ
平均
0 到0 + Δ的_______变化率
斜率
函数 = 在区间[0 , 0 + Δ]上对应的图象的两端点连线的_______

=− +1
sin
π
3.［教材改编］ 曲线 =
在点 π, 0 处的切线方程为______________.

[解析] 由题得′ =
则切线方程为 =
cos −sin
，∴
2
1
−
π
切线的斜率 = ′|=π =
− π ，即 =

−
π
+ 1.
1
− ，
π
题组二 常错题
◆ 索引：求导时不能掌握复合函数的求导法则;混淆′ 0 与[ 0 ]′;忽视
2
2cos
−
2
2sin
= 2cos 2.
5.已知
=
2

−8
+ 3′ 2 ，则 2 =_____.