2004级《高等数学》(I)期末考试试卷(A)(答案)

高等数学试卷（B 卷）答案及评分标准2004-2005年度第一学期科目:高等数学I 班级:姓名:学号:成绩: 一、填空题（5153'=⨯'）1、()3)2ln(--=x x x f 的定义域是_2、 2 )1sin 2sin (lim 0x =⋅+→xx x x 3、 e )31(lim 3=+∞→xx x4、如果函数x x a x f 3sin 31sin )(+=，在3π=x 处有极值，则2=a5、34d )1(sin cos 223=+⋅⎰-x x x ππ二、单项选择题（5153'=⨯'）1、当0→x 时，下列变量中与2x 等价的无穷小量是（）A.x cos 1-B.2x x +C.1-x eD.x x sin )ln(1+2、)A ()(' ,)(的是则下列极限中等于处可导在设a f a x x f =。

A ．h h a f a f h )()(lim0--→B ．hh a f h a f h )()(lim 0--+→C ．h a f h a f h )()2(lim 0-+→D ．h h a f h a f h 3)()2(lim 0--+→3、设在[]b a ,上函数)(x f 满足条件()0)(,0<''>'x f x f 则曲线()x f y =在该区间上（） A.上升且凹的B.上升且凸的C.下降且凹的D.下降且凸的4、设函数()x f 具有连续的导数，则以下等式中错误的是（）A.)(d )(d d x f x x f x b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ B.x x f t t f x a d )(d )(d =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ C.()x x f x x f d )(d )(d=⎰ D.C t f t t f +='⎰)(d )(5、反常积分⎰∞+- 0d 2x xe x （）A.发散B.收敛于1C.收敛于21D.收敛于21-三、算题（'488'6=⨯）1、求极限xxx x 30sin sin tan lim -→2、求22)2()ln(sin lim x x x -→ππ3、求曲线⎩⎨⎧==ty tx 2cos sin 在当4π=t 处的切线方程和法线方程4、已知函数0,sin >=x x y x ，计算xy d d5、求积分⎰x e xd6、求积分x x e ed ln 1⎰7、计算曲线π≤≤=x x y 0,sin 与x 轴围成的图形面积，并求该图形绕y 轴所产生的旋转体体积。

04-05高等数学试卷A答案04-05高等数学试卷A答案高等数学试卷（A 卷）第 2 页共 13 页广州大学2004-2005学年第二学期考试卷答案与评分标准课程：高等数学(90学时) 考试形式：闭卷考试题号一二三四五六七总分分数 15 15 20 20 16 6 8 100 评分评卷人一．填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 1．设xye z =，则=dz )(xdy ydx exy+2．设),(y x f 连续，交换积分次序┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋学院领导审批并签名A 卷高等数学试卷（A 卷）第 3 页共 13 页=110),(xdy y x f dx ?10),(ydxy x f dy3．L 为连接点)0,1(A 与点)1,0(B 的线段，则=+Lds y x )(24．当10≤=-1)1(n p n n条件收敛 5．微分方程54=+'-''y y y 的通解是)sin cos (212x c x c e y x +=二．单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．函数),(y x f z =在点),(y x 处的偏导数xz及y z ??存在是),(y x f 在该点可微分的【 B 】（A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；高等数学试卷（A 卷）第 4 页共 13 页（C ）充分必要条件；（D ）无关条件. 2.曲线12-=t x ，2+=t y ，3t z =在点)1,1,0(-处的切线方程为【 C 】（A ）232=--z y x （B ）232x y z ++=-（C ）3112+=-=-z y x （D ）3112+=-=z y x3．设Ω由平面1=++z y x 及三个坐标面所围成的闭区域，则Ω=xdv 【 B 】（A ）1110x y dx dy x dz--?（B ）1110x x y dx dy x dz ---??（C ）1110y x y dx dy x dz---?（D ）111dx dy x dz4. 设L 为圆周122=+y x ，取顺时针方向，平面区域:D 122≤+y x，高等数学试卷（A 卷）第 5 页共 13 页根据格林公式，曲线积分22Ly xdy x ydy -=【 A 】（A ）??+-Ddxdyy x)(22（B ）??+Ddxdyy x)(22（C ）??--Ddxdyx y)(22（D ）??-Ddxdyx y)(225．微分方程xxe y y y 265=+'-''的特解形式是【 D 】（A ）xaxe 2 （B ）xe ax 22（C ）xe b ax x 22)(+ （D ）xe b ax x 2)(+高等数学试卷（A 卷）第 6 页共 13 页三．解答下列各题（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分） 1．),(v u f z =具有二阶连续偏导数，其中y x u -=，22y x v +=，求x z ??与yx z2解：xzxv u f v u f v u2),(1),(?+?=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分vuxf f 2+= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 =yx z2[](1)22(1)2uu uv vu vvf f y x f f y ?-+?+?-+? ┅┅┅┅ 5分2()4uuuvvvf y x f x y f =-+-+┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分2．函数),(y x z z =是由方程z z y x 22 22=++确定，求xz及22x z ?? 解：令z z y x z y x F 2),,(222-++=x F x2= 22-=z F z┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 1分zx F F x z zx -=-=??1 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分┋┋┋┋┋ 装┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋高等数学试卷（A 卷）第 7 页共 13 页222)1()(1z xz x z xz-??---=?? ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分322)1()1(z xz -+-= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分3．求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值解：由??=-==-=03303322x y f y x f yx┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分得驻点为)0,0(、)1,1( ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分x f xx6=， 3-=xyf ， y f yy6= ┅┅┅┅┅┅ 4分在点)0,0(处，092<-=-B AC ，所以)0,0(f 不是极值┅┅ 6分在点)1,1(处，0272>=-B AC ，又06>=A所以在)1,1(处有极小值1)1,1(-=f ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分高等数学试卷（A 卷）第 8 页共 13 页四．计算下列积分（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分） 1．计算二重积分dxdy y x D，其中D 由2x y =与xy =围成的闭区域解：dxdy y x D21xx dx ydy=?? ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分1201|2xx xy dx =? ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 ?-=152)(21dx x x ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分112= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 2．计算二重积分dxdyeDy x ??+22，其中D 由4=+y x围成的闭区域解：dxdy eDy x ??+22?=20202ρρθρπd e d ┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分2|2ρπe= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分高等数学试卷（A 卷）第 9 页共 13 页)1(4-=e π ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分3．利用高斯公式计算曲面积分333I x dy dz y dz dx z dx dy∑=++??，其中∑为球面2a z y x =++的外侧)0(>a ，解：记2222:a z y x≤++Ω由高斯公式2223()I x y z dvΩ=++ ┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 drr d d a420sin 3=ππ??θ ┅┅┅┅┅┅┅ 6分5125a π=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分高等数学试卷（A 卷）第 10 页共 13 页五．解答下列级数（本题共3小题，第1小题6分，第2小题10分，满分16分） 1．判别级数∑∞=1!3n nnn n 的敛散性解：!3)!1(3)1(lim lim 111n n n n uu n nn n n nn n ++=++∞→+∞→ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分nn n+=∞→11lim 31 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分13<=e┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分该级数收敛┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分2．求幂级数∑∞=?12n nnn x 的收敛域及其和函数解：nn n a a 1lim+∞→=ρnn n n n 212)1(1lim 1+=+∞→1lim 21+=∞→n n n 21=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分故21==ρR ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分┋┋┋┋┋ 装┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋高等数学试卷（A 卷）第 11 页共 13 页当2-=x 时，级数∑∞=-1)1(n n n 条件收敛┅┅┅┅┅┅┅ 4分当2=x 时，级数∑∞=11n n发散┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分幂级数的收敛域为)2,2[- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分记=)(x S ∑∞=?12n nnn x 22<≤-x=')(x S ∑∞=-112n nn x=11221-∞=∑??n n x =x-21 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分xx dx S x S x-=-+=?22ln 2)0()(0 （22<≤-x ）┅ 10分六．（本题满分6分）求微分方程32(1)1y y x x '-=++的通解解：该方程为一阶线性微分方程，由常数变易公式+?+?=?+-+C dx ex e y dx x dx x )1(23)1(2)1(┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分[]?+++=Cdx x x )1()1(2 ┅┅┅┅┅┅┅┅高等数学试卷（A 卷）第 12 页共 13 页┅┅┅┅┅┅ 5分+++=C x x 22)1(21)1( ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分七．（本题满分8分）一个半球形状的雪堆，其体积减少的速率与半球面的面积成正比，比例常数0>k ，假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为1米的雪堆在开始的3小时内融化了体积的8 7，问雪堆全部融化需要多少时间？解：设雪堆在时刻t 的体积332r V π=，侧面积22r S π=，依题意知2222r k dtdrr dt dV ππ?-==┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分于是得k dtdr-= 积分得Ckt r +-= ┅┅┅┅┅┅┅高等数学试卷（A 卷）第 13 页共 13 页┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分由初始条件1)0(=r ，得1=C 所以kt r -=1 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分又由题设，可知03|81|===t t V V即ππ3281)31(323?=-k61=k 得，从而t r 611-= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分雪堆全部融化时0=r ，令0=r 得6=t 故雪堆全部融化需6小时┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分。

n 22004～2005 学年第一学期《高等数学》期末考试试题 A 卷（216 学时） 专业班级学号 姓名一、填空题：（4×5 分）♣a (1 - cos x ) ♠ x > 0 ♠ x 21、设 f (x ) = ♦4 x = 0 连续，则常数 a = ， b =♠b sin x + ⎰ x e t d t ♠ 0 ♥♠ x x < 0∞∞2、设∑ a xn的收敛半径为 3, 则∑ n a (x -1)n +1的收敛半径 R ＝n n =1nn =13、已知 f (x ) = x (1 - x )(2 - x )…(2005 - x ) ，则 f '(0) ＝∞14、级数∑ nn =1的和 S =二、选择题：（4×4 分）1、函数 f (x ) = (x 2- x - 2) x 3- x 不可导点的个数是A 、 0B 、1C 、2D 、32、设周期函数 f (x ) 在(-∞,+∞) 内可导，其周期为4，且limf (1) - f (1 - x )= -1，x →02x则曲线 y = f (x ) 在点(5, f (5)) 处的切线的斜率为A 、 2B 、－2C 、1D 、－1∞n -11 k3、对于常数k > 0 ，级数∑(-1)tan n + n 2n =1A 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、收敛性与 k 的取值相关4、设函数 f (x ) 有任意阶导数且 f '(x ) = f 2(x ) ,则 f(n )(x ) = (n > 2) .A 、n ! fn +1(x ) B 、nfn +1(x ) C 、f 2n(x ) D 、n ! f 2n(x )x ⎰ ♥三、计算下列各题：（6×6 分）arctan x - x1、求极限： lim3x →0ln(1 + 2x )2、设 y = tan2x + 2sin x，求： d y x =π23、设函数 y = y (x ) 由方程e y+ 6xy + x 2- 1 = 0 确定,求： y '(0)e x + e - xf '(x ) f (x )4、已知 f (x ) =,计算不定积分： 2+ f (x ) f '(x )d x5、设函数 y = y (x ) 由参数方程4 ln x♣♠x = t 3 + 9t ♦♠ y = t 2- 2t 确定，求曲线 y = y (x ) 的下凸区间。

2003-2004《高等数学Ⅰ(1)》参考答案一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满15分）1、极限=++∞→xx x x 3sin 212lim 26.2、设函数)(x y y =由方程0sin =+yxe y 所确定,则=dxdycos yye y xe -+.3、=+⎰+∞dx x x121arctan 23/32π.4、函数x x y sin 2-=在[0,/2]π上的最小值为/3π.5、曲线(0,0)b r ae a b θ=>>从0=θ至/2θπ=的一段弧长=l /21)/b e b π-.二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 1、当0→x 时,变量221sin1x x 是（ D ） (A)无穷大量. (B)无穷小量.(C)有界变量但不是无穷小量. (D)无界变量但不是无穷大量.2、设20()(),0x f x x g x x >=≤⎩其中)(x g 为有界函数,则)(x f 在0=x 处（ D ） (A)极限不存在. (B)极限存在但不连续. (C)连续但不可导. (D)可导.3、设函数)(2x f y =在点1=x 处的自变量增量1.0=∆x 时,对应函数的微分1=dy ,则(1)f '=（ C ）(A)0. (B)1. (C)5. (D)10. 4、设)(x f 在0x x =处二阶可导,且1)(lim-=-'→x x x f x x ,则（ A ） (A)0x 是)(x f 的极大值点. (B)0x 是)(x f 的极小值点. (C)))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点. (D)以上结论均不成立.5、设dx xx I ⎰=101arcsin ,dx x xI ⎰=102arcsin ,则下列结论成立的是（ C ）(A)121≤≤I I . (B)112≤≤I I . (C)211I I ≥≥. (D)121I I ≥≥.三、（满分5分）若矢量,a b 满足3a b ⋅=,{}1,1,1a b ⨯=-,求a 与b 的夹角. 解：设a 和b 的夹角为θ,则{}3cos 3tan 361,1,1sin 3a b a b a b a b a b θπθθθ⎧⋅=⇒=⎪⇒=⇒=⎨⨯=-⇒⨯==⎪⎩.四、（满分5分）若0→x 时,dt t x ⎰303sin 是αβx 的等价无穷小,求βα,.解：330sin x tdt ⎰和x αβ是等价无穷小3234011000040sin 3331limlimlim lim 31x x x x x x x x xx x x αααααβαβαβαβαβ---→→→→-=⎧⋅⎪∴====⇒⎨=⎪⎩⎰34,4αβ⇒==.五、（满分5分）设⎩⎨⎧=+==t y t x x f cos 1)(2,求dx dy ,22dx yd .解：/sin /2dy dy dt tdx dx dt t -==, 22232sin 2cos sin cos 424t t td y t t tt dxtt --==.六、（本题共3小题,(1)(2)每题5分,第三题6分,满分16分） (1)dx x x⎰+1ln . 解：令t =则21x t =-.2222ln(1)222ln(1)2ln(1)21t ttdt t dt t t t dt t t -⋅=-=--⋅-⎰⎰⎰原式＝222211112ln(1)42ln(1)42111t t t dt t t t dt t t t -+⎛⎫=--=---- ⎪--+⎝⎭⎰⎰212ln(1)42ln1t t t t C t -=---++x C =-(2)dx x x ⎰-π042cos cos .解：0sin cos dx x x dx πππ⎰⎰⎰原式＝＝＝/2222020/211sin sin sin sin sin sin 122xd x xd x x x ππππππ-=-=⎰⎰＝ (3)dx xx x x ⎰--+++2224242)1ln(.解：222(28282dx π=-=-⎰⎰⎰原式＝2＝2七、（满分7分）求xx x x e x x 9820sin !81...!211lim -----→. 解：28992890111111...()(1...)12!8!9!2!8!lim 9!x x x x x o x x x x x →++++++-++++=原式＝八、（满分7分）对任意自然数n 及0>x ,证明：n x nxe )1(+>.证：令()(1)xnxF x e n=-+,则111()(1)0()x x n nF x e e F x n n n'=-=->⇒单调增加()(0)0F x F ⇒>=.即(1)(1)xx n nx xe e n n>+⇒>+.九、（满分8分）设cx bx ax x f ++=23)(,已知曲线)(x f y =有拐点(1,2)且在拐点处切线的斜率为-1,求)(x f . 解：2()32,()62f x ax bx c f x ax b '''=++=+，由题意得：3232136209()39828a b c a a b b f x x x x a b c c ++=-=⎧⎧⎪⎪+=⇒=-⇒=-+⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩十、（满分8分）计算n 阶行列式λλλλ++++=n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a D (3213213)21321. 解：231231231231...........................nin i nin i nn in i nin i a a a a a a a a D a a a a a a a a λλλλλλλ====+++=++++∑∑∑∑ 12()n c c c +++2323231231...1...1..................1...n nni n i n a a a a a a a a a a a a a λλλλ=+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭+∑ 11ni i c a λ=⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑提23311...0 (00) (00)0...nnni n i a a a a a a a λλλλ=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ 1(,2,,)i r r i n -=11nn i i a λλ-=⎛⎫=+⎪⎝⎭∑十一、（满分8分）一高为h 而底为a 和b 的等腰梯形薄板垂直悬在液体中,薄板顶端到液面的距离为c .已知液体的密度为ρ,求薄板所受的压力. 解：如图，直线AB 的方程为：22h a y c x b a ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭则压力元素为：2()b a dP gy xdy a y c gydy h ρρ-⎡⎤=⋅=+-⎢⎥⎣⎦即压力1()[3()(2)]6c hcb a P a yc gydy gh c a b h a b h ρρ+-⎡⎤=+-=+++⎢⎥⎣⎦⎰十二、（附加题,从下面两题中任选一题,每题满分5分） (1)设dt e x f xt ⎰-=12)(,求dx xx f I ⎰=1)(. (2)设)(x f 是],[b a 上的连续函数,)(a f 和)(b f 分别是)(x f 在],[b a 上的最大值和最小值.证明：至少存在一点],[b a ∈ξ,使))(())(()(ξξ-+-=⎰b b f a a f dx x f ba.解及证：(1)112()()2()I f x x x ==-⎰⎰110021xx e dx e ---=-=-=-⎰⎰(2)令()()()()()F x f a x a f b b x =-+-,则()[,]F x C a b ∈.()()()f b f x f a ≤≤()()()()()()()baF a f b b a f x dx f a b a F b ∴=-≤≤-=⎰.由介值定理，至少存在一点[,],()()baa b F f x dx ξξ∈∍=⎰.。

南昌大学04级、05级第一学期期末考试试卷一、填空题 (每空 3 分) :1. 函数21()1424x x x f x x x x -∞<<⎧⎪=≤≤⎨⎪<<+∞⎩的反函数为21116log 16xx y x x x -∞<<⎧⎪=≤≤⎨⎪<<+∞⎩。

2. 设函数 ()y f x = 是可导的函数，且()2()sin sin 1f x x '⎡⎤=+⎣⎦，(0)4f =，则()y f x =的反函数()x y ϕ=当自变量y 取4时的导数值是()21sin sin1。

3. 2lim x x x e→+∞=0。

4.设y =dy= 5. 曲线()2ln 1y x =+的凹区间为[]1,1-。

6、若()1x f e x '=+，则()f x =ln x x C+。

7、3x x e dx -=⎰13ln 3xe C e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

二、单项选择题 (每题 3 分，):21. 0x =是函数21()arctan f x x=的( B ).(A) 跳跃间断点. (B) 可去间断点. (C) 无穷间断点. (D) 振荡间断点. 2. 当0x +→x 的( B ).(A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小 (C)同阶但非等价无穷小 (D) 等价无穷小3. 下列函数中在给定的区间上满足罗尔定理条件的是( D ).(A) []1,50,51,5x x y x x +<⎧⎪=∈⎨⎪≥⎩(B)1y =[]0,2x ∈(C) x y xe -=，[]0,1x ∈ (D) 256y x x =-+，[]2,3x ∈4. 设a ，b ，是常数,且 0a ≠，若()()f x dx F x C =+⎰则()f ax b dx +⎰等于( B ).(A) ()aF ax b C ++ (B) ()1F ax b C a ++(C) ().aF x C + (D) ()1F x C a+第 3 页 共 6 页 35. 若222lim 22x x ax bx x →++=--, 则必有 ( D ).(A) 2a =，8b = (B) 2a =，5b =(C) 0a =，8b =- (D) 2a =，8b =- 6. 已知()32f x x ax bx =++, 在1x =处取得极小值2-则( B ).(A) 1a =，2b = (B) 0a =，3b =-(C) 2a =，2b = (D) 1a =，1b =三、计算下列极限 (每小题7分) :1. 02lim .sin x x x e e x x x-→--- 原式=02lim 1cos x x x e e x -→+--0limsin x xx e e x-→-= 0lim 2cos x xx e e x -→+==2、301sinlim.1cos x x x x→- 原式=3021sin lim 12x x x x →=012lim sin 0x x x→=3. 2221().1lim xx x x →∞-+4原式=222(1)1lim x x x →∞-++=222211222211lim x x x x e x -++--→∞⎡⎤-⎛⎫⎢⎥+= ⎪⎢⎥+⎝⎭⎢⎥⎣⎦4、tan 01lim .xx x +→⎛⎫ ⎪⎝⎭(1) 令tan 1xy x ⎛⎫= ⎪⎝⎭l n t a n l ny x x =- (2)0ln lim x y +→=0tan ln lim x x x +→-=0ln cot lim x x x +→=-=2010csc lim x x x +→-=- (3) tan 01()lim x x x +→=2lim x y π→ln 021lim y x e e π→===5、()222sin 0lim 1.x x x x e+→+原式=()22221sin 2201lim xxx e xxx e x x ee +→⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦四. 解下列各题 (每小题7分):1.设2cos y =， 求.dydx2、设2x y x e =， 求()20.y3. 设函数()y y x =由方程()()sin ln xy y x x +-=，确定,求'(0).y第 5 页 共 6 页 54. 设函数()y y x =arctany xae=，确定,求.dy dx5. 设()()()x f t y tf t f t '⎧=⎪⎨'=-⎪⎩ 其中()f t ''存在且不为零， 求22d y dx6. 设()2ln 1arctan x ty t t⎧=+⎪⎨=-⎪⎩ 求221t d y dx =五.求下列不定积分 (每小题7分): 1、cos .x ⎰2. 2.x x a dx ⎰3. .x ⎰4..⎰5. 2arctan .x xdx ⎰6. 1.xxdx e e-+⎰ 7. ()221.x xe xdx +⎰8. 0π⎰9. 20sin cos x x dx π-⎰6六.设函数()f x 在[)0,+∞上连续，且满足条件()424011()41x f x x f x dx x x+∞+=+++⎰ 其中反常积分()411f x dx x+∞+⎰收敛， 求()f x 的表达式。

二零零四级第一学期《高等数学》期末考试参考答案180学时A 卷：（以180A 为主线，144等学时换题的解答在最后） 一.选择题： 1.A; 2.B; 3.C; 4.D; 5.A.二.填空题： 1.8π;2.(1)e λαλ-;3.2x x +;4.4e ;5.24ππ-. 三．（共14分，每小题7分）1．求常数,a b，使sin 0000lim lim.x x ++→→=⎰⎰解：右边=0lim 1x +→=由00lim 1lim 01x x bx a bx a a x++→→-=⇒-=⇒=又201()112lim lim 2x x x x bx b bx x +→+∞→+-=-=-，故由11122b b -=⇒=- 2．求微分方程2222x yy xy xe -'+=满足初始条件(0)1y =的特解. 解：方程变形为2112x y xy xe y --'+=，令2y z = 得22x z xz xe -'+= 故222[]xdxxdx x z e e xe dx C --⎰⎰=+⎰22()2x x e C -=+，所以222()2x xy e C -=+将(0)1y =代入得1C =，故方程特解为：222(1)2x x y e-=+ 四．（共18分，每小题6分）1． cot ln sin x dx x ⎰.=1(ln sin )ln ln sin ln sin d x x C x =+⎰2．21⎰.（令cos x t =）=222001cos (1cos 2)2t tdt t t dt ππ=+⎰⎰=2220011[(sin 2sin 2)]282t t tdt πππ+-⎰222011cos 2168164t πππ=+=- 3．0π⎰=32sin cos x x dx π⎰3322202sin cos sin cos x xdx x xdx πππ=-⎰⎰5522202224sin sin 555x x πππ=-=五．（10分）平面曲线23y x =将224x y +=所围图形分成两块，设面积较小的一块图形为A, 求 (1) A 的面积；(2)A 绕y 轴转动一周生成的旋转体的体积. 解：（1）图形边界曲线交点：(1, 面积S=22)3y dy ，令2sin y t =上式=23300112(4cos 2[2(sin 2)4)233tdt t t πππ=+-=⎰(2) 422(4)]9y V y dy ππ=--=352(4345y y y π--=六．（8分）设()f x 在[0,a ]上非负，()0f x '<，求证002()()3a aa xf x dx f x dx <⎰⎰ 证：设002()()()3xxx F x tf t dt f t dt =-⎰⎰(0,]x a ∈012()()()33x F x xf x f t dt '=-⎰，1()(()())03F x xf x f x '''=-<故F '(x ),()(0)0F x F ''↓⇒<=，故(),()(0)0()0F x F x F F a ↓⇒<=⇒< 即02()()3aaa xf x dx f x dx <⎰⎰ 七．（12分）全面研究函数3222(1)x y x -=-的性态，并作出草图.（已知234(2)(1)3(2);2(1)(1)x x x y y x x -+-'''==--） 解：定义域：(,1)(1,)-∞⋃+∞，令02,1y x x '=⇒==-， 令02y x ''=⇒=，求渐近线：32112lim lim12(1)x x x y x x →→-==-∞⇒=- 为铅直渐近线3221lim lim 2(1)2x x y x a x x x →∞→∞-===-， 32212(1)1lim lim 1122(1)2x x x x x y x b y x x →∞→∞----===⇒=+- 为斜渐近线----------(8) 极大值点3(1,)8--，拐点(2,3)，添点(0,1),-,八．（8分）设函数()f x 在[,]a b 上有二阶连续导数， （1） 写出()f a 在x 点的带Lagrange 余项的一阶泰勒展开式; （2） 证明存在[,]a b η∈，使3()()()()()()212baf a f b b a f x dx b a f η+-''=--⎰解 (1) 21()()()()()()2f a f x f x a x f a x ξ'''=+-+- (,)a x ξ∈ (2) 将上式两边在[,]ab 上积分得21()()()()()()()2bb b aaa f ab a f x dx f x a x dx f a x dx ξ'''-=+-+-⎰⎰⎰ 21()[()()()]()()2b b b ba aaa f x dx a x f x f x dx f a x dx ξ''=+-++-⎰⎰⎰ 212()()()()()2bba a f x dx ab f b f a x dx ξ''=+-+-⎰⎰所以 2()()1()()()()24b b a af a f b f x dx b a f a x dx ξ+''=---⎰⎰因为()f x ''在[,]a b 上连续，故存在M ,m ,使()m f x M ''≤≤，故222()()()()b b baaam a x dx f a x dx M a x dx ξ''-≤-≤-⎰⎰⎰即 23()()()3baf a x dx m M b a ξ''-≤≤-⎰由闭区间上连续函数的介值定理知存在[,]a b η∈，使23()()()()3baf a x dx f b a ξη''-''=-⎰故有 3()()()()()()212baf a f b b a f x d x b a f η+-''=--⎰144学时：三.2. （7分）20limsin x x x→解原式0x →=2011cos 1lim 2312x x x →-==162管理：三.2. （7分） 已知平行四边形对角线向量为2,34,c a b d a b =+=-其中1,2,(,)6a b a b π∧===，求平行四边形的两条相邻边及平行四边形的面积.解：设平行四边形两邻边为m 和n ，因为c=m+n, d=m-n11()(42)222m c d a b a b =+=-=-，11()(26)322n c d a b a b =-=-+=-+所以 S (2)(3)5m n a b a b a b =⨯=-⨯-+=⨯5sin(,)5a b a b ∧=⋅=180微机：七.（12分）求微分方程32sin x y y y e x -'''++=+的通解. 解：特征方程：2123202,1r r r r ++=⇒=-=-，齐次通解212x x Y C e C e --=+设1212(cos sin )x y y y axe b x b x ***-=+=++， 12()(1)(sin cos )x y a x e b x b x *-'=-+-+，12()(2)(cos sin )x y a x e b x b x *-''=--+，代入方程并比较系数得121221131301,,101030a b b a b b b b =⎧⎪+=⇒==-=⎨⎪-=⎩故得方程通解 21231cos sin 1010x x x y C e C e xe x x ---=++-+。

命题方式： 教研组命题佛山科学技术学院2004—2005学年第二学期 《高等数学》(经济类)课程期末考试试题（A 卷）专业、班级： 姓名： 学号：一、单项选择题：（每小题3分，共15分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在该题括号内） 1.下列积分⑴ ⎰50231+x dxx ， ⑵⎰11-2-1x xdx， ⑶⎰402235-)(/x xdx， ⑷⎰1ee xx dx/ln中，可直接使用牛顿——莱不尼兹公式的有 （ ）A . ⑴B . ⑴⑶C . ⑴⑷D . ⑴⑵⑶⑷2.下面叙述中⑴ 发散级数加括号后所成的级数一定发散；⑵ 发散的正项级数加括号后所成的级数一定发散； ⑶ 交换级数的项的次序不会影响级数的敛散性，正确的有 （ ） A . ⑴ B . ⑵ C . ⑶ D . ⑵⑶3.设∑∞1=n n u 为任意项级数，且∑∞1=n n u ｜｜ 发散，则 （ ）A . 原级数绝对收敛B . 原级数发散C . 原级数敛散性不定D . 原级数条件收敛 4.设 ⎰⎰2=Ddxdy I ，其中｝｜），（｛4≤+≤1=22y x y x D ，则=I （ ） A . π B . π2 C . π6 D . π15 5.曲线3=x y 与直线2=x 、0=y 所围成的图形绕y 轴旋转产生立体的体积是（ ） A . π7128 B . π596 C . π564D . π32二、填空题：（每小题3分，共12分.） 1.幂级数∑∞1=n nnnx 的收敛区间为 .2.二元函数22---4=y x y x z )(在点（ ， ）处取得极 值 .3.交换二次积分⎰⎰2-21y ydx y x f dy ),(的次序得.共6页第1页4.微分方程 0=3+'4+''y y y 满足初始条件 2=0=x y，6='0=x y 的特解为.三、解答题（每小题6分，共12分）：1.设y z z x ln =确定函数),(y x f z =，求xz∂∂.2.设 v e z u sin =，xy u =，y x v +=，求xz∂∂.四、解答题（7分）： 计算⎰∞+0-dx e x .共6页第2页五、解答题（7分）：试判断下面级数的敛散性：∑∞1=2⋅3nnnn.六、解答题（7分）：级数∑∞1=1-1 1-nnn)( 是否收敛？若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛.共6页第3页七、解答题（7分）：求微分方程x y y ='-''的通解.八、解答题（7分）：求下面微分方程满足初始条件的特解：0=+1-+1dy xy dx y x，0=0=x y.共6页第4页九、解答题（7分）：将函数2--=2x x xx f )( 展成 x 的幂级数，并确定其收敛区间.十、解答题（7分）： 计算二重积分⎰⎰Dxy d xe σ，其中｝,｜），（｛1≤≤01≤≤0=y x y x D .共6页第5页十一、解答题（7分）：计算二重积分⎰⎰Dxdxdy ，其中D 是由直线 x y = 和圆 1=1-+22)(y x 所围成且在直线x y = 下方的平面区域.十二、解答题（5分）：设可微函数)(x y 满足⎰-+=xx dt t y e x y )()(，求)(x y .共6页第6页。