8 第八章习题及答案

思考题一、判断题1、变压器的额定容量是指变压器二次侧输出的视在功率。

×2、变压器接负载后，主磁通是由一次侧和二次侧电流共同产生的。

√3、负载变化时，变压器的励磁电流基本保持不变。

√4、电源电压变化时，变压器的励磁电流基本保持不变。

×5、变压器空载和负载时，主磁通基本保持不变。

√6、变压器可以用来进行频率变换。

×7、变压器可以用来进行功率变换。

×8、自耦变压器的电压比越大，共用绕组中的电流越小。

×9、电压互感器的二次侧绕组线径较一次侧绕组粗。

×11、电流互感器的二次侧绕组线径较一次侧绕组粗。

×10、由于变压器的励磁电流基本不变，所以变压器的铜耗称为不变损耗。

×二、选择题1、对于电阻性和电感性负载，当变压器副边电流增加时，副边电压将( b )。

(a)上升(b)下降(c)保持不变2、变压器对（ c ）的变换不起作用（a）电压（b）电流（c）功率（d）阻抗3、变压器是通过（ a ）磁通进行能量传递的。

（a）主（b）一次侧漏（c）二次侧漏（d）一次、二次侧漏4、一台电压比为2的单相变压器，二次侧接有8Ω的负载；若从一次侧看，其负载为（ d ）Ω。

（a）4 （b）8 （c）16 （d）325、变压器的负载变化时，其（ c ）基本不变。

（a）输出功率（b）输入功率（c）励磁电流（d）输入电流6、变压器电源电压升高，空载时其励磁电流（ b ）。

（a）略有增大（b）增大较多（c）基本不变（d）反而减小7、变压器的同名端与绕组的（c ）有关。

A、电压（b）电流（c）绕向（d）匝数8、工作时电压互感器的二次侧不能（b）；电流互感器的二次侧不能（）。

（a）短路；短路（b）短路；开路（c）开路；短路（d）开路；开路9、自耦变压器的共用绕组导体流过的电流（ a ）。

（a）较大（b）较小（c）为一次二次边电流之和（d）等于负载电流10、变压器的铁损耗称为“不变损耗”，是因为铁损耗不随（ a ）而变化。

第8章带传动一、选择填空：1．带传动主要依靠来传递运动和动力的。

A．带与带轮接触面之间的正压力Ｂ．带的紧边压力Ｃ．带与带轮接触面之间的摩擦力Ｄ．带的初拉力２．带传动不能保证精确的传动比，其原因是。

A．带容易变形和磨损B．带在带轮上打滑C．带的弹性滑动Ｄ．带的材料不遵守虎克定律３．带传动的设计准则为。

Ａ．保证带传动时，带不被拉断Ｂ．保证带传动在不打滑的条件下，带不磨损Ｃ．保证带在不打滑的条件下，具有足够的疲劳强度４．普通Ｖ带带轮的槽形角随带轮直径的减小而。

Ａ．增大Ｂ．减小Ｃ．不变５．设计Ｖ带传动时发现Ｖ带根数过多，可采用来解决。

Ａ．增大传动比Ｂ．加大传动中心距Ｃ。

选用更大截面型号的Ｖ带６．速比不等于１的带传动，当工作能力不足时，传动带将在打滑。

Ａ．小轮表面Ｂ．打轮表面Ｃ．两轮表面同时７．带传动采用张紧轮的目的是。

Ａ．减轻带的弹性滑动Ｂ．提高带的寿命Ｃ．改变带的运动方向Ｃ．调节带的初拉力８．在设计Ｖ带传动中，选取小带轮直径d1＞d min，d min主要依据选取。

Ａ．带的型号Ｂ．带的线速度Ｃ．传动比Ｄ．高速轴的转速９．带传动在工作时产生弹性滑动，是由于。

Ａ．带不是绝对挠性体Ｂ．带绕过带轮时产生离心力Ｃ．带的松边与紧边拉力不等10．确定单根带所能传递功率的极限值P0的前提条件是。

A．保证带不打滑B．保证带不打滑、不弹性滑动C．保证带不疲劳破坏D．保证带不打滑、不疲劳破坏11．带传动的挠性摩擦欧拉公式推导的前提条件是。

A．带即将打滑B．忽略带的离心力C．带即将打滑，且忽略带的离心力D．带即将打滑，且忽略带的弯曲应力12．带传动中，用方法可以使小带轮包角α1加大。

A．增大小带轮直径d1B．减小小带轮直径d1C．增大大带轮直径d2D．减小中心距a13．带传动中紧边拉力为F1，松边拉力为F２，则其传递的有效圆周力为。

Ａ．F1＋F２Ｂ．（F1－F２）/２Ｃ．F1＋F２Ｄ．（F1＋F２）/２14．带传动中，带和带轮打滑。

第八章一、单选题，共50题，每题1.25分1.完善党内民主决策机制，党的各级委员会按照（）会议决定的原则决定重大事项。

A．个别酝酿集、体领导、民主集中B．民主集中、集体领导、个别酝酿C．集体领导、民主集中、个别酝酿你的答案为：C,正确2.不断增强党的阶级基础、扩大党的群众基础，使党始终得到人民群众支持和拥护要求我们党，坚持全心全意为人民服务根本宗旨，（），贯彻马克思主义群众观点和党的群众路线，实现好、维护好、发展好最广大人民根本利益，做到权为民所用、情为民所系、利为民所谋。

A．坚持党要管党、从严治党B．坚持以人为本C．坚持改革创新你的答案为：B,正确3.加强和改进新形势下党的建设，必须全面推进（），提高党的建设科学化水平。

A．思想建设、组织建设、作风建设、制度建设和党风建设B．理论建设、组织建设、干部队伍建设、民主建设和反腐倡廉建设C．思想建设、组织建设、作风建设、制度建设和反腐倡廉建设你的答案为：B,错误4.加强和改进新形势下党的建设，全面落实党建工作责任制，建立健全（）,确保党的建设各项部署落到实处。

A．权力监督制约机制B．党建工作长效机制C．干部管理机制你的答案为：B,正确5.《中共中央关于加强和改进新形势下党的建设若干重大问题的决定》指出，我们党始终把（）作为根本建设。

A．组织作风建设B．思想理论建设C．廉政制度建设你的答案为：B,正确6.拓宽社情民意反映渠道，加强和改进信访工作，健全（）制度，坚持领导干部定期下访、定期接访、及时阅处群众来信，注重分析网络舆情。

A．信访联动机制B．信访联谊会议C．信访联席会议你的答案为：C,正确7.加强女干部、少数民族干部、党外干部培养选拔，做到（）。

合理使用各年龄段干部，切实解决领导干部任职年龄层层递减问题。

A．系统培养、择优使用B．持续培养、择优使用C．系统培养、优中选优你的答案为：A,正确8.党要适应这样的新形势，统筹国内国际两个大局，更好带领全国各族人民聚精会神搞建设、一心一意谋发展，实现党的十七大描绘的宏伟蓝图，必须（）。

第八章习题本章习题及参考答案一、名词解释菲利普斯曲线需求拉上通货膨胀成本推进通货膨胀通货膨胀失业二、判断√ ×√ √ ×√√1、非平衡的通货膨胀是指每种商品价格上升的比例并不完全相同。

（）2、由于不同部门劳动生产率增长快慢不同导致的通货膨胀被称为需求拉动型通货膨胀。

( )3、成本推动型的通货膨胀是工资推动通货膨胀。

( )4、平衡和预期不到的通货膨胀，会影响人们的收入分配以及产量和就业。

( )5、菲利普斯曲线反映了通货膨胀率与通货膨胀压力之间的反向关系。

( )6、以衰退来降低通货膨胀率会引起失业率上升。

( )7、通货膨胀是指一般物价水平的显著上涨。

( )三、选择题1、成本推动通货膨胀是由于（）A 货币发行量超过流通中的黄金量B 货币发行量超过流通中的价值量C 货币发行量太多引起物价水平普遍持续上升D 以上都不是2、在通货膨胀中利益受损的人是（）A 债权人B 债务人C 养老金收入者D 雇工3、成本推动通货膨胀包括（）A 工资推动通货膨胀B 需求膨胀推动通货膨胀C 货币过度发行通货膨胀D 部门间生产率增长差别导致通货膨胀4、预期不到的通货膨胀会给下列那些人带来好处（）A养老金收入者B 领固定工资者 C 持有现款的人 D 身负重债的人5、造成通货膨胀的原因包括（）A 需求拉动B 成本推动C 经济结构因素的变动D 上述都对6、引起结构性通货膨胀的主要原因在于（）A 各部门工资相继上升B 货币需求过大C 部门间生产率提高快慢不同D 国际市场上的不稳定7、导致需求拉上通货膨胀的因素有（）A 投资需求增加B 货币供给减少C 政府支出减少D 政府收入增加8、根据价格调整方程，要降低通货膨胀率可以（）A 人为制造衰退B 减少货币发行量C 降低实际GNPD 以上都对9、下列哪一个不是根据通货膨胀的起因分类的（）A 平衡的和非平衡的通货膨胀B 需求拉上通货膨胀C 成本推进通货膨胀D 结构性通货膨胀四简答1、通货膨胀是如何分类的？2、治理通货膨胀有那些方法？3、简析结构性通货膨胀及其原因。

第八章团队建设习题1.关于团队表述正确的是（）。

A.工作团队与普通的群体类似，它通过其他成员的共同努力产生积极协同作用B.团队是指一种为了实现某一目标而由相互协作的个体所组成的正式群体C.团队成员努力的结果使个体成员绩效的总和远大于团队的绩效水平总和D.团队工作强调个人的绩效E.团队工作不强调个人技能特点解析：团队是指一种为了实现某一目标而由相互协作的个体所组成的正式群体。

2.不属于团队特点的是（）。

A. 团体是特殊的群体B. 团体成员拥有共同的使命、绩效目标C. 团体成员具有互补的技能、协同的共同努力D. 团队不强调个人技能水平特点E. 团体取得的整体绩效大于个体绩效之和解析：团队具有以下特点：①团体是特殊的群体；②团体成员拥有共同的使命、绩效目标；③团体成员具有互补的技能、协同的共同努力；④团体取得的整体绩效大于个体绩效之和。

3.关于团队与群体的差异说法错误的是（）。

A.具体目标上，群体强调信息共享，帮助群体成员完成个人承担的责任；团队强调共同使命和共同绩效目标的实现。

B.在群体中协同效应既可以是积极的，还可以是中性的或消极的；团成员之间的共同目标、共同努力、互补技能使得团队的协同效应一定是积极的。

C.群体强调如何帮助群体中的个体完成自己所承担的责任；团队则在强调个体责任的同时着重于共同责任的完成。

D.群体成员的技能既可能是互补的，也可能是相同的，随机性很强；团队成员的技能具有很强的互补性。

E.群体的绩效是由大家共同合作完成的产品，团队的绩效是每一个个体的绩效相加之和，因此团队绩效大于群体绩效。

解析：群体的绩效是每一个个体的绩效相加之和，团队的绩效是由大家共同合作完成的产品，因此团队绩效大于群体绩效。

4.不属于最常遇见的主要的团体类型的是（）。

A. 实践型团队B. 职能型团队C. 自我管理团队D. 跨职能团队E. 虚拟团队解析：最常遇见的四种主要的团体类型是，职能型团队、自我管理团队、跨职能团队和虚拟团队。

第八章 断裂力学习题及解习题1、已知I 型裂纹问题的应力函数为()()()z Z y z Z z I I I Im Re +=ϕ，其中()()z Z z Z I I ,分别为复变函数()z Z I 的二次积分和一次积分，试求出对应的应力分量。

解：令()()()y x iv y x u z Z I ,,+=，那么()udy v dx i v dy udx dz z Z CCC++-=⎰⎰⎰按C-R 条件有yux v y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,。

那么有如下关系式 y Zx Z Z ∂∂=∂∂='Im Re Re ， xZy Z Z ∂∂=∂∂-='Im Re Im ， 由应力函数可得应力()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂∂∂=+∂∂=∂∂=I I I I I 222I 2xx Z y Z y y Z y Z y Z y y σIm Im Re Im Re ϕ ()'Im Re Re Re Im Re Im I I I I I I I xx Z y Z Z yZ y Z Z y Z y -=+∂∂=++-∂∂=σ ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=+∂∂=∂∂=x Z y xZ x Z y Z x x σI I I I 222I 2yyIm Re Im Re ϕ得 ()'Im Re Im Re I I I I yy Z y Z Z y Z x+=+∂∂=σ ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂-∂∂-∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂-∂∂=∂∂∂-=I I I I I I 2xyZ y Z y y Z x Z y Z y x y x Im Im Re Im Re ϕτ ()'Re Re Im Re Im I I I I I xy Z y xZ y Z Z y Z x -=∂∂-=--∂∂=τ 习题2、如图8-1所示无限大板中含有一长度为2a 的中心贯穿裂纹，设I 型裂纹问题的应力函数为()()()z Z y z Z z I I I Im Re +=ϕ（双向拉伸），或为()()())(2Im Re 22y x A z Z y z Z z I I I --+=ϕ（单向拉伸）。

第八章 复杂反应动力学8-1．对于平行反应 CB A 21−→−−→−k k ┤，设E a 、E 1、E 2分别为总反应的表观活化能和两个平行反应的活化能，证明存在以下关系式：E a = (k 1E 1 + k 2E 2)/(k 1 + k 2) 。

证明： 总速率： - d[A]/d t = k 1[A] + k 2[A] = (k 1 + k 2)[A] = k '[A]其中 k ' = k 1 + k 2 = Ae x p(-E '/RT )， ∵2'd 'ln d RTE T k = 又∵Tk k k k T k k T k d )d(1d )dln(d 'ln d 212121+⋅+=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+=T k k k T k k k k k T k T kk k d d d d 1d d d d 1222111212121⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+=222211212211211d ln d d ln d 1RT E k RT E k k k T k k T k k k k21221121k k E k E k RT ++⨯=所以 212211'k k E k E k E ++=8-2．醋酸高温裂解制乙烯酮，副反应生成甲烷 CH 3COOH —k 1→CH 2＝CO ＋H 2O CH 3COOH —k 2→CH 4＋CO 2已知在1189k 时k 1＝4.65s －1，k 2＝3.74s －1。

试计算： (1)99％醋酸反应需要的时间；(2)在1189 K 时，乙烯酮的最高效率? 如何提高选则性? 解： A B C t ＝0 a 0 0 t ＝t x y z(1) ln(a /x )＝(k 1＋k 2)t x ＝(1－0.99)a ＝0.01at ＝[ln(a /0.01a )]/(k 1＋k 2) ＝(ln100)/(4.65＋3.74)＝0.5489s (2) y /z ＝k 1/k 2＝4.65/3.74＝1.243 z ＝0.4414a 解得 ：y ＋z ＝a －x ＝0.99a y ＝0.5486a收率，就是产率＝产品量/转化反应物量＝0.5486a /0.99a ＝55.42％由于k 1与k 2 相差不大，说明两者解离能相差不大，改变温度效果不好。

第八章糖代谢一、选择题1、小肠上皮细胞主要通过下列哪种方式由肠腔吸收葡萄糖A、单纯扩散B、易化扩散C、主动运输D、胞饮作用E、吞噬作用2、由己糖激酶催化的反应的逆反应所需的酶是A、果糖二磷酸酶B、葡萄糖-6-磷酸酶C、磷酸果糖激酶ⅠD、磷酸果糖激酶ⅡE、磷酸化酶3、糖酵解的终产物是A、丙酮酸B、葡糖糖C、果糖D、乳糖E、乳酸4、糖酵解的脱氢反应步骤是A、1,6-二磷酸果糖→3-磷酸甘油醛+磷酸二羟丙酮B、3-磷酸甘油醛→磷酸二羟丙酮C、3-磷酸甘油醛→1,3-二磷酸甘油酸D、1,3-二磷酸甘油酸→3-磷酸甘油酸E、3-磷酸甘油酸→2-磷酸甘油酸5、糖酵解过程中催化一摩尔六碳糖裂解为两摩尔三碳糖反应的酶是A、磷酸己糖异构酶B、磷酸果糖激酶C、醛缩酶D、磷酸丙糖异构酶E、烯醇化酶6、糖酵解过程中NADH+H +的代谢去路A、使丙酮酸还原为乳酸B、使α-磷酸甘油穿梭系统进入线粒体氧化C、经苹果酸穿梭系统进入线粒体氧化D、2-磷酸甘油酸还原为3-磷酸甘油醛E、以上都对7、缺氧情况下，糖酵解途径生成的NADH+H +的代谢去路A、进入呼吸链氧化供应能量B、丙酮酸还原为乳酸C、3-磷酸甘油酸还原为3-磷酸甘油醛D、醛缩酶的辅助因子合成1,6-双磷酸果糖E、醛缩酶的辅助因子分解1,6-双磷酸果糖8、乳酸脱氢酶在骨骼肌中主要是催化生成A、丙酮酸B、乳酸C、3-磷酸甘油醛D、3-磷酸甘油酸E、磷酸烯醇式丙酮酸9、糖酵解过程中最重要的关键酶是A、已糖激酶B、6-磷酸果糖激酶ⅠC、丙酮酸激酶D、6-磷酸果糖激酶ⅡE、果糖二磷酸酶10、丙酮酸脱氢酶复合体中最终接受底物脱下之2H的辅助因子是A、FADB、硫辛酸C、辅酶AD、NAD+E、TPP11、丙酮酸脱氢酶复合体中转乙酰化酶的辅酶是A、TPPB、硫辛酸C、CoASHD、FADE、NAD+12、三羧酸循环的第一步反应产物是A、柠檬酸B、草酰乙酸C、乙酰CoAD、CO2E、NADH+H+13、糖有氧氧化的最终产物是A、Co2+H2O+ATP B、乳酸 C、丙酮酸 D、乙酰CoA E、柠檬酸14、最终经三羧酸循环彻底氧化为CO2和H2O并产生能量的物质有A、丙酮酸B、生糖氨基酸C、脂肪酸D、β-羟丁酸E、以上都是15、需要引物分子参与生物合成的反应有A、酮体生成B、脂肪合成C、糖异生合成葡萄糖D、糖原合成E、以上都是16、下列哪种酶在糖酵解和糖异生中都有催化作用A、丙酮酸激酶B、丙酮酸羧化酶C、果糖双磷酸酶-ⅠD、3-磷酸甘油醛脱氢酶E、己糖激酶17、糖原合成的关键酶是A、磷酸葡萄糖变位酶B、UDPG焦磷酸化酶C、糖原合成酶D、磷酸化酶E、分支酶18、1分子葡萄糖经磷酸戊糖途径代谢时可生成A、1分子NADH+H +B、2分子NADH+H+C、1分子NDPH+H+D、2分子NDPH+H+E、2分子CO219、肌糖原不能直接补充血糖的原因A、缺乏葡萄糖-6-磷酸酶B、缺乏磷酸化酶C、缺乏脱支酶D、缺乏己糖激酶E、肌糖原含量高肝糖原含量低20、1分子葡萄糖有氧氧化时共有几次底物水平磷酸化A、3B、4C、5D、6E、821、丙酮酸羧化酶是哪一个代谢途径的关键酶A、糖异生B、磷酸戊糖途径C、血红素合成D、脂肪酸合成E、胆固醇合成22、能抑制糖异生的激素是A、生长素B、胰岛素C、肾上腺素D、胰高血糖素E、糖皮质激素23、在糖酵解和糖异生过程中均起作用的酶是A、己糖激酶B、丙酮酸激酶C、丙酮酸羧化酶D、果糖二磷酸酶E、磷酸甘油酸激酶24、下列哪一种成分不是丙酮酸脱氢酶系的辅助因子A、FADB、TPPC、NAD+D、CoAE、生物素25、葡萄糖经过下列哪种代谢途径可直接在6碳水平实现脱氢脱羧A、糖酵解B、糖异生C、糖原合成D、三羧酸循环E、磷酸戊糖途径26、过于糖原合成错误的论述是A、糖原合成过程中有焦磷酸生成B、分支酶催化1,6-糖苷键生成C、从1-磷酸葡萄糖合成糖原不消耗高能磷酸键D、葡萄糖供体是UDP葡萄糖E、糖原合成酶催化1,4-糖苷键生成27、在糖原分解和糖原合成的过程中都起作用的酶属于A、变位酶B、异构酶C、分支酶D、焦磷酸化酶E、磷酸化酶28、位于糖酵解、糖异生、磷酸戊糖途径、糖原合成和糖原分解各条代谢途径交汇点上的化合物是A、1-磷酸葡萄糖B、6-磷酸葡萄糖C、1,6-二磷酸果糖D、3-磷酸甘油醛E、6-磷酸果糖29、糖代谢中间产物中有高能磷酸键的是A、6-磷酸葡萄糖B、6-磷酸果糖C、1，6-二磷酸果糖D、3-磷酸甘油醛E、1,3-二磷酸甘油酸30、糖酵解途径中生成的丙酮酸必须进入线粒体氧化，因为A、乳酸不能通过线粒体B、这样胞液可保持电中性C、丙酮酸脱氢酶在线粒体内D、丙酮酸和苹果酸交换E、丙酮酸在苹果酸酶作用下转化为苹果酸31、以NADPH的形式贮存氢的一个主要来源是A、糖酵解B、氧化磷酸化C、脂肪酸的合成D、柠檬酸循环E、磷酸己糖支路32、下列与能量代谢有关的途径不在线粒体内进行的是A、三羧酸循环B、脂肪酸氧化C、电子传递D、氧化磷酸化E、糖酵解33、丙酮酸羧化酶催化丙酮酸羧化后的产物是A、柠檬酸B、乙酰乙酸C、草酰乙酸D、天冬氨酸E、乙酰乙酰CoA34、红细胞中的能量来源是靠什么代谢途径A、糖有氧氧化B、糖酵解C、磷酸戊糖途径D、糖异生E、糖醛酸循环二、填空题1、糖的运输功能形式是————，储存形式是————，————和————是储存糖原的主要组织。

第⼋章资本预算（习题及答案）第⼋章资本预算⼀、单项选择题1. A企业投资20万元购⼊⼀台设备，⽆其他投资，没有建设期，预计使⽤年限为20年，⽆残值。

设备投产后预计每年可获得净利3万元，则该投资的静态投资回收期为（/doc/b94067650.html ）。

A.5年B.3年C.4年D.6年[答案]：A[解析]：年折旧＝20/20＝1（万元），经营期内年净现⾦流量＝3＋1＝4（万元），静态投资回收期＝20/4＝5（年）。

[该题针对“项⽬评价的原理和⽅法”知识点进⾏考核]2. 年末ABC公司正在考虑卖掉现有的⼀台闲置设备。

该设备于8年前以50000元购⼊，税法规定的折旧年限为10年，按直线法计提折旧，预计净残值率为10％；⽬前可以按10000元价格卖出，假设所得税率30％，卖出现有设备对本期现⾦流量的影响是（/doc/b94067650.html）。

A.减少1200元B.增加1200元C.增加8800元D.增加11200元[答案]：D[解析]：年折旧＝50000×（1－10％）/10＝4500（元），账⾯余额＝50000－4500×8＝140 00（元），变现损失＝14000－10000＝4000（元），变现损失减税＝4000×30％＝1200（元），现⾦净流量＝10000＋1200＝11200（元）。

[该题针对“所得税和折旧对现⾦流量的影响”知识点进⾏考核]3. 某项⽬的⽣产经营期为5年，设备原值为20万元，预计净残值收⼊5000元，税法规定的折旧年限为4年，税法预计的净残值为8000元，直线法计提折旧，所得税率为30%，设备使⽤五年后报废时，收回营运资⾦2000元，则终结点现⾦净流量为（/doc/b94067650.html）。

A.4100元B.8000元C.5000元D.7900元[答案]：D[解析]：年折旧额＝（200000－8000）/4＝48000（元），第4年末时折旧已经计提完毕，第5年不再计提折旧，第5年末设备报废时的折余价值＝200000－48000×4＝8000（元），预计实际净残值收⼊5000元⼩于设备报废时的折余价值8000元的差额抵减所得税，减少现⾦流出，增加现⾦净流量，所以终结点现⾦净流量＝2000＋5000＋（8000－5000）×30%＝7900（元）。

习题8-1（A ）1．求空间两点(1,2,2)A 与(1,0,1)B -之间的距离．解：3AB ==．2．写出点()456A -，，的对称点坐标：（1）分别关于xOy 、yOz 、xOz 平面的对称点坐标；（2）分别关于x 轴、y 轴、z 轴的对称点坐标；（3）关于原点的对称点坐标．答案：（1）(4,5,6)--；(4,5,6)--；(4,5,6)．（2）(4,5,6)-；(4,5,6)---；(4,5,6)-．（3）(4,5,6)--．3．判断由()123A ，，，()315B ，，，()243C ，，三点构成的三角形的形状．解：因为3AB ==，AC ==BC ==， 进一步，计算可得222AB AC BC +=，所以ABC ∆为直角三角形．4．求点(,,)M x y z 到各个坐标轴之间的距离．答案：M 点到x 轴的距离x d =M 点到y 轴的距离y d =，M 点到z 轴的距离z d =5．在x 轴上求一点M ，使它到点()321A -，，和()314B ，，的距离相等．解：由题意设点(,0,0)M x ，且满足MA MB ==，解得1x =，所以(1,0,0)M ．6．一动点(,,)M x y z 与定点0000(,,)M x y z 的距离为R (0)R >，求动点(,,)M x y z 所满足的方程．解：由题意0MM R =R =，即2222000()()()x x y y z z R -+-+-=． 7． 一动点(,,)M x y z 与两定点(1,2,3)A 与(2,1,4)B -距离相等，求动点(,,)M x y z 所满足的方程．解：由题意MA MB == 整理得26270x y z -+-=．习题8-2（A ）1．设向量23u a b c =+-，32v a b c =-+，求2v u -．解：2(61)(22)(43)547v u a b c a b c -=-+--++=-+．2．已知点C 是线段AB 的中点，O 是线段AB 外一点，若OA a =，OB b =，求OC ．解：由题意知AB b a =-，122b a AC AB -==， 因此，22b a a b OC OA AC a -+=+=+=． 3．设点N M ,分别是四边形ABCD 两对角线BD 与AC 之中点，若AB a =， CDc =，求MN ．解：设BC 中点为E ，中位线1122EM CD c ==，中位线1122NE AB a ==， 所以在MNE ∆中，1()2MN ME EN a c =+=-+． 4．已知向量(1,2,3)a =-，求2a -以及与a 平行的单位向量e ．解：22(1,2,3)(2,4,6)a -=--=--，与a 平行的单位向量1e 2,3)14a a =±=±-． 5．若2a =，1b =，且向量a 与b 的夹角为π6，求： （1）a b ⋅； （2）(2)(3)a b ⋅-； （3）()(2)a b a b +⋅-； （4）a b ⨯； （5）(2)(3)a b ⨯-； （6）()(2)a b a b +⨯-．解：（1）cos 212a b a b θ⋅==⋅⋅= （2）(2)(3)663a b a b ⋅-=-⋅=-；（3）222222()(2)222212a b a b a ab b a ab b +⋅-=--=--=⋅=-；（4）1sin 2112a b a b θ⨯==⋅⋅=； （5）(2)(3)66a b a b ⨯-=⨯=；（6）()(2)22333a b a b a a a b b a b b a b a b +⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯=⨯=．6．已知向量(2,2,1)a =-、(1,2,3)b =，求a b ⋅ 、a b ⨯及Pr j a b ．解：21(2)2131a b ⋅=⋅+-⋅+⋅=； 221856(8,5,6)123i j ka b i j k ⨯=-=--+=--；3a =，14b =，由a b ⋅1=可知cos θ=，所以1Pr j cos 3a b b θ==． 7．设()1,2,3M ，(2,1,3N ，求向量MN 的方向角和方向余弦．解：(1,MN =-，2MN =，方向余弦 1cos 2α=，1cos 2β=-，cos γ= 方向角 3πα=， 23πβ=，4πγ=． 8．一向量的终点为)7,1,2(-B 且它在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次为4，4-和7，求这个向量的起点A 的坐标．解：由题意可知(4,4,7)AB =-，设A 点坐标为000(,,)x y z ，则024x -=，014y --=-，077z -=，解得02x =-，03y =，00z =，所有A 点坐标为(2,3,0)-．9．若向量(,2,1)a k =-与向量(,2,3)b k k =-垂直，求k 值．解：2430a b k k ⋅=--=，解得1k =-或4k =．10．求与向量(2,2,1)a =、(4,5,3)b =都垂直的单位向量． 解：由题意22122(1,2,2)453i j kc a b i j k =⨯==-+=-，且3c =，故所求单位向量为1(1,2,2)3±-．11.已知点()1,1,1M ，()2,2,1A ，()2,1,2B ，求AMB ∠．解：因为()1,1,0MA =，()1,0,1MB =，所以111cos2MA MBAMB MA MB ⋅⋅∠===⋅，因此3AMB π∠=． 12．若a 与b 垂直且都是单位向量，求以u a b =+，v a b =-为邻边的平行四边形面积． 答案：2．解析：由题意1a b ==，由向量积的几何意义可知该平行四边形的面积为： ()()22S u v a b a b a a a b b a b b a b a b =⨯=+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯=⨯2sin 21112a b θ==⋅⋅⋅=．习题8-2（B ）1．证明向量()()b c a a c b ⋅-⋅与向量c 垂直．证：()()()()()()()()b c a a c b c b c a c a c b c b c a c a c b c ⎡⎤⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅⎣⎦， 因为()()()()b c a c a c b c ⋅⋅=⋅⋅，故，所以()()b c a a c b c ⎡⎤⋅-⋅⊥⎣⎦． 2．用向量证明三角不等式+AC BC AB <． 证：设AB c =，AC b =，BC a =，则a c b +=，两边平方得22()a c b +=，即2222a c ac b ++=．又因22a a =，22c c =，22b b =， 又2222cos b a c a c B =++，所以即2222b a c a c <++，故+AC BC AB <．3．已知向量,a b 满足5a =，6b =，15a b ⨯=，求a b ⋅．解：sin 30sin 15a b a b θθ⨯===，1sin 2θ=，cos 2θ=±，所以cos a b a b θ⋅==±． 4．已知向量,a b 满足a b ⊥，且3a =，4b =，求()()a b a b +⨯-．解：()()a b a b a a a b b a b b +⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯，因为0a a ⨯=，0b b ⨯=，a b b a ⨯=-⨯，则()()222sin a b a b a b a b a b θ+⨯-=-⨯=⨯=，又因a b ⊥，sin 1θ=，所以()()2sin 24a b a b a b θ+⨯-==． 5．已知向量a 、b 、c 两两垂直，且1a =、2b =、3c =，设s a b c =++，求s 以及s 与a 的夹角．解：22222()22214914s a b c a b c ab bc ac =++=+++++=++=，所以14s =.又因2()1s a a b c a a ⋅=++⋅==，所以=cos 1s a s a θθ⋅==，故 s 与a 的夹角θ=． 6．两个非零向量a 和b 满足如下条件：向量3a b +与75a b -垂直，并且向量4a b -与72a b -垂直，求向量a ，b 的夹角．解：设向量a 与b 的夹角为θ，由(3)(75)a b a b +⊥-，有 220(3)(75)7151671516cos a b a b a a b b a b a b a b θ=+⋅-=⋅-⋅+⋅=-+；由(4)(72)a b a b -⊥-，有 220(4)(72)78307830cos a b a b a a b b a b a b a b θ=-⋅-=⋅+⋅-⋅=+-， 上述两个方程联立，解得 21cos =θ，得π3θ=，所以向量a 与b 的夹角为π3．习题8-3（A ）1． 分别求满足下列各条件的平面方程：（1）过点(3,2,4)M --且垂直于x 轴；（2）过点(2,0,1)M -且平行于平面3753x y z -+=；（3）过点(2,9,6)M 且与线段OM 垂直，其中O 为坐标原点；（4）过三点(2,1,4)A -，(1,3,2)B --，(0,2,3)C ；（5）线段AB 的垂直平分面，其中(0,3,6)A ，(2,1,4)B -；（6）平行于xOz 平面且过点(2,4,3)M -；（7）过y 轴和点(1,4,1)M --；（8）过x 轴且垂直于平面03245=+-+z y x ；（9）过原点及点(6,3,2)M 且垂直平面8345=-+z y x ；（10）过点(2,1,1)M -且在x 轴和y 轴上的截距分别为2和1．解：（1）由于所求平面垂直于x 轴，故所求平面平行于yOz 平面，所以所求平面的方程为3x =；（2）设所求平面为375x y z k -+=，又因为其过点(2,0,1)M -，代入得1k =，所以所求平面方程为3751x y z -+=；（3）向量(2,9,6)OM =即为所求平面的法向量，又平面过点(2,9,6)M ，所以所求平面方程为2(2)9(9)6(6)0x y z -+-+-=，即296121x y z ++=；（4）所求平面的法向量为(3,4,6)(2,3,1)(14,9,1)n AB AC =⨯=--⨯--=-，代入点(2,1,4)A -，得到所求平面方程为14(2)9(1)(4)0x y z -++--=，即14915x y z +-=；（5）(2,4,2)AB =--即为所求平面的法向量，且过线段AB 的中点(1,1,5)，所以所求平面方程为2(1)4(1)2(5)0x y z -----=，即260x y z --+=；（6）由题意所求平面垂直于y 轴，且过点(2,4,3)M -，所以所求平面方程为4y =-；（7）设所求平面方程为0Ax Cz +=，代入点(1,4,1)M --得A C =，所以所求平面方程为0x z +=；（8）所求平面的法向量为1(1,0,0)(5,4,2)(0,2,4)n i n =⨯=⨯-=，且过原点，所以所求平面方程为20y z +=；（9）所求平面的法向量为1(6,3,2)(5,4,3)(17,28,9)n OM n =⨯=⨯-=-，所以所求平面方程为172890x y z -++=；（10）由题意设所求平面的截距式方程为121x y z c++=，其中c 为平面在z 轴上的截距， 代入点(2,1,1)M -，解得1c =，所以所求平面为1211x y z ++=． 2． 指出下列各平面的特殊位置，并作平面的草图：（1）0=z ； （2）012=-x ；（3）1=+y x ； （4）02=-z x ；（5）0=++z y x ； （6）1432=+-z y x ． 答案：（1）xOy 平面；（2）垂直于x 轴的平面；（3）平行于z 轴的平面；（4）平行于y 轴的平面；（5）在x 轴、y 轴和z 轴上截距全为1的平面；（6）在x 轴、y 轴和z 轴上截距分别为2、3-和4的平面；3． 求平面072=-+-z y x 与平面0112=-++z y x 的夹角．解：1(2,1,1)n =-，2(1,1,2)n =， 11111cos 24n n n n θ⋅===， 所以两平面夹角π3θ=． 4． 一平面过点(5,4,3)M 且在各坐标轴上的截距相等，求该平面方程．解：由题意设所求平面方程为1()1x y z a++=，代入(5,4,3)M 得12a =， 所以所求平面为12x y z ++=．5． 一平面过点(3,1,5)M --，且与平面3227x y z -+=-和5431x y z -+=-都垂直，求该平面方程．解：由题意知所求平面的法向12(3,2,2)(5,4,3)(2,1,2)n n n =⨯=-⨯-=-，又知其过点(3,1,5)M --，所以得到所求平面方程为2(3)(1)2(5)0x y z -++-+=，即2215x y z +-=．6． 求点(4,2,3)M -到平面25x y z +-=的距离．解：由点到平面的距离公式可得d ===习题8-3（B ）1．一平面过两点)3,4,0(-A ，)3,4,6(-B ,且在三个坐标轴上的截距之和为零，求该平面方程． 解：设所求平面方程为1x y z a b c++=，且0a b c ++=，将点)3,4,0(-A ，)3,4,6(-B 代入平面方程中，联立方程组解得3,6,9a b c ===-，或3,2,1a b c ==-=-， 所以所求平面方程为1369x y z ++=-或1321x y z ++=--． 2．一动点(,,)M x y z 与平面1=+y x 的距离等于它到z 轴的距离，求动点M 的轨迹．解：由题意点M 到z轴的距离为，点M 到平面1=+y x，所以=，解得2222210x y xy x y +-++-=，即为动点M 的轨迹． 3．设平面π位于平面0221=-+-z y x ：π与平面0622=-+-z y x ：π之间，且将此两平面的距离分为1︰3，求平面π的方程．解：平面1π与2π之间的距离为641)2(126222=+-++-．设所求平面方程为02=++-D z y x ：π，则π与1π的距离应为611=d ，π与2π的距离应为632=d ，而666221+=+=D d D d 、，于是3612=+=+D D 、，得3-=D ，所以所求平面方程为032=-+-z y x ：π．4．一平面与平面632120x y z +++=平行，若点(0,2,1)M -到两平面的距离相等，求该平面的方程．解：依题意设所求平面方程为6320x y z D +++=，又点(0,2,1)M -到两平面的距离相等，则=，即164D =+，得20D =-，12D =（舍），所以所求平面方程为632200x y z ++-=．5．求过x 轴且与点)5,0,2(M 的距离为5的平面方程．解：由π过x 轴，设所求平面方程为0=+Cz By ，由点)5,0,2(M 到π的距离为，有5522=+C B C，即2225C B C +=，得C B 2±= ，所求方程为02=+±Cz Cy ，即02=±z y ． 6．求平行于平面2250x y z +++=且与三坐标平面所构成的四面体的体积为1个单位的平面的方程．解：设所求平面的方程为220x y z D +++=，即122x y z D D D ++=---， 由题意 11622D D V D =-⋅-⋅-=，解得D =±220x y z ++±=．习题8-4（A ）1． 分别求满足下列各条件的直线方程：（1） 过点)1,2,1(-M 且与直线43121zy x =--=+平行； （2） 过原点垂直于平面03=-++z y x ； （3） 过两点)1,2,3(-A ，)2,0,1(-B ；（4） 过点)4,2,0(M 且与两平面12=+z x 及23=-z y 都平行；（5） 过点)1,2,1(-M 且与直线210210x y z x y z +--=⎧⎨+-+=⎩，平行．答案：（1）121234x y z --+==-；（2）x y z ==； （3）321421x y z -+-==-（或12421x y z +-==-）；（4）24231x y z --==-； （5）121311x y z +--==-． 2． 分别求满足下列各条件的平面方程：（1） 过点)1,1,2(M 且垂直于直线20210x y z x y z +-=⎧⎨+-+=⎩，；（2） 过点)2,1,3(-M 及直线12354zy x =+=-； （3） 过z 轴，且平行于直线L ：102340x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩，；（4） 过两平行直线13121-=+=-z y x 与 11322--=-=z y x ． 答案：（1）36x y z ++=；（2）892259x y z --=；（3）40x y +=；（4）697x y z -+=．3． 用对称式方程及参数方程表示直线123 4.x y z x y z -+=-⎧⎨-+=-⎩，解：先在直线上找一点，令1x =，解方程组236z y y z -=-⎧⎨-=⎩，得0,2y z ==-.故点(1,0,2)-在直线上．再求直线的方向向量s ，由题意可知12(2,1,1)s n n =⨯=--，所以对称式方程为12211x y z -+==--，从而参数式方程为122.x t y t z t =-⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩，， 4． 求两直线113:141x y z L -+==-与220:20x y L x z ++=⎧⎨+=⎩ 的夹角． 解：由已知，有直线2L 的方向向量为(1,4,1)-，直线2L 的方向向量为(2,2,1)--，由夹角公式可得cos 2θ==，所以π4θ=． 5． 求直线313x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩与平面02=+-z y x 的夹角ϕ．解：直线313x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩的方向向量113(242)2(121)111ijks ==-=---，，，，，平面02=+-z y x 的法线向量(112)n =-，，，由直线与平面的夹角公式，有1πarcsinarcsin26s n s nϕ⋅====⋅． 6．试确定下列各组中的直线与平面的位置关系：（1）37423zy x =-+=-+和3224=--z y x ； （2）723z y x =-=和8723=+-z y x ；（3）431232--=+=-z y x 和3x y z ++=； （4）310220x y z x y +-+=⎧⎨--=⎩和253x y z ++=．答案：（1）平行；（2）垂直；（3）平行；（4）垂直．7． 求直线11321x y z+-==- 与平面010=-+-z y x 的交点． 解：将直线11321x y z+-==-改写为参数方程t z t y t x =+-=-=、、1213，将其代入到平面方程010=-+-z y x 之中，有0101213=-+-+-t t t ，即0126=-t ，得2=t ，再将2=t 代到直线的参数方程之中，得235=-==z y x 、、，所以直线与平面的交点为(532)-，，．8．设直线1:112y L x z -==+，222:102x z L y +-=-=-，求同时平行于12,L L 且与它们等距的平面方程．解：所求平面的法向量12(5,2,1)n l l =⨯=---，则其方程为520x y z D +++=，下面求D ． 在1L 上取点1(1,0,1)M -，在2L 上取点2(2,1,2)M -，利用点到平面距离相等可得：=，解得1D =.因此，所求平面为5210x y z +++=． 9．求点(1,2,0)M -在平面点012=+-+z y x 上的投影．解：做过点(1,2,0)M -且垂直于平面012=+-+z y x 的直线方程为12121x y z+-==-，该直线与平面的交点522,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭即为所求的投影点．习题8-4（B ）1．求点(2,1,3)A 关于直线11:321x y zL +-==-的对称点M 的坐标． 解：设000(,,)M x y z ，过(2,1,3)A 做平面L ∏⊥，则的方程为∏325x y z +-=，求得直线L 与平面∏的交点为2133,,777B ⎛⎫-⎪⎝⎭，则点B 是线段AM 的中点，因此由中点公式得101927,,777M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．2．求原点关于平面6291210x y z +--=的对称点.解：过原点做该平面的垂线629x ty t z t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，代入平面方程解得1t =，得直线与平面的交点为(6,2,9)-．设所求对称点为(,,)x y z ，则有0006,2,9222x y z +++===-，所以(,,)(12,4,18)x y z =-． 3．求点()1,1,4M 到直线234112x y z ---==的距离． 解：过点()1,1,4M 作一个垂直于直线234112x y z ---==的平面，方程为(1)(1)2(4)0x y z -+-+-=，即2100x y z ++-=将直线234112x y z ---==的参数方程2324x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入到平面方程中，得12t =- 所以直线与平面的交点坐标为35,,322⎛⎫⎪⎝⎭，所以 点()1,1,4M 到直线234112x y z ---==的距离为点()1,1,4M 与交点35,,322⎛⎫⎪⎝⎭的距离，即所求4．设直线L 在yOz 平面上的投影方程为231y z x -=⎧⎨=⎩，在zOx 平面上的投影方程为20x z y +=⎧⎨=⎩，求直线L 在xOy 平面上的投影方程．解：设过直线L 的平面束方程为231(2)0y z x z λ--++-=， 即2(3)120x y z λλλ++---=，若该平面与z 轴平行，则有3λ=，所以L 在xOy 平面上的投影方程为327x y z +=⎧⎨=⎩．5．若直线131:23x y z L m --==-与2243:340x y z L +--==-相交，求m 的值及其交点的坐标． 解：两直线相交即共面，有12120s s M M ⨯⋅=，12(12,9,83)s s m ⨯=----，12(5,3,3)M M =-，所以1m =．下面求交点：将直线方程改写为参数方程123:13x t L y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩，232:443x k L y k z =-⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，1L 与2L 相交时，下列方程组应有解：233214433t k t k t +=-⎧⎪+=-+⎨⎪-=⎩，解得1,1t k =-=，代入参数方程得到交点坐标为(1,0,3)．6． 求过直线2821705810x y z x y z +-+=⎧⎨+-+=⎩且与球面2221x y z ++=相切的平面方程．解：所求平面为28217(581)0x y z x y z λ+-+++-+=，即 (15)(288)(2)170x y z λλλλ+++-+++=，球心为原点，到平面的距离等于半径1，所以1d ==，分子分母平方相等化简得2894285000λλ++=，即(2)(89250)0λλ++=，解得25089λ=-或2λ=-，代入方程，得所求平面为38716424421x y z --=或345x y -=． 7．求过原点，且经过点(1,1,0)P -到直线3:24x z L y x =-⎧⎨=-⎩的垂线的平面方程．解：由已知得L 的方向向量(1,2,1)s =，过点P 做直线L 的垂直平面，其方程为(1)2(1)0x y z -+++=，即210x y z +++=. 设交点0000(,,)P x y z 为直线L 与此平面的交点，解得0002811,,333x y z ==-=. 由于所求平面过原点，可设其方程为0Ax By Cz ++=,将P 、0P 坐标代入平面方程得：028110333A B A B C -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，， 解得116A B C ==. 故所求平面方程为111160x y z ++=．习题8-5（A ）1． 分别写出满足下列各条件的曲面方程：（1）以点0(1,2,3)M -为球心，2R =为半径的球面方程； （2）以点(1,1,2)M -为球心，且过原点的球面方程； （3）与两定点(1,2,1)A -和(3,1,4)B 等距的动点轨迹；（4）与原点O 及定点)4,3,2(A 的距离之比为1﹕2的动点轨迹． 答案：（1）222(1)(2)(3)4x y z -+-++=； （2）6)2()1()1(222=-+++-z y x ； （3）2510x y z -+=；（4）22224116(1)339x y z ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2．求出下列球面方程的球心坐标及半径： （1）222230x y z z ++--=； （2）2222420x y z x y z ++-++=． 答案：（1）球心(0,0,1)，半径2；（2）球心(1,2,1)--． 3． 写出满足下列条件的旋转曲面方程： （1）yOz 面上抛物线2y z =绕z 轴旋转一周； （2）yOz 面上直线z y 2=绕y 轴旋转一周；（3）xOy 面上椭圆1322=+y x 分别绕x 及y 轴旋转一周； （4）xOy 面上双曲线1222=-y x 分别绕x 及y 轴旋转一周．答案：（1）22z x y =+； （2）y =± （3）绕x 轴：2223()1x y z ++=，绕y 轴：22231x z y ++=； （4）绕x 轴：2222()1x y z -+=；绕y 轴：22221x z y +-=．4．分别在平面直角坐标系和空间直角坐标系下，指出下列方程所表示的图形名称：（1）3x =； （2）221x y -=； （3）2222=+y x .答案：（1）在平面直角坐标系下表示一条直线，在空间直角坐标系下表示一个平面； （2）在平面直角坐标系下表示一条双曲线，在空间直角坐标系下表示一个双曲柱面； （3）在平面直角坐标系下表示一个椭圆，在空间直角坐标系下表示一个椭圆柱面；． 5．画出下列各方程所表示的曲面：（1）22(1)1x y -+=； （2）22194y x -= （3）22194x y +=； （4）22x z +=． 答案：略．习题8-5（B ）1． 一球面过原点和)0,0,4(A 、)0,3,1(B 和)4,0,0(-C ，求该球面的方程．解：设球面方程为222z 0x y z Dx Ey F +++++=，由于它过)0,0,4(A 、)0,3,1(B 和)4,0,0(-C ，因此164019301640D D E F +=⎧⎪+++=⎨⎪-=⎩，，解得424.D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，， 因此，该球面的方程为2224240x y z x y z ++--+=． 2． 画出下列各曲面所围立体的图形:（1）0z =，3z =，x y =，x =，221x y +=（在第一卦限内）； （2）0x =，0y =，0z =，222x y R +=，222y z R +=（在第一卦限内）．答案：略．习题8-6（A ）1． 说出下列曲线的名称，指出曲线的特点并作出曲线的草图.（1）12x y =⎧⎨=⎩，； （2）221z x y z ⎧=+⎨=⎩，；（3）2228x y z z ⎧-=⎨=⎩，； （4）22282.x y z y ⎧-=⎨=-⎩，答案：（1）直线；（2）圆；（3）双曲线；（4）抛物线．2．分别在平面直角坐标系和空间直角坐标系下，指出下列方程所表示的图形名称．（1）5232;y x y x =+⎧⎨=-⎩， （2）22211.2x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，答案：（1）在平面直角坐标系下表示一个点，在空间直角坐标系下表示一条直线；（2）在平面直角坐标系下表示两个点，在空间直角坐标系下表示两条直线.3．求曲线1z z ⎧=⎪⎨=⎪⎩在xOy 面上的投影．解：由1z z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，有221x y +=.因此，曲线1z z ⎧=⎪⎨=⎪⎩在xOy 面上的投影为2210.x y z ⎧+=⎨=⎩，4． 求曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，在xOz 面上的投影． 解：由2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，，有223216x z +=. 因此，曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，在xOz 面上的投影为2232160.x z y ⎧+=⎨=⎩， 5． 画出下列空间区域Ω的草图．（1）Ω由平面1=++z y x 及三个坐标面围成； （2）Ω由圆锥面22y x z +=及上半球面222y x z --=围成；（3）Ω由抛物面z x -=12，平面0=y ，0=z 及1=+y x 围成；（4）Ω是由不等式222R z x ≤+及222R z y ≤+确定的第一卦限的部分．答案：略．6．作出下列空间区域在xOy 面及xOz 面上的投影区域．（1）介于球面22224a z y x =++内的圆柱体222)(a y a x ≤+-； （2）Ω由圆锥面22y x z +=及抛物柱面x z 22=围成．答案：略．习题8-6（B ）1． 分别求母线平行于x 轴与y 轴且都通过曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩的柱面方程． 答案：平行于x 轴：22316y z -=；平行于y 轴：223216x z +=．2． 求曲线22229x y z y z⎧++=⎨=⎩的参数方程．答案：3cos ,(02π)x y z θθθθ=⎧⎪=≤<⎨⎪=⎩．总习题八一、填空题1．设向量a m n =+，2b m n =-，且2m =，1n =，m 与n 的夹角π3θ=，则向量a 与b 的数量积a b ⋅= ； 答案：1．解析：2222()(2)2cos 2a b m n m n m mn n m m n n θ⋅=+-=--=--142212=-⋅-=． 2．同时垂直于()1,2,1a =和()3,4,5b =的单位向量为 ； 答案：)6,2,2--． 解析：c a b =⨯=()1216,2,2345i j k=--，211c =所以)016,2,2211c c c==±--，即为所求单位向量． 3．设单位向量0a 的两个方向余弦为1cos 3α=，2cos 3β=，则向量0a 的坐标为 ；答案：0122,,333a ⎛⎫=±⎪⎝⎭． 解析：设第三个方向角为γ，由222cos cos cos 1αβγ++=，得2cos 3γ=± 所以0122,,333a ⎛⎫=±⎪⎝⎭． 4．过点(3,1,2)M -且平行于直线121:2329x y z L x y z ++=⎧⎨++=⎩，和直线223:34x y z L x y z --=-⎧⎨++=⎩，的平面方程是 ； 答案：32x y z ++=．解析：由题意可求得两直线的方向向量分别为1(1,2,1)(2,3,2)(1,0,1)s =⨯=-，2(2,1,1)(1,3,1)(2,3,7)s =--⨯=-，所以所求平面的法向量为12(3,9,3)n s s =⨯=---，又因为所求平面过点(3,1,2)M -，由点法式得平面方程为3(3)9(1)3(2)0x y z ---+--=，化简得32x y z ++=．5．过点()0,2,3M -且与平面23x z +=垂直的直线方程为 ； 答案：2302y z x -+==． 解析：因为所求直线与所给平面垂直，所以方向向量为()1,0,2n =由对称式得所求直线方程为2302y z x -+==． 6．过点)3,1,3(-且通过直线211132-=+=-z y x 的平面方程是 ； 答案：247x y z -++=-．解析：点)3,1,3(-与题中的直线共面，所以点)3,1,3(-和直线通过的点(2,1,1)-所形成的向量1(1,0,2)s =--，直线的方向向量为2(3,1,2)s =，所求平面的法向量为12n s s =⨯(2,4,1)=-，所求平面方程为247x y z -++=-．7．xOz 平面上的抛物线22x z =+绕x 轴旋转所形成的旋转曲面方程是 ，绕z 轴旋转所形成的旋转曲面方程是 ；答案：绕x 轴的旋转曲面方程是222()x y z =++，绕z 轴的旋转曲面方程是2222(2)x y z +=+．8．曲线2221x y z y x⎧+-=⎨=⎩在xOz 平面上的投影是 ；答案：22210x z y ⎧-=⎨=⎩．解析：曲线在xOz 坐标平面上的投影是xOz 坐标平面上的柱面与xOz 坐标平面的交线，xOz 坐标平面上的柱面方程是2221x z -=，xOz 坐标平面的0y =，故投影方程是2221x z y ⎧-=⎨=⎩．二、选择题：1．设向量a 与b 满足a b a b +=-，则a 与b 一定（ ）； (A) 平行 (B) 同向 (C) 反向 (D) 垂直 答案：C ．解析：当a 与b 反向时，a b a b +=-，故选C ． 2．设向量()()u b c a a c b =⋅-⋅，则有（ ）；.(A) u 与a 垂直 (B) u 与b 垂直 (C) u 与c 垂直 (D) u 与c 平行 答案：C ．解析：()()u b c a a c b =⋅-⋅两边乘以c ，则()()()()0u c b c a c a c b c ⋅=⋅⋅-⋅⋅=， 故u 与c 垂直.3. 已知向量a 的方向平行于向量(2,1,2)b =--和(7,4,4)c =--之间的角平分线，且56a =，则a =（ ）；(A) 5(1,7,2)3- (B) 2(1,7,2)3- (C) 5(1,7,2)2- (D) 2(1,7,2)3答案：A ．解析：由题意可知3,9b c ==，则01(2,1,2)3b =--，01(7,4,4)9c =--，于是可设0()(1,7,2)9a b c λλ=+=-，又因56a =，故=15λ=，所以a =5(1,7,2)3-，选A ． 4．设空间直线的方程为043x y z==-，则该直线必定（ ）；(A) 过原点且垂直于X 轴(B) 不过原点但垂直于X 轴(C) 过原点且垂直于Y 轴 (D) 不过原点但垂直于Y 轴答案：A ．解析：直线通过原点，且直线的方向向量为(0,4,3)s =-，X 轴的单位向量为(1,0,0)i =，所以0s i ⋅=，s i ⊥，选A ．5．已知平面π通过点(1,0,1)-，且垂直于直线30:240x y z L x y --+=⎧⎨-+=⎩，则平面π的方程是（ ）；(A) 21x y z -+= (B) 21x y z ++= (C) 22x y z -+= (D) 22x y z +-= 答案：B ．解析：由题意所求平面的法向量就是所给直线的方向向量，即(1,1,1)(1,2,0)(2,1,1)n s ==--⨯-=---，所以平面π的方程为210x y z ++-=，选B ．6．若直线121:110x y z L λ--==与直线2210:50x y L x z λ++=⎧⎨-+=⎩垂直，则=λ（ ）； (A) 4 (B) 2 (C) 2- (D) 2± 答案：2λ=±.解析：直线1L 的方向向量1(1,10,)s λ=，直线2L 的方向向量2(1,2,0)(,0,1)(2,1,2)s λλ=⨯-=--，由题意知12s s ⊥，故120s s ⋅=， 所以2λ=±.7．下列结论中错误的是（ ）；(A) 2230z x y ++=表示椭圆抛物面 (B) 222312x y z +=+表示双叶双曲面(C) 22220x y z +-=表示圆锥面 (D) 24y x =表示抛物柱面 答案：B.解析：双叶双曲面的方程为2222221x y z a b c--=，故选择B.8．曲线22z z x y⎧=⎪⎨=+⎪⎩xOy 坐标平面上的投影是（ ）；(A) 122=+y x (B) 222=+y x(C) 2210x y z ⎧+=⎨=⎩ (D) 222x y z ⎧+=⎨=⎩答案：C ．解析：联立两个曲面z =和22z x y =+，消去z 得到在xOy 坐标平面上的柱面方程为221x y +=，该柱面与xOy 坐标平面0z =的交线即为所求投影，故选C ．三、解答题.1．一单位向量e 与x 轴y 、轴的夹角相等，与z 轴夹角是前者的2倍，求向量e .解：设)2cos ,cos ,(cos ααα=e，由12cos cos cos 222=++ααα，有02sin cos 222=-αα，即0)sin 21(cos 22=-αα，所以2πα=或4πα=（43πα=舍去），于是)1,0,0(-=e 或)0,22,22(=e . 2．设非零向量,a b 满足Pr j 1a b =，计算极限0limx a xb ax→+-．解：原式222()()limlimlim()()x x x a xb aa xb aa xb a xb axx a xb a x a xb a →→→+-+-+⋅+-==++++22022limlimlimPr 1()a x x x a a xab x b b aa b xb b a b j b x a xb a a xb aa→→→⋅+⋅+⋅-⋅+⋅⋅=====++++．3．求平面3546x y z +-=与42x y z -+=的等分角平面方程． 解：设所求平面为3546(42)0x y z x y z λ+--+-+-=， 即 (3)(5)(44)620x y z λλλλ++-+---=， 依题意有 =解得53λ=±，代入所设方程有75414x y z ++=和582x y z +-=． 4．过点)3,2,1(M ，求垂直于直线z y x ==且与z 轴相交的直线方程.解：设所求直线方程为p z n y m x 321-=-=-，由与已知直线垂直，有0=++p n m ①；又设与z 轴交点为),0,0(0z ，有pz n m 3210-=-=-②，由①、②两式得m p m n 32-==、，所求直线方程是332211--=-=-z y x . 5．求与已知直线135:23x y L z +-==及2107:54x y L z -+==相交，且平行于直线321:387x y L z +-==-的直线方程．解：由题意可知所求直线L 的方向向量3(8,7,1)s s ==，以参数形式表示直线1L 和2L ，则L 与1L 和2L 的交点分别为1(23,35,)M t t t -+和2(510,47,)M λλλ+-，显然只需确定1M 和2M 之中的一点即可，因123//M M s ，故5213431287t t t λλλ-+--==-，即52138()43127()t t t t λλλλ-+=-⎧⎨--=-⎩，解得252t =-，从而知16525(28,,)22M ---， 所以所求直线方程经整理得282652258142x y z +++==． 6．指出下列方程所表示的曲面的名称，若是旋转面，指出它是什么曲线绕什么轴旋转而成的．（1）2221499x y z ++=； （2）22214y x z -+=； （3）2221x y z --=； （4）222099x y z +-=； （5）224x y z -=； （6）0z =．答案：（1）旋转椭球面．可看成椭圆221490x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，绕x 轴旋转而成，或者椭圆221490x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，绕x 轴旋转而成．（2）单叶旋转双曲面．可看成双曲线22140y x z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，绕y 轴旋转而成，或者双曲线221,40y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕y 轴旋转而成．（3）双叶旋转双曲面．可看成双曲线2210x y z ⎧-=⎨=⎩，绕x 轴旋转而成，或者双曲线221,x z y ⎧-=⎨=⎩绕x轴旋转而成．（4）旋转抛物面．可看成抛物线20,90x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转而成，或者抛物线20,90y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转而成．（5）双曲抛物面．（6）旋转锥面．可看成射线,0z x y ==绕z 轴旋转而成，或者射线,0z y x ==绕z 轴旋转而成．7．指出曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕是什么曲线，并写出其方程： （1）2x =； （2）5y =； （3）2z =； （4）1z =．答案：（1）双曲线，方程为22542592z y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，；（2）椭圆，方程为222945x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，； （3）两条直线，方程为352x yz ⎧=⎪⎨⎪=⎩，和352x y z ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，；（4）双曲线，方程为22392541.x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，。