高中数学人教A版(2019)必修一第五章学业水平测试(A卷)

高中数学培优讲义练习（人教A 版2019必修一）综合测试卷：必修一全册（提高篇）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知全集U =R ，集合A ={x |x >1 }，B ={x |−2≤x <2 }，则如图中阴影部分表示的集合为（）A ．{x |x ≥−2 }B ．{x |x <−2 }C ．{x |1<x <2 }D ．{x |x ≤1 }【解题思路】用集合表示出韦恩图中的阴影部分，再利用并集、补集运算求解作答。

【解答过程】由韦恩图知，图中阴影部分的集合表示为∁U (A ∪B)。

因集合A ={x |x >1 }，B ={x |−2≤x <2 }，则A ∪B ={x|x ≥−2}，又全集U =R 。

所以∁U (A ∪B)={x|x <−2}。

故选：B 。

2．（5分）（2022·辽宁·高一期中）已知p:|1−2x |≤5，q:x 2−4x +4−9m 2≤0(m >0)若q 是p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（） A ．(0，13)B ．(0，13]C ．(13，43)D ．[13，43]【解题思路】解不等式，求出俩命题的解，然后根据充分不必要条件，得出不等关系，从而求出实数m 的范围。

【解答过程】解：由题意在p:|1−2x |≤5中。

解得：−2≤x ≤3。

在q:x 2−4x +4−9m 2≤0(m >0)中。

解得：−3m +2≤x ≤3m +2。

∵q 是p 的充分不必要条件∴{−3m +2≥−23m +2≤3m >0 ，等号不同时成立。

∴0<m ≤13。

故选：B 。

3．（5分）（2022·山东·高一期中）已知x >0，y >0，且x +y +xy =3，若不等式x +y ≥m 2−m 恒成立，则实数m 的取值范围为（） A ．−2≤m ≤1 B ．−1≤m ≤2 C ．m ≤−2或m ≥1D ．m ≤−1或m ≥2【解题思路】首先根据基本不等式得到(x +y )min =2，结合题意得到m 2−m ≤(x +y )min ，即m 2−m ≤2，再解不等式即可。

第五章综合测试一、单项选择题1.已知 1 845α=︒，则在弧度制下为（ ） A .10πB .21π4C .31π4D .41π42.点()1,2P -是角α终边上一点，则()sin πα-的值为（ ）A B . C .25- D .153.如果点sin cos cos P θθθ⋅（，）位于第三象限，那么角θ位于（ ） A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限4.若θ是三角形的一个内角，且4tan 3θ=-，则3ππsin cos 22θθ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A .15 B .15-C .75 D .75-5.若函数()()2cos f x x ωϕ=+对任意实数x 都有ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值等于（ ） A .2-B .2C .2±D .不能确定6.与函数πtan 2+4y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象不相交的一条直线是（ ）A .π2x =B .π2y =C .π4x =D .π8y =7.已知π(0,2cos 212ααα∈=+，则cos α=（ ）A B C D .158.已知sin α=()sin αβ-=，,αβ是锐角，则β=（ ） A .5π12B .π3C .4πD .35二、多项选择题9.下列说法错误的是（ ）A .长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B .若tan 0α≥，则πππ()2k k k α+∈Z ≤≤C .若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α=D .当π2π2π()4k k k α+∈Z ＜＜时，sin cos αα<10.已知函数()cos 22f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A .()f x 的周期为πB .π3x =是()f x 的一条对称轴 C .ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是()f x 的一个递增区间 D .ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是()f x 的一个递减区间 11.已知函数()|tan |cos f x x x =，则下列说法正确的是（ ） A .()f x 的最小正周期为πB .()f x 的值域为[1,1]-C .()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D .()f x 的图象关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称12.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论，其中正确的结论是（ ） A .()f x 是偶函数B .()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增C .()f x 在[π,π]-有4个零点D .()f x 的最大值为2三、填空题13.为得到函数2sin 3y x =的图象，只需将函数sin y x =的图象横坐标________到原来的________倍，再将纵坐标伸长到原来的2倍；14.如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数πy 4sin 6x k ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，据此图像可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为________.15.若函数2sin y x x =+的最大值为3，则a 的值为__________. 16.已知()2sin 3αβ+=，()2sin 5αβ-=，则tan tan αβ的值为__________.四、解答题17.已知cos α是方程25760x x --=的根，求()()25π3πsin sin tan 2πtan π22π3πcos cos 22αααααα⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值.18.已知函数()π3tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的定义域与单调区间；（2）比较π2f ⎛⎫⎪⎝⎭与π8f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小.19.已知曲线sin()(0,0)y A x A ωϕω=+＞＞上的一个最高点的坐标为（6π）此点与相邻最低点之间的曲线与x 轴交于点（2π3，0）且ππ,22ϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. （1）求曲线的函数表达式；（2）用“五点法”画出函数在[0,2π]上的图象.20.已知π1tan 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求tan α的值；（2）求()()22πsin 22πsin 21cos π2sin αααα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭--+的值.21.设函数π()sin sin 3f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值的x 的集合；（2）不画图，说明函数()y f x =的图像可由sin y x =的图象经过怎样的变化得到.22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，单位圆O 上存在两点A ，B ，满足π3AOB ∠=，AC ，BD 均与x 轴垂直，设ππ62xOA αα⎛⎫∠= ⎪⎝⎭＜，AOC △与BOD △的面积之和为()f α.（1）若()38f α=，求α的值； （2）若对任意的ππ,62α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，存在(),0x ∈-∞，使得()318f x m x α++≤成立，求实数m 的取值范围.第五章综合测试答案解析一、 1.【答案】D【解析】∵180π︒=，π1180︒=∴，则π41π1 84518451804︒=⨯=.故选D .2.【答案】A【解析】由三角函数的定义可得sin α==()sin πsin αα-==.故选A . 3.【答案】B【解析】∵点(sin cos ,cos )P θθθ⋅位于第三象限，sin cos 0θθ⋅∴＜，cos 0θ＜.∴sin 0θ＞.∴θ是第二象限角. 4.【答案】C 【解析】∵sin 4tan cos 3θθθ==-，()0,πθ∈，sin 0θ＞，cos 0θ＜，又∵22sin cos 1θθ+=，4sin 5θ=∴，3cos 5θ=-，3ππ7sin cos cos sin 225θθθθ⎛⎫⎛⎫-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选C .5.【答案】C【解析】由ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得函数图象的对称轴为π3x =，因为余弦函数在对称轴取到函数的最值，所以π=23f ⎛⎫± ⎪⎝⎭.故选C .6.【答案】D【解析】由ππ2π,42x k k +=+∈Z ，得ππ,82k x k =+∈Z ，令0k =，得π8x =.π8x =∴为函数图象的一条渐近线，即直线π8x =与函数的图象不相交.故选D .7.【答案】A【解析】因为π(0,)2α∈，所以cos 0α＞，因此有22sin 2cos 214sin sin cos 2cos 11cos 2a a ααααα=-+⇒==+⇒，而22cos sin 1αα+=，所以有cos α=，故本题选A .8.【答案】C【解析】因为,αβ是锐角，ππ(,)22αβ-∈-，所以cos()0αβ-＞cos α==，cos αβ-==（）.∴()()()sin sin sin cos cos sin a a βααβαβαβ=⎡--⎤=---=+⎣⎦ ∵β为锐角∴π4β=.故选C . 二、9.【答案】ABC【解析】对于A ，长度等于半径的弦所对的圆心角为π3弧度，命题错误； 对于B ，若tan 0α≥，则πππ()2k k k α+∈Z ≤＜，命题错误；对于C ，若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α=±，命题错误；对于D ，当π2π2π()4k k k α+∈Z ＜＜时，sin cos αα<，命题正确.故选：ABC10.【答案】ABD【解析】由()cos 22f x x x =-可得：π()2cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的周期为2ππ2T ==；所以A 正确； 将π3x =代入π()2cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可得：πππ2cos 22333f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时()f x 取得最小值2-，所以π3x =是()f x 的一条对称轴，所以B 正确； 令π23t x =+，则π()2cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由2cos y t =，π23t x =+复合而成；当ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π23t x =+在ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦递增，2cos y t =在π2π,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦不单调，由复合函数的单调性规律可得：ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不是()f x 的一个递增区间；所以C 错误.当ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，[0,π]t ∈，π23t x =+在ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦递增，答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

2023-2024学年全国高一上数学期末试卷考试总分：141 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 设集合，是自然数集，则( )A.B.C.D.2. 已知均为正实数，则“”是“”的 A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3. 已知是第二象限角，若，则＝（ ）A.B.C.D.4. 下列命题中，真命题是（ ）A ={x|−2≤x <3}N A ∩N ={−2,−1,0,1,2}{0,1,2,3}{0,1,2}{1,2}()αsin(−α)=−π213sin α−22–√3−131322–√3∀x ∈R ln ≥02A.，B.，C.，D.，5. 为了得到函数的图像，可将函数的图像( )A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度6. 在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如表一组数据：在四个函数模型（，为待定系数）中，最能反映，函数关系的是（ ）A.＝B.＝C.＝D.＝7. 不等式有且只有一个整数解，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.8.根据表格中的数据，可以断定：方程的一个根所在的区间是( )∀x ∈R ln ≥0x 2∀x ∈R −1≤≤11sin x ∃∈R x 0≤1e x 0∃∈R x 0cos =2x 0y =cos 2x y =sin(2x −)π6π6π3π6π3x 123458y 0.51.52.082.52.823.5a b x y y a +bxy a +b xy a +xlog b y a+x ln x ++(a −2)x ≤2a x 2a [−1,+∞)(−∞,−4−4ln 2)∪[−1,+∞)(−∞,−3−3ln 3)∪[−1,+∞)(−4−4ln 2,−3−3ln 3)∪[−1,+∞)−x −2=0e x x −10123A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）9. 下列四个等式其中正确的是（ ）A.B.C.D.10. 某公司经营四种产业，为应对市场变化，在三年前进行产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比三年前增加一倍．调整前后的各产业利润与总利润的占比如下图所示：则下列结论中正确的有A.调整后房地产业的利润有所下降B.调整后医疗器械的利润增长量最大C.调整后生物制药的利润增长率最高D.调整后金融产业的利润占比最低11. 在同一直角坐标系中，与的图象如图，则下列关系不正确的是( )e x0.371 2.727.3920.09x +212345(1，2)(0，1)(2，3)(−1，0)=1tan 22.5∘1−tan 222.5∘tan +tan +tan tan =25∘35∘3–√25∘35∘3–√−=cos 2π8sin 2π82–√2−=41sin 10∘3–√cos 10∘f (x)=kx +b g(x)=x log bA.B.C.D.时，卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）12. 求值：________．13. 已知扇形的圆心角的弧度数为，其弧长也是，则该扇形的面积为________．14. 函数，的单调递减区间是________．15. 函数的最小值为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）16. 已知集合＝，＝．（1）若＝，求、；（2）若＝，求实数的取值范围．17. 已知（，且为常数）．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若在区间内，存在，且时，使不等式成立，求的取值范围．18. 已知函数＝．k <0,0<b <1k >0,b >1f ()g(1)>0(x >0)1xx >1f (x)−g(x)>0lo 15−lo 25=g 312g 322y =sin(−x)π6x ∈[0,]3π2f (x)=2x −x +1−−−−−√A {x |−2<x <7}B {x |a ≤x ≤3a −2}a 4A ∪B (A)∩B ∁R A ∪B A a f(x)=1+ln xax a ≠0a f(x)(1,+∞)，x 1x 2≠x 1x 2|f()−f()|x 1x 2≥k|ln −ln |x 1x 2k f(x)（1）求函数的最小正周期，以及在，]上的单调性．（2）已知，，分别为三角形的内角对应的三边长，为锐角，＝，＝，且恰是函数在，]上的最大值，求和．19. 年，随着中国第一款手机投入市场，技术已经进入高速发展阶段．已知某手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机万台，其成本为，其中固定成本为万元，并且每生产万台的生产成本为万元（总成本＝固定成本+生产成本），销售收入万元满足，（1）将利润表示为产量万台的函数；（2）当产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？20. 在面积为定值的扇形中，半径是多少时扇形的周长最小？ 21. 设，函数；（1）求的值，使得为奇函数；（2）若对任意成立，求的取值范围．f(x)f(x)[0a b c ABC A a 1c f(A)f(x)[0A b 20195G 5G 5G x(0≤x ≤10)G(x)80011000R(x)R(x)={ −400+4200x,0≤x ≤5x 22000x −3800,5<x ≤10f(x)x x S a ∈R f(x)=+a 2x +12x a f(x)f(x)a +22x ∈R a参考答案与试题解析2023-2024学年全国高一上数学期末试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为集合，是自然数集，所以.故选.2.【答案】C【考点】由基本不等式证明不等关系【解析】代入特殊值，判断不是充分条件，再根据基本不等式判断必要条件．【解答】取，则，但，所以由推不出；若，则，当且仅当时取等号，所以由能推出，所以“”是“的必要不充分条件．故选：．3.A ={x|−2≤x <3}N A ∩N ={0,1,2}C a =100,b =2=<2ab a +b 200102ab =200>16≤2ab a +bab ≤16ab ≤16≤=≤2ab a +b ab 2ab −−√ab −−√2a =b =4ab ≤16≤2ab a +b ≤2ab a +b ab ≤16C【答案】D【考点】同角三角函数间的基本关系运用诱导公式化简求值【解析】直接利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式转化求解即可．【解答】是第二象限角，若可得，所以．4.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用全称命题与特称命题【解析】根据含有量词的命题的判断方法即可得到结论．【解答】解：，当时，，故错误；，当时，无意义，故错误；，当时，显然成立，故正确；，，故错误.故选.5.【答案】D【考点】αsin(−α)=−π213cos α=−13sin α==1−co αs 2−−−−−−−−√22–√3A x =12ln <0x 2A B x =01sin x B C =0x 0≤1e x 0C D cos ∈[−1,1]x 0D C函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】利用诱导公式将函数名化相同，根据三角函数图象平移变换规律可得答案．【解答】解：∵，∴将函数的图象向左平移个单位可得．故选．6.【答案】C【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】由表格中的数据作出散点图，结合图象得答案．【解答】由表格中数据作出散点图：由图可知，是关于的增函数，且递增的比较缓慢，7.【答案】D【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】由题意可得，，由题意可得函数的图象在的图象下方，有且只有一个横坐标为整数的点，讨论，，，可得方程的解为和，可得的不等式，解不等式即可得到所求范围．y =cos 2x =sin(2x +)=sin[2(x +)−]π2π3π6y =sin(2x −)π6π3D y x x ln x ≤−+(2−a)x +2a x 2x >0y =x ln x y =−+(2−a)x +2a x 2a <2a =2a >213a【解答】不等式，即为，，由题意可得函数的图象在的图象下方，有且只有一个横坐标为整数的点，由函数的图象恒过点，又过，当时，横坐标为的点满足题意，可得，解得；当，两图象无交点；当时，横坐标为的点满足题意，可得：，且，解得，则的范围是，8.【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：令，由表知，，∴方程的一个根所在的区间为．故选．二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）9.【答案】B,C,D【考点】二倍角的三角函数两角和与差的三角函数三角函数的恒等变换及化简求值【解析】x ln x ++(a −2)x ≤2a x 2x ln x ≤−+(2−a)x +2a x 2x >0y =x ln x y =−+(2−a)x +2a x 2y =−+(2−a)x +2a x 2(2,0)(−a,0)a <21ln 1≤−1+(2−a)+2a a ≥−1a =2a >234ln 4>−+4(2−a)+2a 423ln 3<−+3(2−a)+2a 32−4−4ln 2<a <−3−3ln 3a (−4−4ln 2,−3−3ln 3)∪[−1,+∞)f(x)=−x −2e x f(1)=2.72−3<0f(2)=7.39−4>0−x −2=0e x (1，2)A利用三角恒等变换逐项判断即可．【解答】解：，，故，故错误；，，故，故正确；，，故正确；，，故正确．故选.10.【答案】B,C,D【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】略11.【答案】A,B,C【考点】对数函数的图象与性质一次函数的性质与图象【解析】由的图象可得故不正确，再由故不正确，则答案可求．【解答】解：由直线方程可知，，故不正确；而，故不正确；A =tan tan 22.5∘1−tan 222.5∘1245∘=12=tan 22.5∘1−tan 222.5∘12B tan 60∘=tan(+)==25∘35∘tan +tan 25∘35∘1−tan tan 25∘35∘3–√tan +tan +tan tan =25∘35∘3–√25∘35∘3–√C −=cos =cos 2π8sin 2π8π42–√2D −=1sin 10∘3–√cos 10∘cos −sin 10∘3–√10∘sin cos 10∘10∘===42cos(+)60∘10∘sin 1220∘2sin 20∘sin 1220∘BCD f (x)k >0,0<b <1A ，B g(1)=0C k >0，0<b <1A ，B g(1)=0C f(x)>g(x)由图象可知，当时，，，故正确.故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）12.【答案】【考点】对数的运算性质【解析】直接利用对数的运算性质即可求解．【解答】＝＝．13.【答案】【考点】扇形面积公式【解析】利用扇形的面积计算公式、弧长公式即可得出．【解答】由弧长公式可得＝，解得＝．∴扇形的面积＝．14.【答案】【考点】正弦函数的单调性x >1f(x)>g(x)f (x)−g(x)>0D ABC 1lo 15−lo 25=15−5g 312g 3log 3log 33log 31122r r 1S =lr =×2×112121[0,π]23【解析】函数，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递减区间；即可求的单调递减区间．【解答】由函数，令，得：，∵，当＝时，可得单调递减区间为．15.【答案】【考点】函数的最值及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：令，则，利用换元法可将函数的解析式换元为： .结合二次函数的性质可知当 时函数取得最小值.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）16.【答案】＝时，集合＝＝，＝＝＝，所以＝；又＝，所以＝；y =sin(−x)=−sin(x −)π6π6x ∈[0,]3π2y =sin(−x)=−sin(x −)π6π6−+2kπ≤x −≤+2kππ2π6π2k ∈Z −+2kπ≤x ≤+2kππ32π3x ∈[0,]3π2k 0[0,π]23−178t =，t >0x +1−−−−−√x =−1t 2g(t)=2(−1)−t =2−t −2(t >0)t 2t 2t =14g()=−−2=−141814178−178a 4A {x |−2<x <2}(−2B {x |a ≤x ≤3a −3}{x |4≤x ≤10}[4,10]A ∪B (−2,10]A ∁R (−∞,−2]∪[7A ∩B ∁R [8,10]A ∪B A B ⊆A由＝，得，①当＝时，；②时，应满足，解得，即；综上知，实数的取值范围是．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答17.【答案】解：（Ⅰ）（，且为常数），．①若当时，；当时，．即时，函数单调递增区间为，单调递减区间为．②若当时，；当时，．即时，函数单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，取，则在区间上单调递减，不妨设，则，∴不等式可化为，即，令，则在区间上存在单调递减区间，又有解，即，有解，令，则，由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．，故．A ∪B A B ⊆A B ∅a >3a −2B ≠∅4≤a <3a a <3∵f(x)=1+ln x ax a ≠0a ∴(x)=f ′−a ln x (ax)2=−ln x ax 2a >0，0<x <1(x)>0f ′x >1(x)<0f ′a >0f(x)(0,1)(1,+∞)a <0，0<x <1(x)<0f ′x >1(x)>0f ′a <0f(x)(1,+∞)(0,1)a =1f(x)=1+ln x x (1,+∞)>>1x 2x 1f()>f()x 1x 2|f()−f()|≥k|ln −ln |x 1x 2x 1x 2f()−f()≥k(ln −ln )x 1x 2x 2x 1f()+k ln ≥f()+k ln x 1x 1x 2x 2F(x)=f(x)+k ln x F(x)(1,+∞)(x)=(x)F ′f ′+=k x −ln x x 2+=k x −ln x +kx x 2<0kx <ln x(x >1)∴k <ln x x G(x)=ln x x (x)=G ′1−ln x x 2(x)=0G ′x =e x ∈(1,e)(x)>0G ′G(x)x ∈(e,+∞)(x)<0G ′G(x)∴G(x =G(e))max =1e k <1e【考点】函数奇偶性的性质与判断不等式的证明利用导数研究函数的单调性【解析】本题考查函数的性质、导数的应用、不等式的证明．【解答】解：（Ⅰ）（，且为常数），．①若当时，；当时，．即时，函数单调递增区间为，单调递减区间为．②若当时，；当时，．即时，函数单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，取，则在区间上单调递减，不妨设，则，∴不等式可化为，即，令，则在区间上存在单调递减区间，又有解，即，有解，令，则，由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．，故．18.【答案】由题意可得：＝＝+＝），所以函数的周期为＝＝，∵f(x)=1+ln x ax a ≠0a ∴(x)=f ′−a ln x (ax)2=−ln x ax 2a >0，0<x <1(x)>0f ′x >1(x)<0f ′a >0f(x)(0,1)(1,+∞)a <0，0<x <1(x)<0f ′x >1(x)>0f ′a <0f(x)(1,+∞)(0,1)a =1f(x)=1+ln x x (1,+∞)>>1x 2x 1f()>f()x 1x 2|f()−f()|≥k|ln −ln |x 1x 2x 1x 2f()−f()≥k(ln −ln )x 1x 2x 2x 1f()+k ln ≥f()+k ln x 1x 1x 2x 2F(x)=f(x)+k ln x F(x)(1,+∞)(x)=(x)F ′f ′+=k x −ln x x 2+=k x −ln x +kx x 2<0kx <ln x(x >1)∴k <ln x x G(x)=ln x x (x)=G ′1−ln x x 2(x)=0G ′x =e x ∈(1,e)(x)>0G ′G(x)x ∈(e,+∞)(x)<0G ′G(x)∴G(x =G(e))max =1e k <1e f(x)x+cos 2sin x cos x+sin 2x+sin(2x++3f(x)T π令，解得，，因为，]，则令＝可得，]，故函数在区间，]上单调递增]上单调递减；由（1）知：＝），又恰是函数在，]上的最大值，所以＝，解得＝，则在三角形中，由余弦定理可得：＝，即＝，解得＝或，故＝，＝或．【考点】三角函数的周期性三角函数中的恒等变换应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】＝，∴＝．当时，＝，故当＝时，取得最大值；当时，＝为增函数，故当＝时，取得最大值＝．综上，当产量为万台时，公司利润最大，最大利润为万元．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】7kπ−≤2x+k k ∈Z x ∈[0k 0x ∈[0f(x)[0f(x)sin(2x++2f(A)f(x)[02A+A ABC a 2+−2bc cos A b 4c 252+8−2b×b 2b 17A b 13G(x)1000x +800f(x)R(x)−G(x)={ −400+3200x −800,0≤x ≤5x 21000x −4600,5<x ≤100≤x ≤5f(x)−400(x −4+5600)2x 4f(x)56005<x ≤10f(x)1000x −4600x 10f(x)1000×10−4600540045600f(x)R(x)−G(x)（1）根据＝得出解析式；（2）分段求出函数的最大值，从而得出利润的最大值．【解答】＝，∴＝．当时，＝，故当＝时，取得最大值；当时，＝为增函数，故当＝时，取得最大值＝．综上，当产量为万台时，公司利润最大，最大利润为万元．20.【答案】设扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为，解得；又扇形的周长为＝＝，当且仅当，即时扇形的周长最小．【考点】扇形面积公式【解析】设出扇形的半径与圆心角，由此表示出扇形的面积，再利用基本不等式求出扇形周长的最小值；【解答】设扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为，解得；又扇形的周长为＝＝，当且仅当，即时扇形的周长最小．21.【答案】由的定义域为，且为奇函数，可得＝，即有，解得＝．则，，则＝满足题意；f(x)R(x)−G(x)G(x)1000x +800f(x)R(x)−G(x)={ −400+3200x −800,0≤x ≤5x 21000x −4600,5<x ≤100≤x ≤5f(x)−400(x −4+5600)2x 4f(x)56005<x ≤10f(x)1000x −4600x 10f(x)1000×10−4600540045600θr S =θ12r 2θ=2S r 2P 2r +θr 2(r +)≥4⋅=4S r r ⋅S r −−−−√S −−√r =S rr =S −−√θr S =θ12r 2θ=2S r 2P 2r +θr 2(r +)≥4⋅=4S r r ⋅S r −−−−√S −−√r =S r r =S −−√f(x)R f(x)f(0)0=01+a 2a −1f(x)=−12x +12x f(−x)===−f(x)−12−x +12−x 1−2x1+2xa −1(x)a +2对任意成立，即为恒成立，等价为，即有，当＝时，恒成立；当时，，由，可得，解得；当时，不恒成立．综上可得，的取值范围是．【考点】函数奇偶性的性质与判断函数恒成立问题【解析】（1）由在上为奇函数，可得＝，解方程可得的值，检验即可；（2）由题意可得即为恒成立，等价为，即有，讨论＝，，，由参数分离，求得右边的范围，运用恒成立思想即可得到的范围．【解答】由的定义域为，且为奇函数，可得＝，即有，解得＝．则，，则＝满足题意；对任意成立，即为恒成立，等价为，即有，当＝时，恒成立；当时，，由，可得，解得；当时，不恒成立．综上可得，的取值范围是．f(x)a +22x ∈R +a 2x+12x a +22a −1+12xa 22(a −1)<a(+1)2x a 0−1<0a >0+12(a −1)a 2x +1>12x ≤12(a −1)a0<a ≤2a <0+12(a −1)a 2x a [0,2]f(x)R f(0)0a +a 2x +12x a +22a −1+12x a 22(a −1)<a(+1)2xa 0a >0a <0a f(x)R f(x)f(0)0=01+a 2a −1f(x)=−12x +12x f(−x)===−f(x)−12−x +12−x 1−2x1+2x a −1f(x)a +22x ∈R +a 2x +12x a +22a −1+12xa 22(a −1)<a(+1)2x a 0−1<0a >0+12(a −1)a 2x +1>12x ≤12(a −1)a 0<a ≤2a <0+12(a −1)a 2x a [0,2]。

高中数学人教A版（2019）必修一综合测试卷一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）已知集合A={x|x2<1}，集合B={x|log2x<0}，则A∩B=（）A．(0,1)B．(−1,0)C．(−1,1)D．(−∞,1) 2．（2分）已知角α的终边经过点P(−1,√3)，则sin2α=（）A．√32B．−√32C．−12D．−√343．（2分）已知幂函数y=f(x)的图象过点(12,√22)，则log4f(2)的值为（）A．−14B．14C．−2D．24．（2分）由y=2sin(6x−16π)的图象向左平移π3个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为（）A．y=2sin(3x−16π)B．y=2sin(3x+16π)C．y=2sin(3x−112π)D．y=2sin(12x−16π)5．（2分）若sin(π3−α)=14，则cos(π3+2α)=（）．A．−78B．−14C．14D．786．（2分）已知函数f(x)={2x−1x>0−x2−2x x≤0，若函数g(x)=f(x)−m有3个零点，则实数m 的取值范围（）A．(0, 12)B．(12,1]C．(0,1]D．（0,1）7．（2分）对于函数f（x）=x3cos3（x+ π6），下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数且在（﹣π6，π6）上递增B．f（x）是奇函数且在（﹣π6，π6）上递减C．f（x）是偶函数且在（0，π6）上递增D．f（x）是偶函数且在（0，π6）上递减8．（2分）若函数f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f(﹣3)＝0，则f(x)+f(−x)2x<0的解集为（）A．(－3,3)B．(－∞，－3)∪(3，＋∞) C．(－3,0)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)．9．（2分）已知函数f(x)={x2,x≤0lg(x+1),x>0，若f(x0)>1，则x0的取值范围为（）A．（－1，1）B．（－1，+∞）C．(−∞,9)D．(−∞,−1)∪(9,+∞)10．（2分）已知奇函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且对任意正实数x1,x2(x1≠x2)，恒有f(x1)−f(x2)x1−x2﹥0 ，则一定有（）A．f(3)>f(−5)B．f(−3)<f(−5)C．f(−5)>f(3)D．f(−3)>f(−5)11．（2分）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞，0)上单调递减，若a=f(log215)，b=f(log24.1)，c=f(20.8)，则a，b，c的大小关系是（）A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a12．（2分）将函数y=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度得到f(x)的图象，若函数f(x)在区间[0,π3]上单调递增，且f(x)的最大负零点在区间(−5π12,−π6)上,则φ的取值范围是()A．(π6,π4]B．(π12,π4]C．(π6,π2)D．(π12,π2)二、填空题(共4题；共4分)13．（1分）若a>0，b>0，a+2b=1，则1a+a+1b的最小值为.14．（1分）若函数f(x)={log2x,x>0−2x−a,x≤0有且只有一个零点，则a的取值范围是．15．（1分）设f(x)是定义在[−2b，3+b]上的偶函数，且在[−2b，0]上为增函数，则f(x−1)≥f(3)的解集为.16．（1分）下列命题中：①已知函数y=f(2x+1)的定义域为[0,1]，则函数y=f(x)的定义域为[1,3]；②若集合A={x|x2+kx+4=0}中只有一个元素，则k=±4；③函数y=11−2x在(−∞,0)上是增函数；④方程2|x|=log2(x+2)+1的实根的个数是1.所有正确命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）.三、解答题(共6题；共65分)17．（10分）若集合A＝{x ∈R| x2−x−12≤0}和B＝{ x ∈R|2m－1≤x≤m＋1}．（1）（5分）当m=−3时，求集合A∪B.（2）（5分）当B∩A=B时，求实数m的取值范围．18．（10分）（1）（5分）计算(lg14−lg25)÷10012的值；（2）（5分）已知tanα=2，求2sinα−3cosα4sinα−9cosα和sinαcosα的值．19．（10分）已知函数f(x)=a(sin2x−π6)−a+b(a，b∈R，且a<0).（1）（5分）若当x∈[0，π2]时，函数f(x)的值域为[−5，1]，求实数a，b的值；（2）（5分）在（1）条件下，求函数f(x)图像的对称中心.20．（15分）已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象过点(0,3)，且不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|1≤x≤3}.（1）（5分）求f(x)的解析式；（2）（5分）若g(x)=f(x)−(2t−4)x在区间[−1,2]上有最小值2，求实数t的值；（3）（5分）设ℎ(x)=mx2−4x+m，若当x∈[−1,2]时，函数y=ℎ(x)的图象恒在y= f(x)图象的上方，求实数m的取值范围.21．（10分）已知m∈R，命题p：对任意x∈[0 ， 8]，不等式log13(x+1)≥m2−3m恒成立，命题q：存在x∈(0 ， 2π3)，使不等式2sin2x+2sinxcosx≤√2m(sinx+cosx)成立．（1）（5分）若p为真命题，求m的取值范围；（2）（5分）若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．22．（10分）已知奇函数f(x)与偶函数g(x)均为定义在R上的函数，并满足f(x)+g(x)=2x （1）（5分）求f(x)的解析式；（2）（5分）设函数ℎ(x)=f(x)+x①判断ℎ(x)的单调性，并用定义证明；②若f(log2m)+f(2log2m−1)≤1−3log2m，求实数m的取值范围答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】根据题意：集合 A ={x|−1<x <1} ，集合 B ={x|0<x <1} ， ∴A ∩B =(0,1)故答案为： A ．【分析】先解不等式得集合A 与B ，再根据交集定义得结果.2．【答案】B【解析】【解答】角 α 的终边经过点p （﹣1， √3 ），其到原点的距离r =√1+3= 2Cos α=−12 ，sin α=√32∴sin2α=2 sin α cos α=2×（−12）×√32=−√32.故答案为：B ．【分析】先求出点P 到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．3．【答案】B【解析】【解答】设幂函数的表达式为 f(x)=xn，则 (12)n =√22，解得 n =12 ，所以 f(x)=x 12 ，则 log 4f(2)=log 4212=12log 2212=12×12=14.故答案为：B.【分析】利用幂函数图象过点 (12,√22) 可以求出函数解析式，然后求出 log 4f(2) 即可。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第五章 三角函数 综合测评B 卷一、单选题1．使函数()sin(2))f x x x q q =++为奇函数，且在区间0,4éùêëûp 上是减函数的q 的一个值是（）A ．3p-B ．6p-C ．23p D ．56p 2．若函数sin()0,||2y A x A p w j j æö=+><ç÷èø图象 的一个最高点为(2,2)，由这个点到相邻最低点的一段图象与x 轴相交于点(6,0)，则这个函数的解析式是（）A ．2sin 44y x pp æö=+ç÷èøB ．32sin 84y x pp æö=-ç÷èøC ．2sin 84y x pp æö=+ç÷èøD ．32sin 84y x pp æö=+ç÷èø3．为了得到sin()3y x p=-的图象，只需把函数sin y x =的图象上的所有点（）A ．向右平行移动3p个单位长度B ．向左平行移动3p个单位长度C ．向右平行移动6p个单位长度D ．向左平行移动6p个单位长度4．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S，当扇形的圆心角的弧度数为(3p 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时12S S 的值为（ ）ABCD．35）ABCD6．已知点(P 是角a 终边上一点，则cos 6p a æö-ç÷èø等于（）ABC．D7．已知221304a c +-=，则2c a +的最大值是( )A ．B ．C ．D ．8．已知函数()()sin ,04f x x x R p w w æö=+Î>ç÷èø的最小正周期为p ，将()y f x =的图象向左平移()0j j >个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则j 的一个值是（ ）A ．2pB ．38p C ．4pD ．8p二、多选题9．设函数()sin 26f x x p æö=+ç÷èø的图象为C ，则下列结论错误的是（）A ．函数()f x 的最小正周期是pB ．图象C 关于直线6x p=对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向左平移3p个单位长度得到D ．函数()f x 在区间(12p-，2p上是增函数10．已知函数()sin()0,||2f x x p w j w j æö=+><ç÷èø的部分图象如图所示，将()f x 的图象向右平移(0)a a >个单位长度，得到函数()g x ，若()g x 满足(2)()g x g x p -=，则下列结论正确的是（）A ．2w =B ．6π=j C ．sin 213a p æö-=±ç÷èøD ．a 的最小值为512p 11．如图，摩天轮的半径为40m ，其中心O 点距离地面的高度为50m ，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且20min 转一圈，若摩天轮上点P 的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（ ）A ．转动10min 后点P 距离地面10mB ．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的12C ．第17min 和第43min 点P 距离地面的高度相同D ．摩天轮转动一圈，点P 距离地面的高度不低于70m 的时间为5min12．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数sin y A t w =，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()|cos |sin |f x x x =，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的最小正周期为2pC ．()f x 在区间0,2p éùêúëû上单调递增D ．()f x 的最小值为1三、填空题13．若02pa <<，02pb -<<，1cos()43p a +=，sin()24b p +cos(2)a b +=__．14．下列关于函数51()2sin 62f x x p æö=-ç÷èø的说法中，错误的是______________.①函数()f x 的图象关于直线43x p=-对称；②函数()f x 的图象关于点,06pæöç÷èø对称；③函数()f x 在区间28,33p p éùêúëû上单调递增；④函数()()g x f x q =+是一个偶函数，则223k pq p =+，k Z Î.15．如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为q ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则22sin cos q q -的值是______．16．已知函数()()211(sin )sin 20,22f x x x R w w w w =+->Î，若()f x 在区间(),2p p 内没有零点，则w 的取值范围是_____．四、解答题17．我们知道如果点(),P x y 是角a 终边OP 上任意一点（0OP r =>），则根据三角比的定义：sin y ra =，cos xra =，因此点P 的坐标也可以表示为()cos ,sin P r r a a ．（1）将OP 绕坐标原点O 逆时针旋转3p至'OP ，求点P'的坐标()','x y ．（即分别把'x 、'y 用x 、y 表示出来）（2）将OP 绕坐标原点O 逆时针旋转j 角度至'OP ，求点P'的坐标()','x y ．（即分别把'x 、'y 用x 、y 、j 表示出来）（3）把函数()10y x x =>的图像绕坐标原点逆时针旋转4p 后，可以得到函数___________的图像．（写出解析式和定义域）18．已知函数()2sin sin cos a x b x y f x x =+=，且满足3262f f p p æöæö==ç÷ç÷èøèø.（1）求实数a 、b 的值；（2）记()y f x t =+，若函数()f x t +是偶函数，求实数t 的值.19．如图所示，摩天轮的半径为40 m ，O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮作匀速转动，每2 min 转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最高点．（1）试确定在时刻t min 时P 点距离地面的高度；（2）在摩天轮转动一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70 m.20．如图，已知O PQ 是半径为1，圆心角为3p的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形.记COP a Ð=，矩形ABCD 的面积为S .（1）求S 与a 之间的函数关系式；（2）当a 取何值时，S 最大？并求出S 的最大值.21．已知函数221()sin cos 22f x x x x =++．（1）求()f x 的周期；（2）求()f x 的严格减区间；（3）解方程()1f x =；（4）当0,4x p éùÎêúëû时，求函数()f x 的值域．22．已知函数2()2tan 1,[,22f x x x x p p q q æö=+×-Î-Î-ç÷èø．（1）当6pq =-时，求函数()f x 的最大值与最小值；（2）求q 的取值范围，使()y f x =在区间[-上是单调函数．参考答案1．C【解析】由()sin(2))2sin(23f x x x x pq q q =++=++为奇函数，所以,,33k k k Z ppq p q p +==-Î，故A ，C 符合范围，当3pq =-时，()2sin 2f x x =，不符题意，当23p q =时，()2sin 2f x x =-，在0,4éùêúëûp 上为减函数，符合题意，故选：C 2．C【解析】根据题意可得2A =，由函数的解析式函数sin()y A x w j =+，易知最高点和相邻最低点的中点在x 轴上，也为函数sin()y A x w j =+的零点，故该最低点坐标为(10,2)-，所以10282T=-=，所以16T =，所以22168T p p p w ===，所以2sin()8y x pj =+，再由最高点为(2,2)，所以sin()14pj +=，由||2j p <，所以4p j =，所以这个函数的解析式是2sin 84y x pp æö=+ç÷èø，故选：C 3．A【解析】解：由已知中平移前函数解析式为sin y x =，平移后函数解析式为：sin()3y x p=-，可得平移量为向右平行移动3p个单位长度，故选：A ．4．A【解析】由扇形的圆心角的弧度数为(3p ，()231p p p -=，故12S S ==故选：A.5．A【解析】设底角为θ，则θ∈(0,)2p，顶角为180°－2θ.∵sin θ∴cos θ23，∴sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝23=故选：A 6．A【解析】解析：由题意可得sin α，cos αcos 6p a æö-ç÷èø=cos 6p cos α+sin 6p sin α12=.故选：A 7．B【解析】解：221304a c +-=，可得22111312a c +=，令aa ，c a =．a ÎR ，可得2)4c a pa a a +=+=+…则2c a +的最大值是：故选：B ．8．D【解析】()f x Q 最小正周期为p ，2pp w \=，解得：2w =，()sin 24f x x p æö\=+ç÷èø；()y f x =图象向左平移j 个单位长度得：()sin 224f x x p j j æö+=++ç÷èø，()f x j +Q 图象关于y 轴对称，()242k k Z ppj p \+=+Î，解得：()82k k Z ppj =+Î，则当0k =时，8p j =.故选：D.9．CD【解析】解：A .由()sin 26f x x p æö=+ç÷èø知，()f x 的最小正周期为22p p =，故A 正确；B .当6x p=时，()1f x =取得最大值，故图象C 关于直线6x p=，故B 正确；C .将()g x 向左平移3p个单位得2sin 2sin 2()33y x x f x éùæöæö=+=+¹ç÷ç÷êúèøèøëûp p ，故C 不正确；D .函数()f x 的单调递增区间是,()36k k k Z p p p p éù-++Îêúëû，单调递减区间是2,()63k k k Z p p p p éù++Îêúëû，取0k =，得函数()f x 的一个单调递增区间是,36p p éù-êúëû，一个单调递减区间是2,63p p éùêúëû，故在区间,122p p æö-ç÷èø上()f x 不是单调递增的，而是先递增后递减，故D 不正确.故选：CD .10．ACD【解析】由图象可得，函数()f x 的图象过点,112p æöç÷èø，,03p æöç÷èø，所以4312T p p=-，可得T p =，因为2||T p w =，0>w ，可得2w =，由图象过点,03p æöç÷èø，且在单调递减区间内，可得sin 203p j æö´+=ç÷èø，解得22()3k k Z pj p p ´+=+Î，即2()3k k Z pj p =+Î，因为||2j p <，所以3pj =，可得()sin 23f x x p æö=+ç÷èø，所以()sin 2()sin 2233g x x a x a p p éùæö=-+=-+ç÷êúëûèø，故A 正确，B 错误；由(2)()g x g x p -=，可得()g x 的图象关于直线x p =对称，所以()sin 22sin 2133g a a p p p p æöæö=-+=--=±ç÷ç÷èøèø，C 正确；由2()32a k k Z ppp -=+Î，解得5()122k a k Z p p=+Î，又由0a >，所以min 512a p=，故D 正确．故选ACD ．11．AC【解析】解：Q 摩天轮20min 转一圈，\在(min)t 内转过的角度为22010t t p p=，建立平面直角坐标系，如图，设(02)j j p ……是以x 轴正半轴为始边，00(OP P 表示点P 的起始位置)为终边的角，以x 轴正半轴为始边，OP 为终边的角为()10t pj +，即点P 的纵坐标为40sin()10t pj +，又由题知，P 点起始位置在最高点处，\2j p =P \点距地面高度h 关于旋转时间t 的函数关系式为：5040sin()102h t pp=++即5040cos10h tp=+当10min t =时，10h =，故A 正确；若摩天轮转速减半，40T =，则其周期变为原来的2倍，故B 错误；第17min P 点距安地面的高度为173(17)40cos5040cos 501010h p p=+=+第20min P 点距离地面的高度为433(43)40cos5040cos 501010h p p=+=+第17min 和第43min 时P 点距离地面的高度相同，故C 正确；摩天轮转动一圈，P 点距离地面的高度不低于70m ，即40cos 507010t p+…，即1cos 102tp ，020t Q ……，得0210tp p ……，\0103tp p……或52310t p p p ……，解得1003t ……或50203t ……，共20min 3，故D 错误．故选：AC ．12．AD【解析】因为R x Î,()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，A 正确；()f x 显然是周期函数，因为()|cos()||sin()||cos ||sin |()f x x x x x f x p p p +=++==，所以B 错误；因为当0,2x p éùÎêúëû时，()|cos ||sin |cos 2sin 6f x x x x x x p æö===+ç÷èø，所以()f x 在区间0,3p éùêúëû上单调递增，在,32p p æùçúèû上单调递减，C 错误；因为2sin ,0,,62()2sin ,,,62x x f x x x p p p p p ìæöéù+Îç÷ïêúïèøëû=íæöæùï-Îç÷çúïèøèûî当0,2x p éùÎêúëû时，设6t x p =+，则2,63t p p éùÎêúëû，∴1sin ,12t éùÎêúëû，∴min ()1f x =，同理：当,2x p æùÎp çúèû时，min ()1f x =，由B 中解答知，p 是()f x 的周期，所以()f x 的最小值为1，D 正确.故选：AD.13．2327【解析】解：1cos()sin )43pa a a +-=Q，可得：cos sin a a -=①\两边平方可得，21sin 29a -=，解得：7sin 29a =，02p a <<Q，可得：4cos sin 3a a +==，②\由①②解得：cos 2(cos sin )(cos sin )a a a a a =-+=又sin(24b p +Qcos 22b b +，两边平方，可得：1sin 3b =-，cos b =，7123cos(2)cos 2cos sin 2sin (9327a b a b a b \+=--´-=．故答案为：2327．14．②③【解析】对于①，451432sin 2sin 236232f p p p p éùæöæö-=-´-==-ç÷ç÷êúèøèøëû，故①正确；对于②，5132sin 2sin 066264f p p p p æöæö=-´==¹ç÷ç÷èøèø，故②错误；对于③，5115()2sin 2sin 6226f x x x p p æöæö=-=--ç÷ç÷èøèø，当28,33x p p éùÎêúëû时，15,2622x p p p éù-Î-êúëû，函数()f x 单调递减，故③错误；对于④，()()5151()2sin 2sin 62622g x f x x x p p q q q éùæö=+=-´+=--ç÷êúëûèø，函数()g x 是偶函数，所以5622k p q p p -=-+，k Z Î，即223k p q p =+，k Z Î，故④正确.故答案为：②③.15．725-【解析】Q 大正方形的面积是1，即大正方形的边长为1，则由题可得每个直角三角形的长直角边为cos q ，短直角边为sin q ，所以小正方形的边长为cos sin q q -，Q 小正方形的面积是125，()21cos sin 25q q \-=，1cos sin 5q q \-=，()21cos sin 12sin cos 25q q q q -=-=Q ，则12sin cos 25q q =，()249cos sin 12sin cos 25q q q q \+=+=，则7cos sin 5q q +=，()()22177sin cos sin cos sin cos 5525q q q q q q \-=-+=-´=-.故答案为：725-.16．115(0,][,16816U 【解析】()2111cos 211(sin )sin 2sin 222222x f x x x x w w w w -=+-=+-4x p w =-．由()0f x =，可得24k x pw p -=，解得82k x p p w w=+，k Z Î．因为()f x 在区间(),2p p 内没有零点，所以()2,28k x p p w w p p =+Ï，且2T ³p ，即()2,28k x p p w w p p =+Ï且102w <≤，因为0>w ，分别取0k =，1,2,3¼，11599115(,)(,)(,)(,)(,)168168168168165w \ÏÈÈȼ=È+¥，115(0,][,]16816w \ÎU ∴w 的取值范围是115(0,][,16816U ，故答案为：115(0,[,]16816U ．17．（1）1'2x x y =；1'2y x y =+；（2）co in 's s x x y j j =-；'cossin y y x j j =+；（3）)y x R =Î．【解析】'OP OP r ==，（1）'cos 3x r pa æö=+ç÷èø11cos sin '22r x xy a a =Þ=；同理，1'sin 32y r y p a æö=+=+ç÷èø；（2）'cos()cos cos sin sin x r r r a j a j a j =+=-，故co in 's s x x y j j =-；同理，'sin()cos sin y r y x a j j j =+=+；（3）在（2）中令4p j =得'cos sin44x x y pp =-，可得1')x x y x xö=-=-÷ø，同理，1'y x x ö=+÷ø，因此，22''1y x -=，所以，函数为)y x R =Î．18．（1）2a =，b =（2）3πt ，k ÎZ .【解析】（1）由题意264322a f f a p p ìæö==ïç÷ïèøíæöï==ç÷ïèøî，所以2,a b ==.（2）由（1）()22sin cos 1cos 222sin(2)16πx x x x x f x x =+=-=-+所以()2sin(2216f x t x t p +=+-+，因为()f x t +是偶函数，所以2()62t k k Z ppp -=+Î，所以()32k t k Z pp =+Î19．（1）5040cos t p +；（2）有2min 3P 点距离地面超过70 m.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，（1）设()02j j p ££是以Ox 为始边，0OP 为终边的角，OP 在t min 内转过的角为22t p ，即t p ，∴以Ox 为始边，OP 为终边的角为t p j +，即P 点纵坐标为()40sin t p j +，∴P 点距地面的高度为()()5040sin 02z t p j j p =++££，由题可知，2j p =，∴5040cos z t p =+.（2）当5040cos 70t p +³时，解之得，1122,33k t k k Z -££+Î，持续时间为2min 3即在摩天轮转动一圈内，有2min 3点距离地面超过70 m.20．（1）2063S p p a a æöæö=+<<ç÷ç÷èøèø；（2）6p a =时，S 最大【解析】（1）在Rt OBC △中，cos OB a =，sin BC a =，在Rt OAD △中，tan 60DA OA =°=∴OA BC a ===，∴cos AB OB OA a a =-=，∴2cos sin sin cos AB BC S a a a a a a æö×==ç÷ç÷èø=1sin 2cos 2)2a a =-1sin 222a a =12cos 22a a ö=+÷÷ø2063p p a a æöæö=+<<ç÷ç÷èøèø.（2）由03pa <<得52666ppp a <+<，所以当262p p a +=，即6p a =时，S ==最大21．（1）T p =；（2）2,,63k k k p p p p éù++ÎêúëûZ ；（3）,,3x k k k p p p =+ÎZ ；（4）51,4éùêúëû.【解析】221()sin cos 22f x x x x =+11cos 21cos 22222x x x -+=+3cos 2244x x =+13sin(2)264x p =++，（1）周期为：22p p =；（2）令3222,262k x k k Z ppp p p +<+<+Î，解得2,63k x k k p p p p +<<+ÎZ ，所以()f x 的严格减区间为2,,63k k k p p p p éù++ÎêúëûZ ；（3）由()1f x =，得1sin(262x p +=，所以2266x k ppp +=+，或52266x k pp p +=+，解得x k p =或,3k k pp +ÎZ ；（4）当0,4x p éùÎêúëû，则22,663x p p p éù+Îêúëû，此时1sin(2),162x p éù+Îêúëû，所以函数()f x 的值域为51,4éùêúëû22．（1）max min 4()()3f x f x ==-；（2）,,2342p p p p q æùéöÎ--ç÷êèûëøU ．【解析】（1）当6p q =-时，2224()2tan()11(63f x x x x x x p =+×--=-=-，[x Î-Q ，当x =时，()f x 取最小值为43- ，当1x =- 时，()f x ；（2）222()2tan 1=(+tan )1tan f x x x x q q q =+×---的图像的对称轴为tan x q =- ，要使()y f x =在区间[-上单调，那么tan 1q -£-，或tan q -³tan 1q ³或tan θ£，又,22p p q æöÎ-ç÷èø，所以,,2342p p p p q æùéöÎ--ç÷úêèûëøU .。

【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第五章教案教学设计+课后练习及答案5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

2022-2023学年高中高一上数学普通考试学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：95 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 命题：“，”，则为( )A.，B.，C.，D.，2. 已知为圆周率，为自然对数的底数，则（）A.B.C.D.3. 下列式子中不能表示函数的是（ ）A.B.C.D.4. “”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件P ∃>0x 0sin <x 0x 0¬P ∃≤0x 0sin >x 0x 0∀x ≤0sin x ≥x∃>0x 0sin ≥x 0x 0∀x >0sin x ≥xπe =2.71828⋯<πe 3eπe >3elog 3log ππ<33e−2πe−2e >elog πlog 3y =f(x)x =+1y 2y =2+1x 2x −2y =6x =y√ln a >ln b <1a 1bD.既不充分也不必要条件5. 定义：区间的长度．若函数的定义域与值域都是，则区间取最大长度时，非零实数的值为（ ）A.B.C.D.6. 将抛物线＝如何平移可得到抛物线＝ A.向左平移个单位，再向上平移个单位B.向左平移个单位，再向下平移个单位C.向右平移个单位，再向上平移个单位D.向右平移个单位，再向下平移个单位7. 函数，的图象过定点( )A.B.C.D.8. 下列结论表述正确的是( )A.若，，则恒成立B.若，，则恒成立C.若，，则成立D.函数的最小值为二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）[,](>)x 1x 2x 2x 1l =–x 2x 1f(x)=1+−12λ14xλ2[m,n][m,n]λ13–√32332y 2x 2y 2(x −4−1()2)41414141y =+1a x−1(a >0a ≠1)(0,0)(0,1)(1,1)(1,2)a b ∈R +>2ab a 2b 2a b ∈R +≥2ab ba a >0b >0≤a +b 2+a 2b 22−−−−−−√y =x +(x ≥3)1x −13b ∈R9. 设，，则下列不等式一定成立的是（ ）A.B.C.D.10. 下列四组函数，不表示同一个函数的是( )A.，B.，C.，D.，11. 已知函数＝的值域是，则其定义域可能是（ ）A.B.C.[]D.12. 关于函数的性质的描述，正确的是（ ）A.的定义域为B.有一个零点C.的图象关于原点对称D.的值域为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若关于的不等式的解集是，则实数________.a b ∈R +≥2aba 2b 2a +≥21a+1≥2bb 2||+||≥2b a a bf (x)=x g(x)=x 3−−√3f (x)=1g(x)=x 0f (x)=x g(x)=x 2xf (x)=x g(x)=x 2−−√y −2x +2x 2[1,2][0,1][1,2][−1,1]f (x)=|(1−2)|log 2|−1|−1f (x)(−1,0)∪(0,1)f (x)f (x)f (x)(−∞,0)x a −6x +<0x 2a 2(1,m)m =14. 若＝+的定义域为________．15. 若命题“对任意实数 ”是真命题，则实数的取值范围是________.16. 函数的定义域是________.四、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ） 17. 计算：；． 18. 为了预防传染性疾病，某商场对公共区域用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（）与时间（）成正比，药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数）. 如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（）与时间（）之间的函数关系式；据测定，当空气中每立方米的含药量降低到以下时，顾客方可进入商场，那么从药物释放开始，至少需要经过多长时间商场可恢复营业？ 19. 已知二次函数满足条件，任给都有恒成立．求的解析式；求在上的最值．f(x)x,2x >m(+1)x 2m f (x)=+ln(x −1)3−x−−−−−√(1)−(+×(−(−8)3−−−−−√312)00.25122–√2)−4(2)+lg25log 327−−√+lg4−+8⋅72log 7log 3log 43–√3y mg t h y t y =(116)t−a a (1)y mg t h (2)0.25mg f (x)f (0)=1x ∈R f (x +1)−f (x)=2x (1)f (x)(2)f (x)[−1,1]参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一上数学普通考试一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】命题的否定全称命题与特称命题【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：因为特称命题的否定为全称命题，所以的否定为：，.故选．2.【答案】B【考点】对数函数的图象与性质【解析】本题考查指数函数、对数函数、幂函数的性质及比较大小.【解答】解：对于，∵函数是上的增函数，且，∴，错误；对于，，正确；对于，，而函数是上的减函数，错误；对于，，而函数是上的增函数，错P ∀x >0sin x ≥x D A y =x e (0，+∞)π>3>πe 3e A B πe >3e ⇔>log 3log ππln 33ln π⇔πln π>3ln 3⇔>ππ33B C π<3⇔<3e−2πe−23e−3πe−3y =x e−3(0,+∞)C D e >e ⇔>⇔ln π<ln 3log πlog 31ln π1ln 3y =ln x (0,+∞)D误.综上.故选.3.【答案】A【考点】函数的概念【解析】根据函数的定义即可得到结论．【解答】解：当时，，不满足值的唯一性，不能构成函数，其他选项都满足函数的定义.故选.4.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由对数不等式的解法与对数的运算性质结合充分必要条件的判定得答案．【解答】解：由，得，故，反之，由，不一定得到，当，时，不能取对数．故“”是“”的充分不必要条件．故选.5.【答案】D【考点】ln πln 3B x =+1y 2y =±x −1−−−−−√y A A ln a >ln b a >b >0<1a 1b <1a 1b ln a >ln b a =−1b =1−1ln a >ln b <1a 1b A函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：因为是函数的定义域，且，所以或．因为函数在上单调递增，且值域为，所以故，是方程的同号的相异实数根，即，是方程的同号的相异实数根．因为，所以，同号，故只需，所以或，，所以当时，取得最大值，且最大值为．故选．6.【答案】D【考点】二次函数的图象【解析】只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．【解答】原抛物线的顶点坐标为，新抛物线的顶点坐标为，说明原抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位可得到新抛物线．7.【答案】[m,n]f(x)x ≠0[m,n]⊆(−∞,0)[m,n]⊆(0,+∞)f(x)=1+−12λ14xλ2[m,n][m,n]{f(m)=m ，f(n)=n ，m n 1+−=x 12λ14xλ2m n 4−2λ(2λ+1)x +1=0λ2x 2mn =>014λ2m n Δ=4(2λ+3)(2λ−1)>0λ2λ>12λ<−32n −m =(m +n −4mn )2−−−−−−−−−−−−−√=−3+(−)12λ13243−−−−−−−−−−−−−−−−√λ=32n −m 23–√3D (0,0)(4,−1)41D【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】令求出x 的值，即可求出结果.【解答】解：令得，所以，所以函数过定点.故选.8.【答案】C【考点】基本不等式及其应用基本不等式【解析】利用基本不等式的条件，逐个判断即可.【解答】解：，当时，，故选项错误；，当时，此时，故选项错误；，若，，要使成立，只需要成立，整理，得，显然成立，故选项正确；，由，得，则，当且仅当，即时，取等号，又，则无法取到最小值，故选项错误.故选.x −1=0x −1=0x =1y =+1=2a 0y =+1a x−1(1,2)D A a =b +=2ab a 2b 2A B a =−b =1+=−2a b b a B C a >0b >0≤a +b 2+a 2b 22−−−−−−√≤(a +b)24+a 2b 22≥0(a −b)2C D x ≥3x −1 2y =x +=x −1++11x −11x −1≥2+1=3(x −1)⋅1x −1−−−−−−−−−−−−√x −1=1x −1x =2x ≥33D C二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,C【考点】不等式的基本性质【解析】利用重要不等式和基本不等式判断各选项即可．【解答】．∵，，∴＝，∴，故正确；．∵，，取＝＝，可知错误；．∵，∴＝，∴，故正确；．∵，，∴当＝＝时，不成立，故错误．10.【答案】B,C,D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】由题意利用函数的三要素，判断两个函数是否为同一个函数，从而得出结论．【解答】解：，两个函数定义域相同，解析式等价化简都是，所以是同一个函数；，定义域是， 的定义域是，所以不是同—函数；，的定义域不同，前者为，后者为，所以不是同—函数；，，它们的对应关系不同，所以不是同—函数,故选.11.【答案】A,B,C【考点】A a b ∈R +−2ab a 2b 2(a −b ≥0)2+≥2ab a 2b 2AB a b ∈R a b −1BC b ∈R +1−2b b 2(b −1≥0)2+1≥2b b 2CD a b ∈R a b 0||+||≥2b a a b D A f(x)=x B f (x)R g(x){x|x ≠0}C f (x)=x,g(x)=x 2x R {x|x ≠0}D f (x)=x,g(x)==|x|x 2−−√BCD函数的定义域及其求法函数的值域及其求法【解析】先由＝或＝，求出对应的的值，结合函数的值域进行判断即可．【解答】由＝＝得＝，即＝，得＝，由＝＝得＝，即＝或＝，即定义域内必须含有，且＝，＝至少含有一个，设定义域为，若＝，则，则成立，若＝，则，则，成立，12.【答案】A,C【考点】函数的定义域及其求法函数的值域及其求法函数解析式的求解及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】由题意，函数有意义，则满足}解得且即函数的定义域为，所以正确．因为的定义域为所以=由得注意没有零点，所以．不正确．由上可知的定义域为，可得=则满足，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以正确．当时，所以=f(x)1f(x)2x y −2x +2x 21−2x +1x 20(x −1)20x 1y −2x +2x 22−2x x 20x 0x 21x 0x 2[a,b]a 01≤b ≤2A b 20≤a ≤1B C AC f (x)=|(1−)|log 2x 2|x −1|−1{|x −1|−1≠01−≥0,x 2−1<x <1x ≠0f (x)(−1,0)∪(0,1)A f (x)(−1,0)∪(0,1)f (x)=|(1−)|log 2x 2|x −1|−1|(1−)|log 2x 2−x f (x)=0(1−)=0log 2x 2x ≠0,f (x)B f (x)(−1,0)∪(0,1)f (x)=|(1−)|log 2x 2|x −1|−1|(1−)|log 2x 2−x f (−x)=−f (x)f (x)C x ∈(0,1)1−∈(0,1)x 2f (x)=|(1−)|log 2x 2|x −1|−1|(1−)|2又由函数为奇函数，可得的值域为所以不正确．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：因为的解集是，所以和是方程的两个不相等的解，且开口向上，即，解得故答案为：.14.【答案】【考点】函数的定义域及其求法【解析】由根式内部的代数式大于等于，分式的分母不为联立不等式组得答案．【解答】|(1−)|log 2x 2−x =(1−)∈(−∞,0)log 2x 2f (x)f (x)(−∞,0)∪(0,+∞)D 2a −6x +<0x 2a 2(1,m)x =1x =m a −6x +=0x 2a 2 a −6+=0，a 2a −6m +=0m 2a 2a >0m >1{a =2，m =2，2[−2,4)∪(4,+∞)00由，解得且．∴函数＝+的定义域为．15.【答案】【考点】不等式恒成立问题一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得对于任意恒成立，∴解得.故答案为：.16.【答案】【考点】函数的定义域及其求法【解析】利用二次根式的被开方数为非负数，对数的真数大于零列不等式组求解即可.【解答】解：要使函数有意义，则且，解得，∴函数的定义域为.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）17.x ≥−2x ≠4f(x)[−2,+∞)m <−1m −2x +m <0x 2x {m <0,4−4<0,m 2m <−1m <−1(1,3]f (x)=+ln(x −1)3−x−−−−−√3−x ≥0x −1>01<x ≤3(1,3](1,3]【答案】解：原式.原式．【考点】有理数指数幂的化简求值分数指数幂对数及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：原式.原式．18.【答案】解：由题知，当时，与成正比，且过点，所以斜率为，所以；又因为点在曲线上，所以，所以，所以；所以与之间的函数关系式为：可知，因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于毫克，顾客也不能进入商场，(1)=−8−1+×(−=−7122–√)4(2)=+lg(25×4)−2+⋅log 3332log 323log 22313=+lg100−2+(32)⋅(3)32log 316log 2=+2−2+3212=2(1)=−8−1+×(−=−7122–√)4(2)=+lg(25×4)−2+⋅log 3332log 323log 22313=+lg100−2+(32)⋅(3)32log 316log 2=+2−2+3212=2(1)0≤t ≤0.1y t (0.1,1)k ==1010.1y =10t(0≤t ≤0.1)(0.1,1)y =(116)t−a 1=(116)0.1−a a =0.1y =((t >0.1)116)t−0.1y t y = 10t(0≤t ≤0.1)，((t >0.1).116)t−0.1(2)y <0.25=140.25所以，只能当药物释放完毕，室内药量减少到毫克以下时顾客方可进入商场，即，且，解得.所以从药物释放开始，至少需要经过小时，商场才能恢复营业．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法分段函数的应用【解析】（1）利用函数图象，借助于待定系数法，求出函数解析法，进而发现函数性质；（2）根据函数解析式，挖掘其性质解决实际问题．【解答】解：由题知，当时，与成正比，且过点，所以斜率为，所以；又因为点在曲线上，所以，所以，所以；所以与之间的函数关系式为：可知，因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于毫克，顾客也不能进入商场，所以，只能当药物释放完毕，室内药量减少到毫克以下时顾客方可进入商场，即，且，解得.所以从药物释放开始，至少需要经过小时，商场才能恢复营业．19.【答案】解：设()，则，∴由题意知，恒成立，∴，，，解得，，，∴．在上单调递减，在上单调递增0.25(<0.25116)t−0.1t >0.1t >0.60.6(1)0≤t ≤0.1y t (0.1,1)k ==1010.1y =10t(0≤t ≤0.1)(0.1,1)y =(116)t−a 1=(116)0.1−a a =0.1y =((t >0.1)116)t−0.1y t y = 10t(0≤t ≤0.1)，((t >0.1).116)t−0.1(2)y <0.25=140.250.25(<0.25116)t−0.1t >0.1t >0.60.6(1)f (x)=a +bx +c x 2a ≠0f (x +1)−f (x)=a +b (x +1)+c−(x +1)2(a +bx +c)x 2=2ax +a +b c =12ax +a +b =2x 2a =2a +b =0c =1a =1b =−1c =1f (x)=−x +1x 2(2)f (x)=−x +1=+x 2(x −)12234[−1,]12[,1]12=f ()=13∴，．【考点】函数解析式的求解及常用方法二次函数在闭区间上的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：设()，则，∴由题意知，恒成立，∴，，，解得，，，∴．在上单调递减，在上单调递增∴，．f =f ()=(x)min 1234f =f (−1)=3(x)max (1)f (x)=a +bx +c x 2a ≠0f (x +1)−f (x)=a +b (x +1)+c−(x +1)2(a +bx +c)x 2=2ax +a +b c =12ax +a +b =2x 2a =2a +b =0c =1a =1b =−1c =1f (x)=−x +1x 2(2)f (x)=−x +1=+x 2(x −)12234[−1,]12[,1]12f =f ()=(x)min 1234f =f (−1)=3(x)max。

1.A.{1,4}:由已知可得U={1,2,3,4,5},A ∪B={1,3,5},故∁U (A ∪B )={2,4}.:C2.函数y=-1+l ≥4)的值域是( )og 14x (xA.(-∞,-2]B.(-∞,0]C.[-2,+∞)D.[2,+∞):∵函数y=-1+l [4,+∞)上单调递减,og 14x 在≤-1+log 144=‒2,所求函数的值域为(-∞,-2].:A3.A.(-∞4.5.(12) B .(12,1) C .(1,32) D .(32,2):∵f(12)=e 12‒2<0,f (1)=e ‒1>0,·f (1)<0,∴函数f (x )=e x12)‒1x 的零点所在的区间是(12,1).:B6.设a=70.3,b=0.37,c=log 70.3,则a ,b ,c 的大小关系是( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a:∵a=70.3>1,0<b=0.37<1,c=log 70.3<0,7.A.f (∴f(x)的图象关于y轴对称.又当x<0时,y=f(x)是减函数,∴当x>0时,y=f(x)是增函数.∴当|x1|<|x2|时,f(|x1|)<f(|x2|),即f(x1)<f(x2),即f(x1)-f(x2)<0.答案:A8.已知一次函数f(x)=kx+b的图象过第一、第二、第三象限,且f(f(x))=9x+8,则f(2)等于( )A.-10B.-4C.2D.8解析:∵f(x)=kx+b,∴f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b.又f(f(x))=9x+8,∴{k2=9,kb+b=8,解得{k=3,b=2或{k=-3,b=-4.∴f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4.又f(x)的图象过第一、二、三象限,∴f(x)=3x+2,∴f(2)=8.答案:D9.已知函数f(x)=log a(2x+b-1)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是( )A.0<a-1<b<1B.0<b<a-1<1C.0<b-1<a<1D.0<a-1<b-1<1解析:由题图,可知函数f(x)在R上单调递增,故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0,log a b),由题图可知-1<log a b<0,得a-1<b<1.综上,0<a-1<b<1,选A.答案:A10.给出下列集合A到集合B的几种对应:其中,是从A到B的映射的有( )A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④解析:根据映射的定义知,③中集合A中的元素a对应集合B中的两个元素x,y,则此对应不是映射;④中集合A中的元素b在集合B中没有对应元素,则此对应也不是映射.仅有①②符合映射的定义,故①②是映射.答案:A11.某企业去年销售收入1 000万元,年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分.若年利润必须按p%纳税,且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税,其他不纳税.已知该企业去年共纳税120万元,则税率p%为( )A.10%B.12%C.25%D.40%解析:利润300万元,纳税300·p%万元,年广告费超出年销售收入2%的部分为200-1 000×2%=180(万元),纳税180·p%万元,12.①② B.②③ C.③④ D.①④:分别画出它们的图象,可知函数y y=log 2x 满y=x 2与函数=x 与函数足f(x 1+x 22)>f (x 1)+f (x 2)2;函数满足f(x 1+x 22)<f (x 1)+f (x 2)2.:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若幂函数f (x )的图象过点(3,427),则f (x )的解析式是____________________.:设f (x )=x α,则由已知得3α=427=334,=3,∴f (x )=x 34.14.解析15.x<0时,f (x )=-1-ln(-x ).:-1-ln(-x )16.已知函数f (x )={log 2x ,x >0,3x ,x ≤0,且函数ℎ(x )=f (x )+x ‒a 有且只有一个零点,则实数a 的取值范围是___________________.:由题意可画出函数f (x ),如图所示,函数h (x )=f (x )+x-a 有且只有一个零点,={log 2x ,x >0,3x ,x ≤0的图象)的图象与y=a-x 的图象有且只有一个交点,显然当a>1时满足条件.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.18.(1)当若(∁R A )∩B=B ,求实数m 的取值范围.(1)1<x ≤3,即集合A=(1,3];由{x -1>0,3-x ≥0,得-4≤0,得2x ≤22,x ≤2,即集合B=(-∞,2].∩B=(1,2],A ∪B=(-∞,3].由(1)得∁R A={x|x>3,或x ≤1}.R A )∩B=B ,∴B ⊆∁R A.B=⌀,则m ≥0;B ≠⌀,则m<0,∴2x ≤-m.∴x ≤log 2(-m ).19.680(0≤x ≤210).(x ‒220)2+1f (x )在区间[0,210]上是增函数,所以当x=210时,f (x )有最大值680=1 660.故当年产量为210吨时,可获得最大利为‒15(210‒220)2+11 660万元.20.(12分)已知函数f (x )是定义在区间[-1,1]上的奇函数,若当x ,y ∈[-1,1],x+y ≠0时,有(x+y )·[f (x )+f (0.比较f(12)与f (13)的大小;判断f (x )的单调性,并加以证明;0≤x{-1≤x +12≤1,-1≤1-2x ≤1,x +12<1-2x ,解得<16.即不等式f (x +12)<f (1‒2x )的解集为[0,16).21.(12分)设f (x )=l .og 121-ax x-1为奇函数,a 为常数(1)求a 的值;证明f (x )在区间(1,+∞)内单调递增;若对于区间[3,4]上的每一个x 的值,不等式f (x )>+m 恒成立,求实数m 的取值范围.(12)x (1)∵f (-x )=-f (x ),<0,1)(x 2+1)0<<1,lo >0,(x 1+1)(x 2-1)(x 1-1)(x 2+1)g 12(x 1+1)(x 2-1)(x1-1)(x 2+1)x 1)>f (x 2).x )在区间(1,+∞)内单调递增.设g (x )=lo,则g (x )在区间[3,4]上为增函数.∴g (x )>m 对x ∈[3,4]恒成立,g 12x +1x-1‒(12)x m<g (3)=-.98实数m 的取值范围是m<-.9822.①有且仅有故只需{Δ=4m 2-4(3m +4)>0,(x 1+1)+(x 2+1)>0,(x 1+1)(x 2+1)>0⇔{m 2-3m -4>0,-2m +2>0,3m +4+(-2m )+1>0⇔{m <-1或m >4,m <1,m >-5.故m 的取值范围是-5<m<-1.(2)F (x )=|4x-x 2|+a 有4个零点,即|4x-x 2|+a=0有4个实数根,即|4x-x 2|=-a 有4个实数根.令g (x )=|4x-x 2|,h (x )=-a.在同一坐标系中作出g (x )和h (x )的图象,如图所示.由图象可知要使|4x-x 2|=-a 有4个实数根,则需g (x )的图象与h (x )的图象有4个交点,故0<-a<4,即-4<a<0.所以实数a 的取值范围为-4<a<0.。

第五章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知π3cos 25ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且π2ϕ＜，则tan ϕ为（ ）A .43-B .43C .34-D .342.设tan 3α=，则()()sin π+cos π=ππsin cos 22αααα--⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A .3B .2C .1D .1-3.若点2π2πsin cos 33⎛⎫ ⎪⎝⎭在角α的终边上，则sin α的值为（ ） A .12-B .C .12D4.已知sin cos x x +=，()0πx ∈，，则tan x =（ ）A .BCD .5.已知函数()()πsin 02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＜的部分图象如图，则20161π6n n f =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑（ ）A .1-B .0C .12D .16.已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）A .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C7.设函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）A .()f x 的一个周期为2π-B .()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C .()πf x +的一个零点为π6x =D .()f x 在ππ2⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减8.定义行列式运算12142334a a a a a a a a =-.将函数()sin cos xf x x 的图象向左平移()0n n ＞个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为（ ）. A .π6B .5π6C .π3D .2π39.已知函数()sin f x x x =，当[]0πx ∈，时，()1f x ≥的概率为（ ）A .13B .14C .15D .1210.设函数()()2sin f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω＞，πϕ＜.若5π28f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A .23ω=，π12ϕ= B .23ω=，11π12ϕ=- C .13ω=，11π24ϕ=-D .13ω=，7π24ϕ=11.若π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭1sin 22αβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()cos αβ+的值为（ ）A.B .12-C .12D12.已知π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数()sin tan cos cot f x x x x x =+的值域为（ ）A .[)12，B.)+∞C.(D .[)1+∞，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.）13.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则()cos αβ-=________.14.函数()23πsin 042f x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，的最大值是________.15.已知函数()πsin 04y x ωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞是区间3ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的增函数，则ω的取值范围是________.16.已知关于x 的函数()22π2sin 42cos tx x xf x x x⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，则实数t 的值为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A ,B ，若点A,点B.（1）求()cos αβ-的值；（2）求αβ+的值.18.（本小题满分12分）设函数()()()sin 2π0f x x ϕϕ=+-＜＜，()y f x =的图象的一条对称轴是直线π8x =.（1）求ϕ的值；（2）求函数()y f x =的单调递增区间；（3）在图中画出函数()y f x =在区间[]0π，上的图象.19.（本小题满分12分）设函数()ππsin sin 62f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中03ω＜＜.已知π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求ω；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在π3π44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值.20.（本小题满分12分）已知函数()()21sin 2co 3tan s 262f x m x x x f αα==--∈=-R ，若.（1）求实数m 的值及函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在[]0π，上的递增区间.21.（本小题满分12分）已知函数()23cos cos 2f x x x x =++. （1）当ππ63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，求函数()y f x =的值域；（2）已知0ω＞，函数()π212x g x f ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，若函数()g x 在区间2ππ36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，求ω的最大值.22.（本小题满分12分）函数()()πsin 02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＜在它的某一个周期内的单调减区间是5π11π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. （1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =的图象先向右平移π6个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为()g x ，若对于任意的π3π88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，不等式()1g x m -＜恒成立，求实数m 的取值范围.第五章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】π3cos 25ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，3sin 5ϕ∴-=，3sin 5ϕ=-.又π2ϕ＜，4cos 5ϕ∴=，sin 3tan cos 4ϕϕϕ∴==-. 2.【答案】B 【解析】()()sin πcos πsin cos tan 1312ππcos sin 1tan 13sin cos 22αααααααααα-+-------====---⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.3.【答案】A【解析】2πcos21sin cos π.32yrα===-4.【答案】D【解析】因为()0πx∈，，sin cos πn 4x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且0sin cos 1x x +=＜，所以π3ππ44x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，π3π24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，由sin cos x x +=，两边平方得2sin cos x x=，即sin 2x =，所以2π3x =，tan x =.故选D .5.【答案】B【解析】由题意得2π5ππ244126T ωω==-⇒=，又πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π2ϕ＜，所以π6ϕ=，因为πππsin 636n n f ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，该函数的周期为6，一个周期的和为零，所以20161π06n n f =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，故选B . 6.【答案】D【解析】22π2πππ:sin 2cos 2cos 23326C y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍得到曲线cos 2y x =，再将所得曲线向左平移π12个单位长度得到曲线2C . 7.【答案】D【解析】函数的最小正周期为2π2π1T ==，则函数的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确； 令()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =可得()y f x =的图象关于直线83x π=对称，选项B 正确； ()ππcos πcos 33f x x x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数的零点满足()πππ+32x k k +=∈Z ，即()ππ+k 6x k =∈Z ，取0k =可得()πf x +的一个零点为π6x =，选项C 正确； 当ππ2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，π5π4π363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，函数在该区间不单调，选项D 错误.8.【答案】B【解析】由题意可知()πsin 2cos 6f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移n 个单位长度后得到π2cos 6y x n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，π2cos 6y x n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 为偶函数，ππ6n k ∴+=，又0n ＞，n ∴的最小值为5π6. 9.【答案】D【解析】由()πsin 2sin 13f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭≥及[]0πx ∈，，得π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以所求概率为π12π2P ==，故选D . 10.【答案】A【解析】由题意125ππ2π,8211ππ,8k k ωϕωϕ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩其中1k ，2k ∈Z ，所以()2142233k k ω=--，又2π2πT ω=，所以01ω＜＜，所以23ω=，112π+π12k ϕ=，由πϕ＜，得π=12ϕ，故选A . 11.【答案】B【解析】π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，πππ00024242αββ∴--＜＜，＜＜，-＜-，ππππ422224βααβ∴----＜，＜＜.又1sin 0cos 0222αββα⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，ππ02222αββα∴--＜-＜0，＜＜，1cos sin 222αββα⎛⎫⎛⎫∴-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，coscos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫∴=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 2222βαβααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111222⎛⎫=+⨯-=- ⎪⎝⎭， ()21cos 2cos 122αβαβ+∴+=-=-.12.【答案】B【解析】()sin tan cos cot f x x x x x =+()()()22233sin cos sin cos 3sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos x x x x x x x x x xf x x x x xx x⎡⎤++-+⎣⎦∴=+==设2π1sin cos sin cos 42t t x x x x x -⎛⎫=++⇒= ⎪⎝⎭.(πππ3ππ0sin 124444x x x t ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈∴+∈⇒+∈⇒∈⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎦，，，， ()(2232213231112t t t t t f t t t t ⎛⎫--⨯ ⎪-⎝⎭∴==∈--， ()()422301t f t t--'∴=-，()f t ∴在区间(上单调递减，()3min f x f-===.二、13.【答案】79-【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以()π+2πk k αβ+=∈Z ，所以1sin sin 3βα==，cos cos αβ=-.则()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-.14.【答案】1【解析】()222311cos cos cos 144f x x x x x x ⎛=--=-+=-+ ⎝⎭，由π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得[]cos 01x ∈，，当cos x =时，函数()f x 取得最大值1. 15.【答案】1590434⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，∪，【解析】因为3π0π4x ω＞且≤≤，所以π3ππππ4444x ωωω+++≤，结合正弦函数的图象可知ππ0π42ω+＜或π3π3π442π5ππ42ωω⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≥，，解之得104ω＜≤或5934ω≤≤.16.【答案】1【解析】函数()2222π22sin 42cos 2cos tx x x x tx x xf x x x x x ⎫⎛⎫+⎪++ ⎪⎝⎭⎝⎭==++()()2222cos sin sin 2cos 2cos t x x t x x t x x t x xx x++++==+++.令()2sin 2cos t x x g x x x +=+，则()()2sin 2cos t x xg x g x x x +-=-=-+.设()g x 的最大值为M ，最小值为N ，则0M N +=，即有t M a +=，t N b +=，222a b t M N t +=++==，解得1t =. 三、17.【答案】因为锐角α的终边与单位圆交于A ，且点A，所以，由任意角的三角函数的定义可知cos α=，从而sin a ==.（2分） 因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B 的纵坐标是，所以sin β=，从而cos β==4分） （1）()cos cos cos sin sin αβαβαβ⎛-=+=+= ⎝⎭.（6分） （2）()sin sin cos cos sin αβαβαβ⎛+=+== ⎝⎭.（8分）因为α为锐角，β为钝角，故π3π22αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，所以3π4αβ+=.（10分） 18.【答案】（1） 直线π8x =是函数()y f x =的图象的一条对称轴， πππsin 2 1.π842k k ϕϕ⎛⎫∴⨯+=±∴+=+∈ ⎪⎝⎭Z . 3ππ04ϕϕ--∴= ＜＜，.（3分） （2）由（1）知3π4ϕ=-，因此3πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令π3ππ2π22π242k x k k --+∈Z ≤≤. 解得函数3πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为π5πππ88k k k ⎡⎤∈⎢⎣+⎥⎦+Z ，，.（7分） （3）由3πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭知（10分）故函数()y f x =在区间[]0π，上的图象如图.（12分）19.【答案】（1）因为()ππsin sin 62f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1cos cos 23cos 21sin 2π.3f x x x x x x x x x ωωωωωωωω=--=-⎫=-⎪⎪⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3分） 由题设知π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以πππ63k k ω-=∈Z ，.故62k k ω=+∈Z ，， 又03ω＜＜，所以2ω=.（5分）（2）由（1）得()π23f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以()πππ4312g x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为π3π44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ2π1233x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，， 当ππ123x -=-，即π4x =-时，()g x 取得最小值32-.（12分） 20.【答案】（1）()22212tan 11tan 11sin 2cos 211 1.21tan 21tan 26f m m ααααααα--=--=⋅-⋅-=--++ 又()31131262626f α-=--=- ，.即m =.（4分） 故()1π2cos 21sin 2126f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（6分） （2）()f x 的递增区间是πππ2π22π262k x k k --+∈Z ≤≤，， ππππ63k x k k ∴-+∈Z ≤，， ∴函数()f x 在[]0π，上的递增区间是π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，5ππ6⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（12分）21.【答案】（1）()1cos 23π2sin 22226x f x x x +⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭.（2分） ππ63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，ππ5π2666x ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，， 1πsin 2126x ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭≤， ∴函数()y f x =的值域为332⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.（4分） （2）()ππsin 22123x g x f x ωω⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当2ππ36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，π2ππππ33363x ωωω⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，.（6分） ()g x 在2ππ36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，且0ω＞， 2ππππππ2π2π336322k k k ωω⎡⎤⎡⎤∴-++⊆-++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z ，，，， 即2πππ2π332πππ2π632k k k k ωω⎧-+-+∈⎪⎪⎨⎪++∈⎪⎩Z Z ，，≤，， 化简得534112k k k k ωω⎧-∈⎪⎨⎪+∈⎩Z Z ≤，，≤，，（10分） 0ω ＞，151212k ∴-＜＜，k ∈Z ， 0k ∴=，解得1ω≤，因此ω的最大值为1.（12分） 22.【答案】（1）由题意知，11π5ππ212122T =-=，2ππω∴=，2ω∴=. 又5πsin 2112ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，π2ϕ＜.3πϕ∴=-， ()f x ∴的解析式为()sin 2π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（4分）（2）将()y f x =的图象先向右平移π6个单位长度，得到2πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍后，得到函数2πsin 43y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， ()2πsin 43g x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，（6分） π3π88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，，π2π5π4636x ∴--≤，∴函数()g x 在π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为1，最小值为12-. 当π3π88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，不等式()1g x m -＜恒成立，即()11m g x m -+＜＜恒成立， 即()()max min 11g x m g x m ⎧+⎪⎨-⎪⎩＜，＞，11112m m +⎧⎪∴⎨--⎪⎩＜，＞， 102m ∴＜＜.（12分）。