高中数学1.2点、线、面之间的位置关系1.2.2空间中的平行关系(1)学案新人教B版必修2

空间中的平行关系 1课堂探究探究一基本性质4的应用基本性质4说明把平行线的传递性推广到空间也能成立，这个基本性质是判断两条直线平行的重要方法之一，其关键在于寻找联系所证两条平行直线的第三条直线．此外，我们还要熟悉各种几何图形的定义和特征．【典型例题1】 如图所示，已知E ，F 分别是空间四边形ABCD 的边AB 与BC 的中点，G ，H 分别是边CD 与AD 上靠近D 的三等分点，求证：四边形EFGH 是梯形．思路分析：要证明四边形EFGH 是梯形，只需证一组对边平行且不相等即可．通过本题条件可知，利用平面的基本性质4即可解决．证明：在△ABC 中，因为E ，F 分别是AB ，BC 边上的中点，所以EF 12AC ． 又在△ACD 中，G ，H 分别是CD ，AD 边上的三等分点，DH DA ＝DG DC ＝13，所以GH 13AC ． 所以EF ∥GH ，且EF ≠GH ，即四边形EFGH 是梯形．探究二等角定理的应用证明角相等的常用方法有： (1)利用题设中的条件，将要证明的两个角放在两个三角形中，利用三角形全等或三角形相似证明两个角相等．(2)在题目中若不容易构造三角形或不能利用三角形全等或相似来证明角相等，可考虑两个角的两边，可利用定理证明这两个角的两边分别对应平行且方向相同或相反，从而达到目的．【典型例题2】 (1)空间中有一个∠A 的两边和另一个∠B 的两边分别平行，∠A ＝70°，则∠B＝________．解析：因为∠A的两边和∠B的两边分别平行，所以∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°．又∠A＝70°，所以∠B＝70°或110°．答案：70°或110°(2)已知E，E1分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点．求证：∠BEC＝∠B1E1C1．解：如图所示，连接EE1，因为E1，E分别为A1D1，AD的中点，所以A1E1AE．所以四边形A1E1EA为平行四边形，所以A1A E1E．又因为A1A B1B，所以E1E B1B，所以四边形E1EBB1是平行四边形，所以E1B1∥EB．同理E1C1∥EC．又∠BEC与∠B1E1C1对应边方向相同，所以∠BEC＝∠B1E1C1．探究三直线与平面平行的判定定理1．应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可．2．要明确其思路是用直线与直线平行判定直线和平面平行．应用时，只需在平面内找到一条直线与已知直线平行即可．简单地说，线∥线⇒线∥面．3．在题目中出现中点时，常见的证线线平行的两种途径．(1)中位线→线线平行．(2)平行四边形→线线平行．【典型例题3】一木块形状如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，应该怎样画线？思路分析：可考虑利用线面平行的判定定理分析“目标线”的画法．解：如图，在平面VAC内经过点P作EF∥AC，且与VC的交点为F，与VA的交点为E．在平面VAB内，经过点E作EH∥VB，与AB交于点H．在平面VBC内，经过点F作FG∥VB，与BC交于点G，连接GH，则EF，FG，GH，HE为截面与木块各面的交线．证明如下：因为EH∥VB，FG∥VB，所以EH∥FG，可知E，H，G，F四点共面．因为VB 平面EFGH，EH⊂平面EFGH，所以VB∥平面EFGH．同理可证AC∥平面EFGH．点评证明线面平行时，先在平面内找与已知直线平行的直线，若找不到，再添加辅助线．添加辅助线一般要结合特殊点、特殊图形，添加的辅助线多为中线、高线、中位线或特殊图形的边．探究四直线与平面平行的性质定理的应用1．性质定理可作为直线和直线平行的判定方法．应用时，需要经过已知直线找平面(或作平面)与已知平面相交，以平面为媒介证明线线平行．2．定理中的三个条件：(1)直线a ∥平面α；(2)平面α，β相交，即α∩β＝b ；(3)直线a 在平面β内．缺一不可．定理的应用流程可表示如下：【典型例题4】 如图，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH ；(2)若AB ＝4，CD ＝6，求四边形EFGH 周长的取值X 围．思路分析：(1)利用线面平行的判定和性质定理进行证明；(2)利用图形相似的性质来求边长．解：(1)证明：因为四边形EFGH 为平行四边形，所以EF ∥HG ．因为HG ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，所以EF ∥平面ABD ．因为EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ，所以EF ∥AB ，易得AB ∥平面EFGH ．同理，CD ∥EH ，所以CD ∥平面EFGH ．(2)设EF ＝x (0<x <4)，由于四边形EFGH 为平行四边形，EF ∥AB ，CD ∥EH ，所以CD ∥FG ，CF CB ＝4x ． 故FG 6＝BF BC ＝BC －CF BC ＝1－4x ．从而FG ＝6－32x ． 于是四边形EFGH 的周长为l ＝3262x x ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦＝12－x ．又0＜x＜4，所以8＜l＜12，即四边形EFGH周长的取值X围为(8,12)．点评线面平行的判定定理与性质定理常常交替使用：先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称为平行链，如下：线线平行在平面内作或找一条直线线面平行作或找经过直线的平面与已知平面的交线线线平行探究五易错辨析易错点：将b⊄α与b∥α等同而致误【典型例题5】平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面．已知：直线a∥b，a∥平面α，a，b⊄α．求证：b∥α．错解：因为直线a∥b，所以a与b无公共点．又因为a∥平面α，所以a与平面α也无公共点，又b⊄α，所以b与α无公共点，所以b∥α．错因分析：b⊄α包含b∥α和b∩α＝M两种情况，上面证明误认为b⊄α即意味着b∥α而致错．正解：如图所示，过a及平面α内一点A作平面β，设β∩α＝c．因为a∥α，所以a∥c．因为a∥b，所以b∥c．因为b⊄α，c⊂α，所以b∥α．点评条件中有a∥α，为了利用直线和平面平行的性质定理，因此过a作平面β与α相交，这里我们把平面β称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，作辅助平面是把空间问题向平面问题转化的一种手段．和平面几何中添加辅助线一样，在构造辅助平面时，一定要确认这个平面是存在的．在本例中就是以“直线及此直线外一点确定一个平面”为依据作出辅助平面的．。

1.2.2.2 直线与平面平行示范教案整体设计教学分析教材首先归纳了直线与平面的位置关系，通过实际操作归纳出了直线与平面平行的判定定理，给出了性质定理并加以证明．值得注意的是判定定理不需证明，只需要归纳出即可．三维目标1．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，提高学生的归纳能力和抽象思维能力．2．利用判定定理和性质定理解决有关问题，培养转化与化归的数学思想．重点难点教学重点：归纳判定定理和两个定理的应用．教学难点：性质定理的证明．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.(情境导入)将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？设计2.(实例导入)平衡木是女子竞技体操的一个项目，它需要在高1.2米、宽10公分的木板上完成各种跳步、转体、平衡、舞蹈及技巧空翻动作．运动员必须具备很好的控制身体的能力、准确的动作技术及勇敢果断的意志品质．我国平衡木一直处于世界一流水平，2000年刘璇摘取奥运平衡木金牌．你知道如何在平衡木上保持平衡吗？推进新课新知探究提出问题(1)我们知道，如果一条直线和一个平面有两个公共点，那么这条直线就在这个平面内(如下图)．在空间中，一条直线和一个平面的位置关系，除了直线在平面内，还有几种情况？(2)若平面外一条直线平行平面内一条直线，探究平面外的直线与平面的位置关系．(3)用三种语言描述直线与平面平行的判定定理．(4)直线与平面平行有什么性质？讨论结果：(1)直线a和平面α只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，这个公共点A叫做直线与平面的交点(如下图(1))，并记作a∩α＝A.直线a与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行．并记作a∥α(如下图(2))．(1) (2)从以上分析可知，如果直线不在平面内，还有两种情况，即平行和相交．因此，除了直线在平面内直线与平面的位置关系不是平行就是相交．(2)直线a 在平面α外，是不是能够判定a∥α呢？不能！直线a 在平面α外包含两种情形：一是a 与α相交，二是a 与α平行， 因此，由直线a 在平面α外，不能断定a∥α. 若平面外一条直线平行平面内一条直线，那么平面外的直线与平面的位置关系可能相交吗？既然不可能相交，则该直线与平面平行． (3)直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．符号语言为：⎭⎬⎫aαb ⊂αa∥b ⇒a∥α. 图形语言为：如下图．(4)定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．已知：l∥α，l ⊂β，α∩β＝m(如下图)．求证：l∥m.证明：因为l∥α，所以l 和α没有公共点． 又因为m 在α内，所以l 和m 也没有公共点．因为l 和m 都在平面β内，且没有公共点， 所以l∥m.在空间中，经常应用这条定理，由“线、面平行”去判断“线、线平行”． 应用示例思路1例1已知：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点(如下图)．求证：EF∥平面BCD.证明：连结BD.在△ABD 中，因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点， 所以EF∥BD.又因为BD ⊂平面BCD ，EF平面BCD ，所以EF∥平面BCD. 例2求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内．已知：l∥α，点P∈α，P∈m，m∥l(如下图)．求证：m ⊂α.证明：设l 与P 确定的平面为β，且α∩β＝m′，则l∥m′. 又知l∥m，m∩m′＝P ，由平行公理可知，m 与m′重合． 所以m ⊂α. 变式训练如下图，在△ABC 所在平面外有一点P ，M 、N 分别是PC 和AC 上的点，过MN 作平面平行于BC ，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法．画法：过点N 在面ABC 内作NE∥BC 交AB 于E ，过点M 在面PBC 内作MF∥BC 交PB 于F ，连结EF ，则平面MNEF 为所求，其中MN 、NE 、EF 、MF 分别为平面MNEF 与各面的交线．证明：如下图，⎭⎬⎫BC面MNEFNE ⊂面MNEF BC∥NE⇒BC∥平面MNEF.所以BC∥平面MNEF.点评：“见中点，找中点”是证明线线平行常用方法，而证明线面平行往往转化为证明线线平行．思路2例3设P ，Q 是边长为a 的正方体AC 1的面AA 1D 1D ，面A 1B 1C 1D 1的中心，如下图，(1)证明PQ∥平面AA 1B 1B ； (2)求线段PQ 的长．(1)证法一：取AA 1，A 1B 1的中点M ，N ，如下图，连结MN ，NQ ，MP ，∵MP∥AD，MP ＝12AD ，NQ∥A 1D 1，NQ ＝12A 1D 1，∴MP∥ND 且MP ＝ND.∴四边形PQNM 为平行四边形．∴PQ∥MN. ∵MN ⊂面AA 1B 1B ，PQ面AA 1B 1B ，∴PQ∥面AA 1B 1B.证法二：连结AD 1，AB 1，在△AB 1D 1中， 显然P ，Q 分别是AD 1，D 1B 1的中点， ∴PQ∥AB 1，且PQ ＝12AB 1.∵PQ面AA 1B 1B ，AB 1⊂面AA 1B 1B ，∴PQ∥面AA 1B 1B.(2)解：方法一：PQ ＝MN ＝A 1M 2＋A 1N 2＝22a. 方法二：PQ ＝12AB 1＝22a.变式训练如下图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 在AB 1上，F在BD上，且B1E＝BF.求证：EF∥平面BB1C1C.证明：连结AF并延长交BC于M，连结B1M. ∵AD∥BC，∴△AFD∽△MFB.∴AFFM＝DFBF.又∵BD＝B1A，B1E＝BF，∴DF＝AE.∴AFFM＝AEB1E.∴EF∥B1M，B1M⊂平面BB1C1C.∴EF∥平面BB1C1C.知能训练1．已知四棱锥P—ABCD的底面为平行四边形，M为PC的中点，求证：PA∥平面MBD.证明：如下图，连结AC、BD交于O点，连结MO，∵O为AC的中点，M为PC的中点，∴MO为△PAC的中位线．∴PA∥MO.∵PA⊂平面MBD，MO平面MBD，∴PA∥平面MBD.2. 如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1A，D1C的中点．求证：MN∥平面ABCD.分析：取CD的中点E，转化为证明线线平行MN∥AE.证明：取CD的中点记为E，连结NE，AE.如下图．由N ，E 分别为CD 1与CD 的中点，可得 NE∥D 1D 且NE ＝12D 1D ，又AM∥D 1D 且AM ＝12D 1D ，所以AM∥EN 且AM ＝EN ，即四边形AMNE 为平行四边形， 所以MN∥AE， 又AE 面ABCD ，MN 面ABCD ，所以MN∥面ABCD. 拓展提升 如下图，已知ABCD 和ACEF 所在的平面相交于AC ，M 是线段EF 的中点．求证：AM∥平面BDE.证明：设AC∩BD＝O，连结OE，∵O、M分别是AC、EF的中点，四边形ACEF是平行四边形，∴四边形AOEM是平行四边形．∴AM∥OE.∵OE⊂平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.课堂小结证明平行的策略是转化，即证明线面平行转化为证明线线平行．作业本节练习B 3,4题．设计感想线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，线面平行的判定是高考考查的重点，多年来，高考立体几何第一问往往考查线面平行的判定．本节不仅选用了大量的传统经典题目，而且还选取了近几年的高考题目．学生通过这些优秀题目的训练，不仅可以熟练掌握线面平行的判定，而且将大大增强学好数学的信心．备课资料备选习题下列命题中正确的个数是( )①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A．0 B．1C．2 D．3解析：如下图．我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；A1B1∥AB，A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB⊂平面ABCD，所以命题③不正确；l与平面α平行，则l与α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点，所以命题④正确．答案：B。

1.2.1 平面的基本性质与推论示范教案整体设计教学分析教材通过实例归纳和抽象出了平面的基本性质与推论，以及异面直线的概念，并类比集合给出了点、直线和平面之间的关系的符号表示．在教学中，要留给学生足够的时间，引导学生归纳和抽象平面的基本性质与推论．三维目标1．掌握平面的基本性质及推论，提高学生的归纳、抽象能力．2．掌握异面直线的概念，能用集合符号表示点、直线、平面的位置关系，提高学生抽象思维和类比能力，培养空间想象能力．重点难点教学重点：平面的基本性质与推论，以及异面直线的概念．教学难点：归纳平面的基本性质与推论．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.(情境导入)大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”．结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面．设计2.(实例导入)观察长方体(下图)，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成．有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等．怎样用符号表示空间中的点、直线、平面之间的位置关系呢？本节我们将讨论这些问题．推进新课新知探究提出问题1在几何学中，我们用点标记位置.在日常生活中，一位同学从一个位置走到另一个位置，他经过路径，就用一条线段来表示，连结两点的线中，什么线最短？2把一根直尺边缘上的任意两点放在平整的桌面上，可以看到直尺边缘与桌面重合，这是显而易见的事实，这说明了平面具有什么性质？3在日常生活中，照相机的脚架，施工用的撑脚架，天文望远镜的脚架等都制成三个脚，这样，可以使这些物体放置得很平稳.这说明了平面具有什么性质？4长方体表面中的任意两个面，要么平行，要么交于一条直线，其实空间任意两个不重合的平面都有这样的性质.那么，两个平面在什么情况下相交？这说明了平面具有什么性质？讨论结果：(1)连接两点的线中，线段最短；过两点有一条直线，并且只有一条直线．(2)基本性质1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内(如左下图)．这时我们说，直线在平面内或平面经过直线．(3)基本性质2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(如右上图)．这也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面．(4)基本性质3 如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．(如左下图)．为了简便，以后说到两个平面，如不特别说明，都是指不重合的两个平面．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交．这条公共直线叫做这两个平面的交线．如下图，平面α与β相交，交线是a；平面δ与γ相交，交线是b.在画两个平面相交时，如果其中一个平面被另一个平面遮住，应把表示平面的平行四边形被遮住的部分画成虚线或不画．提出问题1经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面吗？2经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？3经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？4在空间中，存在既不平行又不相交的两条直线吗？5阅读教材，怎样用集合符号表示点、直线、平面的位置关系？讨论结果：(1)推论1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(如下图(1))．图(1) 图(2) 图(3)事实上，如上图(1)所示，直线BC外一点A和直线BC上的两点B，C不共线，根据基本性质2，A，B，C三点确定一个平面ABC.并且，点A和直线BC都在平面ABC内．(2)推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面(如上图(2))．事实上，如上图(2)所示，两条相交直线AB，AC相交于点A，三点A，B，C确定的平面就是直线AB和AC确定的平面(3)推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面(如上图(3))．事实上，根据平行线的定义，这两条平行线在同一平面内，又如上图(3)所示，这个平面含有一条直线上的点A和另一条线上的两点B，C，由基本性质2可知，这个平面是确定的．(4)在空间，两条直线还可能有既不相交也不平行的情况．如下图所示，直线AB与平面α相交于点B，点A在α外，直线l在α内，但不过点B.这时直线l与直线AB，既不相交也不平行，它们不可能在同一平面内，否则点A在α内．这与点A在α外矛盾．因此我们把这类既不相交又不平行的直线叫做异面直线．由以上分析，我们可以得到判断两条直线为异面直线的一种方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线．(5)点A在平面α内，记作A∈α，点A不在α内，记作Aα；直线l在平面α内，记作l⊂α；直线l不在平面α内，记作lα；平面α与平面β相交于直线a，记作α∩β＝a；直线l和直线m相交于点A，记作l∩m＝{A}，简记作l∩m＝A.基本性质1可以用集合语言描述为：如果点A∈α，点B∈α，那么直线AB⊂α.应用示例思路1例1 如下图，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．活动：学生自己思考或讨论，再写出(最好用实物投影仪展示写的正确的答案)．教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价．解：在上图(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在上图(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.变式训练1．画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A∈α，B∉α，A∈l，B∈l；(2)a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P，α∩β＝c.解：如下图．2．根据下列条件，画出图形．(1)α∩β＝l，直线AB⊂α，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β＝F，F∉l；(2)α∩β＝a，△ABC的三个顶点满足条件：A∈a，B∈α，B∉a，C∈β，C∉a.答案：如下图．点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来．(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来．思路2例2对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( )A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α解析：若a、b异面，A、C选项错；若a、b不垂直，D选项错，故选B.答案：B例3 如下图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是( )A．平行 B．相交且垂直C．异面直线 D．相交成60°解析：如上图，将上面的展开图还原成正方体，点B与点D重合．容易知道AB＝BC＝CA，从而△ABC是等边三角形，所以选D.答案：D点评：解决立体几何中的翻折问题时，要明确在翻折前后，哪些量发生了变化，哪些量没有变化．变式训练1.如下图，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有__________对．答案：三2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线( )A．不存在 B．有且只有两条C．有且只有三条 D．有无数条解析：在A1D1延长线上取一点H，使A1D1＝D1H，在DC延长线上取一点G.使CG＝2DC，延长EF，连结HG与EF交于一点．连结D1F必与DC延长线相交，延长D1A1，连结DE必与D1A1延长线相交．连结A1C与EF交于EF中点，故选D.答案：D知能训练1．画一个正方体ABCD—A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由．解：如下图，连结BD、AC交于点E，CD′、DC′交于点F，直线EF即为所求．∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′.∵E∈AC，∴E∈平面ACD′.∵E∈BD，∴E∈平面BDC′.∵F∈DC′，∴F∈平面BDC′.∴EF为所求．2．已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线．证明：如下图，∵A、B、C是不在同一直线上的三点，∴过A、B、C有一个平面β.又∵AB∩α＝P，且AB β，∴点P既在β内又在α内．设α∩β＝l，则P∈l，同理可证：Q∈l，R∈l.∴P、Q、R三点共线．3．O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上．证明：如下图，连结A1C1、AC，因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1，易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1，所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，故P在两平面的交线上，即P∈AO1.点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上．拓展提升求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内．证明：如下图，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F，∵直线a∩直线b＝A，∴直线a和直线b确定平面设为α，即a，bα.∵B、C∈a，E、F∈b，∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c，C、E∈d，∴c、dα，即a、b、c、d在同一平面内．点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：(1)直线与直线外一点；(2)两条相交直线；(3)两条平行直线．课堂小结本节课学习了：1．平面的基本性质与推论；2．异面直线；3．用符号表示空间位置关系．作业本节练习A 2,3,4,5题．设计感想由于本节是学习位置关系的起始课，所以在设计时注重从不完全归纳入手，以培养学生的空间想象能力为核心，激发学生的发散思维．备课资料备选习题1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1C与面DBC1交于O点，AC、BD交于M，如下图．求证：C1、O、M三点共线．证明：∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理2，C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．2．已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面．证明：已知直线a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：l与a、b、c共面．证明：如下图，∵a∥b，∴a、b确定一个平面，设为α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴AB⊂α，即l⊂α.同理，b、c确定一个平面β，l⊂β.∴平面α与β都过两相交直线b与l.∵两条相交直线确定一个平面，∴α与β重合．故l与a、b、c共面．3．α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，试判断直线a、b的位置关系，并画图表示．活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案．教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价．解：如下图，直线a、b的位置关系是平行、相交、异面．。

第一章1.2.1 平面的基本性质与推论1．理解平面的三个基本性质与三个推论，并会用三种语言表示性质和推论．2．了解异面直线的概念，能用符号语言描述点、直线、平面之间的相互位置关系．3．能进行文字语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用．1．空间点和直线的基本性质(1)连接两点的线中，________最短．(2)过________有一条直线，并且只有一条直线．2．平面的基本性质在平面β内，则B，b，( )．A．B∈b∈β B．B∈b⊂βC．B⊂b⊂β D．B⊂b∈β【做一做1－2】若两个不重合的平面有公共点，则公共点的个数是( )．A．1个B．2个C．1个或无数个D．无数个且在同一条直线上【做一做1－3】如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b且M∈l，N∈l，那么( )．A．l⊂α B．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N3．平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，__________个平面．推论2：经过两条______直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条______直线，有且只有一个平面．空间中的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们________．【做一做2－1】下列命题正确的是( )．①一条直线和一个点确定一个平面；②两条相交直线确定一个平面；③两条平行直线确定一个平面；④四个点确定一个平面．A．①③ B．②③C．③④ D．②③④【做一做2－2】由4条平行直线最多可以确定( )．A．2个平面 B．4个平面C．5个平面 D．6个平面【做一做3】下列说法正确的是( )．A．四边形是平面图形B．有三个公共点的两个平面必重合C．两两相交的三条直线必在同一个平面内D．三角形是平面图形5．异面直线(1)画法：画两条异面直线时，为了充分显示出它们既不________又不______的特点，即________的特点，通常采用平面衬托法，以加强直观性，常见的画法如下图．(2)判断方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线．【做一做4】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与棱AA1成异面直线的棱有__________条．1．对异面直线的理解剖析：若直线a，b是异面直线，则在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b两条直线．例如，如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线．要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线，可以平行，可以相交，也可以异面．2．平面的基本性质的作用剖析：(1)基本性质1的作用．利用基本性质1可以判断一条直线是否在一个平面内．基本性质1给出了判断直线在平面内的方法，引出了直线在平面内的定义，从而说明了在空间中的每个平面内都存在着各种平面图形，在每个平面内都可以用初中的平面几何知识．另外，该基本性质也是判断点在平面内的方法，还可借此用直线来检验平面．(2)基本性质2的作用．作用之一是确定平面，作用之二是可用它来证明点、线共面问题．(3)基本性质3的作用．平面的基本性质3主要说明了两个相交平面的特征，对我们确定两个平面的交线有着重要的作用．其一，它是判定两个平面是否相交的依据，也就是说，只要两个平面有公共点，则这两个平面就相交；其二，它可以证多点共线的问题．若点是某两个平面的公共点，则该点必定在这两个平面的交线上．3．教材中的“思考与讨论”已知两条直线相交，过其中任意一条直线上的一点作另一条直线的平行线，这些平行线是否都共面？为什么？剖析：都共面，如图所示，a∩b＝A，过b上任意一点B作c∥a，则a，c可确定一个平面α.因为A∈a，所以A∈α.又因为B∈c，所以B∈α，所以AB⊂α，即b⊂α.所以a，b，c共面．同理在a上任取一点作b的平行线，都与a，b共面，所以这些平行线都共面．题型一文字语言、图形语言和符号语言的转换【例1】将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.分析：本题实质是数学的三种语言：符号语言、文字语言、图形语言之间的互译．反思：符号语言简洁，层次感强．文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来．教科书上的概念、定理等多以文字语言叙述．图形语言，易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、定理的本质以及相互关系，在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用．各种数学语言间的互译可为我们在更广阔的思维领域里寻找问题解决的途径提供方便．题型二共线问题【例2】如图所示，已知△ABC的三边所在的直线分别与平面α交于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点共线．分析：证明P，Q，R三点均在平面ABC与平面α的交线上．反思：证明点共线，可先由两点确定一条直线，再证其他的点也在这一直线上，也可证明所有点都在一条特定直线(两平面交线)上．题型三共面问题【例3】如图所示，已知一直线a分别与两平行直线b，c相交．求证：a，b，c三线共面．分析：有两种方法．(1)先用两平行直线b，c确定一个平面，再证a也在这个平面内；(2)先由两条相交直线a，b确定一个平面，再证c也在这个平面内．反思：本题为我们证明共面问题提供了多角度的思维模式，但整体套路是先用部分对象确定一个平面，后证明剩余对象亦在其中．题型四共点问题【例4】三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必过同一点．分析：直线过同一点，我们可以这样来思考：先证明两线相交，得一交点，然后证明该点在其余的直线上(或其余的直线经过该点)．反思：证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归到证明点在直线上的问题．题型五交线问题【例5】如图所示，G是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1延长线上一点，E，F是棱AB，BC的中点．试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．(1)过点G及AC；(2)过三点E，F，D1.分析：找两个平面的两个公共点，则过这两个公共点的直线为两平面的交线．反思：画截面截得正方体的截面图形，关键是利用好公理，找到两个平面上的公共点是解决此类问题的突破口．题型六易错辨析【例6】在空间中，可以确定一个平面的条件的序号有__________．①两两相交的三条直线②三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交③三个点④三条直线，它们两两相交，但不交于同一点错解：①②③④错因分析：不能正确理解确定一个平面所需的条件，往往是疏忽了其中的特殊要求，只记得性质和推论的大概致误．1与“直线l上两点A，B在平面α内”含义不同的是( )．A．l⊂αB．平面α过直线lC．直线l上只有这两个点在α内D．直线l上所有点都在α内2平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，且C∉l，但C∈β，又AB∩l＝R，如图，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是( )．A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．直线AR3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么在正方体中过P，Q，R的截面图形是( )．A．三角形 B．四边形C．五边形 D．六边形4如图所示，请把下面的叙述用符号语言表示出来．(1)点A，B在直线a上：__________；(2)直线a在平面α内：__________，点C在平面α内：__________；(3)点D不在平面α内：__________，直线b不在平面α内：__________.5木匠师傅只需要用三只脚就能将一张圆桌面平稳地固定，为什么？答案：基础知识·梳理1．(1)线段(2)两点2．两点所有点在平面内经过直线l⊂α有且只有确定有一个公共点有且只有交线【做一做1－1】B 关键是弄清点与直线是元素与集合之间的关系，直线与平面是集合与集合之间的关系．【做一做1－2】D 利用基本性质3可知如果两个平面有一个公共点，则它们就一定有一条交线，而线是由无数个点构成的，所以这两个平面有无数个在同一直线上的交点．【做一做1－3】A 因为M∈a，N∈b，a，b⊂α，所以M，N∈α，根据基本性质1可知l⊂α.故选A.3．有且只有一相交平行共面【做一做2－1】B【做一做2－2】D 本题从确定平面的条件来考虑即可，要使四条平行直线确定的平面最多，只有当这四条直线中任两条所确定的平面互不相同时即为最多，从而得到结果．由确定平面的条件知，由四条平行直线最多可以确定六个平面，选D.4．有且只有一个在同一平面内异面直线【做一做3】D 空间四边形不是平面图形，故选项A说法不正确；若三个公共点在一条直线上，则两个平面不一定重合，选项B也是错误的；选项C中两两相交的三条直线可能会经过同一点，此时三条直线不一定在同一个平面内．故选D.5．(1)平行相交不共面【做一做4】4典型例题·领悟【例1】解：文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，AB，AC分别在α，β内．图形语言如下图所示．【例2】证明：∵A，B，C是不在同一直线上的三点，∴过A，B，C有一个平面β.又∵AB∩α＝P，且AB⊂β，∴点P既在β内又在α内．设α∩β＝l，则P∈l.同理可证：Q∈l，R∈l.∴P，Q，R三点共线．【例3】证法一：∵b∥c，则b，c确定一个平面，设为α，如图，令a∩b＝A，a∩c＝B，∴A∈α，B∈α，∴AB⊂α，即直线a⊂α.∴a，b，c三线共面．证法二：∵a与b是相交直线，则a，b确定一个平面，设为α，如图，设a∩c＝A，过A点在α内作直线c′∥b，∵c∥b，c′∥b，∴c∥c′.又∵c与c′相交于点A，∴c与c′重合．∴a，b，c三线共面．【例4】证明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ.由于直线a和b不平行，∴a，b必相交，设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.∴a，b，c三条直线相交于同一点．【例5】解：(1)画法：连接GA交A1D1于点M；连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．【例6】④正解：①中两两相交的三条直线，它们可能交于同一个点，也可能不交于同一个点，若交于同一个点，则三条直线不一定在同一个平面内，故排除①；②中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，则三条直线不能确定一个平面，故排除②；对于③来说，三个点的位置可能不在同一直线上，也可能在同一直线上，只有前者才能确定一个平面，故排除③；条件④中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，因而其三个交点不在同一直线上，由基本性质2知其确定一个平面．随堂练习·巩固1．C 根据平面的基本性质1，可知只有选项C不正确．2．C 由已知条件可知，C∈γ，A，B∈γ，所以AB⊂γ.而R∈AB，所以R∈γ.又因为C，R∈β，故CR＝γ∩β.3．D 如图所示，延长PQ分别交CB，CD的延长线于M，N，连接MR，交BB1于E，交CC1的延长线于H，连接NH，分别交D1D，D1C1于F，G，则六边形QPERGF为截面图形．5．解：根据平面的基本性质2，经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．。

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2 点、线、面之间的位置关系 两条直线平行教学目标掌握用斜率判断两条直线平行的方法，感受用代数方法研究几何图形性质的思想，运用分类讨论、数形结合等数学思想培养学生思维的严谨性、辩证性．重点难点两直线平行的判断．引入新课 1．解下列各题（1）直线()00126≠=--a y ax ，在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍,则=a ______________(2）已知点()12,1--m P 在经过()()4,3,1,2--N M 两点的直线上，则m 的值是_____2．（1）当两条不重合的直线21,l l 的斜率都存在时，若它们相互平行，则它们的斜率______， 反之,若它们的斜率相等，那么它们互相___________，即1l //⇔2l ____________． 当两条直线21,l l 的斜率都不存在时，那么它们都与x 轴_________，故21_____l l ． 3．练习：分别判断下列直线AB 与CD 是否平行： （1）)1,1()1,3(--B A ，，)1,5()5,3(D C ，-； （2）)4,3()4,2(---B A ，，)1,4()1,0(D C ，．例题剖析已知两直线052074221=+-=+-y x l y x l ：，：　，求证:1l //2l ．求证：顺次连结)4,4()3,2()27,5()3,2(---D C B A ，，，所得的四边形是梯形．例1 例2 ABC D-42 53-3xy例3 求过点)3,2(-A ，且与直线052=-+y x 平行的直线的方程．求与直线0143=++y x 平行，且在两坐标轴上的截距之和为37的直线l 的方程．巩固练习1．如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 平行,则=a ____________________．2．过点)2,1(-且与直线01=--y x 平行的直线方程是____________________________． 3．两直线)(02R k k y x ∈=+-和0563=+-y x 的位置关系是___________________． 4．已知直线1l 与经过点)6,3(P 与)3,6(Q 的直线平行，若直线1l 在y 轴上的截距为2， 则直线1l 的方程是_____________________________．5．已知)27,31()5,5()1,1()2,4(----D C B A ，，，，求证：四边形ABCD 是梯形．课堂小结1l //2l ⇔⎩⎨⎧≠=2121b b k k 或1l //2l ⇔斜率不存在且横截距不相等,即如果21k k =，那么一定有1l //2l ，反之不一定成立．课后训练班级：高一（ ）班 姓名:____________一 基础题1．下列所给直线中，与直线012=--y x 平行的是( ）A ．0224=-+y xB ．0224=--y xC ．0124=-+y xD ．0124=+-y x2．经过点)3,2(-C ，且平行于过两点)2,1(M 和)5,1(--N 的直线的方程是____________． 3．将直线032=++y x 沿x 轴负方向平移2个单位，则所得的直线方程为____________． 4．若直线012=-+y ax 与直线0)1(2=+-+a y a x 平行,则=a _________________． 二 提高题5．已知直线l 与与直线m ：0532=-+y x 平行,且在两坐标轴上的截距之和为1， 求直线l 的方程．例46．当a 为何值时，直线012=-+ay x 和直线01)13(=---ay x a 平行．三 能力题 7．（1）已知直线1l :0=++C By Ax ，且直线1l //2l ，求证:直线2l 的方程总可以写成)(011C C C By Ax ≠=++；(2)直线1l 和2l 的方程分别是0111=++C y B x A 和0222=++C y B x A ，其中1A ,1B 不全为0,22,B A 也不全为0,试探求：当1l //2l 时，直线方程中的系数应满足什么关系？8．已知平行于直线0152=-+y x 的直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5， 求直线l 的方程．。

第一章1.2.3 空间中的垂直关系第一课时1．通过直观感知、操作确认，归纳出空间中线面垂直的相关定理、推论和性质．2．掌握直线与平面垂直的判定定理和性质，并能利用以上定理和性质解决空间中的相关垂直性问题．1．直线与平面垂直的定义及性质把直线AB画成和表示平面的平行四边形的一边________.【做一做1】如果一条直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面的位置关系为( )．A．平行 B．相交 C．垂直 D．不确定2．直线与平面垂直的判定定理与推论(1)判定定理：如果一条直线与平面内的________直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．(2)推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线________这个平面．推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线________．利用定义来判断直线与平面垂直是不方便的，因为“任意一条直线”是不方便研究的，因此根据确定平面的条件，找到两条相交直线便可确定一个平面，这样易于判断直线和平面垂直．【做一做2－1】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )．A．平面DD1C1C B．平面A1DCB1C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB【做一做2－2】已知α是平面，a，b是直线，且a∥b，a⊥平面α，则b与平面α的位置关系是( )．A．b⊂平面α B．b⊥平面αC．b∥平面α D．b与平面α相交但不垂直1．对直线与平面垂直的理解剖析：(1)定义中的“任何直线”是说这条直线和平面内所有过交点的直线垂直．(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式．(3)如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直，如若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．2．若一条直线垂直于平面内的无数条直线，探讨这条直线与平面的关系剖析：给出平面α内的一条直线a，在该平面内与直线a平行的直线有无数条，所有与a垂直的直线，必与a的平行线垂直，却不一定与平面α垂直．如图所示，直线B1C1与平面AC内的直线AB垂直，且在平面AC内与AB平行的所有直线都与B1C1垂直，但直线B1C1∥平面AC．因此以下两个命题均是错误的，需要引起重视．命题①：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面；命题②：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面．3．教材中的“思考与讨论”(1)垂直于同一条直线的两个平面是否平行？为什么？(2)如何定义两平行平面的距离？剖析：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行．已知：AA′⊥α，AA′⊥β，求证：α∥β.证明：如图所示，设经过直线AA′的两个平面γ，δ分别与平面α，β相交于直线b，b′和a，a′.∵AA′⊥α，AA′⊥β，∴AA′⊥a，AA′⊥a′.AA′，a，a′都在平面δ内，由平面几何知识：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行．∴a∥a′，∴a′∥α(线面平行的判定定理)．同理b′∥α.又∵a′∩b′＝A′，∴α∥β.(2)我们可以这样定义两平行平面的距离．由问题(1)可知，对于两个平行的平面α，β一定存在着与它们都垂直的直线，设为l，这样的直线l称为两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段，如图所示，如果AA′，BB′都是平面α与β的公垂线段，那么AA′∥BB′.根据两个平面平行的性质定理，有AB∥A′B′，所以四边形AA′B′B是平行四边形，故AA′＝BB′.由此我们得到，两个平行平面的公垂线段都相等．因此，我们可以把公垂线段的长度定义为两个平行平面间的距离．题型一线面垂直的判定定理的应用【例1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC．分析：要证B1O⊥平面PAC，根据直线和平面垂直的判定定理，只需证B1O垂直于平面PAC内两条相交直线．反思：(1)正方体是最常见的几何体，正方体的面、棱、对角线等几何元素有着各种特殊的位置关系，它是研究直线和平面关系最为简单的模型之一．本题抓住了特殊几何体——正方体及特殊点P的位置关系，运用勾股定理的逆定理，通过计算证明了直线和直线垂直，再根据直线和平面垂直的判定定理证明了直线和平面垂直．(2)证明直线与平面垂直时，一定要证明直线和平面内的两条相交直线垂直，如果没有考虑相交的情况就可能把本来不垂直的情况证明成垂直的，得到错误的结论．题型二线面垂直性质的应用【例2】如图所示，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F.(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．分析：线线垂直通常由线面垂直来证．反思：线面垂直和线线垂直在推理中是经常加以转化的，证线线垂直的常用思路为：线面垂直――→定义线线垂直――→判定定理线面垂直――→定义线线垂直题型三 有关平行、垂直的综合问题【例3】如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点．(1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求四面体B －DEF 的体积．分析：(1)证明E 与底面中心G 的连线和FH 平行即可；(2)先证FH 是平面ABCD 的垂线，再说明AC ⊥BD 与AC ⊥EG 即可得证； (3)关键是抓住四面体的高BF ，再运用体积公式求解．反思：有关平行、垂直的综合问题，关键要理清几何体的有关线段长度及位置关系，然后再根据目标逐一寻找关键要素，如(1)问中关键是求一平行线，(2)问中关键在于连续使用线面垂直进行过渡，(3)问中的关键是找准高．题型四 易错辨析【例4】已知：线段AB 的中点为O ，O ∈平面α. 求证：A ，B 两点到平面α的距离相等．错解：如图所示，过点A ，B 作平面α的垂线，垂足分别为A 1，B 1，则AA 1，BB 1分别是点A ，B 到平面α的距离．又在Rt △AOA 1和Rt △BOB 1中，AO ＝BO ，∠B 1OB ＝∠AOA 1，∴Rt △AOA 1≌Rt △BOB 1，∴AA 1＝BB 1，即A ，B 两点到平面α的距离相等．错因分析：一是忽略了AB ⊂α的情况说明，二是认为∠AOA 1和∠BOB 1为对顶角而相等，其实应说明B 1，O ，A 1共线才行．1将直线与平面垂直的判定定理“如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面”用集合符号语言表示为( )．A ．m ⊂α，m ∩n ＝B ，l ⊥n ，l ⊥m ⇒l ⊥αB ．m ⊂α，n ⊂α，m ∩n ＝B ，l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥αC ．m ⊂α，n ⊂α，m ∩n ＝B ⇒l ⊥n ，l ⊥m ，l ⊥αD ．m ⊂α，n ⊂α，l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α2一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )．A ．平行B ．垂直C．相交不垂直 D．不确定3下列命题：①平行于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两直线平行；③平行于同一直线的两平面平行；④垂直于同一直线的两平面平行．其中正确的有( )．A．②和④ B．①②和④C．③和④ D．②③和④4如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C为圆周上一点，AB＝5 cm，AC＝2 cm，则B到平面PAC的距离为__________．5如图，已知平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．求证：AB⊥平面PCD．答案：基础知识·梳理1．任何直线都垂直AB⊥α垂直垂线垂面垂足垂线段距离任意一条【做一做1】D2．(1)两条相交(2)也垂直于平行【做一做2－1】B 由直线与平面垂直的判定定理可以证明与AD1垂直的平面是平面A1DCB1.【做一做2－2】B典型例题·领悟【例1】证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设其棱长为2a，因为B1B⊥平面AC，且AC⊂平面AC，所以B1B⊥AC.又O是正方形ABCD的中心，所以AC⊥BD.所以AC⊥平面B1BO.而B1O⊂平面B1BO，所以B1O⊥AC.又PO2＋OB21＝3a2＋6a2＝9a2，PD21＋B1D21＝a2＋8a2＝9a2,PB21＝PD21＋B1D21，所以PO2＋OB21＝PB21.所以B1O⊥PO.又PO∩AC＝O，所以B1O⊥平面PAC.【例2】证明：(1)∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，∴SA⊥BC.∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ⊥BC . ∴BC ⊥平面SAB .∴BC ⊥AE . 又SB ⊥AE ，∴AE ⊥平面SBC . ∴AE ⊥SC .又EF ⊥SC ，∴SC ⊥平面AEF .∴AF ⊥SC . (2)∵SA ⊥平面AC ，∴SA ⊥DC . 又AD ⊥DC ，∴DC ⊥平面SAD . ∴DC ⊥AG .又由(1)有SC ⊥平面AEF ，AG ⊂平面AEF ， ∴SC ⊥AG .∴AG ⊥平面SDC . ∴AG ⊥SD .【例3】(1)证明：设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点，连EG ，GH ，由于H 为BC的中点，故GH 12AB .又EF 12AB ，∴EF GH .∴四边形EFHG 为平行四边形．∴EG ∥FH .而EG ⊂平面EDB ，∴FH ∥平面EDB .(2)证明：由四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC . 又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC .而EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC .∴EF ⊥FH . ∴AB ⊥FH .又BF ＝FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC . ∴FH ⊥平面ABCD .∴FH ⊥AC . 又FH ∥EG ，∴AC ⊥EG .又AC ⊥BD ，EG ∩BD ＝G ，∴AC ⊥平面EDB . (3)解：∵EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°， ∴BF ⊥平面CDEF .∴BF 为四面体B －DEF 的高． 又BC ＝AB ＝2，∴BF ＝FC ＝ 2.V B －DEF ＝13×12×1×2×2＝13.【例4】正解：(1)当线段AB ⊂平面α时，显然A ，B 到平面α的距离均为0，相等．(2)当AB ⊄平面α时，如图，分别过点A ，B 作平面α的垂线，垂足分别为A 1，B 1，则AA 1，BB 1分别是点A ，B 到平面α的距离，且AA 1∥BB 1.∴AA 1与BB 1确定一个平面，设为β，则α∩β＝A 1B 1.∵O ∈AB ，AB ⊂β，∴O ∈β.又∵O∈α，∴O∈A1B1.∴AA1⊥A1O，BB1⊥B1O.∵∠AOA1＝∠BOB1，AO＝BO，∴Rt△AA1O≌Rt△BB1O.∴AA1＝BB1，即A，B两点到平面α的距离相等．随堂练习·巩固1．B2．B 一条直线垂直于三角形的两条边，那么这条直线必垂直于这个三角形所在的平面，因而必与第三边垂直．3．A4．21cm ∵C为圆周上的一点，AB为直径，∴BC⊥AC.又∵PA⊥平面⊙O，BC⊂平面⊙O，∴PA⊥BC.又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，C为垂足，∴BC即为B到平面PAC的距离．在Rt△ABC中，BC＝AB2－AC2＝52－22＝21(cm)．5．证明：∵α∩β＝AB，PC⊥α，∴PC⊥AB.同理PD⊥AB.又PC∩PD＝P，PC，PD⊂平面PCD，∴AB⊥平面PCD.。

1.2.1 平面的基本性质与推论知识梳理1.平面的基本性质(1)空间点和直线的基本性质连结两点的线中,线段最短.过两点有一条直线,并且只有一条直线.(2)平面的性质公理及推论公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.图1-2-1-1如图1-2-1-1,A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,任意C∈l⇒C∈α.这时,我们说直线在平面内或平面经过直线.公理2:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.可以简单地说,不共线的三点确定一个平面.公理3:如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线. 如图1-2-1-2,P∈α∩β⇒α∩β=l,且P∈l.图1-2-1-2如果两个平面有一条公共直线,则称这两个平面相交,这条直线叫两个平面的交线.2.平面基本性质的推论推论1:经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.如果空间中的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面.知识导学教材从基本公理出发,研究点、线、面的基本关系,以“定义—判定—性质”的思路,从局部到整体,用线来研究面,再用平面的性质研究直线的垂直与平行,从而加深对简单几何体中线与面之间关系的正确认识.三个公理和三个推论是立体几何的基础,要在理解的基础上加以应用,有时需要结合初中平面几何的知识,把知识综合起来解决问题.在学习这一部分知识时还要注意,在平面几何中成立的定理或命题在立体几何中需要重新进行证明才能使用,有些在平面几何中的真命题在立体几何中可能是假命题,要注意加以区别.疑难突破1.在立体几何中,怎样表示平面?剖析:通常画平行四边形来表示平面(注意通常两字).水平平面:通常画成锐角成45°,横边等于邻边的两倍.非水平平面：画成平行四边形.直立的平面：一组对边为铅垂线的平行四边形.相交的平面：一定要画出交线,遮住部分的线段画虚线或不画.平面通常用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(通常写在一个锐角内);也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC.点A在直线l上，记作：A∈l；点A在直线l外，记作A∉l;直线l在平面α内，记作l⊂α.2.平面的3个性质公理和推论及它们的作用.剖析:从集合的角度看,公理1是说,如果一条直线(点集)中有两个元素(点)属于一个平面(点集),那么这条直线就是这个平面的真子集,是证明直线在平面内的重要依据;公理2和三个推论是确定平面的依据,可以证明点(或线)共面,也是确定平面个数的重要依据.需要注意,“有且只有”的含义;公理3是说,两个不重合的平面,只要它们有公共点,它们就是相交的位置关系,交集是一条直线,它为证明若干点共线提供了一条新的途径,也是证明若干条直线通过同一点的重要方法.公理1给出了判断直线在平面内的方法,也说明了在空间中的每个平面内都存在着各种平面图形,在每个平面内的问题也就是初中学习的平面几何的问题.公理2及三个推论说明了怎样的条件可以确定一个平面,从而使我们知道在什么条件下可以画出确定的平面,什么条件下两个平面重合,这些都是研究空间图形时首先需要明确的.公理3说明了两个相交平面的特征,对我们确定或画出两个平面的交线具有重要的指导作用.在应用上,公理1的主要作用是判定直线在平面内;公理2主要用于证明平面的确定和平面重合;公理3的作用是证明两个平面相交、三点共线和点在直线上等.证明三线共点问题常用公理2及推论来确定平面,再用公理3证该点在交线上;证明点、线共面等问题常利用公理2或推论确定一个平面,再利用公理1或公理3证明其他元素在这个平面上或者先说明一些元素在一个平面内,其余元素在另一个平面内,之后证明这两个平面重合(同一法).3.直线和平面的位置关系.剖析:直线与平面的位置关系有且只有三种:(1)直线在平面内——有无数个公共点，如图1-2-1-3(1)；图1-2-1-3(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点，如图1-2-1-3(2);(3)直线与平面平行——没有公共点,如图1-2-1-3(3).要理解直线与平面的位置关系,可以结合实际图形,例如棱锥、棱柱、棱台等图形中线与面的位置关系加以理解;还可以结合生活中的实际进行理解,比如墙角所在的直线和地面对应的面之间的关系,教室内的灯管和地面及墙面之间的关系都可以加强对线与面之间关系的理解.。

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学1-2点线面之间的位置关系1-2-2空间中的平行关系1课后训练新人教B版必修2______年______月______日____________________部门课后训练1．在空间中，互相平行的两直线是指( )．A．在空间没有公共点的两条直线B．分别在两个平面内的两条直线C．分别在两个平面内，但没有公共点的两条直线D．在同一平面内没有公共点的两条直线2．下列说法正确的是( )．A．直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∥b，直线bα，则a∥αD．若直线a∥b，bα，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线3．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c…，则这些交线的位置关系为( )．A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或都交于同一点4．对于直线m，n和平面α，下面命题中的真命题是( )．A．如果mα，nα，m，n是异面直线，那么n∥αB．如果mα，nα，m，n是异面直线，那么n与α相交C．如果mα，n∥α，m，n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n5．a，b是两条异面直线，下列结论正确的是( )．A．过不在a，b上的任一点，可作一个平面与a，b平行B．过不在a，b上的任一点，可作一条直线与a，b相交C．过不在a，b上的任一点，可作一条直线与a，b都平行D．过a可以并且只可以作一个平面与b平行6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，CC1，C1D1，D1A1的中点，则四边形EFGH的形状是__________．7．如图所示，直线a∥平面α，点B，C，D∈a，点A与a在α的异侧．线段AB，AC，AD交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG等于__________．8．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，若AC＋BD＝a，AC·BD＝b，则EF2＋EH2＝__________.9．如图，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝a，点E在棱PC上，问点E在何处时，PA∥平面EBD，并加以证明．10．一木块如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，应该怎样画线？并说明理由．参考答案1. 答案：D2. 答案：D ∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，从而排除选项A.∵直线a在平面α外，包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行，从而排除选项B.∵直线a ∥b ，b α，则只能说明a 和b 无公共点，但a 可能在平面α内，∴a 不一定平行于α，从而排除选项C.∵a ∥b ，b α，则a α或a ∥α，∴a 可以与平面α内的无数条直线平行．故选D.3. 答案：D 若直线l ∥平面α，则过l 作平面与α相交所得的直线a ，b ，c …都平行；若l ∩α＝P ，则直线a ，b ，c …都相交于同一点P.4. 答案：C 如果m α，n ∥α，m ，n 共面，根据线面平行的性质定理，则m ∥n ，故选项C 正确．在选项A 中，n 与α可能相交，在选项B 中，n 与α可能平行．在选项D 中，m 与n 可能相交．5. 答案：D A 项错，若点与a 所确定的平面与b 平行，就不能使这个平面与a 平行了．B 项错，若点与a 所确定的平面与b 平行，就不能作一条直线与a ，b 相交．C 项错，假如这样的直线存在，根据基本性质4就可有a∥b，这与a ，b 异面矛盾．D 项正确，在a 上任取一点A ，过A 点作直线c∥b，则c 与a 确定一个平面与b 平行，这个平面是唯一的．所以应选D.6. 答案：梯形7. 答案： ∵a ∥α，EG ＝α∩平面ABD ，209∴a ∥EG ，又点B ，C ，D ∈α，∴BD ∥EG. ∴，EF FG AF EF FG EG AFBC CD AC BC CD BD AF FC+=====++∴.5420549AF BD EG AF FC ⋅⨯===++ 8. 答案： 由已知AC ＋BD ＝a ，AC ·BD ＝b ，242a b-∴，，222AC BD a +=224AC BD b⋅= 即EF ＋EH ＝，EF·EH＝，2a 4b∴EF2＋EH2＝(EF ＋EH)2－2EF ·EH ＝.242a b-9. 答案：解：当E 为PC 的中点时，PA ∥平面EBD. 证明：连接AC ，且AC∩BD＝O ，连接OE. ∵四边形ABCD 为正方形， ∴O 为AC 的中点． 又E 为PC 的中点， ∴OE 为△ACP 的中位线． ∴PA ∥EO.又PA 平面EBD ， ∴PA ∥平面EBD.10. 答案：解：在平面VAC 内，经过点P 作EF ∥AC ，且与VC 的交点为F ，与VA 的交点为E ，在平面VAB 内，经过点E 作EH ∥VB ，与AB 交于点H ，如图所示．在平面VBC 内，经过点F 作FG ∥VB ，与BC 交于点G ，连接GH ，则EF ，FG ，GH ，HE 为截面与木块各面的交线．证明如下：∵EH∥VB，FG∥VB，∴EH ∥FG ，可知E ，H ，G ，F 四点共面． ∵VB 平面EFGH ，EH 平面EFGH ，∴VB∥平面EFGH.同理可证AC∥平面EFGH.。

1.2.2空间中的平行关系（线线平行）一、课标导航：1.认识和理解空间平行线的传递性；2.会证明和应用空间等角定理3.初步了解空间四边形及其画法二、重点、难点：重点：理解空间平行线的传递性、等角定理难点：等角定理的证明三、教学过程：1、情境导入：请同学们观察我手中的三棱柱或教室的墙角线，思考一下空间中两条直线的位置关系有哪些？能否举例说明？2、初中知识回顾：（1）平行线的定义：能否说空间中无公共点的两条直线是平行直线？（2）平行公理：3、形成新知：【问题1】在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线的位置关系如何？这一性质能推广到空间中吗？试举例说明小试牛刀：①在长方体ABCD-A1B1C1D1中， E、F 分别为B和D1B 的中点，长方体的各棱中与EF数有_ _条。

②判断正误：空间四条直线，如果a∥b，c∥且 a∥d，那么b∥c．【问题2】在同一个平面内,如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角的大小关系如何？你还记得如何证明吗？这一结论能推广到空间中吗？已知：求证：证明：【问题1、证明两角相等的常用方法有哪些？问题2、证明三角形全等的方法有哪些？通过这两个问题分解难度，突破难点。

】（2）等角定理：思考与讨论：（借助同学们手中的笔或纸棒，小组讨论）如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角的关系又如何呢？结论：【问题3】空间中，如果∠ABC=∠A1B1C1，且AB∥A1B1，则BC∥B1C1对吗？小试牛刀：DB已知：AA 1, BB 1, CC 1 不共面且 , 求证：△ABC ≌ △A 1B 1C 1.【问题4】依次首尾相接的四条线段必共面，对吗？ （3）空间四边形的有关概念：①空间四边形： ②空间四边形的顶点： ③空间四边形的边： ④空间四边形的对角线：【问题5】空间四边形的四个顶点可以共面吗？空间四边形的对角线所在直线是什么位置关系? 你能画出一个空间四边形吗? 4、典型例题：例1：已知：如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 求证：四边形EFGH 是平行四边形。

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第一课时平行直线、直线与平面平行1在空间中，互相平行的两条直线是指(）A。

在空间没有公共点的两条直线B。

分别在两个平面内的两条直线C.分别在两个平面内，但没有公共点的两条直线D。

在同一平面内没有公共点的两条直线答案：D2在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱A1D1上的动点，则直线MD与平面AA1C1C的位置关系是（)A.平行B。

相交C.直线在平面内D.相交或平行解析：如图，若点M与点D1重合，因为D1D∥A1A，D1D⊄平面AA1C1C,A1A⊂平面AA1C1C,所以D1D∥平面AA1C1C,即DM∥平面AA1C1C。

若点M与点D1不重合，设DM∩AA1=P,则DM∩平面AA1C1C=P。

答案：D3过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，若所得的交线为a,b,c,…,则这些交线的位置关系为(）A。

都平行B。

都相交且一定交于同一点C。

都相交但不一定交于同一点D。

都平行或都相交于同一点解析：若直线l∥平面α，则过l作平面与α相交所得的直线a,b，c,…都平行;若l∩α=P，则直线a,b，c，…都相交于同一点P.答案：D4经过平行六面体ABCD—A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有()A.4条B.6条C。