5探索与表达规律

5 探索与表达规律1．规律探索规律探索是数学中常见的类型之一，是指从已知的几个数据或几个图形中发现其中的数据变化情况，并用代数式表示出来．规律探索体现了从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想．探索规律的一般方法是：(1)观察：从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律；(2)猜想：由此及彼，合理联想，大胆猜想；(3)归纳：善于类比，从不同的事物中发现其相似或相同点；(4)验证：总结规律，作出结论，并取特殊值验证结论的正确性．探索规律问题，要从给出的几个有限的数据着手，认真观察其中的变化规律，尝试猜想、归纳其规律，并取特殊值代入验证．在探索规律的过程中，要善于变换思维方式，这样可收到事半功倍的效果．【例1】观察下列数表：根据数表中所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为__________，第n 行(n为正整数)与第n列的交叉点上的数应为________．解析：通过观察、分析、比较可知，第1行与第1列的交叉点上的数是1，第2行与第2列的交叉点上的数是3，第3行与第3列的交叉点上的数是5，第4行与第4列的交叉点上的数是7，…，所以可猜想第6行与第6列的交叉点上的数是11，第n行(n为正整数)与第n列的交叉点上的数应为2n－1.答案：11 2n－12．探索规律的常见类型及方法(1)数字规律和代数式规律常见的几种数字规律形式：①②(2)新运算的规律 新运算是指用特定的符号表示与加、减、乘、除不相同的一种规定运算． 新运算的实质是有理数的几种混合运算，关键是观察出用到了哪些运算，要特别注意运算的顺序． (3)图形规律探索图形规律的实质是用字母表示数，即列代数式．要从不同的角度分析，可用去括号、合并同类项验证规律．【例2－1】 符号“§”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：(1)§(1)＝0，§(2)＝1，§(3)＝2，§(4)＝3，…(2)§⎝⎛⎭⎫12＝2，§⎝⎛⎭⎫13＝3，§⎝⎛⎭⎫14＝4，§⎝⎛⎭⎫15＝5，… 利用上面的规律计算：§⎝⎛⎭⎫12 013－§(2 012)．分析：从(1)中的运算可以看出，当括号内的数是整数时，运算的结果等于括号内的数减去1，所以§(2 012)＝2 011；从(2)中可以看出，当括号内的数是一个分子是1的分数时，运算的结果等于括号内那个数的倒数，所以§⎝⎛⎭⎫12 013＝2 013. 解：§⎝⎛⎭⎫12 013－§(2 012)＝2 013－2 011＝2.【例2－2】 观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1＋8＋16＋24＋…＋8n (n 是正整数)的结果为( )． A ．(2n ＋1)2 B ．(2n －1)2 C ．(n ＋2)2 D ．n 2解析：观察图形和下面的式子可以知道，1＋8＝1＋8×1＝9＝32,1＋8＋16＝1＋8×1＋8×2＝52,1＋8＋16＋24＝1＋8×1＋8×2＋8×3＝72，…，其规律是：计算的结果是连续奇数的平方，所以1＋8＋16＋24＋…＋8n ＝(2n ＋1)2.故选A.答案：A3．探索规律的应用常见的探索规律的应用：探索日历中的规律和折叠中的规律．(1)探索日历中的规律在日历中一般我们可以从横行、竖列、斜列三个方向去寻找规律，当然也可以从其他角度去探索．①横行：相邻两数相差1.如左下图所示：②竖列：相邻两数相差7.如右上图所示．③斜列：从左上到右下的斜列相邻两数相差8；从右上到左下的斜列相邻两数相差6.④日历中的3×3方框内的规律：在这9个方格中的数的和是中间方框中的数的9倍．若将中间数设为a，则其余8个数可按规律如上图所示，则这9个数的和即为(a－8)＋(a－7)＋(a－6)＋(a－1)＋a＋(a＋1)＋(a＋6)＋(a＋7)＋(a＋8)＝9a，正好是中间数a的9倍．(2)折叠中的规律将一张纸折叠，每折叠一次就会得到纸的层数、折痕数，将这些数记录下来，找出规律，就可预测当折叠n次后，相应的层数与折痕数．折叠次数：1,2,3,4,5，…，n.层数：2,4,8,16,32，…，2n.平行对折的折痕数：1,3,7,15,31，…，2n－1.___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例3－1】2013年的元宵节是阳历2月24日，根据下面的日历，你知道春节和初夕分别是哪一天吗？请你填在下面的横线上：春节：2月__________日，除夕：2月__________日．解析：根据日历中竖列和横列的规律可以求出．如图，春节与元宵节在同一竖列中，根据竖列中相邻两数相差7，可知春节比元宵节少14，即24－14＝10，春节是10日，根据横列中相邻相差1的规律，可知除夕是9日．答案：10 9【例3－2】将连续的偶数2,4,6,8，…排列成如右图所示的数表．(1)“十”字框内5个数的和，与框内中间的数18有什么关系？(2)若将“十”字框上、下、左、右平移，框住另外5个数，这5个数还有这样的规律吗？(3)设中间的数为a，用代数式表示“十”字框内5个数之和．分析：观察对比可以发现：左右相邻两数相差2，上下相邻两数相差12.再换另一组数，同样有这样的规律．解：(1)6＋16＋18＋20＋30＝90，而90÷18＝5，所以框内5个数的和是框内中间的数18的5倍．(2)将框上、下、左、右平移，任意框住5个数，同样有这样的规律．(3)若中间的数为a，则框住的5个数分别为a－12，a－2，a，a＋2，a＋12，其中a为偶数，故它们的和为(a－12)＋(a－2)＋a＋(a＋2)＋(a＋12)＝5a.【例3－3】如果将一张长方形的纸，平行对折7次，展开后，会有__________条平行折痕，折痕会把这张长方形的纸分成__________个小长方形．解析：根据折叠中的规律：对折7次，即当n＝7时，平行折痕数为2n－1＝27－1＝127(条),1条折痕能把长方形分成2个小长方形，2条能分成3个，…，127条折痕则分成128个小长方形．答案：127 128。

七年级数学上册第三章第五节 探索与表达规律（1）数学教学案【课 题】3.5探索规律（1） 【总课时】2课时 【备课时间】2016.12. 一． 学习目标知识目标： 通过问题情境，学会用代数式表示简单问题中的数量关系，利用法则验证探索得到的规律.能力目标： 建立符号感，能有条理地、清晰地用代数式运算解释具体问题中蕴含的一般规律或现象. 与求知欲.二. 教学重点难点教学重点 : 从实际情境中探索并发现规律、能够利用代数式表示规律.教学难点 : 寻找不同规律，感受规律的多样性，并验证所得规律. 三. 温故知新：１、假期快到了，有的同学要乘火车回家，发现这条火车路线上共有7个站，且任意两站之间的票价都不相同，（1）有多少种不同的票价？（2）有多少种不同的车票？３、小明过生日时有10个朋友参加，那这块蛋糕小明至少要切几刀才够他们分享的？ 四. 预习检测：１.三个连续整数中，n 是中间的一个，则其它的两数可以表示为其和为_________。

2．找规律填空: 1，4，9，16，25 ，______ ，______ … … 第n 个数可以表示为_________ 。

４、如图，图１中有＿＿个角，图２中有＿＿个角，图３中有＿＿个角，以此类推，若一个顶点出有ｎ条射线，共有＿＿个角。

五. 新知突破模块１：凭你的经验，完成下图2015年1月份的日历表。

日历中的横行、竖列、斜向之间的数字有什么关系？ 探究活动一：请找出同一直线上相邻数之间的关系:（设中间数为ａ）1. 横行三个相邻的日期数的关系：（后者比前者＿＿＿＿）能用字母表示吗?规律一：2．竖列三个相邻的日期数的关系：（下者比上者＿＿＿）能用字母表示吗? 规律二：3.左上右下对角线上相邻的日期数的关系：（右下者比左上者＿＿＿）能用字母表示吗? 规律三：4．右上左下对角线上相邻的日期数的关系。

（左下者比右上者＿＿＿）能用字母表示吗?规律四：探究活动二：同一直线上无论位置怎样的相邻三个数， 首尾两数之和= ×规律五：无论位置怎样的相邻三个数，中间的数是其余两个数的 。

教学反思《探索与表达规律》是第三章《字母表示数》的一个重要内容，它既是对事物实行的一般化表示，同时也是抽象地分析数学对象的开始，更是今后学习方程、函数等内容的基础。

所以本节课通过见识经典创设问题情境，目的是通过名人成就吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣和探究欲望，为本节课作好情感、方法和思维铺垫，同时也让学生初步体验探索规律的一般方法。

接着从学生熟悉的日历问题入手，设计了开放式的活动，教学中用屏幕显示日历图中的套色方框，让学生自主探究问题串，就有效地调动了学生的学习积极性，安排学生合作探究和交流，给学生自主探究的时间和空间，达到了问题由学生自己解决的目的。

再者，因为给生生之间、师生之间的相互交流的时间较为充分，在生生互动、师生互动的过程中又较好地解决了问题串，达到了让学生经历探索数量关系、使用符号表示规律、通过计算验证规律的过程的目的，初步得到3X3方框中的九个数之和与方框中的中间数的关系，然后鼓励学生用代数式表达自己的发现，并尝试去验证，从而达到本节课的教学目标，突出重点突破难点。

接着再将问题进一步延伸，让学生合作探究十字形，H形，M形等方框包含的数字规律，还用所学的知识验证了这些规律，发挥学生的聪明才智，培养学生发散思维水平，表达了民主的教学意识。

最后老师提出思考题，T字形，为布置作业中的开放题（第一个必做题）埋下伏笔。

本环节通过学生自主探究和合作交流的学习方式，让师生共同经历探索数量关系、使用符号表示规律、通过计算验证规律的过程，进一步发展其符号感；让学生经历从特殊到一般再到特殊的理解过程，发展其辩证唯物主义观点。

接着从日历中数的规律到探索形的规律，教学中学生最直接的思考方式就是从图形上获取规律，让学生经历从感性到理性的思维上升过程，从而从图形的摆放方式上探索数量关系、使用符号表示规律、通过计算验证规律，进一步发展其符号感；但是教学中要鼓励学生用不同的思维方式，所以教师引导学生将图形的规律转化为数的规律来研究，从每一个图形所对应的数来探究，得到规律。