安徽省亳州市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

构造与论证教学目标1.掌握最佳安排和选择方案的组合问题.2.利用基本染色去解决相关图论问题．知识点拨知识点说明各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。

若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。

若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．知识点拨板块一、最佳安排和选择方案【例 1】5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?【考点】构造与论证【难度】2星【题型】解答【解析】因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；现在将第4卷调至此时第1卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123；现在将第3卷调至此时第1卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312；最后将第1卷和第2卷对调即可．所以，共需调换4+3+2+1=10次．【答案】10次【例 2】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】从整体进行考虑．所得的2009个和相加，便等于1～2009的所有数的总和的2倍，是个偶数．2009个数的和是偶数，说明这2009个数中必有偶数，那么这2009个数的乘积是偶数．本题也可以考虑其中的奇数．由于1～2009中有1005个奇数，那么正反两面共有2010个奇数，而只有2009张卡片，根据抽屉原理，其中必有2个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数字的和是偶数，从而所有2009个和的乘积也是偶数．【答案】偶数【例 3】一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是颜色(填“黑”或者“白”)．【考点】构造与论证【难度】3星【题型】填空【解析】在每一次操作中，若拿出的两枚棋子同色，则补黑子1枚，所以拿出的白子可能为0枚或2枚；若拿出的两枚棋子异色，则补白子1枚，“两枚棋子异色”说明其中一黑一白，那么此时拿出的白子数为0枚．可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚，而由于起初白子有200枚，是偶数枚，所以每次操作后剩下的白子都是偶数枚，因此最后1枚不可能是白子，只能是黑子．【答案】黑子【例 4】在黑板上写上1、2、3、4、……、2008，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】根据等差数列求和公式，可知开始时黑板上所有数的和为123200820091004++++=⨯是一个偶数，而每一次“操作”，将a、b两个数变成了()a b-，它们的和减少了2b，即减少了一个偶数．那么从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，还是一个偶数．所以每次操作后黑板上剩下的数的和都是偶数，那么最后黑板上剩下一个数时，这个数是个偶数．【答案】偶数【例 5】在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】最少要1997次，将第一列中的每一格都按一次，则除第一列外，每格的灯都只改变一次状态，由不亮变成亮．而第一列每格的灯都改变1997次状态，由不亮变亮．如果少于1997次，则至少有一列和至少有一行没有被按过，位于这一列和这一行相交处的灯保持原状，即不亮的状态．【答案】1997次【例 6】有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】(1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→(50，0，50)→(25，25，50)→(0，0，25)．(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．【答案】(1)可以(2)不能【例 7】在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分)．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高．当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得10+2+2-2=12(分)．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三场比赛共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34÷3=1113，推知，必有人得分不超过11分.也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高.【答案】胜3场【例 8】 n 支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：（1）n =4是否可能？（2）n =5是否可能？【考点】构造与论证 【难度】3星 【题型】解答【解析】 （1）我们知道4个队共进行了24C 场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为24C ×2=12.因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以 4个队得分最少2+3+4+5=14＞12，不满足.即n =4不可能。

構造與論證教學目標1.掌握最佳安排和選擇方案的組合問題.2.利用基本染色去解決相關圖論問題．知識點撥知識點說明各種探討給定要求能否實現，在論證中，有時需進行分類討論，有時則要著眼於極端情形，或從整體把握．設計最佳安排和選擇方案的組合問題，這裏的最佳通常指某個量達到最大或最小．解題時，既要構造出取得最值的具體實例，又要對此方案的最優性進行論證．論證中的常用手段包括抽屜原則、整除性分析和不等式估計．組合證明題，在論證中，有時需進行分類討論，有時則需要著眼於極端情況，或從整體把握。

若干點及連接它們的一些線段組成圖，與此相關的題目稱為圖論問題。

若干點及連接它們的一些線段組成圖，與此相關的題目稱為圖論問題，這裏宜從特殊的點或線著手進行分析．各種以染色為內容，或通過染色求解的組合問題，基本的染色方式有相間染色與條形染色．知識點撥板塊一、最佳安排和選擇方案【例 1】5卷本百科全書按從第1卷到第5卷的遞增序號排列，今要將它們變為反序排列，即從第5卷到第1卷．如果每次只能調換相鄰的兩卷，那麼最少要調換多少次?【考點】構造與論證【難度】2星【題型】解答【解析】因為必須是調換相鄰的兩卷，將第5卷調至原來第1卷的位置最少需4次，得到的順序為51234；現在將第4卷調至此時第1卷的位置最少需3次，得到的順序為54123；現在將第3卷調至此時第1卷的位置最少需2次，得到的順序為54312；最後將第1卷和第2卷對調即可．所以，共需調換4+3+2+1=10次．【答案】10次【例 2】在2009張卡片上分別寫著數字1、2、3、4、……、2009，現在將卡片的順序打亂，讓空白面朝上，並在空白面上又分別寫上1、2、3、4、……、2009．然後將每一張卡片正反兩個面上的數字相加，再將這2009個和相乘，所得的積能否確定是奇數還是偶數？【考點】構造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】從整體進行考慮．所得的2009個和相加，便等於1～2009的所有數的總和的2倍，是個偶數．2009個數的和是偶數，說明這2009個數中必有偶數，那麼這2009個數的乘積是偶數．本題也可以考慮其中的奇數．由於1～2009中有1005個奇數，那麼正反兩面共有2010個奇數，而只有2009張卡片，根據抽屜原理，其中必有2個奇數在同一張卡片上，那麼這張卡片上的數字的和是偶數，從而所有2009個和的乘積也是偶數．【答案】偶數【例 3】一個盒子裏有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下麵我們對這些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果顏色相同，就補1枚黑色棋子回去；如果顏色不同，就補1枚白色的棋子回去．這樣的操作，實際上就是每次都少了1枚棋子，那麼，經過399次操作後，最後剩下的棋子是顏色(填“黑”或者“白”)．【考點】構造與論證【難度】3星【題型】填空【解析】在每一次操作中，若拿出的兩枚棋子同色，則補黑子1枚，所以拿出的白子可能為0枚或2枚；若拿出的兩枚棋子異色，則補白子1枚，“兩枚棋子異色”說明其中一黑一白，那麼此時拿出的白子數為0枚．可見每次操作中拿出的白子都是偶數枚，而由於起初白子有200枚，是偶數枚，所以每次操作後剩下的白子都是偶數枚，因此最後1枚不可能是白子，只能是黑子．【答案】黑子【例 4】在黑板上寫上1、2、3、4、……、2008，按下列規定進行“操怍”：每次擦去其中的任意兩個數a和b，然後寫上它們的差(大數減小數)，直到黑板上剩下一個數為止．問黑板上剩下的數是奇數還是偶數？為什麼？【考點】構造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】根據等差數列求和公式，可知開始時黑板上所有數的和為++++=⨯是一個偶數，而每一次“操作”，將a、b兩個數123200820091004變成了()-，它們的和減少了2b，即減少了一個偶數．那麼從整體上看，a b總和減少了一個偶數，其奇偶性不變，還是一個偶數．所以每次操作後黑板上剩下的數的和都是偶數，那麼最後黑板上剩下一個數時，這個數是個偶數．【答案】偶數【例 5】在1997×1997的正方形棋盤上的每格都裝有一盞燈和一個按鈕．按鈕每按一次，與它同一行和同一列方格中的燈泡都改變一次狀態，即由亮變為不亮，或由不亮變為亮．如果原來每盞燈都是不亮的，請說明最少需要按多少次按鈕才可以使燈全部變亮?【考點】構造與論證【難度】4星【題型】解答【解析】最少要1997次，將第一列中的每一格都按一次，則除第一列外，每格的燈都只改變一次狀態，由不亮變成亮．而第一列每格的燈都改變1997次狀態，由不亮變亮．如果少於1997次，則至少有一列和至少有一行沒有被按過，位於這一列和這一行相交處的燈保持原狀，即不亮的狀態．【答案】1997次【例 6】有3堆小石子，每次允許進行如下操作：從每堆中取走同樣數目的小石子，或是將其中的某一石子數是偶數的堆中的一半石子移入另外的一堆．開始時，第一堆有1989塊石子，第二堆有989塊石子，第三堆有89塊石子．問能否做到：(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【考點】構造與論證【難度】4星【題型】解答【解析】(1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→(50，0，50)→(25，25，50)→(0，0，25)．(2)因為操作就兩種，每堆取走同樣數目的小石子，將有偶數堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子總數要麼減少3的倍數，要麼不變．現在共有1989+989+89=3067，不是3的倍數，所以不能將3堆中所有石子都取走．【答案】(1)可以(2)不能【例 7】在某市舉行的一次乒乓球邀請賽上，有3名專業選手與3名業餘選手參加.比賽採用單迴圈方式進行，就是說每兩名選手都要比賽一場．為公平起見，用以下方法記分：開賽前每位選手各有10分作為底分，每賽一場，勝者加分，負者扣分，每勝專業選手一場加2分，每勝業餘選手一場加1分；專業選手每負一場扣2分，業餘選手每負一場扣1分．問：一位業餘選手最少要勝幾場，才能確保他的得分比某位專業選手高? 【考點】構造與論證【難度】4星【題型】解答【解析】當一位業餘選手勝2場時，如果只勝了另兩位業餘選手，那麼他得10+2-3=9(分)．此時，如果專業選手間的比賽均為一勝一負，而專業選手與業餘選手比賽全勝，那麼每位專業選手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位業餘選手勝2場，不能確保他的得分比某位專業選手高．當一位業餘選手勝3場時，得分最少時是勝兩位業餘選手，勝一位專業選手，得10+2+2-2=12(分)．此時，三位專業選手最多共得30+0+4=34(分)，其中專業選手之間的三場比賽共得0分，專業選手與業餘選手的比賽最多共得4分.由三個人得34分，34÷3=111，推知，3必有人得分不超過11分.也就是說，一位業餘選手勝3場，能確保他的得分比某位專業選高.【答案】勝3場【例 8】n支足球隊進行比賽，比賽採用單迴圈制，即每對均與其他各隊比賽一場.現規定勝一場得2分，平一場得1分，負一場得0分.如果每一隊至少勝一場，並且所有各隊的積分都不相同，問：（1）n=4是否可能？（2）n=5是否可能？【考點】構造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】（1）我們知道4個隊共進行了24C場比賽，而每場比賽有2分產生，所以4個隊的得分總和為2C×2=12.因為每一隊至少勝一場，所以得分最低的4隊至少得2分，又要求每個隊的得分都不相同，所以4個隊得分最少2+3+4+5=14＞12，不滿足.即n=4不可能。

学科培优数学“构造与论证”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．【授课批注】论证：天下乌鸦都是黑的。

学生一定会说因为我看到的乌鸦都是黑的，所以天下乌鸦都是黑的！这样说明问题是不可以的。

但是，如果我能看到一只白乌鸦，从而可以说明天下乌鸦不全是黑的。

这种方法叫做举反例法，是很有说服力的一种方法！知识梳理【重点难点解析】1.如何分类讨论及讨论结果的全面性。

2.与抽屉原理、数论、估算相结合的综合题。

3.如何设计最佳方案和选择最佳方案。

【竞赛考点挖掘】1.迎春杯、华杯中经常出现。

2.与其他知识点相结合的综合性题目。

【授课批注】小升初的考试中不会涉及到，但在杯赛中经常出现，尤其是迎春杯，华杯！所以，考杯赛的学生应着重学习。

例题精讲【试题来源】【题目】5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?【试题来源】【题目】在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?【试题来源】【题目】甲、乙、丙三个班人数相同，在班级之间举行象棋比赛．各班同学都按l，2，3，4，…依次编号．当两个班比赛时，具有相同编号的同学在同一台对垒．在甲、乙两班比赛时，有15台是男、女生对垒；在乙、丙班比赛时，有9台是男、女生对垒．试说明在甲、丙班比赛时，男、女生对垒的台数不会超过24．并指出在什么情况下，正好是24 ？【题目】有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：(1)某2堆石子全部取光?(2)3堆中的所有石子都被取走?【试题来源】【题目】4个人聚会，每人各带2件礼品，分赠给其余3个人中的2人．试证明：至少有2对人，每对人是互赠过礼品的．【试题来源】【题目】证明：在6×6×6的正方体盒子中最多可放入52个1×l×4的小长方体，这里每个小长方体的面都要与盒子的侧面平行．【试题来源】【题目】如图35-1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M.求M的最小值并完成你的填图.习题演练【题目】在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?【试题来源】【题目】某学校的学生中，没有一个学生读过学校图书馆的所有图书，又知道图书馆内任何两本书都至少被一个同学都读过．问：能否找到两个学生甲、乙和三本书4、B、C，使得甲读过A、B，没读过C，乙读过B、C，没读过A?说明判断过程．【试题来源】【题目】 n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：（1）n=4是否可能？（2）n=5是否可能？【试题来源】【题目】将5×9的长方形分成10个边长为整数的长方形．证明：无论怎样分法．分得的长方形中必有两个是完全相同的．【试题来源】【题目】将15×15的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色．证明：至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同．【试题来源】【题目】有9位数学家，每人至多能讲3种语言，每3个人中至少有2个人有共通的语言.求证：在这些数学家中至少有3人能用同一种语言交谈。

安徽省合肥市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分）甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛，通过抽签决定出赛顺序．在未公布顺序前每人都对出赛顺序进行了猜测．甲猜：乙第三，丙第五．乙猜：戊第四，丁第五．丙猜：甲第一，戊第四．丁猜：丙第一，乙第二．戊猜：甲第三，丁第四．老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，则出赛顺序中，第一是________；第三是________．2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。

已知最上层有4根，最下层有20根。

（1）这堆原木堆放了多少层?（2）一共有多少根原木?3. （5分）在方格里填上1～9中的数字，每个算式中的数字不能重复。

4. （5分）甲、乙、丙、丁四人进行象棋比赛，每两个都比赛一场，规定胜者得分，平局各得分，输者得分．结果甲第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得几分？5. （10分）甲、乙、丙、丁在比较他们的身高，甲说：“我最高．”乙说：“我不最矮．”丙说：“我没甲高，但还有人比我矮．”丁说：“我最矮．”实际测量的结果表明，只有一人说错了．请将他们按身高次序从高到矮排列出来．6. （5分）如图，分别标有数字的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标的数字都不相同．当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对．7. （5分）甲、乙、丙、丁每人只会中、英、法、日四种语言中的两种，其中有一种语言只有一人会说．他们在一起交谈可有趣啦：⑴乙不会说英语，当甲与丙交谈时，却请他当翻译；⑵甲会日语，丁不会日语，但他们却能相互交谈；⑶乙、丙、丁找不到三人都会的语言；⑷没有人同时会日、法两种语言．请问：甲、乙、丙、丁各会哪两种语言？8. （10分） 5只鸡，5天生了5个蛋。

1. 掌握最佳安排和选择方案的组合问题.2. 利用基本染色去解决相关图论问题．知识点说明 各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。

若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。

若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．板块一、最佳安排和选择方案 【例 1】 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?【考点】构造与论证 【难度】2星 【题型】解答【解析】 因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；现在将第4卷调至此时第1卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123；现在将第3卷调至此时第1卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312；最后将第1卷和第2卷对调即可．知识点拨知识点拨教学目标构造与论证所以，共需调换4+3+2+1=10次．【答案】10次【例2】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】从整体进行考虑．所得的2009个和相加，便等于1～2009的所有数的总和的2倍，是个偶数．2009个数的和是偶数，说明这2009个数中必有偶数，那么这2009个数的乘积是偶数．本题也可以考虑其中的奇数．由于1～2009中有1005个奇数，那么正反两面共有2010个奇数，而只有2009张卡片，根据抽屉原理，其中必有2个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数字的和是偶数，从而所有2009个和的乘积也是偶数．【答案】偶数【例3】一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是颜色(填“黑”或者“白”)．【考点】构造与论证【难度】3星【题型】填空【解析】在每一次操作中，若拿出的两枚棋子同色，则补黑子1枚，所以拿出的白子可能为0枚或2枚；若拿出的两枚棋子异色，则补白子1枚，“两枚棋子异色”说明其中一黑一白，那么此时拿出的白子数为0枚．可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚，而由于起初白子有200枚，是偶数枚，所以每次操作后剩下的白子都是偶数枚，因此最后1枚不可能是白子，只能是黑子．【答案】黑子【例4】在黑板上写上1、2、3、4、……、2008，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】根据等差数列求和公式，可知开始时黑板上所有数的和为123200820091004++++=⨯是一个偶数，而每一次“操作”，将a、b两个数变成了()a b-，它们的和减少了2b，即减少了一个偶数．那么从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，还是一个偶数．所以每次操作后黑板上剩下的数的和都是偶数，那么最后黑板上剩下一个数时，这个数是个偶数．【答案】偶数【例5】在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】最少要1997次，将第一列中的每一格都按一次，则除第一列外，每格的灯都只改变一次状态，由不亮变成亮．而第一列每格的灯都改变1997次状态，由不亮变亮．如果少于1997次，则至少有一列和至少有一行没有被按过，位于这一列和这一行相交处的灯保持原状，即不亮的状态．【答案】1997次【例6】有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【考点】构造与论证 【难度】4星 【题型】解答【解析】 (1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→(50，0，50)→(25，25，50)→(0，0，25)．(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．【答案】(1)可以 (2)不能【例 7】 在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?【考点】构造与论证 【难度】4星 【题型】解答【解析】 当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分)．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高．当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得10+2+2-2=12(分)．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三场比赛共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34÷3=1113，推知，必有人得分不超过11分.也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高.【答案】胜3场【例 8】 n 支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：（1）n =4是否可能？（2）n =5是否可能？【考点】构造与论证 【难度】3星 【题型】解答【解析】 （1）我们知道4个队共进行了24C 场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为24C ×2=12.因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以 4个队得分最少2+3+4+5=14＞12，不满足.即n =4不可能。

五年级第二学期讲义第十五讲构造与论证一、知识要点构造与论证是一类创造性的思维活动，要求我们积极展开联想灵活运用所学的知识。

而构造法是一种重要的数学方法，一类数论问题可以通过构造出某些特殊结构，特殊形式的数列或数组来解决，另外在解决一些图形问题上，逻辑推理问题上也可以通过构造我们所熟悉的特殊情景然后再解题，问题就变得容易多了。

二、典型例题1.一个立方体的12条棱分别被染成白色和红色，每个面上至少要有一条边是白色的，那么最少有多少条边是白色的?2.一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被后一个三位数“吃掉”．例如，24l被352吃掉，123被123吃掉(任何数都可以被与它相同的数吃掉)，但240和223互相都不能被吃掉．现请你设计6个三位数，它们当中任何一个都不能被其他5个数吃掉，并且它们的百位数字只允许取l，2；十位数字只允许取1，2，3；个位数字只允许取1，2，3，4．问这6个三位数分别是多少?3.在如图所示表格第二行的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数，那么第二行中的5个数字各是几?4.有一把长为9厘米的直尺，你能否在上面只标出3条刻度线，使得用这把直尺可以量出从1至9厘米中任意整数厘米的长度？5.盒子里放着红、黄、绿3种颜色的铅笔，并且规格也有3种：短的、中的和长的。

已知盒子的铅笔，3种颜色和3种规格都齐全。

问是否一定能从中选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各不相同？6.在100个人之间，消息的传递是通过电话进行的，当甲与乙两个人通话时，甲把他当时所知道的信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉甲。

请你设计一种方案，使得只需打电话196次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息。

7.能否在5×5方格表的各个小方格内分别填入数1，2，……，24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？8.把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。

河北省邯郸市小学数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分） 5个足球队进行比赛，每个球队都与其他球队各比一场，胜方得3分，负方得0分，平局各得1分．最后四个队分别得1分、2分、5分和7分，那么第五个队得________分．2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。

已知最上层有4根，最下层有20根。

（1）这堆原木堆放了多少层?（2）一共有多少根原木?3. （5分） 22名家长(爸爸或妈妈，他们都不是老师)和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有一名男老师，那么在这22人中，爸爸有多少人?4. （5分）张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师，已知：⑴张明不在北京工作，席辉不在上海工作；⑵在北京工作的不是教师；⑶在上海工作的是工人；⑷席辉不是农民．问：这三人各住哪里？各是什么职业？5. （10分）名运动员参加一项比赛，赛前，甲说：“我肯定是最后一名．”乙说：“我不可能是第一名，也不可能是最后一名．”丙说：“我绝对不会得最后一名．”丁说：“我肯定得第一名．”赛后，发现他们人的预测中只有一人是错误的．请问谁的预测是错误的？6. （5分）某次数学竞赛有6个同学参加，总分是547分，则至少有一个同学的得分不低于92分．为什么？7. （5分）(2011·广州模拟) 某路公共汽车，包括起点和终点共有15个车站，有一辆车除终点外，每一站上车的乘客中，恰好有一位乘客到以后的每一站下车，为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车最少要有多少个座位？8. （10分）去年学而思杯颁奖大会上，很多同学都过来领奖了。

小学奥数系列8-6-1构造与论证一、最佳安排和选择方案1. 一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是________颜色（填“黑”或者“白”）．2. 在黑板上写上、、、、……、，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数和，然后写上它们的差（大数减小数），直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？3. 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?4. 在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?5. 有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：（1）某2堆石子全部取光?（2） 3堆中的所有石子都被取走?6. 在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？7. 在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?8. n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：（1） n=4是否可能？（2） n=5是否可能？9. 如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M。

小学奥数创新体系6年级
（上册授课详解）
最 新 讲 义
小学奥数
第二十四讲 构造论证二
例1． 答案：（1）如下图，（2）不能
详解：（1）略；（2）配成的平方数只有4、9、16三种可能，11只能和5配对，而4也只能和5配对，所以没有满足要求的填法．
例2． 答案：（1）9、7、2、14、11、5、4、12、13、3、6、10、15、1、8；
（2）1、2、3、14、5、12、7、10、9、8、11、6、13、4、15 详解：（2）奇数与奇数不能相邻，所以需要有7个偶数把它们分开．
例3． 答案：（1）能，（2）不能
详解：（1）可以按如下操作：（34，55，82）→（0，21，48）→（24，21，24）→（4，1，4）→（2，3，4）→（0，1，2）→（1，1，1）→（0，0，0）；（2）本题中三堆石子数目和要是3的倍数，190不是3的倍数，所以，不能．
例4． 答案：（1）能；
（2）不能 详解：（1）可以按如下操作：（8，18，28）→（0，10，20）→（6，7，17）→（8，9，16）→（7，8，15）→（6，7，14）→（6，7，8）；（2）所有操作不能改变三个数的两两之差被3除的余数大小．
例5． 答案：（1）如图，白框涂红、黑框涂蓝；（2）不能
详解：（2）1×2的小长方形每次恰覆盖1个红格和1个蓝格，而由（1）可知红格与蓝格的数目不相等．
例6． 答案：能，能
1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 2 6 5 4 3 9 1 7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
详解：方法同上．。

小学六年级奥数天天练：构造与论证教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书，包括教材简析和学生分析、教学目的、重难点、教学准备、教学过程及练习设计等，下面是由小编为大家整理的范文模板,仅供参考,欢迎大家阅读.
有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆.开始时，第一堆有_89块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子.问能否做到：
(1)某2堆石子全部取光?
(2)3堆中的所有石子都被取走?
【答案】
(1)可以，如(_89，989，89) (__，9_，0) (950，9_，950)
(50，0，50) (25，25，50) (O，0，25).
(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变.
现在共有_89+989+89=3_7，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走.
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6和8的奥数题6和8的奥数题是一道经典的数学题目，它既有趣又具有一定难度。

下面我将分步骤阐述这道题目的解法。

首先，我们需要了解一些基础知识：两个正整数的最大公约数（gcd）与最小公倍数（lcm）的关系为gcd(x, y) * lcm(x, y) = x * y。

接着，我们来看第一问：有一堆石子，有6个、8个或20个时都可以平均地分成若干组，求这堆石子最少有多少个？这道题目可以通过列方程的方法来解决。

设这堆石子的数量为x，根据题意得到以下方程：x / 6 = n1 （x可以被6整除）x / 8 = n2 （x可以被8整除）x / 20 = n3 （x可以被20整除）其中，n1、n2、n3均为正整数。

将上式化简得：x = 6n1 = 8n2 = 20n3由此可知，x既能被6整除，也能被8整除，还能被20整除。

因此，x必然是6、8、20的最小公倍数。

根据基础知识，得到：x = lcm(6, 8, 20) = 120因此，这堆石子最少有120个。

接着，我们来看第二问：如果这堆石子的总数x比120大，并且每组的石子数不少于5个，那么这堆石子最少有多少个？这道题目需要运用到调和平均数的概念。

假设每组的石子数为y，那么根据题意得到以下方程：x / 6 = n1yx / 8 = n2yx / 20 = n3y这里的n1、n2、n3同样是正整数。

将上式化简得：x = 6n1y = 8n2y = 20n3y由此可知，x必须是6通数、8通数、20通数中的最小公倍数。

假设最小公倍数为M，有：M = lcm(6, 8, 20) = 120又因为每组的石子数不少于5个，我们可得到以下不等式：y <= x / 5因此，我们可以得到以下不等式：6n1y <= x < (6n1 + 1)y8n2y <= x < (8n2 + 1)y20n3y <= x < (20n3 + 1)y根据以上不等式，我们可以得到以下关系：6n1 + 1 <= 8n26n1 + 1 <= 20n38n2 + 1 <= 20n3因为M是6、8、20的最小公倍数，所以n1、n2、n3必然满足以下条件：n1 <= M / 6 = 20n2 <= M / 8 = 15n3 <= M / 20 = 6因此，我们可以列出以下方程组：6n1 + 1 <= 8n26n1 + 1 <= 20n38n2 + 1 <= 20n3n1, n2, n3是正整数，且n1 <= 20，n2 <= 15，n3 <= 6通过枚举n1、n2、n3的值，我们可以求得满足以上条件的最小的x，也就是这堆石子最少有多少个。

安徽省池州市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分）五个足球队进行循环比赛，即每两个队之间都要赛一场．每场比赛胜者得分、负者得分、打平两队各得分．比赛结果各队得分互不相同．已知：⑴第名的队没有平过；⑵第名的队没有负过；⑶第名的队没有胜过．问全部比赛共打平了________场．2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。

已知最上层有4根，最下层有20根。

（1）这堆原木堆放了多少层?（2）一共有多少根原木?3. （5分）张老师把红、白、蓝三种颜色的气球分给三位小朋友，根据下面的对话，你能猜出他们分到的各是什么颜色的气球吗?4. （5分）一个乡村小学，A、B、C三位老师共同承担全校语文、数学、品德、体育、音乐、美术六门课，每人教两门．根据下列条件判断他们分别教哪两门课．①A喜欢和体育老师、数学老师游泳．②B和音乐老师、语文老师都喜欢踢足球．③体育老师比语文老师年龄大．④B不是体育老师．⑤品德老师和数学老师喜欢下棋．(提示：是某个学科的老师就在下面用“√”表示，不是就用“×”表示，根据上面的条件，填写下表．)5. （10分）某地质学院的学生对一种矿石进行观察和鉴别。

甲判断：不是铁，也不是铜。

乙判断：不是铁，而是锡。

丙判断：不是锡，而是铁。

经化验证明：有一个人的判断完全正确，有一个人说对了一半，而另一个人完全说错了。

你知道三人中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗？6. （5分） 9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为2∶3。

证明：这9 条直线中至少有3 条通过同一个点。

7. （5分）塑料袋里有六个橘子，如何均分给三个小孩，而塑料袋里仍有二个橘子？（不可以分开橘子）8. （10分）宝宝、贝贝、聪聪每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们，此外：⑴数学博士夸跳高冠军跳的高⑵跳高冠军和大作家常与宝宝一起看电影⑶短跑健将请小画家画贺年卡⑷数学博士和小画家关系很好⑸贝贝向大作家借过书⑹聪聪下象棋常赢贝贝和小画家问：宝宝、贝贝、聪聪各有哪两个外号吗？9. （5分）一个挂钟敲六下要30秒，敲12下要几秒？10. （2分）小明参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是36环，小明至少有一镖不低于8环，对吗？为什么？11. （5分）甲、乙、丙、丁四人进行象棋比赛，每两个都比赛一场，规定胜者得分，平局各得分，输者得分．结果甲第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得几分？12. （5分）四名同学参加区里围棋比赛，每两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得分，平一局得分，负一局得分．如果每个人最后得的总分都不相同，且第一名不是全胜，那么最多有几局平局？13. （5分）一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问．四人分别供述如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中．”乙说：“我没有作案，是丙偷的．”丙说：“在甲和丁中间有一人是罪犯．”丁说：“乙说的是事实．”经过充分的调查，证实这四人中有两人说了真话，另外两人说的是假话．同学们，请你做一名公正的法官，对此案进行裁决，确认谁是罪犯？14. （5分）一个苹果减去一个苹果，猜一个字。