高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.1 离散型随机变量的均值课件 新人

2．3.2 离散型随机变量的方差

1．问题导航

(1)离散型随机变量的方差及标准差的定义是什么？

(2)方差具有哪些性质？两点分布与二项分布的方差分别是什么？

(3)如何计算简单离散型随机变量的方差？

2．例题导读

(1)例4求随机变量的均值和方差、标准差，请试做教材P68练习1题．

(2)例5是均值和方差的实际应用，请试做教材P68练习3题．

1．方差、标准差的定义及方差的性质

(1)方差及标准差的定义：

设离散型随机变量X的分布列为

X x1 x2 „ xi „ xn

P p1 p2 „ pi „ pn

①方差D(X)＝∑ni＝1 (xi－E(X))2pi.

②标准差为________D（X）．

(2)方差的性质：D(aX＋b)＝________a2D(X)．

2．两个常见分布的方差

(1)若X服从两点分布，则D(X)＝________p(1－p)．

(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝________np(1－p)．

1．判断(对的打“√”，错的打“×”)

(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( )

(2)若a是常数，则D(a)＝0.( )

(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．( )

答案：(1)× (2)√ (3)√

2．一批产品中，次品率为13，现连续抽取4次，其次品数记为X，则D(X)的值为( )

A.43 B.83

C.89 D．1

答案：C

3．如果X是离散型随机变量，E(X)＝6，D(X)＝0.5，X1＝2X－5，那么E(X1)和D(X1)分别是( ) A．E(X1)＝12，D(X1)＝1

B．E(X1)＝7，D(X1)＝1

C．E(X1)＝12，D(X1)＝2

D．E(X1)＝7，D(X1)＝2

答案：D

4．已知随机变量X的分布列如下表所示，则X的方差为________.

X 1 3 5

P 0.4 0.1 x

答案：3.56

第2课时 离散型随机变量及其分布列

1．了解离散型随机变量及分布列的概念．(重点)

2．掌握离散型随机变量分布列的求法．(难点)

[基础·初探]

教材整理1 离散型随机变量

阅读教材P35“抽象概括”以下部分，完成下列问题．

随机变量的取值能够__________，这样的随机变量称为离散型随机变量．

【答案】 一一列举出来

下列随机变量中不是离散型随机变量的是________(填序号)．

①某宾馆每天入住的旅客数量是X；

②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X；

③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；

④虎门大桥一天经过的车辆数是X.

【解析】 ①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．

【答案】 ②

教材整理2 离散型随机变量X的分布列

阅读教材P35“抽象概括”以下内容～P37“习题2－1”以上部分，完成下列问题．

1．定义

设离散型随机变量X的取值为a1，a2，„随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，„)，记作： P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，„)，(1)

或把(1)式列成如下表格：

X＝ai a1 a2 „

P(X＝ai) p1 p2 „

上述表格或(1)式称为离散型随机变量X的分布列．

如果随机变量X的分布列为上述表格或(1)式，我们称随机变量X服从这一分布(列)，并记为：

X～______________.

2．性质

在离散型随机变量X的分布列中，

(1)pi>________；

(2)p1＋p2＋„＝________.

【答案】 1.a1 a2„p1 p2 „ 2.(1)0 (2)1

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )

(2)离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等．( )

数学选修2-3

第二章随机变量及其分布章末检测题(B)

(时间:90分钟满分:120分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

目要求的)

1.已知离散型随机变量X的分布列为

X123

P3

53

10110

则X的数学期望E(X)=()

A.3

2B.2C.5

2D.3

2.正态分布N

1(μ

1,󰟪

12

),N

2(μ

2,󰟪

22

),N

3(μ

3,󰟪

32

)(其中σ

1,σ

2,σ

3均大于0)所对应的密度函数图象如图,则下列说

法正确的是()

A.μ

1最大,σ

1最大B.μ

3最大,σ

3最大

C.μ

1最大,σ

3最大D.μ

3最大,σ

1最大

3.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),

假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同,那么甲以4比2获胜的概率为()

A.5

64B.15

64C.5

32D.516

4.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测,不放回地依次摸出2件.在第一次摸出正

品的条件下,第二次也摸到正品的概率是()

A.3

5B.2

5C.5

9D.1

10

5.若随机变量ξ~B(n,p),且E(ξ)=6,D(ξ)=3,则P(ξ=1)的值为()

A.3×2-2B.3×2-10C.2-4D.2-8

6.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体.经过搅匀后,从中随机取

一个小正方体,记它的涂漆面数为X,则X的均值E(X)=()

A.126

125B.6

5C.168

125D.7

57.某商家进行促销活动,促销方案是顾客每消费1000元,便可以获得奖券1张,每张奖券中奖的概率

为1

5,若中奖,则商家返还中奖的顾客现金1000元.小王购买一套价格为2400元的西服,只能得到2张

奖券,于是小王补偿50元给一同事购买一件价格为600元的便服,这样小王就得到了3张奖券.设小

王这次消费的实际支出为ξ(元),则E(ξ)等于()

A.1850元B.1720元C.1560元D.1480元

1 高中数学 第二章 概率 5 离散型随机变量的均值与方差自我小测

北师大版选修2-3

1．若X是一个随机变量，则E(X－EX)的值为( )．

A．无法求 B．0 C．EX D．2EX

2．今有两台独立工作在两地的雷达，两台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85.设发现目标的雷达台数为X，则EX＝( )．

A．0.765 B．1.75 C．1.765 D．0.22

3．已知某一随机变量X的概率分布列如下表，EX＝6.3，则a＝( ).

X 4 a 9

P 0.5 0.1 b

A．5 B．6 C．7 D．8

4．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝13 (k＝1,2,3)，则D(3X＋5)＝( )．

A．6 B．9 C．3

D．4

5．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X为途中遇到红灯的次数，则随机变量X的方差为( )．

A．65 B．1825 C．625 D．18125

6．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取到次品的个数，则EX＝( )．

A．35 B．815 C．1415 D．1

7．设有m升水，其中含有n个大肠杆菌，今任取1升水检验，设其中含大肠杆菌的个数为X，则EX＝______.

8．从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数之积的数学期望为______．

9．某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门，首次到达北门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号通道、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需时间．