高考数学二轮复习 第一部分 专题一 第五讲 导数的应用 第五讲 导数的应用(一)教案

第五讲 导数的应用(一)

[考情分析]

1．课标卷每年命题会以“一小一大”的格局出现，“一小”即以选择题或填空题的形式考查导数的几何意义和导数在研究函数问题中的直接应用．“一大”即以压轴题的形式考查导数、不等式、方程等方面的综合应用，难度较大；2.作为高考必考内容，课标卷每年在此部分的命题较稳定，有一定程度的综合性，方法、能力要求较高.

年份 卷别 考查角度及命题位置

2017 Ⅰ卷 切线方程的求法·T14

2016 Ⅰ卷 函数的单调性，导数的应用，不等式恒成立问题·T12

利用导数研究函数的单调性、零点·T21

Ⅱ卷 求切线方程，利用导数研究不等式·T20

Ⅲ卷 利用导数的几何意义求切线方程，函数的奇偶性·T16

利用导数研究函数的单调性，不等式的证明·T21

2015 Ⅰ卷 多项式函数的导数计算，导数的几何意义，切线方程·T14

利用导数判断函数单调性、函数的零点问题、不等式的证明·T21

Ⅱ卷 利用导数求曲线的切线、直线与抛物线的位置关系·T16

利用导数研究函数的单调性、最值，求参数的取值范围问题·T21

[真题自检]

1．(2016·高考全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x－13sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是( )

A．[－1,1] B.－1，13 C.－13，13 D.－1，－13

解析：法一：取a＝－1，则f(x)＝x－13sin 2x－sin x，f′(x)＝1－23cos 2x－cos x，但f′(0)＝1－23－1＝－23<0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A、B、D.故选C.

法二：函数f(x)＝x－13sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f′(x)＝1－23cos 2x＋acos x

＝－43cos2x＋acos x＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x＝t，则g(t)＝－43t2＋at＋53≥0在[－1,1]恒成立，所以错误!解得－错误!≤a≤13.故选C.

答案：C

2．(2016·高考全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )

解析：当x≥0时，令函数f(x)＝2x2－ex，则f′(x)＝4x－ex，易知f′(x)在[0，ln 4)上单调递增，在[ln 4,2]上单调递减，又f′(0)＝－1<0，f′12＝2－e>0，f′(1)＝4－e>0，f′(2)＝8－e2>0，所以存在x0∈0，12是函数f(x)的极小值点，即函数f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0,2)上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图象为D.

答案：D

3．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．

解析：首先求出x>0时函数的解析式，再由导数的几何意义求出切线的斜率，最后由点斜式得切线方程．

设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.

∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝ex－1＋x.

∵当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，∴f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.

∴曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.

答案：2x－y＝0

4．(2017·高考全国卷Ⅰ)曲线y＝x2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．

解析：因为y′＝2x－1x2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y′|x＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1.

答案：y＝x＋1

导数的几何意义

[方法结论] f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为

y－f(x0)＝(x－x0)f′(x0)．

[题组突破]

1．曲线f(x)＝2－xex在点(0,2)处的切线方程为________．

解析：∵f′(x)＝－ex(1＋x)，∴f′(0)＝－1，∴切线方程为y－2＝－x，即x＋y－2＝0.

答案：x＋y－2＝0

2．(2017·沈阳模拟)设函数f(x)＝g(x2)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为9x＋y－1＝0，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为______________________．

解析：由已知得g′(1)＝－9，g(1)＝－8，又f′(x)＝12g′(x2)＋2x，∴f′(2)＝12g′(1)＋4＝－92＋4＝－12，f(2)＝g(1)＋4＝－4，∴所求切线方程为y＋4＝－12(x－2)，即x＋2y＋6＝0.

答案：x＋2y＋6＝0

3．(2017·合肥模拟)已知直线y＝b与函数f(x)＝2x＋3和g(x)＝ax＋ln x分别交于A，B两点．若|AB|的最小值为2，则a＋b＝________.

解析：设点B(x0，b)，欲使|AB|最小，曲线g(x)＝ax＋ln x在点B(x0，b)处的切线与f(x)＝2x＋3平行， 则有a＋1x0＝2，解得x0＝12－a，进而可得a·12－a＋ln 12－a＝b

①，又点A坐标为(b－32，b)，

所以|AB|＝x0－b－32＝12－a－b－32＝2 ②，联立方程①②可解得，a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.

答案：2

[误区警示]

1．曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．

2．曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．

利用导数研究函数的单调性

[方法结论]

函数单调性的判定方法

在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在此区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在此区间内单调递减．

[典例] (2017·兰州模拟)已知函数f(x)＝ex－ax(a∈R，e为自然对数的底数)．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若a＝1，函数g(x)＝(x－m)f(x)－ex＋x2＋x在(2，＋∞)上为增函数，求实数m的取值范围．

解析：(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a.

当a≤0时，f′(x)>0，∴f(x)在R上为增函数；

当a>0时，由f′(x)＝0得x＝ln a，

则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0，

∴函数f(x)在(－∞，ln a)上为减函数，

当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，

∴函数f(x)在(ln a，＋∞)上为增函数．

(2)当a＝1时，g(x)＝(x－m)(ex－x)－ex＋x2＋x＝(x－m－1)ex＋(m＋1)x，

∵g(x)在(2，＋∞)上为增函数，

∴g′(x)＝xex－mex＋m＋1≥0在(2，＋∞)上恒成立，

即m≤xex＋1ex－1在(2，＋∞)上恒成立，

令h(x)＝xex＋1ex－1，x∈(2，＋∞)，

h′(x)＝ex2－xex－2exex－12＝exex－x－2ex－12.

令L(x)＝ex－x－2，L′(x)＝ex－1>0在(2，＋∞)上恒成立，

即L(x)＝ex－x－2在(2，＋∞)上为增函数，

即L(x)>L(2)＝e2－4>0，∴h′(x)>0，

即h(x)在(2，＋∞)上为增函数，∴h(x)>h(2)＝2e2＋1e2－1，∴m≤2e2＋1e2－1.

故实数m的取值范围为－∞，2e2＋1e2－1.

[类题通法]

1．分类讨论思想在研究函数单调性中的应用

讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：

(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论．

(2)在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．

2．分离参数法在求解已知单调性求参数范围中的应用

设可导函数f(x)在某个区间内单调递增(或递减)，则可以得出函数f(x)在这个区间内f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，从而转化为恒成立问题来解决(注意等号成立的检验)．

[演练冲关]

已知函数f(x)＝x－2x＋1－aln x，a>0.讨论f(x)的单调性．

解析：由题意知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，导函数f′(x)＝1＋2x2－ax＝x2－ax＋2x2.

设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8. ①当Δ<0，即00都有f′(x)>0.

此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．

②当Δ＝0，即a＝22时，仅对x＝2有f′(x)＝0，对其余的x>0都有f′(x)>0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．

③当Δ>0，即a>22时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝a－a2－82，x2＝a＋a2－82，0

x (0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)

f′(x) ＋ 0

－ 0 ＋

f(x) 极大值 极小值

此时f(x)在0，a－a2－82上单调递增，在a－a2－82，a＋a2－82上单调递减，

在a＋a2－82，＋∞上单调递增．

利用导数研究函数的极值与最值

[方法结论]

1．求函数y＝f(x)在某个区间上的极值的步骤

第一步：求导数f′(x)；

第二步：求方程f′(x)＝0的根x0；

第三步：检查f′(x)在x＝x0左右的符号：

①左正右负⇔f(x)在x＝x0处取极大值； ②左负右正⇔f(x)在x＝x0处取极小值．

2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤

第一步：求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值(极大值或极小值)；

第二步：将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

[典例]已知常数a≠0，f(x)＝aln x＋2x.

(1)当a＝－4时，求f(x)的极值；

(2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围．

解析：(1)由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax＋2＝a＋2xx.

当a＝－4时，f′(x)＝2x－4x.

∴当02时，f′(x)>0，即f(x)单调递增．

∴f(x)只有极小值，且在x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4－4ln

2.

∴当a＝－4时，f(x)只有极小值4－4ln 2，无极大值．

(2)∵f′(x)＝a＋2xx，

∴当a>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；