一级倒立摆的模糊控制

一级倒立摆的模糊控制

一、 立题背景

倒立摆( Inverted Pendulum)是处于倒置不稳定状态、通过人为控制使其处于动态平衡的一种摆。它是一个复杂的快速、非线性、多变量、强耦合的非最小相位系统,是重心在上、支点在下控制问题的抽象。

倒立摆的控制一直是控制理论及应用的典型课题倒立摆系统通常用来检验控制策略的效果,是控制理论研究中较为理想的实验装置。又因其与火箭飞行器及单足机器人有很大的相似之处,引起国内外学者的广泛关注。控制过程中的许多关键问题,如镇定问题、非线性问题、鲁棒性问题、随动问题以及跟踪问题等都可以以倒立摆为例加以研究。

本文围绕一级倒立摆系统，采用模糊控制理论研究了倒立摆的控制系统仿真问题。仿真

的成功证明了本文设计的模糊控制器有很好的稳定性。

二、 倒立摆的数学模型

质量为m的小球固结于长度为L的细杆（可忽略杆的质量）上，细杆又和质量为M的小车铰接相连。由经验知：通过控制施加在小车上的力F（包括大小和方向）能够使细杆处于θ＝0的稳定倒立状态。在忽略其他零件的质量以及各种摩擦和阻尼的条件下，推导小车倒立摆系统的数学模型。倒立摆模型如图2-1所示。

图 2-2 单机倒立摆模型图

小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。导轨截面成H型，小车在轨道上可以自由滑动，其在轨道上的有效运行长度为1米。轨道两端装有电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机构。

以摆角θ、角速度θ’、小车位移x、加速度x’为系统状态变量，Y为输出，F为输入

以摆角θ、角速度θ’、小车位移x、加速度x’为系统状态变量，Y为输出，F为输入。

即X=4321xxxx=x'x' Y=x=31xx 由线性化后运动方程组得

x1’=θ’=x2 x2’=''=MlgmMx1-Ml1F

X3’ =x’=x4 x4’=x’’=-Mmgx1+M1F

故空间状态方程如下：

X’='4'3'2'1xxxx=00010000000010MmgMlgmM

4321xxxx +

MMl1010 F

Y= 31xx=01000001

4321xxxx + 0F

其中，M=1 kg，m=0.1kg，l=.1m，g=10m/s。

三、 立题方案

倒立摆系统是一个比较复杂的不稳定、多变量、带有非线性和强耦合特性的高阶机械系统，它的稳定控制是控制理论应用的一个典型范例。早在上个世纪五十年代，国外就丌始了倒立摆的研究，我国学者也从80年代初开始倒立摆系统的研究。

1966年Schaefer和cannon就应用bang-bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置，实现了单级倒立摆的稳定控制。在60年代后期，作为一个典型的不稳定、严重非线性证例，倒立摆的概念被提出，并将其用于检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力，受到世界各国许多科学家的重视，寻找不同的控制方法实现对倒立摆的控制。目前，倒立摆的控制方法可分如下几类：

(1) 线性理论控制方法

将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理获得系统在平衡点附近的线性化模型，然后再利用各种线性系统控制器设计方法得到期望的控制器。。这类方法对一、二级的倒立摆(线性化后误差较小、模型较简单控制时，可以解决常规倒立摆的稳定控制问题。但对于像非线性较强、模型较复杂的多变量系统(三、四级以及多级倒立摆)线性系统设计方法的局限性就十分明显。

(2) 预测控制和变结构控制方法

由于线性控制理论与倒立摆系统多变量、非线性之间的矛盾使人们意识到针对多变量、

非线性对象，采用具有非线性特性的多变量控制解决多变量、非线性系统的必由之路。人们

先后丌展了预测控制、变结构控制和自适应控制的研究。预测控制是一种优化控制方法，强

调实模型的功能而不是结构。变结构控制是一种非连续控制，可将控制对象从任意位置控制

到滑动曲面上，仍然保持系统的稳定性和鲁棒性，但是系统存在颤抖。预测控制、变结构控制和自适应控制在理论上有较好的控制效果，但由于控制方法复杂，成本也高，不易在快速变化的系统上实时实现。

(3) 智能控制方法[1-2]

在倒立摆系统中用到的智能控制方法主要有神经网络控制、模糊控制、仿人智能控制、

拟人智能控制和云模型控制等。糊控制理论产生于二十世纪六十年代，是美国加利福尼亚U．C．Berkkley学校的自动控制理论专家L．A．扎德(Zadeh)教授最先提出的，主要是为了克服过程本身的不确定性、不精确性，因此在处理复杂系统的大时滞、时变及非线性方面显示了极大的优越性。

由于倒立摆的非线性、多变量、强耦合等特性，本文选择模糊控制器控制。

方案一：由于倒立摆有4个输入量，对于一个多输入多输出（MIMO）系统，若采用Mamdani

模糊模型，为了获得满意的控制精度和响应速度，通常需要在输入输出空间的每一维上定义多个语言变量$使模糊语言规则数显著增加，而且由于各规则之间的耦合作用，使某一条规则的修改给整个模糊控制器带来的影响难以控制。而.模糊模型可以显著减少模糊语言变量和隐含条件句的数目，而且便于对控制系统进行分析、调试、和控制。单级倒立摆是一个多输入多输出系统，因此选用Sugeno模糊模型。

方案二：在Simulink软件上进行系统仿真，采用最为广泛的PID控制算法，先用连续系统的设计方法设计出模拟控制器，然后在满足一定条件下，对其进行离散化处理，(采用加零阶保持器的Z变换法)形成数字控制器。接着进行PID参数整定，利用试凑法,根据PID控制器各组成环节对系统性能的影响，从一组初始PID参数开始反复试凑，直至获得满意的控制效果。

方案三：由倒立摆系统数学模型，倒立摆系统是一个具有两输出变量的不稳定系统，按照传统模糊控制设计方法，一个两输入的模糊控制器不可能实现对输出变量摆角和小车位移的控制，得需要一个四输入的模糊控制器。对于多变量模糊控制系统，由于可能的控制规则数目是输入变量数的指数，但模糊规则的建立给系统的设计带来了很大难度，为此，本系统采用双闭环的模糊控制器控制策略。采用Mamdani模糊模型，分别设计角度和位移模糊控制器。

模糊控制器是按一定的语言规则进行工作的，而这些控制规则是建立在总结操作员控制经验的基础上的。且大多数模糊逻辑推理方法采用Mamdani极大极小推理法。模糊PID的模糊规则太多，较为复杂。综上，本文采用方案三。

四、 控制器设计

模糊控制理论是建立在模糊集合论、模糊语言变量及模糊逻辑推理基础上的一种计算机

数字控制理论。‘模糊控制是一种非线性控制，属于智能控制的范畴，目前它己经成为智能控制的一种重要而有效的形式。模糊控制是通过模拟人脑的模糊思维方法, 从而实现被控系统的控制的。模糊控制器和模糊控制规则是设计的核心环节。

模糊控制器由4部分组成：模糊化、知识库、模糊推理、清晰化。图4-1表示了模糊控制器的基本结构。图中，R为系统设定值(精确量)；e,e分别为系统误差与误差变化率(精确量)；言．e,和ec分别为反映系统误差与误差变化的语言变量的模糊集合(模糊量)；u为模糊控制器输出的控制作用(精确量)：y为系统输出(精确量)。

图4-1 含模糊控制器的系统基本方框图

本系统采用双闭环的模糊控制器控制，分别设计角度和位移模糊控制器。图4-2中，e ø,ec1分别为倒立摆的摆角偏差和摆角偏差变化率，作为角度模糊控制器的输入， 分别为倒立摆的位移偏差和位移偏差变化率，作为位移模糊控制器的输入，控制系统在第一阶段先控制摆杆摆角的平衡，所以当输出量摆角|φ |≥5°时，a=1，控制量u=u 1，当摆杆接近平衡范围时系统进入第二控制阶段，即输出量摆角|φ |<5°时，控制量u=au1=(1-a )u2，逐渐将输出量位移控制在平衡点。

图 4-2 双闭环模糊控制器系统结构

4.1 角度模糊控制器 模糊推理系统中以作为控制器输入，控制电压u 1为控制器的输出。取 输入和输出u 1的模糊子集为{NB,NM,NS,ZE,PS,PM,PB}，其中论域为[-0.526,0.526]，论域为[-1,1]，u 1论域为[-6,6]。选择输入量、输出u1的隶属函数为三角形(trimf)。根据电机输出力的大小与摆杆角度、角速度的关系，确定角度控制的模糊规库如表4-1所示。在设计

控制规则时，有些特殊情况必须予以考虑，如倒立摆摆杆出现最大偏角时，不再考虑角速度的变化，应及时输出最大控制力使摆杆不倒。

表 4-1 角度模糊规则表

4.2 位移模糊控制器

小车位移模糊控制器的两个输入变量为位移偏差e x 和位移偏差变化率， 其中论域为

[-0.3,0.3]， 论域为[-1,1]，分别定义5个模糊子集{NB,NS,ZE,PS,PB}，输出u 2控制论域为[-2.4，2 . 4 ] ， 分割成5 级模糊子集， 分别为{ N B , N S , , Z E , P S , P B } ， 量化等级为{-2.4,-1.2,0,1.2,2.4}。选择输入量的隶属函数为三角形（trimf）。输出u2的隶属函数为单点常数。根据电机输出力的大小与小车位移、速度的关系，小车位移模糊控制规则库如表2所示，考虑到有些情况不允许发生，不设定模糊规则，如小车位移为NB的同时小车速度为NB的状态不可控，应预先加以调整。设定模糊决策采用Mamdani型推理算法，解模糊用重心平均法。

表2 位移模糊控制器

五、 建模仿真

用Simulink来搭建角度模糊控制器和位移模糊控制器[3-6]，其仿真框图如图5-1所示。通过模糊控制器模块，可以和包含模糊控制器的fis文件联系起来，还可以随时改变输入输出论域，隶属度函数以及模糊规则，方便仿真和调试。

图 5-1 双闭环模糊控制Simulink模块

在simulink环境下构建模糊控制系统，完成系统中各参数的整定，即系统中加权系数a取0.3，比例因子ke,kecku对控制效果的影响很显著,因而对量化因子的优化设计就显得非常重要[8]，经过大量仿真实验，不断调整角度模糊控制器输入比例因子kφ、keφ， 输出比例因子ku1。以及位移模糊控制器输入比例因子kx、kex，输出比例因子ku2。根据实际系统参数及状态方程，在matlab环境下编写控制程序，进行仿真试验研究，双模糊控制器的输出权重经过不断地试验得到，仿真后的系统输出曲线如下所示。

情况一：通过实验，保持输入比例因子不变，仅改变输出比例因子ku1、ku2时，角度和位移响应曲线如图5-2、5-3所示。

分析图5-2可看出,随着输出比例因子(ku1、ku2)增大，上升速率加快,响应时间减小。通过仿真还可得知: Ku1、Ku2 过大时,系统输出上升速率过大，从而产生过大的超调乃至振荡和发散,严重时将会影响系统的稳态工作；而Ku1、Ku2 过小时,系统的增益很小,系统输出上升速率较小,调节速度变慢,即系统的过渡过程较长，如图5-3所示。