三角函数基础知识

三角函数

基础知识整理

一． 角的概念：

1．角的概念的推广

⑴“旋转”形成角

ABαO

一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．

⑵．“正角”与“负角”“0角”

我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，

2100 -1500 6600

特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角或 可以简记成

⑶意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了，角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．

2．“象限角”

角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）

3．终边相同的角 结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：

ZkkS,360| 即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.

注意：

(1)Zk (2)是任意角；

(3)0360k与之间是“+”号，

如：0360k-30°，应看成0360k+(-30°)；

(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．

二． 弧度制：

1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．

如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad

rrr1rad 2rr2rad 3rr3rad lr rad

2．弧长公式：rl

由公式：rl rl 比公式180rnl简单

即弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积

3．扇形面积公式 lRS21 其中l是扇形弧长，R是圆的半径

o R

S l 三． 三角函数的定义：

1. 设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）

则P与原点的距离02222yxyxr

2.

比值ry叫做的正弦 记作： rysin

比值rx叫做的余弦 记作：

rxcos

比值xy叫做的正切 记作： xytan

比值yx叫做的余切 记作： yxcot

比值xr叫做的正割 记作： xrsec

比值yr叫做的余割 记作： yrcsc

以上六种函数，统称为三角函数.

3. 突出探究的几个问题：

①角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等

②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用

③三角函数是以“比值”为函数值的函数

④0r而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.

⑤定义域：

rysin的定义域： R

rxcos的定义域：R

xytan的定义域：Zkk,2|

注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.

(2)比值只与角的大小有关. ry)(x,P4． 三角函数在各象限内的符号规律：正弦在第一、二象限为正；

余弦在第一、四象限为正；

正切在第一、三象限为正.

四． 诱导公式：

1．必须熟记的两组诱导公式：

诱导公式一（其中Zk）: 用弧度制可写成

sin)360sin(k sin)2sin(k

cos)360cos(k cos)2cos(k

tan)360tan(k tan)2tan(k

诱导公式二：

-sinsin(）

coscos(）

tantan(）

2. 诱导公式的变形规则：奇变偶不变，符号看象限.

诱导公式三： 用弧度制可表示如下：

sin180sin(） sinsin(）

-cos180cos(） -coscos(）

tan180tan(） tantan(）

诱导公式四： 用弧度制可表示如下：

-sin180sin(） -sinsin(）

-cos180cos(） -coscos(）

tan180tan(） tantan(）

诱导公式五： 用弧度制可表示如下：

cos)90sin( cos)2sin(

sin)90cos( sin)2cos(

cot)90tan( cot)2tan(

诱导公式六： 用弧度制可表示如下：

cos)90sin( cos)2sin(

sin)90cos( sin)2cos(

cot)90tan( cot)2tan(

补充公式七： 用弧度制可表示如下：

-sin360sin(） -sin2sin(）

cos360cos(） cos2cos(）

tan360tan(） tan2tan(）

补充公式八： 用弧度制可表示如下：

cos)270sin( cos)23sin(

sin)270cos( sin)23cos(

cot)270tan( cot)23tan(

补充公式九： 用弧度制可表示如下：

cos)270sin( cos)23sin(

sin)270cos( sin)23cos(

cot)270tan( cot)23tan(

五．两角和与差的三角函数关系式：

1．两角和与差的三角函数关系式

sinsincoscos)cos(

sinsincoscos)cos(

cossincossin)sin(

cossincossin)sin( tantan1tantan)tan(

tantan1tantan)tan(

2 推导公式：

)cossin(cossin222222babbaababa

因为1)()(222222babbaa.所以sin2θ＋cos2θ＝1

(1)若令22baa＝sinθ，则22bab＝cosθ

则asinα＋bcosα＝22ba（sinθsinα＋cosθcosα）

＝22bacos（θ－α）

（或＝22bacos（α－θ））

(2)若令22baa＝cos，则22bab＝sin.

则asinα＋bcosα＝22ba（sinαcos＋cosαsin）

＝22basin（α＋）

六．二倍角公式：

1.二倍角公式:

cossin22sin；)(2S

22sincos2cos；)(2C

2tan1tan22tan；)(2T 1cos22cos2

2sin212cos)(2C

注意：（１）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题．

（２）二倍角公式为仅限于2是的二倍的形式，尤其是“倍角”的意义是相对的

（３）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式．

（4） 公式)(2S，)(2C，)(2C，)(2T成立的条件是: 公式)(2T成立的条件是ZkkkR,4,2,．其他R

（5） 熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）

（6） 特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：

22cos1sin,22cos1cos22

这两个形式今后常用

七．万能公式：

1．万能公式

2tan12tan2tan,2tan12tan1cos,2tan12tan2sin2222

证明：12tan12tan22cos2sin2cos2sin21sinsin222

22tan12tan12cos2sin2sin2cos1coscos222222