第四章 函数的连续性

《数学分析（1，2，3）》教案

13-1 第十三章 多元函数的极限和连续性

§1、平面点集

一 邻域、点列的极限

定义1 在平面上固定一点000,Mxy，凡是与0M的距离小于的那些点M组成的平面点集，叫做0M的邻域，记为0,OM。

定义2 设,nnnMxy，000,Mxy。如果对0M的任何一个邻域0,OM，总存在正整数N，当nN时，有0,nMOM。就称点列nM收敛，并且收敛于0M，记为0limnnMM或00,,nnxyxyn。

性质：（1）0000,,,nnnnxyxyxxyy。

（2）若nM收敛，则它只有一个极限，即极限是唯一的。

二 开集、闭集、区域

设E是一个平面点集。

1． 内点：设0ME，如果存在0M的一个邻域0,OM，使得0,OME，就称0M是E的内点。

2． 外点：设1ME，如果存在1M的一个邻域1,OM，使得1,OME，就称1M是E的外点。

3． 边界点：设*M是平面上的一点，它可以属于E，也可以不属于E，如果对*M的任何邻域*,OM，其中既有E的点，又有非E中的点，就称*M是E的边界点。E的边界点全体叫做E的边界。

4． 开集：如果E的点都是E的内点，就称E是开集。

5． 聚点：设*M是平面上的一点，它可以属于E，也可以不属于E，如果对*M的任何邻域*,OM，至少含有E中一个（不等于*M的）点，就称*M是E的聚点。

性质：设0M是E的聚点，则在E中存在一个点列nM以0M为极限。

6． 闭集：设E的所有聚点都在E内，就称E是闭集。

7． 区域：设E是一个开集，并且E中任何两点1M和2M之间都可以用有限条直线段所组成的折线连接起来，而这条折线全部含在E中，就称E是区域。一个区域加上它的边界就是一个闭区域。

三 平面点集的几个基本定理

第四章 函数的连续性

第一节 连续性的概念

一、函数在一点的连续性

1、函数的直观图解

2、函数在一点连续的定义

（1）极限形式定义

定义1：设f在0()Ux内有定义，若00lim()()xxfxfx，则称f在点0x连续。

例、

2200(),lim()lim0(0)xxfxxfxxf

2()fxx在0x处连续。

注：①讨论f在点0x连续，要求f在0()Ux（包括点0x）由定义。

②f在点0x连续，意味着下面的运算法则成立

00()(lim)limxxxxfxfx

（2）增量极限形式定义

记自变量x（在点0x）的增量0xxx，则

0000()()()()yfxfxfxxfxyy

定义：若0lim0xxy，则称()fx在0x处连续。

（3）语言定义

若00,0,(,)xUx有0|()()|fxfx，则称()fx在点0x连续。

例、证明()()fxxDx在0x连续，其中1,()0,xDxx为有理数为无理数，为狄利克雷函数。

（4）左、右极限形式定义

定义2：设f在在某区间0()Ux（或0()Ux）内由定义，且

00lim()()xxfxfx（或00lim()()xxfxfx）

则称f在点0x右（左）连续

（5）归结到数列极限定义

f在点0x连续000{}(),(),lim()()nnnnxUxxxnfxfx

二、间断点及其分类

1、间断点定义

定义3：设f在某00()Ux内有定义，若f在0x无定义，或f在0x处有定义但是不连续，则称点0x为f的间断点或不连续点。

2、间断点的分类

（1）第一类间断点（特点：左、右极限都存在）

① 可去间断点

若ⅰ、0lim()xxfxA

ⅱ、f在点0x无定义，或0()fxA

则称0x为f的可去间断点。

② 跳跃间断点

若ⅰ、00lim(),lim()xxxxfxfx都存在

1 第四章 微积分中值定理与证明

4.1 微分中值定理与证明

一 基本结论

1．连续性定理：

定理1（零点定理） 若()fx在[,]ab连续，()()0fafb，则(,)ab，使得

()0f。

定理2（最值定理） 若()fx在[,]ab连续，则存在12,xx使得12(),()fxmfxM．

其中,mM分别是()fx在[,]ab的最小值和最大值．

定理3（介值定理）若()fx在[,]ab上连续，则存在最小值和最大值分别是,mM，对

于任意的[,]CmM，都存在[,]ab使得()fC．

更一般的结论：若()fx在[,]ab上连续，对1x，2[,]xab，（假设12()()fxfx），则12[(),()]Cfxfx，都存在12(,)xx，使得()fC。

2．微分中值定理：

定理1（费玛定理）如果0x是极值点，且()fx在0x可导， 则0()0fx．

定理2 （罗尔定理） 若()fx在[,]ab连续，在(,)ab可导，()()fafb，则(,)ab，

使得()0f．

定理3（拉格朗日定理）若()fx在[,]ab连续，在(,)ab可导，则(,)ab，使得

()()()()fbfabaf．

定理4（柯西定理） 若()fx，()gx在[,]ab连续，在(,)ab可导，且()0gx，则

(,)ab使得

()()()()()()fbfafgbgag．

定理5（泰勒公式和麦克劳林公式）（数三不要求）

泰勒公式：设()fx在0x的某个邻域内0()Ux具有1n阶导数，则0()xUx，有

()(1)1000000()()()()()()...()()!(1)!nnnnfxffxfxfxxxxxxxnn，

其中在x和0x之间，常常把表示为00()xxx，01．

数学分析（上）

第四章 函数的连续性

31 第四章 函数的连续性 （ 1 2时 ）

§ 1 函数的连续性 ( 2时 )

一． 函数在一点的连续性：

1． 连续的直观图解： 由图解引出解析定义.

2. 函数在一点连续的定义: 设函数)(xf在点0x某邻域有定义.

定义 用).()(lim00xfxfxx 例如 [1]P87例1和例2, P88 例3.

定义 用 ).()0()0(000xfxfxf

定义 用 .0lim0yx 先定义x和.y

定义 连续的Heine定义.

定义 ( “”定义.)

其他定义参阅[3]P39 Th.

例1 用“”定义验证函数132)(2xxxf在点10x连续.

例2 试证明: 若 ,RA ,0 ,0 , ,0xxx

, )( Axf 则)(xf在点0x连续.

3. 单侧连续: 定义单侧连续, 并图解.

Th ( 单、双侧连续的关系 )

例3

.0 ,2,0 ,,0 ,2)(xxxAxxxf讨论函数)(xf在点00x的连续或单侧连续性.

二. 间断点及其分类: 图解介绍间断点的分类.

跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点, 其他情况 即)0(0xf或)0(0xf中至少有一个不存在称为第二类间断点. 32 例4 讨论函数)1( )1( )(2xxxxxf的间断点类型.

例5 延拓函数,3sin)(xxxf 使在点00x连续.

例6 举出定义在[0,1]上且仅在点41 ,31 ,21x三点间断的函数的例.