误差理论第三章 随机误差

修正值=)(4321llll

=)1.03.05.07.0(

=0.4)(m

测量误差:

l=4321lim2lim2lim2lim2llll

=2222)20.0()20.0()25.0()35.0(

=)(51.0m

3-2 为求长方体体积V，直接测量其各边长为mma6.161，mm44.5b,mmc2.11,已知测量的系统误差为mma2.1，mmb8.0，mmc5.0，测量的极限误差为mma8.0，

mmb5.0，mmc5.0， 试求立方体的体积及其体积的极限误差。

abcV ),,(cbafV

2.115.446.1610abcV

)(44.805413mm

体积V系统误差V为：

cabbacabcV

)(74.2745)(744.274533mmmm

立方体体积实际大小为：)(70.7779530mmVVV

222222lim)()()(cbaVcfbfaf

222222)()()(cbaabacbc

)(11.37293mm

测量体积最后结果表示为: VVVVlim03)11.372970.77795(mm

3—3 长方体的边长分别为α1，α2, α3测量时：①标准差均为σ；②标准差各为σ1、σ2、

σ3 。试求体积的标准差。

解：

长方体的体积计算公式为：321aaaV

体积的标准差应为：232322222121)()()(aVaVaVV

现可求出：321aaaV；312aaaV；213aaaV

若：321

则有：232221232322222121)()()()()()(aVaVaVaVaVaVV221231232)()()(aaaaaa

1、函数系统误差计算

y=f（x1，x2，...，xn）

dy=（of/ox1）dx1+（of/ox2）dx2+...+（of/oxn）dxn

Ay=（of/ox1）Ax1+（of/ox2）Ax2+...+（of/oxn）Axn

例如：

线性公式 y=a1x1+a2x2+...+anxn

系统误差 Ay=a1Ax1+a2Ax2+...+anAxn

当ai=1时，则有Ay=Ax1+Ax2+...+Axn

2、弓高弦长法

D=(s*s)/(4*h)+h

Do=(s*s)/(4*h)+h

AD=（of/osAs+of/ohAh）

D=Do-AD

3、o=根号下（aioi）*（aioi）+2pijaiajoioj

各个误差互不相关 pij=0

各个误差互相影响pij=1

4、未定系统误差的特征

（1）未定系统误差在测量条件不变时有一恒定值，多次重复测量时其值固定不变，因而不具有抵偿性，利用多次重复测量取算术平均值的办法不能减小它对测量结果的影响。

（2）当测量条件改变时，由于未定系统误差的取值在某一极限范围内具有随机性，并且服从一定的概率分布。

5、误差分配

根据给定测量总误差的允差来选择测量方案，合理进行误差分配，确定各单项误差，以保证测量精度。

6、微小误差的取舍准则

被舍去的误差必须小于或等于测量结果总标准差的1/3~1/10

7、最佳测量方案的确定

选择最佳函数误差公式

使误差传递系数等于零或为最小

计算题

为求长方体的体积V，直接测量其各边长为a=161.6m b=44.5mm c=11.2mm。已知测量的系统误差Aa=1.2mm Ab=-0.8mm Ac0.5mm 测量的极限误差为ga=+-0.8mm gb=+-0.5mm

gc=+-0.5mm，试求立方体的体积及其体积的极限误差。

解：

V=abc V=f（a，b，c）

Vo=abc

体积V系统误差AV=Aabc+aAbc+abAc

立方体体积实际大小V=Vo-AV

第三章 测量误差的传递

在间接测量中，待求量通过间接测量的方程式),,,(21nxxxfy获得。通过测量获得量nxxx,,,21的数值后，即可由上面的函数关系计算出待求量y的数值。那么测量数据的误差怎样作用于间接量y，即给定测量数据nxxx,,,21的测量误差，怎样求出所得间接量y的误差值?

对于更一般的情形，测量结果的误差是测量方法各环节的诸误差因素共同作用的结

果。这些误差因素通过一定的关系作用于测量结果。现研究怎样确定这一传递关系，即怎样由诸误差因素分量计算出测量的总误差。

研究测量误差的传递规律有重要意义，它不仅可直接用于已知系统误差的传递计算，

并且是建立不确定度合成规则的依据，因而是精度分析的基础①。

3.1 按定义计算测量误差

现在按测量误差的定义给出测量结果的误差，这是研究误差传递关系的基本出发点。

若对量Y用某种方法测得结果y，则按测量误差的定义，该数据的测量误差应为

Yyy (3-1)

设有如下测量方程

),,,(21nxxxfy

式中 y——间接测量结果；

nxxx,,,21——分别为各直接测得值。

直接量的测量数据nxxx,,,21的测量误差分别为

111Xxx,

222Xxx

……………

nnnXxx

式中，X1，X2，…，Xn分别为相应量的实际值(真值)。

则间接测量结果的误差可写为

nnXXXfxxxfYyy,,,,,,2121

nnnXXXfxXxXxXf,,,,,,212211 (3-2)

上式给出了由测量数据的误差计算间接量y的误差的传递关系式，这一误差关系是

准确无误的。

直接按定义计算测量结果误差的方法在误差传递计算中经常使用，特别是在单独分

第二章《误差与数据处理》课后习题

一.计算题

1.现有一含磷样品，称取样品1.000克，经过处理后，以钼酸铵沉淀磷为磷钼酸铵，用水洗去过量的钼酸铵后，用0.1000 mol·L-1 NaOH 50.00 mL溶解沉淀。过量的NaOH用0.2000 mol·L-1HNO3滴定，以酚酞作指示剂，用去10.27 mL，计算试样中的磷和五氧化二磷的百分含量。

2.某分析人员提出了测定氮的最新方法。用此法分析某标准样品（标准值为16.62%），四次测定的平均值为16.72%，标准偏差为0.08%。问此结果与标准值相比有无显著差异 （置信度为95%）。

二.问答题

1.下列情况各引起什么误差，如果是系统误差，如何消除？

（1）称量试样时吸收了水分；

（2）试剂中含有微量被测组分；

（3）重量法测量SiO2时，试样中硅酸沉淀不完全；

（4）称量开始时天平零点未调；

（5）滴定管读数时，最后一位估计不准；

（6）用NaOH滴定HAc，选酚酞为指示剂确定终点颜色时稍有出入。