高中物理竞赛量子力学基础课件

§2.4质点的圆周运动

刚体平面平行运动与定轴转动

2．4．1、质点的圆周运动

(1)匀速圆周运动 如图2-4-1所示，质点P在半径为R的圆周上运动时，它的位置可用角度θ表示（习惯上以逆时针转角正，顺时针转角为负），转动的快慢用角速度表示：

tt0lim

质点P的速度方向在圆的切线方向，大小为

RtRtlvtt000limlim

ω（或v）为常量的圆周运动称为匀速圆周运动。这里的“匀速”是指匀角速度或匀速率，速度的方向时刻在变。因此，匀速圆周运动的质点具有加速度，其加速度沿半径指向圆心，称为向心加速度（法向加速度）。

vRRvn22/

向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。

(2)变速圆周运动 ω（或v）随时间变化的圆周运动，称为变速圆周运动，描述角速度变化快慢的物理量为角加速度

tt0lim

质点作变速圆周运动时，速度的大小和方向都在变化。将速度增量v分解为与2v平行的分量//v和2v垂直的分量1v，如图2-4-2。1v相当于匀速圆周运动个的v,11v的大小为

RRvvv121212=R x y

O P

θ R l  1v2v

图2-4-1

P R  

图2-4-2 1v v1v v 2v

//v质点P的加速度为

tvtvtvattt0//00limlimlim

naa

其中nraa,就是切向加速度和法向加速度。

Rar

RRvan22/

β为常量的圆周运动，称为匀变速圆周运动，类似于变速直线运动的规律，有

t0

2021tt

Rv00

tavRtvRvr00

(3)圆周运动也可以分解为二个互相垂直方向上的分运动。参看图2-4-3一个质点A在t=0时刻从x正方向开始沿圆周逆时针方向做匀速圆周运动，在x方向上

1、常用等价无穷小关系（0x） 小量近似

①sinxx ；②tanxx ；③211cos2xx ；④ln1xx ；⑤1xex

2、基本函数的导数公式 小量比值

（1）y＝f（x）＝C（常量）

（2）y=f（x）＝x

（3）y＝f（x）=x2

⑴ 导数的四则运算

①d(u±v)d t =dud t ± dvd t ③d(uv )d t = dud t ·v - u·dvd t uv

v2 ②d(u·v)d t =dud t ·v + u·dvd t uv

⑵ 常见函数的导数

①dCdt =0(C为常数)； ②dtndt =ntn-1 (n为实数)； ③dsintdt =cost； ④ dcostdt =-sint；

⑶ 复合函数的导数

在数学上，把u=u(v(t))称为复合函数，即以函数v(t)为u(x)的自变量。

du(v(t))d t =du(v(t))d v(t) ·dv(t)d t

导数的数学意义：变化率

导数的几何意义：图线切线斜率

导数的物理意义:定义物理量（速度、加速度等）

3、定积分 小量累计

函数，b和a分别叫做定积分的上限和下限。 f(x)是Ф(x)的导数，Ф(x)是f(x)的逆导数或原函数。求f(x)的定积分就可以归结为求它的逆导数或原函数（不定积分）。

4、不定积分 通常把求一个导函数f(x)的逆导数的通式Ф(x)＋C叫做它的不定积分

高中物理竞赛基础题训练

例题A．在天文学上，太阳的半径、体积、质量、密度都是常用的物理量，利用小孔成像原理和万有引力定律结合，可以简洁地估算出太阳的密度。假设地球上某处对太阳的张角为θ（如图所示），地球绕太阳公转的周期为T，太阳的密度为ρ，半径为R，质量为M，该处距太阳中心的距离为r，由于R与r间存在着三角关系，地球上该处物体绕太阳公转由万有引力提供向心力，因此，在θ已知的情况下，可方便地估算出太阳的密度。 取一个长l为80cm的圆筒，在其一端封上厚纸，中间扎直径为1mm的圆孔，另一端封上一张画有同心圆的薄白纸，相邻同心圆的半径相差0.5mm，当作测量尺度。把小孔对着太阳，筒壁与光线平行，另一端的薄白纸上可以看到一个圆光斑，这就是太阳的实像，光斑的半径为r0=3.7mm。为了使观察效果明显，可在圆筒的观测端蒙上遮光布，形成暗室。利用小孔成像原理和万有引力定律，估算太阳的密度。【解析】由万有引力公式、圆周运动公式、密度公式、相似三角形原理可得： 【参考答案】1.4×103kg/m3 例题B．天文学家根据天文观察宣布了下列研究成果：银河系中可能存在一个大“黑洞”，距“黑洞”60亿千米的星体以2000km/s的速度绕其旋转：接近“黑洞”的所有物质即使速度等于光速也逃脱不了其引力作用，试计算“黑洞”的最大半径。【解析】本题中的“黑洞”概念在中学教材中未出现过，是一个新情景，根据题意，星体能绕其旋转，它绕“黑洞”作圆周运动的向心力，显然是万有引力提供，据万有引力定律，可知“黑洞”是一个有质量的天体。设黑洞和转动星M和 m，两者距离为R，利用万有引力定律和向心力公式列式：GMm/R2＝mV2/R，题中还告诉一个信息：即使是等于光速的物体也逃脱不出“黑洞”引力范围，据此信息，可以设想速度等于光速的物体恰好未被“黑洞”吸入，可类比近地卫星绕地球作圆周运动，设“黑洞”半径为r，用类比方法得到GM＝c2 r（c为光速）。【参考答案】r＝2.7×108m 例题C．目前的航天飞机的飞行轨道都是近地轨道，一般在地球上空300～700km飞行，绕地球飞行一周的时间为90min左右。这样，航天飞机里的宇航员在24h内可以见到日落日出的次数应为 A 0.38 B 1 C 2.7 D 16

1 普通物理的数学基础

选自赵凯华老师新概念力学

一、微积分初步

物理学研究的是物质的运动规律，因此我们经常遇到的物理量大多数是变量，而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系。这样，微积分这个数学工具就成为必要的了。我们考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识,对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的。所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法,在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要。至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法，读者将通过高等数学课程的学习去完成.

§1．函数及其图形

1．1函数 自变量和因变量 绝对常量和任意常量

1．2函数的图象

1．3物理学中函数的实例

§2．导数

2．1极限

如果当自变量x无限趋近某一数值x0（记作x→x0）时，函数f（x）的数值无限趋近某一确定的数值a，则a叫做x→x0时函数f(x）的极限值，并记作

(A．17）式中的“lim”是英语“limit（极限）”一词的缩写,（A．17)式读作“当x趋近x0时，f（x）的极限值等于a”.

极限是微积分中的一个最基本的概念,它涉及的问题面很广。这里我们不企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义,只通过一个特例来说明它的意义.

考虑下面这个函数：

这里除x＝1外,计算任何其它地方的函数值都是没有困难的。例如当 2

但是若问x＝1时函数值f（1）＝？我们就会发现，这时(A．18）式的

说是没有意义的.所以表达式(A．18）没有直接给出f(1）,但给出了x无论如何接近1时的函数值来。下表列出了当x的值从小于1和大于1两方面趋于1时f（x）值的变化情况:

表A-1 x与f（x）的变化值

x 3x2—x—2 x-1

0.9 —0。47 —0。1 4。7

0.99 -0。0497 —0.01 4.97

0。999 -0.004997 -0.001 4。997