2024年北京市西城区中考数学一模试卷及答案解析

第1页（共7页）2024年北京市西城区中考数学一模试卷

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．（2分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）

A．圆锥B．三棱柱C．三棱锥D．四棱锥

2．（2分）2024年5.5G技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G初期的1Gbps

提升到10Gbps，给我们的智慧生活“提速”．其中10Gbps表示每秒传输10000000000位

（bit）的数据．将10000000000用科学记数法表示应为（）

A．0.1×1011

B．1×1010

C．1×1011

D．10×109

3．（2分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）

A

．B

．

C

．D

．

4．（2分）直尺和三角板如图摆放，若∠1＝55°，则∠2的大小为（）

A．35°B．55°C．135°D．145°

5．（2分）不透明袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球

后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到蓝球的概率为（）

A

．B

．C

．D

．

6．（2分）已知﹣2＜a＜﹣1，则下列结论正确的是（）

A．a＜1＜﹣a＜2B．1＜a＜﹣a＜2C．1＜﹣a＜2＜aD．﹣a＜1＜a＜2

7．（2分）若关于x的一元二次方程kx2

+x﹣2＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是第2页（共7页）（）

A．k

≤﹣B．k

＞﹣且k≠0

C．k

≥﹣且k≠0D．k

≥﹣且k≠0

8．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b（其中a＜b）．CD⊥AB

于点D，点E在边AB上，BE＝BC．设CD＝h，AD＝m，BD＝n，给出下面三个结论：

①n2

+h2

＜（m+n）2

；②2h2

＞m2

+n2

；③AE的长是关于x的方程x2

+2ax﹣b2

＝0的一个

实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A．①B．①③C．②③D．①②③

二、填空题（共16分，每题2分）

9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为．

10．（2分）分解因式：x2

y﹣12xy+36y＝．

11．（2

分）方程

＝的解为．

12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数y

＝（k≠0）的图象经过点（﹣1，8）和（2，

n），则n的值为．

13．（2分）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，BA，CE的延长线交于点F．若AF＝1，

AB＝2

，则＝．

14．（2分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，点A

是的中点，连接AC，若∠DAB

＝130°，则∠ACB＝°．第3页（共7页）15．（2分）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD，点A，B，C在同一直线上，

点O

1，O

2分别为两个正六边形的中心．则tan∠O

2AC的值为．

16．（2分）将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中．要

求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍

数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数．若

第1个空格填入37，则第2个空格所填入的数为，第37个空格所填入的数为．

37…

三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每

题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．（5分）计算：|﹣|﹣（）﹣1+2sin60°﹣．

18．（5分）解不等式组：．

19．（5分）已知x2

﹣x﹣4＝0，求代数式（x﹣2）2

+（x﹣1）（x+3）的值．

20．（5分）如图，点E在▱ABCD的对角线DB的延长线上，AE＝AD，AF⊥BD于点F，

EG∥BC交AF的延长线于点G，连接DG．

（1）求证：四边形AEGD是菱形；

（2）若AF＝BF，tan∠AEF＝，AB＝4，求菱形AEGD的面积．

21．（5分）某学校组织学生社团活动，打算恰好用1000元经费购买围棋和象棋，其中围棋

每套40元，象棋每套30元．所购买围棋的套数能否是所购买象棋套数的2倍？若能，

请求出所购买的围棋和象棋的套数，若不能，请说明理由．第4页（共7页）22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（3，5），B

（﹣2，0），且与y轴交于点C．

（1）求该函数的解析式及点C的坐标；

（2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝﹣3x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的

值，直接写出n的取值范围．

23．（6分）某学校组织学生采摘山楂制作冰糖葫芦（每串冰糖葫芦由5颗山楂制成）．同学

们经过采摘、筛选、洗净等环节，共得到7.6kg的山楂．甲、乙两位同学各随机分到了

15颗山楂，他们测量了每颗山楂的重量（单位：g），并对数据进行整理、描述和分析．下

面给出了部分信息．

a．甲同学的山楂重量的折线图：

b．乙同学的山楂重量：

8，8.8，8.9，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.6，9.8，10，10，10，10，10

c．甲、乙两位同学的山楂重量的平均数、中位数、众数：

平均数中位数众数

甲9.5m9.2

乙9.59.6n

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中m，n的值；

（2）对于制作冰糖葫芦，如果一串冰糖葫芦中5颗山楂重量的方差越小，则认为这串山

楂的品相越好．

①甲、乙两位同学分别选择了以下5颗山楂制作冰糖葫芦．据此推断：品相更好的是第5页（共7页）（填写“甲”或“乙”）；

甲9.29.29.29.29.1

乙9.49.49.48.98.8

②甲同学从剩余的10颗山植中选出5颗山楂制作一串冰糖葫芦参加比赛，首先要求组

成的冰糖葫芦品相尽可能好，其次要求冰糖葫芦的山楂重量尽可能大．他已经选定的三

颗山楂的重量分别为9.4，9.5，9.6，则选出的另外两颗山楂的重量分别为_______

和；

（3）估计这些山楂共能制作多少串冰糖葫芦．

24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，⊙O的切线CE与BA的延长线

交于点E，AF∥CE，AF与⊙O的交点为F．

（1）求证：AF＝CD；

（2）若⊙O的半径为6，AH＝2OH，求AE的长．

25．（6分）如图，点O为边长为1的等边三角形ABC的外心．线段PQ经过点O，交边AB

于点P，交边AC于点Q．若AP＝x，AQ＝y

1，S

△APQ：S

△ABC＝y

2，下表给出了x，y

1，

y

2的一些数据（近似值精确到0.0001）．

x0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.951

y

110.84620.750.68420.63640.60.57140.54840.92940.51350.5

y

20.46540.450.44470.44550.450.45710.46610.47650.48780.5

（1）补全表格；

（2）在同一平面直角坐标系xOy中描出了部分点（x，y

1），（x，y

2）．请补全表格中数据

的对应点，并分别画出y

1与y

2关于x的函数图象；

（3）结合函数图象，解决下列问题：

①当△APQ是等腰三角形时，y

1关于x的函数图象上的对应点记为（a，b），请在x轴

上标出横坐标为a的点；第6页（共7页）②当y

2取最大值时，x的值为．

26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，y

1），B（2，y

2），C（m，y

3）在抛物线

y＝ax2

+bx+3（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t．

（1）若y

1＝3，求t的值；

（2）若当t+1＜m＜t+2时，都有y

1＞y

3＞y

2，求t的取值范围．

27．（7分）在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝45°，AM⊥BC于点M．D是射线AB上的动点

（不与点A，B重合），点E在射线AC上且满足AE＝AD，过点D作直线BE的垂线交

直线BC于点F，垂足为点G，直线BE交射线AM于点P．

（1）如图1，若点D在线段AB上，当AP＝AE时，求∠BDF的大小；

（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，依题意补全图形，用等式表示线段CF，

MP，AB的数量关系，并证明．第7页（共7页）28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为1，对于⊙O上的点P和平面内

的直线l：y＝ax给出如下定义：点P关于直线l的对称点记为P′，若射线OP上的点Q

满足OQ＝PP′，则称点Q为点P关于直线l的“衍生点”．

（1）当a＝0时，已知⊙O上两点P

1

（

，），P

2

（﹣

，﹣），在点Q

1（1，

2），Q

2

（

，），Q

3（﹣1，﹣1），Q

4（﹣，﹣）中，点P

1关于直线l的“衍生点”是，点P

2关于直线l的“衍生点”是；

（2）P为⊙O上任意一点，直线y＝x+m（m≠0）与x轴，y轴的交点分别为点A，B．若

线段AB上存在点S，T，使得点S是点P关于直线l的“衍生点”，点T不是点P关于直

线l的“衍生点”，直接写出m的取值范围；

（3）当﹣1≤a≤1时，若过原点的直线s上存在线段MN，对于线段MN上任意一点R，

都存在⊙O上的点P和直线l，使得点R是点P关于直线l的“衍生点”．将线段MN长

度的最大值记为D（s），对于所有的直线s，直接写出D（s）的最小值．