欧拉拓扑公式

欧拉公式及其应用
欧拉公式是数学中的一条重要定理，被誉为数学中的“五角星
公式”。

它由瑞士数学家欧拉于1736年发现，形式为V-E+F=2。

其中，V表示多面体的顶点数，E表示多面体的边数，F表示多面
体的面数。

欧拉公式一般只用于欧几里得空间中的凸多面体，然而，它的
应用却不仅限于此。

在计算机图形学中，欧拉公式已经成为了一
个广泛使用的工具，可以用于计算各种复杂的图形的拓扑结构信息。

此外，在数学、力学、物理学中，欧拉公式也有着广泛的应用。

在数学中，它被广泛应用于代数拓扑、流形拓扑等领域，是许多
数学问题的重要手段。

在力学中，欧拉公式被用来证明固体力学
基本方程组的平衡条件；在物理学中，则被用于推导色散关系、
介质常数等常见物理量。

在计算机科学领域，欧拉公式也是一个非常有用的工具。

例如，在计算机图形学中，我们常常需要将一幅图像转换成由多边形拼
接而成的图形，而欧拉公式就是用来计算这些多边形的顶点、边
和面的个数的。

此外，在计算机网络领域中，欧拉公式也被广泛运用于网络拓扑的计算和分析。

总之，欧拉公式作为数学中的一条重要定理，不仅仅在几何学中有着广泛的应用，还在代数拓扑、流形拓扑、计算机图形学、力学、物理学等领域中发挥着不可替代的作用。

研究欧拉公式及其应用，不仅对求解实际问题有着重要的帮助作用，还对我们深入理解数学的本质和发展历程有着重要的启示作用。

欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。

其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式--将复数、指数函数与三角函数联系起来；拓扑学中的欧拉多面体公式；初等数论中的欧拉函数公式。

此外还包括其他一些欧拉公式，比如分式公式等等(Euler公式)在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中。

分式与欧拉公式a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c复变函数论与欧拉公式e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

e^ix=cosx+isinx的证明：因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……在e^x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 ……e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!……=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)所以e^±ix=cosx±isinx将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。

将e^ix=cosx+isinx中的x 取作π就得到：e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。

欧拉公式与闭曲面分类
欧拉公式与闭曲面分类是两个不同的概念。

欧拉公式是数学上的一个重要公式，描述了凸多面体的顶点数、棱数和面数之间的关系。

欧拉公式可以表示为：V - E + F = 2，其中V代表顶点数，E代表棱数，F代表面数。

这个公式可以
应用于各种凸多面体，如正方体、立方体等，并且还可以扩展到非凸多面体，如球体。

欧拉公式在几何学和拓扑学中都有广泛的应用。

闭曲面分类是拓扑学中的一个研究方向，目的是对不同拓扑性质的闭曲面进行分类。

一个闭曲面是一个连续变形不破坏其闭合性质的曲面，如球面、环面等。

闭曲面分类的基本思想是通过确定闭曲面的拓扑不变量来将其分类。

拓扑不变量是在拓扑空间中具有不变性质的量，如欧拉示性数、同调群等。

通过研究闭曲面的拓扑不变量，可以将它们分为不同的等价类，从而实现分类的目的。

总结来说，欧拉公式是数学中一个描述凸多面体的公式，而闭曲面分类是拓扑学中研究闭曲面的分类方法。

这两个概念在不同的数学领域中有着不同的应用。

多面体欧拉公式证明欧拉公式是数学中最著名的定理之一，它被广泛应用于各个领域，如拓扑学、几何学、计算机图形学等。

欧拉公式最初是由瑞士数学家欧拉在1736年发表的一篇论文中提出的，该定理描述了一个多面体的顶点数、边数和面数之间的关系。

在本文中，我们将探讨欧拉公式的证明以及它在几何学和计算机图形学中的应用。

欧拉公式的表述如下：对于一个凸多面体，它的顶点数、边数和面数之间满足以下关系： V-E+F=2其中，V表示多面体的顶点数，E表示多面体的边数，F表示多面体的面数。

证明欧拉公式欧拉公式的证明可以通过归纳法来完成。

首先，我们可以证明对于一个点、一条线和一个面的多面体，欧拉公式成立。

这个多面体只有一个顶点、一条边和一个面，因此：V=1，E=1，F=1将这些值代入欧拉公式中，得到：1-1+1=1这个结论是正确的。

现在，我们考虑一个多面体，它有n个顶点、m条边和k个面。

我们假设对于任意一个顶点数小于n、边数小于m、面数小于k的多面体，欧拉公式都成立。

我们需要证明当顶点数为n、边数为m、面数为k时，欧拉公式也成立。

我们可以从多面体的一个顶点开始考虑。

这个顶点连接了一些边，这些边构成了一些面。

我们可以将这些面分成两类：与这个顶点相邻的面，和不与这个顶点相邻的面。

我们用F1表示与这个顶点相邻的面的个数，用F2表示不与这个顶点相邻的面的个数。

同样地，我们用E1表示与这个顶点相邻的边的个数，用E2表示不与这个顶点相邻的边的个数。

我们可以将多面体分成若干个部分，每个部分都是一个凸多面体。

这些部分可以通过将与这个顶点相邻的面删除而得到。

这些部分的顶点数、边数和面数分别为v1、e1和f1，其中v1<E1。

因此，根据归纳假设，每个部分都满足欧拉公式：v1-e1+f1=2将这些方程相加，得到：v1-e1+f1+v2-e2+f2+...+vk-ek+fk=2k我们发现，这个等式左边的每一项都可以转化成与这个顶点相邻的面、边和顶点的个数。

欧拉公式代数欧拉（leonhard euler 公元1707-1783年)是历史上最多产的数学家，也是各领域（包含数学的所有分支及力学、光学、音响学、水利、天文、化学、医药等）最多著作的学者。

数学史上称十八世纪为“欧拉时代”。

欧拉出生于瑞士，31岁丧失了右眼的视力，59岁双眼失明，但他性格乐观，有惊人的记忆力及集中力。

欧拉公式就是指以欧拉命名的诸多公式，它们分散在各个数学分支之中。

1、分式里的欧拉公式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c2、复变函数论里的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。

将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：e^iπ +1=0这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，这个公式的巧妙之处在于，它没有任何多余的内容，将数学中最基本的e、i、π放在了同一个式子中，同时加入了数学也是哲学中最重要的0和1，再以简单的加号相连。

高斯曾经说：“一个人第一次看到这个公式而不感到它的魅力，他不可能成为数学家。

”数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。

虽然不敢肯定她是世界上“最伟大公式"，但是可以肯定她是最完美的数学公式之一。

理由如下：（1）自然界的 e 含于其中。

自然对数的底，大到飞船的速度，小至蜗牛的螺线，谁能够离开它？（2）最重要的常数π含于其中。

世界上最完美的平面对称图形是圆。

在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。

（1）分式里的欧拉公式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复变函数论里的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。

将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。

数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。

（3）三角形中的欧拉公式：设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：d＾2=R＾2-2Rr（4）拓扑学里的欧拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么X(P)=2，如果P 同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。

X(P)叫做P的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围。

（5）初等数论里的欧拉公式：欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。

n是一个正整数。

欧拉证明了下面这个式子：如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm*am，其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。

拓扑学公式大全拓扑学公式主要用于描述和分析各种拓扑结构，包括点集拓扑、代数拓扑、微分拓扑等。

以下是部分常见的拓扑学公式：1. 欧拉公式：V - E + F = 2，其中V是顶点数，E是边数，F是面数。

2. 德·摩根定律：(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)3. 贝蒂定理：如果P是平面图G的一个顶点，那么对于任意一个顶点x，有 deg(x) = k，其中k是G中与x相邻的与P相邻的顶点的个数。

4. 欧拉路径和欧拉回路：在平面图G中，如果存在一条路径，使得每个边恰好经过一次，则称这条路径为欧拉路径。

如果这条路径的起点和终点是同一点，则称这条路径为欧拉回路。

欧拉证明了任意一个连通平面图都存在欧拉回路。

5. 弗赖尔定理：在连通平面图G中，如果存在一条路径，使得每个边恰好经过一次，则该路径的长度（边的数量）等于G的边数。

6. 施莱夫利符号：对于一个平面图G，如果将其所有顶点按照某种顺序排列，则可以用施莱夫利符号表示为{a, b, c, ...}，其中a表示第一个顶点的度数，b表示第二个顶点的度数，以此类推。

7. 连通度：对于一个图G，如果存在k个两两相连的顶点，则称图G的连通度为k。

8. 图的同构：如果存在一个一一映射f，使得对于任意两个顶点x和y，都有f(x)和f(y)相邻当且仅当x和y相邻，则称图G和H是同构的。

9. 中国邮递员问题：给定一个邮政路线图和每条街道的交叉点数量（这些交叉点作为节点），找到最短路线让邮递员能够遍历所有节点一次。

10. 四色定理：任何地图都可以用四种颜色填充，使得相邻区域的颜色不同。

以上公式和定理是拓扑学中的一部分，对于更深入的研究和应用需要更多的背景知识和理论支持。

编辑词条欧拉公式[编辑本段]欧拉公式(Euler公式)在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。

（1）分式里的欧拉公式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复变函数论里的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。

将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。

数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。

（3）三角形中的欧拉公式：设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：d＾2=R＾2-2Rr（4）拓扑学里的欧拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P 的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。

X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。

（5）初等数论里的欧拉公式：欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。

欧拉拓扑公式简介欧拉拓扑公式，也被称为欧拉多面体公式，是数学中描述几何形体的一个重要公式。

该公式由瑞士数学家欧拉在18世纪提出，被认为是拓扑学的基石之一。

欧拉拓扑公式描述了几何形体的各个要素之间的关系，揭示了形体的拓扑特性。

在计算机图形学、物理学、化学等领域都有广泛的应用。

公式表达欧拉拓扑公式可以用如下数学表达式表示：V−E+F=2其中，V表示形体的顶点数，E表示形体的边数，F表示形体的面数。

证明对于一个凸多面体，可以通过以下方法证明欧拉拓扑公式成立。

我们假设凸多面体上的每一条边都相邻于两个面，也就是说，每个顶点处都会有至少三条边相交。

首先，我们考虑每个顶点处的边数。

假设有V个顶点，则所有的边数为2E （因为每条边相邻于两个顶点），所以每个顶点平均会有2E/V条边相交。

由于每个顶点处至少有三条边相交，所以我们可以得到一个不等式：$$ 2E/V \\geq 3 $$进一步，我们可以得到E/V ≥ 3/2。

然后，我们考虑每个面上的边数。

假设有F个面，则所有的边数为2E（因为每条边属于两个面），所以每个面平均会有2E/F条边相交。

同样地，由于每个面上至少有三条边相交，我们可以得到另一个不等式：$$ 2E/F \\geq 3 $$进一步，我们可以得到E/F ≥ 3/2。

因为每个边相邻于两个顶点，所以E ≤ 2V，而每个边也相邻于两个面，所以E ≤ 2F。

将以上三个不等式结合起来，可以得到：$$ 2V \\geq 3E, \\quad 2V \\geq 3F $$通过将以上两个不等式相加，我们得到：$$ 4V \\geq 3(E + F) $$进一步，我们可以得到：$$ 4V - 2E \\geq E + 2F - 3E \\\\ 4V - 2E \\geq -2E + 2F \\\\ 4V - 2E + 2F \\geq 0 $$即：$$ 2(V - E + F) \\geq 0 $$由于凸多面体是有限的，所以V、E和F都是有限的，所以V - E + F ≥ 0。

欧拉公式(Euler公式)在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。

（1）分式里的欧拉公式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复变函数论里的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。

将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。

数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。

（3）三角形中的欧拉公式：设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：d＾2=R＾2-2Rr（4）拓扑学里的欧拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P 的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。

X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。

（5）初等数论里的欧拉公式：欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。

欧拉公式e^iπ+1=0这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学⾥最令⼈着迷的⼀个公式，它将数学⾥最重要的⼏个数学联系到了⼀起：两个超越数：⾃然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和⾃然数的单位1，以及数学⾥常见的0。

数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它⽽不能理解它。

证明：将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到。

欧拉公式e^ix=cosx+isinx的证明：将函数y=e^x、y=sinx、y=cosx⽤幂级数展开,有e^x=exp(x)＝1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋x^4/4！＋…＋x^n/n！＋… <1>sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+......+(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+ (2)cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+......+(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+ (3)将<1>式中的x换为ix,得到<4>式；将i*<2>+<3>式得到<5>式。

⽐较<4><5>两式，知<4>与<5>恒等。

于是我们导出了e^ix=cosx+isinx，将公式⾥的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采⽤两式相加减的⽅法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]此时三⾓函数定义域已推⼴⾄整个复数集。

在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，它们分散在各个数学分⽀之中。

）分式⾥的欧拉公式：（1）分式⾥的欧拉公式a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式⼦的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复变函数论⾥的欧拉公式）复变函数论⾥的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是⾃然对数的底，i是虚数单位。

欧拉拓扑公式证明欧拉拓扑公式，也被称为欧拉示性数公式，它在数学领域中具有非常重要的地位。

这个公式表述为：对于任何一个凸多面体，其顶点数V、棱数 E 和面数 F 之间存在一个恒定的关系，即 V - E + F = 2 。

为了证明这个公式，咱们先来好好理解一下这个公式中每个元素的含义。

顶点数 V 很好理解，就是多面体的顶点个数呗；棱数 E 就是多面体的边的数量；面数 F 呢，就是多面体表面的平面数量。

咱们假设存在一个简单的立方体。

这个立方体有 8 个顶点，12 条棱，6 个面。

那按照欧拉拓扑公式来算一下：8 - 12 + 6 = 2 ，嘿，还真符合！那咱们再深入一点，来个稍微复杂点的四面体。

四面体有4 个顶点，6 条棱，4 个面。

算一算：4 - 6 + 4 = 2 ，没错，还是符合！那欧拉拓扑公式为啥能成立呢？咱们来这么想，假如我们从一个多面体开始，逐步地“构建”它。

先想象一个最简单的多面体，比如一个四面体。

它有 4 个顶点、6条棱和 4 个面。

然后，咱们来增加一个面。

当增加一个面的时候，会发生啥呢？比如说，原本的四面体，我们在其中一个面上再添加一个三角形面，这个新添加的面会带来 3 条新的棱和 1 个新的顶点。

这样一来，顶点数增加了 1 ，棱数增加了 3 ，面数增加了 1 。

但是你算算，（V + 1） - （E + 3） + （F + 1），展开来还是 V - E + F ，值不变，还是 2 。

咱们就这么一步一步地增加面，不管怎么加，这个公式的结果始终不变。

再换个角度想想，假如我们从一个多面体中去掉一个面。

比如还是那个立方体，我们把其中一个面拿掉，这时候棱的数量会减少，顶点的数量可能也会减少。

但神奇的是，通过计算你会发现，V - E + F 的值依然是 2 。

我记得有一次，给学生们讲这个欧拉拓扑公式的证明。

有个调皮的小家伙一直嚷嚷着说不懂，我就拿出了一堆积木，跟他们一起搭起各种形状的多面体。

一边搭，一边让他们数顶点、棱和面。

在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler，公元1707-1783年）发现的，它们都叫做欧拉公式，它各个数学分支之中。

⑴分式里的欧拉公式：当时式子的值为；当时值为；当时值为。

⑵复变函数论里的欧拉公式：，是自然对数的底，是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位将公式里的换成，得到：，然后采用两式相加减的方法得到：，。

这两个也叫做欧拉公式。

将中的取作就得到：。

这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式。

它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底，圆周率；两个单位：虚数单位和自然数的单位，以及数学里常见的。

数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。

⑶三角形中的欧拉公式：设为三角形外接圆半径，为内切圆半径，为外心到内心的距离，则：。

⑷拓扑学里的欧拉公式：，是多面体的顶点个数，是多面体的面数，是多面体的棱的条数，面体的欧拉示性数。

如果可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么；如果同胚于一个接有个环柄的球面，那么。

叫做的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围。

⑸初等数论里的欧拉公式：欧拉函数：是所有小于的正整数里，和互素的整数的个数。

是一个正整数。

欧拉证明了下面这个式子：如果的标准素因子分解式是，其中众都是素数，而且两两不等。

则。

利用容斥原理可以证明它。

此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。