解排列组合题的若干方法
石家庄二中李博杰
一、捆绑法
捆绑法，即将若干个在排列组合时可看为一体或必须看为一体的物体看成一个整体. 捆绑法，方案总数=“捆绑物”内部组合方案数*各“捆绑物”之间组合方案数.
例18个女孩，25个男孩围成一个圆圈，每两个女孩之间至少站有两个男孩，共有多少种不同的排列方法？（只要圆旋转一下就
重合的方法认为是相同的）
解令每个女孩“带着”两个男孩（女孩在前，男孩在后）参加排队.
(1)一个女孩、两个男孩组成一组，共有8组，还有9个“单独”的男孩.选择并排列这16个“跟着女孩的”男孩共有P1625=25!/9!种方式.(2)一共17个“相互独立”的物体，他们之间共有17！种排列方式. (3)围成一个圆圈,共有17种可能，要除以17，以排除旋转重合的问题.
运用乘法原理,这些人共有16!*25!/9!种排列方式.
小结运用“捆绑法”，要注意避免重复排列.这种思想方法类似“程序法”，即将排列组合的过程分解成一个个相互独立的步骤，分别计算其方案数，再相乘.
例2七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有（）种
(A)960种（B）840种（C）720种（D）600种
答案 A
小结本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先元素（即组合）后排列。
例3设a1,a2,a3为三个整数，且满足0< a1< a2< a3<15, a2-a1>2, a3- a2>2.求满足上述条件的有序数组{ a1 ,a2 ,a3}的个数.
解应用捆绑法.将a1及其后面的两个“空格”看为一个整体，a2及其后面的两个“空格”看为一个整体.如此形成10个“新元素”，从中任意选择3个，共C310种方法.
二、插空法
“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”.
以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附加条件的,可采用“插空法”。“插空”有同时“插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定.
例48人排成一队，A、B、C三人互不相邻，D、E两人也互不相邻的排法共有多少种？
解先把除了ABC以外的5个人排列好是P（5，5)
然后就有了6个空挡，用插入排列法：6个空挡里面插入3个人于是为P(6，3),
所以ABC不在一起的总数为P（5，5)*P(6，3)
但是这样有重复的，因为DE可能在一起了，于是要扣除ABC不在一起但是DE在一起的，也是利用先捆绑DE和剩下三人就是4个全排列然后插入ABC三个人用插空排列法：2*P（4，4）*P（5，3）
总的答案为：P（5，5)*P(6，3)-2*P（4，4）*P（5，3）＝11520种。
点评此题用到分类讨论，扣除法，插空排列，捆绑排列，排列数公式，组合数公式，加法原理.......
小结以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附加条件的,可采用“插空法”.“插空”有同时“插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定.
例5从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?
解问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法? 这类问题可用“隔板法”处理.
采用“隔板法”得:C529=4095.
小结把n个相同元素分成m份每份,至少1个元素,问有多少种不同
分法的问题可以采用“隔板法”得出共有多少种.
三、递推法
例6N*为全体正整数的集合,是否存在一一映射φ: N*→N* 满足条件：对一切k∈N*,都有k | (φ(1)+φ(2)+……+φ(k)) ?
证明你的结论.
注: 映射φ: A→B 称为一一映射,如果对任意b∈B,有且只有一个
a∈A 使得φ(a)=b . 题中“|”为整除符号.
解存在.对n 归纳定义φ(2n－1)及φ(2n) 如下：
令φ(1)=1, φ(2)=3 .设已定义出不同的正整数值φ(k) (1≤k≤2n)满足整除条件且包含1,2,…,n ,设v=min N*\{φ(1),…, φ(2n)},由于2n+1与2n+2互素,根据孙子定理,存在不同于v及φ(k) (1≤k≤2n)的正整数u满足同余式组
u≡－S2n(mod 2n+1)≡－S2n－v (mod 2n+2) .
定义φ(2n+1)=u, φ(2n+2)=v .则正整数φ(k) (1≤k≤2n+2 )也互不相同,满足整除条件,且包含1,2,…,n+1 .根据数学归纳法原理,已经得到符合要求的一一映射.
φ：N*→N*.
例7（错位排列）五封标号为1~5的信放进5个编号为1~5的信笺里面，全错位排列（即1不放1，2不放2，依次类推）一
共有多少种放法.
解这是著名的信封问题,很多著名的数学家都研究过。
瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：
用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封，a、b、c……表示n
份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作f(n)。假设把a错装进B
里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：
（1）b装入A里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，
应有f(n-2)种错装法。
（2）b装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a
之外的）份信纸b、c……装入（除B以外的）n－1个信封A、C……，
显然这时装错的方法有f(n-1)种。
总之在a装入B的错误之下，共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。a装入C，装入D……的n－2种错误之下，同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法，因此:
f(n)=(n-1) {f(n-1)+f(n-2)}
这是递推公式，令n＝1、2、3、4、5逐个推算就能解答此问题。
f(1)=0 f(2)=1 f(3)=2 f(4)=9 f(5)=44
答案是44种。
小结用容斥原理亦可解决此题。
普遍结论为错排公式：f(n) = n! (1 – 1/1! +1/2! -1/3! + …+(-1)n /n! ).
例8在n*m的网格中，从(0,0)点到(n,m)点,只能沿网格的边向x 轴正方向或y轴正方向前进.问共有多少种不同的前进路线? 解对任意一个非x轴、y轴上的点(x,y)，可以从点(x,y-1)走来，也可以从点(x-1,y)走来.因此,设(x,y)处的路线条数为f(x,y),则有递推公式: f(x,y)=f(x,y-1)+f(x-1,y).
下面的推理很重要：根据上述递推公式,可得f(x,y)=C(x+y,x).即从x+y件物品中选出无顺序的x件（或y件）的总方案数.
即f(x,y)=(x+y)!/(x!y!).
小结上述问题中把每个f(x,y)指标在对应的坐标点处，再将坐标系顺时针旋转135。，你发现了什么？这是杨晖三角，f(x,y)=C(x+y,x).而我们知道，C(x,y)=C(x-1,y)+C(x,y-1).这就是通项公式的来源. 以上问题还可以推广.
例9有甲乙两队，各有7名队员，分别编号1-7，首先两队编号为1的队员对抗比赛，负者被淘汰，胜者与负方的2号队员比赛，以此类推.直到某队全部被淘汰为止.问最后有多少种不同比
赛方式？
解设f(x,y)表示甲乙两队分别由x, y名队员组成时的比赛方式数. 由于上次可能是甲、乙两队中某个被淘汰，故通项公式为f(x,y)=f(x-1,y)+f(x,y-1). 转化到与上题相同的数学模型.即f(x,y)=(x+y)!/(x!y!).
小结上述问题是一个二元递推函数，与递推函数通项公式的处理有关，有兴趣的同学可以继续深入学习有关内容. 求排列组合递推问题时，一定要注意以下几个方面：（1）初始条件（2）递推关系中+1，
