解排列组合问题十七种常用策略

高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略江西省永丰中学陈保进排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，学生不容易掌握。

下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。

1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列例1：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一排，如果A ,B 必须相邻，则不同的排法种数为_____解析：把A ,B 捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有22A 种情况,再将整体和另外三人排序，有44A 种情况，所以答案为22A ×44A =48注意：小集团问题也可以用捆绑法变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为720333522=⨯⨯A A A 2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元素的空位或两端例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____解析：先将其它4人全排列，共44A 种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共35A 种情况，所以答案为44A ×35A =14403.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法例3：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一列，如果A 必须在B 前面，则不同的排法种数有_____解析：先将5人全排列，共55A 种情况，考虑A ,B 的顺序有22A 种，符合题意的只有一种，所以答案为602255=A A 4.特殊元素优先考虑例4：8名男生排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种排法解析：①甲在最右边时，其他的可全排，有77A 种不同排法②甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有16A 种，再排乙，有16A 种排法，其余人全排列，共有77A ＋16A ×16A ×66A ＝30960种不同排法5.特殊位置优先考虑例5：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种解析：翻译工作是特殊位置，先选择一人参加翻译工作，14C 种情况，再从其他5人中选择5人参加导游、导购、保洁工作，有35A 种情况，答案为14C ×35A =2406.分组、分配问题：先分组后分配，如果是整体平均分组或部分平均分组，最后计算组数时要除以n n A (n 为均分的组数)，避免重复计数例6：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1，2，3分成三组，不是平均分组，有332516C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故共有3606033=⨯A 种情况A BC DE变式1：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中有两人各得1本，一人得4本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1,1,4分成三组，为部分平均分组，有1522441516=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式2：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，每人得2本，则有_______种不同的分法解析：第一步把书按数量2,2,2分成三组，为整体平均分组，有1533222426=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式3：某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有_____种解析：①按照人数2，2，1分成3组；②按照人数3，1，1分成3组答案为15033221112353322112325=⨯+⨯A A C C C A A C C C 7.正难则反，考虑反面：例7：从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为解析：493739=-C C 此法适用于至多、至少、有、没有这类问题8.分类法（含多个限制条件的排列组合问题、多元问题）例8：甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A ，B ，C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为解析：分2种情况,①乙去A 社区，再将丙丁二人安排到B ，C 社区，有22A 种情况,②乙不去A 社区，则乙必须去C 社区，若丙丁都去B 社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B 社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B 社区，剩下1人安排到A 或C 社区，有2×2＝4种情况，所以答案为2＋1＋4＝7变式1：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个解析：元素多，取出的情况多种，个位数字可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个数，合计为300个变式2：在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种解析：只需考虑三张奖券的归属情况，①有三人各得一张奖券，情况数为34A ；②一人获两张奖券一人获一张奖券,情况数为362423=A C ，故答案为609.可重复的排列求幂法例9：把6名实习生分配到7个车间实习，每个车间人数不限，共有种不同方法解析：每名实习生有7种分配方法，答案为7×7×7×7×7×7×7=76种不同的分法10.多排问题单排法例10：6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是解析：先排前排，36A 种情况，再排后排，33A 种情况，答案为720663336==⨯A A A如果没有条件限制，把元素排成几排和排成一排情况一样多变式1：8个人排成前后两排,每排4人,其中甲乙要排在前排,丙要排在后排,有种排法解析：先排甲乙和丙，还剩5个位置，让5个人做全排列，答案为5760551424=⨯⨯A A A 11.相同元素的分配问题隔板法（名额分配问题也可用隔板法）例11：将7个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子都不空，放法有种解析：可以在7个小球的6个空位中插入3块木板，每一种插法对应一种放法，故放法有3620C =种变式1：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有种放法解析：先向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有216120C =种放法12.选排问题先取后排例12：10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为解析：首先从后排的7人中抽2人，有27C 方法；再将这2人安排在前排，第一人有4种放法，第二人有5种放法，答案为2745420C ⨯⨯=变式1：摄像师要对已坐定一排照像的6位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有3人座位不调整，则不同的调整方案的种数为______解析：从6人中任选3人有36C 种情况，将这3人位置全部进行调整，有1112112C C C ⨯⨯=种情况，答案为36240C ⨯=13.部分合条件问题排除法例13：以正方体的顶点为顶点的四面体共有个解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以答案为481258C -=变式1：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种A、150种B、147种C、144种D、141种解析：从10个点中任取4个的组合数为410210C =，其中4点共面的分三类：①4点在同一侧面或底面的共4组,即46460C ⨯=种②每条棱上的三点和它的对棱的中点共面,这样的共6种③所有棱的6个中点中,4点构成平行四边形共面的有3种答案为210-(60+6+3)=14114.构造模型，等价转化例14：马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：此问题相当于一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法。

排列组合常见题型及解题策略一．．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A=种【例2】3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A. 360B. 188C. 216D. 96【解析】：间接法6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，2222 3242C A A A=432种,其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A=144，符合条件的排法故共有288二．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A种，再用甲乙去插6个空位有26A种，不同的排法种数是52 563600A A=种【例2】高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数为5256A A＝3600【例3】停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？【解析】：先排好8辆车有A 88种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个，将空车位置插入有C 19种方法，所以共有C19A88种方法.注：题中*表示元素，○表示空.三．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

【例1】2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A. 36种B. 12种C. 18种D. 48种【解析】：方法一：从后两项工作出发，采取位置分析法。

解排列组合问题的十七种常用策略解排列组合问题的十七种常用策略一、特殊元素和特殊位置优先策略1. 由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.2. 7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二、相邻元素捆绑策略要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.1. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为________三、不相邻问题插空策略1. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为________四、定序问题倍缩空位插入策略1. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法2. 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？五、重排问题求幂策略1.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为_______3.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法为_______六、环排问题线排策略一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.1. 5人围桌而坐,共有多少种坐法?2. 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈______七、多排问题直排策略1. 8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法2.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是______八、排列组合混合问题先选后排策略1. 有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法？2. 一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有________ 种九、小集团问题先整体局部策略1. 用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？2.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为_______3. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有_______种十、元素相同问题隔板策略将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11m n C -- 1. 有10个运动员名额，要分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？2. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？3.求方程组 x+y+z+w=104的正整数解的组数。

解排列组合问题的十七种常用策略排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。

同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。

根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。

一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置113344A A A注：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。

若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 2545A A 1440二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

522522A A A =480注：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.练习:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形有多少种？ 20三.不相邻问题插空策略例 3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有46A 种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A =43200种注：元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端。

排列组合问题的解题策略关键词：排列组合,解题策略一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。

评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。

二、不相临问题——选空插入法例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。

三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。

例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。

例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。

解决排列组合问题常见策略一、合理选择主元素（确定谁选谁、选过的能否再选，用分步乘法计数原理）1、公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？2、公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？3、把4封不同的信全部任意投入到3个信箱中，不同的投法有多少种？4、某公车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的可能方式有多少种？5、三个比赛项目，六人报名参加，下列条件下各有多少种不同方法？(1)每人参加一项; (2)每项一人且每人至多参加一项；（3）每项一人且每人参加项目数不限6、在5天内安排3次不同的考试，若每天至多安排1次考试，则有多少种不同的安排方案？二、特殊元素优先法（合理分类，准确分步）1、6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？2、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？3、0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？4、上午要上语文、数学、体育和外语四门课，而体育教师因故不能上第一节和第四节，则不同的排课方案有多少种？5、5人站成一排，A不能站两端，B不能站中间，有多少种不同的站法？6、五列火车停在五条轨道上，若甲车不停在第一轨道上，丙车不停在第三轨道上，则不同的停车方法有多少种？8、7、从6名短跑运动员种选4人参加4×100米接力赛，若甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法？三、相邻问题——捆绑法1、7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种站法？2、三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？3、10个人站成一排，规定甲乙两人之间必须有4个人，不同的排法有_______种.4、一排长椅上共有10个座位，现有4人就坐，恰有五个连续空位的坐法种数为______种.四、不相邻问题——插空法1、7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？2、三个男生，四个女生排成一排，男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？3、6个停车位置，有3辆车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法有_________种。

解排列组合问题的十六种常用策略
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目 录
• 排列问题 • 组合问题 • 排列与组合的关联 • 解题策略 • 实际应用
01 排列问题
定义与公式
定义
从n个不同元素中取出m个元素（0≤m≤n），按照一定的顺序排成一列，叫做 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
公式
A(n,m) = n! / (n-m)!
合问题常常涉及到如何合理地分组、分类和整理数据。
统计模型
在建立统计模型时，例如回归分析和生存分析，排列组合问 题涉及到如何选择合适的模型和变量。
金融数学
投资组合优化
在金融数学中，排列组合问题常用于投资组合优化，例如如何合理地分配资产以最小化风险并最 大化收益。
风险管理
在风险管理方面，排列组合问题涉及到如何评估和管理金融风险，例如市场风险和信用风险。
排除法需要准确判断哪些情况需要排除，并正确计算 剩余情况。
分步法
分步法适用于多步骤、多阶段的问题，将问 题分解为多个小步骤或小阶段进行计算。
分步法需要明确每一步骤或阶段的计算方法 和相互之间的关系。
分类法
分类法适用于多种不同类型的问题，将问题按照不同 的类型进行分类，然后分别进行计算。
分类法需要准确判断问题的类型，并正确计算每种类型 的情况。
04 解题策略
直接法
直接法适用于简单问题，可以通过直 接计算得出结果。
直接法需要熟练掌握排列组合的基本 公式和原理。
间接法
间接法适用于不易直接计算的问题， 通过排除或减去不满足条件的情况来 得出结果。
VS
间接法需要准确判断哪些情况需要排 除，并正确计算剩余情况。
排除法
排除法适用于存在多种限制条件的问题，通过排除不 满足条件的情况来得出结果。

排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。

在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。

1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。

2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。

3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。

4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。

5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。

6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。

7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。

8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。

9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。

10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。

11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。

12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。

13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。

14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。

15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。

16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。

17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。

18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。

19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。

解排列组合问题常用方法（20种）定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）
相邻问题捆绑法
相离问题插空法
定序问题除序（去重复）、空位、插入法
平均分组问题倍除法（去重复法）
元素相同问题隔板法
正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法）
重排问题求幂法
环（圆）排问题直排法
多排问题单排法
排列组合混合问题先选后排法
小集团问题先整体后局部法
含约束条件问题合理分类与分步法
简单问题实际操作穷举法
数字排序问题查字典法
复杂问题分解与合成法
复杂问题转化归结法（化归法）
复杂分类问题表格法
运算困难问题树图法
不易理解问题构造模型法。

排列组合解题策略大全一、合理分类与分步1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有44A 种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有131333A A A 种排法，由分类计数原理，排法共有7813133344=+A A A A （种） 解法二(排除法):甲在排头:44A ,乙在排尾: 44A ,甲在排头且乙在排尾: 33A ,故符合题意的不同的排法为: 5443544378A A A A --+=.注: 甲在排头和乙在排尾都包含甲在排头的同时乙在排位,所以多减了要补回来.2、从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：① 若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A④（同例1）若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数433288883374088A A A A +++=（种）二、特殊元素和特殊位置优先法1、0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？ 分析：特殊元素：0，1，3，5；特殊位置：首位和末位先排末位：13C ，再排首位：14C ，最后排中间三位：34A 共有：13C 14C 34A =2882、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？先种这两种特殊的花在除中间和两端外剩余的3个位置：24A ;再在其余5个位置种剩余的5种花：55A ；总共：24A 55A =1440三、排列组合混合问题先选后排法解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想。

点的游览顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
合理分类和准确分步
解排列（或）组
连续过程分步，做到分步层次清楚.
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总的原则—合理分类和准确分步
解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行 分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准 明确，分步层次清楚，不重不漏。
种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人
员__C_15C__13C__24 _种,只会唱的5人中只有2人
选上唱歌人员有_C_52_C_52种，由分类计数
原理共有___C__32C_32_+__C__15C__13C__24 +__C_52_C_52__种。
本题还有如下分类标准： *以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果
（1）有两门课时间冲突,不能 同时学，有几种选法？
解法一： C24 C12 C14 14 解法二： C62 1 14
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（2）有两门特别的课，至少 选学其中的一门，有几种选法？
解法一： C12 C14 C22 9 解法二： C62 C24 9
特殊元素（或位置）优先安排
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合理分类与分步策略
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例.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能
能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人
唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法?
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞 3人为全能演员。以只会唱歌的5人是否
选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱
的5人中没有人选上唱歌人员共有_C_32C__32
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（4）（2005·福建·理）从6人中选4人分别到巴黎、伦 敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一 人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人 不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ B ）

解:分两步进行
第一步排2个相声和3个独唱共有 A （55 第一步跟顺序有关，排列问题）
第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共
有A
4 （第二步依旧与顺序有关，排列问题）
6
由分步计数原理,节目的不同顺序共有 A
5 5
A
4 6
策略说明
元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素进行排队，再把不相邻元素插入中间 和两端。
的4个指标按分给一个班、两个班、三个班、四个班进行
分类，共有C 6 12 C 6 23 C 6 3C 6 41 2 6种分法.
练习2：
分析： （2）先拿3个指标分给二班1个，三班2个，
然后，问题转化为7个优秀指标分给三个班，
每班至少一个.由（1）可知共有C
2 6
15
种分法
（8）多类元素，分类，分步策略
1 4
除了0和末位选择的一个数字外，剩余4个数字
第三步：排其它位置共有A
其余的四个数字没限制，全排列
3 4
由分步计数原理得C41C31A43 288
C
1 4
A34
C
1 3
策略说明： 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 1）若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素. 2）若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。 3）若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 4）在同一题里，是选择元素分析，还是位置分析，可以根据题目中的特殊元素，特
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元
素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，
所有分法数为 C

解排列组合应用题的常用策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（）A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法种数是（）A、24种B、60种C、90种D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种 7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

有_________ A4 A1 A5 种.
4
A
前排
后排
八.小集团问题先整体局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰 有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有 多少个？
2 解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队,共有____ 2
A
2 2 种排法，再排小集团内部共有_______ 种排法，由分步 2 2
正确区分至多正确区分至多与至少与至少含与不含等问题含与不含等问题解决排列组合综合性问题往往类与步交叉解决排列组合综合性问题往往类与步交叉容易产生重复和遗漏应仔细分析重在哪里漏在容易产生重复和遗漏应仔细分析重在哪里漏在何处因此必须掌握一些常用的解题方法何处因此必须掌握一些常用的解题方法
解排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事； 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类, 或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类；确 定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序) 问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 3.正确区分“至多”与“至少”，含与不含等问题 ※解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉， 容易产生重复和遗漏，应仔细分析重在哪里漏在 何处，因此必须掌握一些常用的解题方法.
四.相邻元素捆绑策略 例2.7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共 有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元 素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进 行排列，同时对相邻元素内部进行自排.
甲乙 丙丁
由分步计数原理可得共有 种不同的排法
A
5 2 2 =480 A A 2 2 5
1 1 2
2 2
唱歌人员有____ C 5C 5 种，由分类计数原理共有 2 2 2 2 1 1 2 ______________________ C C + C C C + C 5C 5 种.

解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。

末位和首位有特殊要求。

先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。

由分步计数原理得113344288C C A =。

变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。

由分步计数原理得25451440A A =。

二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。

先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理得522522480A A A =。

变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。

分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。

三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。

分两步。

第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =。

变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。