排列组合问题，常见解题策略
曹永玉
排列组合问题是高考的必考内容，也是高考题中正确率最低的题目之一。究其原因，是因为其思维方式独特，解题思路新颖，如果对题意认识出现偏差的话，极易出现计数中的“重复”和“遗漏”。教学中，提高学生解排列组合题的有效途径是将一些常见题型进行方法归类，构造模型解题，这样有利于学生认识模式，进而熟练应用。本文列举了几种常见的排列组合问题的解题策略，以期对大家有所帮助。
一、排列问题
1.某个（或某几个）元素要排在指定位置——特殊元素“优先法”。
例1. 乒乓球队的10 名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力要排在第一、三、五位置，其余7队员中选2名排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有多少种？
解析：3名主力的位置确定在第一、三、五位中选，将他们优先安排，有A72A33种可能，然后从其他队员中选2 人安排在第二、四位置，有A72种排法，因此结果有A33种。
点评：先排特殊（特殊元素或特殊位置）是解决排列问题的基本方法。
2.某个元素不排在指定位置——排除法。
例2． 5个人排队，其中甲不在排头的排法有多少？
解析1：（排除法）5人的全排列数A55，其中甲在排头的排列数A44，故甲不在排头的排列数A55 --A44=96种
解析2：（特殊元素优先法）：先从余下的4个位置中选一位置排上，甲有
A41种方法，然后其他4个元素排在余下的四个位置A44，所以总计A44A41种排法。
解析3：（特殊元素优先法）：先从甲以外的4人中选出一人排在特殊位置——排头A41，然后其他四个元素排在余下的4个位置A44，所以总计A41A44种排法。
3. 相邻问题——捆绑法
例3． 4名男生和4名女生排成一排照相，要求4名女生必须相邻，有多少种排法？
解析：4名女生看作一个整体（捆绑），与4名男生共五个元素全排列A55，但这4名女生内部又有顺序A44，故A44A55种不同排法。
4. 小团体问题——捆绑法
例4．5人站一排，其中甲、乙之间有且只有一人的站法有多少？
解析：先从甲、乙之外的3人中选一人，然后将甲、乙排在他的两边有C31A22种方式，3人形成一个小团体，看作一个元素再与余下的2人排列有A33种。因此共A31A22A33种不同站法。
5. 不相邻问题——插空法
例5．要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目单，如果舞蹈节目不排在开头，并且任意两个舞蹈节目不排在一起，则不同的排法有多少？
解析：先将5个独唱节目排列A55，形成的6个空挡中，从后面5个空挡中选3个排在舞蹈节目A53，故有A55A53种不同排法。
6. 定序排列问题——缩短法
例6．书架上有6本书，新买了3本书插进去，保持原来6本书的顺序不变，有多少种排法？
解析：9本书作全排列A99，考虑到原来6本书的顺序不变，原来的每一种
排法都重复了A66次，因此有A99/A66种插法。
点评：若有n 个元素参加排列，其中有m个元素顺序是确定的，则排列数A n n/A m m
7. 重复排列问题——住店法
例7．8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有多少？
解析：冠军不能重复给多名同学，但同一同学可以获得多项冠军。把8名同学看作8家店，3项冠军看作三个客，他们都住进任意一家店，每个店都有8种可能，因此共有83种不同结果。
点评：⑴重复排列问题要区分两类元素，一类可以重复，看作店，另一类不能重复，看作客。则通过住店法可以顺利解决。
⑵类似问题很多，信投箱问题，映射问题均可以通过住店法解决。如8封信投进3个信箱，有多少不同结果？这里8封信是客，3个信箱是店，故有38种结果。
8．多排问题——排法
例8. 9个人排3排，每排3人，有多少种不同的排法？
解析：将2、3 排的排头分别接到第1、2排的排尾，问题转化为9人排一排，故有A99种。
9. 标号排位问题——分步法
例9．同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿到一张别人的贺卡，则四张卡不同的分配方式有多少种？
解析：先将四个人标号㈠㈡㈢㈣,各自的卡标号①②③④，转化为卡与人不对号入座问题。第一步㈠号同学取1张①号之外的卡A31；第二步由㈠号同学取出的那张贺卡的供卡人取，有3种取法；第三步由第二步取出的卡的供卡
人取，只有一种取法；第四步最后1人取卡，也只有1种取法，故有3×3×1=9种分配方法。
点评：从第二步起，每1步由上一步取得卡的供卡人取。
二、组合问题
1、某元素一定选上（或不选上）问题
例10．某乒乓球队9名队员，其中2名种子选手，现选5人参赛，种子选手都必须在内，有多少种不同选法？
略解：C73
2. 至多、至少选上几个问题——分类讨论或排除法
例11. 在200件产品中有3件次品，现从中任取5件，其中至少有2件次品的取法有多少？
略解一（分类讨论）：C32C1973+C33C1972
略解二（排除法）：C2005—C1975—C1974C31
3、分组（分堆）问题
①均匀分组问题：n 个元素分成m组，每组r个元素，则分法
[C n r C r n--r-----C r r]/A m m（其中mr=n）
例12．6本书分成3堆，每堆2本，有多少分法？
解析：共C62C42C22/A33=15种分法
②非均匀分组法
例13．6本不同书分成1本，2本，3本3堆，有多少种不同分法？
解析：先从6本中取出1本为一堆，再从剩下的5本中取2本为第二堆，余下的为第3堆时，故共C61C52C33=60种分法。
点评：①若只有分堆，而不只是分到某一位置或某个人，则只与组合有关。
