九年级数学上册第二章一元二次方程5一元二次方程的根与系数的关系教案新版北师大版

一元二次方程的根与系数的关系教学设计教学目标1.了解一元二次方程的概念、形式和解法。

2.掌握一元二次方程的根与系数的关系公式。

3.能够用解二次方程的根与系数的关系公式解决实际问题。

4.提高学生的分析问题和解决问题的能力。

教学重点1.掌握一元二次方程的根与系数的关系公式。

2.能够用解二次方程的根与系数的关系公式解决实际问题。

教学难点1.帮助学生理解一元二次方程的根与系数的关系。

2.提高学生分析问题和解决问题的能力。

教学内容一、复习1.一元二次方程的概念、形式和解法。

2.讨论一元二次方程的两个根和重根的情况。

二、引入1.提问：一元二次方程的根和系数是否有什么关系？2.学生自主探究：通过屏幕上展示的不同的一元二次方程和其系数，探究根与系数的关系。

三、学习1.通过老师的讲解，学生理解一元二次方程的根与系数的关系公式。

2.学生通过老师给出的实际问题，在小组内讨论并解决问题。

学生将解题过程及得出结果进行汇报。

四、巩固1.通过多种形式的例题进行巩固。

如填表题、选择题、应用题等。

2.演练班级以前的一元二次方程综合性应用。

五、作业1.完成课堂练习和课后作业。

2.下一堂课前需要学生查阅一些和一元二次方程相关的案例，并准备进行课堂展示。

教学方法1.探究式教学法2.讨论式教学法3.问答式教学法教学评价1.课堂表现评价：积极参与讨论、提出问题、解决问题的能力。

2.课后作业评价：经过练习巩固知识，能否正确解决题目。

3.课堂展示评价：能否举一反三，将一元二次方程和实际问题应用结合。

2023-2024学年北师大版九年级数学上册教案：2.5 一元二次方程的根与系数的关系一. 教材分析《2.5 一元二次方程的根与系数的关系》是北师大版九年级数学上册的教学内容。

本节内容是在学生已经掌握了方程的解法的基础上进行学习的，通过本节课的学习，使学生能够掌握一元二次方程的根与系数之间的关系，并能运用其解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于方程的解法有一定的了解。

但是，对于一元二次方程的根与系数之间的关系，可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索出一元二次方程的根与系数之间的关系。

三. 教学目标1.让学生掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.培养学生合作交流、自主探索的学习习惯。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.教学难点：如何引导学生自主探索出一元二次方程的根与系数之间的关系。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，引导学生自主探索。

2.案例分析法：教师通过具体的例子，使学生更好地理解一元二次方程的根与系数之间的关系。

3.小组合作法：学生分组讨论，共同完成任务，培养学生的合作意识。

六. 教学准备1.准备相关的例子，用于讲解和引导学生自主探索。

2.准备PPT，用于展示和引导学生思考。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问，引导学生回顾已学的方程的解法，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示一元二次方程的根与系数之间的关系，引导学生观察、分析。

3.操练（10分钟）教师给出具体的例子，让学生分组讨论，共同探索一元二次方程的根与系数之间的关系。

4.巩固（10分钟）教师通过PPT展示一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）教师引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的运用能力。

《一元二次方程的根与系数的关系》教案教学目标（一）知识与技能掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．（二）过程与方法培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．（三）情感、态度与价值观1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：根与系数的关系及其推导．2．教学难点：正确理解根与系数的关系．3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．教学过程（一）明确目标一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0．观察、思考两根和、两根积与系数的关系．在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．以上一名学生在板书，其它学生在练习本上推导．由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1我们就可把它写成x2+px+q=0．结论2．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q．结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0；（3）2x2-9x＋5＝0；（4）4x2-7x＋1＝0；（5）2x2-5x＝0；（6）x2-1＝0此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系．3．一元二次方程根与系数关系的应用．（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项系数，（3）还要注意-b/a 的负号。

2.5一元二次方程根与系数的关系【教学目标】知识与技能1.掌握一元二次方程根与系数的关系式,能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数,会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数,两根之差。

2.掌握一元二次方程根的判别式,并会运用根的判别式判断方程根的情况。

过程与方法能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数,会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数,两根之差。

情感、态度与价值观培养学生观察,归纳数学思想【教学重难点】教学重点根与系数的关系及其推导。

教学难点根的判别式与跟与系数的关系【导学过程】【创设情景,引入新课】思考：1．解方程并观察x1＋x2, x1·x2与系数的关系2.问题：观察两根之和,两根之积与方程的系数之间有什么关系？【自主探究】3.猜一猜：请根据以上的观察猜想：方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根1,2x x 与系数a,b,c 之间的关系：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 4.验证结论：设1,2x x 为方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根,证明上述结论 （1） 当满足条件___________时,方程的两根是12________,__________x x ==, （2）两根之和12x x += 两根之积12x x =5．结论：一元二次方程根与系数关系：（1）如果1,2x x 为方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根,那么12x x +=______,12x x =_________.(2) 如果1,2x x 为方程20x px q ++=的两个实数根, 那么12x x +=______,12x x =_________.【课堂探究】1. 不解方程,求下列方程两根的和与积：（1）2315x x -=, 22(2)514x x x -=+2. 写出以-２与１为根的一元二次方程。

3．已知1,2x x 是关于x 的一元二次方程22(23)0x k x k -++=的两个实数根,并且12111x x +=,求k 的值【当堂训练】一个直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是242cm ,求两条直角边的长。

教学设计一元二次方程的根与系数的关系教学目标：1．理解一元二次方程根与系数的关系，会求与一元二次方程的两根有关代数式的值.2．能根据一元二次方程根与系数的关系，已知一个根，求出方程的另一个根及未知系数. 3．通过一元二次方程根与系数关系的推导，提高学生的推断能力．教学重点：理解一元二次方程根与系数的关系，会求与一元二次方程的两根有关代数式的值.教学难点：能根据一元二次方程根与系数的关系，已知一个根，求出方程的另一个根及未知系数.教学方法：提出问题——合作探究——归纳总结教学法．课前准备：教师准备：精心备课，制作课件，制作讲学案，学生准备：预习本节课.教学过程：一、创设情境明确目标（预设时间5分钟）1.一元二次方程的一般形式？ax2+bx+c=0 (a≠0)（学生默写）2.一元二次方程的求根公式是什么？(△=b2-4ac≥0)（学生默写）【处理方式】学生默写，其余学生补充，教师点拨评价.【设计意图】让学生熟悉与本节课有关的知识，做好本节课学习的铺垫.师：同学们可以看出方程的根与方程的二次项系数、一次项系数、常数项有关系，它们有怎样的关系呢？让我们共同研究第二章第五节《一元二次方程根与系数的关系》请看学习目标：【学生齐读】1．理解一元二次方程根与系数的关系，会求与一元二次方程的两根有关代数式的值.2．能根据一元二次方程根与系数的关系，已知一个根，求出方程的另一个根及未知系数.【设计意图】让学生明确本节课的学习任务，看着目标研究、带着问题学习.二、自主学习合作探究（预设时间30分钟）师：目标已经确定，任务等待完成，下面我们以学习小组为单位研究,根据计算填空，并思考下面问题：（1）观察表格中X1+X2与X1X2的值它们与一元二次方程的各项系数之间有什么样的关系？（2）是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？【处理方式】学生开始分小组学习，小组长分工，两名同学做第1题，两名同学做第2题，组长和另一名同学做第3题，做完后，组长同学负责指导本组同学校对答案，并进行结论总结.【师】同学们停下研究，让我们共同分享一下集体的智慧，让不同的学习小组发言，得到所做题目的答案，并总结得到自己的结论；最后话锋一转，“请根据以上的观察发现，请猜想：方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根x1，x2，则x1+x2= ________.x1x2= .如何验证你的猜想？【生1】x1+x2= x1x2=【师】能把你推理的过程和大家一起分享吗？【生1】摇头【生2】拿着讲学案到讲台前，展示计算推理过程并作具体的步骤解释，效果很好，学生都很专注的听.【师】满意的点头，我们为苏伟杰同学精彩的推理喝彩，苏同学验证了我们猜想的结论，是我们班未来的伟大、杰出的一名‘数学家’，早在四百多年前，法国的韦达也发现了此结论，并传承至今，请阅读韦达其人其事.生：阅读教师准备的课外拓展：韦达1540年出生在法国，年青时学习法律，当过律师，当过议会议员。

第二章一元二次方程2. 5 一元二次方程的根与系数的关系本节是从相关知识的复习入手，目的是在巩固旧知的基础上为后续学习打铺垫，再通过计算、比较、分析、归纳发现根与系数的关系，发展学生的感性认识，合作意识，让学生体会由特殊到一般的认知过程.根与系数的关系也称为韦达定理(韦达是法国数学家)，韦达定理是初中代数中的一个重要定理.这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡.同时通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、探究精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础.1.会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差；理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系.2.在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法；能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数.3.结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系.【教学重点】求方程的两根的倒数和与平方和、两根的差.【教学难点】掌握一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系.课件.◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教材分析◆教学目标◆教学过程一、复习回顾内容1：1．一元二次方程的一般形式？ax2+bx+c=0(a≠0)(板书)2．一元二次方程有实数根的条件是什么？(△=b2-4ac≥0)3．当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？4．一元二次方程的求根公式是什么？目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫.效果：第一问题学生先动笔写在练习本上，有个别同学少了条件“a≠0”.后面的问题由于较简单，学生很快回答出来，提高了学生自信心.内容2：求一个一元二次方程，使它的两个根分别为1. 2和3；2. -4和7；3. 3和-8；4. -5和-2①(x-2)(x-3)=0 x2-5x+6=0②(x+4)(x-7)=0 x2-3x-28=0③(x-3)(x+8)=0 x2+5x-24=0④(x+5)(x+2)=0 x2+7x+10=0问题：从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？内容3：我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用△表示.判别式定理当b2-4ac＞0时,方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时,方程没有实数根；当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根.判别式逆定理若方程有两个不相等的实数根,则b2-4ac＞0；若方程有两个相等的实数根,则b2-4ac=0；若方程没有实数根,则b2-4ac＜0；若方程有两个实数根,则b2-4ac≥0.二、合作交流，探究新知猜想：先解除方程2x 2-5x +3=0，思考这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？解得：x 1= ，x 2=1 所以得到，x 1+x 2= x 1 • x 2= 思考：对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？1. 如果方程x 2+px +q =0有两个根是x 1，x 2那么有x 1+ x 2=-p ， x 1 •x 2=q设x 1 、x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)的两个根， 则x 1= x 2= ∴x 1+x 2= + = = x 1•x 2 = • = == 2. 如果方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根是x 1、x 2，则 x 1+x 2 = x 1·x 2 = （一）引申：1、若ax 2+bx +c =0 (a ≠0 ∆≥0).（1）若两根互为相反数，则b =0；（2）若两根互为倒数，则a =c ；（3）若一根为0，则c =0 ；（4）若一根为1，则a +b +c =0 ；（5）若一根为-1，则a -b +c =0；（6）若a 、c 异号，方程一定有两个实数根.（二）一正根， △＞0一负根 X 1X 2＜0两个正根 △≥0X 1X 2＞0X 1+X 2＞0322523a ac b b 242-+-aac b b 242---a ac b b 242-+-aac b b 242---a b 22-a b-a ac b b 242-+-a ac b b 242---22224)4()(a ac b b ---244a ac a c a b -ac两个负根 △≥0X 1X 2＞0X 1+X 2＜0三、运用新知题1 已知方程的两个实数根是且 求k 的值.解：由根与系数的关系得X 1+X 2=-k ， X 1×X 2=k +2又 X 12+ X 2 2 = 4即(X 1+ X 2)2 -2X 1X 2=4K 2- 2(k +2）=4K 2-2k -8=0解得：k =4 或k =－2∵ △= K 2-4k -8当k =4时， △＜0当k =-2时，△＞0∴ k =-2题2 方程 有一个正根，一个负根，求m 的取值范围．解：由已知，△=即 m >0m -1<0∴0<m <1四、巩固新知12111.x x += 1212x x x x + 12212.x x x x + 221212x x x x += 2121212()2x x x x x x +-= 五、归纳小结1. 根的判别式及根与系数关系的应用.2. 通过这节课你增长了…022=+++k kx x 2,1x x 42221=+x x )0(0122≠=-+-m m mx mx 0)1(442>--m m m 0121<-=mm x x◆教学反思略.。

《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计【教学目标】1、知识目标 ：掌握一元二次方程的根与系数的关系 2、能力目标：通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合判断的能力，提高学生推理论证的能力。

3、情感目标：在探究中得出结论，获取成功的体验，激发学习热情，建立自信心。

激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神。

【教学重点和难点】1.教学重点：一元二次方程根与系数的关系和应用。

2.教学难点：对根与系数的关系的理解和推导。

【教学过程】（一 ）新知提问 教学内容： 已知21,x x ,满足12,72121==+x x x x 则在不解方程的前提下你能判断以21,x x 为根的一元二次方程是 哪一个? 说说你的理由127:,0127:0127:,0127:2222=+-=--=-+=++x x D x x C x x B x x A教师活动：提出问题，激发学生的好奇心和解决困难的斗志 学生活动：极思考回答，进入学习状态。

设计意图：通过学生回答加强其对一元二次方程一的解法的掌握，并认识到用所学知识在该题的情景下无法解决这个问题，从而点燃其对学习新知的热情。

（二）回顾整理教学内容：提问1：一元二次方程的一般形式是什么。

提问2：一元二次方程的根的情况是如何确定的。

提问3：一元二次方程求根公式。

教师活动：提出问题，让学生进一步明确根与系数的概念，为后面的研究作铺垫。

学生活动：极思考回答，进入学习状态。

设计意图：通过学生回答加强一元二次方程一般形式的记忆强化，使学生明确方程的系数决定根的值，引出根与系数之间还有其它联系方式吗？然后顺理成章进入“一元二次方程的根与系数之间的关系”的探究学习。

（三）探索新知问题1：（填表，观察，猜想）你发现了什么结论问题2： 你是如何证明你的发现呢？ ①用语言叙述发现的规律；② 02=++c bx ax 的两根21,x x 用式子表示你发现的规律： .推断证明02=++c bx ax (a ≠0)的两根为21,x x 则:a b x x -=+21 ，a cx x =21教师活动：引导学生观察、分析、归纳；启发学生，求根公式是具有一般性的，利用求根公式进行证明。

2.5一元二次方程根与系数的关系教学设计
【做一做】
解下列方程，看谁能更快速的说出下列一元二次方
程的两根和与两根积.
(1)x2–2x+1=0
(2)x2–x–1=0
(3) 2x2–3x+1=0
选择自己喜欢的方法解一元二次方程，
观察上述表格，回答下列问题：
(1)每个方程的两根之和与它的系数a 、b 、c 有什么关系？
12b
x x a
+=-
(2)每个方程的两根之积与它的系数a 、b 、c 有什么关系？
12c x x a =
思考：对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？ 证一证：
22124422b b ac b b ac x x a a -+----==
， 2212442222b b ac b b ac
x x a a b b a a
-+----+=+-==- ()
(
)
()22122
2
2
2
222
44224444b b ac b b ac x x a a b b ac
a
b b a
c c a a
-+----=⋅
--
-=--=
=
总结：
如果一元二次方程 ax 2+bx +c =0(a ≠0)，当b 2–4ac ≥ 0 时，有两个根分别为x 1，x 2，那么：
1212.b c
x x x x a a
+=-=，
例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、。

教学设计一元二次方程的根与系数的关系【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。

2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。

3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。

4、能应用韦达定理分解二次三项式。

【内容分析】韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-=说明：（1）定理成立的条件0∆≥（2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别根与系数关系的三大用处 （1）计算对称式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4)12||x x -．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=- (1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________ 2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ， （x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6．设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x 1x 1+（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。

第二章一元二次方程2.5 一元二次方程的根与系数的关系1.能说出根与系数的关系;会利用根与系数的关系解有关的问题.2.在经历观察、归纳、猜想、验证的探索发现过程,通过尝试与交流,开拓思路,体会应用知识探索成果的喜悦.3.通过观察、实践、讨论等活动,经历发现问题、发现关系的过程,养成独立思考的习惯;通过交流互动,逐步养成合作的意识及严谨的治学精神.一元二次方程两根之和及两根之积与原方程的系数之间的关系.对根与系数这一关系进行应用.复习引入:1.请说出解一元二次方程的四种解法.2.解下列方程,将得到的解填入下面的表格中.你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系?(1)x2－2x+1=0;(2)x2-23x－1=0;(3)2x2－3x＋1=0.这就是我们今天要研究的根与系数的关系.教师:同学们先来完成上面的表格,再观察两解的和、积与原方程中的系数的关系,并加以证明.学生填表如下:可以得到x1＋x2=-ba,x1x2=ca.证明如下:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac>0时有两个根,x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.于是,两根之和为x1+x2=-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=-2b2a=-ba;两根之积为x1x2=-b+b2-4ac2a·-b-b2-4ac2a=(-b)2-(b2-4ac)24a2=b2-b2+4ac4a2=ca.通过上边的猜测与证明,我们得到:一元二次方程的根与系数的关系:如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,那么x1＋x2=-ba,x1x2=ca.例利用根与系数的关系,求下列方程的两根之和、两根之积:(1)x2+7x+6=0;(2)2x2-3x-2=0.解:(1)这里a=1,b=7,c=6.Δ=b2-4ac=72-4×1×6=49-24=25>0,∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根分别是x1,x2,那么x1+x2=-7,x1x2=6.(2)这里a=2,b=-3,c=-2.Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=9+16=25>0,∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根分别是x1,x2,那么x1+x2=32,x1x2=-1.【巩固练习】教材随堂练习补充练习:1.写出下列方程的两根之和与两根之积:(1)x2-5x+2=0;(2)x2+11x-44=0;(3)2x2+3x-5=0;(4)x2-mx+m-3=0.2.已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5=0的一个根是2,求方程的另一个根和p的值.(学生总结,老师点评)本节课要掌握:一元二次方程的根与系数的关系:如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,那么x1＋x2=-ba,x1x2=ca.课本习题2.8。

*5 一元二次方程的根与系数的关系【知识与技能】掌握一元二次方程根与系数的关系,会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积,并会解一些简单的问题.【过程与方法】经历一元二次方程根与系数关系的探究过程,培养学生的观察思考、归纳概括能力,解决问题的能力,渗透整体的数学思想、求简思想.【情感态度】通过学生自己探究,发现根与系数的关系,增强学习的信心,培养科学探究精神.【教学重点】根与系数的关系及运用.【教学难点】定理的发现及运用.一、情境导入,初步认识我们知道生活中许多事物存在着一定的规律,有人发现并验证后就得到伟大的定理,而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律.那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？今天我们共同去探究,感受一次当科学家的滋味.【教学说明】让学生感受到数学和其他学科一样,里边有很多有价值的规律,等待我们去探索,激发学生的学习兴趣、探究欲望.二、思考探究,获取新知解下列方程,将得到的解填入下面的表格中,观察表中x1+x2,x1·x2的值,它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？【教学说明】通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积,引导学生从中发现存在的一般规律,渗透特殊到一般的思考方法.【归纳总结】一般地,对于关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) ,用求根公式求出它的两个根x 1、x 2 ,由一元二次方程ax 2+bx+c=0的求根公式知x 1=242b b ac a -+-,x 2=242b b ac a---,能得出以下结果： x 1+x 2=-b a ,x 1·x 2=c a. 【教学说明】让学生自己发现规律,找到成功感,再从理论上加以验证,让学生经历从特殊到一般的科学探究过程.三、运用新知,深化理解1.求下列方程的两根之和与两根之积.（1）x 2-6x-15=0；（2）5x-1=4x 2；（3）x 2=4；（4）2x 2 =3x.2.已知关于x 的方程x 2-2（k-1）x+k 2=0有两个实数根x 1,x 2.（1）求k 的取值范围；（2）若|x 1+x 2|=x 1x 2-1,求k 的值.【教学说明】让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积.3.已知方程5x 2+kx-6＝0的一个根为2,求它的另一个根及k 的值；解：设方程的另一个根是x 1,那么2x 1=65- ∴ x 1=35- 又x 1+2=5k -∴k=-74.利用根与系数的关系,求一元二次方程2x 2+3x-1=0的两个根的（1）平方和；（2）倒数和.解：设方程的两个根分别为x 1,x 2,那么x 1+x 2=32-, x 1x 2=12-. （1）∵ （x 1+x 2）2=x 12+2x 1·x 2+x 22,∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1·x 2=13/4（2）12121211·x x x x x x ++= = 3 5.已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+1/4k 2+1=0,且方程两实根的积为5,求k 的值.解：∵方程两实根的积为5 ∴222121141041154k k x x k ∆=-+-+≥=+⎪⎪⎨⎪⎩=⎧⎪［（）］（） 得324k k ≥=±⎧⎪⎨⎪⎩ .∴当k=4时,方程两实根的积为5.6.已知关于x 的一元二次方程x 2+2（k-1）x+k 2-1=0有两个不相等的实数根.（1）求实数k 的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是,请求出它的另一个根；若不是,请说明理由. 解：（1）Δ=［ 2（k-1）］ 2-4（k 2-1）=4k 2-8k+4-4k 2+4=-8k+8.∵ 原方程有两个不相等的实数根,∴-8k+8＞0,解得 k ＜1,即实数k 的取值范围是 k ＜1.（2）假设0是方程的一个根,则代入得 02+2（k-1）· 0+k 2-1 = 0,解得k=-1或 k=1（舍去）.即当k=-1时,0就为原方程的一个根.此时,原方程变为 x 2-4x = 0,解得 x 1=0,x 2=4,所以它的另一个根是4.【教学说明】目的是考察学生灵活运用知识解决问题的能力,让学生了解到根与系数的关系在解题中的运用,同时也考察学生思维的严密性.四、师生互动,课堂小结不解方程,根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合,可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值：（1）先化成一般形式,再确定a,b,c.（2）当且仅当b2-4ac≥0时,才能应用根与系数的关系.（3）要注意符号：两个根的和是ba前面有负号,两个根的积是ca前面没有负号.让学生谈谈本节课的收获与体会,教师可适当引导和点拨.1.布置作业：教材“习题2.8”中第2 、3题.2.完成练习册中相应练习.此节课在研究方程的根与系数关系时,先从具体例子观察、归纳其规律,并且先从二次项系数是1的方程入手,然后提出二次项系数不是1的方程,由此,猜想一般的一元二次方程的根与系数的关系,最后对此猜想的正确性作出证明.这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值.。

2021 年北师大版九年级上册第二章一元二次方程的根与系数的关系〔教案〕一元二次方程的根与系数的关系教学目标知识目标：要求学生在理解的根底上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。

能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，开展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。

情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。

体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。

教学重点、难点一元二次方程根与系数的关系是重点，让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。

一、复习回忆内容： 1、一元二次方程的一般形式？ax2+bx+c=0 (a ≠0)〔板书〕2021 年北师大版九年级上册第二章一元二次方程的根与系数的关系〔教案〕22、一元二次方程有实数根的条件是什么？( △=b -4ac ≥0)3、当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？4、一元二次方程的求根公式是什么？二、新课导入通过前面的学习我们发现, 一元二次方程的根完全由它的系数确定, 求根公式就是根与系数的关系的一种形式 , 除此之外 , 一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢 ?下面我们通过解方程来探究.(1)x 2-2x ＋1＝0; (2)x2-2x-1＝0; (3)2x2-3x＋1＝0.每个方程的两根之和与它的系数有什么关系?两根之积呢 ?对于任何一个一元二次方程, 这种关系都成立吗 ?与同伴交流三、探究新知内容：计算填表方程x1x2x x2x x21+1x 2+3x+4=0 6x2+x-2=0 2x2-3x +1=0问题： 1、你找到快速求出一元二次方程的两根和与两根积的方法了吗？2、刚刚我们列举了局部方程发现两根和、两根积与系数的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？3、请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0 (a ≠0)的根 x1，x2与 a、b、c 之间的关系： ____________。

北师大版九年级上册5一元二次方程的根与系数的关系第二章：一元二次方程的根与系数的关系教学设计一、教学目标1.理解一元二次方程根和系数之间的关系；2.掌握求解一元二次方程根的方法；3.通过学习一元二次方程的根与系数的关系，培养学生的逻辑推理能力和数学思维；4.培养学生的实际运用能力，将所学知识应用于实际问题。

二、教学内容本章主要内容为一元二次方程的根与系数的关系。

涉及二次方程判别式的概念、二次方程有根无根的情况、求根公式的推导与应用等。

具体内容如下：1.二次方程的判别式2.二次方程有根无根的情况3.求根公式的推导与应用三、教学重难点1.二次方程的判别式与有根无根的情况；2.求根公式的推导与应用。

四、教学方法1.归纳法教学法2.讲授法3.问题解决法4.组织小组活动法五、教学步骤第一步：导入1.引入“国际大嘴巴比赛”的问题；2.利用PPT展示比赛介绍和相关题目。

第二步：知识点讲解1.讲解二次方程的概念，推导二次方程通项公式。

2.讲解二次方程的判别式及其应用。

3.讲解二次方程的有根无根的情况。

4.讲解求根公式的推导及其应用。

5.利用例题深化学生对知识点的理解和掌握。

第三步：小组讨论1.将学生分为若干小组。

2.每组选出一名代表，参加小组讨论。

3.课堂布置若干个问题，让小组代表进行讨论并给出答案。

4.通过小组讨论，检验学生对二次方程根与系数之间关系的掌握程度。

第四步：练习1.让学生自己完成一些练习题，加深对知识点的理解和掌握。

2.通过课堂测试，检验学生对本章知识点的掌握情况。

第五步：课堂总结1.阐述二次方程根与系数之间的关系。

2.总结本章的内容和学习方法。

六、教学评价1.课堂测试2.课后作业3.小组讨论4.课堂参与度七、教学资源1.PPT2.练习册3.电子白板八、教学实施效果1.学生掌握了二次方程根与系数之间的关系；2.学生掌握了求解一元二次方程的方法；3.学生的逻辑推理能力和数学思维得到了提高；4.学生能将所学知识应用于实际问题，提高了实际运用能力。