二次函数综合题

中考数学模拟题汇总《二次函数的综合》专项练习(附答案解析)一、综合题1．某商店销售一种销售成本为40元/件的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系，并且当x=20时，y=1000，当x=25时，y=950.（1）求出y与x的函数关系式；（2）求出商店销售该商品每天获得的最大利润；（3）如果该商店要使每天的销售利润不低于13750元，且每天的总成本不超过20000元，那么销售单价应控制在什么范围内？，0)，在第一象限内与直线y＝x 2．如（图1），已知经过原点的抛物线y＝ax2+bx与x轴交于另一点A( 32交于点B(2，t)（1）求抛物线的解析式；（2）在直线OB下方的抛物线上有一点C，点C到直线OB的距离为√2，求点C的坐标；（3）如（图2），若点M在抛物线上，且∠MBO＝∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC ∽△MOB？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，二次函数y=ax2-6ax+4a+3的图像与y轴交于点A，点B是x轴上一点，其坐标为(1，0)，连接AB，tan∠ABO=2.（1）则点A的坐标为，a= ；（2）过点A作AB的垂线与该二次函数的图象交于另一点C，求点C的坐标；（3）连接BC，过点A作直线l交线段BC于点P，设点B、点C到l的距离分别为d1、d2，求d1+d2的最大值.4．如图正方形ABCD，点P,Q,R,S分别在AB，BC,CD,DA上，且BQ=2AP,CR=3AP,DS=4AP（1）若正方形边长为4，则当AP为何值时，四边形PQRS的面积为正方形面积的一半（2）若正方形边长为a（a为常数），则当AP为何值时，四边形PQRS的面积最小，并求出最小面积. 5．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝12，D是BC的中点经过A，B，D的O交AC于E 点．（1）求AE的长．（2）当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B．记AP＝x，BQ＝y．①求y关于x的表达式．②连结PQ，当△PQC的面积最大时，求x的值．（3）如图2，连结BE，BP，延长BP交⊙O于点F，连结FE．当EF与△BDE中的某一边相等时，求四边形BDEF 的面积．6．如图，抛物线y ＝﹣13x 2+13x ＋4交x 轴于A ，B 两点（点B 在A 的右边），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC.点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q.（1）求A 、B 两点坐标；（2）过点P 作PN 上BC ，垂足为点N ，请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？（3）试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由.7．如图，已知二次函数L 1：y=ax 2-2ax+a+3（a ＞0）和二次函数L 2：y=-a （x+1）2+1（a ＞0）图象的顶点分别为M ，N ，与y 轴分别交于点E ，F ．（1）函数y=ax 2-2ax+a+3（a ＞0）的最小值为 ，当二次函数L 1，L 2的y 值同时随着x 的增大而减小时，x 的取值范围是（2）当EF=MN 时，求a 的值，并判断四边形ENFM 的形状（直接写出，不必证明）．（3）若二次函数L 2的图象与x 轴的右交点为A （m ，0），当△AMN 为等腰三角形时，求方程-a （x+1）2+1=0的解．8．在平面直角坐标系中，抛物线y =−x 2+bx +c （b ，c 为常数）的图象与x 轴交于点A(1，0)，B 两点，与y轴交于点C，当x=−3时，函数有最大值．2（1）抛物线的解析式；（2）点M在y轴上，使得∠MBC=15°，求点M的坐标；（3）若点P(x1，m)与点Q(x2，m)在抛物线上，且x1<x2，PQ=n，求证：x22−2x2=x12−4n+3．9．如图，已知抛物线y=x2﹣（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴交于D、E两点．（1）求m的值．（2）求A、B两点的坐标．（3）点P（a，b）（﹣3＜a＜1）是抛物线上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求a，b的值．10．若y是x的函数，h为常数（ℎ>0），若对于该函数图象上的任意两点（x1，y1）、（x2，y2），当a≤x1≤b，a≤x2≤b（其中a、b为常数，a<b）时，总有|y1−y2|≤ℎ，就称此函数在a≤x≤b时为有界函数，其中满足条件的所有常数h的最小值，称为该函数在a≤x≤b时的界高．（1）函数：①y=2x，②y=1，③y=x2在−1≤x≤1时为有界函数的是：（填序号）；x（2）若一次函数y=kx+2（k≠0），当a≤x≤b时为有界函数，且在此范围内的界高为b−a，请求出此一次函数解析式；（3）已知函数y=x2−2ax+5（a>1），当1≤x≤a+1时为有界函数，且此范围内的界高不大于4，求实数a的取值范围．11．已知函数y=(n+1)x m+mx+1−n（m，n为实数）．（1）当m，n取何值时，函数是二次函数．（2）若它是一个二次函数，假设n>−1，那么：①它一定经过哪个点？请说明理由．②若取该函数上横坐标满足x=2k（k为整数）的所有点，组成新函数y1．当x≥12时，y1随x的增大而增大，且x=12时是函数最小值，求n满足的取值范围．12．如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2-2x+c(c>0）的图象与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C.抛物线的顶点为E，若点B的坐标是（1,0），点D是该抛物线在第二象限图象上的一个动点。

《二次函数》同步综合练习卷一．选择题1．下列函数中属于二次函数的是（）A．y＝x（x+1）B．x2y＝1C．y＝2x2﹣2（x2+1）D．y＝2．若b＞0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四图之一所示，根据图象分析，则a的值等于（）A．﹣1 B．1 C．D．3．设函数y＝kx2+（3k+2）x+1，对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，则m的最大整数值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．04．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，a），B（2，b），C（5，c），则下列正确的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b5．已知抛物线c：y＝x2+2x﹣3，将抛物线c平移得到抛物线c′，如果两条抛物线，关于直线x＝1对称，那么下列说法正确的是（）A．将抛物线c沿x轴向右平移个单位得到抛物线c′B．将抛物线c沿x轴向右平移4个单位得到抛物线c′C．将抛物线c沿x轴向右平移个单位得到抛物线c′D．将抛物线c沿x轴向右平移6个单位得到抛物线c′6．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或27．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（0，﹣3），且对称轴为x＝2，则这条抛物线的顶点坐标为（）A．（2，3）B．（2，1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）8．用配方法将y＝x2﹣6x+11化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣3）2﹣2 C．y＝（x﹣6）2﹣2 D．y＝（x﹣3）2+29．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：有以下几个结论：①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下；②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1；③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2；其中正确的是（）A．①④B．②④C．②③D．③④10．如表是一组二次函数y＝x2+x﹣1的自变量x与函数值y的对应值．由上表可知，方程x2+x﹣1＝0的一个近似解是（）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.811．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，4），与x轴的一个交点是B （3，0），下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝4有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2.0）；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个12．如图，半圆O的直径AB＝4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM＝x，则y关于x 的函数关系式是（）A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2+x C．y＝﹣x2﹣x D．y＝x2﹣x13．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m二．填空题14．有下列函数：①y＝1﹣x2；②y＝；③y＝x（x﹣3）；④y＝ax2+bx+c；⑤y＝2x+1．其中，是二次函数的有（填序号）15．二次函数y1＝mx2、y2＝nx2的图象如图所示，则m n（填“＞”或“＜”）．16．若抛物线y＝ax2﹣x+c与y＝2（x﹣3）2+1对称轴相同，且两抛物线的顶点相距3个单位长度，则c的值为．17．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的有．①abc＞0②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3③2a+b＝0④当x＞0时，y随x的增大而减小18．已知点（﹣1，m）、（2，n）在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1的图象上，如果m＞n，那么a0（用“＞”或“＜”连接）．19．将抛物线y＝﹣3x2向左平移一个单位后，得到的抛物线解析式是．20．函数y＝﹣（x﹣1）2﹣7的最大值为．21．有一个二次函数的图象，甲、乙、丙三位同学分别说出了它的特点：甲：对称轴是直线x＝2；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形的面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式．22．将二次函数y＝x2+6x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为．23．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（m﹣4，0）和B（m，0），与直线y＝﹣x+p相交于点A和C （2m﹣4，m﹣6），抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点D，点P在抛物线的对称轴上，连PA，PD，当PA+PD的长最短时，点P的坐标为．24．试写出一个二次函数关系式，使它对应的一元二次方程的一个根为0，另一个根在1到2之间：．25．如图，已知抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．下列判断：①当x＞2时，M＝y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M＝2，则x＝1．其中正确的说法有．（请填写正确说法的番号）26．某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x（x＞0），十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是．27．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米．设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，则水深超过米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．28．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE ﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ 的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论：①AD＝BE＝5；②当0＜t≤5时，y＝t2；③cos∠ABE＝；④当t＝秒时，△ABE∽△QBP；⑤当△BPQ的面积为4cm2时，时间t的值是或；其中正确的结论是．参考答案一．选择题1．解：A、y＝x2+x，是二次函数；B、y＝，不是二次函数；C、y＝﹣2，不是二次函数；D、不是整式，不是二次函数；故选：A．2．解：因为前两个图象的对称轴是y轴，所以﹣＝0，又因为a≠0，所以b＝0，与b＞0矛盾；第三个图的对称轴﹣＜0，a＞0，则b＞0，正确；第三个图的对称轴﹣＜0，a＜0，则b＜0，故与b＞0矛盾．由于第三个图过原点，所以将（0，0）代入解析式，得：a2﹣1＝0，解得a＝±1，由于开口向上，a＝1．故选：B．3．解：∵对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，∵k为负数，即k＜0，∴函数y＝kx2+（3k+2）x+1表示的是开口向下的二次函数，∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，∵对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，∴x＝﹣＝﹣∴m≤﹣＝．∵k＜0，∴﹣＞0∴，∵m≤对一切k＜0均成立，∴m≤，∴m的最大整数值是m＝﹣2．故选：B．4．解：∵二次函数y＝x2﹣6x+c，∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x＝3．∵点A（﹣1，a），B（2，b），C（5，c）都在二次函数y＝x2﹣6x+c的图象上，而三点横坐标离对称轴x＝3的距离按由远到近为：（﹣1，a）、（5，c）、（2，b），∴a＞c＞b，故选：B．5．解：∵抛物线C：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线对称轴为x＝﹣1．∴抛物线与y轴的交点为A（0，﹣3）．则与A点以对称轴对称的点是B（2，﹣3）．若将抛物线C平移到C′，并且C，C′关于直线x＝1对称，就是要将B点平移后以对称轴x＝1与A点对称．则B点平移后坐标应为（4，﹣3）．．因此将抛物线C向右平移4个单位．故选：B．6．解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1，故选：D．7．解：根据题意得：，解得：a＝﹣1，b＝4，c＝﹣3，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，则抛物线顶点坐标为（2，1）．故选：B．8．解：y＝x2﹣6x+11，＝x2﹣6x+9+2，＝（x﹣3）2+2．故选：D．9．解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将（﹣1，3）、（0，0）、（3，3）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x＝x（x﹣2）＝（x﹣1）2﹣1，由a＝1＞0知抛物线的开口向上，故①错误；抛物线的对称轴为直线x＝1，故②错误；当y＝0时，x（x﹣2）＝0，解得x＝0或x＝2，∴方程ax2+bx+c＝0的根为0和2，故③正确；当y＞0时，x（x﹣2）＞0，解得x＜0或x＞2，故④正确；故选：D．10．解：观察表格得：方程x2+x﹣1＝0的一个近似根为0.6，故选：C．11．解：由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0，c＞0∵抛物线的顶点坐标是A（1，4）∴抛物线对称轴为直线x＝﹣∴b＝﹣2a∴b＞0，则①错误，②正确；方程ax2+bx+c＝4方程的解，可以看做直线y＝4与抛物线y＝ax2+bx+c的交点的横坐标．由图象可知，直线y＝4经过抛物线顶点，则直线y＝4与抛物线有且只有一个交点．则方程ax2+bx+c＝4有两个相等的实数根，③正确；由抛物线对称性，抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1.0）则④错误；不等式x（ax+b）≤a+b可以化为ax2+bx+c≤a+b+c∵抛物线顶点为（1，4）∴当x＝1时，y最大＝a+b+c∴ax2+bx+c≤a+b+c故⑤正确故选：B．12．解：连接O1M，OO1，可得到直角三角形OO1M，依题意可知⊙O的半径为2，则OO1＝2﹣y，OM＝2﹣x，O1M＝y．在Rt△OO1M中，由勾股定理得（2﹣y）2﹣（2﹣x）2＝y2，解得y＝﹣x2+x．故选：A．13．解：根据题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则解得，所以x＝﹣＝＝15（m）．故选：B．二．填空题（共15小题）14．解：①y＝1﹣x2；②y＝，是反比例函数；③y＝x（x﹣3）；④y＝ax2+bx+c，需要添加a≠0；⑤y＝2x+1，是一次函数．其中，是二次函数的有：①y＝1﹣x2；③y＝x（x﹣3）．故答案为：①③．15．解：根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系：系数越大，开口越小，故m＞n，故答案为＞．16．解：y＝2（x﹣3）2+1对称轴是x＝3，顶点坐标为（3，1），∵抛物线y＝ax2﹣x+c与y＝2（x﹣3）2+1对称轴相同，∴﹣＝3，解得，a＝，∵两抛物线的顶点相距3个单位长度，∴y＝x2﹣x+c的顶点坐标为（3，4）或（3，﹣2），把（3，4）代入y＝x2﹣x+c得，c＝，把（3，﹣2）代入y＝x2﹣x+c得，c＝﹣，故答案为：或﹣．17．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），又对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3，故②正确；∵对称轴为直线x＝1，∴＝1，即2a+b＝0，故③正确；∵由函数图象可得：当0＜x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小，故④错误；故答案为②③．18．解：∵二次函数的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣1，∴该抛物线对称轴为x＝1，∵|﹣1﹣1|＞|2﹣1|，且m＞n，∴a＞0．故答案为：＞．19．解：∵抛物线y＝﹣3x2向左平移一个单位后的顶点坐标为（﹣1，0），∴所得抛物线的解析式为y＝﹣3（x+1）2，故答案为：y＝﹣3（x+1）2．20．解：∵在函数y＝﹣（x﹣1）2﹣7中a＝﹣1＜0，∴当x＝1时，y取得最大值，最大值为﹣7，故答案为：﹣7．21．解：对称轴是直线x＝2，则一次项系数与二次项系数的比是﹣4，因而可设函数解析式是y＝ax2﹣4ax+ac，与y轴交点的纵坐标也是整数，因而ac是整数，y＝ax2﹣4ax+ac＝a（x2﹣4x+c），与x轴两个交点的横坐标都是整数，即方程x2﹣4x+c＝0有两个整数解，设是﹣1和+5，则c＝﹣5，则y＝ax2﹣4ax+ac＝a（x2﹣4x﹣5），∵以这三个交点为顶点的三角形的面积为3，∴a＝±．则函数是：y＝±（x+1）（x﹣5）．（答案不唯一）．22．解：y＝x2+6x+5，＝x2+6x+9﹣4，＝（x2+6x+9）﹣4，＝（x+3）2﹣4．故答案是：y＝（x+3）2﹣4．23．解：∵点A（m﹣4，0）和C（2m﹣4，m﹣6）在直线y＝﹣x+p上∴，解得：m＝3，p＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），设抛物线y＝ax2+bx+c＝a（x﹣3）（x+1），∵C（2，﹣3），代入得：﹣3＝a（2﹣3）（2+1），∴a＝1∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，对称轴EF为x＝1，当x＝0时y＝﹣3，即D点的坐标为（0，﹣3），作D关于EF的对称点N，连接AN，交EF于P，则此时P为所求，根据对称得N的坐标为（2，﹣3），设直线AN的解析式为y＝kx+e，把A、N的坐标代入得：，解得：k＝﹣1，e＝﹣1，即y＝﹣x﹣1，把x＝1代入得：y＝﹣2，即P点的坐标为（1，﹣2），故答案为：（1，﹣2）．24．解：∵一元二次方程的一个根为0，另一个根在1到2，∴设两个根分别为0和，∴此一元二次方程可以是：x（x﹣）＝0，∴二次函数关系式为：y＝x（x﹣）＝x2﹣x．故答案为：y＝x2﹣x．25．解：∵当y1＝y2时，即﹣x2+4x＝2x时，解得：x＝0或x＝2，∴当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y；1∴①错误；∵抛物线y1＝﹣x2+4x，直线y2＝2x，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；∴②正确；∵抛物线y1＝﹣x2+4x的最大值为4，故M大于4的x值不存在，∴③正确；∵如图：当0＜x＜2时，y1＞y2；当M＝2，2x＝2，x＝1；x＞2时，y＞y1；2＝2+，x2＝2﹣（舍去），当M＝2，﹣x2+4x＝2，x∴使得M＝2的x值是1或2+，∴④错误；∴正确的有②③两个．故答案为②③．26．解：根据题意得：y＝10（x+1）2，故答案为：y＝10（x+1）227．解：设抛物线解析式为y＝ax2，把点B（10，﹣4）代入解析式得：﹣4＝a×102，解得：a＝﹣，∴y＝﹣x2，把x＝9代入，得：y＝﹣＝﹣3.24，此时水深＝4+2﹣3.24＝2.76米．28．解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度分别是1cm/秒、2cm/秒∴BC＝BE＝10，∴AD＝BC＝10．∴①错误；又∵从M到N的变化是4，∴ED＝4，∴AE＝AD﹣ED＝10﹣4＝6．∵AD∥BC，∴∠EBQ＝∠AEB，∴cos∠EBQ＝cos∠AEB＝，故③错误；如图1，过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠EBQ＝∠AEB，∴sin∠EBQ＝sin∠AEB＝＝，∴PF＝PB sin∠EBQ＝t，∴当0＜t≤5时，y＝BQ×PF＝×2t×t＝t2，故②正确，如图4，当t＝时，点P在CD上，∴PD＝﹣BE﹣ED＝﹣10﹣4＝，PQ＝CD﹣PD＝8﹣＝，∴，，∴∵∠A＝∠Q＝90°，∴△ABE∽△QBP，故④正确．由②知，y＝t2当y＝4时， t2＝4，从而，故⑤错误综上所述，正确的结论是②④．。

二次函数综合练习题一、选择题1．〔2013，6，3分〕二次函数y ＝x 2－3x ＋m 〔m 为常数〕的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，那么关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根是〔 〕． A ．x 1＝1，x 2＝－1 B ．x 1＝1，x 2＝2 C ．x 1＝1，x 2＝0D ．x 1＝1，x 2＝3 【答案】B ．【解析】∵二次函数y ＝x 2－3x ＋m 的图象与x 轴的一个交点为〔1，0〕，∴0＝12－3＋m ，解得m ＝2，∴二次函数为y ＝x 2－3x ＋2．设y ＝0，那么x 2－3x ＋2＝0．解得x 2＝1，x 2＝2，这就是一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根．所以应选B ．【方法指导】考察一元二次方程的根、二次函数图象与x 轴交点的关系．当b 2－4ac ≥0时，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴的两个交点的横坐标是一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根．【易错警示】因审题不严，容易错选；或因解方程出错而错选．2．〔2013，8，3分〕方程0132=-+x x 的根可视为函数3+=x y 的图象与函数xy 1=的图象交点的横坐标，那么方程3210x x +-=的实根0x 所在的围是〔 〕． A ．4100<<x B ．31410<<x C ．21310<<x D ．1210<<x 【答案】C ．【解析】首先根据题意推断方程x 3＋2x －1=0的实根是函数y =x 2＋3与xy 1=的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x 3＋2x －1=0的实根x 0所在围．解：依题意得方程x 3＋2x －1=0的实根是函数y =x 2＋2与xy 1=的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如下图，它们的交点在第一象限．当x =14时，y =x 2＋2=2116，1y x ==4，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x =13时，y =x 2＋2=219，1y x ==3，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x =12时，y =x 2＋2=214，1y x==2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；当x =1时，y =x 2＋2=3，1y x==1，此时抛物线的图象在反比例函数上方．所以方程3210x x +-=的实根0x 所在的围是21310<<x ．所以应选C ．【方法指导】此题考察了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点〞，还要善于分析各图象的变化趋势．【易错警示】不会得出函数解析式，不会观察图象而出错．3. 〔2013市(A )，12，4分〕一次函数y ＝ax ＋b 〔a ≠0〕、二次函数y ＝ax 2＋bx 和反比例函数y ＝kx(k ≠0)在同一直角坐标系中的图象如下图，A 点的坐标为(－2，0)．那么以下结论中，正确的选项是〔〕A ．b ＝2a ＋kB ．a ＝b ＋kC ．a ＞b ＞0D ．a ＞k ＞0 【答案】D ．【解析】∵一次函数与二次函数的图象交点A 的坐标为〔－2，0〕，∴－2a ＋b ＝0，∴b ＝2a ． 又∵抛物线开口向上，∴a ＞0，那么b ＞0．而反比例函数图象经过第一、三象限，∴k ＞0． ∴2a ＋k ＞2a ，即b ＜2a ＋k ．故A 选项错误． 假设B 选项正确，那么将b ＝2a 代入a ＝b ＋k ，得a ＝2a ＋k ，a ＝－k ．又∵a ＞0，∴－k ＞0，即k ＜0，这与k ＞0相矛盾，∴a ＝b ＋k 不成立．故B 选项错误．再由a ＞0，b ＝2a ，知a ，b 两数均是正数，且a ＜b ，∴b ＞a ＞0．故C 选项错误． 这样，就只有D 选项正确．【方法指导】此题考察一次函数、反比例函数、二次函数的图象，属于图象共存型问题．解决这类问题的关键是熟练掌握这三类函数的图象与性质，能根据图象所在象限的位置准确判断出各系数的符号．上面解法运用的是排除法，至于D 为何正确，可由二次函数y ＝ax 2＋bx 与反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象，知当x ＝－2b a ＝－22aa＝－1时，y ＝－k ＞－24b a ＝－244a a ＝－a ，即k ＜a ．又因为a ＞0，k ＞0，所以a ＞k ＞0．【易错警示】二次函数a 、b 、c 的符号确实定与函数图象的关系混淆不清． 4. 〔2013，7，4分〕抛物线1)3(22+-=x y 的顶点坐标是〔 〕 A ．(3，1) B ．(3，－1)C ．(－3，1)D ．(－3，－1)【答案】：A【解析】抛物线2()y a x h k =-+的顶点是〔h ，k 〕【方法指导】求一个抛物线的顶点可以先把二次函数配方，再得到顶点坐标；也可以利用顶点公式24(,)24b ac b a a--求顶点坐标。

二次函数中常见的几种综合题型二次函数常见的几类综合题型一、求线段最大值及根据面积求点坐标问题1.已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B(5,0)$，另一个交点为 $A$，且与 $y$ 轴交于点 $C(0,5)$。

1) 求直线 $BC$ 与抛物线的解析式；2) 若点 $M$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上的一个动点，过点 $M$ 作 $MN\parallel y$ 轴交直线 $BC$ 于点 $N$，求$MN$ 的最大值；3) 在 (2) 的条件下，$MN$ 取得最大值时，若点 $P$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上任意一点，以 $BC$ 为边作平行四边形 $CBPQ$，设平行四边形 $CBPQ$ 的面积为 $S_1$，$\triangle ABN$ 的面积为 $S_2$，且 $S_1=6S_2$，求点$P$ 的坐标。

2.对称轴为直线 $x=-1$ 的抛物线$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$ 与 $x$ 轴相交于 $A$、$B$ 两点，其中点 $A$ 的坐标为 $(-3,0)$。

1) 求点 $B$ 的坐标；2) 已知 $a=1$，$C$ 为抛物线与 $y$ 轴的交点。

①若点 $P$ 在抛物线上，且 $S_{\trianglePOC}=4S_{\triangle BOC}$，求点 $P$ 的坐标；②设点 $Q$ 是线段 $AC$ 上的动点，作 $QD\perp x$ 轴交抛物线于点 $D$，求线段 $QD$ 长度的最大值。

二、求三角形周长及面积的最值问题3.已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A(-3,a-b+c)$，$B(1,a+b+c)$，$C(c,a+3c-b)$ 三点，其顶点为 $D$，对称轴是直线 $l$，$l$ 与 $x$ 轴交于点 $H$。

1) 求该抛物线的解析式；2) 若点 $P$ 是该抛物线对称轴 $l$ 上的一个动点，求$\triangle PBC$ 周长的最小值；3) 如图 (2)，若 $E$ 是线段 $AD$ 上的一个动点（$E$ 与$A$、$D$ 不重合），过点 $E$ 作平行于 $y$ 轴的直线交抛物线于点 $F$，交 $x$ 轴于点 $G$，设点 $E$ 的横坐标为 $m$，$\triangle ADF$ 的面积为 $S$。

二次函数综合试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项不是二次函数的一般形式？A. y = ax^2 + bx + cB. y = 3x^2 + 5C. y = 2x + 1D. y = -x^2 + 3答案：C2. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为：A. (-b, c)B. (-b/2a, c)C. (-b/2a, 4ac - b^2 / 4a)D. (b, -c)答案：C二、填空题1. 若二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且顶点坐标为(-1, -4)，则a的值为______。

答案：a > 02. 二次函数y = x^2 - 2x + 3的最小值为______。

答案：2三、解答题1. 已知二次函数y = 2x^2 - 4x + 3，求该函数与x轴的交点。

解：令y = 0，得到方程2x^2 - 4x + 3 = 0。

使用求根公式，得到x1 = (2 + √10) / 2，x2 = (2 - √10) / 2。

因此，与x轴的交点坐标为((2 + √10) / 2, 0)和((2 - √10) / 2, 0)。

2. 某抛物线经过点(1, 1)和(2, 4)，且对称轴为直线x = 2。

求该抛物线的解析式。

解：设抛物线解析式为y = a(x - 2)^2 + k。

将点(1, 1)代入，得到a(1 - 2)^2 + k = 1，即a + k = 1。

将点(2, 4)代入，得到a(2 - 2)^2 + k = 4，即k = 4。

解得a = -3，k = 4。

因此，抛物线的解析式为y = -3(x - 2)^2 + 4。

四、应用题1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 0.5x^2 - 100x + 5000，其中x为生产数量。

求该工厂生产多少件产品时，成本最低。

解：成本函数C(x) = 0.5x^2 - 100x + 5000是一个开口向上的二次函数，其顶点即为成本最低点。

《二次函数》同步综合练习卷一．选择题1．下列函数中属于二次函数的是（）A．y＝x（x+1）B．x2y＝1C．y＝2x2﹣2（x2+1）D．y＝2．若b＞0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四图之一所示，根据图象分析，则a的值等于（）A．﹣1 B．1 C．D．3．设函数y＝kx2+（3k+2）x+1，对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，则m的最大整数值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．04．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，a），B（2，b），C（5，c），则下列正确的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b5．已知抛物线c：y＝x2+2x﹣3，将抛物线c平移得到抛物线c′，如果两条抛物线，关于直线x＝1对称，那么下列说法正确的是（）A．将抛物线c沿x轴向右平移个单位得到抛物线c′B．将抛物线c沿x轴向右平移4个单位得到抛物线c′C．将抛物线c沿x轴向右平移个单位得到抛物线c′D．将抛物线c沿x轴向右平移6个单位得到抛物线c′6．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或27．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（0，﹣3），且对称轴为x＝2，则这条抛物线的顶点坐标为（）A．（2，3）B．（2，1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）8．用配方法将y＝x2﹣6x+11化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣3）2﹣2 C．y＝（x﹣6）2﹣2 D．y＝（x﹣3）2+29．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：有以下几个结论：①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下；②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1；③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2；其中正确的是（）A．①④B．②④C．②③D．③④10．如表是一组二次函数y＝x2+x﹣1的自变量x与函数值y的对应值．由上表可知，方程x2+x﹣1＝0的一个近似解是（）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.811．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，4），与x轴的一个交点是B （3，0），下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝4有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2.0）；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个12．如图，半圆O的直径AB＝4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM＝x，则y关于x 的函数关系式是（）A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2+x C．y＝﹣x2﹣x D．y＝x2﹣x13．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m二．填空题14．有下列函数：①y＝1﹣x2；②y＝；③y＝x（x﹣3）；④y＝ax2+bx+c；⑤y＝2x+1．其中，是二次函数的有（填序号）15．二次函数y1＝mx2、y2＝nx2的图象如图所示，则m n（填“＞”或“＜”）．16．若抛物线y＝ax2﹣x+c与y＝2（x﹣3）2+1对称轴相同，且两抛物线的顶点相距3个单位长度，则c的值为．17．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的有．①abc＞0②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3③2a+b＝0④当x＞0时，y随x的增大而减小18．已知点（﹣1，m）、（2，n）在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1的图象上，如果m＞n，那么a0（用“＞”或“＜”连接）．19．将抛物线y＝﹣3x2向左平移一个单位后，得到的抛物线解析式是．20．函数y＝﹣（x﹣1）2﹣7的最大值为．21．有一个二次函数的图象，甲、乙、丙三位同学分别说出了它的特点：甲：对称轴是直线x＝2；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形的面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式．22．将二次函数y＝x2+6x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为．23．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（m﹣4，0）和B（m，0），与直线y＝﹣x+p相交于点A和C （2m﹣4，m﹣6），抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点D，点P在抛物线的对称轴上，连PA，PD，当PA+PD的长最短时，点P的坐标为．24．试写出一个二次函数关系式，使它对应的一元二次方程的一个根为0，另一个根在1到2之间：．25．如图，已知抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．下列判断：①当x＞2时，M＝y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M＝2，则x＝1．其中正确的说法有．（请填写正确说法的番号）26．某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x（x＞0），十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是．27．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米．设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，则水深超过米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．28．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE ﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ 的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论：①AD＝BE＝5；②当0＜t≤5时，y＝t2；③cos∠ABE＝；④当t＝秒时，△ABE∽△QBP；⑤当△BPQ的面积为4cm2时，时间t的值是或；其中正确的结论是．参考答案一．选择题1．解：A、y＝x2+x，是二次函数；B、y＝，不是二次函数；C、y＝﹣2，不是二次函数；D、不是整式，不是二次函数；故选：A．2．解：因为前两个图象的对称轴是y轴，所以﹣＝0，又因为a≠0，所以b＝0，与b＞0矛盾；第三个图的对称轴﹣＜0，a＞0，则b＞0，正确；第三个图的对称轴﹣＜0，a＜0，则b＜0，故与b＞0矛盾．由于第三个图过原点，所以将（0，0）代入解析式，得：a2﹣1＝0，解得a＝±1，由于开口向上，a＝1．故选：B．3．解：∵对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，∵k为负数，即k＜0，∴函数y＝kx2+（3k+2）x+1表示的是开口向下的二次函数，∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，∵对于任意负实数k，当x＜m时，y随x的增大而增大，∴x＝﹣＝﹣∴m≤﹣＝．∵k＜0，∴﹣＞0∴，∵m≤对一切k＜0均成立，∴m≤，∴m的最大整数值是m＝﹣2．故选：B．4．解：∵二次函数y＝x2﹣6x+c，∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x＝3．∵点A（﹣1，a），B（2，b），C（5，c）都在二次函数y＝x2﹣6x+c的图象上，而三点横坐标离对称轴x＝3的距离按由远到近为：（﹣1，a）、（5，c）、（2，b），∴a＞c＞b，故选：B．5．解：∵抛物线C：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线对称轴为x＝﹣1．∴抛物线与y轴的交点为A（0，﹣3）．则与A点以对称轴对称的点是B（2，﹣3）．若将抛物线C平移到C′，并且C，C′关于直线x＝1对称，就是要将B点平移后以对称轴x＝1与A点对称．则B点平移后坐标应为（4，﹣3）．．因此将抛物线C向右平移4个单位．故选：B．6．解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1，故选：D．7．解：根据题意得：，解得：a＝﹣1，b＝4，c＝﹣3，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，则抛物线顶点坐标为（2，1）．故选：B．8．解：y＝x2﹣6x+11，＝x2﹣6x+9+2，＝（x﹣3）2+2．故选：D．9．解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将（﹣1，3）、（0，0）、（3，3）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x＝x（x﹣2）＝（x﹣1）2﹣1，由a＝1＞0知抛物线的开口向上，故①错误；抛物线的对称轴为直线x＝1，故②错误；当y＝0时，x（x﹣2）＝0，解得x＝0或x＝2，∴方程ax2+bx+c＝0的根为0和2，故③正确；当y＞0时，x（x﹣2）＞0，解得x＜0或x＞2，故④正确；故选：D．10．解：观察表格得：方程x2+x﹣1＝0的一个近似根为0.6，故选：C．11．解：由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0，c＞0∵抛物线的顶点坐标是A（1，4）∴抛物线对称轴为直线x＝﹣∴b＝﹣2a∴b＞0，则①错误，②正确；方程ax2+bx+c＝4方程的解，可以看做直线y＝4与抛物线y＝ax2+bx+c的交点的横坐标．由图象可知，直线y＝4经过抛物线顶点，则直线y＝4与抛物线有且只有一个交点．则方程ax2+bx+c＝4有两个相等的实数根，③正确；由抛物线对称性，抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1.0）则④错误；不等式x（ax+b）≤a+b可以化为ax2+bx+c≤a+b+c∵抛物线顶点为（1，4）∴当x＝1时，y最大＝a+b+c∴ax2+bx+c≤a+b+c故⑤正确故选：B．12．解：连接O1M，OO1，可得到直角三角形OO1M，依题意可知⊙O的半径为2，则OO1＝2﹣y，OM＝2﹣x，O1M＝y．在Rt△OO1M中，由勾股定理得（2﹣y）2﹣（2﹣x）2＝y2，解得y＝﹣x2+x．故选：A．13．解：根据题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则解得，所以x＝﹣＝＝15（m）．故选：B．二．填空题（共15小题）14．解：①y＝1﹣x2；②y＝，是反比例函数；③y＝x（x﹣3）；④y＝ax2+bx+c，需要添加a≠0；⑤y＝2x+1，是一次函数．其中，是二次函数的有：①y＝1﹣x2；③y＝x（x﹣3）．故答案为：①③．15．解：根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系：系数越大，开口越小，故m＞n，故答案为＞．16．解：y＝2（x﹣3）2+1对称轴是x＝3，顶点坐标为（3，1），∵抛物线y＝ax2﹣x+c与y＝2（x﹣3）2+1对称轴相同，∴﹣＝3，解得，a＝，∵两抛物线的顶点相距3个单位长度，∴y＝x2﹣x+c的顶点坐标为（3，4）或（3，﹣2），把（3，4）代入y＝x2﹣x+c得，c＝，把（3，﹣2）代入y＝x2﹣x+c得，c＝﹣，故答案为：或﹣．17．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），又对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3，故②正确；∵对称轴为直线x＝1，∴＝1，即2a+b＝0，故③正确；∵由函数图象可得：当0＜x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小，故④错误；故答案为②③．18．解：∵二次函数的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣1，∴该抛物线对称轴为x＝1，∵|﹣1﹣1|＞|2﹣1|，且m＞n，∴a＞0．故答案为：＞．19．解：∵抛物线y＝﹣3x2向左平移一个单位后的顶点坐标为（﹣1，0），∴所得抛物线的解析式为y＝﹣3（x+1）2，故答案为：y＝﹣3（x+1）2．20．解：∵在函数y＝﹣（x﹣1）2﹣7中a＝﹣1＜0，∴当x＝1时，y取得最大值，最大值为﹣7，故答案为：﹣7．21．解：对称轴是直线x＝2，则一次项系数与二次项系数的比是﹣4，因而可设函数解析式是y＝ax2﹣4ax+ac，与y轴交点的纵坐标也是整数，因而ac是整数，y＝ax2﹣4ax+ac＝a（x2﹣4x+c），与x轴两个交点的横坐标都是整数，即方程x2﹣4x+c＝0有两个整数解，设是﹣1和+5，则c＝﹣5，则y＝ax2﹣4ax+ac＝a（x2﹣4x﹣5），∵以这三个交点为顶点的三角形的面积为3，∴a＝±．则函数是：y＝±（x+1）（x﹣5）．（答案不唯一）．22．解：y＝x2+6x+5，＝x2+6x+9﹣4，＝（x2+6x+9）﹣4，＝（x+3）2﹣4．故答案是：y＝（x+3）2﹣4．23．解：∵点A（m﹣4，0）和C（2m﹣4，m﹣6）在直线y＝﹣x+p上∴，解得：m＝3，p＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），设抛物线y＝ax2+bx+c＝a（x﹣3）（x+1），∵C（2，﹣3），代入得：﹣3＝a（2﹣3）（2+1），∴a＝1∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，对称轴EF为x＝1，当x＝0时y＝﹣3，即D点的坐标为（0，﹣3），作D关于EF的对称点N，连接AN，交EF于P，则此时P为所求，根据对称得N的坐标为（2，﹣3），设直线AN的解析式为y＝kx+e，把A、N的坐标代入得：，解得：k＝﹣1，e＝﹣1，即y＝﹣x﹣1，把x＝1代入得：y＝﹣2，即P点的坐标为（1，﹣2），故答案为：（1，﹣2）．24．解：∵一元二次方程的一个根为0，另一个根在1到2，∴设两个根分别为0和，∴此一元二次方程可以是：x（x﹣）＝0，∴二次函数关系式为：y＝x（x﹣）＝x2﹣x．故答案为：y＝x2﹣x．25．解：∵当y1＝y2时，即﹣x2+4x＝2x时，解得：x＝0或x＝2，∴当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y；1∴①错误；∵抛物线y1＝﹣x2+4x，直线y2＝2x，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；∴②正确；∵抛物线y1＝﹣x2+4x的最大值为4，故M大于4的x值不存在，∴③正确；∵如图：当0＜x＜2时，y1＞y2；当M＝2，2x＝2，x＝1；x＞2时，y＞y1；2＝2+，x2＝2﹣（舍去），当M＝2，﹣x2+4x＝2，x∴使得M＝2的x值是1或2+，∴④错误；∴正确的有②③两个．故答案为②③．26．解：根据题意得：y＝10（x+1）2，故答案为：y＝10（x+1）227．解：设抛物线解析式为y＝ax2，把点B（10，﹣4）代入解析式得：﹣4＝a×102，解得：a＝﹣，∴y＝﹣x2，把x＝9代入，得：y＝﹣＝﹣3.24，此时水深＝4+2﹣3.24＝2.76米．28．解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度分别是1cm/秒、2cm/秒∴BC＝BE＝10，∴AD＝BC＝10．∴①错误；又∵从M到N的变化是4，∴ED＝4，∴AE＝AD﹣ED＝10﹣4＝6．∵AD∥BC，∴∠EBQ＝∠AEB，∴cos∠EBQ＝cos∠AEB＝，故③错误；如图1，过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠EBQ＝∠AEB，∴sin∠EBQ＝sin∠AEB＝＝，∴PF＝PB sin∠EBQ＝t，∴当0＜t≤5时，y＝BQ×PF＝×2t×t＝t2，故②正确，如图4，当t＝时，点P在CD上，∴PD＝﹣BE﹣ED＝﹣10﹣4＝，PQ＝CD﹣PD＝8﹣＝，∴，，∴∵∠A＝∠Q＝90°，∴△ABE∽△QBP，故④正确．由②知，y＝t2当y＝4时， t2＝4，从而，故⑤错误综上所述，正确的结论是②④．。

二次函数单元测评一、选择题(每题3分，共30分)1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )A. B. C. D.2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( )A. (1，-4)B.(-1，2)C. (1，2)D.(0，3)3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. x轴上D. y轴上二、4. 抛物线的对称轴是( )A. x=-2B.x=2C. x=-4D. x=45. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是(A. ab>0，c>0B. ab>0，c<0C. ab<0，c>0D. ab<0，c<06.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限( ) A. 一B. 二C. 三 D. 四7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是( )A. 4+mB. mC. 2m-8D. 8-2m8. 若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax 2+bx 的图象只可能是( )9. 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线 上的点，且-1<x 1<x 2，x 3<-1，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A. y 1<y 2<y 3 B. y 2<y 3<y 1 C. y 3<y 1<y 2 D. y 2<y 1<y 3 10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是( ) A. B. C. D.二、填空题(每题4分，共32分)11. 二次函数y=x 2-2x+1的对称轴方程是______________.12. 若将二次函数y=x 2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则13. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.14. 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________.(m/s)竖直向上抛物16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：=10m/s，则该物体在运(其中g是常数，通常取10m/s2).若v动过程中最高点距地面_________m.17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.的值是18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1三、解答下列各题(19、20每题9分，21、22每题10分，共38分)19. 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4)和B(4，0) (1)求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标(2)求此二次函数的解析式；20.在直角坐标平面内，点 O为坐标原点，二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4)的图象交 x轴于点A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8.(1)求二次函数解析式；(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积.21.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点.(1)求抛物线的解析式；.(2)求△MCB的面积S△MCB1.考点：二次函数概念.选A.2.考点：求二次函数的顶点坐标.解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求.法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k的形式，顶点坐标即为(h，k)，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2)，答案选C.3. 考点：二次函数的图象特点，顶点坐标.解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0)，所以顶点在x轴上，答案选C.4. 考点：数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为.解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为答案选B.5.考点：二次函数的图象特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方，答案选C.6.考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方在第四象限，答案选D.7.考点：二次函数的图象特征.解析：因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x轴于点D，所以A、B两点关于对称轴对称，因为点A(m，0)，且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C.8.考点：数形结合，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状.解析：因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，所以二次函数y=ax2+bx的图象开口方向向下，对称轴在y轴左侧，交坐标轴于(0，0)点.答案选C.9. 考点：一次函数、二次函数概念图象与性质.解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1，且-1<x1<x2，当x>-1时，由图象知，y随x的增大而减小，所以y2<y1；又因为x3<-1，此时点P3(x3，y3)在二次函数图象上方，所以y2<y1<y3.答案选D.10.考点：二次函数图象的变化.抛物线的图象向左平移2个单位得到，再向上平移3个单位得到.答案选C.考点：二次函数性质.解析：二次函数y=x2-2x+1，所以对称轴所在直线方程.答案x=1.12.考点：利用配方法变形二次函数解析式.解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2.答案y=(x-1)2+2.13. 考点：二次函数与一元二次方程关系.解析：二次函数y=x2-2x-3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，求得x1=-1，x2=3，则AB=|x2-x1|=4.答案为4.14.考点：求二次函数解析式.解析：因为抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)两点，解得b=-2，c=-3，答案为y=x2-2x-3.15.考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，.解析：需满足抛物线与x轴交于两点，与y轴有交点，与△ABC是直角三角形，但没有确定哪个角为直角，答案不唯一，如：y=x2-1.16.考点：二次函数的性质，求最大值.解析：直接代入公式，答案：7.考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一.解析：如：y=x2-4x+3.18.考点：二次函数的概念性质，求值.答案：.19. 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式.解析：(1)A′(3，-4)(2)由题设知：∴y=x2-3x-4为所求(3)20.考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式. 解析：(1)由已知x 1，x 2是x 2+(k-5)x-(k+4)=0的两根又∵(x 1+1)(x 2+1)=-8 ∴x 1x 2+(x 1+x 2)+9=0 ∴-(k+4)-(k-5)+9=0 ∴k=5∴y=x 2-9为所求(2)由已知平移后的函数解析式为： y=(x-2)2-9 且x=0时y=-5 ∴C(0，-5)，P(2，-9).21. 解：(1)依题意：。

二次函数图象性质与综合应用（44题）一、单选题A．抛物线的对称轴为直线C．A，B两点之间的距离为2．（2023·浙江台州·统考中考真题）抛物线若120x x+<，则直线A．4个4．（2023·四川自贡·统考中考真题）经过为自变量）与x轴有交点，则线段A．4个B6．（2023·四川泸州·统考中考真题）已知二次函数函数值y均为正数，则aA ． ． ． ． ．（2023·四川广安·统考中考真题）如图所示，二次函数2y ax bx =++轴交于点()()3,0,1,0AB −0；②若点()12,y −和(50a b c −+=；④4a c + ）A．1个B．212．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，二次函数()1,0，对称轴为直线=1x−，2A．1个B．213．（2023·浙江宁波·统考中考真题）已知二次函数A．点(1,2)在该函数的图象上B．当1−≤≤时，a=且13xC．该函数的图象与x轴一定有交点解；③若()11,t −，()24,t 是抛物线上的两点，则12t t <；④对于抛物线，223y ax bx =+−，当23x −<<时，2y 的取值范围是205y <<．其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题417．（2023·四川宜宾物线与y 轴的交点B①当31x −≤≤时，1y ≤；②当ABM 的面积为32③当ABM 为直角三角形时，在AOB 内存在唯一点1893+．三、解答题(1)求抛物线的解析式；(2)设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出PBC的最大面积及此时点(3)若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求该抛物线的解析式；(2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线=时，求CD的长；①当CD CE②若CAD，CDE，CEF△的面积分别为，ABC外接圆的圆心为(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线()50x m m =−<<与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F ． ①当EF 取得最大值时，求m 的值和EF 的最大值； ②当EFC 是等腰三角形时，求点E 的坐标．27．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax c =+经过点3(4,)P −，与y 轴交于点(0,1)A ，直线(0)y kx k =≠与抛物线交于B ，C 两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若ABP 是以AB 为腰的等腰三角形，求点B 的坐标；(3)过点(0,)M m 作y 轴的垂线，交直线AB 于点D ，交直线AC 于点E ．试探究：是否存在常数m ，使得OD OE ⊥始终成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．28．（2023·浙江·统考中考真题）已知点(),0m −和()3,0m 在二次函数23,(y ax bx a b =++是常数，0)a ≠的图像上．(1)当1m =−时，求a 和b 的值；时，求OBD与△(1)如图2，若抛物线经过原点O ．①求该抛物线的函数表达式；②求BE EC的值． (2)连接,PC CPE ∠与BAO ∠能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试说明理由．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当:3:5BM MQ =时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线1l 下方的抛物线上一动点，连接设OQE 的面积为1S ，PQE 的面积为2S ．求21S S 的最大值．(1)求点A，B的坐标；(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D．如图标及PDDB的最大值；≌；．求证：ACB BDEx(1)如果四个点()()()()0,00,21,11,1−、、、中恰有三个点在二次函数2y ax =（a 为常数，且0a ≠）的图象上． ①=a ________；②如图1，已知菱形ABCD 的顶点B 、C 、D 在该二次函数的图象上，且AD y ⊥轴，求菱形的边长； ③如图2，已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在该二次函数的图象上，点B 、D 在y 轴的同侧，且点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，试探究n m −是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在二次函数2y ax =（a 为常数，且0a >）的图象上，点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，直接写出m 、n 满足的等量关系式．38．（2023年重庆市中考数学真题（A 卷））如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++过点()1,3，(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，点E，求PDE△周长的最大值及此时点(3)在（2）中PDE△周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ，过点()1,3K 的直线（直线KD 除外）与抛物线交于G ，H 两点，直线DG ，DH 分别交x 轴于点M ，N ．试探究EM EN ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．40．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()4,0A −、()2,0B ，且经过点()2,6C −．(1)求抛物线的表达式；(2)在x 轴上方的抛物线上任取一点N ，射线AN 、BN 分别与抛物线的对称轴交于点P 、Q ，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，求APQ '△的面积；(3)点M 是y 轴上一动点，当AMC ∠最大时，求M 的坐标．41．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点A B ，，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()1,0，对称轴是直线=1x −，点P 是x 轴上一动点，PM x ⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P 在线段AO 上运动（点P 与点A 、点O 不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M 、N C Q 、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．42．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:23L y x x =−−的顶点为P ．直线l 过点()()0,3M m m ≥−，且平行于x 轴，与抛物线1L 交于A B 、两点（B 在A 的右侧）．将抛物线1L 沿直线l 翻折得到抛物线2L ，抛物线2L 交y 轴于点C ，顶点为D ．(1)当1m =时，求点D 的坐标；(2)连接BC CD DB 、、，若BCD △为直角三角形，求此时2L 所对应的函数表达式；(3)在（2）的条件下，若BCD △的面积为3,E F 、两点分别在边BC CD 、上运动，且EF CD =，以EF 为一边作正方形EFGH ，连接CG ，写出CG 长度的最小值，并简要说明理由．43．（2023·云南·统考中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数2(42)(96)44y a x a x a =++−−+（实数a 为常数）的图象为图象T ．(1)求证：无论a 取什么实数，图象T 与x 轴总有公共点；(2)是否存在整数a ，使图象T 与x 轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a 的值；若不存在，请说明理由．44．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线28y ax bx =+−与x 轴交于(4,0)(2,0)A B −、两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA 标；(3)设直线135 :4l y kx k=+−交抛物线于点M、N，求证：无论存在一点E，使得MEN∠为直角．。

二次函数综合测试卷一、填空：(30分)1．二次函数的图象经过三个定点（2，0），（3，0），（•0，-•1），则它的解析式为________，该图象的顶点坐标为__________．2．当k=________时，直线x+2y+k+1=0和2x+y+2k=0的交点在抛物线y=-x2上．3．已知二次函数y=x2-2（k+1）x+k2+2的图象与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且（x1+1）（x2+1）=8，则k的值为__________．4．如果y与x2成正比例，并且它的图象上一点P的横坐标a和纵坐标b分别是方程x2-x-6=0的两根，那么这个函数的解析式为_________．5．抛物线y=x2-4x+11的对称轴是直线________，顶点坐标为________．6．如果抛物线y=-23x2+（m+2）x+27m的对称轴为直线x=32，则m的值为_________．7．把函数y=5x2+10mx+n的图象向左平移2个单位，向上平移3个单位，•所得图象的函数解析式为y=5x2+30x+44，则m=_______，n=_______．8．二次函数y=a x2+bx+c中的a、b、c满足条件________时，•它的图象经过坐标系中的四个象限．9．开口向下的抛物线y=a（x+1）（x-4）与x轴交于A、B两点，与y•轴交于点C．•若∠ACB=90°，则a的值为________．10．如图，二次函数y=x2-ax+a-5的图象交x轴于点A和B，交y轴于点C，当线段AB•的长度最短时，点C的坐标为________．二、选择题：(20分)11．在同一直角坐标系内，二次函数y1=ax2+bx+c与y2=cx2+bx+a的图象大致为（）12．在同一直角坐标系内，函数y=ax2+bx与y=bx（b≠0）的图象大致为（）13．给出下列四个函数：y=-2x，y=2x-1，y=3x（x>0），y=-x2+3（x>0），其中y随x•的增大而减小的函数有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个14．当m取任何实数时，抛物线y=-2（x-m）2-m的顶点所在的直线为（）A．x轴 B．y轴 C．y=x D．y=-x15．当m取任何实数时，抛物线y=-2（x+m）2-m2的顶点所在的曲线为（）A．y=x2 B．y=-x2 C．y=x2（x>0） D．y=-x2（x>0）16．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y=x2-4x+3关于x轴对称，则a、b、c•的值分别是（） A．-1，4，-3 B．-1，-4，-3 C．-1，4，3 D．-1，-4，317．已知抛物线y=a x2+bx+c（a≠0）与抛物线y=x2-4x+3关于y轴对称，则函数y=ax2+bx+c的解析式为（）A．y=x2+4x+3 B．y=x2-4x-3 C．y=x2+4x-3 D．y=-x2-4x+318．从一张矩形纸片ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个半圆，它们的直径分别是AE、DE，要使剪下的两个半圆的面积和最小，点E应选在（）A．边AD的中点外 B．边AD的13处 C．边AD的14处 D．边AD的15处19．对某条路线的长度进行n次测量，得到n个结果x1，x2，…，x n，如果用x作为这条路线长度的近似值，当x=p时，（x-x1）2+（x-x2）2+…+（x-x n）2最小，则p的值为（）A．1n（x1+x2+…+x n） B．1n（x1-x2-…-x n）C．1nn+（x1+x2+…+x n） D．1nn+（x1+x2+…+x n）20．已知函数y=-（x-1）2-（x-3）2-（x-5）2-（x-7）2，当x=p时，函数y取得最大值，则p•的值为（）A．4 B．8 C．10 D．16三、解答题：(90分)1．如图，△OAB是边长为2的等边三角形，直线x=t•截这个三角形所得位于直线左方的图形面积为y．（1）写出以自变量为t的函数y的解析式；（2）画出（1）中函数y的图象．2．如图，AB是半径为R的圆的直径，C为直径AB上的一点，•过点C•剪下两个正方形ADCE和BFCG，它们的对角线分别是AC、CB．要使剪下的两个正方形的面积和最小，•点C应选在何处？3．已知一个二次函数的图象过点A（-1，10），B（1，4），C（2，7），点D和B•关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只有一个公共点D的直线？如果存在，求出符合条件的直线；如不存在，请说明理由．4．如图，在直角坐标系xOy中，A、B是x轴上的两点，以AB为直径的圆交y轴于C，设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=x2-mx+n，方程x2-mx+n=0的两根倒数和为-2．（1）求n的值；（2）求此抛物线的解析式；（3）设平行于x轴的直线交此抛物线于E、F两点，问是否存在此线段EF•为直径的圆恰好与x轴相切，若存在，求出此圆的半径；若不存在，说明理由．5．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过x度，•那么这个月这户居民只交10元用电费．如果超过x度，这个月除了要交10元用电费外，超过部分按每度元交费．（1）该厂某户居民1月份用电90度，超过了x度的规定，试用x的代数式表示超过部分应交的电费（元）；（2）下表是这户居民2月、3月的用电情况和交费情况，请根据表中的数据，•求出电厂规定的这个标准x度．月份用电量（度）交电费总数（元）2月 80 253月 45 106．如图（1），平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A•点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6）．D是BC边上的动点（与点B、C不重合），现将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，使△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG，DF重合．（1）如图②，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式；（2）设D（a，6），E（10，b），求b关于a的函数关系式，并求b的最小值；（3）一般地，请你猜想直线DE与抛物线y=-124x2+6的公共点的个数，•在图②的情形中通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线y=-124x2+6始终有公共点，请在图①中作出这样的公共点．附加题：(10分)当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．例如：由抛物线y=x 2-2mx+m 2+3m-2． ① 得y=（x-m ）2+3m-2 ②抛物线的顶点坐标为（m ，3m-2），即32x my m =⎧⎨=-⎩ 当m 的值变化时，x ，y 的值也随之变化，•因而y 值也随x 值的变化而变化．将③代入④，得y=3x-2 ⑤可见不论m 取任何实数抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足关系式y=3x-2，即抛物线①的顶点总在直线y=3x-2上．在上述过程中，由①到②所用的数学方法是__________；由③、④到⑤所用的数学方法是________．请解答:求出抛物线y=x 2-4mx+4m 2-2m•的顶点的纵坐标y 和横坐标x 之间的关系式．答案:一、填空： 1．y=-16x 2+56x-1 （52，124）2．13±63 3．14．y=-29x 2和y=34x 25．x=2 （2，7） 6．0 7．1 18．a 、c 异号，b 为任何实数 9．-10．（0，-3）（设A （x 1，0），B （x 2，0）．（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=a 2-4a+20=（a-2）2+16．当a=2时，•线段AB 的长度最短为4，此时y=x 2-2x-3，点C 的坐标为（0，-3） 二、选择题：11．D 12．D 13．A 14．D 15．B 16．A 17．A 18．A 19．A 20．A 三、解答题：1．（1）y=223(01)23(2)3(2)2t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪--+≤≤⎪⎩（2）如第1题图.2．设AC 长为x ，BC 长为2R-x ，S 正方形ADCE =12x 2，S 正方形BFCG =12（2R-x ）2． 两个正方形面积之和为y=12x 2+12（2R-x ）2=x 2-2Rx+2R 2=（x-R ）2+R 2， 当x=R 时，两个正方形面积之和有最小值R 2，此时点C 应选在AB•的中点处，即圆心．3．过点A 、B 、C 的抛物线的解析式为y=2x 2-3x+5，其对称轴为直线x=34． 因D 和B 关于直线x=34对称，所以D 点坐标为（12，4）． 与抛物线只有一个公共点D 的直线有两条：（1）平行于y 轴，即直线x=12． （2）不平行于y 轴，设直线为y=kx+b ，因为过D 点，所以4=12k+b ． 即k=8-2b ，（8-2b ）x+b=2x 2-3x+5．2x 2+（2b-11）x+5-b=0．方程有两个相等的实数根，△=（2b-11）2-8（5-b ）=0，解得b=92，k=-1．所以y=-x+92．符合条件的直线为y=-x+92和x=12． 4．（1）设A （x 1，0），B （x 2，0），则OA=-x 1，OB=x 2．因为AB 是直径，OC ⊥AB ，所以CO 2=OA·OB ，•即n 2=-x 1x 2． 又x 1x 2=n ，所以n 2=-n ，n=-1，n=0（舍去）． （2）11x +21x =1212x x x x +=-2，又x 1+x 2=m ，x 1x 2=-1，1m -=-2，m=2， 所求的抛物线的解析式为y=x 2-2x-1．（3）由（2）得抛物线的对称轴为x=1．设满足条件的圆的半径为│a │， 则点F•的坐标为（1+│a │，a ），点F 在抛物线上，a=（1+│a │）2-2（1+│a │）-1，即a 2-a-2=0，a 1=2，a 2=-1， 所求的圆的半径为1或2，故存在以EF 为直径的圆，恰好与x 轴相切． 5．（1）100x（90-x ）元 （2）表格中的数据告诉我们，这户居民2月份用电超标，3•月份用电不超标， 可见45≤x<80，列出方程10+100x（80-x ）=25，即x 2-80x+150=0，解得x 1=30，x 2=50． 因45≤x<80，所以x=30，电厂规定的标准是30度．6．（1）解：根据题意，可知D （6，6），E （10，2），直线DE 的函数关系式为y=-x+12． （2）解：根据题意，可知∠CDO=∠ODF ，∠BDE=∠GDE ．∠CDO+∠ODF+∠BDE+∠GDE=180°，•∠CDO+∠BDE=90°，∠COD+∠CDO=90°，∠COD=∠BDE ．又∠COD=∠DBE=90°，△COD ≌△BDE ．CE COBE BD=． 根据题意，可知BE=6-b ，BD=10-a ，6610a b a =--，b+16a 2-53a+6=16（a-5）2+116． 当a=5时，b 最小值=116．（3）猜想：直线DE 与抛物线y=-124x 2+6只有1个公共点． 证明:由（1）可知，DE 所在直线为y=-124x+12． 代入抛物线y=-x 2+6，消去y ，得-124x 2+6=-x+12．化简，得x 2-24x+144=0，△=0． 直线DE 与抛物线y=-124x 2+6只有1个公共点． 作法一：延长OF 交DE 于点H ，作法二：在DB 上取点M ，使DM=CD ，过M 作MH ⊥BC ，交DE 于点H ． 附加题：配方法; 消元法; y=-4x.。

专题13二次函数综合问题一．解答题（共40小题）1．（2022•孝感）抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．（1）直接写出点B和点D的坐标；（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．2．（2022•武汉）抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．（1）直接写出A，B两点的坐标；（2）如图（1），当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；（3）如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求的值（用含m的式子表示）．3．（2022•娄底）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2022•广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c （a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，b满足的关系式及c的值；（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△ABP周长的最小值；（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．5．（2022•宿迁）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．（1）求二次函数的表达式；（2）①求证：△OCD∽△A′BD；②求的最小值；（3）当S△OCD ＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．6．（2022•湘潭）已知抛物线y＝x2+bx+c．（1）如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，﹣3），连接AB．（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；（Ⅱ）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB交于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）如图②，直线y＝x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y＝x2+bx+c交于点D（﹣3，0），以线段CD 为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．（1）求该抛物线的表达式．（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB 与△DPC全等，求点P的坐标．（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．8．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．9．（2022•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．（1）求点C的坐标；（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，①求点P的坐标；②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．11．（2022•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；（3）若在第四象限内二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．12．（2022•嘉兴）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．13．（2022•乐山）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y 轴交于点C ，且tan ∠OAC ＝2．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C 作CD ∥x 轴交二次函数图象于点D ，P 是二次函数图象上异于点D 的一个动点，连结PB 、PC ，若S △PBC ＝S △BCD ，求点P 的坐标；（3）如图3，若点P 是二次函数图象上位于BC 下方的一个动点，连结OP 交BC 于点Q ．设点P 的横坐标为t ，试用含t 的代数式表示的值，并求的最大值．14．（2022•衡阳）如图，已知抛物线y ＝x 2﹣x ﹣2交x 轴于A 、B 两点，将该抛物线位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W ”，图象W 交y 轴于点C ．（1）写出图象W 位于线段AB 上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y ＝﹣x +b 与图象W 有三个交点，请结合图象，直接写出b 的值；（3）P 为x P 作PM ∥y 轴交直线BC 于点M ，交图象W 于点N ，是否存在这样的点P ，使△CMN 与△OBC 相似？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2022•宁波）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．（1）求y关于x的函数表达式．（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？16．（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．17．（2022•扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；（3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．18．（2022•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．（1）①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．19．（2022•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（0，﹣4），其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一交点为C．（1）求二次函数的表达式；（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．①若点N在线段OC上，且MN＝3NC，求点M的坐标；②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．20．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B （x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE＝．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；②若NP＝2BP，令T＝c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2＝，x1x2＝”．此关系通常被称为“韦达定理”．21．（2022•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF ∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．22．（2022•江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K 为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值为 ；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝，求基准点K的高度h；②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 ；（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．23．（2022•武威）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+3）（x﹣a）与x轴交于A，B（4，0）两点，点C在y轴上，且OC＝OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）．（1）求此抛物线的表达式；（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当DE⊥x轴，且AE＝1时，求DP的长；（3）连接BD．①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；②如图3，连接CE，当CD＝AE时，求BD+CE的最小值．24．（2022•云南）已知抛物线y ＝﹣x 2﹣x +c 经过点（0，2），且与x 轴交于A 、B 两点．设k 是抛物线y ＝﹣x 2﹣x +c 与x 轴交点的横坐标，M 是抛物线y ＝﹣x 2﹣x +c 上的点，常数m ＞0，S 为△ABM 的面积．已知使S ＝m 成立的点M 恰好有三个，设T 为这三个点的纵坐标的和．（1）求c 的值；（2）直接写出T 的值；（3）求的值．25．（2022•金华）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬莱需求量y 需求（吨）关于售价x （元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y 需求＝ax 2+c ，部分对应值如下表：②该蔬莱供给量y 供给（吨）关于售价x （元/千克）的函数表达式为y 供给＝x ﹣1，函数图象见图1．③1～7月份该蔬莱售价x 售价（元/千克）、成本x 成本（元/千克）关于月份t的函教表达式分别为x 售价＝t +2，x 成本＝t 2﹣t +3，函数图象见图2．请解答下列问题：（1）求a ，c 的值．（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．26．（2022•达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A（﹣1，0），B （3，0），与y轴交于点C．（1）求该二次函数的表达式；（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定27．（2022•舟山）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．28．（2022•连云港）已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．29．（2022•安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN 长度之和，请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．30．（2022•凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME 的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．31．（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．32．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴对称．将抛物线y＝﹣x2+bx+c 向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．33．（2022•丽水）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3．（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．①求这个二次函数的表达式；②若y1＝y2，求顶点到MN的距离；（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．34．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．35．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于点A（0，﹣4），B（4，0）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P 的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．Ⅷ36．（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B 两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'．（1）当k＝2时，求A，B两点的坐标；（2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；（3）试探究直线AB'37．（2022•德阳）抛物线的解析式是y＝﹣x2+4x+a．直线y＝﹣x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，﹣3）关于x轴对称．（1）如图①，求射线MF的解析式；（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x 轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y＝﹣x+2交于点N．求的最大值．38．（2022•南充）抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM＝2ON，连接BN并延长到点D，使ND＝NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB＝2tan∠DBE，求点M的坐标．39．（2022•自贡）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若a＝﹣1，且函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点坐标；（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围；（3）若a+b+c＝0且a＞b＞c，一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，函数图象经过P（﹣c，y1），Q（1+3c，y2）两点，试比较y1、y2的大小．40．（2022•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF 周长的最小值；（3）如图2，N为射线CB M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM 的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．21 / 21。