2018版 章末综合测评(二) 平面解析几何初步

2.3.1 圆的标准方程学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9【解析】由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.【答案】 D2．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则( )A．a2＋b2＝0B．a2＋b2＝r2C．a2＋b2＋r2＝0D．a＝0，b＝0【解析】由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.【答案】 B3．圆x2＋y2＝1上的点到点M(3,4)的距离的最小值是( )A．1 B．4C．5 D．6【解析】圆心(0,0)到M的距离|OM|＝32＋42＝5，所以所求最小值为5－1＝4.【答案】 B4．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，再由各象限内点的坐标的性质得解，D正确．【答案】 D5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为( )A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5【解析】 直线方程变为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴C (－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.【答案】 C 二、填空题6．已知A (－1,4)，B (5，－4)，则以AB 为直径的圆的标准方程是________． 【解析】 由题意知圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，4－42，即(2,0)，半径为12－1－2＋＋2＝5，故所求圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝25.【答案】 (x －2)2＋y 2＝257．若点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的外部，则a 的取值范围为________. 【解析】 ∵P 在圆外，∴(5a ＋1－1)2＋(12a )2>1,169a 2>1，a 2>1169，∴|a |>113，即a >113或a <－113.【答案】 a >113或a <－1138．圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________． 【解析】 圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，圆心到直线x －y ＝2的距离为|1­1­2|1＋1＝2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2.【答案】 1＋ 2 三、解答题9．已知圆C 过点A (4,7)，B (－3,6)，且圆心C 在直线l ：2x ＋y －5＝0上，求圆C 的方程．【解】 法一 设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， ∵A ，B ∈圆C ，C ∈l ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－b 2＝r 2，－3－a 2＋－b 2＝r 2，2a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，r ＝5.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝25.法二 设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，∵C ∈l ， ∴2a ＋b －5＝0，则b ＝5－2a ， ∴圆心为C (a,5－2a )． 由圆的定义得|AC |＝|BC |， 即a －2＋－2a －2＝a ＋2＋－2a －2.解得a ＝1，从而b ＝3，即圆心为C (1,3)，半径r ＝|CA |＝－2＋－2＝5.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝25.10．求圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝54关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程．【解】 圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝54的圆心为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，半径r ＝52.设所求圆的圆心为(m ，n )，∵它与⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1关于直线x －y ＋1＝0对称，∵⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1m －12×1＝－1，m ＋122－n －12＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝32.∴所求圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，32，半径r ＝52.∴对称圆的方程是(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝54.[能力提升]1．若直线x ＋y －3＝0始终平分圆(x －a )2＋(y －b )2＝2的周长，则a ＋b 等于( ) A ．3 B ．2 C ．5D ．1【解析】 由题可知，圆心(a ，b )在直线x ＋y －3＝0上，所以a ＋b －3＝0，即a ＋b ＝3，故选A.【答案】 A2．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是( )A ．2，12(4－5)B.12(4＋5)，12(4－5) C.5，4－ 5D.12(5＋2)，12(5－2) 【解析】 点A (－1,0)，B (0,2)所在的直线方程为2x －y ＋2＝0，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线的距离为|2－0＋2|22＋－2＝455，又|AB |＝5，所以△PAB 面积的最大值为12×5×⎝⎛⎭⎪⎫455＋1＝12(4＋5)，最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫455－1＝12(4－5)，选B.【答案】 B3．已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________． 【解析】 设圆C 的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋1＝r 2，－a2＋9＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，r 2＝10.所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 【答案】 (x －2)2＋y 2＝104．设P (0,0)，Q (5,0)，R (0，－12)，求△PQR 的内切圆的方程和外接圆的方程. 【解】 |PQ |＝5，|PR |＝12，|QR |＝13， ∴|PQ |2＋|PR |2＝|QR |2，∴△PQR 为直角三角形，且∠P 为直角， ∴内切圆的半径r 1＝5＋12－132＝2，圆心为C 1(2，－2)．∴内切圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4. ∵外接圆的半径r 2＝132，圆心为C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－6， ∴外接圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y ＋6)2＝1694.。

2．1.1 数轴上的基本公式学习目标 1.理解实数与数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数轴上的几何意义.2。

掌握数轴上两点间的距离公式。

3.掌握数轴上向量加法的坐标运算．知识点一数轴（或直线坐标系）思考1数轴是怎样定义的?思考2实数集与数轴上的点有怎样的关系？梳理数轴的概念（1)数轴（直线坐标系)的定义:一条给出了________、________________和____________的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了________________．(2)数轴上的点P与实数x的对应法则点P的位置原点朝正向的一侧原点原点朝负向的一侧与点P对正数0负数依据这个法则，实数集和数轴上的点之间建立了________________关系．(3)数轴上点P的坐标如果点P与实数x对应，则称点P的坐标为x，记作P(x)．知识点二数轴上的向量及有关概念思考1在物理中，力、速度、加速度、位移等有何共同特征？思考2一名同学从A地直接跑到B地，用A错误!表示,你能用这种方法表示该同学从B地返回到A地吗？它们相等吗?思考3相等的向量的起点与终点相等吗？梳理数轴上的向量及有关概念（1)向量的定义如果数轴上的任意一点A沿着轴的________________移动到另一点B，则说点在轴上作了一次________，点不动则说点作了________，位移是一个既有________又有________的量，通常叫做________________,简称为________．（2）向量的描述(3）相等的向量________________________的向量叫做相等的向量．知识点三数轴上的基本公式位移的和在数轴上，如果点A作一次位移到点B,接着由点B再作一次位移到点C,则位移错误!叫做位移错误!与位移错误!的和，记作错误!＝错误!＋错误!向量坐标运算法则对数轴上任意三点A，B,C，都具有关系________向量坐标表示及距离公式已知数轴上两点A（x1),B（x2)，则AB＝________，d(A,B)＝__________________类型一数轴上的点与实数的对应关系例1(1)如果点P（x）位于点M（－2)，点N（3）之间,求x的取值范围；(2)试确定点A(x2＋x＋1）与点B错误!的位置关系．反思与感悟根据数轴上点与实数的对应关系，数轴上的点自左到右对应的实数依次增大．跟踪训练1不在数轴上画点，判断下列各组点的位置关系（主要说明哪一个点位于另一个点的右侧）．（1）A（－1.5），B（－3）；（2）A（a），B（a2＋1）；(3）A（|x｜)，B(x)．类型二数轴上的向量和基本公式例2已知数轴上有A、B两点，A，B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3。

2.1.3 两条直线的平行与垂直[学业水平训练]1．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________.解析：l 1⊥l 2时，k 1k 2＝－1，由一元二次方程根与系数的关系得k 1k 2＝－b 2，∴－b 2＝－1，得b ＝2.l 1∥l 2时，k 1＝k 2，即关于k 的二次方程2k 2－3k －b ＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(－3)2－4×2·(－b )＝0，即b ＝－98. 答案：2 －982．设a ∈R ，如果直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行，那么a ＝________.解析：当a ＝0时，l 1：y ＝12，l 2：x ＋y ＋4＝0，这两条直线不平行；当a ＝－1时，l 1：x －2y ＋1＝0，l 2：x ＋4＝0，这两条直线不平行；当a ≠0且a ≠－1时，l 1：y ＝－a 2x ＋12，l 2：y ＝－1a ＋1x －4a ＋1，由l 1∥l 2得－a 2＝－1a ＋1且12≠－4a ＋1，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：－2或13.如图，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－1,1)，B (1,5)，C (－3,2)，则△ABC 的形状为________．解析：因为k AB ＝1－5－1－1＝－4－2＝2，k AC ＝1－2－1－－＝－12，所以k AB ·k AC ＝－1，且A 、B 、C 、D 4点不共点，所以AB ⊥AC ，即∠BAC ＝90°.所以△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形4．已知A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD ，其中正确的序号为________．解析：k AB ＝－4－26－－＝－35，k CD ＝12－62－12＝－35，且A 、B 、C 、D 4点不共线，所以AB ∥CD ，k AC ＝6－212－－＝14，k BD ＝12－－2－6＝－4， k BD ·k AC ＝－1，所以AC ⊥BD .答案：①④5．已知P (－2，m )，Q (m,4)，M (m ＋2,3)，N (1,1)，若直线PQ ∥直线MN ，则m ＝________. 解析：当m ＝－2时，直线PQ 的斜率不存在，而直线MN 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不合题意；当m ＝－1时，直线MN 的斜率不存在，而直线PQ 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不合题意；当m ≠－2且m ≠－1时，k PQ ＝4－m m －－＝4－m m ＋2， k MN ＝3－1m ＋2－1＝2m ＋1，因为直线PQ ∥直线MN ， 所以k PQ ＝k MN ，即4－m m ＋2＝2m ＋1，解得m ＝0或m ＝1.经检验m ＝0或m ＝1时直线MN ，PQ 都不重合．综上，m 的值为0或1.答案：0或16．已知两条直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋c ＝0互相垂直，垂足为(1，b )，则a ＋c －b ＝________.解析：∵k 1k 2＝－1，∴a ＝10.∵垂足(1，b )在直线10x ＋4y －2＝0上，∴b ＝－2.将(1，－2)代入2x －5y ＋c ＝0得c ＝－12，故a ＋c －b ＝0.答案：07．(1)求与直线y ＝－2x ＋10平行，且在x 轴、y 轴上的截距之和为12的直线的方程；(2)求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线的方程．解：(1)设所求直线的方程为y ＝－2x ＋λ，则它在y 轴上的截距为λ，在x 轴上的截距为12λ，则有λ＋12λ＝12， ∴λ＝8.故所求直线的方程为y ＝－2x ＋8，即2x ＋y －8＝0.(2)法一：由直线方程2x ＋3y ＋5＝0得直线的斜率是－23， ∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线的斜率也是－23. 根据点斜式，得所求直线的方程是y ＋4＝－23(x －1)， 即2x ＋3y ＋10＝0.法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋b ＝0，∵直线过点A (1，－4)，∴2×1＋3×(－4)＋b ＝0，解得b ＝10.故所求直线的方程是2x ＋3y ＋10＝0.8．已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判断▱ABCD 是否为菱形？解：(1)设D (a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝6，∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1， ∴k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．[高考水平训练]1．已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，若存在点D ，使CD ⊥AB ，且BC ∥AD ，则点D 的坐标为________．解析：设点D 的坐标为(x ，y )．因为k AB ＝2－－2－1＝3，k CD ＝y x －3， 且CD ⊥AB ，所以k AB ·k CD ＝－1，即3×yx －3＝－1. ①因为k BC ＝2－02－3＝－2，k AD ＝y ＋1x －1， 且BC ∥AD ，所以k BC ＝k AD ，即－2＝y ＋1x －1， ② 由①②得x ＝0，y ＝1，所以点D 的坐标为(0,1)．答案：(0,1)2．△ABC 的顶点A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，则m 的值为________．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，所以k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7； 若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，所以k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5·m －12－1＝－1，得m ＝3； 若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5·m －12－1＝－1，得m ＝±2. 综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.答案：－7或±2或33．已知A (－m －3,2)，B (－2m －4,4)，C (－m ，m )，D (3,3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值． 解：因为A ，B 两点纵坐标不等，所以AB 与x 轴不平行．因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，故m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而m ＝－1时，C ，D 纵坐标均为－1，所以CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式得k AB ＝4－2－2m －4－－m －＝2－m ＋， k CD ＝3m ＋2－m 3－－m ＝m ＋m ＋3. 因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，解得m ＝1.综上，m 的值为1或－1.4．在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为O (0,0)，P (1，t )，Q (1－2t,2＋t )，R (－2t,2)，其中t ＞0.试判断四边形OPQR 的形状．解：如图所示，由已知两个点的坐标得：k OP ＝t －01－0＝t ， k RQ ＝＋t －2－2t －－2t＝t ， k OR ＝2－0－2t －0＝－1t. k PQ ＝t －＋t 1－－2t ＝－1t， 所以k OP ＝k RQ ，k OR ＝k PQ ，所以OP ∥RQ ，OR ∥PQ ，所以四边形OPQR 是平行四边形；又k OP ·k OR ＝t ·(－1t)＝－1， 所以OP ⊥OR ，∠POR 是直角， 所以四边形OPQR 是矩形；过点P 作PA ⊥x 轴，垂足为A ， RB ⊥x 轴，垂足为B ，那么由勾股定理得： OP 2＝OA 2＋AP 2＝1＋t 2.∴OP ＝1＋t 2，OR 2＝OB 2＋BR 2＝(－2t )2＋22＝4(1＋t 2)，∴OR ＝21＋t 2.∴OP ≠OR ，所以四边形OPQR 不是正方形， 综上可知，四边形OPQR 是矩形．。

章末综合测评(二)点、直线、平面之间的位置关系(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．异面或相交【解析】根据空间两条直线的位置关系和公理4可知c与b异面或相交，但不可能平行．【答案】 D2．下列说法不正确的是()A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【解析】A、B、C显然正确．易知过一条直线有无数个平面与已知平面垂直．选D.【答案】 D3．如图1，在四面体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定()图1A．在直线DB上B．在直线AB上C．在直线CB上D．都不对【解析】∵EF与GH相交，设EF∩GH＝M，∴M∈EF，M∈GH.又∵EF⊂面ABD，GH⊂面BCD，∴M∈面ABD，M∈面BCD，又∵面ABD∩面BCD＝BD，∴M∈BD，故选A.【答案】 A4．设a、b为两条直线，α、β为两个平面，则正确的命题是() 【导学号：09960089】A．若a、b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b【解析】A中，a、b可以平行、相交或异面；B中，a、b可以平行或异面；C中，α、β可以平行或相交．【答案】 D5．如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()图2A．45°B．60°C．90°D．120°【解析】如图，连接A1B、BC1、A1C1，则A1B＝BC1＝A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角等于60°.【答案】 B6．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解析】选项A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交，故选项A 错误；选项B，垂直于同一直线的两个平面互相平行，选项B正确；选项C，由条件应得α⊥β，故选项C错误；选项D，l与β的位置不确定，故选项D错误．故选B.【答案】 B7．如图3所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()图3A．AC B．BDC．A1D D．A1D1【解析】CE⊂平面ACC1A1，而BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面ACC1A1，∴BD⊥CE.【答案】 B8．正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角为()A．30°B．45°C ．60°D ．90°【解析】 由棱锥体积公式可得底面边长为23，高为3，在底面正方形的任一边上，取其中点，连接棱锥的顶点及其在底面的射影，根据二面角定义即可判定其平面角，在直角三角形中，因为tan θ＝3(设θ为所求平面角)，所以二面角为60°，选C.【答案】 C9．将正方形ABCD 沿BD 折成直二面角，M 为CD 的中点，则∠AMD 的大小是( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．90°【解析】 如图，设正方形边长为a ，作AO ⊥BD ， 则AM ＝AO 2＋OM 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝32a ，又AD ＝a ，DM ＝a2，∴AD 2＝DM 2＋AM 2，∴∠AMD ＝90°.【答案】 D10．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面AC ，且P A ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( )A.292B.135C.175D.1195【解析】 如图，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接PE . ∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥BD ，∴BD ⊥平面P AE ， ∴BD ⊥PE .∵AE ＝AB ·AD BD ＝125，P A ＝1， ∴PE ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝135.【答案】 B11．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )【导学号：09960090】A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°【解析】 如图所示，P 为正三角形A1B 1C 1的中心，设O 为△ABC 的中心，由题意知：PO ⊥平面ABC ，连接OA ，则∠P AO 即为P A 与平面ABC 所成的角．在正三角形ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝3， 则S ＝34×(3)2＝334，VABC -A 1B 1C 1＝S ×PO ＝94，∴PO ＝ 3. 又AO ＝33×3＝1，∴tan ∠P AO ＝POAO ＝3，∴∠P AO ＝60°. 【答案】 B12．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H .以下结论中，错误的是( )A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH ⊥平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成的角为45° 【解析】 因为AH ⊥平面A1BD ， BD ⊂平面A 1BD ，所以BD ⊥AH .又BD ⊥AA 1，且AH ∩AA 1＝A . 所以BD ⊥平面AA 1H .又A 1H ⊂平面AA 1H . 所以A 1H ⊥BD ， 同理可证BH ⊥A 1D ，所以点H是△A1BD的垂心，A正确．因为平面A1BD∥平面CB1D1，所以AH⊥平面CB1D1，B正确．易证AC1⊥平面A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC1和AH重合．故C正确．因为AA1∥BB1，所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角．因为∠AA1H≠45°，所以∠A1AH≠45°，故D错误．【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.【解析】由面面平行的性质得AC∥BD，ASBS＝CSSD，解得SD＝9.【答案】914．如图4，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：________时，SC∥平面EBD.图4【解析】当E是SA的中点时，连接EB，ED，AC.设AC与BD的交点为O，连接EO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是AC的中点．又E是SA的中点，∴OE是△SAC的中位线．∴OE∥SC.∵SC⊄平面EBD，OE⊂平面EBD，∴SC∥平面EBD.【答案】E是SA的中点15．如图5所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB 上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于________. 【导学号：97602018】图5【解析】 ∵B 1C 1⊥平面A 1ABB 1， MN ⊂平面A 1ABB 1，∴B 1C 1⊥MN ，又∠B 1MN 为直角， ∴B 1M ⊥MN ，而B 1M ∩B 1C 1＝B 1.∴MN ⊥平面MB 1C 1，又MC 1⊂平面MB 1C 1， ∴MN ⊥MC 1，∴∠C 1MN ＝90°. 【答案】 90°16．已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△P AB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号) 【解析】 由条件可得AB ⊥平面P AD ， ∴AB ⊥PD ，故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD ，由PB ⊥BC ，得PB ⊥平面ABCD ，从而P A ∥PB ，这是不可能的，故②错；S △PCD ＝12CD ·PD ，S △P AB ＝12AB ·P A ，由AB ＝CD ，PD >P A 知③正确； 由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点， 可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ，∴EF ∥AB ，故AE 与BF 共面，④错． 【答案】 ①③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图6所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC，求证：AD⊥平面SBC.图6【证明】∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，∵SA∩AC＝A，∴BC⊥平面SAC，∴BC⊥AD.又∵SC⊥AD，SC∩BC＝C，∴AD ⊥平面SBC.18．(本小题满分12分)如图7，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC ＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．图7(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1.【证明】(1)∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥AC.∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，∴AC⊥B1C.(2)连接BC1交B1C于O点，连接OD.如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.19．(本小题满分12分)某几何体的三视图如图8所示，P是正方形ABCD 对角线的交点，G是PB的中点．(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；(2)在直观图中，①证明：PD∥平面AGC；②证明：面PBD⊥平面AGC.图8【解】(1)该几何体的直观图如图所示：(2)证明：①连接AC，BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，所以OG∥PD.②连接PO，由三视图知，PO⊥平面ABCD，所以AO⊥PO.又AO⊥BO，所以AO⊥平面PBD.因为AO⊂平面AGC，所以平面PBD⊥平面AGC.20．(本小题满分12分)如图9，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点．图9求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.【证明】(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，∵F，F1分别是AC，A1C1的中点，∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，B1F1⊂平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.21．(本小题满分12分)如图10，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.图10(1)求证：DC⊥平面P AC.(2)求证：平面P AB⊥平面P AC.(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得P A∥平面CEF？说明理由．【证明】(1)因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为DC ⊥AC ，且PC ∩AC ＝C ，所以DC ⊥平面P AC .(2)因为AB ∥DC ，DC ⊥AC ，所以AB ⊥AC .因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC ⊥AB .又因为PC ∩AC ＝C ，所以AB ⊥平面P AC .又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AC .(3)棱PB 上存在点F ，使得P A ∥平面CEF .理由如下：取PB 的中点F ，连接EF ，CE ，CF .又因为E 为AB 的中点，所以EF ∥P A .又因为P A ⊄平面CEF ，且EF ⊂平面CEF ，所以P A ∥平面CEF .22．(本小题满分12分)如图11，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．图11(1)证明：AC ⊥HD ′；(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′-ABCFE 的体积．【解】 (1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD .又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD ，故AC ∥EF .由此得EF ⊥HD ，故EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′.(2)由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4.所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是OD′2＋OH2＝(22)2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH.由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′.又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.又由EFAC＝DHDO得EF＝92.五边形ABCFE的面积S＝12×6×8－12×92×3＝694.所以五棱锥D′-ABCFE的体积V＝13×694×22＝2322.。

章末综合测评(二)解析几何初步(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.空间两点A(3，－2,5)，B(6,0，－1)之间的距离为()A.6B.7C.8D.9【解析】|AB|＝(3－6)2＋(－2－0)2＋(5＋1)2＝7，故选B.【答案】 B2.过两点A(－2，m)，B(m,4)的直线倾斜角是45°，则m的值是()【导学号：39292131】A.－1B.3C.1D.－3【解析】由k AB＝m－4－2－m＝tan 45°＝1，解得m＝1.【答案】 C3.过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为()A.x－2y＋7＝0B.2x＋y－1＝0C.x－2y－5＝0D.2x＋y－5＝0【解析】∵直线x－2y＋3＝0的斜率为12，∴所求直线的方程为y－3＝12(x＋1)，即x－2y＋7＝0.【答案】 A4.已知直线l1：ax－y－2＝0和直线l2：(a＋2)x－y＋1＝0互相垂直，则实数a的值为()A.－1B.0C.1D.2【解析】l1的斜率为a，l2的斜率为a＋2，∵l1⊥l2，∴a(a＋2)＝－1，∴a2＋2a＋1＝0即a＝－1.【答案】 A5.如图1，在正方体OABC -O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为( )图1A.(2,2,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，43 【解析】 ∵|EB |＝2|EB 1|，∴|EB |＝23|BB 1|＝43. 又E 在B 1B 上，∴E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，43.【答案】 D6.若以点C (－1,2)为圆心的圆与直线x －2y ＋3＝0没有公共点，则圆的半径r 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，255 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，355 C.(0，5)D.(0,25)【解析】 设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|－1－4＋3|12＋(－2)2＝255.若直线与圆没有公共点，则0<r <255，故选A.【答案】 A7.已知直线l 1的方程为x ＋Ay ＋C ＝0，直线l 2的方程为2x －3y ＋4＝0，若l 1，l 2的交点在x 轴上，则C 的值为( )【导学号：39292132】A.2B.－2C.±2D.与A 有关【解析】 在2x －3y ＋4＝0中，令y ＝0，得x ＝－2，即直线2x －3y ＋4＝0与x 轴的交点为(－2,0).∵点(－2,0)在直线x ＋Ay ＋C ＝0上，∴－2＋A ×0＋C ＝0，∴C ＝2.【答案】 A8.若a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－16 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，16 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，16 【解析】 令a ＝－1，b ＝1或a ＝1，b ＝0，得直线方程分别为－x ＋3y ＋1＝0，x ＋3y ＝0，其交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16，此即为直线所过的定点.故选B.【答案】 B9.已知平面内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2， 5－2，则满足条件的直线l 的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】 由题知满足题意的直线l 在线段AB 两侧各有1条，又因为|AB |＝ 5，所以还有1条为过线段AB 上的一点且与AB 垂直的直线，故共3条.【答案】 C10.若圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是( )A.(x －5)2＋y 2＝5B.(x ＋5)2＋y 2＝5C.(x －5)2＋y 2＝5D.(x ＋5)2＋y 2＝5【解析】 设圆心O (a,0)，(a <0)，则 5＝|a |1＋22， ∴|a |＝5， ∴a ＝－5，∴圆O 的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.【答案】 D11.直线y＝kx被圆x2＋y2＝2截得的弦长为()A.2 2B.2C. 2D.与k的取值有关【解析】由于圆x2＋y2＝2的圆心在直线y＝kx上，所以截得弦为圆x2＋y2＝2的直径，又其半径为2，故截得的弦长为2 2.【答案】 A12.已知点P(x，y)是直线y＝22x－4上一动点，PM与PN是圆C：x2＋(y －1)2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为()【导学号：39292133】A.43 B.23C.53 D.56【解析】由题意知，圆C的圆心为C(0,1)，半径为1，故|PC|2＝|PN|2＋1.又S四边形PMCN ＝2×12×|PN|×1＝|PN|，故当|PN|最小时，四边形PMCN的面积最小，此时|PC|最小，又|PC|的最小值即为点C到直线的距离d＝5(22)2＋1＝53，此时|PN|＝43，故四边形PMCN面积的最小值为43，故选A.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13.两圆x2＋y2＝1，(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝________.【解析】当两圆外切时，由a2＋16＝6，得a＝±25；当两圆内切时，由a2＋16＝4，得a＝0.【答案】0，±2 514.经过点A(1,1)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的直线方程为______.【导学号：39292134】【解析】当直线过原点时，满足要求，此时直线方程为x－y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为xa＋ya＝1，由于点(1,1)在直线上，所以a＝2，此时直线方程为x＋y－2＝0.【答案】x－y＝0或x＋y－2＝015.已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则a2＋b2的最小值为________.【解析】a2＋b2的最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离d＝|0＋0－15|32＋42＝3.【答案】 316.设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为________.【解析】圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝a2＋2.|AB|＝23，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离d＝|0－a＋2a|2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎪⎫2322＋⎝⎛⎭⎪⎫|0－a＋2a|22＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.【答案】4π三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知直线l平行于直线3x＋4y－7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程.【解】设l：3x＋4y＋m＝0，当y＝0时，x＝－m 3；当x＝0时，y＝－m 4.∵直线l与两坐标轴围成的三角形面积为24，∴12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m4＝24，∴m＝±24，∴直线l的方程为3x＋4y＋24＝0或3x＋4y－24＝0.18.(本小题满分12分)如图2所示，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度.图2【解】 以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.∵|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，∴C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，B 1(0,2,2)， 由中点坐标公式可得， D (1,1,0)，E (0,1,2)，F (1,0,0)，∴|DE |＝(1－0)2＋(1－1)2＋(0－2)2＝5， |EF |＝(0－1)2＋(1－0)2＋(2－0)2＝ 6.19.(本小题满分12分)菱形ABCD 中，A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1).求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程.【解】 (1)k BC ＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2， ∴直线AD 方程为y －7＝2(x ＋4)，即2x －y ＋15＝0.(2)k AC ＝－65，∵菱形对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56，而AC 中点(1,1)，也是BD 的中点，∴直线BD 的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0.20.(本小题满分12分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2,2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点.(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程.【解】 (1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1,0)，因直线l 过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为 y －2＝－12(x －2)， 即x ＋2y －6＝0.21.(本小题满分12分)自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程.【导学号：39292135】【解】 如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0关于x 轴对称的圆为C 1：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心C 1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切.设l 的方程为y －3＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3＋3k ＝0. 则|5k ＋5|1＋k 2＝1，即12k 2＋25k ＋12＝0，∴k 1＝－43，k 2＝－34. 则l 的方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0.22.(本小题满分12分)已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P ，Q 两点，O 为原点，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值.【解】 设P ，Q 两点坐标为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，由OP ⊥OQ 可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，x ＋2y －3＝0，可得5y 2－20y ＋12＋m ＝0， ①所以y 1y 2＝12＋m5，y 1＋y 2＝4.又x 1x 2＝(3－2y 1)(3－2y 2)＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2 ＝9－24＋45(12＋m )，所以x1x2＋y1y2＝9－24＋45(12＋m)＋12＋m5＝0，解得m＝3.将m＝3代入方程①，可得Δ＝202－4×5×15＝100>0，可知m＝3满足题意，即实数m的值为3.。

2.1.3 两条直线的位置关系[A.基础达标]1．下列说法正确的是( )A ．如果两条直线平行，则它们的斜率相等B ．如果两条直线垂直，则它们的斜率互为负倒数C ．如果两条直线斜率之积为－1，则这两条直线互相垂直D ．如果直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y 轴解析：选C.不论两直线平行还是垂直都要考虑两直线斜率不存在的情况，A 、B 忽略斜率不存在，D 忽略了直线与y 轴重合．2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A.直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率为12.故所求直线方程为y －0＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 3．已知点A (1，2)，B (3，1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A ．4x ＋2y －5＝0B ．4x －2y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y －5＝0解析：选B.因为k AB ＝2－11－3＝－12， 所以所求直线的斜率为2.又线段AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32， 故线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝2(x －2)， 即4x －2y －5＝0.4．已知点A (m ，3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1，2)，D (1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )A ．1B ．0C ．0或2D ．0或1解析：选D.因为AB ∥CD ，所以m ＋4－32m －m ＝2－0m ＋1－1， 解得m ＝1.当m ＝0时，直线AB 为y 轴，直线CD 为x ＝1，两直线平行，故若两直线平行则m ＝0或1.5．已知点A (2，3)，B (－2，6)，C (6，6)，D (10，3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形解析：选B.如图所示，易知k AB ＝－34，k BC ＝0，k CD ＝－34，k AD ＝0，k BD ＝－14，k AC ＝34，所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ，k AB ·k AD ＝0，k AC ·k BD ＝－316， 故AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB 与AD 不垂直，BD 与AC 不垂直．所以四边形ABCD 为平行四边形．6．已知直线l 1：2x ＋(λ＋1)y －2＝0，l 2：λx ＋y －1＝0，若l 1∥l 2，则λ的值是________． 解析：因为l 1∥l 2，所以2×1－(λ＋1)λ＝0，即λ2＋λ－2＝0，解得λ＝－2或λ＝1.当λ＝1时，l 1与l 2重合，不符合题意．所以λ＝－2.答案：－27．已知直线l 1过点A (－2，3)，B (4，m )，直线l 2过点M (1，0)，N (0，m －4)，若l 1⊥l 2，则常数m 的值是________．解析：由已知得k AB ＝m －34－（－2）＝m －36， k MN ＝m －4－1＝4－m . 因为AB ⊥MN ，所以m －36×(4－m )＝－1， 即m 2－7m ＋6＝0，解得m ＝1或m ＝6，经检验m ＝1或m ＝6适合题意．答案：1或68．已知点P (0，－1)，点Q 在直线x －y ＋1＝0上，若直线PQ 垂直于直线x ＋2y －5＝0，则点Q 的坐标是________．解析：依题意设点Q 的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1＝0，b ＋1a·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.故点Q 的坐标为(2，3)． 答案：(2，3)9．已知定点A (－1，3)，B (4，2)，以A ，B 为直径作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标．解：因为以线段AB 为直径的圆与x 轴相交于点C ，所以AC ⊥CB .据题设条件可知AC 与BC 的斜率均存在(如图)，设C (x ，0)，则k AC ＝－3x ＋1，k BC ＝－2x －4. 所以－3x ＋1·－2x －4＝－1，解得x ＝1或2. 所以C (1，0)或C (2，0)．10．已知在▱ABCD 中，A (1，2)，B (5，0)，C (3，4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判定▱ABCD 是否为菱形？解：(1)设D (a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6.所以D (－1，6)． (2)因为k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1， 所以k AC ·k BD ＝－1.所以AC ⊥BD .所以▱ABCD 为菱形．[B.能力提升]1．已知点A (－2，－5)，B (6，6)，点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为( )A ．(0，－6)B ．(0，7)C ．(0，－6)或(0，7)D ．(－6，0)或(7，0)解析：选C.由题意可设点P 的坐标为(0，y )．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，且直线AP 与直线BP 的斜率都存在．又k AP ＝y ＋52，k BP ＝y －6－6，k AP ·k BP ＝－1， 故y ＋52·⎝⎛⎭⎪⎫－y －66＝－1， 解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为(0，－6)或(0，7)．2．顺次连接A (－4，3)，B (2，5)，C (6，3)，D (－3，0)四点所组成的图形是( )A ．平行四边形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．以上都不对解析：选B.观察知连接后各边所在直线斜率都存在．因为k AB ＝5－32－（－4）＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，所以AB ∥CD .又k AD ＝0－3－3－（－4）＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12，所以AD 与BC 不平行，且AD ⊥CD .所以四边形ABCD 为直角梯形．3．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2，1)且与经过点(－2，1)，斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值为________．解析：由题意知两直线的斜率均存在，且直线l 与斜率为－23的直线垂直，则直线l 的斜率为32，于是32＝1－（－1）（－a －2）－（a －2）＝2－2a ＝－1a ，解得a ＝－23. 答案：－234．已知0<k <4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________．解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k )＋12×4×(2k 2＋2)＝4k 2－k ＋8，故面积最小时k ＝18. 答案：185．已知A (－m －3，2)，B (－2m －4，4)，C (－m ，m )，D (3，3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．解：因为A ，B 两点纵坐标不等，所以AB 与x 轴不平行．因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，故m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而m ＝－1时，C ，D 纵坐标均为－1，所以CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式得k AB ＝4－2－2m －4－（－m －3）＝2－（m ＋1）， k CD ＝3m ＋2－m 3－（－m ）＝2（m ＋1）m ＋3. 因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，解得m ＝1.综上，m 的值为1或－1.6．(选做题)直线l 的倾斜角为30°，点P (2，1)在直线l 上，直线l 绕点P (2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l 1的位置，且直线l 1与l 2平行，l 2是线段AB 的垂直平分线，A (1，m －1)，B (m ，2)，试求m 的值．解：因为直线l 1的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l 1的斜率k 1＝tan 60°＝ 3.又直线AB 的斜率为m －1－21－m ＝m －31－m， 所以AB 的垂直平分线l 2的斜率k 2＝m －1m －3. 因为直线l 1与l 2平行，所以k 1＝k 2， 即3＝m －1m －3，解得m ＝4＋ 3.。

2018版高中数学第二章平面解析几何初步章末综合测评苏教版必修2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第二章平面解析几何初步章末综合测评苏教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高中数学第二章平面解析几何初步章末综合测评苏教版必修2的全部内容。

(二) 平面解析几何初步(时间120分钟，满分160分)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上）1．直线l：x－错误!y＋1＝0的倾斜角为________．【解析】l：y＝错误!x＋错误!，k＝错误!，∴α＝30°。

【答案】30°2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．【解析】直线方程为y＝错误!x, 圆的方程化为x2＋（y－2）2＝22,∴r＝2，圆心(0，2)到直线y＝3x的距离为d＝1，∴半弦长为错误!＝错误!，∴弦长为2错误!。

【答案】2错误!3．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝1的位置关系是__________．【解析】圆心(0，1）到直线l的距离d＝错误!＝错误!<1＝r。

故直线l与圆C相交．【答案】相交4．关于x的方程错误!＝错误!（x－2)＋3解的个数为________个.【解析】作出y＝错误!和y＝错误!（x－2）＋3＝错误!x＋2的图象(略）．可看出直线与半圆有两个公共点．【答案】25．若直线l与直线3x＋y－1＝0垂直，且它在x轴上的截距为－2，则直线l的方程为________．【解析】因为直线3x＋y－1＝0的斜率为－3，所以直线l的斜率为错误!.又直线在x轴上的截距为－2，即直线l与x轴的交点为（－2，0），所以直线l的方程为y－0＝错误!(x＋2),即x－3y＋2＝0.【答案】x－3y＋2＝06．若曲线（x－1）2＋（y－2）2＝4上相异两点P，Q关于直线kx－y－2＝0对称，则k 的值为__________．【解析】依题意得，圆心（1,2）在直线kx－y－2＝0上，于是有k－4＝0，解得k＝4。

章末综合测评(一)立体几何初步(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．给出下列命题：(1)若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；(2)若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；(3)若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；(4)若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．其中真命题的序号为__________．【解析】(1)因为两个平面平行，所以两个平面没有公共点，即其中一个平面内的直线与另一个平面也没有公共点，由直线与平面平行的判定定理可得直线与该平面平行，所以(1)正确．(2)因为该直线与其中一个平面垂直，那么该直线必与其中两条相交直线垂直，又两个平面平行，故另一个平面也必定存在两条相交直线与该直线垂直，所以该直线与另一个平面也垂直，故(2)正确．(3)错，反例：该直线可以在另一个平面内．(4)错，反例：其中一个平面内也存在直线与另一个平面平行．综上：(1)(2)为真命题．【答案】(1)(2)2．在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形)．【解析】若有AC⊥BD，则A1C1⊥B1D1.又∵CC1⊥B1D1，A1C1∩CC1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1C，∴B1D1⊥A1C，故条件可填AC⊥BD.【答案】AC⊥BD(答案不唯一)3．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各个面引垂线，垂线段分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为________．【解析】 设四面体的高为h ， 则h ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×12＝63，13Sh ＝13S (d 1＋d 2＋d 3＋d 4)， ∴d 1＋d 2＋d 3＋d 4＝h ＝63. 【答案】 634．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为__________．【解析】 设圆锥的体积为x ，则x －52x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133，解得x ＝54.【答案】 545．已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________.【导学号：41292058】【解析】 V 四棱锥O －ABCD ＝13×3×3h ＝322，得h ＝322， ∴OA 2＝h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＝184＋64＝6.∴S 球＝4πOA 2＝24π. 【答案】 24π6．若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的________条件．【解析】 ∵m ⊥α，若l ∥α，则必有l ⊥m ，即l ∥α⇒l ⊥m . 但l ⊥mD ⇒/l ∥α，∵l ⊥m 时，l 可能在α内． 故“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要而不充分条件． 【答案】 必要不充分7．如图1所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于________．图1【解析】∵B1C1⊥平面A1ABB1，MN⊂平面A1ABB1，∴B1C1⊥MN，又∠B1MN为直角．∴B1M⊥MN，而B1M∩B1C1＝B1.∴MN⊥平面MB1C1.又MC1⊂平面MB1C1，∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°.【答案】90°8．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是________．①若l∥α，l∥β，则α∥β；②若l⊥α，l⊥β，则α∥β；③若l⊥α，l∥β，则α∥β；④若α⊥β，l∥α，则l⊥β.【解析】对于①，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；对于②，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；对于③，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；对于④，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，l⊂β，故错误．故选②.【答案】②9．如图2，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23，若BD＝6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，则平行线EH，FG间的距离为__________cm.图2【解析】由题知，EH＝12BD＝3 cm，FG＝23BD＝4 cm.设平行线EH，FG之间距离为d，则12×(3＋4)×d＝28，解得d＝8 cm.【答案】810．在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，且P A＝AD，四边形ABCD 是正方形，E是PD的中点，则AE与PC的位置关系为________．【解析】易知CD⊥AE，AE⊥PD，则AE⊥平面PCD，所以AE⊥PC.【答案】垂直11．正方体ABCD－A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是________．①点H是△A1BD的垂心；②AH⊥平面CB1D1；③AH的延长线经过点C1；④直线AH和BB1所成的角为45°.【解析】因为AH⊥平面A1BD，BD⊂平面A1BD，所以BD⊥AH.又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A.所以BD⊥平面AA1H.又A1H⊂平面AA1H.所以A1H⊥BD，同理可证BH⊥A1D，所以点H是△A1BD的垂心，①正确．因为平面A1BD∥平面CB1D1，所以AH⊥平面CB1D1，②正确．易证AC1⊥平面A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC1和AH重合．故③正确．因为AA1∥BB1，所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角．因为∠A1AH≠45°，故④错误．【答案】④12．如图3所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：图3①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长．其中正确的序号是________．【解析】对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面P AC.又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC，故①正确；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥P A.∵P A⊂平面P AC，∴OM∥平面P AC，故②正确；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离，故③正确．【答案】①②③13．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③二面角A－BC－D的度数为60°；④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．【解析】如图(1)(2)所示，取BD的中点O，连结AO，OC，易知AO⊥BD且CO⊥BD，AO∩OC＝O，故BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC，故①正确．设正方形ABCD的边长为1，易知AO＝OC＝22.又由题意可知∠AOC＝90°，故AC＝1.所以AC＝AD＝DC，所以△ACD是等边三角形，故②正确．取BC的中点E，连结OE，AE，则∠AEO即为二面角A－BC－D的平面角，∴tan∠AEO＝AOOE＝2，(3)故③不正确．对于④，如图(3)所示，取AC的中点F，连结OF，EF，OE，则OE∥CD，EF∥AB，则∠FEO即为异面直线AB与CD所成的角．又在△AOC中，OF＝12，故EF＝OE＝OF，∴AB与CD所成的角为60°，故④正确．综上可知①②④正确．【答案】①②④14．如图4所示，三棱锥A－BCD的底面是等腰直角三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝BD＝2，E是棱CD上的任意一点，F，G分别是AC，BC的中点，则在下面命题中：①平面ABE⊥平面BCD；②平面EFG∥平面ABD；③四面体FECG体积的最大值是1 3.其中为真命题的是__________．(填序号)【导学号：41292059】图4【解析】①正确，因为AB⊥平面BCD，且AB⊂平面ABE，由面面垂直的判定定理可知平面ABE⊥平面BCD；②错，若两平面平行，则必有AD∥EF，而点E是棱CD上任意一点，故该命题为假命题；③正确，由已知易得GF⊥平面GCE，且GF＝12AB＝1，而S△GCE＝12GC·CE·sin 45°＝24CE≤1，故V F－GCE＝13S△GCE·FG≤13.故正确的命题为①③.【答案】①③二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)图515．(本小题满分14分)如图5，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连结A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥A′－BC′D的体积．【解】(1)∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，∴六个面是互相全等的正方形，∴A ′C ′＝A ′B ＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ， ∴S 三棱锥＝4×34×(2a )2＝23a 2，S 正方体＝6a 2， ∴S 三棱锥S 正方体＝33. (2)显然，三棱锥A ′－ABD ，C ′－BCD ，D －A ′D ′C ′，B －A ′B ′C ′是完全一样的，∴V 三棱锥A ′－BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′－ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝13a 3.16．(本小题满分14分)如图6所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，A 1D 1的中点，判断MN 与平面A 1BC 1的位置关系，并说明理由．图6【解】 直线MN ∥平面A 1BC 1. 证明如下：∵M ∉平面A 1BC 1，N ∉平面A 1BC 1. ∴MN ⊄平面A 1BC 1. 如图，取A 1C 1的中点O 1， 连结NO 1，BO 1.∵NO 1綊12D 1C 1，MB 綊12D 1C 1，∴NO 1綊MB ， ∴四边形NO 1BM 为平行四边形， ∴MN ∥BO 1.又∵BO 1⊂平面A 1BC 1， ∴MN ∥平面A 1BC 1.17．(本小题满分14分)如图7，圆锥的轴截面SAB 为等腰直角三角形，Q为底面圆周上一点．图7(1)若QB的中点为C，求证：平面SOC⊥平面SBQ；(2)若∠AOQ＝120°，QB＝3，求圆锥的表面积．【解】(1)∵SQ＝SB，OQ＝OB，C为QB的中点，∴QB⊥SC，QB⊥OC.∵SC∩OC＝C，∴QB⊥平面SOC.又∵QB⊂平面SBQ，∴平面SOC⊥平面SBQ.(2)∵∠AOQ＝120°，QB＝3，∴∠BOQ＝60°，即△OBQ为等边三角形，∴OB＝ 3.∵△SAB为等腰直角三角形，∴SB＝6，∴S侧＝3·6π＝32π，∴S表＝S侧＋S底＝32π＋3π＝(3＋32)π.图818．(本小题满分16分)如图8所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．(1)求证：P A∥平面BDE；(2)求证：平面P AC⊥平面BDE；(3)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．【解】 (1)证明：连结OE ，如图所示．∵O ，E 分别为AC ，PC 的中点， ∴OE ∥P A .∵OE ⊂平面BDE ，P A ⊄平面BDE ，∴P A ∥平面BDE . (2)证明：∵PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥BD . 在正方形ABCD 中，BD ⊥AC . 又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥平面P AC .又∵BD ⊂平面BDE ，∴平面P AC ⊥平面BDE . (3)取OC 中点F ，连结EF .∵E 为PC 中点， ∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO . 又∵PO ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥BD ，∵OF ⊥BD ，OF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥平面EFO ， ∴OE ⊥BD ，∴∠EOF 为二面角E －BD －C 的平面角， ∴∠EOF ＝30°.在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ， ∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ，∴OP ＝2EF ＝66a . ∴V P －ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3.19．(本小题满分16分)如图9，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，P A ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 为线段AC 上一点.【导学号：41292060】(1)求证：BD ⊥EF ；(2)若EF ∥平面PBD ，求AFFC 的值．图9【解】(1)因为P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以P A⊥BD.又四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC.又EF⊂平面P AC，所以BD⊥EF.(2)设AC与BD交于点O，连结PO.因为EF∥平面PBD，平面P AC∩平面PBD＝PO，且EF⊂平面P AC，所以EF∥PO.又E是PC的中点，所以OF＝FC，所以AF＝3FC，即AFFC＝3.20．(本小题满分16分)如图10(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE 的位置，使A1F⊥CD，如图10(2)．(1)(2)图10(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.说明理由．【解】(1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC.又∵DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，∴DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD＝D，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F.又∵A1F⊥CD，DE∩CD＝D，∴A1F⊥平面BCDE，BE⊂平面BCDE，∴A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC. 又∵DE∥BC，∴DE∥PQ，∴平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C⊂平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP.又DE∩DP＝D，∴A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q(中点)，使得A1C⊥平面DEQ.。

章末综合测评(二)(用时：60分钟满分：100分)一、选择题(本题共8小题，每小题6分．在每小题给出的四个选项中，第1～5题只有一项符合题目要求，第6～8题有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)1．如图1所示，质量为m的物体P放在光滑的倾角为θ的斜面体上，同时用力F向右推斜面体，使P与斜面体保持相对静止．在前进水平位移为s的过程中，斜面体对P做功为()图1A．θ·sC．θ·s D．θ·s【解析】斜面对P的作用力垂直于斜面，其竖直分量为，所以水平分量为θ，做功为水平分量的力乘以水平位移．【答案】 D2．一小石子从高为10 m处自由下落，不计空气阻力，经一段时间后小石子的动能恰等于它的重力势能(以地面为参考平面)，g取10 2，则该时刻小石子的速度大小为()【导学号：45732064】A．5 B．10C．15 D．20【解析】设小石子的动能等于它的重力势能时速度为v，根据机械能守恒定律得＝′＋2由题意知′＝2，所以＝2故v＝＝10 ，B正确．【答案】 B3．质量为2 t的汽车，发动机的牵引力功率为30 ，在水平公路上，能达到的最大速度为15 ，当汽车的速度为10 时的加速度大小为() A．0.5 2B．1 2C．1.5 2D．2 2【解析】当汽车达到最大速度时，即牵引力等于阻力时，则有P＝＝f＝＝N＝2×103 N当v＝10 时，F＝＝N＝3×103 N所以a＝＝2＝0.5 2.【答案】 A4．在光滑的地板上，用水平拉力分别使两个物块由静止获得相同的动能，那么可以肯定()A．水平拉力相等B．两物块质量相等C．两物块速度变化相等D．水平拉力对两物块做功相等【解析】两物块动能的改变量相等，根据动能定理可知，水平力对两物块做的功相等，选项D正确，其他选项均不能肯定．【答案】 D5．如图2所示，某段滑雪雪道倾角为30°，总质量为m(包括雪具在内)的滑雪运动员从距底端高为h处的雪道上由静止开始匀加速下滑，加速度为g.在他从上向下滑到底端的过程中，下列说法正确的是()【导学号：45732065】图2A．运动员减少的重力势能全部转化为动能B．运动员获得的动能为C．运动员克服摩擦力做功为D．下滑过程中系统减少的机械能为【解析】运动员的加速度为g，沿斜面：－f＝m·g，f＝，＝·2h＝，所以A、C项错误，D项正确；＝－＝，B项错误．【答案】 D6．质量为m的物体由固定在地面上的斜面顶端匀速滑到斜面底端，斜面倾角为θ，物体下滑速度为v，如图3所示，以下说法中正确的是()图3A．重力对物体做功的功率为θB．重力对物体做功的功率为C．物体克服摩擦力做功的功率为θD．物体克服摩擦力做功的功率为【解析】物体沿斜面匀速下滑，说明沿斜面方向的摩擦力f＝θ，根据功率公式P＝α(式中α是F与v的夹角)，则重力的功率＝(90°－θ)＝θ，A对，B 错；物体克服摩擦力做功的功率＝f·v＝θ，C对，D错．【答案】7．如图4是安装在列车车厢之间的摩擦缓冲器结构图，图中①和②为楔块，③和④为垫板，楔块与弹簧盒、垫板间均有摩擦，在车厢相互撞击使弹簧压缩的过程中()【导学号：45732066】图4A．缓冲器的机械能守恒B．摩擦力做功消耗机械能C．垫板的动能全部转化为弹性势能和内能D．弹簧的弹性势能全部转化为动能【解析】在弹簧压缩过程中，由于摩擦力做功消耗机械能，因此机械能不守恒，选项A错，B对；垫板的动能转化为弹性势能和内能，选项C对，D错．【答案】8．如图5所示，传送带与水平地面的夹角为θ，传送带以速度v匀速运动，在传送带底端无初速地放置一个质量为m的物体，当物体上升高度为h时，物体已经相对传送带静止，在这个过程中对物体分析正确的是()图5A．动能增加B．动能增加2C．机械能增加－2D．重力势能增加【解析】当物体相对传送带静止时，物体的速度与传送带的速度相等，物体的动能增加了2，选项A错误，B正确；物体升高了h，物体的重力势能增加了，选项D正确；在该过程中物体的机械能增加了＋2，选项C错误.【答案】二、实验题(共2小题，共18分)9．(8分)使用如图6甲所示的装置验证机械能守恒定律，打出一条纸带如图乙所示．图乙中O是打出的第一个点迹，A、B、C、D、E、F、…是依次打出的点迹，量出间的距离为l，间的距离为s，已知打点计时器打点的周期是T＝0.02 s.图6(1)上述物理量如果在实验误差允许的范围内满足关系式，即验证了重物下落过程中机械能是守恒的．(2)如果发现图乙中距离大约是4 ，则出现这种情况的原因可能是，如果出现这种情况，上述的各物理量间满足的关系式可能是．【解析】(1)由纸带上数据＝，则＝＝＝，故关系式为＝.(2)若＝4 ，则O点不是重物开始下落打出的点．说明是先释放纸带，后接通电源，故得到的关系式为＜，即＜.【答案】(1)＝(2)先释放纸带，后接通电源＜10．(10分)某同学为探究“恒力做功与物体动能改变的关系”，设计了如下实验，他的操作步骤是：图7①摆好实验装置如图7所示．②将质量为200 g的小车拉到打点计时器附近，并按住小车．③在质量为10 g、30 g、50 g的三种钩码中，他挑选了一个质量为50 g的钩码挂在拉线P上．④释放小车，打开打点计时器的电源，打出一条纸带．(1)在多次重复实验得到的纸带中取出较为满意的一条，经测量、计算，得到如下数据：①第一个点到第N个点的距离为40.0 .②打下第N点时小车的速度大小为1.00 .该同学将钩码的重力当作小车所受的拉力，算出拉力对小车做的功为，小车动能的增量为.(2)此次实验探究结果，他没能得到“恒力对物体做的功，等于物体动能的增量”，且误差很大，显然，在实验探究过程中忽视了各种产生误差的因素．请你根据该同学的实验操作过程帮助分析一下，造成较大误差的主要原因是(至少说出两种可能)：.【导学号：45732067】【解析】(1)拉力对小车做的功W＝·s＝0.196 N.小车动能的增量Δ＝2＝0.1 J.(2)①小车的质量不是远大于钩码质量；②没有平衡摩擦力；③操作错误，实验时先放开小车，后接通电源．【答案】(1)0.1960.1(2)①小车质量没有远大于钩码质量；②没有平衡摩擦力；③错误操作：先放小车，后开电源三、计算题(共2小题，共34分)11. (16分)在世界锦标赛中，冰壶运动引起了人们的关注．冰壶在水平冰面上的一次滑行可简化为如下过程：如图8所示，运动员将静止于O点的冰壶(视为质点)沿直线′推到A点放手，此后冰壶沿′滑行，最后停于C点．已知冰面与各冰壶间的动摩擦因数为μ，冰壶质量为m，＝L，′＝r，重力加速度为g.【导学号：45732068】图8(1)求冰壶在A点的速率；(2)若将′段冰面与冰壶间的动摩擦因数减小为0.8μ，原只能滑到C点的冰壶能停于O′点，求A点与B点之间的距离．【解析】(1)从A到C，由动能定理有－μ＝0－得＝.(2)从A到O′，由动能定理有－μ－0.8μ(L＋r－s)＝0－得s＝L－4r.【答案】(1)(2)L－4r12．(18分)如图9所示，质量为m的物体从倾角为θ的斜面上的A点以速度v0沿斜面上滑，由于μθ< θ，所以它滑到最高点后又滑下来，当它下滑到B 点时，速度大小恰好也是v0，设物体与斜面间的动摩擦因数为μ，求A、B间的距离.图9【解析】设物体m从A点到最高点的位移为s，对此过程由动能定理得－( θ＋μθ)·s＝0－对全过程由动能定理得θ·－μθ·(2s＋)＝0由以上两式联立得＝θ(2θ－μ22θ)).【答案】θ(2θ－μ22θ))。