三角函数诱导公式辅导讲义

诱导公式复习语录天下：One needs 3 things to be truly happy living in the wor ld: some thing to do, some one to love, some thing to hope for.1.基本公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝ cos（2kπ＋α）＝tan（2kπ＋α）＝ cot（2kπ＋α）＝公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝ cos（π＋α）＝tan（π＋α）＝ cot（π＋α）＝公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝ cos（－α）＝tan（－α）＝ cot（－α）＝公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝ cos（π－α）＝tan（π－α）＝ cot（π－α）＝公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝ cos（2π－α）＝tan（2π－α）＝ cot（2π－α）＝公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝ cos（π/2＋α）＝tan（π/2＋α）＝ cot（π/2＋α）＝sin（π/2－α）＝ cos（π/2－α）＝tan（π/2－α）＝ cot（π/2－α）＝sin（3π/2＋α）＝ cos（3π/2＋α）＝tan（3π/2＋α）＝ cot（3π/2＋α）＝sin（3π/2－α）＝ cos（3π/2－α）＝tan（3π/2－α）＝ cot（3π/2－α）＝(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为： 对于π/2*k ±α(k ∈Z)的三角函数值，①当k 是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k 是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin →cos;cos →sin;tan →cot,co t →tan.（奇变偶不变）然后在前面加上(把α看成锐角时)原函数值的符号。

5.3 诱导公式最新课程标准：(1)借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π2，α±π的正弦、余弦、正切.(2)掌握六组诱导公式并能灵活运用． 第1课时 诱导公式(一)知识点状元随笔 诱导公式一～四的理解 (1)公式一～四中角α是任意角．(2)公式一概括为：终边相同的角的同名三角函数值相等． (3)公式一、二、三、四都叫诱导公式，它们可概括如下：①记忆方法：2k π＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“函数名不变，符号看象限”．②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α的终边在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα.[教材解难]教材P190思考利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：[基础自测]1．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是( )A．α一定是锐角B．0≤α<2πC．α一定是正角D．α是使公式有意义的任意角解析：诱导公式中的角α是使公式有意义的任意角．答案：D2．sin 600°的值是( )A.12B．－12C.32D．－32解析：sin 600°＝sin(600°－720°)＝sin(－120°)＝－sin 120°＝－sin 60°＝－32.答案：D3．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32解析：∵sin(π＋α)＝－12，∴sin α＝12，sin(4π－α)＝－sin α＝－12.答案：A4．化简：cos (－α)tan (7π＋α)sin (π＋α)＝________.解析：原式＝cos αtan α－sin α＝－sin αsin α＝－1.答案：－1题型一 给角求值问题[经典例题]例1 (1)sin 43π·cos 56π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π的值是( ) A.－34 3 B.34 3C ．－34 D.34(2)求下列三角函数式的值： ①sin(－330°)·cos 210°.②3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)． 【解析】 (1)sin 43π·cos 56π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋2π3 ＝－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32·(－3)＝－334. (2)①sin(－330°)·cos 210°＝sin(30°－360°)cos(180°＋30°) ＝sin 30°·(－cos30°)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34.②3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°) ＝－3sin 1 200°·⎝ ⎛⎭⎪⎫－33－cos(720°－135°)·tan(－9×180°－45°) ＝sin(1 080°＋120°)－cos 135°·tan(－45°) ＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×(－1)＝3－22. 答案：(1)A (2)①－34 ②3－22负角化正角，大角化小角，直到化为锐角求值．利用诱导公式解决给角求值问题的方法 (1)“负化正”；(2)“大化小”，用公式一将角化为0°到360°间的角； (3)“小化锐”，用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”，得到锐角的三角函数后求值． 跟踪训练1 (1)sin 4π3＋tan 7π6的值为( )A.36 B ．－33 C ．－36 D.33(2)sin 2120°＋cos 180°＋tan 45°－cos 2(－330°)＋sin(－210°)＝________. 解析：(1)原式＝－sin π3＋tan π6＝－32＋33＝－36.故选C.(2)原式＝sin 260°＋(－1)＋1－cos 230°＋sin 30°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12＝12. 答案：(1)C (2)12首先利用诱导公式把角化为锐角再求值．题型二 已知三角函数值求相关角的三角函数值[经典例题]例2 若sin(π＋α)＝12，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(π－α)等于( )A.－12 B ．－32C ．－ 3 D.33【解析】 因为sin(π＋α)＝－sin α，根据条件得sin α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以cos α＝ 1－sin 2α＝32.所以tan α＝sin αcos α＝－13＝－33.所以tan(π－α)＝－tan α＝33.故选D. 【答案】 D将已知条件利用诱导公式化简，建立要求的因式与已知条件的联系从而求值． 方法归纳解决条件求值问题的方法(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．跟踪训练2 已知α为第二象限角，且sin α＝35，则tan(π＋α)的值是( )A.43B.34 C ．－43 D ．－34解析：因为sin α＝35且α为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.所以tan(π＋α)＝tan α＝－34.故选D.答案：D先由正弦求余弦时，注意α的范围，最后利用诱导公式求值． 题型三 三角函数式的化简与证明[教材P 190例2] 例3 化简cos (180°＋α)sin (α＋360°)tan (－α－180°)cos (－180°＋α).解析：tan(－α－180°)＝tan[－(180°＋α)]＝－tan(180°＋α)＝－tan α，cos(－180°＋α)＝cos [－(180°－α)] ＝cos(180°－α)＝－cos α，所以原式＝－cos αsin α(－tan α)(－cos α)＝－cos α.用诱导公式消除角的差异→用同角三角函数关系消除名称差异教材反思利用诱导公式一～四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．跟踪训练3 证明：sin(α－2018π)cos(α＋2019π)sin(－α)cos(α－2π)cos(α＋2018π)sin(α＋2018π)＝tan α.解析：证明：sin(α－2018π)cos(α＋2019π)sin(－α)cos(α－2π)cos(α＋2018π)sin(α＋2018π)＝sin α(－cos α)(－sin α)cos αcos αsin α＝tan α.状元随笔证明三角恒等式时，要针对恒等式左、右两边的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异. 能用诱导公式的先用诱导公式将不同角化为相同角，再统一函数名称，从而实现左右统一．思路方法分类讨论思想在三角函数中的应用例证明：2sin(α＋nπ)cos(α－nπ)sin(α＋nπ)＋sin(α－nπ)＝(－1)n cos α，n∈Z. 证明：当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z，左边＝2sin(α＋2kπ)cos(α－2kπ) sin(α＋2kπ)＋sin(α－2kπ)＝2sin αcos αsin α＋sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α.右边＝(－1)2k cos α＝cos α，∴左边＝右边．当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈Z，左边＝2sin (α＋2k π－π)cos (α－2k π＋π)sin (α＋2k π－π)＋sin (α－2k π＋π)＝2sin (α－π)cos (α＋π)sin (α－π)＋sin (α＋π)＝2(－sin α)(－cos α)(－sin α)＋(－sin α)＝2sin αcos α－2sin α＝－cos α.右边＝(－1)2k －1cos α＝－cos α，∴左边＝右边．综上所述，2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)ncos α，n ∈Z 成立．点评：解答此类题目的关键在于正确应用诱导公式化简，如果被化简式子中的角是k π±α(k ∈Z )的形式，往往对参数k 进行讨论．常见的一些关于参数k 的结论有sin(k π＋α)＝(－1)k sin α(k ∈Z )；cos(k π＋α)＝(－1)k cos α(k ∈Z )；sin(k π－α)＝(－1)k＋1sin α(k ∈Z )；cos(k π－α)＝(－1)kcos α(k ∈Z )等．课时作业 31 一、选择题1．sin 480°的值为( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－32解析：sin 480°＝sin(360°＋120°)＝sin 120° ＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝32. 答案：B2．已知sin(π＋θ)＝45，则角θ的终边在( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第四象限D ．第三或第四象限解析：∵sin(π＋θ)＝45＝－sin θ，∴sin θ<0，结合三角函数的定义，可知角θ的终边在第三或四象限，故选D.答案：D3．下列各式不正确的是( )A ．sin(α＋180°)＝－sin αB ．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)C ．sin(－α－360°)＝－sin αD ．cos(－α－β)＝cos(α＋β)解析：由诱导公式知cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B 不正确． 答案：B4．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )A.12 B ．±32 C.32 D ．－32解析：由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，故sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－32(α为第四象限角)． 答案：D 二、填空题5．求值：(1)cos 29π6＝________；(2)tan(－225°)＝________.解析：(1)cos 29π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋5π6＝cos 5π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.(2)tan(－225°)＝tan(360°－225°)＝tan 135°＝tan(180°－45°)＝－tan 45°＝－1.答案：(1)－32(2)－1 6．若sin(－α)＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则cos(π＋α)＝________. 解析：∵sin(－α)＝13，∴sin α＝－13.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝223，∴c os(π＋α)＝－cos α＝－223.答案：－2237．若f (n )＝sinn π3(n ∈Z )，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝________.解析：f (1)＝sin π3＝32，f (2)＝sin 2π3＝32，f (3)＝sin π＝0，f (4)＝sin 4π3＝－32，f (5)＝sin 5π3＝－32，f (6)＝sin 2π＝0，f (7)＝sin 7π3＝sin π3＝f (1)，f (8)＝f (2)，……，∵f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (6)＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＋336×0＝ 3.答案： 3 三、解答题8．求下列各三角函数值：(1)sin 1 200°；(2)cos 476π；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3；(4)tan(－855°)．解析：(1)sin 1 200°＝sin[120°＋3×360°]＝sin 120°＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝32. (2)cos 476π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋6π＝cos 116π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＝cos π6＝32. (3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝－sin 7π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3＝－sin π3＝－32.(4)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝－tan(－45°)＝tan 45°＝1.9．若cos α＝23，α是第四象限角，求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．解析：由已知cos α＝23，α是第四象限角得sin α＝－53，故sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α(1－cos α)cos α(－1＋cos α)＝－sin αcos α＝52.[尖子生题库]10．求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋2π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3(n ∈Z )的值． 解析：方法一 ①当n 为奇数时，原式＝sin 2π3·(－cos 4π3)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34.②当n 为偶数时，原式＝sin 2π3·cos 4π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34.综上可知，原式＝(－1)n ＋134. 方法二 原式＝sin2π3·(－1)n cos 4π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·(－1)ncos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·(－1)n ·(－cos π3)＝(－1)n ×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝(－1)n ＋134.。

学乐教育学生姓名 ____________________ 就读年级 ____________________ 授课日期 ____________________ 教研院审核___________________三角函数的诱导公式一、学习目标：1．熟练掌握诱导公式，利用诱导公式进行求值，化简，证明．2．了解从未知到已知，从复杂到简单的转化过程，提高分析和解决问题的能力．二、知识要点：诱导公式（一）tan )2tan(cos )2(cos sin )2sin(ααπααπααπ=+=+=+k k k结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等②把求任意角的三角函数值问题转化为求0～π2角的三角函数值问题。

诱导公式（二）tan )tan(cos )cos( sin )sin(ααπααπααπ=+-=+-=+结构特征：①函数名不变，符号看象限（把α看作锐角时）②把求（απ+）的三角函数值转化为求α的三角函数值。

诱导公式（三）tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=-结构特征：①函数名不变，符号看象限（把α看作锐角）②把求（α-）的三角函数值转化为求α的三角函数值诱导公式（四）tan )tan(cos )cos( sin )sin(ααπααπααπ-=--=-=-诱导公式（五）sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ=-=- 诱导公式（六）sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ-=+=+ 方法点拨：①可以是任意角；公式中的α ②前四组诱导公式可以概括为： 符号。

看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,,, ),Z (2-+-∈+k k ③公式（五）和公式（六）总结为一句话：函数正变余，符号看象限三、基础自测：1、求下列各三角函数值:①cos225° ②tan （-π）2、sin480°的值为( ) A 、21-B 、23-C 、21D 、233、cos330°等于( ) A 、21 B 、21- C 、23 D 、23-四、典型例题分析：例1、求值（1）10sin()3π-= __________． （2）29cos()6π= __________． （3）0tan(855)-= _______ ___． （4）16sin()3π-= __________．变式练习1：求下列函数值：︒︒-580tan )4( ,670sin )3( ),431sin()2( ,665cos )1(ππ的值。

三角函数的诱导公式经典讲义三角函数的诱导公式是我们在学习和应用三角函数时经常用到的一个重要工具。

它能够帮助我们把一个三角函数表达式转化为其他三角函数的表达式，从而简化计算和推导过程。

本文将详细介绍三角函数的诱导公式的原理、推导过程以及常用应用。

一、诱导公式的原理诱导公式是基于三角函数的正负号周期性性质而得出的。

周期性是指三角函数在不同的角度上取值相同，而正负号则决定了函数的正负。

根据这些性质，我们可以利用一个固定的三角函数表达式来推导出其他角度上的三角函数表达式。

具体来说，我们可以通过利用已知的正弦函数和余弦函数的周期性关系，推导出其他三角函数的表达式。

例如，我们可以利用正弦函数的周期性关系：sin(x + 2π) = sin(x)，再结合勾股定理，推导出余弦函数的表达式：cos(x) = sin(x + π/2)。

这就是三角函数的诱导公式的基本思路。

二、常用的诱导公式1.正弦函数的诱导公式sin(x ± π/2) = ±cos(x)sin(x ± π) = ±sin(x)sin(x ± 2π) = sin(x)2.余弦函数的诱导公式cos(x ± π/2) = ±sin(x) cos(x ± π) = -cos(x) cos(x ± 2π) = cos(x) 3.正切函数的诱导公式tan(x ± π/2) = ±cot(x) tan(x ± π) = tan(x)tan(x ± 2π) = tan(x) 4.余切函数的诱导公式cot(x ± π/2) = ±tan(x) cot(x ± π) = -cot(x) cot(x ± 2π) = cot(x) 5.正割函数的诱导公式sec(x ± π/2) = ±csc(x) sec(x ± π) = -sec(x) sec(x ± 2π) = sec(x) 6.余割函数的诱导公式csc(x ± π/2) = ±sec(x) csc(x ± π) = -csc(x) csc(x ± 2π) = csc(x)三、诱导公式的推导过程下面我们以正弦函数和余弦函数的诱导公式为例，介绍具体的推导过程。