安徽省安庆市某中学2020届高三综合测试(一)数学(文)试卷

安徽省安庆市2020届上学期高三年级期末教学质量监测数学试卷（文科）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3}A =，则U C A = A ．{1，2，3，4，5，6}B ．{1，3}C ．{2，4，5，6}D ．∅2.i 是虚数单位，复数11iz i，则1z += A ．1B ．2C ．3D ．23.若两个非零向量,a b 满足，2a b +=，2a b -=，1b =,则向量a b +与b 的夹角为 A ．6π B ．3π C.23πD.56π4.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>C 的渐近线方程为A ．12y x =±B ．2y x =±C ．2y x =±D ．y =5.设变量满足约束条件：240220410x y x y x y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则目标函数3z x y =-的最小值为A ．6B ．32C ．32-D ．1-6.若235log log log t x y z ===，且2t <-则 A ．523z x y << B ．532z y x << C ．325y x z <<D ．235x y z <<7.从A 、B 等5名学生中随机选出2人，则B 学生被选中的概率为 A ．15B ．25C ．825D ．9258.下列命题的符号语言中，不是公理的是 A ．b a b a //,⇒⊥⊥ααB ．l P l P P ∈=⇒∈∈且且,,βαβαy x ,C ．,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂且D ．c b c a b a ////,//⇒9.设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)(),f x f x f x f x -=-+=-,则()y f x =的图像可能是A BC D10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，121,2a a ==且对于任意*1,n n N >∈满足=+-+11n n S S )1(2+n S 则A ．47a =B ．16240S =C ．1019a =D ．20381S =11.已知函数()2(cos cos )sin f x x x x =+⋅，给出下列四个命题： ①()f x 的最小正周期为π②()f x 的图象关于直线π4x =对称 ③()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增④()f x 的值域为[2,2]-⑤()f x 在区间[]2π,2π-上有6个零点 其中所有正确的编号是 A.②④B ．①④⑤C ．③④D ．②③⑤12.已知三棱锥S ABC -，SC 的中点O 为三棱锥S ABC -外接球球心，且SC ⊥平面OAB ，=OA AB ，则球O 的体积为A.36πB.43πC.323π D.92π第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题 ~ 第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：共4小题，每小题5分共20分，将答案填写在答题卷中的相应区域，答案写．．．在试题卷上无效．．．．．．．。

2020届安徽省安庆市高三上学期期末数学（文）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3A =，则UA（ ）A ．{}1,2,3,4,5,6B ．{}1,3C ．{}2,4,5,6D ．∅2．i 是虚数单位，复数11izi，则1z +=（ ） A ．1B 2C D ．23．若两个非零向量a ，b 满足，2a b +=，2a b -=，1b =，则向量a b+与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 4．已知双曲线C ：22221x ya b-=（0a >，0b >，则C 的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y x =D ．y =5．设变量x ，y 满足约束条件：240220410x y x y x y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥，则目标函数3z x y =-的最小值为（ ）A ．6B ．32C ．32-D ．1-6．若235log log log t x y z ===，且2t <-则（ ） A ．523z x y << B ．532z y x << C ．325y x z <<D ．235x y z <<7．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ） A ．15B ．25C ．825D ．9258．下列命题的符号语言中，不是公理的是（ ） A ．a α⊥，b a b α⊥⇒∥ B ．P α∈，且P l βαβ∈⇒=，且P l ∈C ．∈A l ，B l ∈，且A α∈，B l αα∈⇒⊂D ．a b ∥，a c b c ⇒∥∥9．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =且对于任意1n >，*n N ∈满足()1121n n n S S S +-+=+，则（ ）A ．47a =B ．16240S =C ．1019a =D ．20381S =11．已知函数()()2cos cos sin f x x x x =+⋅，给出下列四个命题： ①()f x 的最小正周期为π ②()f x 的图象关于直线4x π=对称③()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增④()f x 的值域为[]22-,⑤()f x 在区间[]2,2ππ-上有6个零点 其中所有正确的编号是（ ） A ．②④B ．①④⑤C ．③④D ．②③⑤12．已知三棱锥S ABC -的体积为3，SC 的中点O 为三棱锥S ABC -外接球球心，且SC ⊥平面OAB ，OA AB =，则球O 的体积为（ ） A ．36π B ．43π C ．323π D ．92π第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．tan15︒的值是___________14．已知函数()y f x x =+是偶函数，且()31f =，则()3f -=______.15．已知点()3,0A ，抛物线C ：24x y =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|MNFM=______. 16．若等差数列{}n a 的满足27a =，519a =且212n a a a an bn +++=+则ab =______.三、解答题17．在ABC ∆中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且sinsin 2B Cb a B +=，sin 3sin C B =，（Ⅰ）求A ； sin A18．如图所示，在几何体ABCDE 中，AB AC ⊥，DC ⊥平面ABC ，BE CD ∥，3AB =，2AC BE ==，12CD BE =.（Ⅰ）求多面体ABCDE 的体积；（Ⅱ）设平面ABE 与平面ACD 的交线为直线l ，求证：l ∥平面BCDE .19．某高中为了了解高三学生每天自主参加体育锻炼的情况，随机抽取了100名学生进行调查，其中女生有55名.下面是根据调查结果绘制的学生自主参加体育锻炼时间的频率分布直方图：将每天自主参加体育锻炼时间不低于40分钟的学生称为体育健康A 类学生，已知体育健康A 类学生中有10名女生.（Ⅰ）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并据此资料你是否认为达到体育健康A 类学生与性别有关？（Ⅱ）将每天自主参加体育锻炼时间不低于50分钟的学生称为体育健康A +类学生，已知体育健康A +类学生中有2名女生，若从体育健康A +类学生中任意选取2人，求至少有1名女生的概率. 附：()()()()()22n ad bc k a c b d c d a b -=++++ 20．如图，设F 是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点，直线：2a x c =-与x轴交于P 点，AB 为椭圆的长轴，已知8AB =，且2PA AF =，过点P 作斜率为14直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N .（Ⅰ）求MN ；（Ⅱ）证明：MFA NFB ∠=∠.21．设函数()ln f x a x x =+，()xg x e x =+（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；22．在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）.设P 为曲线C 上的动点，（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求点P 到直线l 的距离的最小值. 23．设a 、b 、c 均为正数，（Ⅰ）证明：222a b c ab bc ca ++≥++； （Ⅱ）若1ab bc ca ++=，证明a b c ++≥参考答案1．C 【解析】 【分析】直接利用补集的定义求解. 【详解】 由题得UA{}2,4,5,6.故选：C 【点睛】本题主要考查补集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】先化简复数z ，再求1z +得解. 【详解】 由题得211)==12i i zi i （， 所以112z i +=-=故选：B 【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3．B 【解析】 【分析】先求出0a b ⋅=，再利用向量的夹角公式求解. 【详解】由2a b +=，2a b -=平方相减可得0a b ⋅=，所以()2+1cos =22a b b a b b a b bθ+⋅⋅==+⋅，因为[0,]θπ∈， 所以3πθ=.故选：B 【点睛】本题主要考查向量的数量积计算和向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．A 【解析】【分析】由题得2c a =,再根据222c a b =+即得双曲线的渐近线方程. 【详解】 由题得c e c a ==∴=. 因为222c a b =+ 所以22254a ab =+ 所以12b a =， 所以双曲线的渐近线方程为12y x =±. 故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质和渐近线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5．C 【解析】 【分析】先根据条件画出可行域，设3z x y =-，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最大，只需求出直线3z x y =-，过可行域内的点A 时的最小值，从而得到z 最小值即可． 【详解】变量x ，y 满足约束条件240220410x y x y x y +-⎧⎪+-⎨⎪-+⎩，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线30x y -=经过点1(2A ，3)时，3x y -最小，最小值为32-，则目标函数3z x y =-的最小值为32-． 故选：C ． 【点睛】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定． 6．B 【解析】 【分析】根据235log log log t x y z ===即可得出122t x +=，133t y +=，155t z +=，根据2t <-得出10t +<，从而根据幂函数1t y x +=的单调性即可判断2x ，3y 和5z 的大小关系．【详解】235log log log t x y z ===，2t x ∴=，122t x +=，3t y =，133t y +=，5t z =，155t z +=，2t <-，10t ∴+<，1t y x +∴=单调递减，111532t t t +++∴<<， 532z y x ∴<<．故选：B ． 【点睛】本题考查了对数式和指数式的互化、指数式的运算、幂函数的单调性，考查了推理和计算能力，属于基础题． 7．B 【解析】试题分析：从甲乙等5名学生中随机选出2人，基本事件的总数为2510n C ==，甲被选中包含的基本事件的个数11144m C C ==，所以甲被选中的概率25m p n ==，故选B ． 考点：古典概型及其概率的计算． 8．A 【解析】 【分析】利用平面的公理直接判断求解． 【详解】A 不是公理，在B 中，由公理三知：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故B 是公理．在C 中，由公理一知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故C 是公理；在D 中，由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故D 是公理； 故选：A ．【点睛】本题考查平面的公理的判断，考查平面的基本性质及其推论等基础知识，是基础题． 9．B 【解析】根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ． 10．D 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可． 【详解】当2n 时，111112(1)22n n n n n n n n n S S S S S S S a a +-+-++=+⇒-=-+⇒=+．所以数列{}n a 从第2项起为等差数列，1,122,2n n a n n =⎧=⎨-⎩，所以，46a =，1018a =． 21()(1)(1)12n n a a n S a n n +-=+=-+，1616151241S =⨯+=，2020191381S =⨯+=．故选：D ． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 11．C 【解析】 【分析】化简函数()2|cos |sin sin 2f x x x x =+，通过4()()33f f ππ≠，判断①；通过35()()44f f ππ-≠，判断()f x 的图象不关于直线4x π=对称，判断②；在区间[4π-，]4π上，2[,]22x ππ∈-，化简函数的解析式，判断单调性单调递增，判断③；当cos 0x 时，推出()2sin 2f x x =，求出最值，当cos 0x <时，求出最值判断④；当cos 0x时，()0f x =，在区间[2π-，2]π上有无数个零点，判断⑤． 【详解】()()2cos cos sin 2cos sin sin 2f x x x x x x x =+⋅=+函数3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭403f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴433f f ππ⎛⎫⎛⎫≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 的最小正周期不是π，故①错误. 由于324f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，504f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴3544f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 的图象不关于直线4x π=对称，故排除②.在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，2,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()2cos sin sin 22sin 2f x x x x x =+=，单调递增，故③正确.当cos 0x ≥时，()2cos sin sin 22sin cos sin 22sin 2f x x x x x x x x =+=+=， 故它的最大值为2，最小值为2-；当cos 0x <时，()2cos sin sin 22sin cos sin 20f x x x x x x x =+=-+=，综合可得，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，故④正确.当cos 0x ≤时，()0f x =，在区间[]2,2ππ-上有无数个零点，故⑤错误. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的化简求值、函数的单调性以及函数的对称性，考查函数的最值，考查分析问题解决问题的能力，是中档题． 12．C 【解析】 【分析】OAB ∆为等边三角形，边长为球的半径R ，三棱锥S ABC -的体积114333OAB OAB V S OC S OS ∆∆=+=，解得2R =，由此能求出球的体积． 【详解】OAB ∆为等边三角形，边长为球的半径R ，三棱锥S ABC -的体积： 1133OAB OAB V S OC S OS ∆∆=+2112sin 6032R R =⨯⨯⨯⨯︒⨯=， 解得2R =，∴球的体积为3432233V ππ'=⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查球的体积的求法，考查三棱锥及其外接球等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．13．2- 【解析】 【分析】因为()tan15tan 6045︒=︒-︒，利用两角差的正切公式即可求出结果. 【详解】()tan 60tan 45tan15tan 604521tan 60tan 45︒-︒︒=︒-︒===+︒⋅︒故答案为：2. 【点睛】本题考查了两角差的正切公式的应用，属于基础题.14．7 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质，建立方程关系进行求解即可． 【详解】函数()y f x x =+是偶函数， ()()f x x f x x ∴--=+，即()()2f x f x x -=+， f （3）1=，(3)f f ∴-=（3）23167+⨯=+=，故答案为：7． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质建立方程公式是解决本题的关键．15 【解析】 【分析】结合已知条件画出图形，利用比例关系转化为解三角形的问题，推出结果即可． 【详解】焦点为(0,1)F ，过点M 作准线的垂线MH ， 则FM MH =，如图：所以||||11||||||sin sin ||MN MN FA FM HM HNM MAO FO ======∠∠．．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题． 16．2 【解析】 【分析】利用已知条件求出数列的首项与公差，然后求解数列的和，推出a ，b ，即可得到结果． 【详解】等差数列{}n a 的满足27a =，519a =， 可得117419a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13a =，4d =，2212(1)3422n n n n S a a a n n n an bn -=++⋯+=+⨯=+=+，可知2a =，1b =． 所以2ab =． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查等差数列的应用和数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基本知识的考查． 17．（Ⅰ）3A π=【解析】 【分析】（Ⅰ）由三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，二倍角公式化简已知等式可得1sin22A =，结合范围0A π<<，解得3A π=．（Ⅱ）由正弦定理可得3c b =，由余弦定理可得a c =，进而利用正弦定理即可求解sin sin sin AB C的值．【详解】（Ⅰ）由三角形内角和定理可得22B C Aπ+-=， 此时sinsin 2B C b a B +=，变形可得sin()sin 22Ab a B π-=，由诱导公式可得sin()cos 222A Aπ-=，所以cossin 2Ab a B =， 由正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，可得sin cos sin sin 2AB A B =， 即cossin 2AA =， 由二倍角公式可得sin 2sin cos 22A A A =， 所以1sin22A =， 因为0A π<<，解得3A π=．（Ⅱ）因为sin 3sin C B =， 由正弦定理可得3c b =，由余弦定理得22222211172cos ()23329a b c bc A c c c c c =+-=+-=，故3a c=， 由正弦定理得2227sin 191sin sin sin sin sin sin 3333c A sin A a B C A B C A bc c c ===== 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、诱导公式、正弦定理、二倍角公式和余弦定理的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 18．（Ⅰ）3（Ⅱ）见解析 【解析】【分析】（Ⅰ）过点A 作BC 的垂线AF ，交BC 于点F ，则AF BC ⊥，推导出AF CD ⊥，从而AF ⊥平面BCDE ，由此能求出四棱锥ABCDE 的体积．（Ⅱ）推导出//CD BE ，从而//CD 平面ABE ，由平面ABE 平面ACD l =，得//CD l ，由此能证明//l 平面BCDE ．【详解】（Ⅰ）解：过点A 作BC 的垂线AF ，交BC 于点F ， 则AF BC ⊥，又因为DC ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ， 所以AF CD ⊥， 又CDBC C =，所以AF⊥平面BCDE ，由AB AC ⊥，3AB =，2AC BE ==，112CD BE ==．BC =，1122ABC S AB AC BC AF ∆=⨯⨯=⨯， 解得AB AC AF BC ⨯=，()2BCDE CD BE BC S +==，四棱锥ABCDE 的体积11333BCDE V S AF ==⨯=． （Ⅱ）证明：因为CD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ， 所以//CD BE ，又因为CD ⊂/平面ABE ，BE ⊂平面ABE ， 所以//CD 平面ABE ， 平面ABE平面ACD l =，则//CD l ，又l ⊂/平面BCDE ，CD ⊂平面BCDE ，所以//l 平面BCDE ．【点睛】本题考查四棱锥的体积的求法，考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．（Ⅰ）见解析，没有理由认为达到体育健康A 类学生与性别有关（Ⅱ）710【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅱ）由题意利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值． 【详解】（Ⅰ）由频率颁布直方图可知，在抽取的100人中，体育健康A 类学生有25人，从而22⨯列联表如下：由22⨯列联表中数据代入公式计算，得：22100(30104515)100 3.030 3.8417525455533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯；所以没有理由认为达到体育健康A 类学生与性别有关．（Ⅱ）由频率分布直方图可知，体育健康A +类学生为5人，记a 、b 、c 表示男生，D 、E 表示女生，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为{ab Ω=，ac ，aD ，aE ，bc ，bD ，bE ，cD ，cE ，}DE ；Ω由10个基本事件组成，而且这些事件的出现是等可能的．用A 表示“任选2人中至少有1名是女生”这一事件，则 {A aD =，aE ，bD ，bE ，cD ，cE ，}DE 共计7种；故所求的概率值为P =（A ）710=． 【点睛】本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题． 20．（Ⅰ）13【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意，求得椭圆方程，设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得||MN ；（Ⅱ）由（Ⅰ）证明以0MF NF k k +=，即可证明MFA NFB ∠=∠． 【详解】（Ⅰ）因为||8AB =，所以4a =，又因为||2||PA AF =， 所以12e =，则2c =，22212b a c =-=， 所以椭圆的标准方程为2211612x y +=，点P 的坐标为(8,0)-，点F 的坐标为(2,0)-，直线l 的方程为1(8)4y x =+，即48x y =-，1(M x ，1)y ，1(N x ，1)y ，联立方程组224811612x y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得21348360y y -+=，则124813y y +=，123613y y =，||MN ===，所以||MN =； （Ⅱ）证明： 由1212121212121286()224646(46)(46)MF NF y y y y y y y y k k x x y y y y -++=+=+=++----， 而1212483686()8601313y y y y -+=⨯-⨯=， 所以0MF NF k k +=，从而MFA NFB ∠=∠．得证． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理和弦长公式公式的应用，考查利用斜率证明角相等的方法，考查转化思想，属于中档题． 21．（Ⅰ）见解析，（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a 进行分类讨论，可求函数的单调性； （Ⅱ）把2a =代入可得()h x ，对()h x 求导，结合导数与单调性的关系及函数的零点判定定理可求()h x 的最大值，结合不等式的恒成立与最值的相互转化关系可证． 【详解】（Ⅰ）alnx x +，0x >，()1a a xf x x x+∴'=+=， 当0a 时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a <时，令()0f x ∴'=可得x a =-， 当()0f x ∴'>时，解得x a >-， 令()0f x ∴'<可得，0x a <<-，所以函数()f x 在(,)a -+∞上单调递增，在(0,)a -上单调递减， （Ⅱ）()()()xh x f x g x alnx e =-=-， 当2a =时()2xh x lnx e =-，2()xh x e x'=-，令2()x y h x e x ='=-，则220x y e x'=--<， 所以()h x '在(0,)+∞上单调递减． 取112x =，21x =，则1()402h '=>，h '（1）20e =-<， 所以函数()h x '存在唯一的零点01(,1)2x ∈， 即0002()0x h x e x '=-=， 所以当0(0,)x x ∈，()0h x '>，当0(x x ∈，)+∞，()0h x '<，故函数()h x 在0(0,)x 单调递增，在0(x ，)+∞单调递减，所以当0x x =时，函数()h x 取得极大值，也是最大值000()2x h x lnx e =-， 由0020x e x -=可得002x e x =， 两边同时取对数可得，002x ln lnx =-，所以002lnx ln x =-， 故000000021()22(2)222()x h x lnx e ln x ln x x x =-=--=-+， 由基本不等式可得0000112?2x x x x +=，因为01(,1)2x ∈， 所以0012x x +>， 所以0001()222()224h x ln x ln x =-+<-， 又因为0()()h x h x 即()224h x ln <-，所以当2a =时，()224h x ln <-成立．【点睛】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题．22．（Ⅰ）280x y -+=，24y x =【解析】【分析】（Ⅰ）由直线l 的参数方程为8(2x t t t y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数t ，可得普通方程．由曲线C的参数方程为22(x s s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．消去参数s ，可得曲线C 直角坐标方程．（Ⅱ）设点(,)P x y，则22(x s s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．利用点到直线的距离公式可得：d ==，利用二次函数的单调性即可得出最小值．【详解】（Ⅰ）由直线l 的参数方程为8(2x t t t y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数t ，可得：280x y -+=． 所以直线l 直角坐标方程为280x y -+=．由曲线C的参数方程为22(x s s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．消去参数s ，可得：24y x =． 所以曲线C 直角坐标方程为24y x =．（Ⅱ）设点(,)P x y，则22(x s s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．则45d === 当s =4x =，4y =，所以点P 到直线l 的距离的最小值为5． 【点睛】本题考查了参数方程、点到直线的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）运用重要不等式222a b ab +，222b c bc +，222c a ca +，累加可得证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论和三个数的完全平方公式，整理可得证明．【详解】（Ⅰ）因为a ，b ，c 均为正数，由重要不等式可得222a b ab +，222b c bc +，222c a ca +，以上三式相加可得222222222a b b c c a ab bc ca +++++++，即222a b c ab bc ca ++++；（Ⅱ）因为1ab bc ca ++=，由（Ⅰ）可知2221a b c ++，故2222()222123a b c a b c ab bc ca ++=++++++=， 所以3a b c++得证． 【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和变形，考查推理能力，属于基础题．。

姓名，年级：时间：数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60。

0分)1.若集合，，则为A. B。

C. D.2.已知是的共轭复数，则A。

B。

C. D。

1 3.空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数,AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI指数值空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市10月1日日AQI指数变化趋势:下列叙述错误的是A. 这20天中AQI指数值的中位数略高于100B。

这20天中的中度污染及以上的天数占C。

该市10月的前半个月的空气质量越来越好D. 总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于A。

30B. 31C. 62D。

635.设向量,,，且，则A. 3 B。

2 C。

D.6.已知函数是定义在R上的偶函数，当，,则，,的大小关系为A。

B。

C。

D.7.“直线：与直线：平行"是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D。

既不充分也不必要条件8.已知函数，则函数的图象大致为A. B.C。

D.9.九章算术中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三形两直角边分别为5步和12步,问其内切圆的直径为多少？"现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是A. B。

C. D。

10.已知双曲线的左右焦点分别为，，M为双曲线上一点，若，，则此双曲线渐近线方程为A. B。

C. D.11.在各项都为正数的等比数列中，若，且，则数列的前n项和是A。

B。

C。

D。

12.已知定义在R上的函数满足，当时，若关于x的方程有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是A。

B. C。

D。

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设等差数列的前n项和为,且，若，则______．14.曲线在点处的切线方程为______．15.设函数的图象与y轴交点的纵坐标为，y轴右侧第一个最低点的横坐标为，则的值为______．16.如图，在边长为2的正方形中，边，的中点分别为B，C现将，，分别沿AB,BC，CA折起使点,，重合，重合后记为点P，得到三棱锥则三棱锥的外接球体积为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本单位：元与印刷册数单位：千册之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表．印刷册数千册23458单册成本元2根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到了两个回归方程，方程甲：，方程乙:．Ⅰ为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务．完成下表计算结果精确到；印刷册数千册23458单册成本元2模型甲估计值残值模型乙估计值2残值00分别计算模型甲与模型乙的残差平方和和，并通过比较,的大小，判断哪个模型拟合效果更好．Ⅱ该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷．根据市场调查,新需求量为10千册，若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，试估计印刷厂二次印刷获得的利润．按Ⅰ中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知求角A;若，的周长为，求的面积．19.如图，在直三棱柱中,平面，其垂足D落在直线上．Ⅰ求证：；Ⅱ若P是线段AC上一点，，,三棱锥的体积为，求的值．20.设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点，且离心率为，F为E的右焦点，P为E上一点，轴，的半径为PF．求E和的方程；若直线l：与交于A,B两点，与E交于C,D两点，其中A,C在第一象限，是否存在k使？若存在,求l的方程：若不存在,说明理由．21.已知函数．当时，讨论的导函数的单调性；当时,，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，已知点,曲线C的参数方其中a为参数以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线l的极坐标方程为．试写出曲线C的普通方程和曲线l的直角坐标方程．设曲线l与曲线C交于P，Q两点，试求的值．23.设函数，．解不等式;若对于任意，都存在，使得成立，试求实数a的取值范围．答案和解析1。

2020年安徽省安庆市⽰范⾼中⾼考数学模拟试卷（⽂科）（5⽉份）（解析版）2020年⾼考（⽂科）数学（5⽉份）模拟试卷⼀、选择题（共12⼩题）.1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2，x∈Z}，B＝{x|2x＜1}，则集合A∩B的⼦集个数为（）A．1B．2C．3D．42．若复数z＝（i是虚数单位），则z在复平⾯内对应的点在（）A．第四象限B．第三象限C．第⼆象限D．第⼀象限3．若平⾯向量＝（2，0），﹣＝（1，﹣），则?＝（）A．3+B．2C．1﹣D．24．某单位统计了本单位的职⼯⼀天⾏⾛步数（单位：百步）得到如图频率分布直⽅图：估计该单位职⼯⼀天⾏⾛步数的平均值为（同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值为代表）（）A．125B．125.6C．124D．1265．已知项数为奇数的等⽐数列{a n}的⾸项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等⽐数列的项数为（）A．5B．7C．9D．116．古代《冰糖葫芦》算法题：⼀个⼩摊上摆满了五彩缤纷的“冰糖葫芦”，“冰糖葫芦”制作有两种，⼀种是5个⼭楂；另⼀种是2个⼭楂、3个⼩桔⼦．若⼩摊上⼭楂共640个，⼩桔⼦共360个，现从⼩摊上随机选取⼀个“冰糖葫芦”，则这个“冰糖葫芦”是5个⼭楂的概率为（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.67．已知函数f（x）＝2|x|+|x|﹣3，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．（﹣1，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）8．我国古代数学专著《九章算术》⽤“更相减损术”求两个正整数的最⼤公约数是⼀个伟⼤创举，这个伟⼤创举与古⽼的算法“辗转相除法”实质⼀样，如图的程序框图既源于“辗转相除法”．当输⼊a＝1081，b＝805时，输出的a＝（）A．7B．11C．23D．479．已知函数f（x）＝2cos（sin（ω＞0），若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数f（x）的图象关于直线x＝ω对称，将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）任意两个不同零点之差的绝对值得最⼩值为（）A．B．πC．3D．3π10．COVID﹣19是⼀种新型冠状病毒（因其表⾯有类似王冠上的突起⽽得名），感染者在潜伏期便已具备传染能⼒．为⽅便病⼈的转移及隔离，某企业设计了⼀种微型全封闭有底的隔离舱，其三视图如图所⽰（单位：m），其中正视图的上半部分是⼀段圆弧，则该隔离舱的表⾯积为（）A．3B．3C．D．11．已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线C的右⽀交于A，B两点，设点H（x H，y H），G（x G，y G）分别为△AF1F2，△BF1F2的内⼼，若|y H|＝3|y G|，则|HG|＝（）A．2B．3C．3D．412．下列命题为真命题的是（）①1nπ＞1n2 ②π＞e③sin3＜sin4 ④sin1＞A．①④B．②④C．②③D．①②④⼆、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．13．已知函数f（x）＝的图象在点（1，f（1））处的切线⽅程为．14．已知变量x，y满⾜不等式组则z＝x+3y的最⼤值为．15．已知椭圆E：＝1（m＞0）的右焦点为F，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆E的⽅程为．16．已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝1，AF⊥平⾯ABCD，且AF＝3，E为线段DC 上⼀点，沿直线AE将△DAE翻折成△D'AE，M为BD'的中点，则三棱锥M﹣BCF体积的最⼩值是．三、解答题：共70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考⽣都必须作答．第22、23题为选考题，考⽣根据要求作答．（⼀）必考题：共60分．17．在3+1+2的新⾼考模式下，某学校计划在⾼⼀下学期开设“物理”和“历史”两个选修科⽬．为了了解学⽣对这两个科⽬的选课意向，以便提前规划教育资源，教务处从⾼⼀年级500名学⽣（其中男⽣200⼈，⼥⽣300⼈）中，采⽤分层抽样的⽅法从中抽取部分学⽣进⾏调查．其中，⼥⽣⽐男⽣多抽取20⼈．（1）请问总共抽取了多少名学⽣进⾏调查；（2）新⾼考模式要求每名学⽣在“物理”和“历史”这两个科⽬中必须选择⼀个科⽬且只能选择⼀个科⽬，下表是根据调查结果得到的⼀个不完整的列联表，请将下⾯的列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为选择科⽬与性别有关？选择“物理”选择“历史”总计男⽣⼥⽣25总计55附：．P（K2≥k e）0.050.010.0050.001k e 3.841 6.6357.87910.82818．在△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）当cos B＝时，求的值；（2）在（1）的条件下，若，且△ACD的⾯积为，求△ABC的周长．19．如图，已知AB⊥平⾯ACD，DE⊥平⾯ACD，△ACD 是边长为2的正三⾓形，F是CD的中点，且BC＝BE＝．（1）求证：AF∥平⾯BCE；（2）求点D到平⾯BCE的距离．20．已知抛物线C：y2＝2px上⼀点M（，y0）到其焦点F的距离等于．（1）求抛物线C的标准⽅程；（2）若不垂直于x轴的直线l交抛物线C于A，B两点，直线FA与FB的倾斜⾓互补，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．21．已知函数f（x）＝e2x+2ae x+2ax，其中a＜0．（1）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线⽅程；（2）若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x）≥0恒成⽴，求实数a的取值范围．（⼆）选考题：共10分．请考⽣在第22、23两题中任选⼀题作答．如果多做，则按所做的第⼀题计分．（本⼩题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数⽅程]22．在平⾯直⾓坐标系xOy中，直线l的参数⽅程是，（t是参数，，曲线C1的参数⽅程是（φ为参数）．以O为极点，x轴的⾮负半轴为极轴且取相同的单位长度建⽴极坐标系，曲线C2的极坐标⽅程是ρ＝4b sinθ．（1）求直线l及曲线C1的极坐标⽅程；（2）若，l与C1交于O，M两点，l与C2交于O，N两点，求|OM||ON|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（本⼩题满分0分）23．已知函数f（x）＝|3x+m|﹣2m（m∈R）．（1）当m＝﹣1时，求不等式f（x）＜10的解集；（2）若?x∈R，f（x）+3|x﹣1|≥5恒成⽴，求实数m的取值范围．参考答案⼀、选择题：本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2，x∈Z}，B＝{x|2x＜1}，则集合A∩B的⼦集个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】求出集合A，B，从⽽求出集合A∩B，由此能求出集合A∩B的⼦集个数．解：∵集合A＝{x|﹣1≤x≤2，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|2x＜1}＝{x|x＜0}，∴集合A∩B＝{﹣1}，∴集合A∩B的⼦集个数为2．故选：B．2．若复数z＝（i是虚数单位），则z在复平⾯内对应的点在（）A．第四象限B．第三象限C．第⼆象限D．第⼀象限【分析】利⽤复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解：∵z＝＝，∴z在复平⾯内对应的点的坐标为（），在第⼆象限．故选：C．3．若平⾯向量＝（2，0），﹣＝（1，﹣），则?＝（）A．3+B．2C．1﹣D．2【分析】利⽤已知条件求出，然后求解向量的数量积即可．解：平⾯向量＝（2，0），﹣＝（1，﹣），可得＝（1，），所以?＝（2，0）?（1，）＝2．故选：B．4．某单位统计了本单位的职⼯⼀天⾏⾛步数（单位：百步）得到如图频率分布直⽅图：估计该单位职⼯⼀天⾏⾛步数的平均值为（同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值为代表）（）A．125B．125.6C．124D．126【分析】由频率分布直⽅图能估计该单位职⼯⼀天⾏⾛步数的平均值．解：由频率分布直⽅图：估计该单位职⼯⼀天⾏⾛步数的平均值为：＝60×0.002×20+80×0.006×20+100×0.008×20+120×0.012×20+140×0.010×20+160×0.008×20+180×0.002×20+200×0.002×20＝125.6．故选：B．5．已知项数为奇数的等⽐数列{a n}的⾸项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等⽐数列的项数为（）A．5B．7C．9D．11【分析】根据题意，设a n＝a1?q n﹣1＝q n﹣1，由等⽐数列的前n项和公式可得q的值，进⽽求得结论．解：根据题意，数列{a n}为等⽐数列，设a n＝a1?q n﹣1＝q n﹣1，⼜由数列{a n}的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则q＝＝2，故s n＝21+10＝?2n﹣1＝31?n＝5；故选：A．6．古代《冰糖葫芦》算法题：⼀个⼩摊上摆满了五彩缤纷的“冰糖葫芦”，“冰糖葫芦”制作有两种，⼀种是5个⼭楂；另⼀种是2个⼭楂、3个⼩桔⼦．若⼩摊上⼭楂共640个，⼩桔⼦共360个，现从⼩摊上随机选取⼀个“冰糖葫芦”，则这个“冰糖葫芦”是5个⼭楂的概率为（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6【分析】设5个⼭楂的“冰糖葫芦”有x个，2个⼭楂、3个⼩桔⼦的“冰糖葫芦”有y 个，列出⽅程组求出x＝80，y＝120，基本事件总数n＝80+120＝200，这个“冰糖葫芦”是5个⼭楂包含的基本事件个数m＝80，由此能求出这个“冰糖葫芦”是5个⼭楂的概率．解：设5个⼭楂的“冰糖葫芦”有x个，2个⼭楂、3个⼩桔⼦的“冰糖葫芦”有y个，则，解得x＝80，y＝120，基本事件总数n＝80+120＝200，这个“冰糖葫芦”是5个⼭楂包含的基本事件个数m＝80，则这个“冰糖葫芦”是5个⼭楂的概率为P＝．故选：B．7．已知函数f（x）＝2|x|+|x|﹣3，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．（﹣1，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【分析】由f（x）＝2|x|+|x|﹣3＞0，得2|x|＞﹣|x|+3，作出函数y＝2|x|与y＝﹣|x|+3的图象，数形结合得答案．解：由f（x）＝2|x|+|x|﹣3＞0，得2|x|＞﹣|x|+3，作出函数y＝2|x|与y＝﹣|x|+3的图象如图，当x＞0时，由2|x|＞﹣|x|+3，得2x＞﹣x+3，再令g（x）＝2x+x﹣3，当x＞0时，该函数为增函数，⽽g（1）＝0，∴x＞0时，函数y＝2|x|与y＝﹣|x|+3的图象的交点的横坐标为1，由对称性可得，x＜0时，函数y＝2|x|与y＝﹣|x|+3的图象的交点的横坐标为﹣1，由图可知，不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故选：C．8．我国古代数学专著《九章算术》⽤“更相减损术”求两个正整数的最⼤公约数是⼀个伟⼤创举，这个伟⼤创举与古⽼的算法“辗转相除法”实质⼀样，如图的程序框图既源于“辗转相除法”．当输⼊a＝1081，b＝805时，输出的a＝（）A．7B．11C．23D．47【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利⽤循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运⾏过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序框图的运⾏过程，如下；a＝1081，b＝805，执⾏循环体，r＝276，a＝805，b＝276，不满⾜退出循环的条件，执⾏循环体，r＝253，a＝276，b＝253，不满⾜退出循环的条件，执⾏循环体，r＝23，a＝253，b＝23，不满⾜退出循环的条件，执⾏循环体，r＝0，a＝23，b＝0，此时，满⾜退出循环的条件r＝0，退出循环，输出a的值为23．故选：C．9．已知函数f（x）＝2cos（sin（ω＞0），若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数f（x）的图象关于直线x＝ω对称，将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）任意两个不同零点之差的绝对值得最⼩值为（）A．B．πC．3D．3π【分析】由题意利⽤三⾓恒等变换化简f（x）的解析式，再根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，结合正弦函数的周期性和零点，求出函数g（x）任意两个不同零点之差的绝对值得最⼩值．解：∵函数f（x）＝2cos（sin＝sinωx+cosωx+1＝sin （ωx+）+1（ω＞0），若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ωx+∈（﹣ω2+，ω2+），∴﹣ω2+≥﹣，ω2+≤，求得ω≤．⼜函数f（x）的图象关于直线x＝ω对称，∴ω2+＝kπ+，即ω＝，∴ω＝，f（x）＝sin（x+）+1．将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）＝sin（x++）+1＝sin（x+）+1的图象．令g（x）＝0，求得sin（x+）＝﹣，则函数g（x）任意两个不同零点之差的绝对值得最⼩值为＝?＝，故选：A．10．COVID﹣19是⼀种新型冠状病毒（因其表⾯有类似王冠上的突起⽽得名），感染者在潜伏期便已具备传染能⼒．为⽅便病⼈的转移及隔离，某企业设计了⼀种微型全封闭有底的隔离舱，其三视图如图所⽰（单位：m），其中正视图的上半部分是⼀段圆弧，则该隔离舱的表⾯积为（）A．3B．3C．D．【分析】⾸先把三视图转换为直观图，进⼀步求出⼏何体的表⾯积．解：根据⼏何体的三视图转换为直观图为：该⼏何体为由圆柱的⼀部分和四棱柱体构成的组合体．如图所⽰：所以侧⾯的弧半径为：r＝，该⼏何体的表⾯积为：S═+2×+＝．故选：C．11．已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线C 的右⽀交于A，B两点，设点H（x H，yH），G（x G，y G）分别为△AF1F2，△BF1F2的内⼼，若|y H|＝3|y G|，则|HG|＝（）A．2B．3C．3D．4【分析】不妨设直线AB的斜率⼤于0，连接HG，HF2，GF2，设△AF1F2的内切圆与三边的交点分别为D，E，F，运⽤切线的性质和双曲线的定义，求得G，H的横坐标为a，结合直⾓三⾓形的正切函数的定义和⼆倍⾓公式，计算可得所求值．解：不妨设直线AB的斜率⼤于0，连接HG，HF2，GF2，设△AF1F2的内切圆与三边的交点分别为D，E，F，则|AF1|﹣|AF2|＝|AD|+|DF1|﹣（|AE|+|EF2|）﹣|DF1|﹣|EF2|＝|F1F|﹣|FF2|，即为2a＝c+x H﹣（c﹣x H），可得x H＝a，同理可得x G＝a，则HG⊥F1F2，在直⾓三⾓形F2FG中，|FG|＝|FF2|tan＝（c﹣a）tan，在直⾓三⾓形F2FH中，|FH|＝|FF2|tan（﹣θ）＝（c﹣a）tan（﹣θ），⼜|y H|＝3|y G|，所以|FH|＝3|HG|，即（c﹣a）tan（﹣θ）＝＝3（c﹣a）tan，解得tan＝，tanθ＝＝，可得θ＝，所以|HG|＝4|FG|＝4（2﹣）tan＝4，故选：D．12．下列命题为真命题的是（）①1nπ＞1n2 ②π＞e③sin3＜sin4 ④sin1＞A．①④B．②④C．②③D．①②④【分析】构造函数f（x）＝lnx﹣ln2，根据函数单调性判断①，构造函数f（x）＝lnx ﹣，根据函数单调性判断②，根据正弦函数单调性判断③，作差，提公因式，再根据余弦函数单调性判断④．解：（1）令f（x）＝lnx﹣?ln2，则f′（x）＝﹣＝，∴当0＜x＜4时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，4）上单调递增，∴f（π）＜f（4），即lnπ﹣ln2＜0，故lnπ＜ln2，故①错误；（2）令f（x）＝lnx﹣，则f′（x）＝﹣＝，∴当0＜x＜4e时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，4e）上单调递增，∴f（π）＞f（e），即lnπ﹣＞0，即lnπ＞，故π＞e，故②正确；（3）令f（x）＝sin x，则f（x）在（，）上单调递减，⼜＜3＜4＜，∴sin3＞sin4，故③错误；（4）sin1﹣sin＝sin（2cos﹣），∵y＝cos x在（0，）上是减函数，∴cos＞cos＝＞，∴2cos﹣＞0，⼜sin＞0，∴sin1﹣sin＞0，即sin1＞sin，故④正确．故选：B．⼆、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．13．已知函数f（x）＝的图象在点（1，f（1））处的切线⽅程为y＝3x﹣4．【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，求得切点，由点斜式⽅程可得所求切线的⽅程．解：函数f（x）＝的导数为f′（x）＝，可得f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为k＝1+2＝3，⼜f（1）＝﹣1，则切线的⽅程为y+1＝3（x﹣1），即为y＝3x﹣4．故答案为：y＝3x﹣4．14．已知变量x，y满⾜不等式组则z＝x+3y的最⼤值为．【分析】作出不等式组对应的平⾯区域，利⽤⽬标函数的⼏何意义进⾏求解即可．解：作出不等式组对应的平⾯区域如图：由z＝x+3y得y＝﹣+，平移直线y＝﹣+，由图象知当直线经过A点时直线的纵截距最⼤，此时z最⼤，由，得A（，），此时z＝+3×＝，即⽬标函数的最⼤值为，故答案为：．15．已知椭圆E：＝1（m＞0）的右焦点为F，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆E的⽅程为．【分析】由题意可知，点F（，0），所以直线AB的斜率为，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），利⽤点差法可得，＝＝k，从⽽求得m的值，再代⼊椭圆E的⽅程中即可得解．解：由题意可知，点F（，0），所以直线AB的斜率为，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，两式相减，整理得，＝，所以＝，解得m＝9，∴椭圆E的⽅程为．故答案为：．16．已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝1，AF⊥平⾯ABCD，且AF＝3，E为线段DC 上⼀点，沿直线AE将△DAE翻折成△D'AE，M为BD'的中点，则三棱锥M﹣BCF体积的最⼩值是．【分析】由题意画出图形，可得△BCF的⾯积为定值，求出D′到平⾯BCF的最⼩值，可得M到平⾯BCF的最⼩值，则三棱锥M ﹣BCF的体积的最⼩值可求．解：三棱锥M﹣BCF的底⾯三⾓形BCF是固定的，⼜AF⊥底⾯ABC，BC?平⾯ABC，∴AF⊥BC，⼜在矩形ABCD中，BC⊥AB，AB∩AF＝A，∴BC⊥平⾯ABF，⼜BF?平⾯ABF，∴BF⊥BC．∴＝．要求三棱锥M﹣BCF体积的最⼩值，只需求点M到平⾯BCF距离的最⼩值h即可．∵M为BD'的中点，∴点M到平⾯BCF的距离等于D′到底⾯BCF距离h′的⼀半．∵E为DC上的动点，且AD′＝1，∴D′的轨迹为以A为球⼼，以为半径的球⾯的⼀部分，作AG⊥BF，交BF于G，当D′为AG与球⾯的交点时，h′最⼩，此时h′＝AG﹣AD′＝，∴V M﹣BCF≥＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考⽣都必须作答．第22、23题为选考题，考⽣根据要求作答．（⼀）必考题：共60分．17．在3+1+2的新⾼考模式下，某学校计划在⾼⼀下学期开设“物理”和“历史”两个选修科⽬．为了了解学⽣对这两个科⽬的选课意向，以便提前规划教育资源，教务处从⾼⼀年级500名学⽣（其中男⽣200⼈，⼥⽣300⼈）中，采⽤分层抽样的⽅法从中抽取部分学⽣进⾏调查．其中，⼥⽣⽐男⽣多抽取20⼈．（1）请问总共抽取了多少名学⽣进⾏调查；（2）新⾼考模式要求每名学⽣在“物理”和“历史”这两个科⽬中必须选择⼀个科⽬且只能选择⼀个科⽬，下表是根据调查结果得到的⼀个不完整的列联表，请将下⾯的列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为选择科⽬与性别有关？选择“物理”选择“历史”总计男⽣⼥⽣25总计55附：．P（K2≥k e）0.050.010.0050.001k e 3.841 6.6357.87910.828【分析】（1）设⼥⽣抽取x⼈，则男⽣抽取（x﹣20）⼈，利⽤抽样⽐例列⽅程求出即可；（2）根据题意补充完整列联表，计算K2，对照数表得出结论．解：（1）设⼥⽣抽取x⼈，则男⽣抽取（x﹣20）⼈，则x：（x﹣20）＝3：2，解得x＝60，所以总共抽取了60+（60﹣20）＝100（⼈）；（2）根据题意补充完整列联表如下；选择“物理”选择“历史”总计男⽣301040⼥⽣253560总计5545100由表中数据，计算K2＝＝≈10.774＜10.828，所以没有99.9%的把握认为选择科⽬与性别有关．18．在△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）当cos B＝时，求的值；（2）在（1）的条件下，若，且△ACD的⾯积为，求△ABC的周长．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差⾓公式进⾏化简，即可求解．（2）由已知结合三⾓形的⾯积公式可求c，进⽽可求a，b，从⽽可求三⾓形的周长．解：（1）因为，cos B＝，由正弦定理可得，＝1，且sin B＝整理可得，sin B cos A+sin A cos B＝sin A sin B，即sin（A+B）＝sin C＝sin A sin B＝sin A，由正弦定理可得，＝＝；（2）由（1）可得a＝c，B＝，由，且△ACD的⾯积为，可得△ACB的⾯积为2，故＝2，所以c＝2，a＝2，由余弦定理可得，＝4+8＝4，故b＝2，故△ABC的周长为4+2．19．如图，已知AB⊥平⾯ACD，DE⊥平⾯ACD，△ACD是边长为2的正三⾓形，F是CD的中点，且BC＝BE＝．（1）求证：AF∥平⾯BCE；（2）求点D到平⾯BCE的距离．【分析】（1）取CE的中点G，连接BG，FG．证明四边形ABGF是平⾏四边形可得AF∥BG，故AF∥平⾯BCE；（2）证明BG⊥平⾯CDE，计算三棱锥B﹣CDE的体积，根据V B﹣CDE＝V D﹣BCE计算点D到平⾯BCE的距离．【解答】（1）证明：取CE的中点G，连接BG，FG．∵F，G分别是CD，CE的中点，∴FG∥DE，FG＝DE，∵AB⊥平⾯ACD，DE⊥平⾯ACD，∴AB∥DE，∵AC＝AD＝2，BC＝BE＝，∴AB＝1，DE＝2或DE＝0（舍），∴AB＝DE，∴FG∥AB，FG＝AB，∴四边形ABGF是平⾏四边形，∴AF∥BG，⼜BG?平⾯BCE，AF?平⾯BCE，∴AF∥平⾯BCE．（2）解：∵DE⊥平⾯ACD，AF?平⾯ACD，∴DE⊥AF，⼜AF∥BG，∴DE⊥BG，∵BC＝BE，G是CE的中点，∴BG⊥CE，⼜CE∩DE＝E，CE?平⾯CDE，DE?平⾯CDE，∴BG⊥平⾯CDE．∵△ACD是边长为2的等边三⾓形，∴BG＝AF＝，∴V B﹣CDE＝＝＝，∵BC＝BE＝，CE＝＝2，∴S△BCE＝×＝，设D到平⾯BCE的距离为h，则V D﹣BCE＝＝＝，∴＝，解得h＝．∴点D到平⾯BCE的距离为．20．已知抛物线C：y2＝2px上⼀点M（，y0）到其焦点F的距离等于．（1）求抛物线C的标准⽅程；（2）若不垂直于x轴的直线l交抛物线C于A，B两点，直线FA与FB的倾斜⾓互补，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（1）由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得p 的值，进⽽求出抛物线的⽅程；（2）设直线l的⽅程，与抛物线的⽅程联⽴求出两根之和及两根之积，进⽽求出直线FA，FB的斜率之和，由题意可得两条直线的斜率值为0，可证得恒过定点．解：（1）由抛物线的⽅程可得抛物线的准线⽅程为：x＝﹣，由M（，y0）到其焦点F的距离等于可得：+＝，解得：p＝1，所以抛物线的⽅程为：y2＝2x；（2）显然直线l的斜率存在且不为0，设直线l的⽅程为x＝my+t，设A（x1，y1），B （x2，y2），联⽴直线与抛物线的⽅程：，整理可得：y2﹣2my﹣2t＝0，△＝4m2+8t＞0，即m2+2t＞0，y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2t，。

2020年安徽省安庆市市示范中学高考数学模拟试卷1（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合A={x|x2−3x+2=0}，B={0,1}，则A∪B=()A. {1}B. {0,1，2}C. (1,2)D. (−1,2]2.已知复数z=(1+ai)(1−2i)(a∈R)为纯虚数，则实数a=()A. 2B. −2C. 12D. −123.已知向量a⃗=(1,−1)，b⃗ =(x,2)，且，则|a⃗+b⃗ |的值为()A. √2B. √7C. 2√2D. √104.函数f(x)=−3cos(2x+φ)(x∈R)的最大值是()A. −3B. −1C. 1D. 35.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(2,y)是角θ终边上一点，且sinθ=−12，则y=()A. −2√33B. 2√33C. ±2√33D. ±32√26.若函数f(x)=(x−2)(x2+c)在x=2处有极值，则函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为()A. −5B. −8C. −10D. −127.执行如图所示程序框图，如果输入的i，S分别为1，2019，则输出的i=()A. 9B. 10C. 11D. 128. 一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A. 32π+12 B. π+1 C. 2π+16 D. π+129. 已知F 是抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过C 上一点M 作其准线的垂线，垂足为N ，若∠NMF =120°，则|MF|=( )A. 23B. 2√33C. 43D.4√3310. 如图，正方形BCDE 和正方形ABFG 的边长分别为2a ，a ，连接CE 和CG ，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是( )A. 35B. 38 C. 310D. 32011. 已知f(x)+f(1−x)=2，a n =f(0)+f(1n )+⋯+f(n−1n)+f(1)(n ∈N ∗)，则数列{a n }的通项公式为( )A. a n =n −1B. a n =nC. a n =n +1D. a n =n 212. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BC ，BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是( )A. 直线AA 1B. 直线A 1B 1C. 直线A 1D 1D. 直线B 1C 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若f(x)={x 2+1 (x ≤0)f(x −1) (x >0)，则f (52)=__________．14. 已知双曲线x 2a−y 22=1(a >0)的离心率为√3a ，则该双曲线的渐近线方程为___．15. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2−√72bc ，△ABC 的面积为S ，a =3，则S +6cosBcosC 的最大值为________．16. 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植总面积不超过50亩，投入总资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：每亩的年产量每亩的年种植成本每吨售价黄瓜4吨 1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润最大，黄瓜和韭菜的种植面积分别为________，最大总利润为________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}为等比数列，且a2=1，a5=27，{b n}为等差数列，且b1=a2，b9=a4．(1)分别求数列{a n}，{b n}的通项公式}的前n项和T n．(2)设数列{b n}的前n项和为S n，求数列{12S n18.某中学随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，观察图中数据，完成下列问题．(1)求A的值及样本中男生身高在[185,195](单位：cm)的人数．(2)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高．19.在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，DC=AD=1，AB=2，∠PAD=45°，E是PA的中点．(1)求证：DE//平面PBC；(2)求三棱锥P−ECB的体积．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，过右焦点且垂直于x轴的直线l1与椭圆C交于A，B两点，且|AB|=√2，直线l2：y=k(x−m)(m∈R,m>34)与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点R(54,0)，若RM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅RN⃗⃗⃗⃗⃗ 是一个与k无关的常数，求实数m的值．21. 设函数f(x)=x −1−lnx −aln 2x.(1)若a =0，求f(x)的单调区间；(2)若当x ≥1时，f(x)≥0恒成立，求a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x −1)2+(y −2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1的极坐标方程；(2)若直线{x =ty =t (t 参数)与圆C 1的交点为M ，N ，求△C 1MN 的面积(C 1圆心)．23. 设函数f(x)=|x −2|+|2x −a|．(Ⅰ)当a =1时，求不等式f(x)≥3的解集； (Ⅱ)当f(x)=|x −a +2|时，求实数x 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．先求出集合A，B，由此利用并集定义能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2−3x+2=0}={1,2}，B={0,1}，∴A∪B={0,1，2}．故选：B．2.答案：D解析：【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．【解答】解：∵z=(1+ai)(1−2i)=(1+2a)+(a−2)i为纯虚数，∴{1+2a=0a−2≠0，解得a=−12．故选：D．3.答案：D解析：【分析】本题主要考查向量的数量积，考查向量垂直的条件以及向量的模，考查计算能力．【解答】解：，∴a⃗·b⃗ =x−2=0，∴x=2．∴b⃗ =(2,2)，∴a⃗+b⃗ =(3,1)，∴|a⃗+b⃗ |=√32+1=√10．故选D．4.答案：D解析：【分析】本题考查余弦函数的图象的性质，属于基础题．根据余弦函数的性质，即可得到答案．【解答】解：对于函数f(x)=−3cos(2x+φ)(x∈R)，根据余弦函数的性质，得到其最大值为3．故选D．5.答案：A解析：解：由任意角的三角函数的定义可得sinθ=y r=2=−12，解得y=−2√3．3故选：A．由任意角的三角函数的定义可得sinθ=2=−12，由此解得y的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于中档题．6.答案：A解析：解：∵函数f(x)=(x−2)(x2+c)在x=2处有极值，∴f′(x)=(x2+c)+(x−2)×2x，∵f′(2)=0，∴(c+4)+(2−2)×2=0，∴c=−4，∴f′(x)=(x2−4)+(x−2)×2x，∴函数f(x)的图象x=1处的切线的斜率为f′(1)=(1−4)+(1−2)×2=−5，故选A．对函数f(x)=(x−2)(x2+c)进行求导，根据函数在x=2处有极值，可得f′(2)=0，求出c值，然后很据函数导数和函数切线的斜率的关系即可求解．本题主要考查函数在某点取得极值的条件，以及函数的导数的求法，属基础题．7.答案：C解析：【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】 解：由题意，可得S =2019−(2+22+⋯+2i)=2021−2i +1，当i ≥10时，S <0， ∴输出的i =11． 故选C ．8.答案：B解析： 【分析】本题考查空间几何体的三视图以及几何体的体积，属于基础题．由三视图可知该几何体是组合体：左边是直三棱柱、右边是半圆柱，根据柱体的体积公式即可求解此题． 【解答】解：由三视图可知该几何体是组合体：左边是直三棱柱、右边是半圆柱，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边是1，侧棱长是2，圆柱的底面半径是1，母线长是2， 所以该几何体的体积为，故选B ．9.答案：C解析：解：∵F 是抛物线C ：y 2=4x 的焦点(1,0)，过C 上一点M 作其准线的垂线，垂足为N ，若∠NMF =120°， |MF|=|MN|，∠NFO =30°， ∴DF =2，∴|NF|=4√33，解得|MF|=2√33√32=43．故选：C ．利用抛物线定义，结合已知条件，求出NF ，然后求解|MF|即可．本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、三角形的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：C解析：【分析】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．根据几何概型的概率公式求出阴影部分的面积与两个正方形面积和的比即可．【解答】解：如图所示，正方形BCDE和正方形ABFG的边长分别为2a和a，∴S阴影=S正方形ABFG+S△BCE−S△ACG=a2+12⋅2a⋅2a−12⋅a⋅3a=32a2；∴该平面图形内随机取一点P，则点P来自阴影部分区域的概率是P=32a2a2+(2a)2=310．故选：C．11.答案：C解析：【分析】本题考查了数列“倒序相加”求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由f(x)+f(1−x)=2，a n=f(0)+f(1n )+⋯+f(n−1n)+f(1)，“倒序相加”即可得出．【解答】解：∵f(x)+f(1−x)=2，a n=f(0)+f(1n )+⋯+f(n−1n)+f(1)，∴2a n=[f(0)+f(1)]+[f(1n )+f(n−1n)]+⋯+[f(1)+f(0)]=2(n+1)，∴a n=n+1．故选C．12.答案：D解析：本题主要考查空间中直线与直线的位置关系，熟悉正方体的性质是解题的关键，属于基础题， 根据异面直线的判定可知A ，B ，C 选项的直线都与直线EF 异面，由相交直线的定义可知直线B 1C 1与直线EF 相交，即可得到答案． 【解答】解：根据异面直线的定义可知直线AA 1，A 1B 1，A 1D 1与直线EF 是异面直线， 直线B 1C 1与直线EF 同在平面BB 1C 1C 上，且不平行， ∴直线B 1C 1与直线EF 相交， 故选D ．13.答案：54解析： 【分析】此题考查分段函数求函数值，属于基础题目．关键是由已知得出f (52)=f (−12)，代入x ≤0时解析式可得． 【解答】解：f(x)={x 2+1 (x ≤0)f(x −1) (x >0)，则f (52)=f (32)=f (12)=f (−12)=(−12)2+1=54．故答案为54．14.答案：y =±√2x解析： 【分析】本题主要考查了双曲线的简单性质，运用双曲线的离心率公式和a 、b 、c 的关系，可得b =√2，由双曲线的渐近线方程即可得到所求方程，属基础题． 【解答】 解：双曲线x 2a−y 22=1(a >0)的离心率为√3a ，可得e =ca =√3a ， 即有a =1，b =√2，即有渐近线方程为：y =±√2x ． 故答案为y =±√2x ．解析：【分析】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2=b2+c2−√72bc，整理可得b2+c2−a2=√72bc，即cosA=b2+c2−a22bc=√74，又A∈(0,π)，又a=3，由正弦定理得，所以△ABC的面积为，则S+6cosBcosC=6sinBsinC+6cosBcosC=6cos(B−C)，当B=C时，S+6cosBcosC取得最大值，最大值为6，故答案为6．16.答案：30亩、20亩；48万元解析：【分析】本题考查线性规划在实际生活中应用，求目标函数的最值问题，属于基础题型，作图时解题的关键．【解答】解：设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x亩、y亩，一年的总利润为z万元，则z=(4×0.55−1.2)x+ (6×0.3−0.9)y=x+0.9y，此时x，y满足条件，即，画出可行域，如图中阴影部分所示，其中A(0,50)，B(30,20)，C(45,0)，当直线z=x+0.9y经过点B(30,20)，即x=30，y=20时，z 取得最大值，为48．故黄瓜和韭菜的种植面积分别为30亩、20亩时，种植的总利润最大，为48万元．故答案为30亩、20亩；48万元．17.答案：解：(1)数列{a n}为公比为q的等比数列，a2=1，a5=27，可得a1q=1，a1q4=27，解得a1=13，q=3，则a n=3n−2，n∈N∗；{b n}为公差为d的等差数列，且b1=a2，b9=a4，可得b1=1，b9=9，可得1+8d=9，即d=1，b n=n，n∈N∗；(2)数列{b n}的前n项和为S n=12n(n+1)，1 2S n =1n(n+1)=1n−1n+1，前n项和T n=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1．解析：(1)数列{a n}为公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式解方程可得首项和公比，进而得到通项公式；{b n}为公差为d的等差数列，由等差数列的通项公式解方程可得公差，即可得到所求通项；(2)求得S n=12n(n+1)，12S n=1n(n+1)=1n−1n+1，由数列的求和方法：裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)由题意：a=0.1−0.04−0.025−0.005=0.01，身高在[185,195]的频率为0.1，人数为4.----------(5分)(2)设样本中男生身高的平均值为x−，则x−=150×0.05+160×0.2+170×0.4+180×0.25+190×0.1=171.5(cm)，所以，估计该校全体男生的平均身高为171.5cm.----------(10分)解析：(1)利用频率分布直方图能求出a的值，由此能求出身高在[185,195]的频率及人数．(2)设样本中男生身高的平均值为x−，利用频率分布直方图能估计该校全体男生的平均身高．本题考查频率、频数、平均数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：(1)证明：如图，取PB的中点F，连结EF，CF．∵AB//CD，CD=1，AB=2，∴CD=//12AB．∵E，F分别是PA，PB的中点，∴EF=//12AB，∴EF=//CD，∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE//CF，又DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC，∴DE//平面PBC．(2)解：∵E是PA的中点，DE//平面PBC，∴V P−ECB=V E−PCB=V D−BCP=V P−BCD，∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，∵∠PAD=45°，∴PD=AD=1，∴V P−BCD=13×12×1×1×1=16，∴V P−ECB=16．解析：本题考查了线面平行的判定，线面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．(1)取PB 的中点F ，连结EF ，CF ，得出四边形CDEF 是平行四边形，得出DE//CF ，从而DE //平面PBC ；(2)等体积转化求解即可．20.答案：解：(1)联立x =c 和椭圆方程，解得y =±b 2a ，故2b 2a=√2，又e =ca=√22，a 2=b 2+c 2，联立三式，解得a =√2，b =1，c =1，故椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立方程y =k(x −m)和椭圆x 2+2y 2=2， 消去y 得(1+2k 2)x 2−4mk 2x +2k 2m 2−2=0，△=16m 2k 4−4(1+2k 2)(2k 2m 2−2)=8(2k 2−m 2k 2+1)>0， ∴x 1+x 2=4mk 21+2k 2，x 1x 2=2m 2k 2−21+2k 2，RM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅RN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−54)(x 2−54)+y 1y 2 =x 1x 2−54(x 1+x 2)+2516+k 2(x 1−m)(x 2−m)=(1+k 2)x 1x 2−(54+mk 2)(x 1+x 2)+2516+k 2m 2=(3m 2−5m+2)k 21+2k 2−716，又RM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅RN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一个与k 无关的常数， ∴3m 2−5m +2=0， ∴m 1=1，m 2=23， ∵m >34，∴m =1，当m =1时，△>0，直线l 1与椭圆C 交于两点，满足题意．解析：本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查向量数量积的坐标表示，韦达定理的应用，属于中档题．(1)令x =c ，求得A ，B 的纵坐标，可得弦长|AB|，结合离心率公式和a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到所求椭圆方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立方程y =k(x −m)和椭圆x 2+2y 2=2，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，化简整理，可得k 的系数为0，解方程，即可得到所求m 的值．21.答案：解：(1)a =0时，f(x)=x −1−lnx ，x ∈(0,+∞)．f′(x)=1−1x =x−1x．可得：x ∈(0,1)时，f′(x)<0；x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0． ∴函数f(x)单调递减区间为(0,1)；函数f(x)单调递增区间为(1,+∞)． (2)由(1)可得：x −1−lnx ≥1−1−ln1=0恒成立．∴当a ≤0时，−a ≥0，f(x)=x −1−lnx −aln 2x ≥0恒成立． f′(x)=1−1x −2alnx x，另ℎ(x)=f′(x)，ℎ′(x)=1−2a+2alnxx 2．当0<a ≤12时，1−2a ≥0，由x ≥1，则lnx ≥0.∴ℎ′(x)≥0，∴f′(x)在(1,+∞)上单调递增． ∴x ∈[1,+∞)上，f′(x)≥f′(1)=0． ∴函数f(x)单调递增，∴f(x)≥f(1)=0． 当a >12时，ℎ′(x)=1−2a+2alnxx 2=2a x 2(lnx −2a−12a)．令a 0=2a−12a ，则0<a 0<1.且ℎ′(e a 0)=0．在(1,e a 0)上，ℎ′(x)<0，f′(x)单调递减，f′(x)<f′(1)=0，f(x)单调递减． f(x)<f(1)=0，因此当x ≥1时，f(x)≥0不恒成立，舍去． 综上可得：a 的取值范围是(−∞,12]．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．(1)a =0时，f(x)=x −1−lnx ，(x ∈(0,+∞)).f′(x)=x−1x.即可得出单调区间．(2)由(1)可得：x −1−lnx ≥1−1−ln1=0恒成立．分类讨论：当a ≤0时，−a ≥0，f(x)≥0恒成立，x ∈[1,+∞).f′(x)=1−1x −2a lnx x，ℎ′(x)=1−2a+2alnxx 2.当0<a ≤12时，1−2a ≥0，由x ≥1，则lnx ≥0.由ℎ′(x)≥0，可得f′(x)在(1,+∞)上单调递增．可得f(x)≥f(1)=0． 当a >12时，ℎ′(x)=1−2a+2alnxx 2=2a x 2(lnx −2a−12a).令a 0=2a−12a，则0<a 0<1.且ℎ′(e a 0)=0.利用单调性即可得出矛盾．22.答案：解：(1)∵圆C 1：(x −1)2+(y −2)2=1，∴x 2+y 2−2x −4y +4=0，∵ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，∴C 1的极坐标方程为ρ2−2ρcosθ−4ρsinθ+4=0． (2)∵直线{x =ty =t (t 参数)，∴直线的直角坐标方程为y =x ， 联立{(x −1)2+(y −2)2=1y =x ，得{x =1y =1，或{x =2y =2，∴M(1,1)，N(2,2)，C 1(1,2)，∴MC 1=1，NC 1=1，MN =√(2−1)2+(2−1)2=√2，∴MC 12+NC 12=MN 2，∴MC 1⊥NC 1，∴△C 1MN 的面积S =12×MC 1×NC 1=12×1×1=12．解析：(1)由ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，能求出C 1的极坐标方程．(2)直线的直角坐标方程为y =x ，联立{(x −1)2+(y −2)2=1y =x ，得M(1,1)，N(2,2)，再由C 1(1,2)，能求出△C 1MN 的面积．本题考查圆的极坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．23.答案：(1)当a =1时，f (x )={−3x +3,x ⩽12x +1,12<x <23x −3,x ⩾2，不等式f (x )⩾3可化为{−3x +3⩾3x ⩽12或{x +1⩾312<x <2 或{3x −3⩾3x ⩾2， 解得：x ≤0或x ≥2，∴不等式的解集为(−∞,0]∪[2,+∞)． (2)f (x )⩾|2x −a −(x −2)|=|x −a +2| ， 当且仅当(2x −a )(x −2)⩽0时，取“=” 当a ⩽4时，x 的取值范围为a2⩽x ⩽2； 当a >4时，x 的取值范围为2⩽x ⩽a2．解析：本题考查绝对值不等式的解法以及绝对值不等式的性质，属于中档题． (1)对x 分类讨论，去绝对值，再解不等式，即可得到答案;(2)运用绝对值不等式的性质，求出f(x)的最小值，验证等号成立条件，即可得到答案．。

安徽省安庆市2020届高三第一学期期末考试试题文 数学【含解析】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3A =，则UA（ ） A. {}1,2,3,4,5,6 B. {}1,3C. {}2,4,5,6D. ∅【答案】C 【解析】 【分析】直接利用补集的定义求解. 【详解】由题得UA{}2,4,5,6.故选：C【点睛】本题主要考查补集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2.i 是虚数单位，复数11izi，则1z +=（ ） A. 1 B. 23D. 2【答案】B 【解析】 【分析】先化简复数z ，再求1z +得解.【详解】由题得211)==12i i zi i （， 所以112z i +=-=. 故选：B【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3.若两个非零向量a ，b 满足，2a b +=，2a b -=，1b =，则向量a b +与b 夹角为（ ）A.6πB.3π C.23π D.56π【答案】B 【解析】 【分析】先求出0a b ⋅=，再利用向量的夹角公式求解.【详解】由2a b +=，2a b -=平方相减可得0a b ⋅=，所以()2+1cos =22a b b a b b a b bθ+⋅⋅==+⋅， 因为[0,]θπ∈， 所以3πθ=.故选：B【点睛】本题主要考查向量的数量积计算和向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >5，则C 的渐近线方程为（ ）A. 12y x =±B. 2y x =±C. 52y x =±D. 5y x =±【答案】A 【解析】 【分析】 由题得5c =,再根据222c a b =+即得双曲线的渐近线方程. 【详解】由题得55c e c a ==∴=. 因为222c a b =+ 所以22254a ab =+ 所以12b a =， 所以双曲线的渐近线方程为12y x =±. 故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质和渐近线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.设变量x ，y 满足约束条件：240220410x y x y x y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则目标函数3z x y =-的最小值为（ ）A. 6B.32C. 32-D. 1-【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件画出可行域，设3z x y =-，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最大，只需求出直线3z x y =-，过可行域内的点A 时的最小值，从而得到z 最小值即可．【详解】变量x ，y 满足约束条件240220410x y x y x y +-⎧⎪+-⎨⎪-+⎩，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线30x y -=经过点1(2A ，3)时，3x y -最小，最小值为32-，则目标函数3z x y =-的最小值为32-． 故选：C ．【点睛】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．6.若235log log log t x y z ===，且2t <-则（ ） A. 523z x y << B. 532z y x << C. 325y x z << D. 235x y z <<【答案】B 【解析】 【分析】根据235log log log t x y z ===即可得出122t x +=，133t y +=，155t z +=，根据2t <-得出10t +<，从而根据幂函数1t y x +=的单调性即可判断2x ，3y 和5z 的大小关系．【详解】235log log log t x y z ===， 2t x ∴=，122t x +=，3ty =，133t y +=，5t z =，155t z +=，2t <-，10t ∴+<，1t y x +∴=单调递减，111532t t t +++∴<<， 532z y x ∴<<．故选：B ．【点睛】本题考查了对数式和指数式的互化、指数式的运算、幂函数的单调性，考查了推理和计算能力，属于基础题．7. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ） A.15B.25C.825D.925【答案】B 【解析】试题分析：从甲乙等5名学生中随机选出2人，基本事件的总数为2510n C ==，甲被选中包含的基本事件的个数11144m C C ==，所以甲被选中的概率25m p n ==，故选B ． 考点：古典概型及其概率的计算．8.下列命题的符号语言中，不是公理的是（ ） A. a α⊥，b a b α⊥⇒∥ B. P α∈，且P l βαβ∈⇒=，且P l ∈C. ∈A l ，B l ∈，且A α∈，B l αα∈⇒⊂D. a b ∥，a c b c ⇒∥∥ 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面的公理直接判断求解． 【详解】A 不是公理，在B 中，由公理三知：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故B 是公理．在C 中，由公理一知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故C 是公理； 在D 中，由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故D 是公理； 故选：A ．【点睛】本题考查平面的公理的判断，考查平面的基本性质及其推论等基础知识，是基础题．9.设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=-，()()2f x f x +=-，则()y f x =的图像可能是（ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性、对称性及周期性，观察选项得解．【详解】由可知函数()()f x f x -=-，(2)()f x f x +=-可知，函数()f x 为奇函数，且关于1x =对称，所以(4)[(2)2](2)()(x)f x f x f x f x f +=++=-+=-⋅-= 故其周期为4，对照图形可知符合要求的为D ， 故选：D ．【点睛】本题考查利用函数性质确定函数图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =且对于任意1n >，*n N ∈满足()1121n n n S S S +-+=+，则（ ） A. 47a = B. 16240S =C. 1019a =D. 20381S =【答案】D 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可． 【详解】当2n 时，111112(1)22n n n n n n n n n S S S S S S S a a +-+-++=+⇒-=-+⇒=+．所以数列{}n a 从第2项起为等差数列，1,122,2n n a n n =⎧=⎨-⎩，所以，46a =，1018a =． 21()(1)(1)12n n a a n S a n n +-=+=-+，1616151241S =⨯+=，2020191381S =⨯+=．故选：D ．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．11.已知函数()()2cos cos sin f x x x x =+⋅，给出下列四个命题： ①()f x 的最小正周期为π ②()f x 的图象关于直线4x π=对称③()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 ④()f x 的值域为[]22-,⑤()f x 在区间[]2,2ππ-上有6个零点 其中所有正确的编号是（ ） A. ②④ B. ①④⑤C. ③④D. ②③⑤【答案】C 【解析】 【分析】化简函数()2|cos |sin sin 2f x x x x =+，通过4()()33f f ππ≠，判断①；通过35()()44f f ππ-≠，判断()f x 的图象不关于直线4x π=对称，判断②；在区间[4π-，]4π上，2[,]22x ππ∈-，化简函数的解析式，判断单调性单调递增，判断③；当cos 0x 时，推出()2sin 2f x x =，求出最值，当cos 0x <时，求出最值判断④；当cos 0x时，()0f x =，在区间[2π-，2]π上有无数个零点，判断⑤．【详解】()()2cos cos sin 2cos sin sin 2f x x x x x x x =+⋅=+函数33f π⎛⎫= ⎪⎝⎭403f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴433f f ππ⎛⎫⎛⎫≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 的最小正周期不是π，故①错误. 由于324f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，504f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴3544f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 的图象不关于直线4x π=对称，故排除②. 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，2,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()2cos sin sin 22sin 2f x x x x x =+=，单调递增，故③正确. 当cos 0x ≥时，()2cos sin sin 22sin cos sin 22sin 2f x x x x x x x x =+=+=， 故它的最大值为2，最小值为2-；当cos 0x <时，()2cos sin sin 22sin cos sin 20f x x x x x x x =+=-+=，综合可得，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，故④正确.当cos 0x ≤时，()0f x =，在区间[]2,2ππ-上有无数个零点，故⑤错误. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数的化简求值、函数的单调性以及函数的对称性，考查函数的最值，考查分析问题解决问题的能力，是中档题． 12.已知三棱锥S ABC -的体积为33，SC 的中点O 为三棱锥S ABC -外接球球心，且SC ⊥平面OAB ，OA AB =，则球O 的体积为（ ）A. 36πB.43π C.323π D. 92π【答案】C 【解析】 【分析】OAB ∆为等边三角形，边长为球的半径R ，三棱锥S ABC -的体积114333OAB OAB V S OC S OS ∆∆=+=，解得2R =，由此能求出球的体积．【详解】OAB ∆为等边三角形，边长为球的半径R ， 三棱锥S ABC -的体积： 1133OAB OAB V S OC S OS ∆∆=+211432sin 6032R R =⨯⨯⨯⨯︒⨯=， 解得2R =，∴球的体积为3432233V ππ'=⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查球的体积的求法，考查三棱锥及其外接球等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：共4小题，每小题5分共20分，将答案填写在答题卷中的相应区域，答案写在试题卷上无．．．．．．．．．效．.13.计算：1?5tan ︒＝ ________. 【答案】23－【解析】tan 15°＝tan (45°－30°)＝453014530tan tan tan tan ︒-︒+︒︒＝23.14.已知函数()y f x x =+是偶函数，且()31f =，则()3f -=______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质，建立方程关系进行求解即可． 【详解】函数()y f x x =+是偶函数，()()f x x f x x ∴--=+，即()()2f x f x x -=+， f （3）1=，(3)f f ∴-=（3）23167+⨯=+=，故答案为：7．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质建立方程公式是解决本题的关键． 15.已知点()3,0A ，抛物线C ：24x y=的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|MNFM=______. 10【解析】 【分析】结合已知条件画出图形，利用比例关系转化为解三角形的问题，推出结果即可． 【详解】焦点为(0,1)F ，过点M 作准线的垂线MH ， 则FM MH =，如图：所以22||||11||1310||||sin sin ||MN MN FA FM HM HNM MAO FO +======∠∠． 10．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题． 16.若等差数列{}n a 的满足27a =，519a =且212n a a a an bn +++=+则ab =______.【答案】2 【解析】 【分析】利用已知条件求出数列的首项与公差，然后求解数列的和，推出a ，b ，即可得到结果． 【详解】等差数列{}n a 的满足27a =，519a =，可得117419a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13a =，4d =，2212(1)3422n n n n S a a a n n n an bn -=++⋯+=+⨯=+=+，可知2a =，1b =． 所以2ab =． 故答案为：2．【点睛】本题主要考查等差数列的应用和数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基本知识的考查．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.答案写在试．．．．．题卷上无效．．．．．17.在ABC ∆中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且sin sin 2B Cb a B +=，sin 3sin C B =， （Ⅰ）求A ； （Ⅱ）计算sin sin sin AB C的值.【答案】（Ⅰ）3A π=143【解析】【分析】（Ⅰ）由三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，二倍角公式化简已知等式可得1sin22A =，结合范围0A π<<，解得3A π=．（Ⅱ）由正弦定理可得3c b =，由余弦定理可得73a c =，进而利用正弦定理即可求解sin sin sin AB C的值．【详解】（Ⅰ）由三角形内角和定理可得22B C Aπ+-=， 此时sinsin 2B C b a B +=，变形可得sin()sin 22Ab a B π-=，由诱导公式可得sin()cos 222A Aπ-=，所以cossin 2Ab a B =， 由正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，可得sin cos sin sin 2AB A B =， 即cossin 2AA =， 由二倍角公式可得sin 2sin cos 22A A A =， 所以1sin22A =， 因为0A π<<，解得3A π=．（Ⅱ）因为sin 3sin C B =， 由正弦定理可得3c b =，由余弦定理得22222211172cos ()23329a b c bc A c c c c c =+-=+-=，故73a c =， 由正弦定理得2227sin 114391sin sin sin sin sin sin 3333c A sin A a B C A B C A bc c c =====． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、诱导公式、正弦定理、二倍角公式和余弦定理的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.如图所示，在几何体ABCDE 中，AB AC ⊥，DC ⊥平面ABC ，BE CD ∥，3AB =，2AC BE ==，12CD BE =.（Ⅰ）求多面体ABCDE 的体积；（Ⅱ）设平面ABE 与平面ACD 的交线为直线l ，求证：l ∥平面BCDE . 【答案】（Ⅰ）3（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）过点A 作BC 的垂线AF ，交BC 于点F ，则AF BC ⊥，推导出AF CD ⊥，从而AF ⊥平面BCDE ，由此能求出四棱锥ABCDE 的体积．（Ⅱ）推导出//CD BE ，从而//CD 平面ABE ，由平面ABE平面ACD l =，得//CD l ，由此能证明//l 平面BCDE ． 【详解】（Ⅰ）解：过点A 作BC 的垂线AF ，交BC 于点F ， 则AF BC ⊥，又因为DC ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ， 所以AF CD ⊥， 又CDBC C =，所以AF⊥平面BCDE ，由AB AC ⊥，3AB =，2AC BE ==，112CD BE ==． 2213BC AC AB +=，1122ABC S AB AC BC AF ∆=⨯⨯=⨯，解得13AB AC AF BC ⨯=， ()3132BCDE CD BE BC S +==四棱锥ABCDE 的体积1131333313BCDE V S AF ==⨯=． （Ⅱ）证明：因为CD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ， 所以//CD BE ，又因为CD ⊂/平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，CD平面ABE，所以//CD l，平面ABE平面ACD l=，则//l平面BCDE．又l⊂/平面BCDE，CD⊂平面BCDE，所以//【点睛】本题考查四棱锥的体积的求法，考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.某高中为了了解高三学生每天自主参加体育锻炼的情况，随机抽取了100名学生进行调查，其中女生有55名.下面是根据调查结果绘制的学生自主参加体育锻炼时间的频率分布直方图：将每天自主参加体育锻炼时间不低于40分钟的学生称为体育健康A类学生，已知体育健康A类学生中有10名女生.（Ⅰ）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并据此资料你否认为达到体育健康A类学生与性别有关？非体育健康A类学生体育健康A类学生合计男生女生合计（Ⅱ）将每天自主参加体育锻炼时间不低于50分钟的学生称为体育健康A +类学生，已知体育健康A +类学生中有2名女生，若从体育健康A +类学生中任意选取2人，求至少有1名女生的概率. 附：P （20K k ≥）0.05 0.010 0.0050k3.841 6.635 7.879()()()()()22n ad bc k a c b d c d a b -=++++ 【答案】（Ⅰ）见解析，没有理由认为达到体育健康A 类学生与性别有关（Ⅱ）710【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅱ）由题意利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【详解】（Ⅰ）由频率颁布直方图可知，在抽取的100人中，体育健康A 类学生有25人，从而22⨯列联表如下： 非体育健康A 类学生 体育健康A 类学生 合计 男生 30 15 45 女生 45 10 55 合计 7525100由22⨯列联表中数据代入公式计算，得：22100(30104515)100 3.030 3.8417525455533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯；所以没有理由认为达到体育健康A 类学生与性别有关．（Ⅱ）由频率分布直方图可知，体育健康A +类学生为5人，记a 、b 、c 表示男生，D 、E 表示女生， 从而一切可能结果所组成的基本事件空间为{ab Ω=，ac ，aD ，aE ，bc ，bD ，bE ，cD ，cE ，}DE ；Ω由10个基本事件组成，而且这些事件的出现是等可能的．用A 表示“任选2人中至少有1名是女生”这一事件，则 {A aD =，aE ，bD ，bE ，cD ，cE ，}DE 共计7种；故所求的概率值为P =（A ）710=． 【点睛】本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．20.如图，设F 是椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左焦点，直线：2a x c=-与x 轴交于P 点，AB 为椭圆的长轴，已知8AB =，且2PA AF =，过点P 作斜率为14直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N .（Ⅰ）求MN ；（Ⅱ）证明：MFA NFB ∠=∠. 【答案】（Ⅰ）5113（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意，求得椭圆方程，设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得||MN ；（Ⅱ）由（Ⅰ）证明以0MF NF k k +=，即可证明MFA NFB ∠=∠．【详解】（Ⅰ）因为||8AB =，所以4a =，又因为||2||PA AF =， 所以12e =，则2c =，22212b a c =-=， 所以椭圆的标准方程为2211612x y +=，点P 的坐标为(8,0)-，点F 的坐标为(2,0)-，直线l 的方程为1(8)4y x =+，即48x y =-，1(M x ，1)y ，1(N x ，1)y ，联立方程组224811612x y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得21348360y y -+=，则124813y y +=，123613y y =， 2212122148361251||1()417()41313MN y y y y k =++--⨯， 所以1251||MN =； （Ⅱ）证明： 由1212121212121286()224646(46)(46)MF NF y y y y y y y y k k x x y y y y -++=+=+=++----， 而1212483686()8601313y y y y -+=⨯-⨯=， 所以0MF NF k k +=，从而MFA NFB ∠=∠．得证．【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理和弦长公式公式的应用，考查利用斜率证明角相等的方法，考查转化思想，属于中档题． 21.设函数()ln f x a x x =+，()xg x e x =+（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）令()()()h x f x g x =-，当2a =时，证明()2ln 24h x <-. 【答案】（Ⅰ）见解析，（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a 进行分类讨论，可求函数的单调性；（Ⅱ）把2a =代入可得()h x ，对()h x 求导，结合导数与单调性的关系及函数的零点判定定理可求()h x 的最大值，结合不等式的恒成立与最值的相互转化关系可证． 【详解】（Ⅰ）alnx x +，0x >， ()1a a xf x x x+∴'=+=， 当0a 时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a <时，令()0f x ∴'=可得x a =-， 当()0f x ∴'>时，解得x a >-， 令()0f x ∴'<可得，0x a <<-，所以函数()f x 在(,)a -+∞上单调递增，在(0,)a -上单调递减， （Ⅱ）()()()x h x f x g x alnx e =-=-， 当2a =时()2x h x lnx e =-，2()xh x e x'=-， 令2()x y h x e x ='=-，则220x y e x'=--<， 所以()h x '在(0,)+∞上单调递减．取112x =，21x =，则1()402h e '=，h '（1）20e =-<，所以函数()h x '存在唯一的零点01(,1)2x ∈，即0002()0x h x e x '=-=， 所以当0(0,)x x ∈，()0h x '>，当0(x x ∈，)+∞，()0h x '<， 故函数()h x 在0(0,)x 单调递增，在0(x ，)+∞单调递减，所以当0x x =时，函数()h x 取得极大值，也是最大值000()2xh x lnx e =-，由0020x e x -=可得002x e x =， 两边同时取对数可得，002x ln lnx =-， 所以002lnx ln x =-，故000000021()22(2)222()x h x lnx e ln x ln x x x =-=--=-+，由基本不等式可得0001122x x x x +=，因为01(,1)2x ∈， 所以0012x x +>， 所以0001()222()224h x ln x ln x =-+<-， 又因为0()()h x h x 即()224h x ln <-， 所以当2a =时，()224h x ln <-成立．【点睛】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号22.在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为2222x sy s⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）.设P 为曲线C 上的动点， （Ⅰ）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求点P 到直线l 的距离的最小值. 【答案】（Ⅰ）280x y -+=，24y x =45【解析】 【分析】（Ⅰ）由直线l 的参数方程为8(2x t t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数t ，可得普通方程．由曲线C 的参数方程为22(22x s s y s ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．消去参数s ，可得曲线C 直角坐标方程．（Ⅱ）设点(,)P x y ，则22(22x s s y s⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．利用点到直线的距离公式可得：2222|2428||2(2)4|51(2)s s s d -+-+==+-可得出最小值．【详解】（Ⅰ）由直线l 的参数方程为8(2x t t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数t ，可得：280x y -+=． 所以直线l 直角坐标方程为280x y -+=．由曲线C 的参数方程为22(2x s s y s⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．消去参数s ，可得：24y x =．所以曲线C 直角坐标方程为24y x =．（Ⅱ）设点(,)P x y ，则22(22x ss y s ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．则2222|2428||2(2)4|45551(2)s s s d -+-+===+- 当2s =4x =，4y =，所以点P 到直线l 45． 【点睛】本题考查了参数方程、点到直线的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.设a 、b 、c 均为正数，（Ⅰ）证明：222a b c ab bc ca ++≥++； （Ⅱ）若1ab bc ca ++=，证明3a b c ++≥【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）运用重要不等式222a b ab +，222b c bc +，222c a ca +，累加可得证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论和三个数的完全平方公式，整理可得证明．【详解】（Ⅰ）因为a ，b ，c 均为正数，由重要不等式可得222a b ab +，222b c bc +，222c a ca +，以上三式相加可得222222222a b b c c a ab bc ca +++++++， 即222a b c ab bc ca ++++；（Ⅱ）因为1ab bc ca ++=，由（Ⅰ）可知2221a b c ++， 故2222()222123a b c a b c ab bc ca ++=++++++=， 所以3a b c++得证．【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和变形，考查推理能力，属于基础题．。

安徽省安庆市乔木中学2020年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 计算：（）A．－1 B．1 C．8 D．－8参考答案：C略2. 设函数的最小正周期为，且，则（）A．在单调递减 B．在单调递减C．在单调递增 D．在单调递增参考答案：A略3. 在△ABC中，三个角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则三角形的形状是（）A．直角三角形，但不是等腰三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形，但不是等边三角形 D．等边三角形参考答案：D4. 已知函数，，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是A．B．C．D．参考答案：【解析】：.当时，显然成立当时，显然不成立；当显然成立；当时，则两根为负，结论成立故5. 全集，集合，，则（）．A．B．C．D．参考答案：B6. 函数f（x）=sin（）（其中．（>0，）的图象如图所示，为了得到g （x）=sin的图象，则只要将f（x）的图象A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位参考答案：A7. 对于任意两个实数a,b定义运算“”如下：则函数的最大值为 ( ) A、25 B、16 C、9 D、4参考答案：C略8. ，点列的部分图象如图所示，则实数a的值为（）A．1B．C．D．参考答案：C9. 函数的图象大致是（）ＡＢＣＤ参考答案：A略10. 执行如图所示的程序框图，如果输入N=30，则输出S=（）A．26 B．57 C．225 D．256参考答案：B【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知中输入N的值为30，可得：进入循环的条件为n≤30，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：模拟程序的运行，可得N=30，n=1，S=0S=1不满足条件n＞30，执行循环体，n=3，S=4不满足条件n＞30，执行循环体，n=7，S=11不满足条件n＞30，执行循环体，n=15，S=26不满足条件n＞30，执行循环体，n=31，S=57满足条件n＞30，退出循环，输出S的值为57．故选：B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. ．参考答案：试题分析：.考点：极限的求法.12. 对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值－1叫做的下确界，则函数的下确界为参考答案：略13. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=．参考答案：略14. 若椭圆中心为坐标原点，焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 .参考答案：15. 已知菱形的一条对角线长为2，点为上一点且满足，点为的中点，若，则．参考答案：-716. 已知偶函数的图象关于直线对称，，则______．参考答案：【分析】由对称性及奇偶性求得函数的周期求解即可【详解】由题，则函数的周期T=4, 则=故答案为【点睛】本题考查函数的奇偶性对称性的应用，熟记性质的相互转化求得周期是关键，是基础题17. 某一个班全体学生参加历史测试，成绩的频率分布直方图如图，则该班的平均分估计是参考答案：68三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年高考（文科）数学（5月份）模拟试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2，x∈Z}，B＝{x|2x＜1}，则集合A∩B的子集个数为（）A．1B．2C．3D．42．若复数z＝（i是虚数单位），则z在复平面内对应的点在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限3．若平面向量＝（2，0），﹣＝（1，﹣），则•＝（）A．3+B．2C．1﹣D．24．某单位统计了本单位的职工一天行走步数（单位：百步）得到如图频率分布直方图：估计该单位职工一天行走步数的平均值为（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（）A．125B．125.6C．124D．1265．已知项数为奇数的等比数列{a n}的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（）A．5B．7C．9D．116．古代《冰糖葫芦》算法题：一个小摊上摆满了五彩缤纷的“冰糖葫芦”，“冰糖葫芦”制作有两种，一种是5个山楂；另一种是2个山楂、3个小桔子．若小摊上山楂共640个，小桔子共360个，现从小摊上随机选取一个“冰糖葫芦”，则这个“冰糖葫芦”是5个山楂的概率为（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.67．已知函数f（x）＝2|x|+|x|﹣3，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．（﹣1，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）8．我国古代数学专著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与古老的算法“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图既源于“辗转相除法”．当输入a＝1081，b＝805时，输出的a＝（）A．7B．11C．23D．479．已知函数f（x）＝2cos（sin（ω＞0），若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数f（x）的图象关于直线x＝ω对称，将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）任意两个不同零点之差的绝对值得最小值为（）A．B．πC．3D．3π10．COVID﹣19是一种新型冠状病毒（因其表面有类似王冠上的突起而得名），感染者在潜伏期便已具备传染能力．为方便病人的转移及隔离，某企业设计了一种微型全封闭有底的隔离舱，其三视图如图所示（单位：m），其中正视图的上半部分是一段圆弧，则该隔离舱的表面积为（）A．3B．3C．D．11．已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，设点H（x H，y H），G（x G，y G）分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，若|y H|＝3|y G|，则|HG|＝（）A．2B．3C．3D．412．下列命题为真命题的是（）①1nπ＞1n2 ②π＞e③sin3＜sin4 ④sin1＞A．①④B．②④C．②③D．①②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f（x）＝的图象在点（1，f（1））处的切线方程为．14．已知变量x，y满足不等式组则z＝x+3y的最大值为．15．已知椭圆E：＝1（m＞0）的右焦点为F，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆E的方程为．16．已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝1，AF⊥平面ABCD，且AF＝3，E为线段DC 上一点，沿直线AE将△DAE翻折成△D'AE，M为BD'的中点，则三棱锥M﹣BCF体积的最小值是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在3+1+2的新高考模式下，某学校计划在高一下学期开设“物理”和“历史”两个选修科目．为了了解学生对这两个科目的选课意向，以便提前规划教育资源，教务处从高一年级500名学生（其中男生200人，女生300人）中，采用分层抽样的方法从中抽取部分学生进行调查．其中，女生比男生多抽取20人．（1）请问总共抽取了多少名学生进行调查；（2）新高考模式要求每名学生在“物理”和“历史”这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目，下表是根据调查结果得到的一个不完整的列联表，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为选择科目与性别有关？选择“物理”选择“历史”总计男生女生25总计55附：．P（K2≥k e）0.050.010.0050.001k e 3.841 6.6357.87910.82818．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）当cos B＝时，求的值；（2）在（1）的条件下，若，且△ACD的面积为，求△ABC的周长．19．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD是边长为2的正三角形，F是CD的中点，且BC＝BE＝．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求点D到平面BCE的距离．20．已知抛物线C：y2＝2px上一点M（，y0）到其焦点F的距离等于．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若不垂直于x轴的直线l交抛物线C于A，B两点，直线FA与FB的倾斜角互补，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．21．已知函数f（x）＝e2x+2ae x+2ax，其中a＜0．（1）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线方程；（2）若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是，（t是参数，，曲线C1的参数方程是（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝4b sinθ．（1）求直线l及曲线C1的极坐标方程；（2）若，l与C1交于O，M两点，l与C2交于O，N两点，求|OM||ON|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|3x+m|﹣2m（m∈R）．（1）当m＝﹣1时，求不等式f（x）＜10的解集；（2）若∀x∈R，f（x）+3|x﹣1|≥5恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2，x∈Z}，B＝{x|2x＜1}，则集合A∩B的子集个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】求出集合A，B，从而求出集合A∩B，由此能求出集合A∩B的子集个数．解：∵集合A＝{x|﹣1≤x≤2，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|2x＜1}＝{x|x＜0}，∴集合A∩B＝{﹣1}，∴集合A∩B的子集个数为2．故选：B．2．若复数z＝（i是虚数单位），则z在复平面内对应的点在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解：∵z＝＝，∴z在复平面内对应的点的坐标为（），在第二象限．故选：C．3．若平面向量＝（2，0），﹣＝（1，﹣），则•＝（）A．3+B．2C．1﹣D．2【分析】利用已知条件求出，然后求解向量的数量积即可．解：平面向量＝（2，0），﹣＝（1，﹣），可得＝（1，），所以•＝（2，0）•（1，）＝2．故选：B．4．某单位统计了本单位的职工一天行走步数（单位：百步）得到如图频率分布直方图：估计该单位职工一天行走步数的平均值为（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（）A．125B．125.6C．124D．126【分析】由频率分布直方图能估计该单位职工一天行走步数的平均值．解：由频率分布直方图：估计该单位职工一天行走步数的平均值为：＝60×0.002×20+80×0.006×20+100×0.008×20+120×0.012×20+140×0.010×20+160×0.008×20+180×0.002×20+200×0.002×20＝125.6．故选：B．5．已知项数为奇数的等比数列{a n}的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（）A．5B．7C．9D．11【分析】根据题意，设a n＝a1•q n﹣1＝q n﹣1，由等比数列的前n项和公式可得q的值，进而求得结论．解：根据题意，数列{a n}为等比数列，设a n＝a1•q n﹣1＝q n﹣1，又由数列{a n}的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则q＝＝2，故s n＝21+10＝⇒2n﹣1＝31⇒n＝5；故选：A．6．古代《冰糖葫芦》算法题：一个小摊上摆满了五彩缤纷的“冰糖葫芦”，“冰糖葫芦”制作有两种，一种是5个山楂；另一种是2个山楂、3个小桔子．若小摊上山楂共640个，小桔子共360个，现从小摊上随机选取一个“冰糖葫芦”，则这个“冰糖葫芦”是5个山楂的概率为（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6【分析】设5个山楂的“冰糖葫芦”有x个，2个山楂、3个小桔子的“冰糖葫芦”有y 个，列出方程组求出x＝80，y＝120，基本事件总数n＝80+120＝200，这个“冰糖葫芦”是5个山楂包含的基本事件个数m＝80，由此能求出这个“冰糖葫芦”是5个山楂的概率．解：设5个山楂的“冰糖葫芦”有x个，2个山楂、3个小桔子的“冰糖葫芦”有y个，则，解得x＝80，y＝120，基本事件总数n＝80+120＝200，这个“冰糖葫芦”是5个山楂包含的基本事件个数m＝80，则这个“冰糖葫芦”是5个山楂的概率为P＝．故选：B．7．已知函数f（x）＝2|x|+|x|﹣3，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．（﹣1，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【分析】由f（x）＝2|x|+|x|﹣3＞0，得2|x|＞﹣|x|+3，作出函数y＝2|x|与y＝﹣|x|+3的图象，数形结合得答案．解：由f（x）＝2|x|+|x|﹣3＞0，得2|x|＞﹣|x|+3，作出函数y＝2|x|与y＝﹣|x|+3的图象如图，当x＞0时，由2|x|＞﹣|x|+3，得2x＞﹣x+3，再令g（x）＝2x+x﹣3，当x＞0时，该函数为增函数，而g（1）＝0，∴x＞0时，函数y＝2|x|与y＝﹣|x|+3的图象的交点的横坐标为1，由对称性可得，x＜0时，函数y＝2|x|与y＝﹣|x|+3的图象的交点的横坐标为﹣1，由图可知，不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故选：C．8．我国古代数学专著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与古老的算法“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图既源于“辗转相除法”．当输入a＝1081，b＝805时，输出的a＝（）A．7B．11C．23D．47【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序框图的运行过程，如下；a＝1081，b＝805，执行循环体，r＝276，a＝805，b＝276，不满足退出循环的条件，执行循环体，r＝253，a＝276，b＝253，不满足退出循环的条件，执行循环体，r＝23，a＝253，b＝23，不满足退出循环的条件，执行循环体，r＝0，a＝23，b＝0，此时，满足退出循环的条件r＝0，退出循环，输出a的值为23．故选：C．9．已知函数f（x）＝2cos（sin（ω＞0），若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数f（x）的图象关于直线x＝ω对称，将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）任意两个不同零点之差的绝对值得最小值为（）A．B．πC．3D．3π【分析】由题意利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，结合正弦函数的周期性和零点，求出函数g（x）任意两个不同零点之差的绝对值得最小值．解：∵函数f（x）＝2cos（sin＝sinωx+cosωx+1＝sin （ωx+）+1（ω＞0），若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ωx+∈（﹣ω2+，ω2+），∴﹣ω2+≥﹣，ω2+≤，求得ω≤．又函数f（x）的图象关于直线x＝ω对称，∴ω2+＝kπ+，即ω＝，∴ω＝，f（x）＝sin（x+）+1．将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）＝sin（x++）+1＝sin（x+）+1的图象．令g（x）＝0，求得sin（x+）＝﹣，则函数g（x）任意两个不同零点之差的绝对值得最小值为＝•＝，故选：A．10．COVID﹣19是一种新型冠状病毒（因其表面有类似王冠上的突起而得名），感染者在潜伏期便已具备传染能力．为方便病人的转移及隔离，某企业设计了一种微型全封闭有底的隔离舱，其三视图如图所示（单位：m），其中正视图的上半部分是一段圆弧，则该隔离舱的表面积为（）A．3B．3C．D．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为由圆柱的一部分和四棱柱体构成的组合体．如图所示：所以侧面的弧半径为：r＝，该几何体的表面积为：S═+2×+＝．故选：C．11．已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线C 的右支交于A，B两点，设点H（x H，y H），G（x G，y G）分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，若|y H|＝3|y G|，则|HG|＝（）A．2B．3C．3D．4【分析】不妨设直线AB的斜率大于0，连接HG，HF2，GF2，设△AF1F2的内切圆与三边的交点分别为D，E，F，运用切线的性质和双曲线的定义，求得G，H的横坐标为a，结合直角三角形的正切函数的定义和二倍角公式，计算可得所求值．解：不妨设直线AB的斜率大于0，连接HG，HF2，GF2，设△AF1F2的内切圆与三边的交点分别为D，E，F，则|AF1|﹣|AF2|＝|AD|+|DF1|﹣（|AE|+|EF2|）﹣|DF1|﹣|EF2|＝|F1F|﹣|FF2|，即为2a＝c+x H﹣（c﹣x H），可得x H＝a，同理可得x G＝a，则HG⊥F1F2，在直角三角形F2FG中，|FG|＝|FF2|tan＝（c﹣a）tan，在直角三角形F2FH中，|FH|＝|FF2|tan（﹣θ）＝（c﹣a）tan（﹣θ），又|y H|＝3|y G|，所以|FH|＝3|HG|，即（c﹣a）tan（﹣θ）＝＝3（c﹣a）tan，解得tan＝，tanθ＝＝，可得θ＝，所以|HG|＝4|FG|＝4（2﹣）tan＝4，故选：D．12．下列命题为真命题的是（）①1nπ＞1n2 ②π＞e③sin3＜sin4 ④sin1＞A．①④B．②④C．②③D．①②④【分析】构造函数f（x）＝lnx﹣ln2，根据函数单调性判断①，构造函数f（x）＝lnx ﹣，根据函数单调性判断②，根据正弦函数单调性判断③，作差，提公因式，再根据余弦函数单调性判断④．解：（1）令f（x）＝lnx﹣•ln2，则f′（x）＝﹣＝，∴当0＜x＜4时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，4）上单调递增，∴f（π）＜f（4），即lnπ﹣ln2＜0，故lnπ＜ln2，故①错误；（2）令f（x）＝lnx﹣，则f′（x）＝﹣＝，∴当0＜x＜4e时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，4e）上单调递增，∴f（π）＞f（e），即lnπ﹣＞0，即lnπ＞，故π＞e，故②正确；（3）令f（x）＝sin x，则f（x）在（，）上单调递减，又＜3＜4＜，∴sin3＞sin4，故③错误；（4）sin1﹣sin＝sin（2cos﹣），∵y＝cos x在（0，）上是减函数，∴cos＞cos＝＞，∴2cos﹣＞0，又sin＞0，∴sin1﹣sin＞0，即sin1＞sin，故④正确．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f（x）＝的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝3x﹣4．【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，求得切点，由点斜式方程可得所求切线的方程．解：函数f（x）＝的导数为f′（x）＝，可得f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为k＝1+2＝3，又f（1）＝﹣1，则切线的方程为y+1＝3（x﹣1），即为y＝3x﹣4．故答案为：y＝3x﹣4．14．已知变量x，y满足不等式组则z＝x+3y的最大值为．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x+3y得y＝﹣+，平移直线y＝﹣+，由图象知当直线经过A点时直线的纵截距最大，此时z最大，由，得A（，），此时z＝+3×＝，即目标函数的最大值为，故答案为：．15．已知椭圆E：＝1（m＞0）的右焦点为F，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆E的方程为．【分析】由题意可知，点F（，0），所以直线AB的斜率为，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），利用点差法可得，＝＝k，从而求得m的值，再代入椭圆E的方程中即可得解．解：由题意可知，点F（，0），所以直线AB的斜率为，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，两式相减，整理得，＝，所以＝，解得m＝9，∴椭圆E的方程为．故答案为：．16．已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝1，AF⊥平面ABCD，且AF＝3，E为线段DC 上一点，沿直线AE将△DAE翻折成△D'AE，M为BD'的中点，则三棱锥M﹣BCF体积的最小值是．【分析】由题意画出图形，可得△BCF的面积为定值，求出D′到平面BCF的最小值，可得M到平面BCF的最小值，则三棱锥M﹣BCF的体积的最小值可求．解：三棱锥M﹣BCF的底面三角形BCF是固定的，又AF⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，∴AF⊥BC，又在矩形ABCD中，BC⊥AB，AB∩AF＝A，∴BC⊥平面ABF，又BF⊂平面ABF，∴BF⊥BC．∴＝．要求三棱锥M﹣BCF体积的最小值，只需求点M到平面BCF距离的最小值h即可．∵M为BD'的中点，∴点M到平面BCF的距离等于D′到底面BCF距离h′的一半．∵E为DC上的动点，且AD′＝1，∴D′的轨迹为以A为球心，以为半径的球面的一部分，作AG⊥BF，交BF于G，当D′为AG与球面的交点时，h′最小，此时h′＝AG﹣AD′＝，∴V M﹣BCF≥＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在3+1+2的新高考模式下，某学校计划在高一下学期开设“物理”和“历史”两个选修科目．为了了解学生对这两个科目的选课意向，以便提前规划教育资源，教务处从高一年级500名学生（其中男生200人，女生300人）中，采用分层抽样的方法从中抽取部分学生进行调查．其中，女生比男生多抽取20人．（1）请问总共抽取了多少名学生进行调查；（2）新高考模式要求每名学生在“物理”和“历史”这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目，下表是根据调查结果得到的一个不完整的列联表，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为选择科目与性别有关？选择“物理”选择“历史”总计男生女生25总计55附：．P（K2≥k e）0.050.010.0050.001k e 3.841 6.6357.87910.828【分析】（1）设女生抽取x人，则男生抽取（x﹣20）人，利用抽样比例列方程求出即可；（2）根据题意补充完整列联表，计算K2，对照数表得出结论．解：（1）设女生抽取x人，则男生抽取（x﹣20）人，则x：（x﹣20）＝3：2，解得x＝60，所以总共抽取了60+（60﹣20）＝100（人）；（2）根据题意补充完整列联表如下；选择“物理”选择“历史”总计男生301040女生253560总计5545100由表中数据，计算K2＝＝≈10.774＜10.828，所以没有99.9%的把握认为选择科目与性别有关．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）当cos B＝时，求的值；（2）在（1）的条件下，若，且△ACD的面积为，求△ABC的周长．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，即可求解．（2）由已知结合三角形的面积公式可求c，进而可求a，b，从而可求三角形的周长．解：（1）因为，cos B＝，由正弦定理可得，＝1，且sin B＝整理可得，sin B cos A+sin A cos B＝sin A sin B，即sin（A+B）＝sin C＝sin A sin B＝sin A，由正弦定理可得，＝＝；（2）由（1）可得a＝c，B＝，由，且△ACD的面积为，可得△ACB的面积为2，故＝2，所以c＝2，a＝2，由余弦定理可得，＝4+8＝4，故b＝2，故△ABC的周长为4+2．19．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD是边长为2的正三角形，F是CD的中点，且BC＝BE＝．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求点D到平面BCE的距离．【分析】（1）取CE的中点G，连接BG，FG．证明四边形ABGF是平行四边形可得AF∥BG，故AF∥平面BCE；（2）证明BG⊥平面CDE，计算三棱锥B﹣CDE的体积，根据V B﹣CDE＝V D﹣BCE计算点D到平面BCE的距离．【解答】（1）证明：取CE的中点G，连接BG，FG．∵F，G分别是CD，CE的中点，∴FG∥DE，FG＝DE，∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∵AC＝AD＝2，BC＝BE＝，∴AB＝1，DE＝2或DE＝0（舍），∴AB＝DE，∴FG∥AB，FG＝AB，∴四边形ABGF是平行四边形，∴AF∥BG，又BG⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，∴AF∥平面BCE．（2）解：∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF，又AF∥BG，∴DE⊥BG，∵BC＝BE，G是CE的中点，∴BG⊥CE，又CE∩DE＝E，CE⊂平面CDE，DE⊂平面CDE，∴BG⊥平面CDE．∵△ACD是边长为2的等边三角形，∴BG＝AF＝，∴V B﹣CDE＝＝＝，∵BC＝BE＝，CE＝＝2，∴S△BCE＝×＝，设D到平面BCE的距离为h，则V D﹣BCE＝＝＝，∴＝，解得h＝．∴点D到平面BCE的距离为．20．已知抛物线C：y2＝2px上一点M（，y0）到其焦点F的距离等于．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若不垂直于x轴的直线l交抛物线C于A，B两点，直线FA与FB的倾斜角互补，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（1）由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得p 的值，进而求出抛物线的方程；（2）设直线l的方程，与抛物线的方程联立求出两根之和及两根之积，进而求出直线FA，FB的斜率之和，由题意可得两条直线的斜率值为0，可证得恒过定点．解：（1）由抛物线的方程可得抛物线的准线方程为：x＝﹣，由M（，y0）到其焦点F的距离等于可得：+＝，解得：p＝1，所以抛物线的方程为：y2＝2x；（2）显然直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x＝my+t，设A（x1，y1），B （x2，y2），联立直线与抛物线的方程：，整理可得：y2﹣2my﹣2t＝0，△＝4m2+8t＞0，即m2+2t＞0，y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2t，因为直线FA与FB的倾斜角互补，由（1）得F（，0），所以k FA+k FB＝0，而k FA+k FB＝+＝+＝＝＝＝＝0，因为m≠0，所以2t+1＝0，即t＝﹣，所以直线l恒过定点（﹣，0）．21．已知函数f（x）＝e2x+2ae x+2ax，其中a＜0．（1）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线方程；（2）若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【分析】第（1）问求出切点坐标和斜率即可写出切线方程；第（2）问等价转换变量分离，求出函数的最小值即可求出a的取值范围．解：已知函数f（x）＝e2x+2ae x+2ax，其中a＜0．（1）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线方程；当a＝﹣1时，f（x）＝e2x﹣2e x﹣2x，f（0）＝﹣1，∴f′（x）＝2e2x﹣2e x﹣2，f′（0）＝2﹣2﹣2＝﹣2∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线方程为：y＝﹣2x﹣1；（2）若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x）≥0恒成立⇔e2x+2ae x+2ax≥0对于任意的x∈R恒成立⇔≤对于任意的x∈R恒成立⇔≤[]min，令g（x）＝，则：g′（x）＝，令g′（x）＝0，即e x+2x﹣1＝0，解得：x＝0，∴当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，∴函数g（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）＝﹣1，∴≤﹣1，解得：a≥﹣，又已知a＜0，所以a的取值范围是：﹣≤a＜0，（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是，（t是参数，，曲线C1的参数方程是（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝4b sinθ．（1）求直线l及曲线C1的极坐标方程；（2）若，l与C1交于O，M两点，l与C2交于O，N两点，求|OM||ON|的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）直线l的参数方程是，（t是参数，，转换为极坐标方程为θ＝α（）．曲线C1的参数方程是（φ为参数）．转换为直角坐标方程为，根据转换为极坐标方程为，整理得：．（2）由于a＝，b＝1，直线l与曲线C1交于O，M两点，则：，直线l与曲线C2交于O，N两点，所以ρN＝4sinθ，所以|OM||ON|＝＝||＝|sin2θ+|＝|2sin（2）|，由于，所以，故，所以，故|OM||ON|的取值范围为：（0，2]．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|3x+m|﹣2m（m∈R）．（1）当m＝﹣1时，求不等式f（x）＜10的解集；（2）若∀x∈R，f（x）+3|x﹣1|≥5恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）由题意可得|3x﹣1|＜8，运用绝对值不等式的解法，可得所求解集；（2）由题意可得（|3x+m|+|3x﹣3|）min≥5+2m，由绝对值不等式的性质可得此不等式左边的最小值，再由绝对值不等式的解法可得所求范围．解：（1）当m＝﹣1时，不等式f（x）＜10即为|3x﹣1|＜8，即﹣8＜3x﹣1＜8，解得﹣＜x＜3，则原不等式的解集为（﹣，3）；（2）若∀x∈R，f（x）+3|x﹣1|≥5恒成立，即为|3x+m|+|3x﹣3|≥5+2m，由|3x+m|+|3x﹣3|≥|3x+m﹣（3x﹣3）|＝|m+3|，当（3x+m）（3x﹣3）≤0时取得等号，可得|m+3|≥5+2m，等价为或，解得﹣3≤m≤﹣2或m＜﹣3，则m的取值范围是m≤﹣2．。

安徽省安庆市玉珠中学2020年高三数学文模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，，且，那么的值可以是（）A．B．C．D．参考答案：D略2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A． B．C． D．参考答案：D3. 满足，且的集合的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B略4. 函数的图像大致是（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据奇偶性和函数的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】令，则，故函数为偶函数，图像关于轴对称，排除C选项.由，解得且.，排除D选项.，故可排除B选项.所以本小题选A.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，主要通过函数的奇偶性和函数图像上的特殊点进行排除，属于基础题.5. 已知函数f(x)=，若x0是方程f（x）=0的根，则x0∈（）A．(0，)B．(，1) C．(1，)D．(，2)参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求函数的定义域，判断函数的单调性，利用函数零点的判断条件进行求解即可．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），且函数在定义域上为减函数，∵f（1）=﹣＜0，f（）=＞0，∴函数f（x）在（，1）内存在唯一的一个零点x0，∵x0∈（，1），故选：B．6. 设函数，则下列关于函数的说法中正确的是（）A.是偶函数B.的最小正周期为C.在区间上是增函数D.的图象关于点对称参考答案：【知识点】复合函数的单调性；函数奇偶性的判断．B3 B4【答案解析】C解析：∵f（）=|sin[2×（）+]|=，f（）=|sin[2×（）+]|=0，f（）≠f（），∴f（x）不是偶函数，选项A错误；∵f（x+）=|sin[2×（x+）+）|=|sin（2x+π+）|=|sin（2x+）|，∴f（x）的最小正周期为，选项B错误；当x∈时，2x∈，2x+∈，∴g（x）=sin（2x+）在上为减函数，f（x）=|sin（2x+）|在上为增函数，选项C正确；函数f（x）=|sin（2x+）|的图象恒在x轴上方，∴f（x）的图象不关于点对称，选项D错误．故选：C．【思路点拨】举例说明A不正确；由f（x+）=f（x）说明B不正确；由x得范围得到相位的范围，说明g（x）=sin（2x+）在上为减函数，f（x）=|sin（2x+）|在上为增函数；由f（x）=|sin（2x+）|的图象恒在x轴上方说明f（x）的图象不关于点对称．7. 在区间[0,2]上随机取两个数，，则的概率是（）．A．B．C．D．参考答案：C本题主要考查微积分的基本定理和几何概型．由题意可将所求概率转化为图中阴影部分面积和正方形面积之比，故所求概率．故选．8. 已知i为虚数单位，复数z=，z与共轭，则等于（）A．1 B．2 C．D．0参考答案：B【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数z，求出共轭复数，再计算的值．【解答】解：∵复数z===1﹣i，∴=1+i，∴=|（1﹣i）（1+i）|=2．故选：B．9. 已知A，B，C，D是函数一个周期内的图象上的四个点，如图所示，B为轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，在轴上的投影为，则的值为（）Ａ． B．Ｃ． D．参考答案：A10. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. B. C. D.参考答案：C, , ,所以选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果实数满足条件，则的最大值为_________．参考答案：考点：简单线性规划．12. 已知椭圆的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为、、、F，延长与交于点P，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为_____________．参考答案：13. 函数的定义域为，且其图象上任一点满足方程，给出以下四个命题：①函数是偶函数；②函数不可能是奇函数；③，；④，.其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：③④从以上情况可以看出：①④表示偶函数，②③表示奇函数，命题①②不正确；由图①②可知，，故命题③正确；由于双曲线的渐近线为，所以命题④正确.故选.考点：函数的定义，函数的奇偶性、单调性，双曲线.14. 函数的最小正周期是．参考答案：15. 已知，且，求的最小值________.参考答案：3【分析】将变形为，展开，利用基本不等式解之．【详解】解：已知，，，则，当且仅当时等号成立；故答案为：3【点睛】本题考查了利用基本不等式求代数式的最值；关键是变形为能够利用基本不等式的形式．16. 若复数（1﹣i）（2i+m）是纯虚数，则实数m的值为．参考答案：﹣2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数（1﹣i）（2i+m）=m+2+（m﹣2）i是纯虚数，∴，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．17. 若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标是 .参考答案：【知识点】复数运算. L4【答案解析】(4，-2) 解析：，所以在复平面内对应的点的坐标是(4，-2).【思路点拨】解已知复数方程得，由此得复平面内对应的点的坐标.三、解答题：本大题共5小题，共72分。