矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等单元过关检测卷(六)带答案人教版高中数学高考真题汇编

高中数学专题复习
《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．二阶矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
的1A -= ▲ ． (12,13班做)若关于x 的不等式a ≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实
数a 的取值范围是 ▲ ．
2．在直角坐标系xOy 中，点P (x P ，y P )和点Q (x Q ，y Q )满足⎩⎨⎧x Q ＝y P ＋x P ，y Q ＝y P －x P
，按此规则由点P 得到点Q ，称为直角坐标平面的一个“点变换”．此变换下，若OQ OP
＝m ，∠POQ ＝θ，其中O 为坐标原点，则y ＝m sin(x ＋θ)的图象在y 轴右边第一个最高点的坐标为 ▲ ． 评卷人
得分 二、解答题
3．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵12c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
A （c ，d 为实数）．若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．。

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《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关
检测
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2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．若矩阵A 有特征值122,1λλ=-=，它们所对应的特征向量分别为10i ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
和01j ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，则矩阵A =______________. 2．函数221log ()2
y x =+的值域为_______________. 关键字：复合函数；求值域；对数 评卷人
得分 二、解答题
3．求使等式
成立的矩阵M 。

4．设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变
换． 求逆矩阵1
M -以及椭圆22
149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程．。

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4511-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦132233223451112111211X ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦评卷人得分 二、解答题3．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，17⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β，计算6M β．4．已知矩阵A 的逆矩阵1A -1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵A ．5．已知矩阵1121A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求向量α，使得2A αβ=． 设x y α⎡⎤=⎣⎦，由2A αβ=得：32432x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，32111,43222x y x x y y α+==--⎧⎧⎡⎤∴∴∴=⎨⎨⎢⎥+==⎩⎩⎣⎦6．试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。

设k 为非零实数，矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值。

[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。

满分10分。

8．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵A=⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．理0，文1；2． 评卷人得分 二、解答题3． 选修4—2：矩阵与变换解：矩阵M 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----． 令12()031f λλλ===-，解得，，对应的一个特征向量分别为111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，211⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α． …5分 令12m n =+βαα，得4,3m n ==-．6666661212112913(43)4()3()433(1)112919⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-=⨯--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦M βM ααM αM α．……………10分4．命题立意：本题主要考查二阶矩阵的逆矩阵，考查运算求解能力．解：设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，则由1-=AA E 得10100201a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，(5分)解得1 0 0 1 2a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，，，，所以10102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A .(10分) 5．6．（选做题）（本小题满分8分）解：MN = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡20021，……………… 4分 设曲线sin y x =上的任意一点为(),x y ，变换后的点为(),x y ''''即在矩阵MN 变换下⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤=⎢⎣⎡⎥⎦⎤''''→⎢⎣⎡⎥⎦⎤y x y x y x 221，……………… 6分 212x x y y ''=⎧⎪∴⎨''=⎪⎩，则x y ''=''2s in 21， 即曲线x y s in =在矩阵MN 变换下的函数解析式为x y 2sin 2=．…………… 8分7．由题设得0010011010k k MN ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦由00220010001022k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可知A 1（0，0）、B 1（0，-2）、C 1（k ，-2）。

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5．已知为矩阵属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的值及A 2。

6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。

设k 为非零实数，矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值。

[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。

满分10分。

7．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵A=⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．8．已知矩阵111A a -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中a R ∈，若点(1,1)P 在矩阵A 的变换下得到的点1(0,3)P -(Ⅰ)求实数a 的值；(Ⅱ)求矩阵A 的特征值及特征向量.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．理0，文1；2． 评卷人得分 二、解答题3．解：设1a b Mc d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，依题意有：7122,10240a b a b c d c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦------4分 即71017102242240a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ ，解之得232112a b c d =-⎧⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎪⎩ ------8分 所以1322112M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦------10分 4．5．6．由题设得0010011010k k MN ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦由00220010001022k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可知A 1（0，0）、B 1（0，-2）、C 1（k ，-2）。

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1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
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得分 一、填空题
1．已知以,x y 为变量的二元一次方程组的增广矩阵为211120-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
，则这个二元一次方程组的解为____________.
2．在直角坐标系中，已知椭圆22
41x y +=，矩阵阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110M ，0210N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积. 评卷人
得分 二、解答题
3．（本小题满分10分，矩阵与变换）
已知矩阵21n A m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
的一个特征根为2λ=，它对应的一个特征向量为12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求m 与n 的值； （2）求1A -．
4．选修42-：矩阵与变换。

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2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．(1）求矩阵A= ⎢⎣⎡31 ⎥⎦
⎤42的逆矩阵；
(2)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β； (3) 已知矩阵M=⎢⎣⎡12 ⎥⎦
⎤10，求矩阵M 的特征值及其相应的特征向量．
2．有下列四种变换方式: ①向左平移4
π,再将横坐标变为原来的21; ②横坐标变为原来的21,再向左平移8
π; ③横坐标变为原来的
21,再向左平移4π; ④向左平移8π,再将横坐标变为原来的2
1; 其中能将正弦曲线x y sin =的图像变为)42sin(π
+=x y 的图像的是。

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评卷人得分 二、解答题3．(选修4—2：矩阵与变换)（本小题满分10分）设矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M （其中00a b ＞，＞），若曲线C ：221x y +=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线2214x C y '+=：，求a b +的值．4．已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值．【答案与解析】【点评】本题主要考查矩阵的构成、矩阵的基本运算以及逆矩阵的求解、矩阵的特征多项式与特征值求解．在求解矩阵的逆矩阵时，首先分清求解方法，然后，写出相应的逆矩阵即可；在求解矩阵的特征值时，要正确的写出该矩阵对应的特征多项式，难度系数较小，中低档题．5．已知矩阵33,A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值1的特征向量为23,2a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦求矩阵A 的逆矩阵 6．给定矩阵⎢⎣⎡=32A ⎥⎦⎤01，.22⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B （1）求A 的特征值21,λλ及对应的特征向量21,αα；（2）求.4B A7．试求曲线x y sin =在先经过矩阵M =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦的变换，再经过矩阵N =10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦的变换后所得的新曲线方程．8．已知曲线22142x y +=经过变换T 变成曲线22124x y +=．求变换T 对应的矩阵．（要求写出两个不同的矩阵）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．2．考查行列式运算法则= 评卷人得分 二、解答题3． （选修4-2：矩阵与变换）设曲线C ：221x y +=上任意一点(,)P x y ，在矩阵M 所对应的变换作用下得到点111(,)P x y ，则1100x a x b y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即11a x xb y y=⎧⎨=⎩． …………………………………………………………5分 又点111(,)P x y 在曲线2214x C y '+=：上，所以221114x y +=，则2214ax by +=为曲线C 的方程．又曲线C 的方程为221x y +=，故24a =，21b =，因为00a b ＞，＞，所以3a b +=． …………………………………………………………10分4．5．6．7．8．（选修4—2：矩阵与变换）解：0110T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，或0110T -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；或0110T -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，或0110T ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，20202T ⎡⎤±⎢⎥=⎢⎥⎢⎥±⎣⎦．10分 【注意】每写对一个给5分．。