北京八中2011年高三第三次月考文科数学试题

2011年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011•北京）已知全集U=R，集合P={x|x2≤1}，那么∁U P=（）A．（﹣∞，﹣1]B．[1，+∞）C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】补集及其运算．【专题】集合．【分析】先求出集合P中的不等式的解集，然后由全集U=R，根据补集的定义可知，在全集R中不属于集合P的元素构成的集合为集合A的补集，求出集合P的补集即可．【解答】解：由集合P中的不等式x2≤1，解得﹣1≤x≤1，所以集合P=[﹣1，1]，由全集U=R，得到C U P=（﹣∞，1）∪（1，+∞）．故选D【点评】此题属于以不等式的解集为平台，考查了补集的运算，是一道基础题．2．（5分）（2011•北京）复数=（）A．i B．﹣i C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】将分子、分母同乘以1﹣2i，再按多项式的乘法法则展开，将i2用﹣1代替即可．【解答】解：==i故选A【点评】本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数；再按多项式的乘法法则展开即可．3．（5分）（2011•北京）如果那么（）A．y＜x＜1 B．x＜y＜1 C．1＜x＜y D．1＜y＜x【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题所给的不等式是一个对数不等式，我们要先将不等式的三项均化为同底根据对数函数的单调性，即可得到答案．【解答】解：不等式可化为：又∵函数的底数0＜＜1故函数为减函数∴x＞y＞1故选D【点评】本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据对数函数的性质将对数不等式转化为一个整式不等式是解答本题的关键．4．（5分）（2011•北京）若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．﹁p是真命题D．﹁q是真命题【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】根据题意，由复合命题真假表，依次分析选项即可作出判断．【解答】解：∵p是真命题，q是假命题，∴p∧q是假命题，选项A错误；p∨q是真命题，选项B错误；￢p是假命题，选项C错误；￢q是真命题，选项D正确．故选D．【点评】本题考查复合命题的真假情况．5．（5分）（2011•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．32 B．16+16 C．48 D．16+32【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】根据所给的三视图得到四棱锥的高和底面的长和宽，首先根据高做出斜高，做出对应的侧面的面积，再加上底面的面积，得到四棱锥的表面积．【解答】解：由题意知本题是一个高为2，底面是一个长度为4的正方形的四棱锥，过顶点向底面做垂线，垂线段长是2，过底面的中心向长度是4的边做垂线，连接垂足与顶点，得到直角三角形，得到斜高是2，∴四个侧面积是，底面面积是4×4=16，∴四棱锥的表面积是16+16，故选：B．【点评】本题考查有三视图求表面积和体积，考查由三视图得到几何图形，考查简单几何体的体积和表面积的做法，本题是一个基础题．6．（5分）（2011•北京）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．【分析】根据输入A的值，然后根据S进行判定是否满足条件S≤2，若满足条件执行循环体，依此类推，一旦不满足条件S≤2，退出循环体，求出此时的P值即可．【解答】解：S=1，满足条件S≤2，则P=2，S=1+=满足条件S≤2，则P=3，S=1++=满足条件S≤2，则P=4，S=1+++=不满足条件S≤2，退出循环体，此时P=4故选：C【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断．7．（5分）（2011•北京）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A．60件B．80件C．100件D．120件【考点】函数模型的选择与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】若每批生产x件，则平均仓储时间为天，可得仓储总费用为，再加上生产准备费用为800元，可得生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是=元，由此求出平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，再用基本不等式求出最小值对应的x值【解答】解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是=这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为（x为正整数）由基本不等式，得当且仅当时，f（x）取得最小值、可得x=80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故答案为B【点评】本题结合了函数与基本不等式两个知识点，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案．8．（5分）（2011•北京）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】抛物线的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．【解答】解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A【点评】本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）（2011•北京）在△ABC中．若b=5，，sinA=，则a=．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】直接利用正弦定理，求出a 的值即可．【解答】解：在△ABC中．若b=5，，sinA=，所以，a===．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查正弦定理解三角形，考查计算能力，常考题型．10．（5分）（2011•北京）已知双曲线（b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则b=2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的标准方程写出其渐近线方程是解决本题的关键，根据已知给出的一条渐近线方程对比求出b的值．【解答】解：该双曲线的渐近线方程为，即y=±bx，由题意该双曲线的一条渐近线的方程为y=2x，又b＞0，可以得出b=2．故答案为：2．【点评】本题考查根据双曲线方程求解其渐近线方程的方法，考查学生对双曲线标准方程和渐近线方程的认识和互相转化，考查学生的比较思想，属于基本题型．11．（5分）（2011•北京）已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（k，）．若与共线，则k=1．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的坐标运算求出的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出k的值．【解答】解：∵与共线，∴解得k=1．故答案为1．【点评】本题考查向量的坐标运算、考查向量共线的坐标形式的充要条件：坐标交叉相乘相等．12．（5分）（2011•北京）在等比数列{a n}中，a1=，a4=﹣4，则公比q=﹣2；a1+a2+…+a n=．【考点】等比数列的性质；等比数列．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的性质可知，第4项比第1项得到公比q的立方等于﹣8，开立方即可得到q的值，然后根据首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式写出此等比数列的前n项和S n的通项公式，化简后即可得到a1+a2+…+a n的值．【解答】解：q3==﹣8∴q=﹣2；由a1=，q=﹣2，得到：等比数列的前n项和S n=a1+a2+…+a n==．故答案为：﹣2；【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的前n项和公式化简求值，是一道基础题．13．（5分）（2011•北京）已知函数若关于x 的方程f（x）=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是（0，1）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】要求程f（x）=k有两个不同的实根是数k的取值范围，根据方程的根与对应函数零点的关系，我们可以转化为求函数y=f（x）与函数y=k交点的个数，我们画出函数的图象，数形结合即可求出答案．【解答】解：函数的图象如下图所示：由函数图象可得当k∈（0，1）时方程f（x）=k有两个不同的实根，故答案为：（0，1）【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据方程的根与对应函数零点的关系，将方程问题转化为函数问题是解答的关键．14．（5分）（2011•北京）设A（0，0），B（4，0），C（t+4，3），D（t，3）（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N（0）=6，N（t）的所有可能取值为6、7、8．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出平行四边形，结合图象得到平行四边形中的整数点的个数．【解答】解：当t=0时，平行四边形ABCD内部的整点有（1，1）；（1，2）；（2，1）；（2，2）；（3，1）；（3，2）共6个点，所以N（0）=6作出平行四边形ABCD将边OD，BC变动起来，结合图象得到N（t）的所有可能取值为6，7，8故答案为：6；6，7，8【点评】本题考查画可行域、考查数形结合的数学思想方法．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）（2011•北京）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的余弦函数；三角函数的最值．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后，利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．（Ⅱ）利用x的范围确定2x+的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵，=4cosx（）﹣1=sin2x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数的最小正周期为π；（Ⅱ）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2，当2x+=﹣时，即x=﹣时，f（x）取得最小值﹣1．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值．解题的关键是对函数解析式的化简整理．16．（13分）（2011•北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（注：方差，其中的平均数）（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据所给的这组数据，利用求平均数的公式，把所有的数据都相加，再除以4，得到平均数，代入求方差的公式，做出方差．（2）本题是一个等可能事件的概率．分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有16种结果，满足条件的事件是这两名同学的植树总棵数为19，可以列举出共有4种结果，根据等可能事件的概率公式得到结果．【解答】解：（1）当X=8时，由茎叶图可知乙组同学的植树棵树是8，8，9，10，∴平均数是，方差是+=．（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率．若X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有16种结果，满足条件的事件是这两名同学的植树总棵数为19，包括：（9，10），（11，8），（11，8），（9，10）共有4种结果，∴根据等可能事件的概率公式得到P=．【点评】本题考查一组数据的平均数和方差，考查等可能事件的概率，考查利用列举法来列举出符合条件的事件数和满足条件的事件数，本题是一个文科的考试题目．17．（14分）（2011•北京）如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G 分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；立体几何．【分析】（Ⅰ）根据两个点是两条边的中点，得到这条线是两条边的中位线，得到这条线平行于PC，根据线面平行的判定定理，得到线面平行．（Ⅱ）根据四个点是四条边的中点，得到中位线，根据中位线定理得到四边形是一个平行四边形，根据两条对角线垂直，得到平行四边形是一个矩形．（Ⅲ）做出辅助线，证明存在点Q到四面体PABC六条棱的中点的距离相等，根据第二问证出的四边形是矩形，根据矩形的两条对角线互相平分，又可以证出另一个矩形，得到结论．【解答】证明：（Ⅰ）∵D，E分别为AP，AC的中点，∴DE∥PC，∵DE⊄平面BCP，∴DE∥平面BCP．（Ⅱ）∵D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，∴DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF∴四边形DEFG为平行四边形，∵PC⊥AB，∴DE⊥DG，∴四边形DEFG为矩形．（Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点，由（Ⅱ）知DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG，分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN，与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM=QN=EG，∴Q为满足条件的点．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查三角形中位线定理，考查平行四边形和矩形的判定及性质，本题是一个基础题．18．（13分）（2011•北京）已知函数f（x）=（x﹣k）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x）f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；（Ⅱ）根据（I），对k﹣1是否在区间[0，1]内进行讨论，从而求得f（x）在区间[0，1]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（x﹣k+1）e x，令f′（x）=0，得x=k﹣1，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：x （﹣∞，k﹣1）k﹣1 （k﹣1，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↓﹣e k﹣1↑∴f（x）的单调递减区间是（﹣∞，k﹣1），f（x）的单调递增区间（k﹣1，+∞）；（Ⅱ）当k﹣1≤0，即k≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）=﹣k；当0＜k﹣1＜1，即1＜k＜2时，由（I）知，f（x）在区间[0，k﹣1]上单调递减，f（x）在区间（k﹣1，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k﹣1）=﹣e k﹣1；当k﹣1≥1，即k≥2时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）=（1﹣k）e；综上所述f（x）min=．【点评】此题是个中档题．考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，对方程f'（x）=0根是否在区间[0，1]内进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，增加了题目的难度．19．（14分）（2011•北京）已知椭圆G：=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求△PAB的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c=，可求出a的值，再根据b2=a2﹣c2求出b的值，即可求出椭圆G的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，c=，，解得a=，又b2=a2﹣c2=4，所以椭圆G的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，由得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），则x0==﹣，y0=x0+m=，因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k=，解得m=2．此时方程①为4x2+12x=0．解得x1=﹣3，x2=0，所以y1=﹣1，y2=2，所以|AB|=3，此时，点P（﹣3，2）．到直线AB：y=x+2距离d=，所以△PAB的面积s=|AB|d=．【点评】此题是个中档题．考查待定系数法求椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．20．（13分）（2011•北京）若数列A n：a1，a2，…，a n（n≥2）满足|a k+1﹣a k|=1（k=1，2，…，n﹣1），则称A n为E数列，记S（A n）=a1+a2+…+a n．（Ⅰ）写出一个E数列A5满足a1=a3=0；（Ⅱ）若a1=12，n=2000，证明：E数列A n是递增数列的充要条件是a n=2011；（Ⅲ）在a1=4的E数列A n中，求使得S（A n）=0成立得n的最小值．【考点】数列的应用．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（Ⅰ）根据题意，a2=±1，a4=±1，再根据|a k+1﹣a k|=1给出a5的值，可以得出符合题的E数列A5；（Ⅱ）从必要性入手，由单调性可以去掉绝对值符号，可得是A n公差为1的等差数列，再证充分性，由递增数列的性质得出不等式，再利用同向不等式的累加，可得a k+1﹣a k=1＞0，A n是递增数列；（Ⅲ）由|a k+1﹣a k|=1，可得a k+1≥a k﹣1，再结合已知条件a1=4，可得n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一个满足条件的E数列A5（答案不唯一，0，﹣1，0，﹣1，0或0，±1，0，1，2或0，±1，0，﹣1，﹣2或0，±1，0，﹣1，0都满足条件的E数列A5）（Ⅱ）必要性：因为E数列A n是递增数列所以a k+1﹣a k=1（k=1，2， (1999)所以A n是首项为12，公差为1的等差数列．所以a2000=12+（2000﹣1）×1=2011充分性：由于a2000﹣a1999≤1a1999﹣a1998≤1…a2﹣a1≤1，所以a2000﹣a1≤1999，即a2000≤a1+1999又因为a1=12，a2000=2011所以a2000≤a1+1999故a k+1﹣a k=1＞0（k=1，2，…，1999），即A n是递增数列．综上所述，结论成立．（Ⅲ）对首项为4的E数列A n，由于a2≥a1﹣1=3a3≥a2﹣1≥2…a8≥a7﹣1≥﹣3…所以a1+a2+…+a k＞0（k=2，3，…，8），所以对任意的首项为4的E数列A n，若S（A n）=0，则必有n≥9，又a1=4的E数列A9：4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3，﹣4满足S（A9）=0，所以n的最小值是9．【点评】本题以数列为载体，考查了不等式的运用技巧，属于难题，将题中含有绝对值的等式转化为不等式是解决此题的关键．。

2011届高三年级第三次月考数学试卷一、选择题（10×5=50分） 1、0sin(330)-的值为（ ） A ．12B ．-12CD ．2、若34sin ,cos 55θθ==-，则2θ所在象限是（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四3、如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）A ．3|1|(02)2y x x =-≤≤B ．33|1|(02)22y x x =--≤≤C ．3|1|(02)2y x x =--≤≤D ．1|1|(02)y x x =--≤≤4、函数()y f x =图象如图所示，则函数12log ()y f x = 图象大致是（ ）5、函数32()ln 2f x xπ=-的零点一定位于区间（ ） A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（3，4） D ．（4，5）6、直线1ln()y x y x a =+=+与曲线相切，则a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-27、已知1sin 2sin ,'2y x x y =+则是（ ） A ．仅有最小值的奇函数 B ．既有最大值又有最小值的偶函数 C ．仅有最大值的偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数8、函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是（ ） A ．0a >B ．0a ≥C ．0a <D ．0a ≤AB C D9、函数32()6f x ax ax b =-+在[-1,2]上最大值为3，最小值为-29（a>0），则（ ） A ．a=2，b=-29B ．a-3， b=2C ．a=2, b=3D ．以上都不对10、函数21()ln 22f x x ax x =--存在单调递减区间，则a 的取值范围是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．[0，1） C ．（-1，0]D ．(,)-∞+∞二、填空题（6×4=24分）11、设230.311331log ,log ,(),,,2a b c a b c ===则大小关系为 。

2010—2011学年第二学期东城区示范校综合练习 高三 数学 （文科） 2011年3月命题校：北京市第五十五中学第Ⅰ卷一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.选出符合题目要求的一项填在机读卡上.1．设{}B x A x x B A ∉∈=-且，若{}3,4,5,2,1=A ，{}9,7,5,3=B ，则B A -等于（ ） (A) {},9,7,5,4,3,2,1 (B) {}4,2,1 (C) {}9,7,4,2,1 (D) {}5,3 2．在复平面内，复数2)31(12i i---对应的点位于（ ）(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限3．在等差数列{}n a 中，若45076543=++++a a a a a ，则82a a +的值为（ ） (A) 45 (B) 90 (C) 180 (D)300 4．在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上随机取一个x ，x sin 的值介于21-与21之间的概率为（ ）(A)31 (B)π2(C)21 (D)325．设函数6ln 2)(-+=x x x f 的零点为m ，则m 的所在区间为（ ） (A) ()1,0 (B) ()2,1 (C) ()3,2 (D) )4,3( 6．函数x y 2cos =的图像可由x y 2sin =的图像（ ） (A) 向右平移2π个单位长度 (B) 向左平移2π个单位长度 (C) 向右平移4π个单位长度 (D) 向左平移4π个单位长度7．设a ，b ，c 均为单位向量，且b a ⊥，则)()(c b c a+⋅+的最小值为（ ）(A) 1- (B) 21- (C) 22- (D) 2-8．已知双曲线的两个焦点为)0,10(1-F ，)0,10(2F ，M 是此双曲线上一点，若021=⋅MF MF 2=，则该双曲线的方程是（ ） (A)1922=-yx(B) 1922=-yx (C)17322=-yx(D)13722=-yx第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为________.11．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果 绘制成频率分布直方图（如图），若成绩介于 14秒与16秒之间认为是良好，则该班在这次测试中成绩良好的人数为_______.12．若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-≥+-020022y x y x y x ，则y x z 22+=的最大值为_______，最小值为______.13．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m ∥n ，αα⊥⇒⊥n m ；②α∥β，α⊂m ，⇒⊂βn m ∥n ； ③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α；④α∥β，m ∥n ， βα⊥⇒⊥n m . 其中正确命题的序号是____________.14．A 点从原点出发，每步走一个单位，方向为向上或向右，则走三步时，所有可能终点的横坐标的和为_________；走n 步时，所有可能终点的横坐标的和为_________.三．解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题13分）已知向量)23,(sin x a = ，)1,(cos -=x b（1）当a ∥b 时，求x x 2sin cos 22-的值； （2）求b b a x f ⋅+=)()(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,2π上的值域.AC16．（本小题12分）袋中有大小、形状相同的红、黑球各两个，现依次不放回地随机取3次，每次取一个球.（1）试问：一共有多少种不同的结果，请列出所有可能的结果；（2）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率.17．（本小题13分）如图，在四棱锥ABCD -P 中， 底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F （1）证明：PA ∥平面EDB ； （2）证明：PB ⊥平面EFD .18．（本小题14分）已知函数)(1031)(23R x x axx x f ∈+-=.（1）若3=a ，点P 为曲线)(x f y =上的一个动点，求以点P 为切点的切线斜率取最小值时的切线方程； （2）若函数)(x f y =在),0(+∞上为单调增函数，试求a 的取值范围.19．（本小题14分）椭圆12222=+by ax )0(>>b a 的一个顶点为A )3,0(，离心率54=e（1）求椭圆方程；（2）若直线3-=kx y ： 与椭圆交于不同的两点N M ,，且满足PN MP =，0=⋅MN AP ，求直线 的方程.20．（本小题14分）已知数列{}n a 为等差数列，53=a ，137=a ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且有12-=n n b S（1）求{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若n n n b a c =，{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ； （3）试比较n T 与n n S a 的大小，并说明理由.A参考答案选择题1．B 2．A 3．C 4．A 5．C 6．D 7．B 8．A 填空题9．127 10．π2 11．27 12．64 ; 81 13．①④ 14．6 ; 2)1(+n n注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分 解答题15.解：（1）∵a ∥b ，∴0sin cos 23=+x x ，∴23tan -=x ， …3分∴1320tan1tan 22cossin cos sin 2cos22sin cos 222222=+-=+-=-xx xx xx x x x . …6分（2）∵)21,cos (sin x x b a +=+ ，∴)42sin(22)()(π+=⋅+=x b b a x f ， …8分∵02≤≤-x π，∴44243πππ≤+≤-x ，∴22)42sin(1≤+≤-πx ， …10分∴21)(22≤≤-x f ， …12分 ∴函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,22.…13分 16．解：（1）一共有6种不同的结果.列举如下：（红红黑）（红黑红）（黑红红）（红黑黑）（黑红黑）（黑黑红）…6分 （2）记“3次摸球所得总分为5”为事件A.事件A 包含的基本事件为：（红红黑）（红黑红）（黑红红） 由（1）可知，基本事件总数为6 ∴事件A 的概率2163)(==A P . …12分17．证明：（1）连结AC 交BD 与O ，连结EO .∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点.又∵E 是PC 的中点 ∴在△PAC 中，EO 为中位线 ∴PA ∥EO . …3分 而EO ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，∴PA ∥平面EDB . …6分 （2）由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC .∵底面ABCD 是正方形，∴DC ⊥BC ， ∴BC ⊥平面PDC . 而DE ⊂平面PDC ，∴BC ⊥DE .① …8分 ∵DC PD =，E 是PC 的中点，∴△PDC 是等腰三角形， DE ⊥PC .② …10分 由①和②得DE ⊥平面PBC .而PB ⊂平面PBC ，∴DE ⊥PB . …12分 又EF ⊥PB 且DE EF =E ，∴PB ⊥平面EFD . …13分显然当3=x 时切线斜率取最小值1，又12)3(=f ， …4分∴所求切线方程为312-=-x y ，即09=+-y x 。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1） 已知全集U=R ，集合{}21P x x =½£，那么U P =ð(A)(,1-¥-) (B)(1,+¥) (C)（-1，1) (D)()()11-¥,-,+¥【解析】：2111x x £Þ-££，U P =ð()()11-¥,-,+¥ ，故选D （2）复数212ii-=+(A)i (B )i - (C)4355i -- (D)4355i -+ 【解析】：22i 2(i 2)(12i)2242(1)2412i (12i)(12i)1414(1)i i i i i i i ---------+====++----，选A 。

（3）如果1122log log 0x y <<，那么，那么（A ）1y x << (B)1x y << (C)1x y << (D)1y x << 【解析】：1122log log x y x y <Þ>，12log 01y y <Þ>，即1y x <<故选D（4）若p 是真命题，q 是假命题，则是假命题，则（A ）p q Ù是真命题是真命题 (B)p q Ú是假命题是假命题 (C)p Ø是真命题是真命题 (D)q Ø是真命题是真命题 【解析】：或（Ú）一真必真，且（Ù）一假必假，非（Ø）真假相反，故选D（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是(A)32 (B)16+162 (C)48 (D)16322+【解析】：由三视图可知几何体为底面边长为4，高为2的正四棱锥，则四棱锥的斜高为22，表面积2142244161622´´´+=+故选B 。

2025届高三上学期月考（三）（11月）数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．若复数满足，则（ ）z 1i34i z +=-z =A ．B ．C ．D ．252．已知数列的前项和，则等于（ ）{}n a n 22n S n n =-345a a a ++A ．12B ．15C ．18D ．213．抛物线的焦点坐标为（ ）24y x =A ．B ．(1,0)(1,0)-C ．D ．1(0,)16-1(0,164．如图是函数的部分图象，则函数的解析式可为（ ）()sin y x ωϕ=+A ．B ．πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．D ．πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．1903年，火箭专家、航天之父康斯坦丁・齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度满足公式：，其中v 1201lnm m v v m +=分别为火箭结构质量和推进剂的质量，是发动机的喷气速度.已知某单级火12,m m 0v 箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为，则火箭发动机的喷气8km /s 速度为（ ）（参考数据：，）ln20.7≈ln3 1.1,ln4 1.4≈≈A ．B ．C ．D ．10km /s 20km /s80km /s 340km /s6．若，，则的值为（ ）83cos 5αβ=63sin 5αβ=()cos αβ+A ．B ．C ．D ．7．如图，一个质点从原点O 出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为，向右的概率为，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概2313率为（ ）A ．B ．C ．D ．42782729498．设为数列的前n 项和，若，且存在，，n S {}n a 121++=+n n a a n *N k ∈1210k k S S +==则的取值集合为（ ）1a A ．B ．{}20,21-{}20,20-C ．D ．{}29,11-{}20,19-二、多选题（本大题共3小题）9．如图，在正方体中，点，分别为，的中点，则下列说1111ABCD A B C D -E F 1AD DB 法正确的是（ ）A ．直线与为异面直线B ．直线与所成的角为EF 11D B 1D E1DC 60C ．D ．平面1D F AD⊥//EF 11CDD C 10．已知是圆上的动点，直线与P 22:4O x y +=1:cos sin 4l x y θθ+=交于点，则（ ）2:sin cos 1l x y θθ-=Q A ．B ．直线与圆相切12l l ⊥1l OC ．直线与圆截得弦长为D ．的值为2l O OQ11．已知三次函数有三个不同的零点，，，()32f x ax bx cx d=+++1x 2x ()3123x x x x <<函数也有三个零点，，，则（ ）()()1g x f x =-1t 2t()3123t t t t <<A ．23b ac>B ．若，，成等差数列，则1x 2x 3x 23b x a=-C ．1313x x t t +<+D ．222222123123x x x t t t ++=++三、填空题（本大题共3小题）12．已知随机变量服从二项分布，若，，则 .X (),B n p ()3E X =()2D X =n =13．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则a b 2a = 1= b b a 14a - 为 .a b+ 14．如图，已知四面体的体积为32，，分别为，的中点，，ABCD E F AB BC G 分别在，上，且，是靠近点的四等分点，则多面体的体积H CD AD G H D EFGHBD 为 .四、解答题（本大题共5小题）15．设的内角，，的对边分别为，，，已知.ABC A B C a b c sin cos 0a B A =(1)求；A(2)若，且的面积为的值.sin sin 2sin B C A +=ABC a 16．设，.()()221ln 2f x x ax x x=++a ∈R (1)若，求在处的切线方程；0a =()f x 1x =(2)若，试讨论的单调性.a ∈R ()f x 17．已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的P ABCD -ABCD ,PD PB H =PC AH 平面分别交于点，且∥平面．,PB PD ,M N BD AMHN(1)证明：；MN PC ⊥(2)当为的中点，与平面所成的角为，求平面H PC ,PA PC PA ==ABCD 60︒与平面所成的锐二面角的余弦值．PAM AMN18．已知双曲线的左、右焦点为，，过的直线与双曲线交于，22:13y x Γ-=1F 2F 2F l ΓA 两点.B (1)若轴，求线段的长；AB x ⊥AB (2)若直线与双曲线的左、右两支相交，且直线交轴于点，直线交轴l 1AF y M 1BF y 于点.N （i ）若，求直线的方程；11F AB F MNS S = l （ii ）若，恒在以为直径的圆内部，求直线的斜率的取值范围.1F 2F MN l 19．已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，设集合{}n a *k ∈N ，设为集合中的元素个数，当时，规定.{}*k i B i a k=∈<N ∣kb kB k B =∅0k b =(1)若，求，，的值；2n a n =1b 2b 17b (2)若，设的前项和为，求；2n n a =n b n n S 12n S +(3)若数列是等差数列，求数列的通项公式.{}n b {}n a参考答案1．【答案】C【详解】由可得，1i 34i z +=-()()()()1i 34i 1i 17i 34i 34i 34i 25z +++-+===--+故选：C 2．【答案】B 【详解】因为数列的前项和，{}n a n 22n S n n =-所以.34552=a a a S S ++-()2252522215=-⨯--⨯=故选：B.3．【答案】D【详解】解：由，得，24y x =214x y =所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，y 124p =所以，，18p =1216p =所以焦点坐标为，1(0,16故选：D 4．【答案】A【详解】观察图象可得函数的最小正周期为，()sin y x ωϕ=+2ππ2π36T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以，故或，排除B ；2ππω=2ω=2ω=-观察图象可得当时，函数取最小值，π2π5π63212x +==当时，可得，，2ω=5π3π22π+122k ϕ⨯+=Z k ∈所以，，排除C ；2π2π+3k ϕ=Z k ∈当时，可得，，2ω=-5ππ22π122k ϕ-⨯+=-Z k ∈所以，，π2π+3k ϕ=Z k ∈取可得，，0k =π3ϕ=故函数的解析式可能为，A 正确；πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，D 错误5ππππcos 2cos 2sin 26233y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A.5．【答案】B 【详解】由题意，，122m m =122200122lnln 82m m m m v v v m m ++===得，故，03ln82v =0888203ln3ln 2 1.10.7ln 2v ==≈=--故选：B 6．【答案】C 【详解】因为，，83cos 5αβ=63sin 5αβ=所以，，25(3cos 4)62αβ=2(3sin)2536αβ=即所以，2259cos co 6s 1042cos ααββ++=，229sin sin +10sin2536ααββ-=两式相加得，9)104αβ+++=所以cos()αβ+=故选：C ．7．【答案】A【详解】共移动4次，该质点共两次到达1的位置的方式有和0101→→→，且两种方式第次移动向左向右均可以，0121→→→4所以该质点共两次到达1的位置的概率为.211124333332713⨯⨯+⨯⨯=故选：A.8．【答案】A 【详解】因为，121++=+n n a a n 所以，()()()()()()212342123+41=++++++37+41=212n n n n n S a a a a a a n nn --⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅-=+假设，解得或（舍去），()2=21=210n S n n +=10n 21=2n -由存在，，所以有或，*N k ∈1210kk S S +==19k =20k =由可得，，两式相减得：，121++=+n n a a n +1223n n a a n ++=+22n n a a +-=当时，有，即，20k =2021210S S ==210a =根据可知：数列奇数项是等差数列，公差为2，22n n a a +-=所以，解得，()211+11120a a =-⨯=120a =-当时，有，即，19k =1920210S S ==200a =根据可知：数列偶数项也是等差数列，公差为2，22n n a a +-=所以，解得，()202+10120a a =-⨯=218a =-由已知得，所以.123a a +=121a =故选：A.9．【答案】ABD【详解】如图所示，连接，，，AC 1CD EF 由于，分别为，的中点，即为的中点，E F 1AD DB F AC 所以，面，面，1//EF CD EF ⊄11CDD C 1CD ⊆11CDD C 所以平面，即D 正确；//EF 11CDD C 所以与共面，而，所以直线与为异面直线，即A 正确；EF 1CD 1B ∉1CD EF 11D B 连接，易得，1BC 11//D E BC 所以即为直线与所成的角或其补角，1DC B ∠1D E 1DC 由于为等边三角形，即，所以B 正确；1BDC 160DC B ∠=假设，由于，，所以面，1D F AD ⊥1AD DD ⊥1DF DD D = AD ⊥1D DF 而面显然不成立，故C 错误；AD ⊥1D DF 故选：ABD.10．【答案】ACD 【详解】选项A ：因，故，A 正确；()cos sin sin cos 0θθθθ+-=12l l ⊥选项B ：圆的圆心的坐标为，半径为，O O ()0,02r =圆心到的距离为，故直线与圆相离，故B 错误；O 1l 14d r==>1l O 选项C ：圆心到的距离为，O 1l21d ==故弦长为，故C正确；l ==选项D ：由得，cos sin 4sin cos 1x y x y θθθθ+=⎧⎨-=⎩4cos sin 4sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=-⎩故，()4cos sin ,4sin cos Q θθθθ+-故，故D 正确OQ ==故选：ACD 11．【答案】ABD 【详解】因为，()32f x ax bx cx d=+++则，，对称中心为，()232f x ax bx c '=++0a ≠,33bb f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于A ，因为有三个不同零点，所以必有两个极值点，()f x ()f x 即有两个不同的实根，()2320f x ax bx c '=++=所以，即，故A 正确；2Δ4120b ac =->23b ac >对于B ，由成等差数列，及三次函数的中心对称性，123,,x x x 可知为的对称中心，所以，故B 正确；()()22,x f x ()f x 23b x a =-对于C ，函数，当时，，()()1g x f x =-()0g x =()1f x =则与的交点的横坐标即为，，，1y =()y f x =1t 2t 3t 当时，画出与的图象，0a >()f x 1y =由图可知，，，则，11x t <33x t <1313x x t t +<+当时，则，故C 错误；0a <1313x x t t +>+对D ，由题意，得，()()()()()()32123321231a x x x x x x ax bx cx d a x t x t x t ax bx cx d ⎧---=+++⎪⎨---=+++-⎪⎩整理，得，123123122331122331b x x x t t t ac x x x x x x t t t t t t a ⎧++=++=-⎪⎪⎨⎪++=++=⎪⎩得，()()()()2212312233112312233122x x x x x x x x x t t t t t t t t t ++-++=++-++即，故D 正确.222222123123x x x t t t ++=++故选：ABD.12．【答案】9【详解】由题意知随机变量服从二项分布，，，X (),B n p ()3E X =()2D X =则，即得，()3,12np np p =-=1,93p n ==故答案为：913．【答案】【详解】因为在上的投影向量为，b a14a -所以，又，14b a a a aa ⋅⋅=-2a =所以，又，1a b ⋅=-1= b 所以a b+==== 故答案为：14．【答案】11【详解】如图，连接，则多面体被分成三棱锥和四棱锥.,EG ED EFGHBD G EDH -E BFGD -因是上靠近点的四等分点，则，H AD D 14DHE AED S S =又是的中点，故，E AB 11114428DHE AED ABD ABD S S S S ==⨯= 因是上靠近点的四等分点，则点到平面的距离是点到平面的G CD D G ABD C ABD 距离的，14故三棱锥的体积；G EDH -1113218432G EDH C ABD V V --=⨯=⨯=又因点是的中点，则，故，F BC 133248CFG BCD BCD S S S =⨯= 58BFGD BCD S S =又由是的中点知，点到平面的距离是点到平面的距离的，E AB E BCD A BCD 12故四棱锥的体积，E BFGD -51532108216E BFGD A BCD V V --=⨯=⨯=故多面体的体积为EFGHBD 11011.G EDH E BFGD V V --+=+=故答案为：11.15．【答案】(1)π3A =(2)2a =【详解】（1）因为,即，sin cos 0a B A =sin cos a B A =由正弦定理得，sin sin cos A B B A ⋅=⋅因为，所以,则，sin 0B ≠sin A A =tan A =又，所以.()0,πA ∈π3A =（2）因为，由正弦定理得，sin sin 2sin B C A +=2b c a +=因为，所以，π3A =11sin 22ABC S bc A bc === 4bc =由余弦定理，得，2222cos a b c bc A =+-⋅224b c bc +-=所以，则，解得.()234b c bc +-=()22344a -⨯=2a =16．【答案】(1)4230--=x y (2)答案见解析【详解】（1）当时，，，因0a =()221ln 2f x x x x=+()2(ln 1)f x x x =+'，1(1),(1)22f f '==故在处的切线方程为，即；()f x 1x =12(1)2y x -=-4230--=x y （2）因函数的定义域为，()()221ln 2f x x ax x x=++(0,)+∞，()(2)ln 2(2)(ln 1)f x x a x x a x a x =+++=++'① 当时，若，则，故，即函数在2a e ≤-10e x <<ln 10,20x x a +<+<()0f x '>()f x 上单调递增；1(0,e 若，由可得.1e x >20x a +=2a x =-则当时，，，故，即函数在上单调1e 2a x <<-20x a +<ln 10x +>()0f x '<()f x 1(,e 2a-递减；当时，，故，即函数在上单调递增；2a x >-ln 10,20x x a +>+>()0f x '>()f x (,)2a-+∞② 当时，若，则，故，即函数在2e a >-1e x >ln 10,20x x a +>+>()0f x '>()f x 上单调递增；1(,)e +∞若，则，故，即函数在上单调递减；12e a x -<<ln 10,20x x a +<+>()0f x '<()f x 1(,)2e a -若，则，故，即函数在上单调递增，02a x <<-ln 10,20x x a +<+<()0f x '>()f x (0,2a-当时，恒成立，函数在上单调递增，2e a =-()0f x '≥()f x ()0,+∞综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在2e a <-()f x 1(0,)e 1(,)e 2a -上单调递增；(,)2a-+∞当时，函数在上单调递增；2e a =-()f x ()0,+∞当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上2e a >-()f x (0,2a -1(,2e a -1(,)e +∞单调递增.17．【答案】(1)证明见详解【详解】（1）设，则为的中点，连接，AC BD O = O ,AC BD PO 因为为菱形，则，ABCD AC BD ⊥又因为，且为的中点，则，PD PB =O BD PO BD ⊥，平面，所以平面，AC PO O = ,AC PO ⊂PAC BD ⊥PAC 且平面，则，PC ⊂PAC BD PC ⊥又因为∥平面，平面，平面平面，BD AMHN BD ⊂PBD AMHN PBD MN =可得∥，所以.BD MN MN PC ⊥（2）因为，且为的中点，则，PA PC =O AC PO AC ⊥且，，平面，所以平面，PO BD ⊥AC BD O = ,AC BD ⊂ABCD ⊥PO ABCD 可知与平面所成的角为，即为等边三角形，PA ABCD 60PAC ∠=︒PAC 设，则，且平面，平面，AH PO G = ,G AH G PO ∈∈AH ⊂AMHN PO ⊂PBD 可得平面，平面，∈G AMHN ∈G PBD 且平面平面，所以，即交于一点，AMHN PBD MN =G MN ∈,,AH PO MN G 因为为的中点，则为的重心，H PC G PAC 且∥，则，BD MN 23PM PN PG PB PD PO ===设，则，2AB=11,32PA PC OA OC AC OB OD OP ========如图，以分别为轴，建立空间直角坐标系，,,OA OB OP ,,x y z 则，)()22,0,0,3,0,,1,0,,133AP M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得，()24,1,0,,0,33AM NM AP ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面的法向量，则，AMN ()111,,x n y z =1111203403n AM y z n NM y ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩ 令，则，可得，11x=110,y z ==(n = 设平面的法向量，则，PAM ()222,,m x y z =2222220330m AM y z m AP z ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ 令，则，可得，2x =123,1y z ==)m = 可得，cos ,n m =所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值PAMAMN18．【答案】(1)线段的长为；AB 6(2)（i）直线的方程为；l 2x y =+（ii ）直线的斜率的取值范围为.l 33()(44- 【详解】（1）由双曲线的方程，可得，所以22:13y x Γ-=221,3a b ==，1,2a b c ====所以，，若轴，则直线的方程为，1(2,0)F -2(2,0)F AB x ⊥AB 2x =代入双曲线方程可得，所以线段的长为；(2,3),(2,3)A B -AB 6（2）（i）如图所示，若直线的斜率为0，此时为轴，为左右顶点，此时不构成三角形，矛l l x ,A B 1,,F A B 盾，所以直线的斜率不为0，设，，l :2l x ty =+1122()A x y B x y ,,(,)联立，消去得，应满足，22132y x x ty ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩x 22(31)1290t y ty -++=t 222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩由根与系数关系可得，121222129,3131t y y y y t t +=-=--直线的方程为，令，得，点，1AF 110(2)2y y x x -=++0x =1122y y x =+112(0,)2y M x +直线的方程为，令，得，点，1BF 220(2)2y y x x -=++0x =2222y y x =+222(0,)2y N x +，121122221111|||||2||2|F F F B A A F B F S y F S S F y y y -=⨯-==- 111212221||||||222F M N M F MN N S y y x y y y y x x =-=-=-++ ，12122112212121212222(4)2(4)8()||||||44(4)(4)4()16y y y ty y ty y y ty ty ty ty t y y t y y +-+-=-==+++++++由，可得，11F AB F MN S S = 1212212128()||2||4()16y y y y t y y t y y -=-+++所以，所以，21212|4()16|4t y y t y y +++=222912|4()16|43131tt t t t ⨯+-+=--解得，，解得，22229484816||431t t t t -+-=-22916||431t t -=-22021t =经检验，满足，所以222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩t =所以直线的方程为；l 2x y =+（ii ）由，恒在以为直径的圆内部，可得，1F 2F MN 2190F MF >︒∠所以，又，110F F N M < 112211,22(2,)(2,22F y y N x x M F =+=+所以，所以，1212224022y y x x +⨯<++121210(2)(2)y y x x +<++所以，所以，1221212104()16y y t y y t y y +<+++2222931109124()163131t t t t t t -+<⨯+-+--所以，解得，解得或，22970916t t -<-271699t <<43t <<43t -<<经检验，满足，222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩所以直线的斜率的取值范围为.l 33()(44- 19．【答案】(1)12170,1,4b b b ===(2)1(1)22n n +-⨯+(3)n a n=【详解】（1）因为，则，2n a n =123451,4,9,16,25a a a a a =====所以，，{}*11i B i a =∈<=∅N ∣{}*22{1}i B i a =∈<=N ∣，{}*1717{1,2,3,4}i B i a =∈<=N ∣故.12170,1,4b b b ===（2）因为，所以，2nn a =123452,4,8,16,32a a a a a =====则，所以，，**12{|1},{|2}i i B i a B i a =∈<=∅=∈<=∅N N 10b =20b =当时，则满足的元素个数为，122i i k +<≤ia k <i 故，121222i i i b b b i+++==== 所以()()()1112345672122822n n n n S b b b b b b b b b b b ++++=++++++++++++ ，1212222n n =⨯+⨯++⨯ 注意到，12(1)2(2)2n n nn n n +⨯=-⨯--⨯所以121321202(1)21202(1)2(2)2n n nS n n ++=⨯--⨯+⨯-⨯++-⨯--⨯ .1(1)22n n +=-⨯+（3）由题可知，所以，所以，11a ≥1B =∅10b =若，则，，12a m =≥2B =∅1{1}m B +=所以，，与是等差数列矛盾，20b =11m b +={}n b 所以，设，11a =()*1n n n d a a n +=-∈N 因为是各项均为正整数的递增数列，所以，{}n a *n d ∈N 假设存在使得，设，由得，*k ∈N 2k d ≥k a t =12k k a a +-≥12k a t ++≥由得，，与是等差数列矛盾，112k k a t t t a +=<+<+≤t b k <21t t b b k ++=={}n b 所以对任意都有，*n ∈N 1nd =所以数列是等差数列，.{}n a 1(1)n a n n =+-=。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）一.选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集，集合，那么（）.A. ()B. ()C.(-1，1)D.【测量目标】集合的含义、基本运算.【考查方式】解不等式，求解补集.【参考答案】D【试题解析】，，故选D.2. 复数（）.A. B.C. D.【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】复数的除法运算，直接计算出结果.【参考答案】A【试题解析】，选A.3. 如果，那么（）.A. B.C. D.【测量目标】对数函数的性质、函数值比较.【考查方式】由对数函数增减性，求解定义域.【参考答案】D【试题解析】，，即故选D.4. 若是真命题，是假命题，则（）.A.是真命题B.是假命题C.是真命题D.是真命题【测量目标】命题的概念.【考查方式】命题的真假判断.【参考答案】D【试题解析】：或（）一真必真，且（）一假必假，非（）真假相反，故选D.5. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）.A.32B.16+C.48D.【测量目标】由三视图求几何体的表面积.【考查方式】由三视图想象出四棱锥结构，进而计算其表面积.【参考答案】B【试题解析】由三视图可知几何体为底面边长为4，高为2的正四棱锥，则四棱锥的斜高为，表面积故选B.如图所示的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为（）.A.2B.3C.4D.5【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】由循环语句、条件语句执行程序，直至结束.【参考答案】C【试题解析】执行三次循环，成立，(步骤1)，，成立，（步骤2），，成立，（步骤3），，不成立，（步骤4）输出，故选C.（步骤5）7. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产件，则平均仓储间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储用之和最小，每批应生产产品（）.A.60件B.80件C.100件D.120件【测量目标】一元二次函数的实际应用.【考查方式】一元二次函数的实际应用，解方程.【参考答案】B【试题解析】仓储费用，每件产品的生产费用与仓储费用之和：，当且仅当即时，上式取等号.每批应生产产品80件，故选B.8.已知点.若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为（）.A.4B.3C.2D.1【测量目标】二次函数德尔图像和性质.【考查方式】由二次函数的性质和点到直线的距离公式求解.【参考答案】A【试题解析】设的直线方程为即,由得即，(步骤1)由点到直线的距离公式得，即解得，,或，或故选A.（步骤2）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 在中，若，则 .【测量目标】解三角形、正弦定理.【考查方式】由正弦定理，直接求出答案.【参考答案】【试题解析】由正弦定理得，又..10. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则 .【测量目标】双曲线的标准方程和简单的几何性质.【考查方式】双曲线的渐近线与题中渐近线比较法得出结果.【参考答案】2【试题解析】由得渐近线的方程为即，由一条渐近线的方程为得2.11. 已知向量.若与共线，则= .【测量目标】向量的坐标运算.【考查方式】共线向量中，由对应坐标成比例求解.【参考答案】1【试题解析】由与共线得12. 在等比数列中，若则公比；.【测量目标】等比数列的基本性质和前n项和.【考查方式】由通项公式求解公比和求和公式.【参考答案】2；【试题解析】由是等比数列得，又所以，.13. 已知函数若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是 . 【测量目标】分段函数.【考查方式】画出分段函数，找到单调区间，比较法.【参考答案】（0，1）【试题解析】单调递减且值域为(0,1]，单调递增且值域为，有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）.14. 设).记为平行四边形内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则；的所有可能取值为 .【测量目标】平行四边形的性质定理.【考查方式】由点坐标得出范围，一一求解.【参考答案】6 ；6，7，8.【试题解析】在, , 时分别对应点为6,8,7.在平面直角坐标系中画出平行四边形，其中位于原点，位于正半轴；（步骤1）设与边的交点为，与边的交点为，四边形内部（不包括边界）的整点都在线段上，（步骤2）线段上的整点有3个或4个，，不难求得点，(步骤3)①当为型整数时，都是整点，，（步骤4）②当为型整数时，，都不是整点，，（步骤5）③当为型整数时，，都不是整点，（以上表述中为整数）（步骤6）上面3种情形涵盖了的所有整数取值，所以的值域为{6，7，8 }.（步骤7）三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题共13分）已知函数（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.【测量目标】三角函数最值问题.【考查方式】同名三角函数化简，进而求解周期、最值.【试题解析】（Ⅰ）.(步骤1)的最小正周期为.（步骤2）（Ⅱ）（步骤3）当即时，取得最大值2；（步骤4）当，即，取得最小值．（步骤5）16.(本小题共13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中经X表示.（Ⅰ）如果，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（Ⅱ）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.（注：方差其中为，，的平均数）【测量目标】茎叶图.【考查方式】由样本容量求解平均数、方差和概率.【试题解析】（Ⅰ）当时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为（步骤1）方差为（步骤2）（Ⅱ）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），用C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为（步骤3）17.（本小题共14分）如图，在四面体中，点分别是棱的中点.（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：四边形为矩形；（Ⅲ）是否存在点，到四面体六条棱的中点的距离相等？说明理由.【测量目标】空间立体中线面平行的判定，立体几何中的探索性问题.【考查方式】线面平行定理的应用，反证法求解.【试题解析】证明：（Ⅰ）分别为的中点，//，平面，（步骤1）//平面.（步骤2）（Ⅱ）分别为的中点，// //， // //，（步骤3）四边形为平行四边形，（步骤4）又，所以，所以四边形为矩形.（步骤5）（Ⅲ）存在点满足条件，理由如下：连接设为的中点，由（Ⅱ）知，且（步骤6）分别取、的中点，连接.与（Ⅱ）同理，可证四边形为矩形，其对角线点为的中点且，所以为满足条件的点.（步骤7）18.（本小题共13分）已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求在区间上的最小值.【测量目标】利用导数求函数的单调区间和最值.【考查方式】函数求导，由函数值变化判断单调区间，进而求解最值.【试题解析】（Ⅰ）令，得．（步骤1）与的情况如下：（）（—0+↗↗骤2）的单调递减区间是（）；单调递增区间是.（步骤3）（Ⅱ）当，即时，函数在[0，1]上单调递增，在区间[0，1]上的最小值为（步骤4）当时，由（Ⅰ）知在上单调递减，在上单调递增，在区间[0，1]上的最小值为；（步骤5）当时，函数在[0，1]上单调递减，在区间[0，1]上的最小值为（步骤6）19.（本小题共14分）已知椭圆的离心率为，右焦点为.斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的面积.【测量目标】椭圆的标准方程及简单的几何性质.【考查方式】利用离心率、焦点坐标计算出椭圆方程进而设出直线，与椭圆方程联立，求解.【试题解析】（Ⅰ）由已知得（步骤1）解得又（步骤2）椭圆G的方程为（步骤3）（Ⅱ）设直线的方程为由得（步骤4）设的坐标分别为中点为，则.（步骤5）是等腰的底边，所以，的斜率解得.此时方程①为解得（步骤6）.此时，点到直线：的距离所以的面积（步骤7）20.（本小题共13分）若数列满足，则称为数列.记.（Ⅰ）写出一个数列满足；（Ⅱ）若，证明：数列是递增数列的充要条件是；（Ⅲ）在的数列中，求使得成立的的最小值. 【测量目标】数列通项公式的整理变形；充分必要条件的概念.【考查方式】使用列举法、观察法求得答案（Ⅰ）；充分和必要分开进行论证解决答案（Ⅱ）；由首相为4可求得后面的每一项，使用列举法列出，再根据题设要求，求解.【试题解析】（Ⅰ）是一组满足条件的数列.(答案不唯一；都是满足条件的数列).(步骤1)（Ⅱ）必要性：因为数列是递增数列，所以所以此数列为首项为12，公差为1的等差数列. 所以.（步骤2）充分性：因为所以即.（步骤3）又因为，所以.故,即时递增数列.综上，结论得证.（步骤4）（Ⅲ）对首项为4的数列，由于，（步骤5）所以对任意首项为4的数列，若，则必有.（步骤6）又的数列:满足.所以的最小值是9.（步骤7）。

2024-2025学年北京八十中高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={−1,0,1}，集合B ={x ∈Z|x 2−2x ≤0}，那么A ∪B 等于( )A. {−1}B. {0,1}C. {0,1,2}D. {−1,0,1,2}2.在复平面，复数z 对应的点坐标为(1,−1)，则z 1+i =( )A. iB. −iC. 1−iD. 1+i 3.若a >0>b ，则( )A. a 3>b 3B. |a|>|b|C. 1a <1bD. ln (a−b)>04.已知a =log 21.41,b =1.410.4,c =cos 13π3，则( )A. b >a >cB. b >c >aC. c >b >aD. c >a >b5.设l 是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是( )A. 若l//α，l//β，则α//βB. 若l//α，l ⊥β，则α⊥βC. 若l ⊥β，α⊥β，则l//αD. 若l//α，α⊥β则l ⊥β6.将函数y =sin2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位，得到的图象恰好关于直线x =π6对称，则φ的最小值是( )A. π12B. π6C. π4D. π37.“一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完(一尺约等于33.33厘米).若剩余的棍棒长度小于0.33厘米，则需要截取的最少次数为( )A. 5B. 6C. 7D. 88.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则“S n ≥na n ”是“{a n }是递减数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.在△ABC 中，∠BAC =90°，BC =2，点P 在BC 边上，且AP ⋅(AB +AC )=1，则|AP |的取值范围是( )A. ( 12 , 1 ]B. [ 12 , 1 ]C. ( 22 , 1 ]D. [ 22 , 1 ]10.已知无穷数列{a n }，a 1=1.性质s ：∀m ，n ∈N ∗，a m +n >a m +a n ，性质t ：∀m ，n ∈N ∗，2≤m <n ，a m−1+a n +1>a m +a n ，给出下列四个结论：①若a n=3−2n，则{a n}具有性质s；②若a n=n2，则{a n}具有性质t；③若{a n}具有性质s，则a n≥n；④若等比数列{a n}既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为(2,+∞)．则所有正确结论的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

卜人入州八九几市潮王学校八中高2021级高三〔上〕第三次月考数学试题〔文科〕第I 卷〔选择题一共50分〕一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分．在每一小题给出的四个备选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1．以下向量中不是单位向量的是〔〕A ．()1,0a =B ．()0,1b =-C ．()1,1c =D．2d⎛=- ⎝⎭2．对于任意的实数α、β，以下式子不成立的是〔〕A ．22sin1cos 2αα=-B ．()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=+C ．()()cos cos αββα-=-D ．()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-3．函数()sin f x x x=的最大值是〔〕A ．1BC ．1D ．24．假设0,0a b <>，那么以下不等式中正确的选项是〔〕A ．11a b<B <．22a b <D ．||||a b >5．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如下列图，那么函数)(x f 在开区间),(b a 内极小值点有〔〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．不等式组221030x x x ⎧-<⎨-<⎩的解集是〔〕A ．{|11}x x -<<B ．{|01}x x <<C ．{|03}x x <<D ．{|13}x x -<<7．假设()()2log 1f x x =-()5x >，那么其反函数为〔〕A ．()()1211x f x x -=+>B ．()()1121x f x x -+=> C ．()()1212x fx x -=+>D ．()()1122x fx x -+=>8．二次函数()2f x ax bx c =++，假设()()12f x f x =(其中12x x ≠)，那么122x x f +⎛⎫=⎪⎝⎭〔〕 A ．2b a -B ．b a -C ．c D ．244ac b a-9．在∆ABC 中，假设()()3c b a c b a bc +++-=，那么A =〔〕． A ．150B ．120C ．60D ．30 10．假设()f n 为21n +()*n N ∈的各位数字之和，如：2141197+=，19717++=，那么()1417f =；记()()1f n f n =，()()()21f n f f n =，，()()()1k k f n f f n +=，*k N ∈，那么()20108f =〔〕A ．5B ．8C ．11D ．14第二卷〔非选择题一共100分〕二、填空题〔本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分．〕11．4sin15cos15︒︒=；12．假设函数y =M ，最小值为m ，那么M +m 的值等于________； 13．函数2y m =+211m +的值域为； 14．两点()3,2M ，()3,5N --，2MP MN =-，那么P 点坐标是；15．()f x 、()g x 都是奇函数，()0f x >的解集是()4,10，()0g x >的解集是()2,5，那么()()0f x g x ⋅>的解集是．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共75分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕 16．〔此题总分值是13分〕等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22a =，515S = 〔I 〕求数列{}n a 的通项公式；〔II 〕令2n a nb =，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求6T 的值.17．〔此题总分值是13分〕函数2()2cos sin()sin cos 3f x x x x x x π=⋅+-+⋅.〔I 〕求()f x 的值域；〔II 〕将函数()y f x =的图像按向量(,0)6a π=平移后得到函数()y g x =的图像，求()g x 的单调递增区间.18．〔此题总分值是13分〕在一次口试中，考生从10道题中随机抽题进展答复，某考生会答复10道题中的6道题． 〔Ⅰ〕假设抽出1道进展答复，答对就通过考核，求考生通过考核的概率；〔Ⅱ〕假设抽出3道进展答复，答对了其中2道就获得及格，求考生获得及格的概率． 19．〔此题总分值是12分〕 关于x 的不等式：211ax x ->-〔Ⅰ〕假设3a =，解该不等式； 〔Ⅱ〕假设0a >，解该不等式． 20．〔此题总分值是12分〕函数42()36f x x x =-+.〔Ⅰ〕讨论()f x 的单调性；〔Ⅱ〕设点P 在曲线()y f x =上，假设该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点，求l 的方程．21．〔此题总分值是12分〕 设函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的实数,x y ，有()()()f x y f x f y +=．〔Ⅰ〕求()0f ，判断并证明函数()f x 的单调性；〔Ⅱ〕数列{}n a 满足()10a f =，且11()(*)(2)n n f a n N f a +=∈-- ①求通项公式n a 的表达式；②令123122311111(),,2n a nn n n n n b S b b b b T a a a a a a +==+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，试比较43n nS T 与的大小，并加以证明．八中高2021级高三〔上〕第三次月考数学参考答案〔文科〕一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分．在每一小题给出的四个备选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1．C 提示：单位向量是指模为1的向量，而211c =+2．B 提示：由余弦和角公式知()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-3．D 提示：由辅助角公式得()()2sin 3f x x π=-，故最大值为2．4．A 提示：令2,1a b =-=可以排除B 、C ，令1,2a b =-=可以排除D ．5．A 提示：题目给出的是导函数的图像，先由导函数取值的正负确定函数的单调性，然后列表可判断函数极小值点的个数．6．B 提示：{221011010330x x x x x x ⎧-<-<<⇔⇒<<⎨<<-<⎩． 7．C 提示：由()()2log 15y x x =->2,21y y x ⇒>=+，故反函数为()()1212x f x x -=+>．8．D 提示：()()12f x f x =说明1x 与2x 关于对称轴2b x a =-对称，即1222x x b a+=-，所以122x x f +⎛⎫= ⎪⎝⎭244ac b a -． 9．C 提示：()()2223b c a c b a bc b c a bc +++-=⇒+-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，所以60A =︒．10．B 提示：28165,6511+=+=，()()18811f f ∴==；2111122,1225+=++=，()()()()2188115f f f f ∴===；25126,268∴+=+=，()()()()328858f f f f ∴===；由此知数列(){}8n f 以3为周期，所以()()20103888f f ==．二、填空题〔本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分．〕 11．1提示：4sin15cos152sin301︒︒=︒=． 12．6提示：20x =时y 获得最大值6M =，24x =时，y 获得最小值0m =．13．[)1,+∞提示：y =2m +211m +=(21m +)2112111m +-≥-=+，当0m =时等号成立，所以值域为[)1,+∞．14．()15,16提示：()23215,16MP MN OP OM ON =-⇒=-=． 15．()()5,44,5--提示：()f x ，()g x 均为奇函数，∴()0f x <的解集是()10,4--，()0g x <的解集是()5,2--()()0f x g x ⋅>可化为：{{()0()0()0()0f x f x g x g x ><><或，即{{4101042552x x x x <<-<<-<<-<<-或∴()()5,44,5x ∈--．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共75分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕 16．〔此题总分值是13分〕【解答】〔I 〕设{}n a 的公差为d ，那么21512545152a a d S a d =+=⎧⎪⨯⎨=+=⎪⎩……3分解得：{111a d ==……5分n a n ∴=……7分〔II 〕2n nb =，……9分由12n nb b +=知{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，662[12]12612T -∴==-……13分17．〔此题总分值是13分〕【解答】21()2cos (sin )sin cos 2f x x x x x x x =+⋅222sin cos sin )x x x x =+-……3分sin 222sin(2)3x x x π==+……5分 〔I 〕()f x 的值域为[2,2]-……7分〔II 〕由题可知：()2sin(2())2sin 263g x x x ππ=-+=，……9分 ∴22222k x k ππππ-≤≤+，解得，44k x k ππππ-≤≤+……12分 所以()g x 的单调递增区间为,()44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦……13分18．〔此题总分值是13分〕【解答】〔Ⅰ〕事件A =“抽1道答复，通过考核〞即是“从10道题中抽出一道，恰是考生会答的题〞，根据等可能事件概率知，该事件的概率()63105P A ==． ……6分〔Ⅱ〕由题意知，事件B =“抽3道，获得及格〞即是“10道题中随机抽出3道题，至少答对2道〞，所求概率()P B =21364631023C C C C +=……13分19．〔此题总分值是12分〕【解答】〔Ⅰ〕当3a =时，原不等式即：3211x x ->-2101x x -⇔>-⇔12x <或者1x >……4分〔Ⅱ〕当0a >时，原不等式可化为：()1101a x x -->-〔1〕当1a =时，原不等式的解集为{}|1x x <……5分〔2〕当1a >时，原不等式可化为1101x a x -->-，21111a a a --=--①当12a <<时，原不等式的解集为{}1|11x x x a <>-或；②当2a =时，原不等式的解集为{}|1x x ≠③当2a >时，原不等式的解集为{}1|11x x x a <>-或……10分〔3〕当01a <<时，原不等式可化为1101x a x --<-，111a <-∴原不等式的解集为{}1|11x x a <<-……12分20．〔此题总分值是12分〕【解答】〔Ⅰ〕()3'464f x x x x x x ⎛=-=+- ⎝⎭⎝⎭……2分当(,x ∈-∞或者x ∈时，'()0f x <；当(x ∈或者)x ∈+∞时，'()0f x >因此，()f x 在区间(,-∞、是减函数，……4分()f x 在区间(、)+∞是增函数．……6分〔Ⅱ〕设点P 的坐标为00(,())x f x ，由l 过原点知，l 的方程为因此000()'()f x x f x =，即423000036(46)0x x x x x -+--=……8分整理得2200(1)(2)0x x +-=解得0x =0x =……10分因此切线l 的方程为y =-或者y =．……12分21．〔此题总分值是12分〕【解答】〔Ⅰ〕令1x =-，0y =得()()()110f f f -=-，又()10f ->，()01f ∴=……2分0x <时，()1f x >，0x ∴>时，()1f x ->，此时()()10f x f x =>- ∴对x R ∈，()0f x >．……3分设12x x >，()()()()()()()()1212121211111f x x x f x f x f x x f x x f x f x f x ⎡+-⎤-⎣⎦===-> 即()()12f x f x <，故()f x 在R 是减函数．……5分〔Ⅱ〕由11()(2)n n f a f a +=--1()(2)1n n f a f a +⇒--=⇒()()120n n f a a f +--=而()f x 单调，∴120n n a a +--=，即12n n a a +=+(*)n N ∈∴{}n a 是以2为公差的等差数列，11a =，∴21n a n =-(*)n N ∈．……8分故()12122na n nb -==，{}n b 是以12为首项，14为公比的等比数列．∴()()()()111111111123352121221n T n n n ⎡⎤=-+-++-=-⎢⎥-++⎣⎦ ……10分要比较nS =21134n ⎛⎫- ⎪⎝⎭与()42113321nT n =-+的大小，只要比较4n和21n +的大小．()4131312nn n n =+>+>+，43n n S T ∴>．……12分。