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概率4-3

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概率论与数理统计正态分布4-3二维正态分布课件

概率论与数理统计正态分布4-3二维正态分布课件

统计决策
基于二维正态分布，可以制定统 计决策规则，例如置信区间和预 测区间的确定。
在金融领域的应用
1 2 3
资产定价
二维正态分布可以用于资产定价模型，如期权定 价模型，以模拟两个相关资产的价格变动。
风险管理
在金融领域，二维正态分布可用于评估投资组合 的风险，例如计算投资组合的VaR值（风险价 值）。
例如，对于二维正态分布的均值向量，可以通过样本数据的均值向量进行检验， 判断其与理论值是否存在显著差异。
非参数检验
非参数检验是在总体分布形式未知或认为总体分布形式与理论分布形式存在较大差异的情况下，利用 样本数据对总体分布进行检验的方法。在二维正态分布的情境下，非参数检验通常包括核密度估计、 散点图和多维距离等方法。
特性
分布函数具有连续性、非负性和归一性等特性，能够完整描述随机向量的概率 分布。
03
二维正态分布的应用
在统计学中的应用
参数估计
二维正态分布可以用于估计两个 变量的联合概率分布，从而对参 数进行估计，如线性回归中的参 数估计。
假设检验
在统计分析中，二维正态分布可 以用于检验两个变量之间是否存 在某种关系，例如相关性检验或 因果关系检验。
金融数据分析
二维正态分布可以用于分析金融数据，例如股票 价格和交易量的关系。
在物理和工领域的应用
信号处理
在通信和雷达信号处理中，二维正态分布可用于 描述信号的功率谱密度。
地震学
在地震学中，二维正态分布可用于描述地震事件 的时空分布。
图像处理
在图像处理中，二维正态分布可用于描述图像的 像素强度分布。
边缘分布的特性
总结词
边缘分布是指将二维正态分布的其中一个随机变量固定，得到的另一个随机变量 的分布。

概率论与数理统计正态分布4-3 二维正态分布课件

概率论与数理统计正态分布4-3 二维正态分布课件

概率论与数理统计教程（第五版）
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结束
§4.3 二维正态分布
2 2 设 ( X , Y ) ~ N ( , , , [定理3] x y x y , r) , 则 X 与 Y 独立的充要条件是 r 0.
证： 必要性：若随机变量 X 与Y 相互 独立， 则r 0 . 充分性：若 r 0 , 则二维正态分布的联合密度可化为：
I ( x) y2
r( x x )
y (1 r ) t e

t 2 2
dt
r y ( x x )
x
]e
t 2 2
dt
x
1 r
2
e
t 2 2
dt

r y ( x x )
所以
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结束
§4.3 二维正态分布
y y r( x x ) ( x x ) 1 , 2 2 2 x 2(1 r ) y x
2
2
y y r( x x ) 1 [ ], 则 设t 2 y x 1 r
f ( x , y ) 2 π x y e
1
2 2 [ ( x x ) 2 x ( y y ) 2 y ] 2

1 2 π x
e ( x x )
2
2 ( 2 x )

1 2 π y
e
2 ( y y )2 ( 2 y )
f X ( x ) fY ( y ) . 所以,随机变量 X 与 Y相互独立.
x x

概率4-3_JU

概率4-3_JU

概率论
特别地
Cov( X , X ) E ( X 2 ) E ( X ) 2 D( X )
4. 随机变量和的方差与协方差的关系
D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)
概率论
例1 已知离散型随机向量(X,Y)的概率分 布为
Y
X
0 1 2
1 0.1 0.3 0.15
0 0.2 0.05 0
若(X,Y)服从二维正态分布，则
X与Y独立

X与Y不相关
概率论
例4 设(X,Y)服从二维正态分布, 它的概率 密度为 2 ( x 1 ) 1 1 f ( x, y ) exp 2 2 2 2(1 ) 2 1 2 1 1
2 ( x 1 )( y 2 )
3. 计算协方差的一个简单公式
由协方差的定义及期望的性质，可得
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)
即
Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)
可见，若X 与 Y 独立， Cov(X,Y)= 0 .
1 E ( X ) x f X ( x)d x x 4 x(1 x )d x 0 3 1 2 2 2 2 3 E (Y ) y fY ( y )d y y 4 y d y 0 3
2 2 1 2 2
概率论
所以
2 2
1 8 11 D( X ) E ( X ) [ E ( X )] 3 15 225 2 4 2 D(Y ) E (Y ) [ E (Y )] 3 5 75 故 D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2cov( X , Y ) 11 2 8 1 . 225 75 225 9

高中数学3-1-4概率的加法公式课件新人教B版必修

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填一填·知识要点、记下疑难点
2
3
至少有一
6
A,B都发生
8
集合
个发生
P(A)＋P(B)
概率和
P(A1)＋P(A2)＋…＋
P(An).
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
同时发生
必有一个发生
1－P(A)
填一填·知识要点、记下疑难点
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练一练·当堂检测、目标达成落实处
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《概率论与数理统计》课件3-4条件分布

《概率论与数理统计》课件3-4条件分布
X
Y
1.7<Y<1.8( ),
X
1.7 1.8 .
.
.
.
1
( X,Y )
j
P{Y = yj } > 0
PX P{X= xi |Y= yj }=
xi ,Y
yj
…
P Y yj
Y = yj
X
= pij p• j
i=1,2,
.
r.v,
r.v
.
i P{X = xi } 0
P{Y yj | X xi } )
X = xi
Y
(j = 1,2,
. .
P X xi Y yj 0 i=1,2, …
P X xi Y yj 1
i1
1 设 (X, Y) 的联合分布律如下，
求X=0、X=1的条件下, Y的条件概率分布.
P Y = 0 | X = 0} = P Y = 1| X = 0} =
1 ==
5 3 == 5
A)
B)
C)
D)
A
B
C
D
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单选题 1分
二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为
(8xy2 0 < x < < 1 f (x, y) =
〈 的边缘概率密度为 ( )．
(8 | (x
−
x7 )
fX (x) =〈
3
|0
(8 |
(x
−
x6 )
fX (x) =〈
3
|0
0<x<1 else
0<x<1 else
(| B) fX (x) =〈
(1− x6
)| 0
(|

概率论与数理统计正态分布4-3二维正态分布课件

概率论与数理统计正态分布4-3二维正态分布课件
对于二维正态分布的随机变量(X, Y)，X和Y的边缘分布都是一维正 态分布。
二维正态分布的应用场景
金融领域
在金融领域中，二维正态分布常 用于描述股票价格或其他金融变 量的联合分布，帮助投资者进行 风险评估和投资组合优化。
自然学科
在物理、化学、生物等自然学科 中，二维正态分布可用于描述实 验数据的误差分布、气象数据的 联合概率分布等。
概率论与数理统计正态分 布4-3二维正态分布课件源自目录CONTENTS
• 二维正态分布概述 • 4-3二维正态分布特性 • 4-3二维正态分布的性质 • 4-3二维正态分布的统计推断 • 4-3二维正态分布的实际应用
01 二维正态分布概述
二维正态分布的定义
二维正态分布是概率论与数理统计中 一种重要的概率分布，描述了两个随 机变量之间相互独立且具有相同的正 态分布关系。
03
4-3二维正态分布描述了两个随机变量之间线性关系 的情况。
4-3二维正态分布的数学表达式
1
4-3二维正态分布的数学表达式为f(x1, x2) = (1 / (2πσ1σ2)) * exp(-((x1-μ1)^2/2σ1^2 + (x2μ2)^2/2σ2^2))。
2
该表达式描述了两个随机变量x1和x2的概率密度 函数，其中μ1, μ2, σ1^2 和σ2^2是常数。
方差齐性检验
通过检验各组数据的方差是否相等，判断数据是 否满足方差分析的前提条件。
方差分析表
列出各组数据的均值、方差、自由度和贡献度等 信息，用于比较不同组之间的差异。
05 4-3二维正态分布的实际 应用
在金融领域的应用
资产定价
二维正态分布可以用于资产定价模型，例如Black-Scholes模型， 以评估衍生品的价值。

4-3二维正态分布


密度函数， 法1求出Z密度函数，直接随机变量期望的定义 求出 密度函数 求期望和方差. 在例1中求得了Z 求期望和方差 在例1中求得了Z的概率密度
因此由随机变量的期望定义 E(X) = ∫−∞ x f (x)dx 可得
1 e , z >0 fZ (z) = 2 0, z ≤0 ≤0
z − 2
I (x)dx
得到
+∞ x − µ r x R(X,Y) = ∫−∞ σx e 2πσx
2
(x−µx )2 − 2 2σx
dx
置换积分变量
R( X,Y) =
x − µx
σx
x
= t 得到
2πσ ∫
r
t2 − +∞ 2 2 −∞
t e dx = r
∫
t2 +∞ − 2 2 −∞ +∞
2 2
2 2
)

1 ⋅ e 2π
x2 +y2 − 2
=∫
+∞ +∞
−∞ −∞
(x +y ) ∫
2
2 2
dxdy
由极坐标变换公式可得
+∞ − 1 2π 5 E( Z ) = ∫ dθ∫ ρ ⋅ e 2 dρ 0 2π 0 2
ρ2
置换积分变量
2
ρ
2
2
= t, ρ = 2t, 可得
2 +∞ t2 − 2
−∞
=
rσy (x −µx )
σx
−∞
σx
rσy (x − µx )
1−r
t2 +∞ − 2 2 −∞
∫
e dt
=
σx

概率统计 4-3


作业 P 145--- 26、29、31
92
cov( X ,Y ) X E ( X ) Y E (Y ) ρ ρXY E[ ] cov( X ,Y ) D( X ) D(Y ) D( X ) D(Y )
cov( X , Y ) D( X ) D(Y )
无量纲 的量
例1 已知 X ,Y 的联合分布为 pij 1 X Y 1 0 求 cov (X ,Y ), XY X 解 P 1 0 Y P p 0
原点矩与中心距
3、k + l 阶混合 v E ( X k Y l ) (k,l = 1, 2, 3,….) kl 原点矩 k E[( X E ( X ))k (Y E (Y ))l ] 4、k + l 阶混合 中心矩 (k,l = 1, 2, 3,….) 数 E [ X E ( X )][Y E (Y )] 反映了随机变量 X , Y 之间的 某种关系
§ 4.3 协方差和相关系数 定义 称E [ X E ( X )][Y E (Y )] 为 X ,Y 的协方差. 记为 XY cov( X , Y ) E [ X E ( X )][Y E (Y )] 特别地，当X=Y时，有
若 ( X ,Y ) 为离散型， 若 ( X ,Y ) 为连续型，
1 2
u2 2 (1 2 )
du t e
12 2 t 2
dt
XY
若 ( X ,Y ) ~ N ( 1, 12, 2, 22, ), 则X ,Y 相互独立 X ,Y 不相关
90
xik pi 当X 为离散型 1、k 阶原点矩 vk E ( X k ) i x k f ( x)dx 当X 为连续型 (k = 1, 2, 3,….) ( xi E ( X ))k pi 当X 为离散型 2、k 阶中心距 k E ( X E ( X ))k i ( x E ( X ))k p ( x )dx 当X 为连续型 (k = 1, 2, 3,….)

1-3,4概率论


注意：概率的定义直观地描述了事件发生的 可能性大小,反映了概率的本质内容,但也有其 不足,即无法根据此定义计算某事件的概率.
概率的性质
性质1 P() 0. 性质2(有限可加性) 若随机事件 A1 , A2 ,, An 互不 相容，则
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An )
一、古典型概率
1.古典概型定义
如果一个随机试验E具有如下特征：
(1)试验所有可能的结果是有限个，设为n个，
即S {e1 , e2 ,, en };
(2)每一个结果在一次实验中发生的可能性相同,
即P ({e1 }) P ({e2 }) P ({en }),
则称该随机试验为等可能概型(或古典概型).




7 5 1 12 12
例2 P ( A) 0.7, P ( A B ) 0.3, 求P ( AB ). 解： P ( AB) P ( A) P( A B) 0.4
P ( AB) 1 P ( AB) 0.6
§1.4
古典概型与几何概型
一、古典概型 二、几何概型
一般地,对于任意n个事件 A1 , A2 ,, An 有
P ( A1 A2 An ) P ( Ai )
i 1 n 1 i j n

P ( Ai Aj )
1 i j k n

P ( Ai Aj Ak ) (1)n1 P ( A1 A2 An ).
-P(AB)- P(BC)- P(AC)+ P(ABC)
0 ≤ P(ABC) ≤ P(AB)=0
所以有

4-3协方差

2 = (1 − ρ XY ) DY = min E[Y − ( a + bX )]2
= DY + DX ⋅
COV 2 ( X , Y )
− 2COV ( X , Y ) ⋅
COV ( X , Y ) DX
即
2 m E Y −(a+bX)] = (1− ρX )D in [ Y Y a,b
2
a ,b
= EY + b EX + a − 2aEY − 2bEXY + 2abEX 达到最小。 求a，b 使 e 达到最小。 ，
2 2 2 2
∂e Y X ∂a = 2a + 2bEX − 2 EY = 0 ⇒a = E −bE 令： ∂ e = 2bEX 2 − 2 EXY + 2aEX = 0 ∂b
协方差与相关系数
(
)
可以证明： 可以证明：X,Y相互独立的充要条件是 相互独立的充要条件是 已证： 已证：
fX ( x) = 1 2π σ 1 e
( x − µ1 ) 2 − 2 2σ 1
ρXY = ρ = 0
e
( y− µ 2 ) 2 − 2 2σ 2
, fY ( y ) =
1 2π σ 2
2 2 则：EX = µ1 , DX = σ 1 , EY = µ 2 , DY = σ 2 ,
a,b ,b
COV ( X ,Y ) ; ⇒ b0 = DX
= E (Y − EY + EX
COV ( X , Y ) COV ( X , Y ) 2 −X⋅ ) DX DX
COV ( X , Y ) 2 ) = E ((Y − EY ) − ( X − EX ) ⋅ DX
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概率论
因而 =0， 即X和Y不相关 . 但Y与X有严格的函数关系，即X和Y不独立 .
3. 1
存在常数 a,b(b≠0），使 P{Y= a + b X}=1， 即 X 和 Y 以概率 1 线性相关.
概率论
相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度. 考虑以X的线性函数a+bX来近似表示Y，
0≤D(Y-bX)= b D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y ) 2≥ 0,所以 | |≤1。 1Cov( X ,Y )
，则上式为
D( X )
2
[Cov( X ,Y )] D(Y- bX)= D(Y ) D( X ) [Cov( X ,Y )]2 D(Y )[1 2 ] D(Y )[1 ] D( X ) D(Y )
求E ( X ), E (Y ), Cov( X , Y ), D( X Y )。
2 2 设 2、 X ~ N ( , ),Y ~ N ( , )，且设X，Y相互独立
试求Z1 X Y和Z 2 X Y的相关系数(其中， 是不全为零的常数）。
概率论
7 1 5 1、解 E ( X ) E (Y ) , Cov( X , Y ) , D( X Y ) 6 36 9 2、解 D( X ) D(Y ) 2
1 1 x 1 f ( x) 2 2 0 其它
1 2 1 2
可得E ( X ) 0
E ( XY ) E ( X cos X ) x cos xf ( x)dx 0
Cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) 0
D( Z1 ) D(X Y ) 2 D( X ) 2 D(Y ) ( 2 2 ) 2 D( Z 2 ) D(X Y ) D( X ) D(Y ) ( )
2 2 2 2 2
Cov( Z1 , Z 2 ) Cov(X Y ,X Y )
概率论
前面，我们已经看到：
若 X 与 Y 独立，则X与Y不相关，
但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立. 但对下述情形，独立与不相关等价
若(X,Y)服从二维正态分布，则
X与Y独立

X与Y不相关
概率论
三、课堂练习
1、设随机变量（X，Y）具有概率密度 1 ( x y ) 0 x 2,0 y 2 f ( x, y ) 8 0 其它
以均方误差
e =E{[Y-(a+bX)]2}
来衡量以 a +b X 近似表示Y 的好坏程度 :
e 值越小表示 a +b X 与 Y 的近似程度越好.
用微积分中求极值的方法，求出使e 达到最小时的 a,b
概率论
e =E{[Y-(a+bX)]2 } =E(Y2)+b2E(X2)+a2- 2bE(XY)+2abE(X) - 2aE(Y)
e a 2a 2bE ( X ) 2 E (Y ) 0 e 2bE ( X 2 ) 2 E ( XY ) 2aE ( X ) 0 b
解得 这样求出的
最佳逼近为
Cov( X ,Y ) b0 D( X )
L(X)=a0+b0X
a0 E (Y ) b0 E ( X )
Y的协方差,记为Cov(X,Y) ，即 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
2.简单性质
⑴
Cov(X,Y)= Cov(Y,X)
⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常数 ⑶ Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)
概率论
概率论
2. X和Y独立时， =0，但其逆不真. 由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0.
故
但由
Cov( X , Y ) =0 D( X ) D(Y )
0
并不一定能推出X和Y 独立.
请看下例.
概率论
例1 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布 , 而Y=cos X, ，
不难求得 Cov(X,Y)=0， 事实上，X的密度函数
3. 计算协方差的一个简单公式
由协方差的定义及期望的性质，可得
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)
即
Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)
可见，若X 与 Y 独立， Cov(X,Y)= 0 .
2 D( X ) 2 D(Y ) Cov( X , X ) Cov(Y ,Y )
2 2
( )
2 2 ) 2 2 2 D( Z1 ) D( Z 2 ) 2
概率论
四、小结
这一节我们介绍了协方差、相关系数、
相关系数是刻划两个变量间线性相关程度的一个重 要的数字特征. 注意独立与不相关并不是等价的. 当(X,Y) 服从二维正态分布时，有
X 与 Y 独立
X 与 Y 不相关
概率论
五、 布置作业
《概率论与数理统计》作业（四）
三、解答题
第6小题
概率论
二、相关系数
定义: 设D(X)>0, D(Y)>0, 称
XY
Cov( X ,Y ) D( X ) D(Y )
为随机变量 X 和 Y 的相关系数 . 在不致引起混淆时，记
XY为 .
概率论
相关系数的性质：
1. | | 1
证: 由方差的性质和协方差的定义知, 对任意实数 b, 有 由于方差D(Y)是正的,故必有 2 令 b
概率论
特别地
Cov( X , X ) E ( X 2 ) E ( X )2 D( X )
4. 随机变量和的方差与协方差的关系
D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)
概率论
协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间 的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如： Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y) 为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入 了相关系数 .
概率论
这样求出的最佳逼近为L(X)=a0+b0X 这一逼近的剩余是
E[(Y-L(X))2]=
可见,
D(Y)(1- )
2
若 1, Y与X有严格线性关系;
若
=0， Y 与 X 无线性关系;
若0<| |<1,
| | 的值越接近于1, Y 与 X 的线性相关程度越高; | |
的值越接近于0, Y与X的线性相关程度越弱.
概率论
第三节
协方差
协方差及相关系数
相关系数
课堂练习
小结 布置作业
概率论
前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差， 对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y 的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和Y之间 关系的数字特征，这就是本讲要讨论的
协方差和相关系数
概率论
一、协方差
1.定义 量E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}称为随机变量X和