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七年级数学下《平行线及其判定》笔记
一、平行线的定义
平行线是指在同一平面内，两条直线没有交点，或者说两条直线之间的距离处处相等。
二、平行线的判定定理
1.同位角相等：当两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，则这两条直线
平行。
2.内错角相等：当两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则这两条直线
平行。
3.同旁内角互补：当两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补（即角度和
为180°），则这两条直线平行。
三、应用实例
1.交通标志：在公路上，车道线通常都是平行的，这些线可以帮助驾驶员判断车
辆是否在正确的车道上行驶。
2.建筑设计：在建筑设计中，为了确保建筑物的稳定性，通常会使用平行线来构
建平行的梁和柱子。
3.机械制造：在机械制造中，为了确保机器的精确度，常常需要使用平行线来检
测和调整机器的部件。
四、注意事项
1.平行线必须在同一平面内定义。
2.平行线的判定定理必须同时满足，不能只满足其中一条。
3.在实际应用中，要结合具体情境判断两条线是否平行。
五、练习与巩固
1.判断题：给出一些线段的图片，判断它们是否平行。
2.选择题：给出一些关于平行线的描述，选择正确的判定定理。
3.应用题：结合实际问题，例如计算平行线的距离、判断两条线是否平行等。
七年级下册数学平行线及其判定数学是一门严谨的学科，它涵盖了许多重要的概念和定理。
在这篇文章中，我们将讨论平行线及其判定。
平行线是指在二维平面上没有交点的直线。
在几何学中，平行线的性质和判定方法是非常重要的，我们将通过详细的解释和例子来帮助同学们更深入地理解这一概念。
1.平行线的定义首先，让我们来看一下平行线的定义。
在几何学中，两条直线是平行线，当且仅当它们在同一平面上且永远不相交。
这意味着无论我们如何延长这两条直线，它们也永远不会相交。
通过这个定义，我们可以很容易地理解什么是平行线。
但是，实际中我们如何判断两条直线是否平行呢？接下来，我们将讨论几种常见的平行线判定方法。
2.平行线的判定2.1直线与直线的判定首先，让我们来看一下两条直线是否平行的判定方法。
根据几何学的知识，我们知道，如果两条直线的斜率相等，那么它们就是平行线。
这是因为斜率代表了直线的倾斜程度，如果两条直线的斜率相等，那么它们的倾斜程度也相等，这就意味着它们是平行的。
举个例子，假设我们有两条直线，分别是y=2x+3和y=2x-1。
我们可以很容易地计算出它们的斜率都是2，这意味着这两条直线是平行的。
2.2点与直线的判定除了两条直线的斜率相等之外，我们还可以利用点与直线之间的关系来判定两条直线是否平行。
具体来说，如果一条直线上的一点到另一条直线的距离为0，则这两条直线是平行的。
这是因为如果两条直线是平行的，那么它们的距离永远不会改变，所以一个点到另一条直线的距离也永远是不变的。
举个例子，假设我们有一条直线L：y=2x+3，还有一点A(1,5)，我们需要判断这个点到直线L的距离。
我们可以利用点到直线的距离公式来计算，如果计算出来的距离为0，那么这个点和直线是平行的。
2.3垂直线的判定有时候，我们也需要判断两条直线是否是垂直的。
其实，判断两条直线是否垂直与判断两条直线是否平行是类似的。
如果两条直线的斜率的乘积为-1，那么这两条直线是垂直的。
新北师大版七年级数学下册第二章平行线
与角知识点梳理汇总
本文档将概述新北师大版七年级数学下册第二章平行线与角的
主要知识点，以帮助学生更好地理解和掌握相关概念。
1. 平行线的定义与性质
- 定义：平行线是在同一个平面内，永远不相交的两条直线。
- 性质：
- 平行线上的任意两点到另一条平行线的距离相等。
- 平行线上的任意两个角互为对应角，对应角相等。
2. 平行线的判定方法
- 同位角相等判定法：两条直线被一条截线所切，同位角相等，则直线平行。
- 内错角相等判定法：两条直线被一条截线所切，内错角相等，则直线平行。
3. 角的概念
- 角：由两条射线共同端点所组成的形状。
- 顶点：角的共同端点。
- 边：角的两条射线。
- 内角：小于180度的角。
- 外角：大于180度小于360度的角。
4. 角的分类
- 零度角：两条重合的射线组成的角。
- 钝角：大于90度小于180度的角。
- 直角：等于90度的角。
- 锐角：小于90度的角。
以上是新北师大版七年级数学下册第二章平行线与角的主要知识点梳理。
通过学习和掌握这些概念，可以更好地理解平行线与角的性质和判定方法。
希望这份梳理对学生们的学习有所帮助。
初一下数学平行线知识点《嘿，初一下数学平行线那点事儿》说起初一下的数学平行线知识点呀，那可真是让我又爱又恨呀！就像一场刺激的冒险，充满了惊喜和挑战。
先说说平行线的定义吧，就像是两个永不相交的“好兄弟”，不管走多远，都保持着距离，绝对不会碰到一起。
嘿，这平行线还挺有个性的嘛！老师说的时候，我就在想，这要是人也像平行线一样该多好，永远和讨厌的人保持距离，哈哈。
然后就是平行线的判定方法啦，什么同位角相等啦，内错角相等啦，同旁内角互补啦。
刚开始我还真有点晕乎，这些角长得都差不多，咋分辨呀！不过后来我发现，把它们想象成一群调皮的小精灵就好记多了。
同位角就像是一对双胞胎，长得几乎一模一样；内错角呢，就像是躲在平行线中间偷偷捣蛋的小鬼；同旁内角就是两个互看不顺眼的家伙，凑在一起就不对付。
哈哈，这么一想，是不是一下子就记住啦？平行线还有很多有趣的性质呢！比如说，两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
哇塞，这感觉就像是平行线之间有个神秘的约定一样，不管别人怎么干扰，它们都坚守着自己的原则。
当然啦，学习平行线也不是一帆风顺的哦。
有时候做题就会被那些眼花缭乱的图形给搞得晕头转向的，感觉这些线都在我眼前跳舞啦！还有的时候，自己觉得做得挺对的，结果老师一批改，全错！哎呀呀，那个郁闷呀。
不过没关系，咱可不能被这点小挫折给打倒。
每次遇到难题，我就告诉自己，这是平行线在考验我呢，我可不能退缩。
于是，我就静下心来，慢慢分析图形，找到那些隐藏的线索。
嘿，还真别说，每次解决一道难题，那成就感简直爆棚呀！总的来说，初一下的平行线知识点就像一个宝藏，里面有很多有趣的东西等待我们去发现。
虽然有时候会遇到困难，但是只要我们保持着对数学的热爱和好奇，就一定能够在平行线的世界里畅游无阻！小伙伴们，让我们一起加油，和这些平行线来一场快乐的冒险吧！。
七年级数学下册第七章相交线与平行线素材：平行线的性质三大技巧应用我们已经学过了平行线的性质定理:两条直线平行，则同位角相等，内错角度相等，同旁内角互补.下面给大家列举一下，如何使用平行线的性质巧解试题. 一.三线八角必识记所谓三线八角是指两条直线被第三条直线所截，形成八个角，如图(1)，其中， 同位角有:∠1与∠5， ∠2与∠6，∠4与∠8， ∠3与∠7， 内错角有:∠3与∠5， ∠4与∠6，同旁内角有:∠3与∠6， ∠4与∠5. 例1. 如图(2)，如果两条平行线被第三条直线所截得的八个角中，有一个角的度数已知，则( ). 只能求出其余三个角的度数. 只能求出其余五个角的度数. 只能求出其余六个角的度数. 只能求出其余七个角的度数.析解:由三线八角可知: 同位角相等的有:∠1与∠5， ∠2与∠6，∠4与∠8， ∠3与∠7， 内错角相等的有:∠3与∠5， ∠4与∠6，同旁内角互补的有:∠3与∠6， ∠4与∠5.所以，时， 其余七个角的度数也就易求出，答案选D. 二.加平行线的辅助线8123 4 5 67图⑴12436 58 7图⑵F例2. 如图(3)，一条公路修到湖边时，需拐弯绕过湖通过.如果第 一次拐的角∠A 是110°， 第二次拐的角∠B 是140°， 第三次拐 的角∠C ，这时的道路与第一条路平行，则∠C 是( ). A.120°B. 130°C. 140°D. 150°析解:作辅助线BE ，把∠A 转移到∠ABE ，∴∠CBE=∠ABC －∠ABE =140°－110°=30°，∴∠C=180°－30°=150°，140°－110°=30°。
例3．已知：如图(4)，AB ∥ED ，求证：∠B+∠BCD+∠D=360°。
分析：我们知道只有周角是等于360°，而图中又出现了与∠BCD 相关的以C 为顶点的周角，若能把∠B.∠D 移到与∠BCD 相邻且以C 为顶点的位置，即可把∠B.∠BCD 和∠D 三个角组成一个周角，则可推出结论。
第五讲根式与平行线
一、平方根的理解
1.判断正误：a 2的算术平方根为a;( ); 33=−a ( )
2.下列等式:① −2=− 2；② −23=− 23；③−22＝4；④ −23 3＝−2.成立的是.
3.①计算 9的结果是;② 16的算术平方根为;③25的算术平方根为;④5的算术平方根为;
⑤9的平方根为;⑥(-1)2的算术平方根为;⑦ 25的算术平方根为;⑧-8的立方根为.
4.若x=5,则 2x −1= ;若 x 3=−3,则x+1=.
5.①y = x −2中x 的取值范围是;②y = 5−x 中x 的取值范围是;
③y = 3+x 中x 的取值范围是_;④y = x−3中x 的取值范围是.
6.数轴上表示1、 3的点分别为A 、B ，且AC=AB ，则C 所表示的数是.
7.已知数轴上有A 、B 两点,且这两点之间的距离为4 若点A 在数轴上表示的数为3 ,则点B 在数轴上表示的数为_.
8.如果有理数 a,b,c 在数轴上的位置如图所示,那么2− a +b +
c −a 2+ b +c 可以简化为( ).
A.2c-a
B.2a-2b
C.-a
D.a
9.如图,数轴上的 A 、B 、C 三点所表示的数分别是a,b,c,其中 AB=BC,如果
a >
b >
c ,那么该数轴的原点O 的位置应该在( )
A.点A 的左边
B.点A 与点B 之间
C.点B 与点C 之间
D.点B 与点C 之间或点C 的右边
二、平方根的有关计算.
10.计算:
(1) 9+ 273− −83
(2) 3−π + π−4 2 (3) 1− 2 + 3− 2 + 3−2
11.解方程：(1)8x 3−27=0 (2) x −1 2−121=0
12.已知： + 6y −5 =0
（1）求x 、y 的值； （2）求 x −y 2的平方根
13.已知实数2 a +3 +4−b =0， c −2 22+4b −16=0,求a +b +c 的值
3−y2014的值
14.已知3x+1+=0，求3
15.2013−a+a−2014=a，求a−20132的值.
16.已知有理数a,b满足5−=3b+2−a，求a2+b2的值.
17.已知a,b满足 b−2+2a+6=0，解关于x的方程a+2x+b2=a−1.
18.已知2a−1的平方根是±3，3a+b−1的算术平方根是4，求a+2b的平方根.
19.(1)一个非负数的平方根是2a−1和a−5，则这个非负数是多少？
（2）已知2a−1与−a+2是m的平方根，求m的值
3−a，试求a，b的值.
20.已知有理数a，b满足5−3a＝2b+2
3
三、平行线
21.如图,已知 AB∥CD,∠BAE=30°,∠DCE=60°.EF、EG三等分∠AEC,则∠AEF的度数是( )
A.15°
B.30
C.45°
D.50°
22.如图,已知a∥b,a不垂直于c,BA,DA,DC,BC分别是同旁内角角平分线,则与∠ABC相等的角有( )个.
A.2
B.4
C.3
D.1
23.如图,已知AE∥BC,∠1=3∠2,∠2=28°,则∠AFB=.
24.如图,∠ABD=∠CBD,DF∥AB,DE∥BC,则∠1与∠2的大小关系是_.
25.如图,已知B、C、E在同一直线上,且CD∥AB,若∠A=105°,∠B=40°,则∠ACE为.
26.如图,已知∠1=∠2,∠D=78°,则∠BCD= 度.
四、平行线的说理
27.如图所示,若∠1＝∠2 ,∠3＝∠4,则图中哪些直线是平行的? 为什么?
28.如图所示,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,∠1+∠2=90°,那么,直线 AB、CD的位置关系如何? 说明你的理由.
29.如图,在折线 ABCDEFG中,已知∠1 =∠2=∠3=∠4=∠5 ,延长AB、GF交于点 M.试探索∠AMG与∠3的关系,并说
明理由.
五、平行线的探索问题
30.已知 AB∥CD,线段 EF分别与 AB、CD相交于点 E、F.
(1)如图1 ,当∠A=40°,∠C=60°时,求∠APC的度数;
(2)如图2,当点P在线段EF上运动时(不包括 E、F两点) ,∠A、∠C与∠APC之间有什么确定的相等关系?试证明你的结论.
(3)如图3,当点P在线段EF的延长线上运动时, (2)中的结论成立吗? 如果成立,说明理由;如果不成立,试探究它们之间新的相等关系并证明.。
