专题讲座 二次函数与线段的和差积商

专题12二次函数与线段和（将军饮马型）最值问题二次函数与将军饮马问题必备的基础模型有：模型1：当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得P A ＋PB 最小．作点B 关于直线l 的对称点B '，连接AB '交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．P A ＋PB 的最小值为AB ' 模型2：当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．连接AB 并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点，PA PB -的最大值为AB 模型3：当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．作点B 关于直线I 的对称点B '，连接AB '并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为AB '模型4：点P 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得△PCD 周长最小．lABll ABllABlB分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P ′、P ″，连接P ′P ″，交OA 、OB 于点C 、D ，点C 、D 即为所求．△PCD 周长的最小值为P ′P ″模型5：点P 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得PD ＋CD 最小．作点P 关于OB 的对称点P ′，过P ′作P ′C ⊥OA 交OB ，PD ＋CD 的最小值为P ′C【例1】（2022•黑龙江）如图，已知抛物线y ＝（x ﹣2）（x +a ）（a ＞0）与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线过点M （﹣2，﹣2），求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE 的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H ，使CH +EH 的值最小，直接写出点H 的坐标．【例2】（2022•甘肃）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝（x +3）（x ﹣a ）与x 轴交于A ，B （4，0）两点，点C 在y 轴上，且OC ＝OB ，D ，E 分别是线段AC ，AB 上的动点（点D ，E 不与点A ，B ，C 重合）．（1）求此抛物线的表达式；（2）连接DE 并延长交抛物线于点P ，当DE ⊥x 轴，且AE ＝1时，求DP 的长；（3）连接BD ．POADCP'POA①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；②如图3，连接CE，当CD＝AE时，求BD+CE的最小值．【例3】．（2022•达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该二次函数的表达式；（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【例4】．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A （﹣1，0）和点B．（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，①求点P的坐标；②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．【例5】（2022•常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．（1）求此抛物线的解析式；（2）当△OAB的面积为15时，求B的坐标；（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当P A﹣PB的值最大时，求P的坐标以及P A﹣PB的最大值．1．（2022•滨城区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0），经过点A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC＝S△ABC时，求N点的坐标；（3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．2．（2022•淮北模拟）已知抛物线l1：y＝ax2+bx﹣2和直线l2：y＝﹣x﹣均与x轴相交于点A，抛物线l1与x轴的另一个交点为点B（3，0）．（1）求a，b的值；（2）将抛物线l1向右平移h个单位长度，使其顶点C落在直线l2上，求h的值；（3）设抛物线l1和直线l2的另一个交点为点D，点P为抛物线上一个动点，且点P在线段AD的下方（点P不与点A，D重合），过点P分别作x轴和y轴的平行线，交直线l2于点M，N，记W＝PM+PN，求W的最大值．3．（2022•南宁一模）如图1所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA＝6，其顶点与x轴的距离是6．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过点P的直线y＝x+m与抛物线的对称轴交于点Q．①当△POQ与△P AQ的面积之比为1：3时，求m的值；②如图2，当点P在x轴下方的抛物线上时，过点B（3，3）的直线AB与直线PQ交于点C，求PC+CQ的最大值．4．（2022•成都模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴，x轴分别相交于A（0，2），B（2，0），C（4，0）三点，点D是二次函数图象的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）点P为抛物线上异于点B的一点，连接AC，若S△ACP＝S△ACB，求点P的坐标；（3）M是第四象限内一动点，且∠AMB＝45°，连接MD，MC，求2MD+MC的最小值．5．（2022•成都模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于点A，B（A在B的左边），且经过点C（﹣2，3），P为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点P的坐标；（2）平面内一动点H自点C出发，先到达x轴上的某点M，再到达y轴上某点N，最后运动到点P，求使点H运动的总路径最短的点M，点N的坐标，并求出这个最短总路径的长；（3）如图2，过点C的直线l与抛物线有唯一的公共点，将直线l向下平移交抛物线于D，E两点，连BD交y轴正半轴于F，连BE交y轴负半轴于G，试判断|OF﹣OG|是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．6．（2022•沈阳模拟）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的“衍生直线”为y＝﹣ax+b，有一个顶点在抛物线上，另一个顶点在“衍生直线”上的三角形为该抛物线的“衍生三角形”．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与其“衍生直线”交于A，D两点（点A在点D的左侧），与x轴正半轴相交于点B，与y轴正半轴相交于点C，点P为抛物线的顶点．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为；B的坐标为；D的坐标为．（2）如图1，动点E在线段AB上，连接DE，DB，将△BDE以DE所在直线为对称轴翻折，点B的对称点为F，若三角形△DEF为该抛物线的“衍生三角形”，且F不在抛物线上，求点F坐标．（3）抛物线的“衍生直线”上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝，连接PM，CN，当PM+MN+CN最短时，请直接写出此时点N的坐标．7．（2022•沈阳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+（a≠0）经过点A（3，2）和点B（4，﹣），且与y轴交于点C．（1）分别求抛物线和直线BC的解析式；（2）在x轴上有一动点G，抛物线上有一动点H，是否存在以O，A，G，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+P A的最小值．8．（2022•沈河区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B（点B在A的右侧），与y轴交于点C（0，2），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AP，与y轴交于点D，连接BD，当△BOD≌△COA时，求点P的坐标；（3）连接OP，与线段BC交于点E，点Q是x轴正半轴上一点，且CE＝BQ，当OE+CQ的值最小时，请直接写出点Q的坐标．9．（2022•邵阳县模拟）如图，直线l：y＝﹣3x﹣6与x轴、y轴分别相交于点A、C；经过点A、C的抛物线C：与x轴的另一个交点为点B，其顶点为点D，对称轴与x轴相交于点E．（1）求抛物线C的对称轴．（2）将直线l向右平移得到直线l1．①如图①，直线l1与抛物线C的对称轴DE相交于点P，要使PB+PC的值最小，求直线l1的解析式．②如图②，直线l1与直线BC相交于点F，直线l1上是否存在点M，使得以点A、C、F、M为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2021•越秀区校级二模）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴是直线x＝与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM﹣CM|的值最小时，求出点M的坐标；（3）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2022•立山区一模）已知点A（﹣2，0），B（3，0），抛物线y＝ax2+bx+4过A，B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是线段AC上一动点（不与C点重合），作PQ⊥BC交抛物线于点Q，PH⊥x轴于点H．①连结CQ，BQ，PB，当四边形PCQB的面积为时，求P点的坐标；②直接写出PH+PQ的取值范围．12．（2021•招远市一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．（4）设点M的坐标为（3，m），直接写出使MN+MD的和最小时m的值．13．（2021•桓台县二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），点M为顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点M作y轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的平行线，交CM于点D，点H为OC上的任一点，将线段HB绕点H逆时针旋转90°到HP．求∠PCD的度数；（3）在（2）的条件下，将点H改为y轴上的一动点，连接OP，BP，求OP+BP的最小值．14．（2021•成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m．①求DF+HF的最大值；②连接EG，若∠GEH＝45°，求m的值．15．（2020•朝阳）如图，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点C坐标为（0，4）．（1）求抛物线表达式；（2）在抛物线上是否存在点P，使∠ABP＝∠BCO，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离；（4）点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点A，B，C重合，连接GH，GQ，HQ，得到△GHQ，直接写出△GHQ周长的最小值．16．（2021•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G 到直线y＝﹣2的距离总相等．①证明上述结论并求出点F的坐标；②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标．17．（2020•滨州）如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，﹣），点F（2，1）为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ 周长的最小值及点Q的坐标．18．（2018•贺州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA＝3，OB＝1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），P A、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．19．（2018•烟台）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y ＝kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2018•湘潭）如图，点P为抛物线y＝x2上一动点．（1）若抛物线y＝x2是由抛物线y＝（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM＝PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．。

或
（4） 如图（2），连接 <m></m> , <m></m> ，过点 <m></m> 作 <m></m> 轴的平行线 <m></m> ，分别交折线 <m></m> 、线段 <m></m> 于点 <m></m> ， <m></m> ，当 <m></m> 的面积被直线 <m></m> 分为 <m></m> 的两部分时，点 <m></m> 的横坐标为________________.
（5） 如图（3），点 <m></m> 为直线 <m></m> 上一动点，连接 <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> 的最小值为______.
图（3）
【分步分析】
①作点 <m></m> 关于直线 <m></m> 的对称点 <m></m> ,则点 <m></m> 的坐标为______.
2
（2） 当 <m></m> 时， <m></m> ___；当 <m></m> 时， <m></m> ___.
【分步分析】① <m></m> 的长为_______.（用含 <m></m> 的代数式表示）②当 <m></m> 时，列方程为_ __________________， <m></m> 的值为___.③当 <m></m> 时， <m></m> 的值为___.

专项10 二次函数和线段和差最值问题“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。

“两点定点一定长”模型一：当两定点 A、B 在直线l异侧时，在直线l上找一点 P，使 PA+PB 最小。

作法：连接AB交直线l 于点 P，点P即为所求作的点。

结论：PA+PB值最小模型二：作法：作点B关于直线l的对称点B’，连接AB’与直线l相交的点P即为所求结论：AP+PB’值最小模型三：PA-最大。

当两定点 A、B 在直线l同侧时，在直线l上找一点 P，使PB作法：接 AB并延长交直线l于点 P，点P即为所求作的点。

PA-的最大值为 AB。

结论：PBPA-最大。

当 l 两B定点 A、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点 P，使PB作法：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点 P，点P即为所求作的点。

PA-的最大值为AB′结论：PB模型四：当 l 两定点 A、B 在直线l同侧时，在直线l上找一点 P，使PBPA-最小。

作法：连接 AB，作AB的垂直平分线交直线l于点 P，点 P 即为所求作的点。

PA-的最小值为 0结论：PB【考点1 线段最值问题】【典例1】（盘锦）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点C，交x 轴于A、B两点，A（﹣2，0），a+b＝，点M是抛物线上的动点，点M在顶点和B点之间运动（不包括顶点和B点），ME∥y轴，交直线BC于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段ME的最大值；【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+4，则，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；（2）y＝﹣x2+x+4，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝4或﹣2，故点A、B、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（4，0）、（0，4），设直线BC的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，设点M（x，﹣x2+x+4），则点E（x，﹣x+4），则ME＝（﹣x2+x+4）﹣（x﹣4）＝﹣x2+2x，∵，故ME有最大值，当x＝2时，ME的最大值为2；【变式1-1】（2021•柳南区校级模拟）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x．①求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②线段PE的长h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x值；若不存在，请说明理由？【解答】解：（1）∵点A（3，4）在直线y＝x+m上，∴4＝3+m．∴m＝1．设所求二次函数的关系式为y＝a（x﹣1）2．∵点A（3，4）在二次函数y＝a（x﹣1）2的图象上，∴4＝a（3﹣1）2，∴a＝1．∴所求二次函数的关系式为y＝（x﹣1）2．即y＝x2﹣2x+1．（2）①设P、E两点的纵坐标分别为y P和y E．∴PE＝h＝y P﹣y E＝（x+1）﹣（x2﹣2x+1）＝﹣x2+3x．即h＝﹣x2+3x（0＜x＜3）．②存在．∵h＝﹣（x﹣）2+，又∵a＝﹣1＜0，∴x＝时，h的值最大，最大值为．【变式1-2】（2022春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．求线段PM的最大值；【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式得，，解得，∴这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；（2）设BC的解析式为y＝kx+b，将B，C的坐标代入函数解析式得，，解得，∴BC的解析式为y＝x﹣3，设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，＝，当n＝时，PM最大∴线段PM的最大值；【典例2】（2020秋•椒江区校级月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A （1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点T为对称轴直线x＝2上一点，则TC﹣TB的最大值为多少？【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx+3，解得a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3①；（2）点B关于函数对称轴的对称点为点A，连接CA交函数对称轴于点T，则点T为所求点，则TC﹣TB＝TC﹣TA＝AC为最大，故TC﹣TB的最大值为AC＝＝，故答案为；【变式2】（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），由题意设抛物线L2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），﹣12＝﹣6a，解得a＝2，∴抛物线的解析式为y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．（2）∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A（﹣1，0），B（4，0），∴抛物线L1，L2的对称轴是直线x＝，∴点P在直线x＝上，∴BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大，此时点P为直线AC与直线x＝的交点，∵直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，∴P（，﹣5）【典例3】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC 于点Q．（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．求线段PN的最大值；【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为x＝1，点B与A（﹣1，0）关于直线x＝1对称，∴B（3，0），设y＝a（x﹣3）（x+1），把C（0，3）代入得：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣x2+2x+3，设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，故抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，直线BC的解析式为y＝﹣x+3；（2）设P（t，﹣t2+2t+3），则Q（t，﹣t+3），∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠BCO＝45°，∵PQ⊥x轴，∴PQ∥y轴，∴∠PQN＝∠BCO＝45°，∵PN⊥BC，∴PN＝PQ•sin∠PQN＝（﹣t2+3t）•sin45°＝﹣（t﹣）2+，∵＜0，∴当t＝时，PN的最大值为；【变式3】（2022•广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，b满足的关系式及c的值；（2）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．【解答】解：（1）直线y＝﹣x﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2，∴B（0，﹣2），当y＝0时，﹣x﹣2＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0），将A（﹣2，0），B（0，﹣2）代入抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）中，得，，∴2a﹣b＝1，c＝﹣2；（2）当a＝1时，2×1﹣b＝1，∴b＝1，∴y＝x2+x﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0），∴OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°，如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，交AB于E，则△EQD是等腰直角三角形，设Q（m，m2+m﹣2），则E（m，﹣m﹣2），∴QE＝（﹣m﹣2）﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）2+1，∴QD＝QE＝﹣（m+1）2+，当m＝﹣1时，QD有最大值是，当m＝﹣1时，y＝1﹣1﹣2＝﹣2，综上，点Q的坐标为（﹣1，﹣2）时，QD有最大值是．【考点2 线段和最小】【典例4】（2019秋•东莞市校级期末）已知，抛物线y＝ax2+bx+c，过A（﹣1，0）、B （3，0）、C（0，﹣3），M为顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，并求出P的坐标；【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得a×（0+1）×（0﹣3）＝﹣3，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；（2）抛物线的对称轴为直线x＝1，点A与点B关于直线x＝1对称，连接BC交直线x＝1于P点，则PA＝PB，∵PA+PC＝PB+PC＝BC，∴此时PA+PC的值最小，设直线BC的解析式为y＝mx+n，把B（3，0），C（0，﹣3）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，则满足条件的P点坐标为（1，﹣2）；【变式4-1】（2019•赤峰）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A（﹣1，0）；（2）如图1中，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC+ED 为最小，函数顶点D坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），将C′、D的坐标代入一次函数表达式并解得：直线C′D的表达式为：y＝7x﹣3，当y＝0时，x＝，故点E（，0），则EC+ED的最小值为DC′＝；【变式4-2】（2016•黑龙江二模）如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2+bx﹣2上，∴×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣2＝0，解得：b＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2．∵y＝x2﹣x﹣2＝（x2﹣3x﹣4 ）＝，∴顶点D的坐标为（，﹣）．（2）设点C关于x轴的对称点为C′，直线C′D的解析式为y＝kx+n，则，解得：．∴y＝﹣x+2．∴当y＝0时，﹣x+2＝0，解得：x＝．∴m＝．【典例5】（2022•恩施州模拟）如图1，已知抛物线．点A（﹣1，2）在抛物线的对称轴上，是抛物线与y轴的交点，D为抛物线上一动点，过点D 作x轴的垂线，垂足为点C．（1）直接写出h，k的值；（2）如图1，若点D的坐标为（3，m），点Q为y轴上一动点，直线QK与抛物线对称轴垂直，垂足为点K．探求DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由；【解答】解：（1）∵点A（﹣1，2）在抛物线的对称轴上，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴h＝1，∴y＝（x+1）2+k，∵是抛物线与y轴的交点，∴+k＝，∴k＝1；（2）存在最小值，理由如下：由（1）可知y＝（x+1）2+1，作C点关于直线x＝﹣的对称点C'，连接C'D交抛物线对称轴于点K，连接CQ，由对称性可知C'K＝CQ，∴CQ+KQ+KD＝C'K+KD+KQ≥C'D+KQ，当C'、K、D三点共线时，CQ+KQ+KD的值最小，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴KQ＝1，∵D（3，5），CD⊥x轴，∵C（3，0），∴C'（﹣4，0），∴C'D＝，∴CQ+KQ+KD的最小值为+1，设直线C'D的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+，∴K（﹣1，），∴Q（0，）；【变式5】（2022•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B 的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；【解答】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，如图：∵CC'＝PQ，CC'∥PQ，∴四边形CC'QP是平行四边形，∴CP＝C'Q，∴CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，∵B，Q，C'共线，∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，∵C（0，4），CC'＝PQ＝1，∴C'（0，3），∵B（4，0），∴BC'＝＝5，∴BC'+PQ＝5+1＝6，∴CP+PQ+BQ最小值为6；【考点3 周长最值问题】【典例6】（2020春•五华区校级期末）如图，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2+bx﹣3上，∴b＝﹣2，∴抛物线解析式y＝x2﹣2x﹣3，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点D的坐标（1，﹣4）；（2）对于y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），当y＝0时，0＝x2﹣2x﹣3，解得：x＝3或﹣1，∴B（3，0），由抛物线的性质可知：点A和B是对称点，∴连接BC交函数的对称轴于点M，此时AM+CM＝BC为最小值，而BC的长度是常数，故此时△ACM的周长最小，设直线BC的表达式为y＝mx+n，则，解得，故直线BC的表达式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝﹣2，故点M（1，﹣2）．【变式6-1】（2021•富拉尔基区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线解析式；（2）若M是抛物线对称轴上的一点，则△ACM周长的最小值为多少？【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵△ACM周长的值最小，∴MC+AM的值最小，即点M即为直线BC与抛物线对称轴的交点，∴△ACM周长的最小值为BC+AC，∵点B（﹣3，0），C（0，3），∴BC＝＝3，AC＝＝，∴△ACM周长的最小值为，故答案为：；【变式6-2】（2022•齐河县模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM的周长最小？若存在，求出△ACM 周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，抛物线上是否存在一点P，使得∠BCP＝∠ACB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，∴方程ax2+bx+3＝0的两根为x＝1或x＝3，∴1+3＝﹣，1×3＝，∴a＝1，b＝﹣4，∴二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3；（2）∵二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，C（0，3）．∵点A、B关于对称轴对称，∴点M为BC与对称轴的交点时，MA+MC＝BC的值最小．设直线BC的解析式为y＝kx+t（k≠0），则，解得：．∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．∵抛物线的对称轴为直线x＝2．∴当x＝2时，y＝1．∴抛物线对称轴上存在点M（2，1）符合题意，∵A（1，0）、B（3，0），C（0，3）．∴AC＝＝，BC＝＝3，∴AC+BC＝+3，∴在抛物线的对称轴上存在点M，使△ACM的周长最小，△ACM周长的最小值为+3；【典例7】（2022春•衡阳期中）如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）如图1，点E在线段AB上方的抛物线上运动（不与A、B重合），过点E作ED⊥AB，交AB于点D，作EF⊥AC，交AC于点F，交AB于点M，求△DEM的周长的最大值；【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（4，0），B（0，3）．∵抛物线y＝ax2+x+c经过A、B两点，∴，解得．∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+x+3．（2）∵A（4，0），B（0，3）．∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝5．∵ED⊥AB，∴∠EDM＝∠AOB＝90°，∵∠DEM+∠EMD＝∠FMA+∠BAO＝90°，∠FMA＝∠EMD，∴∠DEM＝∠BAO，∴△AOB∽△EDM，∴AO：OB：AB＝ED：DM：EM＝4：3：5，设E的横坐标为t，则E（t，﹣t2+t+3），∴M（t，﹣t+3），∴EM＝﹣t2+t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+t．∴△DEM的周长为：ED+DM+EM＝EM＝﹣（t﹣2）2+，∴当t＝2时，△DEM的周长的最大值为．【变式7】（2022春•北碚区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+2交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，一次函数y＝﹣x﹣1交抛物线于A，D两点，其中点D（3，﹣4）．（1）求抛物线C1的解析式；（2）点G为抛物线上一点，且在线段BC上方，过点G作GH∥y轴交BC于H，交x 轴于点N，作GM⊥BC于点M，求△GHM周长的最大值；【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x﹣1交抛物线于A点，且点A在x轴上，∴A（﹣1，0）；将A（﹣1，0）和D（3，﹣4）代入抛物线C1：y＝ax2+bx+2，∴，解得，∴抛物线C1：y＝﹣x2+x+2．（2）由（1）知抛物线C1：y＝﹣x2+x+2．令y＝0，解得x＝﹣1或x＝2，∴B（2，0）；令x＝0，则y＝2，∴C（0，2）．∴OB＝OC＝2，直线BC的解析式为：y＝﹣x+2；∴△OBC是等腰直角三角形，且∠OBC＝∠OCB＝45°；∵GH∥y轴，∴∠GNB＝90°，∴∠BHN＝45°，∵GM⊥BC，∴∠GMH＝90°，∵∠MGH＝∠GHM＝45°，∴GM＝MH＝GH；设点G的横坐标为t，则G（t，﹣t2+t+2），H（t，﹣t+2），∴GH＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1．∵﹣1＜0，∴当t＝1时，GH有最大值1；∵△GHM的周长为：GM+MH+GH＝（+1）GH，∴△GHM周长的最大值为+1．1．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A （﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．求线段PM的最大值；【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式得，，解得，∴这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；（2）①设BC的解析式为y＝kx+b，将B，C的坐标代入函数解析式得，，解得，∴BC的解析式为y＝x﹣3，设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，＝，当n＝时，PM最大∴线段PM的最大值；2．（2022•宁远县模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；【解答】解：（1）∴二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3），∴，解得：．∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴x＝﹣＝﹣1，D（﹣2，﹣3），C（0，﹣3），∴C、D关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，连接AC与对称轴的交点就是点P，此时PA+PD＝PA+PC＝AC＝＝＝3．∴PA+PD的最小值为3；3．（2022•昭平县二模）如图1，对称轴为直线x＝1的抛物线经过B（3，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线对称轴上的一点，使PA+PC取得最小值，求点P的坐标；【解答】解：（1）由对称性得：A（﹣1，0），设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，4）代入：4＝﹣3a，a＝﹣，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）如图，点A与点B关于对称轴直线x＝1对称，连接BC，交抛物线对称轴于点P，连接PA，即点P为所求点，此时PA+PC＝PB+PC＝BC的值最小，∵B（3，0）、C（0，4），设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+4，当x＝1时，y＝，∴P点的坐标为（1，）；4．（2022春•石鼓区校级月考）已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值．【解答】解：（1）将（﹣3，0），（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3．（2）∵y＝x2+2x﹣3，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，连接BD，交对称轴于点P，∵点A坐标为（﹣3，0），抛物线对称轴为直线x＝﹣1，∴点B坐标为（1，0），∴BD＝＝3，又∵AD＝＝，∴△PAD周长的最小值为3+．5．（2022•江阴市校级一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x 轴分别相交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）．（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC 的最小值；【解答】解：（1）∵抛物线过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为M（1，4）．（2）如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′（0，2），连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，∵A、B关于直线x＝1对称，∴AQ′＝BQ′，∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，在Rt△BOC′中，BC′＝，＝＝．∴AQ′+Q′P′+P′C＝BQ′+C′Q′+Q′P′＝BC′+Q′P′＝+1，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，∴AQ+QP+PC的最小值为+1．6．（2022•常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．（1）求此抛物线的解析式；（2）当△OAB的面积为15时，求B的坐标；（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值．【解答】解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，解得：a＝1，∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，故此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x；（2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，∴设B（2，m）（m＞0），设直线OA的解析式为y＝kx，则5k＝5，解得：k＝1，∴直线OA的解析式为y＝x，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），∴BH＝m﹣2，＝15，∵S△OAB∴×（m﹣2）×5＝15，解得：t＝8，∴点B的坐标为（2，8）；（3）设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+10，当PA﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，∵P是抛物线上的动点，∴，解得：，（舍去），∴P（﹣2，12），此时，PA﹣PB＝AB＝＝3．7．（2022•玉州区一模）如图，抛物线y＝﹣x2x+4交x轴于A，B两点（点B在A的右边），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．（1）求A、B两点坐标；（2）过点P作PN上BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？【解答】解：（1）当y＝0，﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝4，∴A（﹣3，0），B（4，0），（2）设点P（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，P～N＝PQ•sin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣（m﹣2）2+，∵﹣＜0，∴PN有最大值，当m＝2时，PN的最大值为．8．（2022•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，可得y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），∵B （3，0），C （0，3），∴OB ＝OC ＝3，∴∠OBC ＝45°，∵PF ∥AB ，∴∠PFE ＝∠OBC ＝45°，∵PE ⊥BC ，∴△PEF 是等腰直角三角形，∴PE 的值最大时，△PEF 的周长最大，∵S △PBC ＝S △POB +S △POC ﹣S △OBC＝×3×（﹣m 2+2m +3）+×3×m ﹣×3×3＝﹣m 2+m＝﹣（m ﹣）2+，∵﹣＜0，∴m ＝时，△PBC 的面积最大，面积的最大值为，此时PE 的值最大，∵×3×PE ＝，∴PE ＝，∴△PEF 的周长的最大值＝++＝+，此时P （，）；。

2019-2020年高二数学函数的和、差、积、商的导数教案 苏教版 教学目的：1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数3.能够综合运用各种法则求函数的导数教学重点：用定义推导函数的和、差、积、商的求导法则教学难点：函数的积、商的求导法则的推导．授课类型：新授课教学过程：一、复习引入：常见函数的导数公式：；(k,b 为常数) ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a==>≠且 ；二、讲解新课：法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 证明：令，)]()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆v u x v x x v x u x x u ∆±∆=-∆+±-∆+=)]()([)]()([，∴ ， x v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim即 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即证明：令，则--+-，+因为在点x 处可导，所以它在点x 处连续，于是当时，，从而+，即 ．法则3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭证明：令， )()()()()()(x v x x v x x v x u x v x x u ∆+∆+-∆+= )()()]()()[()()]()([x v x x v x v x x v x u x v x u x x u ∆+-∆+--∆+=，∴ )()()()()()()()(x v x x v x x v x x v x u x v x x u x x u x y ∆+∆-∆+-∆-∆+=∆∆ 因为v (x )在点x 处可导，所以v (x )在点x 处连续．于是当时，v (x +)v (x )．∴ )()](lim [)lim ()lim (lim 0000x v x x v x v u v x u x y x x x x ∆+∆∆-∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆即)0('''2'≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=v v uv v u v u y ． 三、讲解范例：例1 求下列函数的导数1、y =x 3+sin x 的导数.2求的导数．(两种方法)3 、y =5x 10sin x －2cos x －9，求y ′4求y =的导数.变式：(1)求y =在点x =3处的导数.(2) 求y =·cos x 的导数.解法一： 解法二：3、求y =的导数.例2求y =tan x 的导数.例3求满足下列条件的函数(1) 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-=（2）是一次函数, 2'()(21)()1x f x x f x --=变式：已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 的图象过点P(0,2)，且在点M 处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式四、课堂练习：1.求下列函数的导数：(1)y = (2)y = (3)y =tan x (4)y =五、小结 ：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数,商的导数法则()′=(v ≠0)，如何综合运用函数的和、差、积、商的导数法则，来求一些复杂函数的导数.要将和、差、积、商的导数法则记住六、课后作业：。

二次函数与线段问题一、引言二次函数与线段问题是高中数学中的重要内容，也是考试中常出现的题型。

本文将介绍二次函数与线段问题的相关知识，并提供一个全面详细的函数来解决这类问题。

二、二次函数基础知识1. 二次函数的定义二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。

2. 二次函数图像当a>0时，二次函数图像开口向上；当a<0时，二次函数图像开口向下。

对于所有的二次函数图像来说，都有一个最值点（顶点），其横坐标为-x轴上的值-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。

3. 二次函数性质（1）对称轴：对于任意一条经过顶点且垂直于x轴的直线l，它将平面分成两个部分，在这两个部分上y值相等的点在对称轴上关于顶点对称。

（2）奇偶性：当a=0时，f(x)=bx+c是一个一次函数；当b=0时，f(x)=ax²+c是一个偶函数；当c=0时，f(x)=ax²+bx是一个奇函数。

（3）零点：二次函数的零点可以通过求解ax²+bx+c=0的解得，其中Δ=b²-4ac称为判别式。

当Δ>0时，有两个不相等的实数根；当Δ=0时，有两个相等的实数根；当Δ<0时，有两个共轭复数根。

三、线段基础知识1. 线段的定义线段是指在平面直角坐标系上由两个端点A(x1,y1)和B(x2,y2)确定的一条有限长的直线部分。

2. 线段长度公式线段AB的长度可以用勾股定理求得：AB=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。

3. 线段中点公式线段AB的中点M坐标为[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]。

四、二次函数与线段问题综合应用在实际问题中，我们经常需要用到二次函数和线段知识来解决问题。

下面我们将通过一个例题来详细介绍如何应用这些知识。

例题：已知二次函数f(x)=x²-6x+9和直线y=-3x+12，求它们之间距离最短时，距离为多少？解题思路：（1）画出二次函数f(x)=x²-6x+9的图像，并求出顶点坐标。

教学过程一、课堂导入二次函数的综合问题是中考压轴题常考题型之一，考点分值12分，难度较大。

主要考查形式为二次函数与一些简单几何图形的点存在性问题，既考查了学生的数形结合能力，又考查学生的计算能力。

此类问题出现后，大多学生都无从下手，主要是学生的综合能力、解题技巧及实战经验不足所致。

就本节二次函数与线段和差的点存在性问题，主要考查了学生是否能够在图形中寻找到线段和最小或差最大及线段长度的最值的能力。

二、复习预习勾股定理及逆定理1.定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。

（即：a2+b2=c2）2.勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边和另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题3.逆定理：如果三角形的三边长：a，b，c，则有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

4.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边为c。

（2）验证c2和a2+b2是否具有相等的关系，若a2+b2=c2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形。

三、知识讲解考点1 二次函数的基础知识1.一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．2.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a ，244ac b a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点2 探究线段和差的一般思路线段的和的最小值：此类问题归结为对称点问题，我们只需将其中的一个已知点关于直线的对称点找到，同时连接该对称点与另一已知的点，则该直线与已知直线的交点即为寻找的点；线段的差的最大值：此类问题归结为三点共线问题，我们只需将两个已知的点都转换到直线的同一侧，同时连接这两个已知的点得到的直线与已知直线的交点即为寻找的点；线段的最值问题：我们可以将所需线段用所设的未知数表示出来，再根据函数最值的求解方式便可以得到线段的最值了；图形周长的最值问题：此类问题可以归结为线段的和的最值问题，我们可以借助线段和的最值求法来研究。

二次函数与线段和差问题例题精讲：如图抛物线与x轴交于A,B（1,0），与y 轴交于点C,直线经过点A,C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l,（1）求抛物线解析式。

（2）求顶点D的坐标与对称轴l.（3）设点E为x轴上一点，且AE=CE,求点E的坐标。

（4）设点G是y轴上的一点，是否存在点G，使得GD+GB的值最小，若存在，求出G点坐标，若不存在，说明理由。

（5）在直线l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小，若存在，求出点F 的坐标及△BCF周长的最小值，若不存在，说明理由。

（6）在y轴上是否存在一点S,使得SD-SB的值最大，若存在，求出S点坐标，若不存在，说明理由。

（7）若点H是抛物线上位于AC上方的一点，过点H作y轴的平行线，交AC 于点K，设点H的横坐标为h,线段HK=d①求d关于h的函数关系式②求d的最大值及此时H点的坐标（8）设点P是直线AC上方抛物线上一点，当P点与直线AC距离最大值时，求P点的坐标，并求出最大距离是多少1.如图，矩形的边OA在轴上，边OC在轴上，点的坐标为(10,8)，沿直线OD折叠矩形，使点正好落在上的处，E点坐标为(6,8)，抛物线经过、、三点。

（1）求此抛物线的解析式。

（2）求AD的长。

（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标。

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线412+=x y 与轴相交于点A ，点B 与点O 关于点A 对称。

（1）填空：点B 的坐标是 。

（2）过点的直线（其中）与轴相交于点C ，过点C 作直线平行于轴，P 是直线上一点，且PB=PC ，求线段PB 的长（用含k 的式子表示），并判断点P 是否在抛物线上，说明理由。

（3）在（2）的条件下，若点C 关于直线BP 的对称点恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P 的坐标。

3.如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3,.(1)写出抛物线对应的函数解析式:△AOD的面积是(2)连结CB交EF于M,再连结AM交OC于R,求△ACR的周长.(3)设G(4,-5)在该抛物线上,P是y轴上一动点,过点P作PH垂直于直线EF并交于H,连接AP,GH,问AP+PH+HG是否有最小值如果有,求点P的坐标;如果没有,请说明理由.4.在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点． 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且2EF =，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．5.四边形ABCD 是直角梯形，BC ∥AD ，∠BAD =90°，BC 与y 轴相交于点M ，且M 是BC 的中点，A 、B 、D 三点的坐标分别是A （ 1 0-，），B （ 1 2-，），D （3，0）．连接DM ，并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ．若抛物线2y ax bx c =++经过点D 、M 、N ． （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大并求出最大值．6.已知，如图，二次函数223y ax ax a=+-(0)a≠图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线:3l y x=+（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．7.如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2=y ax 上．（1）求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；（2）平移抛物线2y ax，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，=点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．8.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．9.在Rt △ABC 中，∠A=90°，AC=AB=4， D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0<α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．（1）如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于 ，线段CE 1的长等于 ；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD 1= CE 1，且BD 1⊥CE 1；（3）①设BC 的中点为M ，则线段PM 的长为 ；②点P 到AB 所在直线的距离的最大值为 ．（直接填写结果）E 1BCE （D 1）A PE 1BCED D 1A。

二次函数与线段和差问题例题精讲:如图抛物线与x轴交于A，B（1,0）,与y 轴交于点C，直线经过点A,C。

抛物线的顶点为D，对称轴为直线l，（1）求抛物线解析式.（2）求顶点D的坐标与对称轴l。

（3）设点E为x轴上一点，且AE=CE，求点E的坐标.（4）设点G是y轴上的一点,是否存在点G，使得GD+GB的值最小，若存在，求出G点坐标，若不存在，说明理由。

（5）在直线l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小,若存在,求出点F的坐标及△BCF周长的最小值，若不存在，说明理由。

（6）在y轴上是否存在一点S，使得SD-SB的值最大，若存在，求出S点坐标,若不存在，说明理由。

（7）若点H是抛物线上位于AC上方的一点，过点H作y轴的平行线，交AC 于点K，设点H的横坐标为h,线段HK=d①求d关于h的函数关系式②求d的最大值及此时H点的坐标（8）设点P是直线AC上方抛物线上一点，当P点与直线AC距离最大值时，求P点的坐标,并求出最大距离是多少?1.如图,矩形的边OA 在轴上，边OC 在轴上，点的坐标为(10，8),沿直线OD 折叠矩形，使点正好落在上的处，E 点坐标为（6,8），抛物线经过、、三点。

（1)求此抛物线的解析式。

(2)求AD 的长.(3）点P 是抛物线对称轴上的一动点,当△PAD 的周长最小时，求点P 的坐标.2。

如图,在平面直角坐标系中，抛物线412+=x y 与轴相交于点A ，点B 与点O 关于点A 对称。

(1）填空：点B 的坐标是 。

（2）过点的直线（其中）与轴相交于点C ，过点C 作直线平行于轴，P 是直线上一点，且PB=PC,求线段PB 的长（用含k 的式子表示），并判断点P 是否在抛物线上，说明理由.（3）在(2）的条件下，若点C 关于直线BP 的对称点恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P 的坐标。

3.如图，抛物线与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,点O 为坐标原点,点D 为抛物线的顶点，点E 在抛物线上，点F 在x 轴上,四边形OCEF 为矩形,且OF=2，EF=3，.(1）写出抛物线对应的函数解析式： △AOD 的面积是(2)连结CB 交EF 于M ，再连结AM 交OC 于R ，求△ACR 的周长。

专题10二次函数与线段最值定值及数量关系问题图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．【例1】（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y＝x﹣交直线l于点F，点G在直线y＝x﹣上，且AG＝AQ时，请直接写出GF的长．【分析】（1）将（0，3）和（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c可得；（2）①求出△PCD的面积，设Q（a，3﹣a）利用S△QAB＝2S△PCD求得；②利用AQ＝AG列出方程，求出G点的坐标，根据联立直线BC和QF的关系式，求出F 的坐标，从而求得GF．【解答】解（1）由题意得，，∴b＝2，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（（x﹣1）2+4，∴P（1，4）．（2）①如图1，作CE⊥PD于E，∵C（0，3），B（3，0），∴直线BC：y＝﹣x+3，∴D（1，2），可设Q（a，3﹣a），∴CE＝PE＝DE，∴△PCD是等腰直角三角形，∴S△PCD＝PD•CE＝×2×1＝1，∴AB•|3﹣a|＝2，∴×4•|3﹣a|＝2，∴a＝2或a＝4．∴Q（2，1）或（4，﹣1）．②如图2，设G（m，m﹣），由AG2＝AQ2得，（m+1）2+＝（2+1）2+12，化简，得5m2+2m﹣16＝0，∴m1＝﹣2，m2＝，∴G1（﹣2，﹣3），G2（，﹣），作QH⊥AB于H，∵AQ⊥QF，∴△AHQ∽△QHM，∴QH2＝AH•HM，即：12＝3•HM，∴HM＝，∴M（，0），设直线QM是：y＝kx+b，∴，∴k＝﹣3，b＝7，∴y＝﹣3x+7，由得，x＝，y＝﹣∴F（，﹣）∴G1F＝＝，G2F＝＝．【例2】（2021•滨州）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线y＝x2相交于点A、B（点A在点B的左侧）．（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为﹣3、，求线段AB中点P的坐标；（2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；（3）如图3，若线段AB中点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数解析式；（4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长．【分析】（1）根据点A、B的横坐标分别为﹣3、，可以先求的点A和B的坐标，平行线分线段成比例定理可以得到EC＝ED，然后即可得到点P的坐标；（2）根据点B的横坐标为4，可以求得点B的坐标，然后根据相似三角形的判定与性质，可以求得点A的坐标，再根据（1）求中点坐标的方法可以求得点P的坐标；（3）根据相似三角形的判定与性质，可以求得点A和点B的坐标与点P坐标的关系，从而可以得到y与x的关系；（4）将y＝6代入（3）中的函数关系式，可以求得点P的横坐标的平方，然后根据勾股定理可以得到OP的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到线段AB的长．【解答】解：（1）∵点A、B在抛物线y＝x2上，点A、B的横坐标分别为﹣3、，∴当x＝﹣3时，y＝×（﹣3）2＝×9＝，当x＝时，y＝×（）2＝×＝，即点A的坐标为（﹣3，），点B的坐标为（，），作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，作PE⊥x轴于点E，如右图1所示，则AC∥BD∥PE，∵点P为线段AB的中点，∴P A＝PB，由平行线分线段成比例，可得EC＝ED，设点P的坐标为（x，y），则x﹣（﹣3）＝﹣x，∴x＝＝﹣，同理可得，y＝＝，∴点P的坐标为（﹣，）；（2）∵点B在抛物线y＝x2上，点B的横坐标为4，∴点B的纵坐标为：y＝×42＝8，∴点B的坐标为（4，8），∴OD＝4，DB＝8，作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，如右图2所示，∵∠AOB＝90°，∠ACO＝90°，∠ODB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∠BOD+∠OBD＝90°，∠ACO＝∠ODB，∴∠AOC＝∠OBD，∴△AOC∽△OBD，∴，设点A的坐标为（a，a2），∴CO＝﹣a，AC＝a2，∴，解得a1＝0（舍去），a2＝﹣1，∴点A的坐标为（﹣1，），∴中点P的横坐标为：＝，纵坐标为＝，∴线段AB中点P的坐标为（，）；（3）作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，如右图3所示，由（2）知，△AOC∽△OBD，∴，设点A的坐标为（a，a2），点B的坐标为（b，b2），∴，解得，ab＝﹣4，∵点P（x，y）是线段AB的中点，∴x＝，y＝＝＝，∴a+b＝2x，∴y＝＝x2+2，即y关于x的函数解析式是y＝x2+2；（4）当y＝6时，6＝x2+2，∴x2＝4，∵OP＝＝＝2，△AOB是直角三角形，点P时斜边AB的中点，∴AB＝2OP＝4，即线段AB的长是4．【例3】（2021•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC 交于点F．（1）点F的坐标为（4，2）；（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E 出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．【分析】（1）先求出B（6，0），C（0，6），再求出直线BC的解析式为y＝﹣x+6，联立即可求F点坐标；（2）过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴交于点H，证明△PMF∽△QNF，得＝，再由FH∥PG，得＝，可求PG＝，即为P点纵坐标为，则可求P（1，）或P（3，）；（3）过点S作SK⊥EG于点K，SH⊥x轴于点H，交EG于点L，证明△ODE是等腰直角三角形，△EHL为等腰直角三角形，则有LK＝SK＝t，SL＝SK＝2t，EL＝t，EH＝LH＝t，OH＝t+2，SH＝3t，求出S（t+2，3t），求出t＝2，则可得点G的运动时间为2s．【解答】解：（1）在抛物线y＝﹣x2+2x+6中，令y＝0，则﹣x2+2x+6＝0，∴x＝﹣2或x＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），令x＝0，则y＝6，∴C（0，6），在直线y＝x﹣2，令y＝0，则x＝2，∴E（2，0），令x＝0，则y＝﹣2，∴D（0，﹣2），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+6，联立，解得，∴F（4，2），故答案为（4，2）；（2）如图1，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴交于点H，∵PM⊥BC，QN⊥BC，∴∠PMF＝∠QNF，∴△PMF∽△QNF，∴＝，∵＝，∴＝，∵FH∥PG，∴＝＝，∵FH＝2，∴PG＝，∴P点纵坐标为，∴﹣x2+2x+6＝，∴x＝1或x＝3，∴P（1，）或P（3，）；（3）如图2，过点S作SK⊥EG于点K，SH⊥x轴于点H，交EG于点L，由题意得，EG＝4t，∵SE＝SG，∴EK＝GK＝EG＝2t，在Rt△SEK中，tan∠SEG＝＝，∴SK＝t，∵E（2，0），D（0，﹣2），∴OE＝OD，∴△ODE是等腰直角三角形，∴∠OED＝45°，∴∠KEH＝∠OED＝45°，∴△EHL为等腰直角三角形，∴LK＝SK＝t，SL＝SK＝2t，∴EL＝EK﹣LK＝t，∴EH＝LH＝t，∴OH＝OE+EH＝t+2，SH＝SL+LH＝3t，∴S（t+2，3t），∴﹣（t+2）2+2（t+2）+6＝3t，∴t＝2或t＝﹣8（舍），∴点G的运动时间为2s．【例4】（2021•巴中）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c即可求解析式；（2）过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，由PF ∥AE，可得＝，则求的最大值即可；（3）分三种情况讨论：当∠CBD＝90°时，过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，可证明△DBG∽△BCH，求出D（3，6）；当∠BCD＝90°时，过点D作DK⊥y轴交于点K，可证明△OBC∽△KCD，求出D（3，﹣9）；当∠BDC＝90°时，线段BC的中点T（3，﹣），设D（3，m），由DT＝BC，可求D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣x﹣3；（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，∴PF∥AE，∴＝，设直线BC的解析式为y＝kx+d，∴，∴，∴y＝x﹣3，设P（t，t2﹣t﹣3），则F（t，t﹣3），∴PF＝t﹣3﹣t2+t+3＝﹣t2+t，∵A（﹣2，0），∴E（﹣2，﹣4），∴AE＝4，∴＝＝＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+，∴当t＝3时，有最大值，∴P（3，﹣）；（3）∵P（3，﹣），D点在l上，如图2，当∠CBD＝90°时，过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°，∴∠GDB＝∠CBH，∴△DBG∽△BCH，∴＝，即＝，∴BG＝6，∴D（3，6）；如图3，当∠BCD＝90°时，过点D作DK⊥y轴交于点K，∵∠KCD+∠OCB＝90°，∠KCD+∠CDK＝90°，∴∠CDK＝∠OCB，∴△OBC∽△KCD，∴＝，即＝，∴KC＝6，∴D（3，﹣9）；如图4，当∠BDC＝90°时，线段BC的中点T（3，﹣），BC＝3，设D（3，m），∵DT＝BC，∴|m+|＝，∴m＝﹣或m＝﹣﹣，∴D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）；综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．【例5】（2020•孝感）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）当a＝6时，直接写出点A，B，C，D的坐标：A（﹣3，0），B（﹣1，0），C（0，18），D（﹣2，﹣6）；（2）如图1，直线DC交x轴于点E，若tan∠AED=43，求a的值和CE的长；（3）如图2，在（2）的条件下，若点N 为OC 的中点，动点P 在第三象限的抛物线上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，交AN 于点F ；过点F 作FH ⊥DE ，垂足为H ．设点P 的横坐标为t ，记f ＝FP +FH ． ①用含t 的代数式表示f ；②设﹣5＜t ≤m （m ＜0），求f 的最大值．【分析】（1）当a ＝6时，抛物线的表达式为：y ＝6x 2+24x +18，即可求解；（2）由点C 、D 的坐标得，直线CD 的表达式为：y ＝2ax +4a ﹣6，进而求出点E （3a −2，0），利用tan ∠AED =OC OE =4a−63a−2=43，即可求解； （3）①证明△FJH ∽△ECO ，故FH OE=FJCE，则FH =OECE ×FJ =−t +1，即可求解； ②f =−23（t +3）2+263（﹣5＜t ≤m 且m ＜0），即可求解． 【解析】（1）当a ＝6时，抛物线的表达式为：y ＝6x 2+24x +18，令y ＝0，则x ＝﹣1或﹣3；当x ＝0时，y ＝18，函数的对称轴为x ＝﹣2， 故点A 、B 、C 、D 的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）； 故答案为：（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）；（2）y ＝ax 2+4ax +4a ﹣6，令x ＝0，则y ＝4a ﹣6，则点C （0，4a ﹣6）， 函数的对称轴为x ＝﹣2，故点D 的坐标为（﹣2，﹣6）， 由点C 、D 的坐标得，直线CD 的表达式为：y ＝2ax +4a ﹣6， 令y ＝0，则x =3a −2，故点E （3a−2，0），则OE =3a −2，tan ∠AED =OCOE =6−4a 3a −2=43，解得：a =23， 故点C 、E 的坐标分别为（0，−103）、（52，0），则CE =√(103)2+(52)2=256；（3）①如图，作PF 与ED 的延长线交于点J ，由（2）知，抛物线的表达式为：y =23x 2+83x −103， 故点A 、C 的坐标分别为（﹣5，0）、（0，−103），则点N （0，−53）， 由点A 、N 的坐标得，直线AN 的表达式为：y =−13x −53； 设点P （t ，23t 2+83t −103），则点F （t ，−13t −53）；则PF =−23t 2﹣3t +53，由点E （52，0）、C 的坐标得，直线CE 的表达式为：y =43x −103，则点J （t ，43t −103），故FJ =−53t +53， ∵FH ⊥DE ，JF ∥y 轴，故∠FHJ ＝∠EOC ＝90°，∠FJH ＝∠ECO ， ∴△FJH ∽△ECO ，故FH OE=FJ CE，则FH =OECE ×FJ =−t +1，f ＝PF +FH =−23t 2﹣3t +53+（﹣t +1）=−23t 2﹣4t +83； ②f =−23t 2﹣4t +83=−23（t +3）2+263（﹣5＜t ≤m 且m ＜0）； ∴当﹣5＜m ＜﹣3时，f max =−23m 2﹣4m +83； 当﹣3≤m ＜0时，f max =263．【例6】（2020•恩施州）如图1，抛物线y =−14x 2+bx +c 经过点C （6，0），顶点为B ，对称轴x ＝2与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC 逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y=−14x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标．（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC=√2（如图2）．①求证：EA＝ED．②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．【分析】（1）根据点C在抛物线上和已知对称轴的条件可求出解析式；（2）根据抛物线的解析式求出点B及已知点C的坐标，证明△ABC是等腰直角三角形，根据旋转的性质推出直线EF与x轴的夹角为45°，因此设直线EF的解析式为y＝x+b，设点M的坐标为（m，0），推出点F（m，6﹣m），直线EF与抛物线y=−14x2+x+3只有一个交点，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式为0得到关于m的方程，解方程得点M的坐标．注意有两种情况，均需讨论．（3）①过点P作PG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，设点M的坐标为（m，0），由PC=√2及旋转的性质，证明△EHM≌△MGP，得到点E的坐标为（m﹣1，5﹣m），再根据两点距离公式证明EA＝ED，注意分两种情况，均需讨论；②把E（m﹣1，5﹣m）代入抛物线解析式，解出m的值，进而求出CM的长．【解析】（1）∵点C（6，0）在抛物线上，∴0=−14×36+6b+c，得到6b+c＝9，又∵对称轴为x＝2，∴x=−b2a=−b2×(−14)=2，解得b＝1，∴c ＝3，∴二次函数的解析式为y =−14x 2+x +3； （2）当点M 在点C 的左侧时，如图2﹣1中：∵抛物线的解析式为y =−14x 2+x +3，对称轴为x ＝2，C （6，0） ∴点A （2，0），顶点B （2，4）， ∴AB ＝AC ＝4，∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠1＝45°；∵将△MPC 逆时针旋转90°得到△MEF ， ∴FM ＝CM ，∠2＝∠1＝45°， 设点M 的坐标为（m ，0）， ∴点F （m ，6﹣m ）， 又∵∠2＝45°，∴直线EF 与x 轴的夹角为45°， ∴设直线EF 的解析式为y ＝x +b ，把点F （m ，6﹣m ）代入得：6﹣m ＝m +b ，解得：b ＝6﹣2m ， 直线EF 的解析式为y ＝x +6﹣2m ，∵直线EF 与抛物线y =−14x 2+x +3只有一个交点， ∴{y =x +6−2m y =−14x 2+x +3， 整理得：14x 2+3−2m =0， ∴△＝b 2﹣4ac ＝0，解得m =32， 点M 的坐标为（32，0）．当点M 在点C 的右侧时，如下图：由图可知，直线EF 与x 轴的夹角仍是45°，因此直线EF 与抛物线y =−14x 2+x +3不可能只有一个交点．综上，点M 的坐标为（32，0）．（3）①当点M 在点C 的左侧时，如下图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，∵PC =√2，由（2）知∠BCA ＝45°， ∴PG ＝GC ＝1， ∴点G （5，0），设点M 的坐标为（m ，0），∵将△MPC 逆时针旋转90°得到△MEF ， ∴EM ＝PM ，∵∠HEM +∠EMH ＝∠GMP +∠EMH ＝90°， ∴∠HEM ＝∠GMP ，在△EHM 和△MGP 中，{∠EHM =∠MGP∠HEM =∠GMP EM =MP，∴△EHM ≌△MGP （AAS ），∴EH ＝MG ＝5﹣m ，HM ＝PG ＝1，∴点H （m ﹣1，0），∴点E 的坐标为（m ﹣1，5﹣m ）；∴EA =√(m −1−2)2+(5−m −0)2=√2m 2−16m +34，又∵D 为线段BC 的中点，B （2，4），C （6，0），∴点D （4，2），∴ED =√(m −1−4)2+(5−m −2)2=√2m 2−16m +34，∴EA ＝ED ．当点M 在点C 的右侧时，如下图：同理，点E 的坐标仍为（m ﹣1，5﹣m ），因此EA ＝ED ．②当点E 在（1）所求的抛物线y =−14x 2+x +3上时，把E （m ﹣1，5﹣m ）代入，整理得：m 2﹣10m +13＝0，解得：m =5+2√3或m =5−2√3，∴CM =2√3−1或CM =1+2√3．【题组一】1．（2021•青山区模拟）已知抛物线y ＝ax 2﹣4ax ﹣12a 与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且OC ＝OA ．设抛物线的顶点为M ，对称轴交x 轴于点N ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上的一点，且0＜m＜6，连接AE，交对称轴于点P．点F为线段BC上一动点，连接EF，当P A＝2PE时，求EF+BF的最小值．（3）如图2，过点M作MQ⊥CM，交x轴于点Q，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．【分析】（1）令y＝0可得A坐标，由OC＝OA得OC，即可得C的坐标，代入y＝ax2﹣4ax﹣12a求出a，即可得抛物线解析式；（2）过E作EH⊥x轴于H，交BC于F'，过F作FQ⊥x轴于Q，Rt△BOC中，可得sin ∠CBO＝＝，Rt△BFQ中，sin∠CBO＝＝，可得FQ＝BF，要求EF+ BF的最小即是求EF+BF的最小值，也是EF+FQ最小，此时E、F、Q共线，即F与F'重合，Q与H重合，EH的长度即是EF+BF的最小值，求出E点坐标即可得到答案；（3）将线段CQ向上平移，当Q落到抛物线上的Q1处时，线段CQ与抛物线有两个交点，继续将线段向上平移，当线段与抛物线只有一个交点，Q移动到Q2处，分别求出Q 移动到Q1、Q2处时的t值，即可得到答案．【解答】解：（1）在y＝ax2﹣4ax﹣12a中，令y＝0得ax2﹣4ax﹣12a＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6，∴OA＝2，∵OC＝OA，∴OC＝3，即C（0，3），将C（0，3）代入y＝ax2﹣4ax﹣12a得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）过E作EH⊥x轴于H，交BC于F'，过F作FQ⊥x轴于Q，如图：∵y＝﹣x2+x+3对称轴为直线x＝2，∴P横坐标为2，即ON＝2，∴AN＝2﹣（﹣2）＝4，∵AP＝2PE，∴AN＝2NH，∴NH＝2，∴E横坐标为4，在y＝﹣x2+x+3中令x＝4得y＝3，∴E（4，3），由（1）可知：OC＝3，OB＝6，Rt△BOC中，BC＝＝3，∴sin∠CBO＝＝＝，∵EH⊥x轴，∴Rt△BFQ中，sin∠CBO＝＝，∴FQ＝BF，而EF+BF＝（EF+BF），∴EF+BF最小即是EF+BF最小，也是EF+FQ最小，此时E、F、Q共线，即F与F'重合，Q与H重合，EH的长度即是EF+BF的最小值，∵EH＝|y E|＝3，∴EF+BF的最小值为3，∴EF+BF的最小值为；（3）将线段CQ向上平移，当Q落到抛物线上的Q1处时，线段CQ与抛物线有两个交点，继续将线段向上平移，当线段与抛物线只有一个交点，Q移动到Q2处，如图：∵y＝﹣x2+x+3顶点M（2，4），又C（0，3），∴CM的解析式为y＝x+3，由MQ⊥CM，设MQ解析式为y＝﹣2x+b，将M（2，4）代入得：4＝﹣2×2+b，∴b＝8，∴MQ解析式为y＝﹣2x+8，在y＝﹣2x+8中令y＝0得x＝4，∴Q（4，0），而C（0，3），∴CQ解析式为y＝﹣x+3，将线段CQ向上平移t个单位长度，与C1Q1重合时，则Q1（4，t），代入y＝﹣x2+x+3得：t＝﹣×16+4+3＝3，将线段CQ向上平移t个单位长度，与C2Q2重合时，C2Q2解析式为y＝﹣x+3+t，由只有一个解，可得﹣x2+x﹣t＝0的判别式Δ＝0，即（）2﹣4×（﹣）•（﹣t）＝0，解得t＝，∴将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，3≤t＜．2．（2021•赣州模拟）已知抛物线C1：y＝x2﹣4x+3m和C2：y＝mx2﹣4mx+3m，其中m≠0且m≠1．（1）抛物线C1的对称轴是直线x＝2，抛物线C2的对称轴是直线x＝2；（2）这两条抛物线相交于点E，F（点E在点F的左侧），求E、F两点的坐标（用含m 的代数式表示）并直接写出直线EF与x轴的位置关系；（3）设抛物线C1的顶点为M，C2的顶点为N；①当m为何值时，点M与点N关于直线EF对称？②是否存在实数m，使得MN＝2EF？若存在，直接写出实数m的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）对于C1：y＝x2﹣4x+3m，函数的对称轴为直线x＝﹣＝2，同理可得：抛物线C2的对称轴是直线x＝2，即可求解；（2）联立C1、C2的表达式并解得或，进而求解；（3）①点M与点N关于直线EF对称，则3m＝（3m﹣4﹣m），即可求解；②由MN＝2EF得：|3m﹣4+m|＝8，即可求解．【解答】解：（1）对于C1：y＝x2﹣4x+3m，函数的对称轴为直线x＝﹣＝2，同理可得：抛物线C2的对称轴是直线x＝2，故答案为：直线x＝2，直线x＝2；（2）联立C1、C2的表达式并解得或，故点E、F的坐标分别为（0，3m）、（4，3m），∵点E、F的纵坐标相同，∴EF∥x轴；（3）①当x＝2时，y＝x2﹣4x+3m＝3m﹣4，即点M的坐标为（2，3m﹣4），同理可得，点N的坐标为（2，﹣m），∵点M与点N关于直线EF对称，故3m＝（3m﹣4﹣m），解得m＝﹣1；②由①知，MN＝|3m﹣4+m|，而EF＝4﹣0＝4，∵MN＝2EF，∴|3m﹣4+m|＝8，解得m＝3或﹣1．3．（2021•桓台县二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），点M为顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点M作y轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的平行线，交CM于点D，点H 为OC上的任一点，将线段HB绕点H逆时针旋转90°到HP．求∠PCD的度数；（3）在（2）的条件下，将点H改为y轴上的一动点，连接OP，BP，求OP+BP的最小值．【分析】（1）将点A、B的坐标代入即可求出抛物线解析式；（2）过点P作PE⊥y轴，垂足为E点，连接PC，证明△PEH≌△HOB（AAS），由全等三角形的性质得出PE＝OH，EH＝OB，由直角三角形的性质可得出结论；（3）作点O关于直线PC的对称点F，连接BF，直线PC交x轴于点Q，连接FQ，由轴对称的性质及勾股定理可得出答案．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+x+；（2）M（1，3）．∵矩形OBDC中，CO＝OB＝3．∴四边形OBDC是正方形，过点P作PE⊥y轴，垂足为E点，连接PC，如图2，∵∠PHB＝90°，∴∠PHE+∠BHO＝90°，∵∠OBH+∠BHO＝90°，∴∠PHE＝∠OBH，又HP＝HB，∴△PEH≌△HOB（AAS），∴PE＝OH，EH＝OB，∵OB＝OC，∴OC＝EH，∴EC＝OH，∴EC＝EP，∴∠ECP＝45°，∴∠PCD＝45°；（3）如图3，由（2）可知，点P在直线PC上运动，作点O关于直线PC的对称点F，连接BF，直线PC交x轴于点Q，连接FQ，∵CD‖x轴，∴∠PCD＝∠PQO＝45°，∴OQ＝OC＝OB＝3，由作图知，∠FQC＝∠PQO＝45°，FQ＝OQ＝3，∴∠FQB＝90°，∴BF＝，∴OP+BP的最小值为．4．（2021•成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F 作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m．①求DF+HF的最大值；②连接EG，若∠GEH＝45°，求m的值．【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，得方程组，解得b与c的值，则可得出抛物线的解析式；（2）①先求出点C的坐标，用待定系数法求得直线BC的解析式，作FK⊥y轴于点K，可得：FH＝KF＝OE，由线段的和差可得：DF+HF＝DE﹣EF+OE，代入数据得到关于m的二次函数，由二次函数的性质可得DF+HF的最大值；②作GM⊥y轴于点M，记直线FH与x轴交于点N，由等腰三角形的判定可知EF＝EN，OH＝ON，由抛物线的性质可得MG＝1，继而求得HG的值；判定△EHG∽△FHE，得出比例式，代入数据可得关于m的方程，解方程即可．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）①当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，∴点C（0，3），又∵B（3，0），∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，∵OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，作FK⊥y轴于点K，又∵FH⊥BC，∴∠KFH＝∠KHF＝45°，∴FH＝KF＝OE，∴DF+HF＝DE﹣EF+OE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）+m＝﹣m2+（3+）m，由题意有0＜m＜3，且0＜﹣＜3，﹣1＜0，∴当m＝时，DF+HF取最大值，DF+HF的最大值为：﹣（）2+（3+）×＝；②作GM⊥y轴于点M，记直线FH与x轴交于点N，∵FK⊥y轴，DE⊥x轴，∠KFH＝45°，∴∠EFH＝∠ENF＝45°，∴EF＝EN，∵∠KHF＝∠ONH＝45°，∴OH＝ON，∵y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，∴MG＝1，∵HG＝MG＝，∵∠GEH＝45°，∴∠GEH＝∠EFH，又∠EHF＝∠GHE，∴△EHG∽△FHE，∴HE：HG＝HF：HE，∴HE2＝HG•HF＝×m＝2m，在Rt△OEH中，OH＝ON＝|OE﹣EN|＝|OE﹣EF|＝|m﹣（﹣m+3）|＝|2m﹣3|，∵OE＝m，∴HE2＝OE2+OH2＝m2+（2m﹣3）2＝5m2﹣12m+9，∴5m2﹣12m+9＝2m，解得：m＝1或．【题组二】5．（2021•攸县模拟）材料：对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决如下问题：如图所示，已知抛物线C：y＝ax2﹣4ax的图象与x轴交于O、A两点，且过点．（1）求抛物线C的解析式和点A的坐标；（2）若将抛物线C的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C'的图象．①求抛物线C'的焦点坐标和准线方程．②设M为抛物线C'位于第一象限内图象上的任意一点，MN⊥x轴于点N，求MN+MA的最小值，并求出取得这个最小值时点M的坐标．【分析】（1）将代入y＝ax2﹣4ax，列方程求a的值；（2）①将抛物线C的解析式配成顶点式，求出平移后得到的抛物线C′的解析式，再由焦点和准线的定义求出焦点坐标和准线方程；②设抛物线C'的焦点为F，延长MN交直线y＝﹣1于点P，设AF交抛物线C′于点Q，由抛物线焦点及准线的性质可知，当点M与点Q重合时，MN+MA的值最小，由勾股定理求出AF的长，由直线AF的解析式与抛物线C′的解析式联立方程组，解方程组求出此时点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax经过点，∴，解得，∴抛物线C的解析式为；当y＝0时，由x2﹣x＝0，得x1＝0，x2＝4，∴A（4，0）．（2）∵＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线C平移后得到的抛物线C′的解析式为．①由题意，得，整理，得，∴，∴抛物线C′的焦点坐标为（0，1），准线方程为y＝﹣1．②如图，设抛物线C'的焦点为F，延长MN交直线y＝﹣1于点P，连结AF、MF，AF交抛物线C′于点Q．由抛物线焦点和准线的性质可得MP＝MF，∴PN+MN+MA＝MF+MA，∵PN＝1，∴MN+MA＝MF+MA﹣1；∵MF+MA≥AF，∴当点M与点Q重合时，MF+MA的值最小，此时MN+MA＝MF+MA﹣1＝AF﹣1的值最小．∵∠AOF＝90°，OF＝1，OA＝4，∴AF＝＝，∴AF﹣1＝，∴MN+MA的最小值为．设直线AF的解析式为y＝kx+b，把A（4，0）、F（0，1）代入y＝kx+b，得，解得，∴y＝x+1，由，得，（不符合题意，舍去），∴M（，）．∴MN+MA的最小值为，此时点M的坐标为（，）．6．（2021•南沙区一模）已知，抛物线y＝mx2+x﹣4m与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C．点D（n，0）为x轴上一动点，且有﹣4＜n＜0，过点D作直线l⊥x 轴，且与直线AC交于点M，与抛物线交于点N，过点N作NP⊥AC于点P．点E在第三象限内，且有OE＝OD．（1）求m的值和直线AC的解析式．（2）若点D在运动过程中，AD+CD取得最小值时，求此时n的值．（3）若△ADM的周长与△MNP的周长的比为5：6时，求AE+CE的最小值．【分析】（1）利用待定系数法将A（﹣4，0）代入y＝mx2+x﹣4m，求出m的值，即可抛物线解析式，令x＝0，求出点C的坐标，设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A，C的坐标代入即可求出答案；（2）在x轴上方作射线AM，使∠MAO＝30°，过点D作DK⊥AM于K，当C、D、K 在同一条直线上时，CD+DK最小，即AD+CD取得最小值时，∠CDO＝∠ADK＝60°，应用三角函数定义即可求得答案；（3）根据△ADM的周长与△MNP的周长的比为5：6，可得出DN＝3DM，建立方程求出n的值，在y轴上取一点R，使得OR＝，连接AR，在AR上取一点E使得OE＝OD，构造相似三角形，可以证明AR就是AE+CE的最小值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2+x﹣4m与x轴交于点A（﹣4，0），∴m•（﹣4）2+×（﹣4）﹣4m＝0，解得：m＝，∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣3，令x＝0，得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵A（﹣4，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3.（2）∵A（﹣4，0），D（n，0）为x轴上一动点，且有﹣4＜n＜0，∴AD＝n﹣（﹣4）＝n+4，在x轴上方作射线AM，使∠MAO＝30°，过点D作DK⊥AM于K，∴∠AKD＝90°，∴DK＝AD，∠ADK＝60°，当C、D、K在同一条直线上时，CD+DK最小，即AD+CD取得最小值时，∠CDO＝∠ADK＝60°，∵OD＝﹣n，∠COD＝90°，∴＝tan∠CDO＝tan60°，即＝，∴n＝﹣．（3）∵DM⊥x轴，NP⊥AC，∴∠ADM＝∠NPM＝90°，∵∠AMD＝∠NMP，∴△AMD∽△NMP，∵△ADM的周长与△MNP的周长的比为5：6，∴＝，∵＝sin∠DAM＝＝，∴＝，∴DN＝3DM，∵DM＝n+3，DN＝﹣n2﹣n+3，∴﹣n2﹣n+3＝3（n+3），解得：n1＝﹣2，n2＝﹣4（舍去），∴D（﹣2，0），∴OD＝2，如图2中，在y轴上取一点R，使得OR＝，连接AR，在AR上取一点E使得OE＝OD＝2．∵OE＝2，OR•OC＝×3＝4，∴OE2＝OR•OC，∴＝，∵∠COE＝∠ROE，∴△ROE∽△EOC，∴＝＝，∴RE＝CE，∴当A、R、E共线时，AE+CE＝AE+ER＝AR，此时AE+CE最小，∴AE+CE的最小值＝AR＝＝＝．7．（2021•宝安区模拟）（1）已知二次函数经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3），请求该抛物线解析式；（2）点M为抛物线上第二象限内一动点，BM交y轴于点N，当BM将四边形ABCM的面积分为1：2两部分时，求点M的坐标；（3）点P为对称轴上D点下方一动点，点Q为直线y＝x第一象限上的动点，且DP＝OQ，求BP+BQ的最小值并求此时点P的坐标．【分析】（1）根据点A，B的坐标设出抛物线的交点式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；（2）过点A作AG⊥x轴交BM的延长线于G，则＝，设ON＝t，则AG＝4t，CN＝3﹣t，进而得出＝或2，进而建立方程求解，即可得出结论；（3）先判断出△PCD∽△OBQ，进而得出PC＝OQ，再判断出点A，P，C在同一直线上时，BP+BQ的最小，再求出直线AC的解析式，即可得出结论．【解答】解：（1）∵二次函数经过点A（﹣3，0）、B（1，0），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），∵点C（0，3）在抛物线上，∴﹣3a＝3，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图1，过点A作AG⊥x轴交BM的延长线于G，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，设点M（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣3＜m＜0），∴S△BCM＝CN（1﹣m），S△ABM＝S△ABG﹣S△AMG＝AG[（1+3）﹣（m+3）]＝AG（1﹣m），∴＝＝，∵ON∥AG，∴＝，设ON＝t，则AG＝4t，CN＝3﹣t，∵BM将四边形ABCM的面积分为1：2两部分时，∴＝或2，∴，∴，∴t＝1或，∴N（0，1）或N（0，），当N（0，1）时，∵B（1，0），∴直线BM的解析式为y＝﹣x+1①，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）②，联立①②解得，或，∴M（﹣2，3）；当N（0，）时，∵B（1，0），∴直线BM的解析式为y＝﹣x+③，联立②③解得，或，∴M（﹣，）；即M（﹣2，3）或（）；（3）如图2，连接PC，CD，过点C作CH⊥DP于H，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2m+3＝﹣（m﹣1）2+4，∴D（﹣1，4），∵C（0，3），∴CD＝，DH＝1，CH＝1，∴DH＝CH，∴∠CDP＝45°，∵点Q为直线y＝x第一象限上的动点，∴∠BOQ＝45°＝∠CDP，∵DP＝OQ，∴＝，∵＝，∴＝＝，∴△PCD∽△OBQ，∴，∴PC＝OQ，∴BP+OQ＝BP+PC，连接AP，∵点P是抛物线的对称轴上的点，∴PC＝P A，∴BP+OQ＝BP+PC＝BP+P A，∴当点A，P，C在同一条直线上时，BP+OQ最小，最小值为AC＝＝，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为y＝x+3，当x＝﹣1时，y＝2，∴点P（﹣1，2）．8．（2021•茶陵县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是直线BC上方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，连接BC与OP，交于点D，求当的值最大时点P的坐标；（3）如图②，过点P作PD∥AC交x轴于点D，交BC于点E，求BE的最大值及点P的坐标．【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0），分别代入y＝ax2+bx+3求解即可得表达式；（2）过P作PH⊥x轴于点H，交BC于点G，设P（m，﹣m2+2m+3），利用PG∥OC，△PDG∽△ODC，用含m的代数式表示，配方即可得当的值最大时m的值，从而得到答案；（3）过P作PH⊥x轴于点H，交BC于点J，过E作EI⊥PH于点I、EK⊥x轴于点K，设P（m，﹣m2+2m+3），利用PD与BC的解析式用含m代数式表示E的坐标，再由△PEI∽△CAO，△BEK∽△BCO，对应边成比例，用含m的代数式表示BE，配方即可得最大值及点m的值，从而得到P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），分别代入y＝ax2+bx+3（a≠0）中得：，解得∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）过P作PH⊥x轴于点H，交BC于点G，如图：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，则3k+3＝0，解得k＝﹣1，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3；设P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），∴PG＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∵PG∥OC，∴△PDG∽△ODC，∴，当时，有最大值，此时点P（）；（3）过P作PH⊥x轴于点H，交BC于点J，过E作EI⊥PH于点I、EK⊥x轴于点K，如图：由（2）知直线BC解析式为y＝﹣x+3；设直线AC解析式为y＝px+3，则﹣p+3＝0，解得p＝3，∴直线AC：y＝3x+3，设P（m，﹣m2+2m+3），∵PD∥AC，∴设直线PD解析式为y＝3x+n，则﹣m2+2m+3＝3m+n，解得n＝﹣m2﹣m+3，∴直线PD解析式为：y＝3x﹣m2﹣m+3，由得，∴E，∵∠CAO＝∠PDB＝∠PEI，∠COA＝∠PIE，∴△PEI∽△CAO，而AC＝＝，BC＝＝3，∴EI：PI：PE＝OA：OC：AC＝1：3：，∴PE＝EI，∴PE＝10EI＝10（OH﹣OK）＝10（m﹣）＝m﹣m2，∵∠BOC＝∠BKE＝90°，∠EBK＝∠CBO，∴△BEK∽△BCO，∴EK：BK：BE＝CO：BO：BC＝3：3：3＝1：1：，∴BE＝BK，∴BE＝2BK＝2（3﹣）＝6﹣﹣，∴BE＝m﹣m2﹣（6﹣﹣）＝﹣2m2+8m﹣6＝﹣2（m﹣2）2+2，∴当m＝2时，BE的最大值，最大值为2，此时P（2，3）．【题组三】9．（2021•东莞市校级一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当P A+PC的值最小时，求P A+PC长；（3）已知点N（0，﹣1），在y轴上是否存在点Q，使以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求得C（0，3）．设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将点C的坐标代入可求得a的值；（2）依据轴对称图形的性质可知P A＝PB，则P A+PC＝PB+PC，则当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值，P A+PC的最小值＝BC，接下来，依据勾股定理求解即可；（3）当△BMC∽△NQM时，则，即，解得QN＝，当△BMC∽△NMQ时，同理可解．【解答】解：（1）把x＝0代入得：y＝3，∴C（0，3）．设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将点C的坐标代入上式得：3＝﹣3a，解得：a＝﹣1．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）如图所示：∵点A与点B关于直线l对称，点P在直线l上，∴P A＝PB．∴P A+PC＝PC+PB．∵两点之间线段最短，∴当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值，P A+PC的最小值＝BC．∵OC＝3，OB＝3，∴BC＝3．∴P A+PC的最小值＝3．（3）存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝1，则点M（1，0），由点M、C、B的坐标知，BM＝2，BC＝3、CM＝，由点M、N的坐标知，∠ONM＝45°，MN＝，当△BMC∽△NQM时，则，即，解得QN＝，则点Q的坐标为（0，﹣）；当△BMC∽△NMQ时，同理可得，点Q的坐标为（0，2），综上，点Q的坐标为（0，﹣）或（0，2）．10．（2021•怀化模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，其中点A的坐标是（﹣1，0）．（1）直接写出点B的坐标并求出抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点．①当∠PCB＝∠OCB时，求点P的坐标；②当点P在B、C两点之间运动时，连接AP，交BC于点Q，设t＝，求当t值最大时点P的坐标．【分析】（1）由点B与点A（﹣1，0）关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，得B（3，0），把A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，列方程组求a、b的值；（2）①由（1）可得，OB＝OC＝3，所以∠OCB＝45°，可得∠OCP＝60°或30°，再求PC与x轴的交点坐标及PC的解析式并且与抛物线的解析式组成方程组求得点P的坐标；③过点P作x轴的平行线交射线BC于点L，设点P的横坐标为r，用r表示PL的长，由相似三角形的性质列出t关于r的函数解析式，再利用二次函数的性质求出当t的值最大时r的值及点P的坐标．【解答】解：（1）∵点B与点A（﹣1，0）关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，∴B（3，0），把A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3.（2）①如图1，当点P在BC上方时，延长CP交x轴于点D．∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，∴C（0，3），∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠PCB＝∠OCB＝15°，∴∠OCP＝60°，∴OD＝OC•tan60°＝3，∴D（3，0）．设直线CP的解析式为y＝kx+3，则3k+3＝0，解得k＝，∴y＝x+3.由，得，，∴P（，）；如图2，当点P在BC下方时，设PC交x轴于点E．则∠OCP＝45°﹣15°＝30°，∴OE＝OC•tan30°＝，∴E（，0）．设直线CP的解析式为y＝mx+3，则m+3＝0，解得m＝，∴y＝x+3．由，得，∴P（2+，）.综上所述，点P的坐标为（，）或（2+，）．②如图3，过点P作PL∥x轴，交射线BC于点L．设直线BC的解析式为y＝nx+3，则3n+3＝0，解得n＝﹣1，∴y＝﹣x+3；设P（r，﹣r2+2r+3）（0＜r＜3），则L（r2﹣2r，﹣r2+2r+3），∴PL＝r﹣（r2﹣2r）＝﹣r2+3r；∵△PQL∽△AQB，∴t＝＝（r﹣）2+，∴当r＝时，t的值最大，。

1、 二次函数与三角形的面积2、 二次函数与线段和差3、 二次函数与直角三角形课堂练习：考点一： 二次函数与三角形的面积问题【例题】如图，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交于A 、B 两点，点A 在x轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ． （1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值； （2）设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连结PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．X2、如图1，边长为8的正方形ABCD 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上A 、C 两点间的一个动点（含端点），过点P 作PF ⊥BC 于点F ．点D 、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD 、PE 、DE ．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值．进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数” 的点P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标．图1 备用图【练习】1、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －3（a ≠0）与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运动多少秒时△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2，求点K 的坐标．图12、如图1，已知抛物线212y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ． ①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．图13.（2016·吉林·10分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ异侧）．设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）（1）当点M落在AB上时，x=4；（2）当点M落在AD上时，x=；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．考点二：二次函数与线段和差【例题】已知平面直角坐标系中两定点A(－1, 0)、B(4, 0)，抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）过点A、B，顶点为C，点P(m, n)（n＜0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；（3）若m＞32，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜52）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．【练习】1、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点．（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．图12、已知平面直角坐标系中两定点A(－1, 0)、B(4, 0)，抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）过点A、B，顶点为C，点P(m, n)（n＜0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；（3）若m＞32，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜52）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．考点三： 二次函数与直角三角形【例题】如图1，二次函数y ＝a (x 2－2mx －3m 2)（其中a 、m 是常数，且a ＞0，m ＞0）的图像与x 轴分别交于A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，点D 在二次函数的图像上，CD //AB ，联结AD ．过点A 作射线AE 交二次函数的图像于点E ，AB 平分∠DAE ．（1）用含m 的式子表示a ；（2）求证：ADAE为定值； （3）设该二次函数的图像的顶点为F ．探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ，联结GF ，以线段GF 、AD 、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．图1【练习】1、如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标； （2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图12、如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图13、在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．。

第三讲二次函数线段和差问题与面积问题课前热身：1．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a=0；⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，其中正确的结论有（）A．①③④B．②④⑤C．①②⑤D．②③⑤2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论：①abc＜0；②；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的序号是．知识分解：知识点一：二次函数线段和差问题1．问题背景：如图1，点E、F在直线l的同侧，要在直线l上找一点K，使KE与KF的距离之和最小．我们可以作出点E关于l的对称点E′，连接FE′交直线L于点K，则点K即为所求．（1）实践运用：抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）．如图2．①求该抛物线的解析式；②在抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，并求出此时点P的坐标及PA+PC的最小值．（2）知识拓展：在对称轴上找一点Q，使|QA﹣QC|的值最大，并求出此时点Q的坐标．2．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）过点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交与点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）点E从A点出发，沿x轴向B点运动并到点B停止（点E与点A，B不重合）过点E作直线l平行BD，交直线AD于点F，设AE的长为m，连接DE，求△DEF面积的最大值及此时点E到BD的距离；（3）试探究：①在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得MA+MC的值最小？若存在请求出M的坐标，若不存在，请说明理由；②在抛物线的对称轴上是否存在点N，使丨NA﹣NC丨的值最大？若存在请求出N的坐标，若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）若点M在抛物线对称轴上，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．知识点二：二次函数与面积问题1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是线段BC上的点（不与B、C重合），过M作NM∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点m，使△BNC的面积最大？若存在，求m 的值和△BNC的面积；若不存在，说明理由．2．如图，已知抛物线y=x2+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y 轴交于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．3．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；=S△ABC时，求N点的坐标；（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第一象限，当S△NBC（3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，﹣3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN的和最小，并求出PM+PQ+QN 和的最小值．。

1．2.2 函数的和、差、积、商的导数已知f (x )＝x ，g (x )＝1x.问题1：f (x )、g (x )的导数分别是什么？ 提示：f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x2.问题2：若Q (x )＝x ＋1x ，则Q (x )的导数是什么？提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x (x ＋Δx )，∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx ). 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于1－1x 2，∴Q ′(x )＝1－1x2.问题3：Q (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有什么关系？ 提示：Q ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )．导数的运算法则设两个函数分别为f (x )和g (x )，则 (1)[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )； (2)[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )； (3)[Cf (x )]′＝Cf (x )′(C 为常数)； (4)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (5)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)．1．对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差，即[f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]′＝f 1′(x )±f 2′(x )±…±f n ′(x )．2．对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )以及(5)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g ′(x )这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．[对应学生用书P9][例1] (1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝x 3·e x ；(3)y ＝cos xx ；(4)y ＝x tan x .[思路点拨] 结合常见函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导． [精解详析] (1)y ′＝(x 2＋log 3x )′ ＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3.(2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝(3x 2＋x 3)e x .(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·x ′x 2＝－x ·sin x －cos xx 2＝－x sin x ＋cos x x 2.(4)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′ ＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x＝sin x cos x ＋xcos 2x.[一点通] (1)应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．(2)在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的形式展开，公式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幂，然后再求导，使求导计算更加简化．1．若f (x )＝13x 3＋2x ＋1，则f ′(－1)＝________.解析：f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫13x 3′＋(2x )′＋1′＝x 2＋2， 所以f ′(－1)＝(－1)2＋2＝3. 答案：32．函数y ＝x (x 2＋1)的导数是________． 解析：y ′＝[x (x 2＋1)]′＝(x 3＋x )′＝3x 2＋1. 答案：3x 2＋13．求下列函数的导数：(1)y ＝ln xx ＋1－2x ；(2)y ＝sin x －cos x 2cos x .解：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln xx ＋1′－(2x )′＝1x (x ＋1)－ln x (x ＋1)2－2x ln 2 ＝1＋1x －ln x(x ＋1)2－2xln 2 ＝x －x ln x ＋1x (x ＋1)2－2xln 2.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x －cos x 2cos x ′＝⎝⎛⎭⎫sin x 2cos x －12′ ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2cos x ′＝2cos 2x ＋2sin 2x4cos 2x ＝12cos 2x.[例2] 设f (x )＝a ·e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，求a ，b 的值．[思路点拨] 首先求f ′(x )，然后利用条件建立a ，b 的方程组求解． [精解详析] f ′(x )＝(a ·e x )′＋(b ln x )′＝a ·e x ＋bx ，由f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，得⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋b ＝e ，a e－b ＝1e ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以a ，b 的值分别为1,0.[一点通] 利用导数值求解参数问题，是高考的热点问题．它比较全面地考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．而熟练地掌握导数的运算法则以及常用函数的求导公式是解决此类问题的关键．4．设f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，∴f ′(x )＝3ax 2＋6x ， ∴f ′(－1)＝3a －6＝4，即a ＝103.答案：1035．若函数f (x )＝e xx 在x ＝c (c ≠0)处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值．解：∵f (x )＝e x x ，∴f (c )＝e cc，又f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，∴f ′(c )＝e c (c －1)c 2，依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，∴e c c ＋e c(c －1)c 2＝0，∴2c －1＝0得c ＝12.[例3] 1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．[思路点拨] 题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此可通过解方程组来确定参数a 、b 、c 的值．[精解详析] ∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过P (1,1)点， ∴a ＋b ＋c ＝1.①∵y ′＝2ax ＋b ，当x ＝2时，y ′＝4a ＋b . ∴4a ＋b ＝1.②又曲线过Q (2，－1)点，∴4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[一点通] 利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用点Q (2，－1)在曲线上这一关键的隐含条件．6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线方程为y ＝4x －8，过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立两个方程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－47．已知f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1，求f (x )的解析式． 解：由f ′(x )为一次函数可知f (x )为二次函数． 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .把f (x )，f ′(x )代入方程x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1中得： x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1， 即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0. 要使方程对任意x 恒成立， 则需有a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0， 解得a ＝2，b ＝2，c ＝1， 所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.1．应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．2．对复杂函数求导，一般要遵循先化简后求导的原则，但要注意化简过程中变换的等价性．[对应课时跟踪训练(四)]一、填空题1．(广东高考)曲线y ＝－5e x ＋3 在点(0，－2) 处的切线方程为________．解析：由y ＝－5e x ＋3得，y ′＝－5e x ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.答案：5x ＋y ＋2＝02．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1.∵f ′(x 0)＝2，∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e. 答案：e3．函数f (x )＝e x cos x ，x ∈[0,2π]，且f ′(x 0)＝0，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ，由f ′(x 0)＝0，得e x 0cos x 0－e x 0sin x 0＝0， ∴cos x 0＝sin x 0，即tan x 0＝1. 又∵x 0∈[0,2π]，∴x 0＝π4或5π4.答案：π4或5π44．(江西高考)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________. 解析：由题意y ′＝αx α－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k ＝α，又切线过坐标原点，所以α＝2－01－0＝2.答案：25．曲线y ＝x2x －1在点(1,1)处的切线方程为________．解析：∵y ′＝－1(2x －1)2，∴当x ＝1时，y ′＝－1.∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝0 二、解答题6．求下列函数的导数： (1)y ＝sin x ＋3x 2＋x ； (2)y ＝(1＋cos x )(2x 2＋e x )．解：(1)y ′＝(sin x ＋3x 2＋x )′＝(sin x )′＋(3x 2)′＋x ′＝cos x ＋6x ＋1. (2)y ′＝[(1＋cos x )(2x 2＋e x )]′＝(1＋cos x )′(2x 2＋e x )＋(1＋cos x )(2x 2＋e x )′ ＝－sin x (2x 2＋e x )＋(1＋cos x )(4x ＋e x ) ＝e x (1＋cos x －sin x )－2x 2sin x ＋4x (1＋cos x )． 7．设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax ＋b (a >0)．(1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．解：(1)法一：由题设和基本不等式可知，f (x )＝ax ＋1ax ＋b ≥2＋b ，其中等号成立当且仅当ax ＝1， 即当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .法二：f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x >1a 时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增； 当0<x <1a 时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减． 所以当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(2)由题设知，f ′(x )＝a －1ax 2，f ′(1)＝a －1a ＝32，解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)．将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32，解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.8．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋ax (x ∈R ，a ∈R )，在曲线y ＝f (x )的所有切线中，有且仅有一条切线l 与直线y ＝x 垂直．求a 的值和切线l 的方程．解：∵f (x )＝13x 3－2x 2＋ax ，∴f ′(x )＝x 2－4x ＋a .由题意可知，方程f ′(x )＝x 2－4x ＋a ＝－1有两个相等的实根． ∴Δ＝16－4(a ＋1)＝0，∴a ＝3. ∴f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝－1. 化为x 2－4x ＋4＝0. 解得切点横坐标为x ＝2， ∴f (2)＝13×8－2×4＋2×3＝23.∴切线l 的方程为y －23＝(－1)(x －2)，即3x ＋3y －8＝0.∴a ＝3，切线l 的方程为3x ＋3y －8＝0.。

专题讲座 二次函数与线段的和差积商方法技巧设点的坐标，直线的解析式，利用根与系数的关系，通过整体代入或消元求出定值。

题型一 等长线段例1 如图1，抛物线C 1: y=18x 2+c 交轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，若OB=2OC (1)求c 的值(2)如图2，若抛物线C 2: y=14x 2+c ，过点C 的直线l 分别交第一象限的抛物线C 1，C 2于M ，N 两点，求证:CN=MN题型二 线段之和例2 如用，直线y=－32x+6分交x 轴，y 轴于A ，B 两点，抛物y=－18x 2+c 与轴交于点D （0，8)，点P 是地物线在第一象限部分上的一动点。

(1)求点A 的坐标及抛物线的解析式 (2)若PC ⊥x 轴于点C ，求PB+PC 的值题型三 线段之差例3 抛物线y=－12x 2+2x 交x 轴的正半轴于点A ，对称轴交x 轴于点M 、点P 为第三象限抛物上的一动点，直线PA ，PO 分别交抛物线的对称轴于点B ，点C ，求MC －MB 的值。

题型四 线段之积例4 如图，抛物线y=－12x 2+x+2与y 轴交于点C ，点Q （2，t)为抛物线上一点，过点A(O ，4)的直线与x轴左侧的抛物线交于点D ，E 两点，OD ，OE 分别交y 轴于点C ，求OG ・CH 的值题型五 线段之比例5 如图，抛物线过定点A(1，0)，它的顶点M 是y 轴正半轴上一动点，点M 关于x 轴的对称点为点N ，过点N 作x 轴的平行线交抛物线于B ，C 两点，直线AB 交y 轴于点P ，直线AC 交y 轴于点Q ，求OPOQ 的值。

针对练习1.如图，地物线y=一x2+4与ェ轴交于A，B两点，点C是第一象限内抛物线上一动点，连接AC交y轴于点E，连接BC并延长交y轴于点F，求OE+OF的值2.已知直线y=kx+2与抛物线y=ax2 (a>0)交于A，B两点。

若AM⊥y轴于点M，BN⊥y轴于点N，求OM·ON的值3.已知抛物线y=a(x2-cx-2c2)(a>0)交x轴于A，B两点(A在B的左侧)，点C在y轴负半轴，直线BC交抛物的值线于点D，直线AC交抛物线于点E，EF⊥y轴于点F，若BD=CD，求EFAB4.如图，抛物线y=ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方，已知直线的值・PA，PB与y轴分别交于E，F两点，当点P运动时，求OE+OFOC。

中考数学专题突破：二次函数和线段和差问题技巧一：求线段、周长、面积等各种最大值：常将这些量表示成自变量的一元二次方程，然后对该方程配方，即可在顶点处取得最大值。

技巧二：求线段、周长、面积等各种最小值：常通过已知定点找到动点所在直线的对称点，如果定点有两个动点也有两个常交换对称轴做对称点，然后根据两点间直线最短进行等量代换。

（注：在表述时对已知量等量代换后一定要说当那几点（直线上有几个就说几个）共线时距离最短）【2016广东贺州】如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y=ax2+bx+c 经过O、A、E三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求AD的长；（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．【2016贵阳】如图，直线y=5x+5交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，过A ，C 两点的二次函数y=ax 2+4x+c 的图象交x 轴于另一点B ．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，点N 是线段BC 上的动点，作ND ⊥x 轴交二次函数的图象于点D ，求线段ND 长度的最大值；（3）若点H 为二次函数y=ax 2+4x+c 图象的顶点，点M （4，m ）是该二次函数图象上一点，在x 轴、y 轴上分别找点F ，E ，使四边形HEFM 的周长最小，求出点F ，E 的坐标． 温馨提示：在直角坐标系中，若点P ，Q 的坐标分别为P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 当PQ 平行x 轴时，线段PQ 的长度可由公式PQ=|x 1﹣x 2|求出；当PQ 平行y 轴时，线段PQ 的长度可由公式PQ=|y 1﹣y 2|求出．【2016辽宁大连】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称（1）填空：点B的坐标是；（2）过点B的直线y=kx+b（其中k＜0）与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由；（3）在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．【2016•盐城】如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C．（1）求b、c的值；（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG 内以点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR①求证：PG=RQ；②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．【2016株洲】已知二次函数y=x2﹣（2k+1）x+k2+k（k＞0）（1）当k=时，求这个二次函数的顶点坐标；（2）求证：关于x的一元次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根；（3）如图，该二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于C点，P是y轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP交BC于点Q，求证：．中考数学专题突破：二次函数和线段和差问题【2016广东贺州】如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y=ax2+bx+c 经过O、A、E三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求AD的长；（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，B（10，8），∴A（10，0），又抛物线经过A、E、O三点，把点的坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（2）由题意可知：AD=DE，BE=10﹣6=4，AB=8，设AD=x，则ED=x，BD=AB﹣AD=8﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理可知ED2=EB2+BD2，即x2=42+（8﹣x）2，解得x=5，∴AD=5；（3）∵y=﹣x2+x，∴其对称轴为x=5，∵A、O两点关于对称轴对称，∴PA=PO，当P、O、D三点在一条直线上时，PA+PD=PO+PD=OD，此时△PAD的周长最小，如图，连接OD交对称轴于点P，则该点即为满足条件的点P，由（2）可知D点的坐标为（10，5），设直线OD解析式为y=kx，把D点坐标代入可得5=10k，解得k=，∴直线OD解析式为y=x，令x=5，可得y=，∴P点坐标为（5，）．【2016贵阳】如图，直线y=5x+5交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，过A ，C 两点的二次函数y=ax 2+4x+c 的图象交x 轴于另一点B ．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，点N 是线段BC 上的动点，作ND ⊥x 轴交二次函数的图象于点D ，求线段ND 长度的最大值；（3）若点H 为二次函数y=ax 2+4x+c 图象的顶点，点M （4，m ）是该二次函数图象上一点，在x 轴、y 轴上分别找点F ，E ，使四边形HEFM 的周长最小，求出点F ，E 的坐标． 温馨提示：在直角坐标系中，若点P ，Q 的坐标分别为P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 当PQ 平行x 轴时，线段PQ 的长度可由公式PQ=|x 1﹣x 2|求出；当PQ 平行y 轴时，线段PQ 的长度可由公式PQ=|y 1﹣y 2|求出．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A ，C 两点的坐标，再根据待定系数法可求二次函数的表达式；（2）根据坐标轴上点的坐标特征由二次函数的表达式求出B 点的坐标，根据待定系数法可求一次函数BC 的表达式，设ND 的长为d ，N 点的横坐标为n ，则N 点的纵坐标为﹣n+5，D 点的坐标为D （n ，﹣n 2+4n+5），根据两点间的距离公式和二次函数的最值计算可求线段ND 长度的最大值；（3）由题意可得二次函数的顶点坐标为H （2，9），点M 的坐标为M （4，5），作点H （2，9）关于y 轴的对称点H 1，可得点H 1的坐标，作点M （4，5）关于x 轴的对称点HM 1，可得点M 1的坐标连结H 1M 1分别交x 轴于点F ，y 轴于点E ，可得H 1M 1+HM 的长度是四边形HEFM 的最小周长，再根据待定系数法可求直线H 1M 1解析式，根据坐标轴上点的坐标特征可求点F 、E 的坐标．【解答】解：（1）∵直线y=5x+5交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，∴A （﹣1，0），C （0，5），∵二次函数y=ax 2+4x+c 的图象过A ，C 两点，∴，解得，∴二次函数的表达式为y=﹣x 2+4x+5；（2）如图1，∵点B 是二次函数的图象与x 轴的交点，∴由二次函数的表达式为y=﹣x 2+4x+5得，点B 的坐标B （5，0），设直线BC 解析式为y=kx+b ，∵直线BC 过点B （5，0），C （0，5），∴，解得，∴直线BC 解析式为y=﹣x+5，设ND 的长为d ，N 点的横坐标为n ，则N 点的纵坐标为﹣n+5，D 点的坐标为D （n ，﹣n 2+4n+5），则d=|﹣n 2+4n+5﹣（﹣n+5）|，由题意可知：﹣n 2+4n+5＞﹣n+5，∴d=﹣n 2+4n+5﹣（﹣n+5）=﹣n 2+5n=﹣（n ﹣）2+，∴当n=时，线段ND 长度的最大值是； （3）由题意可得二次函数的顶点坐标为H （2，9），点M 的坐标为M （4，5），作点H （2，9）关于y 轴的对称点H 1，则点H 1的坐标为H 1（﹣2，9），作点M （4，5）关于x 轴的对称点HM 1，则点M 1的坐标为M 1（4，﹣5），连结H 1M 1分别交x 轴于点F ，y 轴于点E ，所以H 1M 1+HM 的长度是四边形HEFM 的最小周长，则点F 、E 即为所求，设直线H 1M 1解析式为y=k 1x+b 1，直线H 1M 1过点M 1（4，﹣5），H 1（﹣2，9），根据题意得方程组，解得，∴y=﹣x+，∴点F ，E 的坐标分别为（，0）（0，）．【2016辽宁大连】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称（1）填空：点B的坐标是（0，）；（2）过点B的直线y=kx+b（其中k＜0）与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由；（3）在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线解析式可求得A点坐标，再利用对称可求得B点坐标；（2）可先用k表示出C点坐标，过B作BD⊥l于点D，条件可知P点在x轴上方，设P点纵坐标为y，可表示出PD、PB的长，在Rt△PBD中，利用勾股定理可求得y，则可求出PB 的长，此时可得出P点坐标，代入抛物线解析式可判断P点在抛物线上；（3）利用平行线和轴对称的性质可得到∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，则可求得OC的长，代入抛物线解析式可求得P点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+与y轴相交于点A，∴A（0，），∵点B与点O关于点A对称，∴BA=OA=，∴OB=，即B点坐标为（0，），故答案为：（0，）；（2）∵B点坐标为（0，），∴直线解析式为y=kx+，令y=0可得kx+=0，解得x=﹣，∴OC=﹣，∵PB=PC，∴点P只能在x轴上方，如图1，过B作BD⊥l于点D，设PB=PC=m，则BD=OC=﹣，CD=OB=，∴PD=PC﹣CD=m﹣，在Rt△PBD中，由勾股定理可得PB2=PD2+BD2，即m2=（m﹣）2+（﹣）2，解得m=+，∴PB+，∴P点坐标为（﹣， +），当x=﹣时，代入抛物线解析式可得y=+，∴点P在抛物线上；（3）如图2，连接CC′，∵l∥y轴，∴∠OBC=∠PCB，又PB=PC，∴∠PCB=∠PBC，∴∠PBC=∠OBC，又C、C′关于BP对称，且C′在抛物线的对称轴上，即在y轴上，∴∠PBC=∠PBC′，∴∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，在Rt△OBC中，OB=，则BC=1∴OC=，即P点的横坐标为，代入抛物线解析式可得y=（）2+=1，∴P点坐标为（，1）．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有轴对称的性质、平行线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、二次函数的性质等．在（2）中构造直角三角形，利用勾股定理得到关于PC的长的方程是解题的关键，在（3）中求得∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．【2016•盐城】如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C．（1）求b、c的值；（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG 内以点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR①求证：PG=RQ；②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把A（﹣3，0），B（0，3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c即可解决问题．（2）首先求出A、C、D坐标，根据BE=2ED，求出点E坐标，求出直线CE，利用方程组求交点坐标M．（3）①欲证明PG=QR，只要证明△QAR≌△GAP即可．②当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，由sin∠ACM==求出AM，CM，利用等边三角形性质求出AP、PM、PC，由此即可解决问题．【解答】解：（1）∵一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣3，0），B（0，3），∵抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，∴解得，∴b=﹣2，c=3．（2），对于抛物线y=﹣x2﹣2x+3，令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，∴点C坐标（1，0），∵AD=DC=2，∴点D坐标（﹣1，0），∵BE=2ED，∴点E坐标（﹣，1），设直线CE为y=kx+b，把E、C代入得到解得，∴直线CE为y=﹣x+，由解得或，∴点M坐标（﹣，）．（3）①∵△AGQ，△APR是等边三角形，∴AP=AR，AQ=AG，∠QAC=∠RAP=60°，∴∠QAR=∠GAP，在△QAR和△GAP中，，∴△QAR≌△GAP，∴QR=PG．②如图3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC，∴当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K．∵∠GAO=60°，AO=3，∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30°，∵∠QGA=60°，∴∠QGO=90°，∴点Q坐标（﹣6，3），在RT△QCN中，QN=3，CN=7，∠QNC=90°，∴QC==2，∵sin∠ACM==，∴AM=，∵△APR是等边三角形，∴∠APM=60°，∵PM=PR，cos30°=，∴AP=，PM=RM=∴MC==，∴PC=CM﹣PM=，∵==，∴CK=，PK=，∴OK=CK﹣CO=，∴点P坐标（﹣，）．∴PA+PC+PG的最小值为2，此时点P的坐标（﹣，）．【点评】本题考查二次函数综合题、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．【2016株洲】已知二次函数y=x2﹣（2k+1）x+k2+k（k＞0）（1）当k=时，求这个二次函数的顶点坐标；（2）求证：关于x的一元次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根；（3）如图，该二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于C点，P是y轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP交BC于点Q，求证：．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）直接将k的值代入函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标；（2）利用根的判别式得出△=1，进而得出答案；（3）根据题意首先表示出Q点坐标，以及表示出OA，AB的长，再利用两点之间距离求出AQ的长，进而求出答案．【解答】解：（1）将k=代入二次函数可求得，y=x2+2x+=（x+1）2﹣，故抛物线的顶点坐标为：（1，﹣）；（2）∵一元次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0，∴△=b2﹣4ac=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）=1＞0，∴关于x的一元次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根；（3）由题意可得：点P的坐标为（0，1），则0=x2﹣（2k+1）x+k2+k0=（x﹣k﹣1）（x﹣k），故A（k，0），B（k+1，0），当x=0，则y=k2+k，故C（0，k2+k）则AB=k+1﹣k=1，OA=k，可得，=﹣kx+k2+k，yBC当x﹣1=﹣kx+k2+k，解得：x=k+，则代入原式可得：y=，则点Q 坐标为运用距离公式得：AQ 2=（）2+（）2=， 则OA 2=k 2，AB 2=1，故+=+1==，则．。

抢分秘籍13二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题（压轴通关）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。

每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1．从考点频率看，二次函数的图象和性质是考查的基础，也是高频考点、必考点。

2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少！题型一二次函数中求线段的最值问题【例1】（2024·安徽滁州·一模）已知抛物线()22131y x n x n =-++++交x 轴于点()10A -，和点B ，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图1，已知点P 是位于BC 上方的抛物线上的一点，作PM BC ⊥，垂足为M ，求线段PM 长度的最大值；(3)如图2，已知点Q 是第四象限抛物线上一点，45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．设()234P m m m -++，，则∴(2222PM PE ==∵202->，∴PM 有最大值，最大值为（3）解：作BG CQ ⊥∵()10A -，，()40B ，，∴1OA =，OB OC ==∵45ACQ ∠=︒，OCB ∠∴ACO GCB ∠=∠，∴tan tan ACO GCB ∠=∠∴1442BG =，本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的定义，勾股定理等知识，根据题意作出辅助线是解题的关键．【例2】（2024·江苏淮安·二模）如图，在平而直角坐标系中，二次函数2y =+的图象与x 轴分别交于点,O A ，顶点为B ．连接,OB AB ，将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转60︒得到线段AC ，连接BC ．点,D E 分别在线段,OB BC 上，连接,,,AD DE EA DE 与AB 交于点,60F DEA ∠=︒．(1)求点A ，B 的坐标；(2)随着点E 在线段BC 上运动．①EDA ∠的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．∵()2313y x =--+，∴抛物线对称轴为1x =，即ON ∵将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转∴60BAC ∠=︒，AB AC =，∴BAC 是等边三角形，1．（2024·四川南充·一模）如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于0()1,A -，B 两点，与y 轴交于点C (0,3)-．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 是抛物线上位于第四象限内一动点，PD BC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，点E 是抛物线的顶点，点M 是线段BE 上的动点（点M 不与B 重合），过点M 作MN x ⊥轴于N ，是否存在点M ，使CMN 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)223y x x =--(2)当32m =时，PD 取得最大值为928．此时315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)CMN 为直角三角形时，点M 的坐标为：3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭或()323,6212--【分析】（1）把点,A C 坐标代入函数的解析式，利用待定系数法求解即可；（2）先求线BC 的解析式，设点p 的横坐标为m ，再用m 的代数式表示PD 的长度建立二次函数求解即可；（3）先求直线BE 的解析式，再分三种情况，根据相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】（1）由题意得103b c c -+=⎧⎨=-⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩．则抛物线的解析式为：223y x x =--；（2）过点P 作PH x ⊥轴于点H ，交BC 于点G当0y =时，2230x x --=，解得=1x -或3，∴(3,0)B 设直线BC 的解析式为：1y kx b =+，则11303k b b +=⎧⎨=-⎩解得：113k b =⎧⎨=-⎩∴3y x =-则263n -=-，∴32n =，∴M ③当90MCN ∠=︒时，过点M∵90MCF NCO ∠+∠=︒，CNO ∠∴MCF CNO ∠=∠，又90MFC CON ∠=∠=︒，∴MFC CON ∽，∴CF MF NO CO =，∴()3263n n n ---=，【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，构造二次函数求线段的最值，二次函数与直角三角形的存在性问题，相似三角形的判定和性质，难度较大，是中考的压轴题，解题的关键是数形结合，提高综合运用的能力．2．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其中()3,0B ，()0,3C -．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD AC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．求出所有使得以QF 为腰的QEF △是等腰三角形的点Q 的坐标．设211,344P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则3,4Q t ⎛- ⎝∴231133444PQ t t t ⎛⎫=---+-= ⎪⎝⎭∵AQE PQD ∠=∠，AEQ QDP ∠=∠∴OAC QPD ∠=∠，∵4,3OA OC ==，如图，二次函数213442y x x =--的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，连接AC ，作直线BC ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的表达式；(2)如图1，若点P 是第四象限内二次函数图象上的一个动点，其横坐标为m ，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，交直线BC 于点M ，N ，试探究线段MN 长的最大值；(3)如图2，若点Q 是二次函数图象上的一个动点，直线BQ 与y 轴交于点H ，连接CD ，在点Q 运动的过程中，是否存在点H ，使以H ，C ，B 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()20A -，，()80B ，，()04C -，，直线BC 的表达式为1y x 42=-；(2)线段MN 长的最大值为45；(3)点Q 的坐标为3954⎛⎫- ⎪⎝⎭，或()46-，．【分析】（1）令0y =，求得x 的值，令0x =，求得y 的值，可求得A ，B ，C 三点的坐标，利用待定系数法即可求得直线BC 的表达式；（2）设213442P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，则142M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，证明PNM OBC ∠=∠，利用正切函数的定义推出2PN PM =，求得225MN PN PM PM =+=，得到MN 关于m 的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；（3）利用勾股定理求得25AC =，5AD OC ==，作DG AC ⊥于点G ，用正切函数的定义推出OCA BCH ∠=∠，分BC BH =和BH CH =两种情况讨论，分别求得点H 的坐标，求得直线BH 的表达式，与二次函数的表达式联立求解即可．【详解】（1）解：令0y =，则2134042x x --=，解得12x =-，28x =，令0x =，则4y =-，∴()20A -，，()80B ，，()04C -，，设直线BC 的表达式为4y kx =-，代入()80B ，得084k =-，解得12k =，∴直线BC 的表达式为1y x 42=-；∵PN OB ∥，PM OC ∥，∴PNM OBC ∠=∠，∴4tan tan 8OC PNM OBC OB ∠=∠===∴2PN PM =，22MN PN PM =+=∴(2155244MN m m m ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭①当BC BH =时，∵BO CH ⊥，∴OH OC =，∴()04H ，，同理求得直线BH 的表达式为142y x =-+联立得241234412x x x ---+=，【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标表示三角形的面积，勾股定理，正切函数，解方程，熟练掌握待定系数法，勾股定理，正切函数是解题的关键．题型二将军饮马河求二次函数中线段和最值问题【例1】（2024·天津津南·一模）综合与探究：如图，抛物线2y x bx c =-++上的点A ，C 坐标分别为()0,2，()4,0，抛物线与x 轴负半轴交于点B ，且2OM =，连接AC ，CM ．(1)求点M 的坐标及抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP ，CP ，当PAC ACM S S =△△时，求点P 的坐标；(3)将抛物线沿x 轴的负方向平移得到新抛物线，点A 的对应点为点A '，点C 的对应点为点C '，当MA MC ''+的值最小时，新抛物线的顶点坐标为，MA MC ''+的最小值为．设直线AC 的解析式为y =将()0,2A ，()4,0C 代入y 240m k m =⎧⎨+=⎩，解得122k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线AC 的解析式为y =由平移的性质可知，MA '∴MA MC ''+的值最小就是显然点M '在直线=2y -上运用，作出点C 关于直线=2y -得最小值，即为AC ''的长度，∵点C 关于直线=2y -对称的对称的点是点∴()4,4C ''-，∴()(min MA MC M A '''+=+设直线AC ''的解析式是：将点()0,2A ，()4,4C ''-代入得：本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，二次函数与相似三角形综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转换思想是解题的关键，第二问的解题技巧是使用铅锤公式计算面积，第三问的技巧是转化成直角三角形的讨论问题，如果直接按相似讨论，则有四种情况，可以降低分类讨论的种类，第四问的技巧，是将点M 向反方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决．【例2】（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图1，抛物线2y x bx =-＋与x 轴交于点A ，与直线y x =-交于点()4,4B -，点()0,4C -在y 轴上．点P 从点B 出发，沿线段BO 方向匀速运动，运动到点O 时停止．(1)求抛物线2y x bx =-＋的表达式；(2)当BP =时，请在图1中过点P 作PD OA ⊥交抛物线于点D ，连接PC OD ，，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由；(3)如图2，点P 从点B 开始运动时，点Q 从点O 同时出发，以与点P 相同的速度沿x 轴正方向匀速运动，点P 停止运动时点Q 也停止运动．连接BQ PC ，，求CP BQ ＋的最小值． OH PH ∴=，POH ∠连接BC ，4OC BC == ，42OB ∴=．22BP = ，22OP OB BP ∴=-=在OA 上方作OMQ ，使得4OC BC == ，BC ⊥45CBP ∴∠=︒，CBP MOQ ∴∠=∠，BP OQ = ，CBP ∠=(SAS)CBP MOQ ∴△≌△CP MQ ∴=，1．（2024·宁夏银川·一模）如图，已经抛物线经过点()00O ，，()55A ，，且它的对称轴为2x =．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，当OAB 的面积为15时；求点B 的坐标．(3)在（2）的条件下，P 是抛物线上的动点，求P 的坐标以及PA PB -的最大值．【答案】(1)24.y x x =-(2)()2,8B (3)()2,12,P -PA PB -的最大值为32.【分析】（1）根据题意可设抛物线为2,y ax bx =+再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；（2）设()2,,B y 且0,y >记OA 与对称轴的交点为Q ，设直线OA 为：,y kx =解得：1,k =可得直线OA 为：,y x =则()2,2,Q 利用()12OAB BOQ ABQ A O S S S BQ x x =+=⨯⨯- 列方程，再解方程即可；（3）如图，连接AB ，延长AB 交抛物线于P ，则此时PA PB AB -=最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB 的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P 的坐标．【详解】（1）解： 抛物线经过点(0,0)O ，∴设抛物线为：2,y ax bx =+ 抛物线过(5,5)A ，且它的对称轴为2x =．2555,22a b b a+=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩解得：1,4a b =⎧⎨=-⎩∴抛物线为：24.y x x =-（2）解：如图，点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，设()2,,B y 且0,y >记OA 与对称轴的交点为Q ，设直线OA 为：y kx =55,k \=解得：k =∴直线OA 为：y =()2,2,Q ∴OAB BOQ ABQ S S S ∴=+ 12515,2y =-⨯=解得：8y =或4,y =-()()5,5,2,8,A B ()(2525AB ∴=-+设AB 为：y k x b '=+55,28k b k b '''+=⎧∴⎨+=⎩'解得：1,10k b =-⎧⎨='⎩'∴AB 为：10,y x =-+210,4y x y x x =-+⎧∴⎨=-⎩解得：52,,512x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩()2,12.P ∴-【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定PA PB -最大时P 的位置是解本题的关键．2．（2024·湖南怀化·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，5OB OC ==，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ．图1图2图3(1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标；(2)如图2，点Q 为抛物线对称轴上一动点，当Q 在什么位置时QA QC +最小，求出Q 点的坐标，并求出此时QAC △的周长；(3)如图3，在对称轴左侧的抛物线上有一点M ，在对称轴右侧的抛物线上有一点N ，满足90MDN ∠=︒．求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．设直线BC 的解析式为5y kx =+代入点()50B ，得055k =+，解得∴直线BC 的解析式为y x =-+当2x =，253y =-+=，∴()23Q ，，∵点()10A -，，∵221526=+=AC ，设点M 的坐标为(24m m -+，∵顶点D 的坐标为()29，，∴()2945MH m m =--++=()22945GN n n n =--++=-由题意得H G MDN ∠=∠=∠∴90MDH NDG ∠=︒-∠=∠∴MDH DNG ∽△△，∴当20x -=即2x =时，8y =，∴无论m n 、为何值，直线MN 总会经过定点()28，，∴直线MN 恒过定点，定点坐标为()28，．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．3．（2024·安徽池州·二模）如图，抛物线2Ly ax bx c =++∶与x 正半轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ，对称轴为直线1x =．(1)求直线AB 的解析式及抛物线的解析式；(2)如图①，点P 为第一象限抛物线上一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，PC 交AB 于点D ，求当点P 的横坐标为多少时，PD AD +最大；(3)如图②，将抛物线2L y ax bx c =++∶向左平移得到抛物线L '，直线AB 与抛物线L '交于M 、N 两点，若点B 是线段MN 的中点，求抛物线'L 的解析式．题型三胡不归求二次函数中线段和最值问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·陕西西安·三模）已知抛物线2(,,y ax bx c a b c =++为常数，0)a ≠与x 轴交于点()A -、点B 两点，与y 轴交于点()0,2C ，对称轴为x =(1)求抛物线的表达式；(2)M 是抛物线上的点且在第二象限，过M 作MN AC ⊥于点N ，求AN 的最大值．设AC 的解析式为y kx b =+2302k b b ⎧-+=⎪∴⎨=⎪⎩，32k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴AC 的解析式为33y x =23AO = ，2CO =，3CO本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，含30︒的直角三角形三边关系，解直角三角形的应用，二次函数的最大值等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．【例2】（2024·浙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴于点()6,0B -和点()2,0C ，连接AB 、AQ 、BQ ，BQ 与y 轴交于点N ．(1)求抛物线表达式；(2)点713Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点M 在x 轴上，点E 在平面内，BME AOM ≌，且四边形ANEM 是平行四边形．①求点E 的坐标；②设射线AM 与BN 相交于点P ，交BE 于点H ，将BPH 绕点B 旋转一周，旋转后的三角形记为11BPH △，求11BP 的最小值．1．（2024·河南洛阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++交x 轴于()4,0A 、B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线表达式中的b 、c ；(2)点P 是直数AC 上方抛物线上的一动点，过点F 作PF y 轴交AC 于点E ，作PE AC ∥交x 轴于点F ，求PE 的最大值及此时点P 的坐标；(3)将该抛物线沿射线CA 方向平移1y ，请直接写出新抛物线1y 的表达式______．()4,0A ，()0,4C ，∴直线AC 的解析式为y =-PE y ∥Q 轴，PE x ∴⊥轴，90AOC ∴∠=︒，，，．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是第一象限内的抛物线上的一个动点，①当P 为抛物线的顶点时，求证：PBC 直角三角形；②求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；③过点P 作PN x ⊥轴，垂足为N ，PN 与BC 交于点E ．当PE 的值最大时，求点P 的坐标．∴45HCP ∠=︒又∵在Rt BOC 中，OB =∴45OCB ∠=︒，∴90PCB ∠=︒∴PCB 是直角三角形②设直线BC 的解析式为∴(),3E x x -+，∴(223PE x x x =-++--∴1122PBCS PE OB =⨯⨯= 当32x =时，PBC 的最大面积为∴(),3E x x -+，∴(223PE x x x =-++--∵()0,3C ，()3,0B ，∴3OC OB ==，3BN =∴45OBC OCB ∠=∠=︒，3．（2023·山东济南·一模）抛物线()2122y x a x a =-+-+与x 轴交于(),0A b ，()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,C c ，点P 是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．(1)求a ，b ，c 的值；(2)如图1，连接BC 、AP ，交点为M ，连接PB ，若14PMB AMB S S =V V ，求点P 的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为9(0)0αα︒<<︒，连接E B '，E C '，求34E B E C ''+的最小值．设BC l ：y kx b =+，将()0,4，BC l ∴：4y x =-+，设21,42P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则21PD y y m m =-=-++根据旋转得性质得出：OE ∵9494OF OC ⋅=⨯=，2OE OF OC '∴=⋅，∴OE OC OF OE '='，题型四化简求值的解法【例1】（2024·四川广元·二模）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于原点O 和点()40A ，，经过点A 的直线与该函数图象交于另一点()13B ，，与y 轴交于点C ．(1)求直线AB 的函数解析式及点C 的坐标．(2)点P 是抛物线上位于直线AB 上方的一个动点，过点P 作直线PE x ⊥轴于点E ，与直线AB 交于点D ，过点B 作BF x ⊥轴于点F ，连接OP ，与BF 交于点G ，连接DG ．求四边形GDEF 面积的最大值．(3)抛物线上是否存在这样的点Q ，使得45BOQ ∠=︒若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．∵点()13B ，，∴13BN ON ==，．又点()40A ，，∴点()43M ，．∴3BM =．又MH BN =，ONB BMH ∠∠=∴()SAS OBN BHM ≌．∴OB HB =，且OB HB ⊥．∴45BOH ∠=︒．∴OH 与抛物线的交点Q 即为所求的点．∵1MH =，∴点()42H ，．本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形面积的综合，等腰直角三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．【例2】（2024·安徽宣城·一模）如图，已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴的交点为()()4,0,2,0A D -，与y 轴交点为C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)设点C 关于抛物线对称轴的对称点为点B ，在抛物线的A ~B 段上存在点P ，求五边形APBCD 面积的最大值ax M S ；(3)问该抛物线上是否还存在与点P 不重合的点Q ，使以A 、B 、C 、D 、Q 五点为顶点的凸五边形面积等于题（2）中五边形APBCD 面积的最大值ax M S ，若存在，直接写出．．．．所有满足条件的点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由．（3）解：由（2）可知，S 五边形由对称性可知，点P 与对称轴对称的点一定符合题意，即此时点∵抛物线解析式为238y x =-∴顶点坐标为2718⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∴顶点与B 、C 组成的三角形面积为1．（2024·山东济南·一模）如图，直线132y x=-+交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线214y x bx c=-++经过点A，点C，且交x轴于另一点B．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；(3)将线段OA绕x轴上的动点(),0P m顺时针旋转90︒得到线段O A''，若线段O A''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．设21,34M x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，令0y =，得2134y x x =-++解得：2x =-，或6x =，∴PO PO m '==，'='A O OA ∴(),O m m '，()3,A m m '+，当()3,A m m '+在抛物线上时，有解得，326m =-±，，与轴交于点1,0A -和点()3,0B ，与y 轴交于点C ，E 为抛物线的顶点．图1图2(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，点P 是第一象限内抛物线上一动点，连接PC PB BC 、、，设点P 的横坐标为t ．①当t 为何值时，PBC 的面积最大？并求出最大面积；②当t 为何值时，PBC 是直角三角形？(3)如图2，过E 作EF x ⊥轴于F ，若(),0M m 是x 轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若90MNC ∠=︒，请直接写出实数m 的取值范围．。

抛物线对称轴为直线 x＝－ 2
＝1，
2×（－1）
3k＋c＝0
设直线 AC 的解析式为 y＝kx＋c，将 A(3，0)，C(0，3)代入，得：
，
c＝3
k＝－1
解得：
，
c＝3
∴直线 AC 的解析式为 y＝－x＋3，∴P(1，2)；
(3)存在．设 P(1，t)，①以 AC 为边时，如图 2，∵四边形 ACPQ 是菱形， ∴CP＝CA， ∴12＋(3－t)2＝32＋32，解得：t＝3± 17 ， ∴P1(1，3－ 17 )，P2(1，3＋ 17 )， ∴Q1(4，－ 17 )，Q2(4， 17 )，
1．(2021·天津中考)已知抛物线 y＝ax2－2ax＋c(a，c 为常数，a≠0)经过点 C(0，－ 1)，顶点为 D. (1)当 a＝1 时，求该抛物线的顶点坐标； (2)当 a＞0 时，点 E(0，1＋a)，若 DE＝2 2 DC，求该抛物线的解析式； (3)当 a＜－1 时，点 F(0，1－a)，过点 C 作直线 l 平行于 x 轴，M(m，0)是 x 轴上 的动点，N(m＋3，－1)是直线 l 上的动点．当 a 为何值时，FM＋DN 的最小值为 2 10 ，并求此时点 M，N 的坐标．
(2021·常德中考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，平行四边形 ABCD 的 AB 边与 y 轴交于 E 点，F 是 AD 的中点，B、C、D 的坐标分别为(－2，0)，(8，0)，(13， 10). (1)求过 B、E、C 三点的抛物线的解析式； (2)试判断抛物线的顶点是否在直线 EF 上； (3)设过 F 作与 AB 平行的直线交 y 轴于 Q，M 是线段 EQ 之间的动点，射线 BM 与抛物线交于另一点 P，当△PBQ 的面积最大时，求 P 的坐标．

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知识点二次函数综合;勾股定理;相似三角形的性质；教学目标 1.熟练运用所学知识解决二次函数综合问题2．灵活运用数形结合思想教学重点巧妙运用数形结合思想解决综合问题;教学难点灵活运用技巧及方法解决综合问题；知识讲解探究线段和差的一般思路线段的和的最小值：此类问题归结为对称点问题,我们只需将其中的一个已知点关于直线的对称点找到,同时连接该对称点与另一已知的点,则该直线与已知直线的交点即为寻找的点；线段的差的最大值:此类问题归结为三点共线问题，我们只需将两个已知的点都转换到直线的同一侧，同时连接这两个已知的点得到的直线与已知直线的交点即为寻找的点；线段的最值问题：我们可以将所需线段用所设的未知数表示出来，再根据函数最值的求解方式便可以得到线段的最值了；图形周长的最值问题：此类问题可以归结为线段的和的最值问题,我们可以借助线段和的最值求法来研究。

当需要求解出线段的最值时，我们可以将线段放置于直角三角形中，运用勾股定理求解.例题精析例1已知：直线l：y=﹣2,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0，﹣1），（2,0)．（1）求该抛物线的解析式；(2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证:PO=PQ．（3)请你参考(2）中结论解决下列问题:（i）如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线y=ax2+bx+c于点A、B,分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、O M，求证：ON⊥OM．（ii)已知:如图③，点D（1，1)，试探究在该抛物线上是否存在点F,使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在,请说明理由．例2已知平面直角坐标系中两定点A（—1,0），B(4，0），抛物线（）过点A、B，顶点为C．点P(m，n）（n〈0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式与顶点C的坐标．（2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围．（3）若，当∠APB为直角时,将该抛物线向左或向右平移t（）个单位，点P、C 移动后对应的点分别记为、,是否存在t，使得首尾依次连接A、B、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t值并说明抛物线平移的方向;若不存在，请说明理由．例3如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N(﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1)求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的动点,当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标;（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标;若不存在，请说明理由．例4如图,抛物线223=--与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、Cy x x两点，其中C点的横坐标为2．（1)求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．A课程小结有针对性的对勾股定理、相似三角形的性质及二次函数的基础知识进行复习,有助于为研究二次函数与线段的和差问题提供有利的依据。