华南农业大学线性代数考试真题(试题)

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008-2009学年第2学期 考试科目： 线性代数考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 评阅人试卷说明: T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，1A -表示矩阵A 的逆矩阵，A 表示方阵A 的行列式, R (A )表示矩阵A 的秩, I 是单位矩阵.一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内1. 设n B A 均为,阶方阵，满足等式0=AB ，则必有( C )(A) 0=A 或 0=B(B) 0=+B A () 0||=A 或 0||=B(D) 0||||=+B A2. 已知,,A B C 均为n 阶可逆方阵，且ABC I =，则下列结论必然成立的是( C )(A) ACB I = (B) BAC I = () BCA I = (D) CBA I =3．设有n 维向量组（Ⅰ）：12,,,r ααα 和（Ⅱ）：12,,,()m m r ααα> ，则( B )(A) 向量组（Ⅰ）线性无关时，向量组（Ⅱ）线性无关() 向量组（Ⅰ）线性相关时，向量组（Ⅱ）线性相关 (C) 向量组（Ⅱ）线性相关时，向量组（Ⅰ）线性相关 (D) 向量组（Ⅱ）线性无关时，向量组（Ⅰ）线性相关4．设n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX =0有非零解的充分必要条件是( B )5. Matlab 软件中, 在命令窗口输入[1:3][321]'*, 显示ans=( D )二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）6. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010021A ，则=-1A120010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． (A) r=n() r<n(C) r ≥n(D) r>n(A) 7 (B) 8 (C) 9 () 107. 设t ηηη,,,21 及t t ηληληλ+++ 2211都是非齐次线性方程组b A =X 的解向量，则=+++t λλλ 21______1__________.8. 矩阵20002023A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵10002000B b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似, 则a b += . 9. 设123,1,1),0,2,3),1,0,1),k ααα===（（（则当k = 时，α1,α2,α3 线性相关.10.设A 为三阶方阵，其特征值2,1,3,- 则*A = ．11.已知二次型222123112132233(,,)2245f x x x x tx x x x x x x x =+-+++正定, 则t 的取值范围为 ．三、计算题12.(7分) 已知100110,021A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭131011,002B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭求:2T A AB +13.（8分）计算下列行列式3214214314324321四、解方程组14. (10分)求方程组123412341234311232x x x xx x x xx x x x⎧⎪--+=⎪-+-=⎨⎪⎪--+=-⎩的通解.五、解答题15.（10分）求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：a1=(1, 2,-1, 4)T,a2=(9, 100, 10, 4)T, a3= (-2,-4, 2,-8)T．16. (8分) 已知1121 342 012A--⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，求A的伴随矩阵*A．17.(12分) 设212122221A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求一个正交阵P ，使1P AP -=Λ为对角阵．六、证明题18.(6分) 设向量组322211,a a b a a b +=+= 433,a a b += 144,a a b +=, 证明向量组4321,,,b b b b 线性相关.2008—2009第二学期《线性代数》（A ）参考答案和评分标准一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. C2. C3. B4. B5. D二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）6. 120010001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭ 7. 18. 8 9. -1/2 10. 36 11. 405t -<<三、计算题12.T T A AB A E B 2(2)+=+=1001001001102010310021001112⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪ ⎪-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3分100300110330021114⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 5分 300030754⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭7分 13.将行列式第2、3、4列加到第1列上，得3214214314324321=32110214101431043210=101110222031104321------ 4分=10400440311--- 6分=160 8分14.11110111101111011131002410024111231/200121/200000⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪--→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4分 x x x x x x 1234340241--+=⎧⎨-=⎩，x x x x x x x x 1324132431-=-⎧⎨+=++⎩， 5分 取x x 2400⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得*120120η⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 6分取x x 2410,01⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，x x 1311,02⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 8分 得齐次方程组基础解系为121110,0201ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 9分通解为x x k kx x 12123411120101022010⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭10分 15. 192192192210040820010110201900004480320000A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦6分rank(A)=2 7分 所以向量组的秩为2． 8分 a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T 不成比例，所以 a 1，a 2为最大无关组. 10分16. 因为1*1,||A A A -=2分*1111||||A A AA A ---==4分 1||1A -=- 6分*1||1*A A -=-=121342012--⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭8分17.123(1)(1)(5),1,1,5A E λλλλλλλ-=-+--=-==， 3分对应于11λ=-，由 ()0A E x += 得111122ξ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得111162p -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭； 6分 对应于21λ=，由 ()0A E x -= 得2110ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得211120p -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 8分 对应于35λ=，由 (5)0A E x -= 得3111ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得311131p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 10分 11162311162321063P ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，有1100010005TP AP P AP --⎛⎫⎪==Λ= ⎪ ⎪⎝⎭． 12分18. 设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++b x b x b x b x即0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 3分整理得 01100011000111001)(43214321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x a a a a 4分而011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x x x 有非零解，所以结论成立 6分。

线性代数习题和答案第一部分 选择题 （共 28 分）、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

C. 3D. 46.设两个向量组 α1，α2，⋯， αs 和β 1，β2，⋯， βs 均线性相关，则（）A. 有不全为 0 的数λ 1，λ2，⋯，λs 使λ1α1+λ2α2+⋯+λs αs =0 和λ 1β 1+λ 2β 2+⋯λ s βs =0B. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ 1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+⋯+λs （ α s + β s ）=0C. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ1（α 1- β1）+λ2（α2- β2）+⋯+λs （αs - βs ）=0D.有不全为 0的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 和不全为 0的数μ 1，μ 2，⋯，μ s 使λ1α1+λ2α2+⋯+ λ s α s =0 和μ 1β1+μ2β2+⋯+μ s βs =07.设矩阵 A 的秩为 r ，则 A 中（ ）A. 所有 r- 1阶子式都不为 0B.所有 r- 1阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0D.所有 r 阶子式都不为 08. 设 Ax=b 是一非齐次线性方程组， η1，η2是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（ ）A. m+n C. n- m a 11a 12a 13 a 11=m ，a 21a 22a 23 a 21a 11 a 12 a 13等于（2.设矩阵 A=0 ，则 A - 1 等于（ 3A. 0 1 3C. 03.设矩阵 A=a 21 a 22 a 23B. - (m+n) D. m- nB.D.21 ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A *中位于 41，2）的元素是（A. –6 C. 2 4.设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC ，则必有（ A. A =0 C. A 0 时 B=C 5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（ A. 1B. 6 D. –2 ) B. B D. |A| 0 时 B=C C 时 A=0 A T )等于( )B. 21.设行列式 =n ，则行列式10.设 A 是一个 n （≥3）阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A. 如存在数λ和向量 α使 A α=λα，则α是 A 的属于特征值λ的特征向量B. 如存在数λ和非零向量 α，使（λE- A ）α=0，则λ是 A 的特征值C. A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如λ 1，λ 2，λ 3是A 的 3个互不相同的特征值， α1，α2，α3依次是 A 的属于λ 1，λ2， λ3的特征向量，则 α 1，α 2， α 3有可能线性相关 11. 设λ 0是矩阵 A 的特征方程的 3重根， A 的属于λ 0的线性无关的特征向量的个数为 k ，则必有（ ）222（a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23） +（a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23） +（a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23） =.18. 设向量（ 2， -3， 5）与向量（ -4， 6， a ）线性相关，则 a= .19. 设A 是 3×4矩阵，其秩为 3，若η1，η2为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2个不同的解，则它 的通解为 .20. 设 A 是 m ×n 矩阵， A 的秩为 r （<n ） ，则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个A. η1+η2 是 Ax=0 的一个解 C. η 1-η 2是 Ax=0 的一个解 9. 设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（A. 秩 （A ）<n C.A=0 11B.η1+ η2是 Ax=b 的一个解22D. 2 η 1-η 2 是 Ax=b 的一个解 ) B. 秩 (A)=n- 1D. 方程组 Ax=0 只有零解A. k ≤ 3C. k=312. 设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（A.| A| 2必为 1 C. A - 1=A T 13. 设 A 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵，A.A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A 与 B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）23 A.34 1 0 0C. 0 2 30 3 5第二部分B. k<3 D. k>3 ）B.|A|必为 1D.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 B=C T AC .则（ ） 34 B. 26 1 1 1 D. 1 2 0102 非选择题（共 72 分）2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每1 1 115. 3 569 25 361 111 2 316.设 A=B=.则 A+2B=1 111 2 417. 设 A =(a ij )3 × 3 ， |A|=2 ， A ij 表示 |A|中 元 素a ij 的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3 ） , 则数为.21. 设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α- β）=22.设 3阶矩阵 A 的行列式 |A |=8，已知 A 有 2个特征值 -1和 4，则另一特征值为 .0 10 6223.设矩阵 A=1 3 3 ，已知 α = 1 是它的一个特征向量，则α 所对应的特征值2 10 82为24.设实二次型 f （x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规范形为 三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6分，共 42分）26.试计算行列式4 2 327.设矩阵 A= 110， 求矩阵 B 使其满足矩阵方程AB=A+2B.12321 3 028.给定向量组α 1=1，3 α2=， α=， α10 2 2 =4.3419试判断 α 4 是否为 α 1， α2，α3 的线性组合；若是， 则求出组合系数。

线性代数考试(A)参考答案及评释华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2005学年第一学期 考试科目：线性代数 考试类型：闭卷 考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业这是题文 这是参考答案 填空题.（每小题3分，共30分）1.若行列式D 各行元素之和等于0，则该行列式等于0. 各行加到第一行上去, 则第一行全为零P98奇数阶实反对称阵的行列式为零P64定理2.7非齐次线性方程组有解的充要条件 41141222222n n n --**⎛⎫===⋅= ⎪⎝⎭A A A重要关系*=AA A E ( P34定理1.9); 1n -*=A A(p44题1.18)5.设()()1,1,5,3,9,2,3,5,TTαβ=--=---则α与β的距离为9.()8,3,2,29-===αβ由正交矩阵的定义T =A A E 立即得到1T -=A A 且1T ===A A A A E若λ是A 的特征值, 则1λ是1-A 的特征值, 因为()110x x x x λλ-=≠⇒=A A x . 参考P87定理4.4: ()ϕA 的特征值是()ϕλ.8．如果()222123123121323,,2246f x x x x x tx x x x x x x =+++++是正定的，则t 的取值范围是5t >.11212323t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 1231121110,10,123501223t t ∆=>∆==>∆==-> p100定理5.6由2=AA 推出()()22-+=-A E A E EEnglish!二、单选题（每题3分，共15分）1.n 元齐次线性方程组0,AX =秩()(),R A r r n =<则有基础解系且基础解系 含（ D ）个解向量.（A ）n （B ）r （C ）r n - （D ）n r - P62 line 5: 基础解系含n r -个解向量2. 设四阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的秩为（ D ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0.A的余子式(3阶子式)全为零.*A是零矩阵.3. 设A是n阶方阵，满足2A E=，则（ B ）（A）A的行列式为1 （B）,-+不同时可逆.A E A E=（D）A的特征值全是1 （C）A的伴随矩阵*A A2000或.A E A E A E A E A E=⇒+-=⇒+=-=4. 设n阶方阵,,A B C满足ABC E=，其中E是n阶单位阵，则必有（ C ）（A）ACB E== (D) BAC E= (C) BCA E= (B) CBA E()()A E.p7性质1.2, p35定理1.10=⇒=A BC E BC或者141231234142332,3,4333411111111111111110000111111000101111101111100010000010001001000100010000101001000000i r r i c c c c r r r r r r r r x x x x x x x x x x x xxxxx x x x x-=+++-+-↔↔-------+---==----+-----====.2.给定向量组()()121,1,1,1,1,1,1,1,TTαα==--()32,1,2,1Tα=， ()41,1,1,1,Tα=--求1234,,,αααα的一个最大无关组和向量组的秩.()213141434212341121112111110212,,,112100021111021011211121021202120002000200020000r r r r r r r r r r A αααα---+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----- ⎪ ⎪==−−−→ ⎪⎪--⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪------⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可见()1234,,,3R αααα=，124,,ααα是一个最大无关组。

完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。

(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。

A) r(A)。

r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。

A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。

3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。

(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。

(C) BA=O。

(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。

5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。

11；(C) -1；(D)。

(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。

A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。

1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。

(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。

2012-2013学年第2学期 高等代数II 期末考试试卷（A 卷） 一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内。

1. 设12,,,r ααα是线性空间V 中线性无关的向量组，σ是V 上的线性变换，则12(),(),,()r σασασα（ ） (A) 线性无关 (B) 线性相关 (C) 不一定线性无关 (D) 全为零向量 2. 设σ是n 维欧氏空间V 的一个线性变换，12,,,n ααα是V 的一组基，如果()()(),(),,,1,2,,i j i j i j n σασααα==，则σ（ ） (A) 是正交变换 (B) 不是正交变换 (C) 不一定是正交变换 (D) 以上答案都不对 3. 下面关于不变子空间的描述正确的有（ ）个 (1) 任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间(2) σ的属于特征值0λ的特征子空间0V λ是 σ的不变子空间(3) σ的不变子空间的和还是σ的不变子空间(4) σ的不变子空间的交还是σ的不变子空间(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 44. 在[]n P x 中(1)n >，微商(即求导)变换的零度与秩分别为（ ）(A) 0,n (B) 1,1n - (C) 1,1n - (D) ,0n5. 对于任意一个n 级实对称矩阵A ，下面说法不正确的是（ ）(A) A 的特征值均为实数(B) A 的所有特征子空间的维数之和为n(C) A 的不同特征值两两正交(D) 存在正交矩阵T ，使1T AT T AT -'=为对角形矩阵二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）6. 设V 是齐次方程组120n x x x +++=的解空间，则dim()V =_________.7. 若A 是正交矩阵,则A 的行列式为_________.8. 已知4阶矩阵A 相似于B ，A 的特征值为2,3,4,5，E 为4阶单位阵，则B E -=_________.9. 设三维向量空间的一组基为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)ααα===，则向量(2,0,0)β=在此基下的坐标为_________. 10. (){},,,,V a bi c di a b c d R =++∈，则V 对于通常的加法和数乘，在复数域C 上是_________维的，而在实数域R 上是_________维的. 三、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 11．两个线性空间同构的充要条件是二者维数相同.（ ） 12. 线性空间V 的每一个向量都可以由1,,n αα唯一地线性表示，则1,,n αα是V 的一组基.（ ） 13. 欧式空间中保持向量长度的变换是正交变换.（ ） 14. 实对称矩阵一定可以对角化，所以都可逆.（ ） 15. 两个矩阵相似的充要条件是具有相同的特征值.（ ） 四、计算题（本大题共2小题，共25分）16. (10分) 给定3P 的两组基，123(1,0,1),(2,1,0),(1,1,1);εεε===1(1,2,1),η=-23(2,2,1),(2,1,1),ηη=-=--定义线性变换σ：, 1, 2, 3i i i σεη==。

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2005学年第一学期 考试科目：线性代数 考试类型：闭卷 考试时间：120分钟一． 填空题.（每小题3分，共30分）1.若行列式D 各行元素之和等于0，则该行列式等于 .2.设A 为2005阶矩阵，且满足T A A =-，则A = .3.非齐次线性方程组AX b =有解的充要条件是 .4.设A 为4阶方阵，且A 的行列式12A =，则2A *= .5.设()()1,1,5,3,9,2,3,5,TTαβ=--=---则α与β的距离为 .6.设A 为正交矩阵，则1A -A = .7.三阶可逆矩阵A 的特征值分别为2，4，6，则1A -的特征值分别 为 .8．如果()222123123121323,,2246f x x x x x tx x x x x x x =+++++是正定的，则t 的 取值范围是 .9.设A 为n 阶方阵，且2A A =，则()12A E --= . 10.在MATLAB 软件中rank(A)表示求 .二、单选题（每题3分，共15分）1.n 元齐次线性方程组0,AX =秩()(),R A r r n =<则有基础解系且基础解系 含（ ）个解向量.（A ）n （B ）r （C ）r n - （D ）n r -2. 设四阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的秩为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0. 3. 设A 是n 阶方阵，满足2A E =，则（ ）（A ）A 的行列式为1 （B ）,A E A E -+不同时可逆. （C ）A 的伴随矩阵*A A = （D ）A 的特征值全是14. 设n 阶方阵,,A B C 满足ABC E =，其中E 是n 阶单位阵，则必有（ ） （A ）ACB E = (B) CBA E = (C) BCA E = (D) BAC E =5. 在MATLAB 中求A 的逆矩阵是（ ）（A ）det(A) (B)rank(A) (C)inv(A) (D)rref(A) 三、计算题（每题6分，共12分）1.1111111111111111x x x x ---+---+--2.给定向量组()()121,1,1,1,1,1,1,1,TTαα==--()32,1,2,1Tα=， ()41,1,1,1,Tα=--求1234,,,αααα的一个最大无关组和向量组的秩.四、设1122123122,,3,βααβααβαα=-=+=-+验证：123,,βββ线性相关.（8分）五、已知122212221A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求1A -及()1*A - （10分）六、设线性方程组1232123123424x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩当λ等于何值时，（1）无解；（2）方程组有惟一解；（3）有无穷多解，并求出此时方程组的通解.（12分）七、求一个正交变换X PY =，把下列二次型化为标准形()22212312323,,4233f x x x x x x x x =+++ （13分）。

.*2)3(,213.331A A A A -=-求阶方阵且是设解*2*131A A A -=*34*)232(A A -=-=*343A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23)21(34⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.2716-=*231*2)3(11A A A A -=---解答题),,,2,1()(31n i j i a n a A ij ij =-==阶方阵，是、设.A 求021201110 ----=n n n n 解nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211=02111111132 ------n n r r 21rr -n n r r --1021*******3 -----n n r r 21---n n r r12r r -列展开按第一行n 12100020)1(1 ----=+n n n列展开行按第11-n 21)1(1)2)(1()1()1(-+-+----=n n n n .2)1()1(213----=n n nCA A C A I n C B A +=≠-,0,,.37阶方阵，且为设，证明可逆且阶方阵都是设,,,.43AB I n B A -若，求若阶方阵为设*);()(,.45A r n A r n A =试证阶方阵，且为设,042.412=--I A A n A 都可逆，并求逆阵。

和A IA +证0)(2))((=-+--+⇒I I A I A I A 由已知II I A I A =--+)2)((II A I A =-+)3)((即）。

所以I A I A 3()(1-=+-II A A 4)2(=-因为.)2(41I I A A =-。

所以)2(411I A A -=-证明阶非零方阵且都是设,0,.42=AB n B A 都不可逆。

B A ,证可逆，则若B .)(01A B AB AB ===-矛盾，得0=A 不可逆。

所以B 不可逆。

同理可得A 证1)()(--=-A I A C A I 可逆，则因为1)(--=A I B 11)()(-----=-A I A A I C B 所以.))((1I A I A I =--=-A AB I BAB BA A AB I B I 11)()(------+=A AB I AB AB I B BA I ])()[(11-----+-=AAB I AB I B BA I ]))([(1---+-=.I BA BA I =+-=])([)(1A AB I B I BA I --+-解,0,)(≠=A n A r 则因为,0*1≠=-n AA 所以.*)(n A r =,1)(-<n A r 又因为01=-阶子式都的所以n A 。

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2013-2014 学年第2学期 考试科目：线性代数 考试类型：（闭卷）考试 考试时间：120分钟 学号 姓名 年级专业试卷说明：在本试卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A*表示A 的伴随矩阵；r(A )表示矩阵A 的秩；| A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。

一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内1. 设A ,B 是任意的n 阶方阵，下列命题中正确的是（ ）A. 222()2+=++A B A AB BB. 22()()+-=-A B A B A BC. ()()()()-+=+-A E A E A E A ED. 222()=AB A B2. 设A 是64⨯矩阵，r (A)=2，方程组0AX =的基础解系中所含向量的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．设4阶矩阵A 的元素均为4，则r (A)=( )A ．1B ．2C ．3D ．44. 设A 为m×n 矩阵，A 的秩为r ，则( )A ．r = m 时，AX =0必有非零解B ．r = n 时，AX =0必有非零解C ．r < m 时，AX =0必有非零解D ．r < n 时，AX =0必有非零解5. 若非齐次线性方程组b X A n m =⨯有解，12,,,n ααα是n m A ⨯的n 个列向量，下列结论正确的是( )A ．12,,,,n b ααα线性相关B ．12,,,n ααα线性无关C ．12,,,n ααα线性相关D ．12,,,,n b ααα线性无关二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）6. 若向量组1102α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2122α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，338k α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性相关，则k =_____________.7. 向量1 1 0T α=（，，）与向量011T β=-（，，），则向量α的长度α=__________, 的与 βα夹角= _______.8. 设3阶矩阵A 与B 相似，若A 的特征值为41,31,21， 则1B -=_______________.9. 设,A B 均为n 阶方阵,且2,A =3,B =-则*12A B -=____________________.10.二次型22212312233222f x x x tx x x x =++++为正定的, 则t 的取值范围是_______.三、计算题（本大题共3小题，共23分）11.(满分8分) 设矩阵111111111A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，123124051B ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求：32AB A -.12.（满分8分） 计算下列行列式(1) 30202105000202323A -=--- (2) 2345345645675678D =13.(满分7分) 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1100120000120025A ，求1A -．四、解答题（本大题共4小题，共36分）14.(满分10分) 讨论λ取何值时，下列线性方程组1231232123(1)0(1)(1)x x x x x x x x x λλλλλ⎧+++=⎪+++=⎨⎪+++=⎩ (1) 有唯一解； (2) 无解； (3) 有无穷多解．15.(满分10分) 设向量组)6,3,2,1(1=α，)4,2,1,1(2-=α，)8,2,1,1(3---=α，)2,3,2,1(4=α．(1) 求该向量组的一个极大无关组；(2) 将其余向量表示为该极大无关组的线性组合．16.(满分8分)求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=400032020A 的特征值以及最大特征值所对应的特征向量．17.（满分8分）将二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f +--=化为标准形，并求可逆的线性变换．五、证明题（本大题共1小题，共6分）18. (满分6分) 设向量组1α，2α线性无关，且1122=c c βαα+，证明：当121c c +≠时，向量组1βα-, 2βα-线性无关．。

习题11. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32111121x x ,求实数21,x x .解: ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321111212121x x x x x x 即⎩⎨⎧=-=+322121x x x x ,得21,2521-==x x2. 计算下列矩阵的乘积. (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2301122421解: ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+-⨯⨯+⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛828552221432)1(40224221132)1(102212311224215. 计算)(N n A n ∈,其中(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA ; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000100010A . 解: (1) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=130110112013λλλA ……⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101λn A n(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000100001000100001000102A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000000000001000100000001003A OA n n=≥,3时7. 设A,B 都是n 阶对称阵,试证:AB 是对称阵的充要条件是A 与B 可交换. 证明: (充分性)若A 与B 可交换,即AB=BA,则AB BA A B AB T T T ===)(,即AB 是对称阵; (必要性)若AB 是对称阵,即AB AB T =)(, 则BA A B AB AB T T T ===)(,即A 与B 可交换11. 当μλ,取何值时,行列式01211111=μμλ. 解: 0)1(12211211111=-=-=---++=λμλμμλμμμλμμμλ01==μλ或12. 计算下列行列式(1) 3120041212132321-解:577042303120232131204230577023213120041212132321-------=------=-=220021003210223116700210032102231577432032102231===------13. 根据下列行列式的特点,选择适当的方法(尽可能简单),计算下列行列式,并将你的计算结果推广到具有相同特点的n 阶行列式.(2)aa a a 01000000100; (4)1234100010001a x a a a x x x +---.解: (1) 按第一行展开242441000001)1(010000)1(0000001000000100a a aa a a a aa a a aa a a -=--=-+=+ 2--n naa n 阶行列式的结果为(4) 按第一列展开101001)1(10011000100014141231234----++--=+---+xxa a x a a x x x a x a a a x x x 4313123414123101)1(1)1()1(1001a xxa a x a x xxa a x a a x x x +---++-=--++--=++43221242313122)1()()1()1(1a x a a x a x x x a xa a x a x x++--+=+--++-=+4322314a x a x a x a x ++++=nn n n a xa xa x n ++++-- 2211阶行列式的结果为14. 利用行列式的性质,证明yxzx z y z y x b a bzay byax bxaz by ax bx az bz ay bxaz bz ay by ax )(33+=+++++++++. 证明:bzay byax bxaz by ax bx az bz ay bxbz bybzay byax bxaz by ax bx az bz ay azay axbzay byax bxaz by ax bx az bz ay bxaz bz ay by ax +++++++++++++=+++++++++bzay byax bxaz ax az ay bx bz by bzay byax bxaz by bx bz az ay ax bz ay by ax bx az ax az ay az ay ax +++++++++++=bzay byax bxaz by bx bz bx bz by ++++bz ay by ax bx az by bx bz bx bz by bz ay by ax bx az by bx bz az ay ax bz ay by ax bx az ax az ay az ay ax +++++++++++=bzbybxby bx bz bx bz byayaxazby bx bz bxbz bybzbybxby bx bz az ay axayaxazby bx bz azay axbz by bxax az ay azay axay ax az ax az ay azay ax +++++=zyxy x z xz yb yxzx z yzy x a 33+=yxzx z y z y xb a )(33+=15. 用克拉默法则解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++1343122132321321321x x x x x x x x x . 解: 方程组记为Ax=b,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,,343122321321b x x x x A方程组有唯一解根据克拉默法则,,02≠==A D2143122121,4313112311,4341121321321==-====D D D 1,2,2332211==-====DD x DD x DD x18. 求下列矩阵的逆阵:(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--325120112 解: ,102520,53510,83212131211-===--=-=-=A A A,12512,13512,13211232221=-=-=--==---=A A A,4212,2112,31211333231==-=--==-=A A A1,4110215318*-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----==-4110215318*1A AA19. 解下列矩阵方程:(1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101201325120112X ; (2) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011011433121X 解: (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-38132610120141102153181012013251201121X (2) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--7217531410110112311430110312111X20. 用逆矩阵解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++1343122132321321321x x x x x x x x x . 解: 方程组记为Ax=b,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,,343122321321b x x x x A,,02可逆所以A A D ≠== ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==-1221111112/532/32311b A x即1,2,2321=-==x x x21. 设O A k =(k 为正整数),试证A I -可逆,并求其逆阵. 证明: 由于I A I A A A I A I k k =+=++++--))((12 所以A I -可逆,且121)(--++++=-k A A A I A I22. 设I A A A ≠=且2,试证A 不可逆. 证明: 反证法,假设A 可逆,则A AI AAA AA AAI =====---)(1121与I A ≠矛盾,所以A 不可逆23. 设0≠=a A ,求*A 的行列式. 解: 0≠=a A ,A 可逆aAAa I AA I AA1,1,,1111====----111*11*1,-----======n nnaaaAaaA AaA A A A26. 设A,B 都是可逆方阵,试证⎪⎪⎭⎫⎝⎛O BA O 可逆,并求其逆阵. 证明: 设I AX X XX X X =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=且4321,则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛I O O IBX BX AX AX X X X X O B A O 21434321对应子块相等,IBXO BX O AXI AX ====2143,,,OXAX BXO X ====--413121,,,即⎪⎪⎭⎫⎝⎛O B A O 可逆,其逆阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--O A BO 11。

10. 设 A 为 n 阶方阵，且 A ＝2 则 ( 1 A)1 A* _____________. 3
得分
1.5CM
三、计算题（本大题共3小题，共23分）
1 2 0
11.(满分
8
分)
设
A=
3
1
4 2
0 1
，B=
2 2
3 4
1
.求（1）ABT；（2）|4A|.
0
12.（满分 8 分）计算行列式
（1）求当 a 为何值时，方程组无解、有解；
（2）当方程组有解时，求出其全部解（要求用其一个特解和导出组的基础
解系表示）．
1 2 1 0 2
15.(满分 10 分)
设矩阵
A=
2 2
4 1
2 0
6 2
6 3
.
3 3 3 3 4
求：（1）A 的秩 R( A) ;
（2）A 的列向量组的一个最大线性无关组.
A． (1,0,2)T k(1,2,1)T
B． (1,2,1)T k(2,0,4)T
C． (2,0,4)T k(1,2,1)T
D． (1,0,2)T k(1,2,3)T
得分
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
2 6. 设向量 (1, 2, 1)T ， = 正交，则 _____________.
5CM
得分 五、证明题
18. (满分 6 分) 设 η0 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解，ξ1，ξ2 是其导出
组 Ax=0 的一个基础解系.试证明
（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2 均是 Ax=b 的解；
（2）η0，η1，η2 线性无关.

线性代数基础2020一、单选题( 每题2分, 共50道小题, 总分值100分)1.下列4阶行列式的值必为零的有（）。

(2分)A. 行列式主对角线上的元素全为零。

B. 三角形行列式主对角线上有一个元素为零。

C. 行列式零元素的个数多于4个。

D. 行列式非零元素的个数等于4个。

是否存疑2A. -2B. 4C. -6D. 8是否存疑3.计算4.有向量组5.袋中装有4个黑球和1个白球，每次从袋中随机的摸出一个球，并换入一个黑球，继续进行，求第三次摸到黑球的概率是（）(2分)6.下述结论中不正确的有（C ）。

(2分)7.如果有试验E：投掷一枚硬币，重复1000次，观察正面出现的次数。

如果相应的次数稳定在500附近，则我们说一次投掷，出现正面的概率为( )(2分)A. 0.5B. 5C. －0.5D. －5是否存疑8.的逆阵为9.设10.设A=11.已知事件A与B相互独立，且P（B）＞0，则P（A|B）＝（）(2分)A. P（A）B. P（B）C. P（A）/P（B）D. P（B）/P（A）是否存疑12.向量组a1A. 2B. 3C. 4D. 5是否存疑13.A. 2B. 4C. 8D. 16是否存疑14.假设有100件产品，其中有60件一等品，30件二等品，10件三等品，从中一次随机抽取两件，则恰好抽到2件一等品的概率是（）(2分)A. 59/165B. 26/165C. 16/33D. 42/165是否存疑15.观察一次投篮，有两种可能结果：投中与未投中。

令试求X的分布函数。

()(2分)16.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A 不发生的概率相等，则P(A)=(2分)A. 1/4B. 1/2C. 1/3D. 2/3是否存疑17.下述结论中不正确的有（C ）。

(2分)18.设A=19.设20.设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列结论中不正确的是（B ）(2分)21.假设事件A和B满足P(A∣B)＝1，则(2分)A. A、B为对立事件B. A、B为互不相容事件C. A是B的子集D. P(AB)=P(B)是否存疑22.随机变量X服从正态分布，其数学期望为25，X落在区间（15,20）内的概率等于0.2,则X落在区间（30,35）内的概率为（）(2分)A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4是否存疑23.24.设袋中有k号的球k只（k=1,2,…,n),从中摸出一球，则所得号码的数学期望为（）(2分)A. （2n+1）/3B. 2n/3C. n/3D. (n+1)/3是否存疑25.有三个盒子，在第一个盒子中有2个白球和1个黑球，在第二个盒子中有3个白球和1个黑球，在第三个盒子中有2个白球和2个黑球，某人任意取一个盒子，再从中任意取一个球，则取到白球的概率为（）(2分)26.任何一个随机变量X，如果期望存在，则它与任一个常数C的和的期望为（）(2分)A. EXB. EX＋CC. EX－CD. 以上都不对是否存疑27.B. 9C. -27D. 81是否存疑28.事件A与B相互独立的充要条件为(2分)A. A+B=ΩB. P(AB)=P(B)P(A)C. AB=ФD. P(A+B)=P(A)+P(B)是否存疑29.一批10个元件的产品中含有3个废品，现从中任意抽取2个元件，则这2个元件中的废品数X的数学期望为（）(2分)A. 3/5B. 4/5C. 2/5D. 1/5是否存疑30.如果A. 8B. -8C. 6D. -6是否存疑31.一个袋内装有10个球，其中有3个白球，5个红球，2个黑球采取不放回抽样，每次取1件，则第二次取到的是白球的概率是（）(2分)A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.3是否存疑32.初等变换下求下列矩阵的秩，的秩为？（）(2分)A. 0B. 1D. 3是否存疑33C. 2D. 10是否存疑34.现考察某个学校一年级学生的数学成绩，现随机抽取一个班，男生21人，女生25人。

线性代数考试题库及答案(一)1.下面是线性代数考试题库及答案的第一部分专项同步练第一章行列式的格式正确版本：一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。

3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有(D) (n-1)。

项。

4.1/1 = (D) 2.5.1/(-1) = (B) -1.6.在函数f(x) = (2x-1)/(2-x^3)中x^3项的系数是(A) 0.7.若D = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |1 a32 a33|，则D1 =2a11a33 - 4a13a31 - 2a12a32.8.若 |a11 a12| |a21 a22| = a，则 |a12 a11| |ka22 ka21| = (-k^2)a。

9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4.0.1.3，第3行元的余子式依次为-2.5.1.x，则x = 3.10.若D = |4 3 1 5| |-1 3 4 1| |2 -1 6 3| |-2 1 3 4|，则D中第一行元的代数余子式的和为(B) -2.11.若D = |-1 5| |3 -2|，则D = (A) -1.12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 + kx2 + x3 = 0，kx1 + x2 + x3 = 0，x2 + x3 = 0有非零解。

(B) -2.二、填空题1.2n阶排列24…(2n)13…(2n-1)的逆序数是n(2n-1)。

2.在六阶行列式中项a32a41a25a13a56a64的符号为-。

改写后的文章：线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。

第 1 页 共 3 页2012-2013 学年第2学期 线性代数A 参考答案和评分标准一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. D 2. B 3. C 4. C 5. D二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）6.2-．7.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-2/110010002/1. 8.TT k k )1,0,1()0,1,1(21+-． 9. 34， 10.21n）（－． 三、计算题11.解（1）AB T =120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪……….2分 =861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪.……….4分（2）|4A |=43|A |=64|A |，而|A |=1203401212-=-…….6分所以|4A |=64·（-2）=-128…….8分12.（满分8分）解 把各行都加到第一行上去，得D = 3111131111316666………….2分 提出就第一行的公因子6，然后各行减去第一行，得D = 63111131111311111……….4分 =62000020000201111……….6分 =48 ……….8分 13.(满分7分)解: 由题意,存在可逆矩阵P ,使得1P AP -=Λ ,即 1A P P -=Λ……….2分1A E P P E --=Λ-1()P E P -=Λ- E =Λ- …….5分2001-==2-…………….7分 四、解答题 14.(满分10分)解：=),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----a 51223111201→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---211011101201a →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--300011101201a ． （1）3-≠a 时，方程组无解，3-=a 时，方程组有解； ………………….5分1.5CM第 2 页 共 3 页（2）3-=a 时，),(b A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000011101201，…………….8分⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=333231121x x x x x x ， 全部解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-112011k …………….10分 15.(满分10分)解: 对矩阵A 施行初等行变换A −→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102000620328209632−→−-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪1210203283000620002171212032830003100000=B . ……………………….4分 （1）秩（B ）=3，所以秩（A ）=秩（B ）=3. ……………………….6分 （2）由于A 与B 的列向量组有相同的线性关系，而B 是阶梯形，B 的第1、2、4列是B 的列向量组的一个最大线性无关组，故A 的第1、2、4列是A 的列向量组的一个最大线性无关组。

线性代数试题及答案.doc.（试卷一）一、填空题（本题总计20 分，每小题 2分）1.排列 7623451 的逆序数是_______。

a11 a12a11 3a12 01，则a212.若a21 a22 3a22 00 6 13.已知 n 阶矩阵A、B和C满足ABC E，其中E为 n 阶单位矩阵，则B1CA。

4.若 A 为m n矩阵，则非齐次线性方程组AX b 有唯一解的充分要条件是_________5.设A为8 6的矩阵，已知它的秩为4，则以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为 __2。

6.设 A 为三阶可逆阵， 1 0 0 ，则 A*A 1 2 1 03 2 1.7.若 A 为m n矩阵，则齐次线性方程组Ax0 有非零解的充分必要条件是1 2 3 4 53 04 1 28.已知五阶行列式D111 1 1，则1 1 02 35 4 3 2 1A41A42A43A44A459. 向量( 2,1,0,2)T的模（范数）______________。

10. 若 1 k 1 T与12 1 T正交，则k二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1. 向量组1,2, ,r线性相关且秩为 s，则 (D)Ａ． r sＢ．Ｃ． s rＤ．r s s r2. 若 A 为三阶方阵，且A 2E 0, 2A E 0,3A 4E 0，则A(A) .Ａ．Ｃ．8Ｂ．8 4Ｄ． 43 33．设向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则( d )Ａ． R(B) R( A)Ｂ．R( B) R( A)Ｃ． R( B) R( A)Ｄ．R( B) R( A)4.设 n 阶矩阵A的行列式等于D，则kA等于_____。

c( A) kA( B) k n A(C )k n 1 A(D) A5.设 n 阶矩阵A，B和C，则下列说法正确的是 _____。

(A)AB AC则 B C(B)AB 0,则A 0或B 0(C) (AB)T A T B T(D) (A B)( A B) A2B2.三、计算题（本题总计60 分。

华农往年试卷题 一、填空题 1. 幂级数2112(3)n n nn nx ∞-=+-∑的收敛半径R = 。

2. 幂级数21121n n x n +∞=+∑的收敛域为___________，和函数为________________.3.≤______及___________判别法可知1n ∞=在区间__________上一致收敛.4. ()()12x xf x e e -=-在0x =处的泰勒展开式为___________________________，该展开式的收敛域为________________________.5. 设函数21 ,0()1 ,0x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩，则其以2π为周期的傅立叶级数在点x π=处收敛于 。

6. 1220lim 1a dxx ααα+→=++⎰_______________.二、判断题1. 设n n n a c b ≤≤，且数项级数n a ∑与n b ∑都收敛，则n c ∑一定收敛. ( )2. 在级数n u ∑的项中任意加括号，不改变级数的敛散性. ( )3. 设函数列(){}n f x 在[],a b 上一致收敛，且对任意n N ∈，()n f x 都是[],a b 上的可微函数，则()n f x '在[],a b 上也一致收敛. ( )4. 若数项级数n a ∑与n b ∑都收敛，则()2n n a b +∑一定收敛 。

（ ） 5. 若11n nu u +≥，1,2,n =，则级数n u ∑发散。

（ ）6. 设n u ∑为正项级数 ，且11n nu u +<，则n u ∑收敛。

（ ） 7. 设幂级数1n n n a x ∞=∑在区间I 上收敛于函数()f x ，且对一切n N ∈都有0n a ≠，则()f x 既不是奇函数也不是偶函数。

（ ）二、计算题1. 设40sin cos (0,1,2,)nn I x xdx n π==⎰，求级数0n n I ∞=∑的和。

） ．
4、设 A 是 n 阶方阵，则下列四个式子中表明 A 是正交矩阵的式子为（
5、设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（ （A） 秩(A) < n （C） A=0
） （B）秩(A) = n-1 （D）方程组 Ax=0 只有零解 ） ． （D） a 1
0 2a 1 1 0 是正定矩阵，则 a 的取值为（ 6、已知 1 0 0 a 3
T T
. . . . .
6.设 A 为正交矩阵，则 A1
A
.
7.三阶可逆矩阵 A 的特征值分别为 2，4，6，则 A1 的特征值分别 为 .
8．如果 f x1 , x2 , x3 x12 2 x2 2 tx32 2 x1 x2 4 x1 x3 6 x2 x3 是正定的，则 t 的 取值范围是 .
(C) | A | 0 或 2.
| B | 0
(D) | A | | B | 0
已知 A, B, C 均为 n 阶可逆方阵，且 ABC I ，则下列结论必然成立的是( ) (A) ACB I (B) BAC I (C) BCA I (D) CBA I ： 1 , 2 , , r 和（Ⅱ）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）
1 2 0 6. A 0 1 0 ，则 A1 0 0 1
．
7. 设 1 , 2 , , t 及 11 2 2 t t 都 是 非 齐 次 线 性 方 程 组 A b 的 解 向 量 ， 则
2
1 1 A I __ 4 2
2008-2009 学年
一. 选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把 所选项前的字母填在题中括号内