两条平行直线间的距离-课件
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高二上学期数学人教A版(最新选择性必修第一册.4两条平行直线间的距离公式-上课教学ppt课件30张
| C1 C2 | . A2 B2
问题3 公式有什么结构特征？
一般地，两条平行直线 l1 : Ax By C1 0, l2 : Ax By C2 0 间的距离：
d | C1 C2 | . A2 B2
问题3 公式有什么结构特征？
一般地，两条平行直线 l1 : Ax By C1 0, l2 : Ax By C2 0 间的距离：
课后作业
1.求两条平行直线 l1 : 2x 3y 8 0,l2 : 2x 3y 18 0 间的距离.
2.已知两条平行直线 l1 : 3x 4 y 6 0,l2 : 3x 4 y C 0 间的距 离为3，求C的值.
3. □ABCD的一组对边AB和CD所在直线的方程分别为 6x 8y 3 0与 6x 8y 5 0 ，过□ABCD的两条对角线的交
| B|| C1 C2 | B B (B 0)
A2 B2
P(0, C1 ) B
M (0, C2 ) B
例1 求下列两条平行直线间的距离.
（1）l1 : 3x 4 y 0，l2 : 3x 4 y 10;
解：d | C1 C2 | | 0 (10) | 2.
A2 B2
32 42
追问3：将两条平行直线放入平面直角坐标系中，已 知它们的方程，如何求它们之间的距离？
P
问题2 如图，已知两条平行直线 l1 : Ax By C1 0, l2 : Ax By C2 0 ，求 l1,l2 间的距离 d.
解：设P(x0, y0 ) ,
PP( x0 , y0 )
问题2 如图，已知两条平行直线 l1 : Ax By C1 0, l2 : Ax By C2 0 ，求 l1,l2 间的距离 d.
例1 求下列两条平行直线间的距离.
新教材高中数学第二章两条平行直线间的距离课件新人教A版选择性必修第一册ppt
得到的.当A=0或B=0时,上述公式仍然成立.
微练习
原点到直线x+2y-5=0的距离为(
B. 3
A.1
解析 d=
|-5|
12 +22
)
C.2
D. 5
= 5.
答案 D
微思考
点P(x0,y0)到x轴,y轴,直线y=a,x=b的距离分别是什么?
提示 到x轴的距离d=|y0|,到y轴的距离d=|x0|,到y=a的距离d=|y0-a|,到x=b的
(方法 2)∵直线 x=2 与 y 轴平行,
∴由图知 d=|-1-2|=3.
=3.
|-1×0+2-1|
(3)(方法 1)由点到直线的距离公式,得 d=
02 +12
=1.
(方法 2)∵直线 y-1=0 与 x 轴平行,
∴由图知 d=|2-1|=1.
反思感悟 点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时,只需把直线方程化为一般式,直接利用点到直线
方法总结
解此类题目有两种方法,一是利用数形结合的方法,过一定点与两定点距离
相等的点的直线有两条(三定点不共线),根据这两条直线的几何特征可求
出其直线方程.二是求此类问题的一般方法,它应用了点到直线的距离公式,
且x,y分别对应的系数一模一样的情况,如果两平行直线的方程中x,y的系数
对应不同,必须先等价化为系数对应相同才能套用公式.
微练习
两条平行线l1:3x-4y-1=0与l2:6x-8y-7=0间的距离为(
1
A.
2
3
B.
5
解析 l2 的方程可化为
d=
7
2
-1+
32 +(-4)2
新教材高中数学第二章点到直线的距离公式两条平行直线间的距离课件新人教A版选择性必修第一册ppt
∴l1:x+3y+7=0. 又正方形另两边所在直线均与l垂直,
∴设另两边所在直线的方程分别为3x-y+a=0,3x-y+b=0(a≠b).
∵正方形的中心到四条边所在直线的距离相等,
∴ | 3 a | = | 3 b | = | 1 5 | ,
32 (1)2 32 (1)2 12 32
解得a=9,b=-3或a=-3,b=9, ∴另两边所在直线的方程分别为3x-y+9=0,3x-y-3=0. ∴正方形其他三边所在直线的方程分别为x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0.
夹在两条平行直线间的公垂线 段的长
点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)的距离d=①
两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l 2:Ax+By+C2=0(A2+B2≠0,C1≠C2)
| Ax0 By0 C | A2 B2
间的距离d=②
| C1 C2 | A2 B2
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
1.点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离.( √ )
2.点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 | kx0 b | . ( ✕ )
1 k2
提示:直线方程化为一般式为kx-y+b=0,P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 | kx0 y0 b | .
解析 (1)设l2的方程为3x+4y+d=0(d≠-5),由条件知l1与l之间的距离等于l2与l之间
的距离,则 | 5 1| =
32 42
|d 32
高中数学 第三章 3.3.33.3.4两条平行直线间的距离课件 新人教A版必修2
第一页，共25页。
填一填·知识要点、记下(jì xià)疑难 点
1．点到直线的距离的定义： 点P0到直线l的距离，是指从点P0 到直线l的垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足 ．
2．在平面直角坐标系中，点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离为d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C| .
第三页，共25页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更 高效
探究点一 点到直线的距离 问题1 两点间的距离公式是什么？
答 已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12.
问题2 什么是平面上点到直线的距离？ 答 如下图，P到直线l的距离，是指从点P到直线l的垂线段PQ 的长度，其中Q是垂足．
|Ax0＋By0＋C1| A2＋B2
.又Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，∴d＝
|CA1－2＋CB22| .
小结 若两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝ 0(C1≠C2)，则l1，l2间的距离为d＝ |CA2－2＋CB1|2.
第十二页，共25页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高 效
例2 已知直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，l1与 l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离． 解 l1 的斜率 k1＝27，l2 的斜率 k2＝261＝27.因为 k1＝k2， 所以 l1∥l2. 先求l1与x轴的交点A的坐标，容易知道A的坐标为(4,0)． 点A到直线l2的距离d＝|6×4－622＋1×2102－1|＝32353＝12539 53. 所以l1与l2间的距离为12539 53.
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的
填一填·知识要点、记下(jì xià)疑难 点
1．点到直线的距离的定义： 点P0到直线l的距离，是指从点P0 到直线l的垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足 ．
2．在平面直角坐标系中，点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离为d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C| .
第三页，共25页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更 高效
探究点一 点到直线的距离 问题1 两点间的距离公式是什么？
答 已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12.
问题2 什么是平面上点到直线的距离？ 答 如下图，P到直线l的距离，是指从点P到直线l的垂线段PQ 的长度，其中Q是垂足．
|Ax0＋By0＋C1| A2＋B2
.又Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，∴d＝
|CA1－2＋CB22| .
小结 若两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝ 0(C1≠C2)，则l1，l2间的距离为d＝ |CA2－2＋CB1|2.
第十二页，共25页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高 效
例2 已知直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，l1与 l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离． 解 l1 的斜率 k1＝27，l2 的斜率 k2＝261＝27.因为 k1＝k2， 所以 l1∥l2. 先求l1与x轴的交点A的坐标，容易知道A的坐标为(4,0)． 点A到直线l2的距离d＝|6×4－622＋1×2102－1|＝32353＝12539 53. 所以l1与l2间的距离为12539 53.
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的
人教新课标版数学高一必修2课件点到直线的距离两条平行直线间的距离
答案
问题3 点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？ 答案 仍然适用， ①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0， 即 y＝－CB，d＝|y0＋CB|＝|By|0B＋| C|，适合公式. ②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0， x＝－CA，d＝|x0＋CA|＝|Ax|0A＋| C|，适合公式.
解析 设直线l的方程为2x－y＋c＝0， |3－c| |c＋1|
由题意知： 22＋12＝ 22＋12， 得c＝1， ∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
反思与感悟
解析答案
探究点3 利用距离公式求最值 例3 (1)已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则 x2＋y2－2y＋1 的最小值
7 为___1_0____. 解析 ∵ x2＋y2－2y＋1＝ x－02＋y－12， ∴上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离， 即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离， ∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离， 即|MN|min＝d＝ |86－2＋18| 2＝170.
取一点，转化为点到直线的距离.
A2＋B2
4.对称问题
最常见的是点关于直线对称，其关键是利用“垂直”“中点”，用垂直、平
分两条件列方程组可求解对称点坐标.
返回
解析答案
当堂测试
1 23 45
1.已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为( D )
A.1
B.－1
C. 2
D.± 2
|a－1＋1| 解析 由题意知 12＋12 ＝1，
即|a|＝ 2，∴a＝± 2.
解析答案
1 23 45
2.两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等( C )
问题3 点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？ 答案 仍然适用， ①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0， 即 y＝－CB，d＝|y0＋CB|＝|By|0B＋| C|，适合公式. ②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0， x＝－CA，d＝|x0＋CA|＝|Ax|0A＋| C|，适合公式.
解析 设直线l的方程为2x－y＋c＝0， |3－c| |c＋1|
由题意知： 22＋12＝ 22＋12， 得c＝1， ∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
反思与感悟
解析答案
探究点3 利用距离公式求最值 例3 (1)已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则 x2＋y2－2y＋1 的最小值
7 为___1_0____. 解析 ∵ x2＋y2－2y＋1＝ x－02＋y－12， ∴上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离， 即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离， ∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离， 即|MN|min＝d＝ |86－2＋18| 2＝170.
取一点，转化为点到直线的距离.
A2＋B2
4.对称问题
最常见的是点关于直线对称，其关键是利用“垂直”“中点”，用垂直、平
分两条件列方程组可求解对称点坐标.
返回
解析答案
当堂测试
1 23 45
1.已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为( D )
A.1
B.－1
C. 2
D.± 2
|a－1＋1| 解析 由题意知 12＋12 ＝1，
即|a|＝ 2，∴a＝± 2.
解析答案
1 23 45
2.两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等( C )
课件3：2.3.3 点到直线的距离公式 ~2.3.4 两条平行直线间的距离
直线 AC 的方程为 y－(－1)＝3(x－0)，
即 3x－y－1＝0.
又因为|AC|＝ （2－0）2＋（5＋1）2＝2 10，
x＋3y－7＝0，
所以点 B 和点 D 的坐标满足
3|32＋x－（y－－11）| 2＝
10，
解得yx＝＝14，，或yx＝＝3－，2，
故顶点 B，D 的坐标分别为(4，1)，(－2，3)或(－2，3)，(4，1)．
探究题 3 已知正方形 ABCD 的相对顶点 A(0，－1)和 C(2，5)， 求顶点 B 和 D 的坐标. 解：线段 AC 的中点为 M(1，2)，直线 AC 的斜率 kAC＝5－2（－－01）＝3.
因为 AC⊥BD，所以 kBD＝－13， 所以直线 BD 的方程为 y－2＝－31(x－1)，即 x＋3y－7＝0.
题型三 距离公式的应用 探究题 1 已知直线 l 过点 P(0，2)，且点 A(1，1)，B(－3，1)到 直线 l 的距离相等，求直线 l 的方程.
解：方法一：由于点 A(1，1)与 B(－3，1)到 y 轴的距离相等， 所以直线 l 的斜率存在，设为 k.又直线 l 在 y 轴上的截距为 2， 则直线 l 的方程为 y＝kx＋2，即 kx－y＋2＝0. 由点 A(1，1)与 B(－3，1)到直线 l 的距离相等得 |k－k21＋＋12|＝|k×（－k32）＋－1 1＋2|， 解得 k＝0 或 k＝1，故直线 l 的方程是 y＝2 或 x－y＋2＝0.
所以点
M(－1，0)到
AD，AB，BC
的距离均为3
10 5.
由|3×（－112＋）3－2 0＋n|＝3 510， 得|n－3|＝6，解得 n＝9 或－3. 由|－1＋132＋×302＋m|＝3 510，得|m－1|＝6, 解得 m＝7 或－5(舍去), 所以其他三边所在的直线方程分别为 x＋3y＋7＝0，3x－y＋9＝0， 3x－y－3＝0.
两条平行直线间的距离PPT教学课件
[分析] 思路 1：
设出直 由两平行直线间的距 求解 线方程 → 离公式得含参方程 → 即可
思路 2：
设直线上任意 一点的坐标
→
利用点到直线距 离公式列式子
→
化简可得所 求直线方程
[解析] 方法 1：由已知，可设所求的直线方程为 2x－y＋ C＝0(C≠－1)，
则它到直线 2x－y－1＝0 的距离 d＝ |C22－＋－－11| 2＝|C＋51|＝ 2，
•距离公式的应用
两互相平行的直线分别过 A(6,2)、B(－3，－1)， 并且各自绕着 A、B 旋转，如果两条平行线间的距离为 d，
(1)求 d 的变化范围； (2)求当 d 取得最大值时的两条直线方程．
[解析] 解法 1：(1)设两条直线方程分别为 y＝kx＋b1 和 y＝kx＋b2， 则2－＝16＝k＋－b31k，＋b2， 即bb12＝＝23－k－61k，， 而 d＝|b21－＋bk12|＝|91k－＋3k2|，两边平方整理得 即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0， 由于 k∈R， 所以 Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0， 整理得 4d2(d2－90)≤0，∴0<d≤3 10.
• [破疑点] (1)使用两条平行直线间的距离公 式的前提条件：
• ①把直线方程化为直线的一般式方程；
• ②两条直线方程中x，y系数必须分别相等．
• (2)求两条平行直线间的距离通常转化为其中 一条直线上任意一点到另一条直线的距离， 且两平行线间距离与其中一条直线上点的选 取无关．
• (3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用 数形结合来解决．
①将直线方程化为一般式 Ax＋By＋C＝0；
②将点(x0，y0)代入公式 d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|，计算可得．
设出直 由两平行直线间的距 求解 线方程 → 离公式得含参方程 → 即可
思路 2：
设直线上任意 一点的坐标
→
利用点到直线距 离公式列式子
→
化简可得所 求直线方程
[解析] 方法 1：由已知，可设所求的直线方程为 2x－y＋ C＝0(C≠－1)，
则它到直线 2x－y－1＝0 的距离 d＝ |C22－＋－－11| 2＝|C＋51|＝ 2，
•距离公式的应用
两互相平行的直线分别过 A(6,2)、B(－3，－1)， 并且各自绕着 A、B 旋转，如果两条平行线间的距离为 d，
(1)求 d 的变化范围； (2)求当 d 取得最大值时的两条直线方程．
[解析] 解法 1：(1)设两条直线方程分别为 y＝kx＋b1 和 y＝kx＋b2， 则2－＝16＝k＋－b31k，＋b2， 即bb12＝＝23－k－61k，， 而 d＝|b21－＋bk12|＝|91k－＋3k2|，两边平方整理得 即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0， 由于 k∈R， 所以 Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0， 整理得 4d2(d2－90)≤0，∴0<d≤3 10.
• [破疑点] (1)使用两条平行直线间的距离公 式的前提条件：
• ①把直线方程化为直线的一般式方程；
• ②两条直线方程中x，y系数必须分别相等．
• (2)求两条平行直线间的距离通常转化为其中 一条直线上任意一点到另一条直线的距离， 且两平行线间距离与其中一条直线上点的选 取无关．
• (3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用 数形结合来解决．
①将直线方程化为一般式 Ax＋By＋C＝0；
②将点(x0，y0)代入公式 d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|，计算可得．
2.3.4两条平行直线间的距离公式课件高二上学期数学人教A版选择性
3x 4 y 0
2 13
(2) 在l2 : 3 x 4 y 0上取一点(0, 0), 将3 x 4 y 10化为3 x 4 y 10 0,
则d
3 0 4 0 10
32 42
2.
2. 已知两条平行直线l1 : 3 x 4 y 6 0与l 2 : 3 x 4 y C 0间的距离为3,
2.3.4 两条平行直线间的距离公式
课前回顾：
1.已知点P为x轴上一点,点P到直线3x-4y+6=0
的距离为6,则点P的坐标为(
)
A.(8,0)
B.(-12,0)
C.(8,0)或(-12,0)
D.(0,0)
解析:设P(a,0),则
3a 6
9 16
6
,解得a=8或a=-12.
故点P的坐标为(8,0)或(-12,0).
故直线 l 的方程为 5x-y-6=0.
=
3
2
3
22
-
,即 5x-y-6=0,
解法二:设与直线l1,l2平行且距离相等的直线l3的方程为x-y+C=0.
|-1|
由两条平行直线间的距离公式,得
2
=
|+1|
,解得
2
C=0,即 l3:x-y=0.
由题意知,点 M 在直线 l3 上,也在直线 x+y-3=0 上.
d
x0 2 y0 1
1
5
.
2
2
5
5
1 ( 2)
y
B
C
l2
A
l3
O
l1
(第3题)
x
2 13
(2) 在l2 : 3 x 4 y 0上取一点(0, 0), 将3 x 4 y 10化为3 x 4 y 10 0,
则d
3 0 4 0 10
32 42
2.
2. 已知两条平行直线l1 : 3 x 4 y 6 0与l 2 : 3 x 4 y C 0间的距离为3,
2.3.4 两条平行直线间的距离公式
课前回顾：
1.已知点P为x轴上一点,点P到直线3x-4y+6=0
的距离为6,则点P的坐标为(
)
A.(8,0)
B.(-12,0)
C.(8,0)或(-12,0)
D.(0,0)
解析:设P(a,0),则
3a 6
9 16
6
,解得a=8或a=-12.
故点P的坐标为(8,0)或(-12,0).
故直线 l 的方程为 5x-y-6=0.
=
3
2
3
22
-
,即 5x-y-6=0,
解法二:设与直线l1,l2平行且距离相等的直线l3的方程为x-y+C=0.
|-1|
由两条平行直线间的距离公式,得
2
=
|+1|
,解得
2
C=0,即 l3:x-y=0.
由题意知,点 M 在直线 l3 上,也在直线 x+y-3=0 上.
d
x0 2 y0 1
1
5
.
2
2
5
5
1 ( 2)
y
B
C
l2
A
l3
O
l1
(第3题)
x
高中数学选择性必修第一册精品课件：2 3 3 点到直线的距离公式-2 3 4 两条平行直线间的距离
思维升华
求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般 式再用公式；直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)中A＝0或B＝0时，公式 也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点 到直线的距离.
【训练1】 已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝( C )
解 (1)由题意，将 l2 的方程化为 3x＋5y＋25＝0，
∴d＝ 13－2＋5252＝
3 234＝3 6834.
(2)由题意设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0(C≠4且C≠－2).
由直线 l 与两条平行线的距离相等，得 22＋|C（－－4|3）2＝ 22＋|C（＋－2|3）2， 即|C－4|＝|C＋2|，解得C＝1.
故直线l的方程为2x－3y＋1＝0.
思维升华
求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式.若直线 l1：y＝kx ＋b1，l2：y＝kx＋b2(b1≠b2)，则 d＝|b1k－2＋b21|；若直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2： Ax＋By＋C2＝0(A，B 不全为 0 且 C1≠C2)，则 d＝ |CA1－2＋CB2|2.但必须注意两直线方 程中 x，y 的系数分别对应相等.
2
课堂互动
题型剖析
题型一 点到直线的距离
【例1】 求过点P(1，2)且与点A(2，3)，B(4，－5)的距离相等的直线l的方程.
解 法一 由题意知kAB＝－4，线段AB的中点为C(3，－1)， 所以过点P(1，2)与直线AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)， 即4x＋y－6＝0.此直线符合题意. 过点 P(1，2)与线段 AB 中点 C(3，－1)的直线方程为－y－1－22＝x3－ －11， 即3x＋2y－7＝0.此直线也符合题意. 故所求直线l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.
2.3.3-2.3.4 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离 课件(42张)
所以直线l2的方程可化为 x2-2y+2=0,
所以直线l1,l2之间的距离d= | 2 （1）.|
24
6 2
答案: 6
2
2.选B.因为直线2x+3y-9=0与直线6x+my+12=0平行,所6 以m 12 ,
2 3 9
所以m=9,故平行直线即6x+9y-27=0与直线6x+9y+12=0,距｜12离为27｜ 13 .
62 92
【内化·悟】 应用两条平行直线距离公式的前提是什么? 提示:两条直线方程中x,y的系数相同.
【类题·通】 两条平行线距离的求法
(1)化为一般式,且两条平行线方程中x,y的系数化为相同的,代入两条平行线 的距离公式. (2)一条直线上任取一点,求该点到另一条直线的距离.
【习练·破】
1.P,Q分别为3x+4y-10=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( )
d= | 2m m2 7 | m 12 6 6 3 2.
2
2
2
【加练·固】
点(-1,0)到直线x+y-1=0的距离是
()
A. 2
B. 2
2
C.1
D. 1
2
【解析】选A.由点到直线的距离公式可得:d= ｜11｜ 2 .
2
类型二 两条平行直线间距离公式的应用
【典例】1.已知直线l1: 2 x-2y-1=0,l2:x- 2 y+ 2 =0,则直线l1,l2之间的距离 为_______.
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选A.直线3x+4y+5=0与直线3x+4y-5=0的距离为d= ｜5 （ 5）｜ 2.
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2．若点(1，a)到直线 x－y＋1＝0 的距离是322，则实数 a 为( )
A．－1
B．5
C．－1 或 5 D．－3 或 3
解析：由点到直线距离公式：|1－a＋1|＝3 2
2
2，得
a＝－1
或
5.
答案：C
3．在坐标平面内，与点 A(1,2)距离为 1，且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共有( )
点评：(1)此题由两平行线间距离公式建立了关于 d，k 的方程， 根据判别式 Δ 得不等式，从而得最值，并由最值成立的条件得 k 值．
(2)本题也可从问题的几何背景考虑，易知分别过 A，B 的一切平 行线间的距离均不超过 A，B 两点间的距离|AB|，当且仅当两平行线与 AB 垂直时，两平行线间距离等于|AB|，所在 dmax＝ 6＋32＋2＋12＝ 3 10，此时 k·26＋ ＋13＝－1，即 k＝－3，可见如借助几何直观背景发挥 形象思维优势，常可得到简洁、优美的解法．
5．在 x 轴上求一点 P，使它到直线 2x－y＋1＝0 和直线 x＋3y＋2 ＝0 的距离相等．
解析：由题意设 P(a,0)，则有 2|22＋a＋－1|12＝ |a1＋2＋23| 2，
4．若直线 m 被两平行线 l1：x－y＋1＝0 与 l2：x－y＋3＝0 所截 得的线段的长为 2 2，则 m 的倾斜角可以是
①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75° 其中正确答案的序号是________(写出所有正确答案的序号)．
解析：设直线 m 与 l1、l2 分别交于 A、B 两点， 过 A 作 AC⊥l2 于 C，则|AC|＝|3－21|＝ 2， 又|AB|＝2 2，∴∠ABC＝30°. 又直线 l1 的倾斜角为 45°. ∴直线 m 的倾斜角为 45°＋30°＝75°或 45°－30°＝15°. 答案：①⑤
解得 m＝－25 或 m＝－9. 故所求直线 l 的方程为 3x－2y－25＝0 或 3x－2y－9＝0.
点评：求两平行直线间的距离有两种思路 (1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任 意一点到另一条直线的距离．
(2)直接利用两平行线间的距离公式，当直线 l1∶y＝kx＋b1，l2∶ y＝kx＋b2，且 b1≠b2 时，d＝|b1k－2＋b21|；当直线 l1∶Ax＋By＋C1＝0，l2∶ Ax＋By＋C2＝0 且 C1≠C2 时，d＝|CA1－2＋CB2|2 但必须注意两直线方程中 x，
故直线 l 的方程是 y＝2 或 x－y＋2＝0.
考点二 两条平行线间的距离
例 2 已知直线 l1∶3x－2y－1＝0 和 l2∶3x－2y－13＝0，直线 l 与 l1， l2 的距离分别是 d1，d2，若 d1∶d2＝2∶1，求直线 l 的方程．
分析：根据直线平行设出直线方程后，由两平行直线间的距离公
(2)若点(－2,2)到直线 3x＋4y＋c＝0 的距离为 3，求 c 的值．
解析：(1)点 P 到直线 l 的距离 d＝|3×2＋324＋×442－7|＝155＝3. (2)由点(－2,2)到直线 3x＋4y＋c＝0 的距离为 3，可得 d＝ |3×－232＋＋44×2 2＋c|＝|2＋5 c|＝3， 解得 c＝13，或 c＝－17. 答案：(1)3 (2)13 或－17
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
解析：由题意可知，所求直线显然不与 y 轴平行， ∴可设直线为 y＝kx＋b，即 kx－y＋b＝0. ∴d1＝|k－k22＋＋1b|＝1，d2＝|3k－k21＋＋1b|＝2.
两式联立解得bk＝＝03， 或kb＝＝－35，34，
∴所求直线有两条． 答案：B
(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公 式列方程求解参数即可．
变式探究 1 已知直线 l 过点 P(0,2)，且点 A(1,1)，B(－3,1)到直 线 l 的距离相等，求直线 l 的方程．
解析：由于点 A(1,1)与 B(－3,1)到 y 轴的距离不相等，所以直线 l 的斜率存在，设为 k.又直线 l 过点 P(0,2)，则直线 l 的方程为 y＝kx＋2， 即 kx－y＋2＝0.由点 A(1,1)，B(－3,1)到直线 l 的距离相等得：|k－k21＋＋12| ＝|k×－k32＋－11＋2|，解得 k＝0 或 k＝1，
式得到关于参数的方程，求解即可．
解析：由直线 l1，l2 的方程知 l1∥l2.又由题意知，直线 l 与 l1，l2 均平行(否则 d1＝0 或 d2＝0，不符合题意)．
设直线 l∶3x－2y＋m＝0(m≠－1 且 m≠－13)由两平行线间的距 离公式，得 d1＝|m＋131|，d2＝|m＋1313|，又 d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1| ＝2|m＋13|，
①P(x0，y0)到 x＝a 的距离 d＝|a－x0|； ②P(x0，y0)到 y＝b 的距离 d＝|b－y0|.
2．对两平行直线间的距离公式的理解 (1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利 用公式．
(2)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且 x，y 的系数对应相等．
答案：(1)159 (2)3x－y＋9＝0 或 3x－y－3＝0
点评：点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接 应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线 x＝a 或 y＝b，求点到它们的 距离时，即可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成 d＝|x0－a| 或 d＝|y0－b|.
分析：(1)由两平行线间的距离公式写出 d 与斜率之间的函数关系 式，不难求出 d 的范围或利用数形结合求 d 的范围．
(2)求出 d 取最大值时斜率的值，即可求出所求直线方程． 解析：(1)方法一：①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别 为 x＝6 和 x＝－3，则它们之间的距离为 9. ②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为 l1∶y－2＝k(x －6)，l2∶y＋1＝k(x＋3)， 即 l1∶kx－y－6k＋2＝0，l2∶kx－y＋3k－1＝0， ∴d＝|3k－1k＋2＋6k1－2|＝3|3kk2－＋11|， 即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0. ∵k∈R，且 d≠9，d＞0， ∴Δ＝(－54)2－4(81－d2)(9－d2)≥0， 即 0＜d≤3 10且 d≠9. 综合①②可知，所求 d 的变化范围为(0,3 10]．
(3)当两直线都与 x 轴(或 y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决． ①两直线都与 x 轴垂直时，l1∶x＝x1，l2∶x＝x2，则 d＝|x2－x1|； ②两直线都与 y 轴垂直时，l1∶y＝y1，l2∶y＝y2，则 d＝|y2－y1|.
3 新课堂·互动探究 考点一点到直线的距离 例 1 (1)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(2,2)到直线 4x＋3y＋5＝0 的距离为__________．
变式探究 3 已知点 P(2，－1)，求： (1)过点 P 且与原点距离为 2 的直线方程； (2)过点 P 且与原点距离最大的直线方程，并求出最大值．
解析：(1)当斜率不存在时，方程 x＝2 适合题意． 当直线的斜率 －2k－1＝0. 根据题意|2kk2＋＋11|＝2，解得 k＝34. ∴直线方程为 3x－4y－10＝0. (2)过点 P 且与原点距离最大的直线方程应为过点 P 且与 OP 垂直 的直线，易求得其方程为 2x－y－5＝0，且最大距离为 d＝ 5.
y 的系数对应相等．
变式探究 2 直线 l1 过点 A(0,1)，l2 过点 B(5,0)，如果 l1∥l2，且 l1 与 l2 的距离为 5，求直线 l1 与 l2 的方程．
解析：当 l1，l2 的斜率不存在，即 l1∶x＝0，l2∶x＝5 时，满足条 件．
当 l1，l2 的斜率存在时，设 l1∶y＝kx＋1，即 kx－y＋1＝0，l2∶y ＝ k(x － 5) ， 即 kx － y － 5k ＝ 0. 由 两 条 平 行 直 线 间 的 距 离 公 式 得 |1k－2＋－－5k1|2＝5，解得 k＝152.
4 新思维·随堂自测 1.已知点 P(a，b)是第二象限的点，那么它到直线 x－y＝0 的距离 是( )
A. 22(a－b)
B．b－a
C. 22(b－a)
D. a2＋b2
解析：∵点 P(a，b)是第二象限的点，∴a＜0，b＞0. ∴a－b＜0. 点 P 到直线 x－y＝0 的距离 d＝|a－2b|＝ 22(b－a)． 答案：C
方法二：如图所示，显然有 0＜d≤|AB|. 而|AB|＝ 6＋32＋2＋12＝3 10. 故所求的 d 的变化范围为(0,3 10]． (2)由图可知，当 d 取最大值时， 两直线垂直于 AB. 而 kAB＝26－ －－ －13＝13， ∴所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)， y＋1＝－3(x＋3)， 即 3x＋y－20＝0 和 3x＋y＋10＝0.
此时 l1∶12x－5y＋5＝0，l2∶12x－5y－60＝0. 综上所述，所求直线 l1，l2 的方程为 l1∶x＝0，l2∶x＝5 或 l1∶12x －5y＋5＝0，l2∶12x－5y－60＝0.
考点三 距离公式的综合应用 例 3 两条互相平行的直线分别过点 A(6,2)和 B(－3，－1)，并且 各自绕着 A，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为 d.求： (1)d 的变化范围； (2)当 d 取最大值时两条直线的方程．
解析：因为两直线平行，所以 m＝2.
方法一：在直线 3x＋y－3＝0 上取点(0,3)，代入点到直线的距离
公式，得 d＝|6×0＋622＋×232－1|＝
10 4.
方法二：将 6x＋2y－1＝0 化为 3x＋y－12＝0，由两条平行线间的
距离公式得 d＝|－332＋＋1122|＝ 410.
答案：
10 4
2 新视点·名师博客 1.应用点到直线的距离公式应注意的问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用 公式．例如求 P(x0，y0)到直线 y＝kx＋b 的距离，应先把直线方程化为 kx－y＋b＝0，得 d＝|kx0－k2y＋0＋1 b|. (2)点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故 应用公式时不必判定点 P 与直线 l 的位置关系． (3)直线方程 Ax＋By＋C＝0 中 A＝0 或 B＝0 时，公式也成立，也 可以用下列方法求点到直线的距离．