广东省梅州市梅县高级中学-学年高一上学期模块数学试卷(必修1和必修4)

2020届高一数学第一次月考试题2020.10一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．下列关系中，正确的个数为( ) ①R ∈22 ②Q ∈}3{ ③*0N ∈ ④Z ⊆-}5{ A.1 B.2 C.3 D.42．已知集合{||1|1},Mx x =-<{|0},1x N x x =<-则下列关系正确的是（ ） A. M N = B. M N > C. M N ⊆ D. N M ⊆3．下列各组函数表示同一个函数的是（ ）A. 1y x =+ 与 21x y x=+ B. y x = 与 2y x = C.1y x x =- 与2y x x =-1y x = 与33y x =4．设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则=))3((f f （ ） A.15 B.139 C. 23 D. 3 5．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）A. 1y x =-B.y x =--3y =1y x =- 6．函数2012()f x x x=+的图象关于（ ）对称. A.x 轴 B.y 轴 C.原点 D.直线y x =7.若定义在R 上的偶函数()f x 满足“对任意)0,(,21-∞∈x x ，当120x x -< 时，都有12()()0f x f x -<”，则(2)(3)a f b f =-=与的大小关系为( )A. a b >B.a b <C. a b =D.不确定8．已知函数()f x 是定义在区间[,],(0)a a a ->上的奇函数，且存在最大值与最小值，若()()1g x f x =-,则()g x 的最大值与最小值之和为( )A.2-B.1-C.0D.2二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．函数y x=的定义域是________________. 10．已知集合2{(,)|},{(,)|},A x y y x B x y y x ====则A B =I ____.11．函数()|23|f x x =+的单调减区间为________________.12．若函数1yax =-在R 上是减函数，且221y ax a x =-+在(,1]-∞-上是增函数，则a 的取值范围是________________.13．已知()f x 的图象关于y 轴对称，且0x >时，3()1f x x =-+,则0x <时，()f x =______________.14．函数2(),11x f x x x =≥+的值域为________________.三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答必须写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知集合{1,2},{|1,}.A B y y x x A ===+∈（1）求集合B 与A B U ;（2）写出A B U 的所有真子集.16.已知全集,{|1,2},{|13,5}.U UR M x x x N x x x ==<-≥=≤≤>或或ð （1）求()U M N I ð;（2）若集合{|4},Px a x a M P M =<<+=I ,求a 的取值范围.17.已知函数2,0().,0x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩ （1）画出()f x 的图像；（2）根据图像写出()f x 的单调性（不用证明）； （3）利用（2）的结论解不等式2(4)(3).f x f x ->18.已知函数2()1x a f x x +=+是奇函数. （1）求函数()f x 的解析式;（2）判断()f x 在),1(+∞上的单调性，并用定义加以证明.19.已知二次函数(),yf x x R =∈为偶函数，最小值为1，且图像过点(2,5). （1）求()f x 的解析式；（2）若2()(21)3,(3,1)g x f x x x =+-∈-，求()g x 的值域.20.讨论函数2()2(31)3f x ax a x =-++在]3,3[-上的单调性.。

梅州市高中期末考试试卷（2020.1）高一数学参考答案与评分意见二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 14. 15. 或(少一解扣2分)16. ①(3分); ②(2分)三、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)......................5分解：（1）.（结果为酌情给3分）(2)由，得. ......................6分又已知为第三象限角 ,所以，所以 , ......................7分所以 ......................8分......................10分18.(本小题满分12分)解:(1)函数是指数函数,得 ......................1分解得,或(舍去). ......................3分所以 ......................4分 (2)由题意得, ......................5分是奇函数. ......................6分......................7分......................8分所以是奇函数.(3),由得 ......................9分解得 ......................11分原不等式的解集为 ......................12分19.(本小题满分12分)解:(1)若//，则 ......................2分得 ......................3分......................5分∴.(2)......................6分......................7分......................9分......................10分......................11分的值域为 ......................12分20.(本小题满分12分)解：（1）月产量为台，则总成本为 ......................2分从而利润为......................6分（2）当时，..................8分所以当时，有最大值25000； ......................9分当时，是减函数， ......................10分所以................11分所以当时，有最大值25000.答：当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元.......12分21．(本小题满分12分)解：(1)由函数解析式其中则..........1分由的最小正周期为，可得 ...................2分且得 ......................3分为偶函数，定义域关于原点对称，令即 ...........4分......................5分......................6分......................7分(2)∴的单调增区间为..........8分∴.....................10分若在上是增函数，则为函数的增区间的子区间，......................11分得∴的最大值为61. ......................12分22.(本小题满分12分)解：(1)是偶函数，在上恒成立，.............1分即，所以,...........2分得,, . ......................3分.............4分(2)当时，,所以在上的最小值为，......................5分在上的的最小值为...................6分因为＜5，所以函数的最小值为．......................7分(3)因为函数是区间上的平均值函数，所以存在，使......................8分.而，即存在，使得...........9分.即关于的方程在内有解；..................10分由,得 .......................11分解得.所以,即,故的取值范围是......................12分.。

广东省梅州市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合则（）A . {1,2,3}B . {2,3,4}C . {2,3}D . {1,2,4}2. （2分）设a 、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题①若则②若, 则③若，则④若,则其中正确的命题的个数是（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个3. （2分）已知直线kx﹣y=k﹣1与ky﹣x=2k的交点在第二象限，则实数k的取值范围是（）A . （0，）B . （， 1）C . （0，1）D . [1]4. （2分） (2015高二上·城中期末) 如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A1CD，所成二面角A1﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A . ∠A1CB≥αB . ∠A1DB≤αC . ∠A1DB≥αD . ∠A1CB≤α5. （2分）直线与圆有两个不同交点,则m满足（）．A .B .C .D .6. （2分）已知，则的值是（）A . -2B . 2C .D .7. （2分） (2016高二上·蕲春期中) 已知直线l：x﹣ky﹣5=0与圆O：x2+y2=10交于A，B两点且=0，则k=（）A . 2B . ±2C . ±D .8. （2分） (2016高二上·郴州期中) 若函数f（x）= 是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（）A . （﹣∞，﹣1）B . （﹣1，0）C . （0，1）D . （1，+∞）9. （2分）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，三角形ABC是边长为1的正三角形，SC为球O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A .B .C .D .10. （2分）棱台上下底面面积分别为16和81，有一平行于底面的截面面积为36，则截面截的两棱台高的比为（）A . 1：1B . 1：2C . 2：3D . 3：411. （2分） (2016高三上·德州期中) 设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（x+4）=f （x），且当x∈[﹣2，0]时，，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（0＜a ＜1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）圆与圆的位置关系为（）A . 内切B . 相交C . 外切D . 相离二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·汕头月考) 求满足的的取值集合是________.14. （1分） (2016高二上·自贡期中) 过点（1，2）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程是________．15. （1分） (2019高一上·峨山期中) 设，则满足的x的值为________.16. （1分）关于x的方程有实根时，k的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2018·江苏) 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为 .（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线与椭圆C交于A、B两点.若的面积为，求直线的方程.18. （10分） (2016高一上·仁化期中) 对于函数f（x）=ax2+bx+（b﹣1）（a≠0）（1）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的零点；（2）若对任意实数b，函数恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围．19. （10分） (2019高二下·上海月考) 在四棱锥P–ABCD中，底面ABCD是边长为6的正方形，PD⊥平面ABCD，PD=8．（1）求PB与平面ABCD所成角的大小；（2）求异面直线PB与DC所成角的大小．20. （15分） (2016高一上·武邑期中) 已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若对任意m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0，都有．（1）用定义证明函数f（x）在定义域上是增函数；（2）若，求实数a的取值范围；（3）若不等式f（x）≤（1﹣2a）t+2对所有和x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]都恒成立，求实数t的取值范围．21. （5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是1，求直线DA1与AC间的距离．22. （10分） (2018高一下·桂林期中) 已知圆过圆与直线的交点，且圆上任意一点关于直线的对称点仍在圆上．（1）求圆的标准方程；（2）若圆与轴正半轴的交点为，直线与圆交于两点(异于点 )，且点满足 , ,求直线的方程．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。

广东省梅州市梅江区高一第一学期人教版数学单元测试题（二）（函数的概念和图象）班级：_________姓名：____________座号：____________评分：___________一、选择题：（本大题共10题，每小题4分，共40分,答案填在本题后面表格里） 1．下列四种说法正确的一个是A ．)(x f 表示的是含有x 的代数式B ．函数的值域也就是其定义中的数集BC ．函数是一种特殊的映射D ．映射是一种特殊的函数 2．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于 A ．q p + B ．q p 23+ C ．q p 32+ D ．23q p + 3．下列各组函数中，表示同一函数的是A ．xxy y ==,1 B ．1,112-=+⨯-=x y x x yC ．33,x y x y ==D ． 2)(|,|x y x y == 4．已知函数23212---=x x x y 的定义域为A ．]1,(-∞B ．]2,(-∞C ．]1,21()21,(-⋂--∞D ． ]1,21()21,(-⋃--∞5．函数px x x y +=||，R x ∈是A ．偶函数B ．奇函数C ．不具有奇偶函数D ．与p 有关6．下列图中，画在同一坐标系中，函数bx ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图象只可能是7．函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是 A ．]8,3[B ． ]2,7[--C ．]5,0[D ．]3,2[-8．函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则A ．21->k B ．21-<k C ．0>b D ．0>b 9．定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()1(x f x f -=+，且在区间]0,1[-上为递增，则A ．)2()2()3(f f f <<B ．)2()3()2(f f f <<C ．)2()2()3(f f f <<D ．)3()2()2(f f f << 10．已知)(x f 在实数集上是减函数，若0≤+b a ，则下列正确的是 A ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≤+ B ． )()()()(b f a f b f a f -+-≤+ C ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≥+ D ．)()()()(b f a f b f a f -+-≥+二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+=x x x f ，则当0<x ，=)(x f .12．若记号“*”表示的是2*ba b a +=，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个实数“a ，b ，c ”成立一个恒等式 .13．定义在R 上的函数)(x s （已知）可用)(),(x g x f 的=和来表示，且)(x f 为奇函 数，)(x g 为偶函数，则)(x f = .14．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满. 这样继续下去，建立所倒次数x 和酒精残留量y 之间的函数关系式 . 三、解答题：（本大题共6小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤）15．（6分）已知]3,1[,)2()(2-∈-=x x x f ，求函数)1(+x f 得单调递减区间.16．（6分）在同一坐标系中绘制函数x x y 22+=，||22x x y +=得图象17．（7分）已知8)(32005--+=xbax x x f ，10)2(=-f ，求)2(f .18．（7分）函数)(),(x g x f 在区间],[b a 上都有意义，且在此区间上①)(x f 为增函数，0)(>x f ； ②)(x g 为减函数，0)(<x g .判断)()(x g x f 在],[b a 的单调性，并给出证明.19．（7分）动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点出发顺次经过B、C、D再回到A；设x 表示P点的行程，y表示PA的长，求y关于x的函数解析式.20．（7分）已知函数)(x f ，)(x g 同时满足：)()()()()(y f x f y g x g y x g +=-；1)1(-=-f ，0)0(=f ，1)1(=f ，求)2(),1(),0(g g g 的值.广东省梅州市梅江区高一第一学期人教版数学单元测试题（二）参考答案二、填空题：（每小题4分，共16分）11．1---=x y ； 12．c b a c b a *+=+)()*(； 13．2)()(x s x s --；14．*,)2019(20N x y x ∈⨯= ；三、解答题：（共44分）15． 解： 函数12)1(]2)1[()1(222+-=-=-+=+x x x x x f ，]2,2[-∈x ，故函数的单调递减区间为]1,2[-.16．题示：对于第一个函数可以依据初中学习的知识借助顶点坐标，开口方向，与坐标轴交点坐标可得；第二个函数的图象，一种方法是将其化归成分段函数处理，另一种方法是该函数图象关于y 轴对称，先画好y 轴右边的图象. 17．解： 已知)(x f 中xb ax x -+32005为奇函数，即)(x g =xb ax x -+32005中)()(x g x g -=-，也即)2()2(g g -=-，108)2(8)2()2(=--=--=-g g f ，得18)2(-=g ，268)2()2(-=-=g f .18．解：减函数令b x x a ≤<≤21 ，则有0)()(21<-x f x f ，即可得)()(021x f x f <<；同理有0)()(21>-x g x g ，即可得0)()(12<<x f x f ； 从而有 )()()()(2211x g x f x g x f -)()()()()()()()(22212111x g x f x g x f x g x f x g x f -+-=)())()(())()()((221211x g x f x f x g x g x f -+-=*显然0))()()((211>-x g x g x f ，0)())()((221>-x g x f x f 从而*式0*>， 故函数)()(x g x f 为减函数.19．解：显然当P 在AB 上时，PA=x ；当P 在BC 上时，PA=2)1(1-+x ；当P 在CD 上时，PA=2)3(1x -+；当P 在DA 上时，PA=x -4，再写成分段函数的形式.20．解：令y x =得：)0()()(22g y g x f =+. 再令0=x ，即得1,0)0(=g . 若0)0(=g ，令1==y x 时，得0)1(=f 不合题意，故1)0(=g ；)1()1()1()1()11()0(f f g g g g +=-=，即1)1(12+=g ，所以0)1(=g ；那么0)1()0()1()0()10()1(=+=-=-f f g g g g ，1)1()1()1()1()]1(1[)2(-=-+-=--=f f g g g g .。

2023-2024学年广东省梅州市高一上册期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}2|1B x x =≤，则A B = （）A ．{}1,0,1-B ．{}2,1,0,1--C ．{}1,1-D ．{}0,1【正确答案】A【分析】解一元二次不等式可求出集合B ，再根据交集定义求解.【详解】因为{}{}2|1|11B x x x x =≤=-≤≤，所以A B = {}1,0,1-.故选：A.2．已知命题:R p x ∀∈，都有20x >，则命题p 的否定为（）A ．x ∀∈R ，都有20x ≤B ．0x ∃∈R ，使得020x <C ．0x ∃∈R ，使得020x ≤D ．0x ∃∈R ，使得020x >【正确答案】C【分析】根据全称命题的否定方法进行求解.【详解】因为命题:R p x ∀∈，都有20x >，所以命题p 的否定为0x ∃∈R ，使得020x ≤.故选：C.3．()cos 480-︒=（）A ．12-B ．C ．12D ．2【正确答案】A【分析】根据诱导公式求解即可.【详解】()()()1cos 480cos 480cos 480360cos1202-︒=︒=︒-︒=︒=-,故选：A4．已知函数()33f x x x =+-，则()f x 的零点存在于下列哪个区间内（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【正确答案】B【分析】利用零点存在性定理，结合函数的单调性即可求解.【详解】∵3()3f x x x =+-，∴(0)30,(1)10,(2)70,(3)270,(4)650f f f f f =-<=-<=>=>=>，∴(1)(2)0f f ⋅<，又3y x =与3y x =-在R 上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，∴函数()f x 的零点所在的一个区间为(1,2)．故选：B.5．已知π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 3α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A ．13-B ．13C ．D 【正确答案】B【分析】根据诱导公式求解即可.【详解】2ππππ1cos cos sin 32663ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B6．若 1.20.9a =，0.91.2b =， 1.2log 0.9c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c>>D ．c a b>>【正确答案】C【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.【详解】∵ 1.2000.90.91<<=，∴01a <<，∵0.901.2 1.21>=，∴1b >，∵ 1.2 1.2log 0.9log 10<=，∴0c <，∴b a c >>，故选：C.7．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成木，每条生产线生产的产品可获得的利润s （单位：万元）与生产线运转时间t （单位：年），*N t ∈，满足二次函数关系：223072s t t =-+-，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t 为（）年.A ．5B ．6C ．7D ．8【正确答案】B【分析】求出年平均利润函数，利用均值不等式求解即可.【详解】由题意，年平均利润为22307272()230t t s f t t t t t-===--++-，*N t ∈，因为0t >时，72224t t +≥=，当且仅当722t t =，即6t =时，等号成立，所以()24306f t ≤-+=，即当6t =时，年平均利润最大为6万元.故选：B8．函数()()y f x x =∈R 的图象如下图所示，函数()ln 0f x <的解集是（）A ．()(),02,3-∞⋃B ．()23,e e C ．()()23,1e ,e -∞⋃D ．()()230,1e ,e ⋃【正确答案】D【分析】根据图象求出ln x 的范围，然后可得答案.【详解】由图可知当ln 0x <或2ln 3x <<时，满足()ln 0f x <；由ln 0x <可得01x <<，由2ln 3x <<可得23e e x <<，综上()ln 0f x <的解集是()()230,1e ,e ⋃.故选：D.二、多选题9．设6log 3a =，6log 2b =，则下列结论正确的是（）A ．1a b +=B ．3log 2b a=-C ．61log 29a =-D ．26log 241b=+【正确答案】AC【分析】根据对数的运算法则及性质逐一判断各选项即可.【详解】已知6log 3a =，6log 2b =，对于A ，666log 2log 1g 36lo b a +=+==，故A 正确；对于B ，6636log 32log 2log log 23a b --=≠=，故B 错误；对于C ，6622lo 1g g 93lo a -==-，故C 正确；对于D ，66log 241log 412b =+=+，故D 错误；故选：AC.10．下列结论正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若22ac bc <，则a b <C ．若a b >，c d >，则a c b d +>+D ．若a b >，c d >，则ac bd>【正确答案】BC【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.【详解】A.取特殊值，1a =-，2b =-，显然不满足结论；B.由22ac bc <可知，20c >，由不等式性质可得a b <，结论正确；C.由同向不等式的性质知，a b >，c d >可推出a c b d +>+，结论正确；D.取3,0,1,2a b c d ===-=-，满足条件，显然ac bd >不成立，结论错误.故选：BC.11．下列结论中正确的是（）A ．若角α和角β关于y 轴对称，则必有()()21πZ k k βα=+-∈B ．若α是第二象限角，则2α是第一象限角C ．ππ|,Z 42k M x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，ππ|,Z 24m N y y m ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则M N ⊆D ．点()cos ,sin P αα，ππcos ,sin 33Q αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭之间的距离恒为1【正确答案】ACD【分析】结合三角函数的概念和象限角的定义，以及集合之间的关系和单位圆的性质，综合分析即可得出.【详解】对于选项A ，角α和角β关于y 轴对称，所以()2ππ(21)π,Z k k k αβ+=+=+∈，所以()()21πZ k k βα=+-∈，故A 正确.对于选项B ，因为α是第二象限角，例如：第二象限角11π4α=，则11π28α=在第三象限，故B 错误.对于选项C ，ππ|,Z 42k M x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，ππ(21)π,Z 424k k x k +=+=∈，ππ|,Z 24m N y y m ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，πππ2π(2)π,Z 2444m m m y m ++=+==∈，集合M 中21k +为奇数，集合N 中2m +为整数，所以M N ⊆，故C 正确.对于选项D ，因为点()cos ,sin P αα，所以点P 为单位圆上一点，设AOP α∠=，以O 为顶点，以OP 为始边，逆时针旋转π3，终边与单位圆交于点Q ，则ππcos ,sin 33Q αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为π3POQ ∠=，在单位圆中||||1OP OQ ==，所以OPQ △为等边三角形，故||1PQ =，故D 正确.故选：ACD12．已知()f x 是定义在{}|0x x ≠上的奇函数，当210x x >>时，()()1212120x x f x f x x x ⎡⎤-+->⎣⎦恒成立，则（）A ．()1y f x x=-在(),0∞-上单调递增B ．()y f x =在()0,∞+上单调递减C ．()()1236f f +->D ．()()1236f f -->【正确答案】BC【分析】由已知，结合题意给的不等关系，两边同除12x x 得到()()121211f x f x x x ->-，然后根据210x x >>，判断选项A ，由()()2211011f x f x x x ->->可判断选项B ，选项C 和选项D ，可利用前面得到的不等式，令12x =，23x =带入，然后借助()f x 是奇函数进行变换即可完成判断.【详解】由已知，210x x >>，()()1212120x x f x f x x x ⎡⎤-+->⎣⎦，所以()()2112011f x f x x x -+->，即()()121211f x f x x x ->-，所以()1y f x x=-在()0,∞+上单调递减，又()f x 是定义在{}|0x x ≠上的奇函数，所以()1y f x x=-在(),0∞-上单调递减，故A 错误；因为210x x >>，所以12110x x >>，所以()()2211011f x f x x x ->->，所以()y f x =在()0,∞+上单调递减，故B 正确；因为210x x >>时，()()121211f x f x x x ->-恒成立，所以令12x =，23x =代入上式得()()311232f f ->-，即()()32361112f f --=>，又因为()f x 是定义在{}0xx ≠∣上的奇函数，所以()()33f f =--，所以()()1236f f +->，故选项C 正确，选项D 错误.故选：BC.三、填空题13．已知3tan 2θ=，3ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos θ=______.【正确答案】13-##【分析】根据同角三角函数关系求解即可.【详解】因为33πtan ,π,22θθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以3sin cos ,sin 0,cos 02θθθ<θ<=，因为22sin cos 1θθ+=，所以229cos cos 14θθ+=，即24cos 13θ=，所以cos θ=，故答案为.14．已知函数()()222R f x x mx m x =-++∈，若()f x 有两个零点，且()f x 在[)1,+∞上单调递增，则实数m 的取值范围为______.【正确答案】(),1-∞-【分析】根据函数有两个零点得出m 的范围，再根据单调性求出范围，取交集可得答案.【详解】因为()f x 有两个零点，所以()24420m m -+>，解得m>2或1m <-；因为()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以1m £；综上可得实数m 的取值范围为(),1-∞-.故答案为.(),1-∞-15．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用80℃的开水泡制，再等茶水温度降至35℃时饮用，可以产生最佳口感.若茶水原来的温度是0T ℃，经过一定时间t min 后的温度T ℃，则可由公式()01t hT T T T e αα⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭求得，其中T α表示室温，h 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有一杯80℃的绿茶放在室温为20℃的房间中，已知茶温降到50℃需要10min.那么在20℃室温下，用80℃的开水刚泡好的茶水大约需要放置时间______min ，才能达到最佳饮用口感.【正确答案】20【分析】由80°C 的绿茶放在室温为20℃的房间中茶温降到50℃需要10min 代入公式得1021e 1h⎛⎫ ⎝=⎪⎭；茶温降到35℃需要t min 代入公式得41e 1th⎛⎫ ⎪=⎝⎭，观察101e h⎛⎫ ⎪⎝⎭与1e t h⎛⎫ ⎪⎝⎭为平方关系，可求得t .【详解】一杯80°C 的绿茶放在室温为20℃的房间中，如果茶温降到50℃需要10min ，那么：()10150208020e h⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭，所以1021e 1h⎛⎫ ⎝=⎪⎭一杯80°C 的绿茶放在室温为20℃的房间中，如果茶温降到35℃需要t min ，那么：()135208020e t h⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭，所以41e 1t h⎛⎫ ⎪=⎝⎭，所以111022111e e e t t hhh⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以20t =，故2016．已知0x >，0y >，若346x y xy ++=，则3x y +的最小值为______.【正确答案】3【分析】先移项，结合基本不等式把积化为和，可求答案【详解】因为0x >，0y >，346x y xy ++=，所以()463xy x y =-+，即()43633x y x y ⨯⋅=-+；因为24433332x y x y +⎛⎫⨯⋅≤ ⎪⎝⎭，当且仅当3x y =时取到等号，所以()()23633x y x y +≥-+，解得33x y +≥或36x y +≤-（舍）所以当31,22x y ==时，3x y +有最小值3.故3四、解答题17．已知全集R U =，集合{}|11A x m x m =-<<+，{}|4B x x =<.(1)当4m =时，求A B ⋃和()R A B ⋂ð；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1){}|5x x <，{}|45x x ≤<(2)3m ≤【分析】（1）根据集合并集、交集、补集运算求解即可；（2）根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可【详解】（1）当4m =时，集合{}||35A x x x =<<，因为{}|4B x x =<，所以{}R |4B x x =≥ð.所以{}|5A B x x =< ，{}R |45A B x x ⋂=≤<ð（2）因为“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，而A 不为空集，所以14m +≤，因此3m ≤.18．已知函数()1π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R .(1)求()f x 的最小正周期及单调增区间；(2)求()f x 在区间[]0,2π上的最大值和最小值.【正确答案】(1)4πT =；π54π,π4π33k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Zk ∈(2)最大值为2，最小值为【分析】（1）利用周期的公式求解，利用整体代入求解单调递增区间；（2）利用x 的范围求出1π23x -的范围，结合1πsin 23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的范围可得区间最值.【详解】（1）()f x 的最小正周期为2π4π12T ==.令π1ππ2π2π2232k x k -+≤-≤+，得π54ππ4π33k x k -+≤≤+，于是()f x 的单调增区间为π54π,π4π33k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.（2）因为[]0,2πx ∈，所以1ππ2π,2333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因此，()max π2sin22f x ==，()()min π02sin 3f x f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭即()f x 在区间[]0,2π上的最大值为2，最小值为19．已知二次函数()()20,,R f x ax bx c a b c =++≠∈满足条件：①()0f x >的解集为{}|13x x -<<；②()f x 的最大值为4.(1)求a ，b ，c 的值；(2)在区间[]1,1-上，二次函数()f x 的图象恒在一次函数4y x m =+图象的下方（无公共点），求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)1a =-，2b =，3c =(2)4m >【分析】（1）根据不等式解集的端点即为对应方程的根，得到根与系数的关系，再由最大值可得出,,a b c ；（2）转化为不等式恒成立，分离参数后，由二次函数求区间上的最大值即可得解.【详解】（1）因为不等式()0f x >的解集为{}|13x x -<<，所以1-，3是方程20ax bx c ++=的两根，所以132b a -+==-，133ca -⨯=-=，即23b ac a=-⎧⎨=-⎩，函数()2f x ax bx c =++的对称轴为1x =，且函数()2f x ax bx c =++在1x =处取得最大值4，即有44a b c a ++=-=，所以1a =-，因此1a =-，2b =，3c =.（2）依题意，()2234f x x x x m =-++<+在[]1,1-上恒成立，即有223x x m --+<在[]1,1x ∈-上恒成立，而()()222314g x x x x =--+=-++在[]1,1-上单调递减，所以()()max 14g x g =-=，因此4m >.20．已知函数()1xx f x b a a =⋅+（0a >且1a ≠）为定义在R 上的奇函数，且()312f =-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若实数t 满足()()2130f t f t --->，求实数t 的取值范围.【正确答案】(1)()122x x f x =-(2)()2-∞-【分析】（1）利用函数的奇偶性求解析式即可；（2）利用函数的单调性解不等式，求参数的范围.【详解】（1）函数()1xxf x b a a =⋅+为定义在R 上的奇函数，所以()010f b =+=，解得1b =-，又()1312f a a =-+=-，解得2a =，所以函数()f x 的解析式为.()122x x f x =-经检验，函数满足题设要求.（2）因为()()2130f t f t --->，所以()()213f t f t ->-，因为12x y =和2x y =-在R 上单调递减，所以()122x x f x =-在R 上单调递减，所以213t t -<-，解得.2t <-所以实数t 的取值范围.为.()2-∞-21．已知函数()9f x x a x=-+.(1)若0a =，求不等式()0f x ≥的解集；(2)若0<<3a ，求证：方程()3f x =只有一个实数解.【正确答案】(1)(](),30,-∞-+∞ (2)证明见解析【分析】（1）0a =时，去掉绝对值号转化为分段函数，分段求不等式的解即可；（2）问题转化为函数图象与直线3y =有且只有一个交点，去掉绝对值号转化为分段函数后，分别讨论(),0x ∈-∞和()0,x ∈+∞两种情况即可得证.【详解】（1）由0a =，则()9,099,0x x x f x x x x x x ⎧+>⎪⎪=+=⎨⎪-+<⎪⎩，①当0x >时，由基本不等式得：()960f x x x =+≥=>，当且仅当3x =时等号成立，因此不等式()0f x >在()0,∞+恒成立；②当0x <时，()0f x ≥，可得90x x-+≥，则290x -+≤，解得3x ≤-（注意到0x <），综上，可得(](),30,x ∈-∞-⋃+∞.（2）证明：原命题等价于函数()f x 的图象与直线3y =恰有一个交点.当0a >时，()[)()()9,,9,,00,x a x a x f x x a x a x ∞∞⎧+-∈+⎪⎪=⎨⎪-++∈-⋃⎪⎩，①在(),0x ∈-∞上，令93x a x-++=，整理可得()2390x a x +--=，()23360a ∆=-+>，且当0x =时，()23990x a x +--=-<，故函数()f x 与直线3y =在(),0x ∈-∞有且只有一个交点；②在()0,x ∈+∞上，因为0<<3a ，易知函数9y x a x =-++在()0,a 上单调递减，且函数9y x a x=+-在[),3a 上单调递减，在[)3,+∞上单调递增，因此在()0,∞+上，()()min 363f x f a ==->，（注意到0<<3a ），故函数()f x 的图象与直线3y =在()0,∞+无交点，综上，方程()3f x =只有一个实数解.22．洗衣服是人们日常生活中的一件极普通但又不可或缺的事.对于一件用洗衣粉已搓洗好而即将进入漂洗阶段的衣服，如果用定量的清水来漂洗它，问对清水分配使用的不同，对最终漂洗出来的衣服的干净程度有影响吗？为此，我们研究漂洗一块毛巾的情形，提出以下假设：①漂洗前和每一次漂洗拧干后，毛巾上总残留清水b 克；②每一次漂洗时，毛巾上残留的污物会均匀地溶解在漂洗和残留的清水里，污物则按浓度比例（注：浓度比例100%=⨯污物质量清水质量）随着拧走的水而去除，剩余污物留在残留的清水中；③符号假设：用来漂洗的清水总质量为M 克，漂洗之前毛巾上的初始污物质量为0w 克，现在，有以下两种方案：方案一：一次性用完全部的清水去漂洗毛巾；方案二：把清水均匀地分两次，对毛巾进行漂洗.(1)如果采用方案一，求漂洗拧干后的毛巾中污物剩余质量1m ；(2)如果采用方案二，设第一次漂冼之后毛巾上残留的污物质量为1w 克，第二次漂洗之后毛巾上残留的污物质量为2w 克，求两次漂洗后的毛巾中污物剩余质量；并对比哪种方案的效果好.【正确答案】(1)01w M b+(2)0112w w M b =+，02212w w M b =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，方案二的效果更好【分析】（1）依照方案一漂洗时加入清水M 克，此时0w 克污物均匀地溶解在M b +克清水里，取出毛巾拧“干”后，毛巾上残留的污物量1m 均匀地溶解在毛巾上残留的清水b 克里.得出01w m b b M=+，求出1m .（2）方案二，第一次漂洗，与问题一相同，有：012w w M b b =+，求出1w ，同理得出2w ，比较21,w m 的大小关系即可得出结果.【详解】（1）由假设知，第一次漂洗前，毛巾上有污物0w 克，残留的清水b 克.依照方案一漂洗时加入清水M 克，此时0w 克污物均匀地溶解在M b +克清水里，取出毛巾拧“干”后，毛巾上残留的污物量1m 均匀地溶解在毛巾上残留的清水b 克里.由于毛巾拧干前后污物的浓度相等，故拧干后毛巾上残留的污物量1m 与毛巾上残留的清水量b 之比，等于拧干前毛巾上残留的污物量0w 与清水量M b +之比，即：01w m b b M =+，从而011w m M b=+.（2）先采用方案二，第一次漂洗，与问题一相同，有：012w w M b b =+即：第一次漂洗之后剩余污物量0112w w M b=+，同理，在第二次漂洗拧干前，毛巾上残留的污物量1w 与清水量2M b +之比，等于在拧干之后毛巾上残留的污物量2y 与毛巾上残留的清水量b 之比，即212w w M b b =+，也即01221122w w w M M b b ==⎛⎫++ ⎪⎝⎭，然而2211122M M M M b b b b ⎛⎫⎛⎫+=++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此21w m <，即说明方案二的效果更好.。

广东省梅州市高一上学期数学第一学段考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·右玉期中) 如果P={x|x≤3}，那么（）A . ﹣1⊆PB . {﹣1}∈PC . ∅∈PD . {﹣1}⊆P2. （2分） (2019高一上·杭州期中) 函数的定义域是（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·鸡西模拟) 已知集合，，则（）A . [-1，1]B . [-3，1]C .D . [-1,1）4. （2分）设全集，则图中阴影部分表示的集合为（）A .B .C .D .5. （2分）已知函数y=使函数值为5的x的值是（）A . -2B . 2或﹣C . 2或﹣2D . 2或﹣2或﹣6. （2分）(2017·太原模拟) 函数f（x）= 的图象大致为（）A .B .C .D .7. （2分）定义域为R的函数，若关于x的方程有3个不同实数解，且，则下列说法错误的是（）A .B .C .D .8. （2分）设函数f（x）=loga|x﹣1|在（﹣∞，1）上单调递增，则f（a+2）与f（3）的大小关系是（）A . f（a+2）＞f（3）B . f（a+2）＜f（3）C . f（a+2）=f（3）D . 不能确定9. （2分） (2016高一下·枣强期中) 不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A . 10B . ﹣10C . 14D . ﹣1410. （2分）函数图象上关于坐标原点O对称的点有n对，则n=（）A . 3B . 4C . 5D . 无数11. （2分） (2018高二上·阳高期末) 已知为双曲线的左右焦点，过的直线与圆相切于点，且，则直线的斜率是（）A .B .C .D .12. （2分）(2018·茂名模拟) 设函数在上为增函数，则下列结论一定正确的是（）A . 在上为减函数B . 在上为增函数C . 在上为增函数D . 在上为减函数二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分）已知函数f（x）=,则f[f（-2）]=________ ，f（x）的最小值是________.14. （1分）设全集U={x|x＜8，且x∈N}，A={x|（x﹣1）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣7）=0}，则∁UA=________．15. （1分）设全集U=R．若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x＜3}，则A∩（CUB）=________16. （1分） (2017高一上·东城期末) 已知函数若存在x1 ，x2∈R，x1≠x2 ，使f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分） (2017高一上·威海期末) 已知函数的定义域为集合A，函数g（x）=lg （x2﹣2x+a）的定义域为集合B．（Ⅰ）当a=﹣8时，求A∩B；（Ⅱ）若A∩∁RB={x|﹣1＜x≤3}，求a的值．18. （5分）已知定义在R上函数f（x）为奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，对于任意x∈R．求实数m 范围，使f（cos2θ﹣3）+f（4m﹣2mcosθ）＞0恒成立．19. （5分）设全集为R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}，1）求：A∪B，∁R（A∩B）；2）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．20. （5分）已知函数f（x）=（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；（2）若y=f（x）是定义域为R的奇函数，求y=f（x）的解析式；（3）若y=f（x）的定义域为R，判断其在R上的单调性并加以证明．21. （10分） (2019高一上·大庆期中) 已知二次函数的最小值为，且 .（1）若在区间上不单调，求a的取值范围；（2）求在区间上的值域.22. （15分）(2018·长宁模拟) 已知函数．（1）求证：函数是偶函数；（2）设，求关于的函数在时的值域的表达式；（3）若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。

梅县高级中学届高一数学第一次月考试题一、选择题：〔本大题共10小题，每题5分，共50分〕 1、以下四个关系式中，正确的选项是〔 〕〔A 〕{}a ∈φ 〔B 〕 {}a a ∉ 〔C 〕{}{}b a a ,∈ 〔D 〕{}b a a ,∈ 2、集合{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，那么U C A =〔 〕〔A 〕{}1,3〔B 〕{}3,9 〔C 〕{}3,5,9〔D 〕{}3,7,93、如以以以下图所示，阴影局部表示的集合是〔 〕A.A B C U )(B.B A C U )(C.)(B A C UD.)(B A C U4、 某同学从家里到，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是〔 〕A. B. C. D.5、集合{}22≤≤-=x x M ，{}20≤≤=y y N ，给出以下四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是〔 〕〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕6、以下函数在区间〔0，+∞〕上是减少的是 〔 〕〔A 〕y =x +4 〔B 〕2x y = 〔C 〕y =x1〔D 〕y =|x | 7、()f x 在定义域()0,+∞上单调递增,那么不等式()()82f x f x >-⎡⎤⎣⎦的解集是〔 〕(A)(0 ,+∞) (B)(0 , 2) (C) (2 ,+∞) (D) (2 ,716) 8、设集合A={a ，b ，c}，B={0，1}。

那么从A 到B 的映射共有〔 〕个。

x y0 -2 2 x y 0 -2 2 2 x y 0 -2 2 2 x y 0 -2 22O d t O d t Odt Od tA ．5；B ．6；C ．7；D ．8。

9、函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时()1f x x =-+，那么当0x <时，()f x 的表达式为 ( )A ．()1f x x =-+B ．()1f x x =--C ．()1f x x =+D ．()1f x x =-10、假设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上是减函数，且(2)0f =，那么使得()0f x <的x 的取值范围是( )A 、(,2)-∞；B 、(2,)+∞；C 、〔-2，2〕；D 、(,2)(2,)-∞-+∞二、填空题：〔本大题共4小题，每题5分，共计20分〕11、集合{}1,0A =-，集合{}0,1,2B x =+, 且A B ⊆，那么实数x 的值为 12、函数x x y 3112-++=的定义域是13、f 〔x 〕=⎪⎩⎪⎨⎧<=>+)0(0)0()0(1x x x x π，那么f [f 〔－2〕]＝________________ 14、、对于定义在R 上的函数)(x f ，有关以下命题：①假设)(x f 满足)1()2(f f >，那么)(x f 在R 上不是减函数； ②假设)(x f 满足)2()2(f f =-，那么函数)(x f 不是奇函数；③假设)(x f 满足在区间〔－∞，0〕上是减函数，在区间〔0，＋∞〕也是减函数，那么)(x f 在R 上也是减函数；④假设)(x f 满足)2()2(f f ≠-，那么函数)(x f 不是偶函数。

广东省梅州市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分）如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A . ①是棱台B . ②是圆台C . ③是棱锥D . ④不是棱柱2. （2分） (2015高二上·安阳期末) 设全集U=R，，则右图中阴影部分表示的集合为（）.A .B .C .D .3. （2分） (2018高二上·巴彦月考) 直线x=1的倾斜角和斜率分别是（）A .B .C . ，不存在D . ，不存在4. （2分）(2016·桂林模拟) 已知两点O（0，0），A（1，0），直线l：x-2y+1=0，P为直线l上一点.则|PO|+|PA|最小值为（）A .B .C .D .5. （2分）设，，则（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高一上·镇原期末) 平行于同一平面的两条直线的位置关系是（）A . 平行B . 相交或异面C . 平行或相交D . 平行、相交或异面7. （2分） (2019高二上·余姚期中) 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．其中正确的个数为（）个A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分）已知圆O:x2+y2=r2 ，点是圆O内的一点，过点P的圆O的最短弦在直线l1上，直线l2的方程为bx-ay=r2 ，那么（）A . 且与圆O相交B . 且与圆O相切C . 且与圆O相离D . 且与圆O相离9. （2分）圆O的方程为，圆M方程为， P为圆M上任一点，过P作圆O 的切线PA，若PA与圆M的另一个交点为Q，当弦PQ的长度最大时，切线PA的斜率是（）A . 7或1B . -7或1C . -7或－1D . 7或－110. （2分） (2017高三上·红桥期末) 若a、b为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则直线a⊥平面α的一个充分不必要条件是（）A . a∥β且α⊥βB . a⊂β且α⊥βC . a⊥b且b∥αD . a⊥β且α∥β11. （2分） (2016高二下·芒市期中) 已知点A（﹣3，5，2），则点A关于yOz面对称的点的坐标为（）A . （3，5，2）B . （3，﹣5，2）C . （3，﹣5，﹣2）D . （﹣3，﹣5，﹣2）12. （2分）火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星的（）A . 4倍B . 8倍C . 倍D . 倍13. （2分） (2020高一上·大庆期末) 若函数为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f(﹣3)＝0，则的解集为（）A . (－3,3)B . (－∞，－3)∪(3，＋∞)C . (－3,0)∪(3，＋∞)D . (－∞，－3)∪(0,3)．14. （2分） (2020高一上·林芝期末) 直线的倾斜角是（）．A .B .C .D .15. （2分）(2017·福州模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥最长棱的棱长为（）A . 3B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分） (2017高一下·石家庄期末) 已知直线l的斜率为2，且在y轴上的截距为1，则直线l的方程为________．17. （1分）圆心是(－3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为________ .18. （1分） (2017高二下·溧水期末) 若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=________．19. （1分）有下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l ， m是异面直线，l∥α ，m∥β ，则α∥β.其中错误命题的序号为________．20. （1分）已知点，点，那么两点间的距离为________.三、解答题 (共5题；共24分)21. （2分）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证：（1） E、C、D1、F、四点共面；（2） CE、D1F、DA三线共点．22. （10分） P（x，y）满足x2+y2﹣4y+1=0，则（1） x+y最大值？（2）取值范围？（3） x2﹣2x+y2+1的最值？23. （5分） (2016高二上·云龙期中) 在平面直角坐标系xOy中，直线3x﹣y+ =0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于点D、E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M、P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．24. （2分）(2017·东城模拟) 如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AP⊥BP，AC⊥BC，∠PAB=60°，∠ABC=45°，D是AB中点，E，F分别为PD，PC的中点．（Ⅰ）求证：AE⊥平面PCD；（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值；（Ⅲ）在棱PB上是否存在点M，使得CM∥平面AEF？若存在，求的值；若不存在，说明理由．25. （5分） (2017高一上·福州期末) 已知圆心为C的圆经过O（0，0））和A（4，0）两点，线段OA的垂直平分线和圆C交于M，N两点，且|MN|=2（1）求圆C的方程（2）设点P在圆C上，试问使△POA的面积等于2的点P共有几个？证明你的结论．参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分)16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共24分) 21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、23-3、25-1、25-2、。

广东省梅州市2024届高一上数学期末学业水平测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知1? 2?sin α + α = 4? 5?，则sin 43πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A. C.- 4? 5? D. 4? 5?2．设0a >且1a ≠，若log sin 2a x x >对(0,)4x π∈恒成立，则a 的取值范围是（） A.(0,)4π B.(0,]4π C.[,1)4πD.(,1)(1,)42ππ⋃3．已知角α的终边上一点(P x ，且cos 4α=，则x =（）C. D.4．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且(2)3f -=，则满足(23)3f x -<的x 的取值范围是（） A.15,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C.31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭5．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是A.y =B.3x y =C.lg y x =D.13y x =6．函数(01)||x xa y a x =<<的图像的大致形状是（ ） A. B.C. D.7．已知两点()()4,8,2,4A B -，点C 在直线1y x =+上，则AC BC +的最小值为（）A.13B.9 74 D.108．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且//,m nαβ，则下列说法正确的是（） A.若m n ⊥，则αβ⊥B.若m n ⊥，则//αβC.若//m n ，则//αβD.若//m n ，则αβ⊥ 9．曲线sin (0,0)y A x a A ωω=+>>在区间2π0,ω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上截直线2y =及1y =-所得的弦长相等且不为0，则下列对A ，a 的描述正确的是 A.12a =，32A > B.12a =，32A ≤ C.1a =，1A ≥ D.1a =，1A ≤10．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比S N从1000提升至8000，则C 大约增加了(lg 20.3010≈)（） A.10% B.30%C.60%D.90% 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

梅州市高中期末考试试卷（2024.1）高一数学（答案在最后）注意事项：本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、班级、考生号、姓名和座号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合{}{}23,10A x xB x x=-<≤=-≥，则()A B⋂=Rð（）A.(]1,3B.[]1,3C.(]2,1-D.()2,1-2.22πsin3⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A.2B.2C.12D.12-3.寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步.刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着.不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会.而乌龟呢，它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了.下图“路程s一时间t”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（）A. B.C. D.4.下列命题中，真命题的是（）A.2R,20x x x ∀∈+≥B.32,x x x ∀∈>R C.0x ∃∈R ，使得05sin 4x =-D.0x ∃∈R ，使得0023x x >5.设计如图所示的四个电路图，条件p ：“灯泡L 亮”；条件q ：“开关S 闭合”，则p 是q 的必要不充分条件的电路图是（）A. B.C. D.6.若23log 3,log ,ln3e a b c ===，则（）A.a c b >>B.b a c >>C.a b c>> D.c a b>>7.已知函数π()2sin(2)6f x x =+，若方程()f x =在区间[]0,β内恰有两个实数根，则β的取值范围为（）A.7π3π[,)124 B.7π5π[,)124C.3π5π[,)44D.3π19π[,)4128.已知()f x 是定义在R 上且不恒为零的函数，对于任意实数,a b 满足()()()=+f ab af b bf a ，若()32f =，则()113f f ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭（）A.79-B.79C.29 D.29-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数是偶函数的是（）A.()33xxf x -=+ B.()f x x x =C.()sin2f x x= D.()11f x x x =-++10.已知不等式20ax bx c ++>的解集为()2,1-，则下列结论正确的是（）A.a<0B.0b < C.0c > D.<0a b c -+11.下列关于函数()()2ln f x x x =-的说法中，正确的有（）A.函数()f x 的图像是轴对称图形B.函数()f x 的图像是中心对称图形C.函数()f x 的值域为RD.函数()f x 的单调递增区间是()1,+∞12.设集合A 是实数集R 的子集，如果R a ∈满足：0,x A ε∀>∃∈，使得0x a ε<-<，则称a 为集合A 的一个聚点.在下列集合中，以0为一个聚点的集合有（）A.Z,01n n n n ⎧⎫∈≥⎨⎬+⎩⎭B.1Z,0n n n ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭C .1Z,03n n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫∈≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭D.1{(1|Z,0}nn n n+∈>三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在直径为6的圆中，25弧度的圆心角所对的弧长为_____________.14.已知函数()23log ,14,1xx x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则()2f a =，则=a _____________.15.已知幂函数()af x x =的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，若()()213f m f +<，则m 的取值范围是_____________.16.若0,0a b >>，则22min ,4b a a b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的最大值是_____________.（注：{}min ,x y 表示{},x y 中的较小值）四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{}{}210,20A x ax B x x x b =-==-+=.（1）若{}3A B ⋂=，求实数,a b 的值及集合,A B ；（2）若A ≠∅且A B B ⋃=，求实数a 和b 满足的关系式.18.已知1sin 3α=，且α是第二象限角.（1）求tan α的值；（2）求22cos cos sin sin 1αααα-+的值.19.已知二次函数()21,R f x x ax a =-+∈.（1）若2a =，求()f x 在[]1,2-上的值域；（2）求()f x 在[]1,2-上的最小值()g a .20.已知函数()()21R 21xf x x =-∈+.（1）判断函数()f x 在R 上的奇偶性，并证明之；（2）判断函数()f x 在R 上的单调性，并用定义法证明；（3）写出()f x 在R 上的值域（不用书写计算推导过程）.21.下表是我国1964年到1971年期间的人口数及增长情况：年份人口数（单位：亿）增长量（单位：亿）增长率19647.05--19657.250.200.02819667.450.200.02819677.640.190.02619687.850.210.02719698.080.230.02919708.300.220.02719718.520.220.027（1）根据上表，假设以1964年为起点，以1964年到1971年的人口平均增长率0.027d =作为恒定增长率，记()N t 为经过时间t 年后的人口数，请你建立我国的人口增长模型（即：人口数与时间之间的关系）；（2）对照你所建立的模型和马尔萨斯的人口指数增长模型：()()0e rtN t N =⋅，指出其中()0,N r 的值；（3）如果按照以上模型和数据，预测2025年我国的人口数（保留两位小数），并根据预测的数据，谈谈你对前面模型的理解或者有什么需要改进的方面.（参考数据：ln0.027 3.612,ln1.0270.027=-=；61621.027 5.08,1.027 5.22==）22.已知函数()()230,0m f x x x m x=+-≠>.（1）当2m =时，求()f x 的零点个数，并求出相应的零点；（2）讨论关于x 的方程()21xf m -=的解的个数.梅州市高中期末考试试卷（2024.1）高一数学注意事项：本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、班级、考生号、姓名和座号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合{}{}23,10A x x B x x =-<≤=-≥，则()A B ⋂=R ð（）A.(]1,3B.[]1,3 C.(]2,1- D.()2,1-【答案】D 【解析】【分析】先求出集合B 中元素范围，进而可求其补集，最后再求交集即可.【详解】因为{}{}101B x x x x =-≥=≥，所以{}1B x x =<R ð，又{}23A x x =-<≤，所以(){}R 21A B x x ⋂=-<<ð.故选：D.2.22πsin 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.2B.2C.12D.12-【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式变形计算即可.【详解】22π22π2πππsin sin 8πsin sin πsin 333332⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+==-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.3.寓言故事“龟兔赛跑”说的是：兔子和乌龟比赛跑步.刚开始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着.不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛太轻松了，就决定先睡一会.而乌龟呢，它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了.下图“路程s 一时间t ”的图像中，与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先确定兔子的图象，然后根据开始兔子快，乌龟慢，以及最终乌龟赢了即可得答案.【详解】由于兔子睡了一下，所以所有选项中S 有一段不发生变化的折线为兔子的“路程s 一时间t ”的图像一开始，兔子快，乌龟慢，排除选项C D ，最后乌龟赢了，即乌龟先到达终点，选项B 符合.故选：B.4.下列命题中，真命题的是（）A.2R,20x x x ∀∈+≥B.32,x x x ∀∈>R C.0x ∃∈R ，使得05sin 4x =- D.0x ∃∈R ，使得0023x x >【答案】D 【解析】【分析】通过举例来判断ABD ，利用三角函数的有界性判断C.【详解】对于A ：当=1x -时，221x x +=-，A 错误；对于B ：当=1x -时，32x x <，B 错误；对于C ：根据三角函数的有界性，sin 1x ≤，故不存在0x ，使05sin 4x =-，C 错误；对于D ：当=1x -时，1123-->，故0x ∃∈R ，使得0023x x >，D 正确.故选：D.5.设计如图所示的四个电路图，条件p ：“灯泡L 亮”；条件q ：“开关S 闭合”，则p 是q 的必要不充分条件的电路图是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据各电路的特点，判断两个命题之间的逻辑关系，即可判断出答案.【详解】对于A ，灯泡L 亮，可能是1S 闭合，不一定是S 闭合，当S 闭合时，必有灯泡L 亮，故p 是q 的必要不充分条件，A 正确；对于B ，由于S 和L 是串联关系，故灯泡L 亮，必有S 闭合，S 闭合，灯泡L 亮，即p 是q 的充要条件，B 错误；对于C ，灯泡L 亮，则开关1S 和S 必都闭合，当开关S 闭合1S 打开时，灯泡L 不亮，故p 是q 的充分不必要条件，C 错误；对于D ，灯泡L 亮，与开关S 闭合无关，故p 是q 的既不充分也不必要条件，D 错误，故选：A6.若23log 3,log ,ln3e a b c ===，则（）A.a c b >>B.b a c >>C.a b c >>D.c a b>>【答案】A【分析】利用对数的单调性及运算性质，通过与中间量1的大小比较确定答案.【详解】22log 321log a =>=，33e 31log log =b =<，ln3lne 1c =>=，23311ln3log 3log e log 2c ==<=，所以a c b >>.故选：A.7.已知函数π()2sin(2)6f x x =+，若方程()f x =在区间[]0,β内恰有两个实数根，则β的取值范围为（）A.7π3π[,)124 B.7π5π[,)124C.3π5π[,)44D.3π19π[,)412【答案】D 【解析】【分析】求出方程()f x =的由小到大排列的3个正根，再根据题意列出不等式即得.【详解】函数π()2sin(2)6f x x =+，由()f x =，得πsin(2)62x +=-，当0x ≥时，π4π263x +=或π5π263x +=或π10π263x +=，解得7π12x =或3π4x =或19π12x =，显然7π3π19π,,12412是方程()f x =的由小到大排列的3个正根，因为方程()f x =在区间[]0,β内恰有两个实数根，则有3π19π412β≤<，所以β的取值范围为3π19π[,)412.故选：D8.已知()f x 是定义在R 上且不恒为零的函数，对于任意实数,a b 满足()()()=+f ab af b bf a ，若()32f =，则()113f f ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭（）A.79-B.79C.29D.29-【解析】【分析】对于,a b 赋值，求出()0f ，()1f ，()1f -，13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，确定奇偶性，通过奇偶性可得答案.【详解】当0a b ==时，()00f =，当1a b ==时，()()121f f =，可得()10f =，当1a b ==-时，()()121f f =--，可得()10f -=，函数()f x 是定义在R 上且不恒为零的函数，令1,a b x =-=，可得()()()()1f x f x xf f x -=-+-=-，则函数()f x 是奇函数，令13,3a b ==，()()11133033f f f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,得1239f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以1239f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()12139f f ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.故选：29.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数是偶函数的是（）A.()33xxf x -=+ B.()f x x x =C.()sin2f x x = D.()11f x x x =-++【答案】AD 【解析】【分析】利用函数的奇偶性的定义逐一分析各选项即可得解.【详解】由题意，A 项，在()33xxf x -=+中，x ∈R ,()()33xx f x f x --=+=，为偶函数；B 项，在()f x x x =中，x ∈R ,()()f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数；C 项，在()sin2f x x =中，x ∈R ,()()()sin 2sin 2x f x x f x ==--=--，为奇函数；D 项，在()11f x x x =-++中，x ∈R ,()()1111f x x x x x f x -=--+-+=++-=，为偶函数；故选：AD.10.已知不等式20ax bx c ++>的解集为()2,1-，则下列结论正确的是（）A.a<0B.0b < C.0c > D.<0a b c -+【答案】ABC 【解析】【分析】根据二次不等式的解集与二次方程的根的关系列式求解.【详解】因为不等式20ax bx c ++>的解集为()2,1-，所以04200a a b c a b c <⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得02a b a c a <⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以0,0b c <>，选项ABC 正确；又()12,1-∈-，所以0a b c -+>，选项D 错误；故选：ABC.11.下列关于函数()()2ln f x x x =-的说法中，正确的有（）A.函数()f x 的图像是轴对称图形B.函数()f x 的图像是中心对称图形C.函数()f x 的值域为RD.函数()f x 的单调递增区间是()1,+∞【答案】ACD 【解析】【分析】对于AB ：先猜想函数()f x 的图像是轴对称图形，然后证明1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可；对于C ：根据2x x -的范围可判断；对于D ：利用复合函数的单调性规则来判断.【详解】对于AB ：函数()()2ln f x x x =-的定义域为()(),01,-∞⋃+∞，()()1ln2,2ln2f f -==，即()()12f f -=，猜测函数()f x 的图像是轴对称图形，证明：221111ln ln 2224f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎝⎝⎭⎭，221111ln ln 2224f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎝⎝⎭⎭，所有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()f x 的图像关于12x =对称，故A 正确，B 错误；对于C ：当()(),01,x ∞∞∈-⋃+时，20x x ->，则()()2ln f x x x =-的值域为R ，C 正确；对于D ：ln y t =在()0,∞+上单调递增，2t x x =-在()1,+∞上单调递增，所以函数()f x 的单调递增区间是()1,+∞，D 正确.故选：ACD.12.设集合A 是实数集R 的子集，如果R a ∈满足：0,x A ε∀>∃∈，使得0x a ε<-<，则称a 为集合A 的一个聚点.在下列集合中，以0为一个聚点的集合有（）A.Z,01n n n n ⎧⎫∈≥⎨⎬+⎩⎭B.1Z,0n n n ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭C.1Z,03nn n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫∈≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭D.1{(1|Z,0}nn n n+∈>【答案】BC 【解析】【分析】根据给出的聚点定义逐项进行判断即可得出答案．【详解】对于A ，集合{|Z,0}1n n n n ∈≥+中的元素除了第一项0之外，其余的都至少比0大12，则当102ε<<的时候，不存在满足得0||x ε<<的x ，0不是集合{|Z 0}1n n n n ∈≥+，的聚点，A 不是；对于B ，集合1{|Z,0}n n n ∈≠中的元素，对于任意的0ε>，取1n ε>，当1x n =时，10||x nε<=<，则0是集合1{|Z 0}n n n∈≠，的聚点，B 是；对于C ，Z,0n n ∀∈≥，10(13n <≤，对于任意的0ε>，由1()3n ε<，得13log n ε>，于是对于任意的0ε>，取13log n ε>，当13nx ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，(01|3|)n x ε<=<，则0是集合}{1(),|Z 03nn n ∈≥的聚点，C 是；对于D ，Z,0n n ∀∈>，1(1)1nn+>，因此当01ε<<时，不存在满足0||x ε<<的x ，则0不是集合1{(1|Z,0}nn n n+∈>的聚点，D 不是.故选：BC【点睛】思路点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质结合，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在直径为6的圆中，25弧度的圆心角所对的弧长为_____________.【答案】65##1.2【解析】【分析】根据弧长公式求解即可.【详解】弧长为626255⨯=.故答案为：65.14.已知函数()23log ,14,1xx x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则()2f a =，则=a _____________.【答案】2或12【解析】【分析】分1a ≥和1a <两种情况代入解方程即可.【详解】因为()2f a =，当1a ≥时，223log a -=，解得2a =，当1a <时，42a =，解得12a =.综合得2a =或12a =.故答案为：2或1215.已知幂函数()af x x =的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，若()()213f m f +<，则m 的取值范围是_____________.【答案】()(),21,-∞-+∞ 【解析】【分析】先求a 的值，再利用()af x x =奇偶性与单调性即可求解m 取值范围.【详解】由幂函数()af x x =的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭得124a=，解得2a =-，则()221f x x x -==，定义域为()(),00,∞-+∞U .由()()()21x f f x x =-=-可得()f x 为偶函数，又幂函数的单调性可知，函数()21f x x=在()0,∞+上单调递减.于是()()213f m f +<等价于213m +>，解得2m <-或1m >.所以m 的取值范围是()(),21,-∞-+∞ .故答案为：()(),21,-∞-+∞ .16.若0,0a b >>，则22min ,4b a a b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的最大值是_____________.（注：{}min ,x y 表示{},x y 中的较小值）【答案】12##0.5【解析】【分析】根据给定条件，借助基本不等式求出224aba b +的最大值即得.【详解】令22min{,}4bh a a b =+，0,0a b >>，于是0h a<≤，2204b h a b <≤+，则2224ab h a b ≤+，当且仅当224b a a b =+时取等号，而2211444ab a b a b b a =≤=++，当且仅当4a b b a =，即2a b =时取等号，因此当224b a a b =+，且2a b =，即11,24a b ==时，max 12h =，所以22min{,}4b a a b+的最大值为12.故答案为：12【点睛】思路点睛：令22min{,}4bh a a b=+，由此建立不等式，再利用不等式性质变形，借助基本不等式求解.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{}{}210,20A x ax B x x x b =-==-+=.（1）若{}3A B ⋂=，求实数,a b 的值及集合,A B ；（2）若A ≠∅且A B B ⋃=，求实数a 和b 满足的关系式.【答案】（1）1,33a b ==-，{}{}3,1,3A B ==-（2）212b a a=-+【解析】【分析】（1）直接将3x =代入集合,A B 计算即可；（2）求出集合A 中元素，代入集合B 计算即可.【小问1详解】若{}3⋂=A B ，则{}{}2310,320x ax x x x b ∈-=∈-+=，所以310,960a b -=-+=，解得1,33a b ==-，所以{}{}{}{}2110103,2301,33A x ax x x B x x x ⎧⎫=-==-===--==-⎨⎬⎩⎭，综上：1,33a b ==-，{}{}3,1,3A B ==-；【小问2详解】若A ≠∅，则0a ≠，此时{}110A x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，又A B B ⋃=，所以A B ⊆，即{}2120x x x b a∈-+=，所以2120440b a a b ⎧-+=⎪⎨⎪∆=-≥⎩，所以实数a 和b 满足的关系式为212b a a=-+.18.已知1sin 3α=，且α是第二象限角.（1）求tan α的值；（2）求22cos cos sin sin 1αααα-+的值.【答案】（1）4-（2）4255+【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系计算即可；（2）先将分式变形为关于弦的二次齐次式，然后通过分子分母同时除以2cos α转化为用tan α表示的式子，然后代入tan α的值计算即可.【小问1详解】1sin 3α= ，且α是第二象限角，cos 3α∴=-，sin tan cos 4ααα∴==-；【小问2详解】222222221cos cos sin cos cos sin 1tan 44sin 12sin cos 2tan 1552214ααααααααααα+---====+++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.19.已知二次函数()21,R f x x ax a =-+∈.（1）若2a =，求()f x 在[]1,2-上的值域；（2）求()f x 在[]1,2-上的最小值()g a .【答案】19.[]0,420.()22,21,24452,4a a ag a a a a +≤-⎧⎪⎪=-+-<<⎨⎪-≥⎪⎩【解析】【分析】（1）先确定单调性，再根据单调性求值域；（2）分12a ≤-，122a -<<，22a≥讨论，确定单调性即可得最小值.【小问1详解】若2a =，则()221f x x x =-+，对称轴为1x =，所以函数()f x 在()1,1-上单调递减，在()1,2上单调递增，又()()()14,10,21f f f -===，所以()f x 在[]1,2-上的值域为[]0,4；【小问2详解】二次函数()21,R f x x ax a =-+∈，对称轴为2a x =，当12a≤-，即2a ≤-时，()f x 在[]1,2-上单调递增，()()min 12f x f a =-=+，当122a -<<，即24a -<<时，()f x 在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在,22a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()2min124a a f x f ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，当22a≥，即4a ≥时，()f x 在[]1,2-上单调递减，()()min 252f x f a ==-，综上：()22,21,24452,4a a ag a a a a +≤-⎧⎪⎪=-+-<<⎨⎪-≥⎪⎩.20.已知函数()()21R 21x f x x =-∈+.（1）判断函数()f x 在R 上的奇偶性，并证明之；（2）判断函数()f x 在R 上的单调性，并用定义法证明；（3）写出()f x 在R 上的值域（不用书写计算推导过程）.【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）单调递增函数，证明见解析（3）()1,1-【解析】【分析】（1）通过计算()()0f x f x -+=来证明；（2）任取12x x >，通过计算()()120f x f x ->来证明；（3）以20x >为基础可得函数值域.【小问1详解】函数()f x 在R 上是奇函数.证明：()()()22122222112202121212121x x x x x x xf x f x -+⎛⎫⨯-+=-+-=-+=-= ⎪+++++⎝⎭，即函数()f x 在R 上是奇函数；【小问2详解】函数()f x 在R 上的单调递增函数.证明：任取12x x >，则()()121212122221211121212121x x x x x x f x f x --⎛⎫-=---=- ⎪++++⎝⎭()()()()()()()()()12211212122121212122221212121x x x x x x x x x x -+--+-==++++，因为12x x >，所以1222x x >，即12220x x ->，又12210,210x x +>+>，所以()()120f x f x ->即函数()f x 在R 上的单调递增函数；【小问3详解】122202110120111212121x x x x x >⇒+>⇒<<⇒-<-<⇒-<-<+++，即()f x 在R 上的值域为()1,1-.21.下表是我国1964年到1971年期间的人口数及增长情况：年份人口数（单位：亿）增长量（单位：亿）增长率19647.05--19657.250.200.02819667.450.200.02819677.640.190.02619687.850.210.02719698.080.230.02919708.300.220.02719718.520.220.027（1）根据上表，假设以1964年为起点，以1964年到1971年的人口平均增长率0.027d =作为恒定增长率，记()N t 为经过时间t 年后的人口数，请你建立我国的人口增长模型（即：人口数与时间之间的关系）；（2）对照你所建立的模型和马尔萨斯的人口指数增长模型：()()0e rtN t N =⋅，指出其中()0,N r 的值；（3）如果按照以上模型和数据，预测2025年我国的人口数（保留两位小数），并根据预测的数据，谈谈你对前面模型的理解或者有什么需要改进的方面.（参考数据：ln0.027 3.612,ln1.0270.027=-=；61621.027 5.08,1.027 5.22==）【答案】（1）()7.05(10.027)t N t =⨯+；（2）(0)7.05N =，0.027r =；（3）35.81亿，理解见解析.【解析】【分析】（1）根据给定信息，结合平均增长率问题列式即得.（2）对照马尔萨斯的人口指数增长模型，求出()0,N r .（3）利用模型计算(61)N ，与实际人口数比对，即可回答问题.【小问1详解】假设以1964年为起点，以1964年到1971年的人口平均增长率0.027d =作为恒定增长率，建立我国的人口增长模型为:()7.05(10.027)t N t =⨯+.【小问2详解】对照马尔萨斯的人口指数增长模型,可得(0)7.05,e 1.027r N ==，从而ln1.0270.027r ==.【小问3详解】如果按照以上模型和数据，预测2025年我国的人口数：()61617.051.0277.05 5.0835.81N =⨯=⨯≈（亿），这个预测的数据远超于实际数据，其中原因主要是增长率恒定这个假设不成立，实际上人口增长率会受到环境和资源的影响，在一定的资源和环境之下，增长率会随着人口的增长而下降，不会保持恒定不变.22.已知函数()()230,0m f x x x m x=+-≠>.（1）当2m =时，求()f x 的零点个数，并求出相应的零点；（2）讨论关于x 的方程()21xf m -=的解的个数.【答案】（1）1个零点，分别为1-（2）答案见解析【解析】【分析】（1）直接解方程即可；（2）将方程解的个数转化为2,3m y t y m t=+=+两个函数的交点个数，研究函数性质，画出函数图象，根据图象分情况讨论求交点个数即可.【小问1详解】当2m =时，()43,04343,0x x x f x x x x x x ⎧+->⎪⎪=+-=⎨⎪--<⎪⎩，当0x >时，令304x x+-=，无解，当0x <时，令430x x--=，解得=1x -或4x =（舍去），所以()f x 有1个零点，为1-；【小问2详解】令21,1x t t -=>-，且0t ≠则()23m f t t m t =+-=，即23m t m t+=+，则方程()21xf m -=的解的个数即为2,3m y t y m t =+=+两个函数的交点个数，设()222,0,10m t t m t h t t t m t t t ⎧+>⎪⎪=+=⎨⎪--<<⎪⎩，对于函数2,0m y t tt =+>，其在()0,m 上单调递减，在(),m +∞上单调递增，最小值2m ，对于函数2,0m y t tt =-<，其在(),0∞-上单调递增，且m 为其零点，根据以上函数性质画出函数22,0,0m t t t y m t t t ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩的图象如下：当221112m m m ----=>时，如图：函数()h t 与函数3y m =+，①212320m m m m m ⎧->⎪+<⎨⎪>⎩无交点，②212320m m m m m ⎧->⎪+=⎨⎪>⎩一个交点，③22122310m m m m m m ⎧->⎪<+≤-⎨⎪>⎩两个交点，④2212310m m m m m ⎧->⎪+>-⎨⎪>⎩3个交点，解得①3m >，②3m =，③11732m +≤<，④117122m +<<当221112m m m ----=<时，如图：函数()h t 与函数3y m =+，①212310m m m m ⎧-<⎪+≤-⎨⎪>⎩无交点，②2121320m m m m m ⎧-<⎪-<+<⎨⎪>⎩一个交点，③212320m m m m m ⎧-<⎪+=⎨⎪>⎩两个交点，④212320m m m m m ⎧-<⎪+>⎨⎪>⎩3个交点，解得①②③无解，④012m <<当221112m m m ----==，即12m =3422222m m +=+>=+，有3个交点，综上所述：当3m >时，方程无解；当3m =时，方程一个解；当11732m +≤<时，方程两个解；当102m +<<时，方程3个解.【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程根的个数转化为两个函数图象的交点个数，分析函数图象，注意分段函数定义域对函数图象的影响.。