第四讲 对数函数与指数函数经典难题复习巩固综述

高中数学第四章指数函数与对数函数重难点归纳单选题1、函数f(x)={a x ,(x <0)(a −2)x +3a,(x ≥0)，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0成立，则a 的取值范围是（ ）A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[13,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[13,2) 答案：C分析：根据条件可知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ⩽1，解出a 的范围即可．解：∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，∴f(x)在R 上是减函数，因为f(x)={a x ,(x <0)(a −2)x +3a,(x ≥0)∴{0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ⩽a 0，解得0<a ⩽13，∴a 的取值范围是(0,13]． 故选：C ．2、已知函数y =a x 、y =b x 、y =c x 、y =d x 的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．b +d >a +cB ．b +d <a +cC ．a +d >b +cD ．a +d <b +c 答案：B分析：如图，作出直线x =1,得到c >d >1>a >b ，即得解.如图，作出直线x=1,得到c>d>1>a>b，所以b+d<a+c.故选：B3、我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型c(t)=c0e−kt描述，假定某药物的消除速率常数k=0.1（单位：ℎ−1），刚注射这种新药后的初始血药含量c0=2000mg/L，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln2≈0.693,ln3≈1.099）A．5.32hB．6.23hC．6.93hD．7.52h答案：C分析：利用已知条件c(t)=c0e−kt=2000e−0.1t，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L时需要的时间为t1，转化求解即可.解：由题意得：c(t)=c0e−kt=2000e−0.1t设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L需要的时间为t1c(t1)=2000e−0.1t1≥1000e−0.1t1≥1 2故−0.1t≥−ln2，t≤ln20.1≈6.93故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93ℎ4、函数y =log 2(2x −x 2)的单调递减区间为（ ） A ．(1,2)B ．(1,2] C ．(0,1)D ．[0,1) 答案：A分析：先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果 由2x −x 2>0，得0<x <2， 令t =2x −x 2，则y =log 2t ，t =2x −x 2在(0,1)上递增，在(1,2)上递减， 因为y =log 2t 在定义域内为增函数，所以y =log 2(2x −x 2)的单调递减区间为(1,2)， 故选：A5、化简√−a 3·√a 6的结果为（ ） A ．−√a B ．−√−a C ．√−a D ．√a 答案：A分析：结合指数幂的运算性质，可求出答案. 由题意，可知a ≥0，∴√−a 3·√a 6=(−a )13⋅a 16=−a 13⋅a 16=−a 13+16=−a 12=−√a .故选：A.6、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（ ） A ．25B ．5C ．259D ．53 答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 因为2a =5，b =log 83=13log 23，即23b =3，所以4a−3b =4a43b =(2a )2(23b )2=5232=259．7、中国茶文化博大精深，某同学在茶艺选修课中了解到，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤清澈明亮，营养也较少破坏.为了方便控制水温，该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ1℃，环境温度是θ0℃，则经过t分钟后物体的温度θ℃将满足θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中，12分钟以后温度下降到50℃.则在上述条件下，100℃的水应大约冷却( )分钟冲泡该绿茶(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1)A．3B．3.6C．4D．4.8答案：B分析：根据题意求出k的值，再将θ＝80℃，θ1＝100℃，θ0＝20℃代入θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt即可求得t的值.由题可知：50=20+(100−20)e−12k⇒(e−k)12=38⇒e−k=(38)112，冲泡绿茶时水温为80℃，故80=20+(100−20)⋅e−kt⇒(e−k)t=34⇒t⋅lne−k=ln34⇒t=ln 3 4ln(38)112=12(ln3−2ln2)ln3−3ln2≈12(1.1−2×0.7)1.1−3×0.7=3.6.故选：B.8、如图所示：曲线C1，C2，C3和C4分别是指数函数y=a x，y=b x,y=c x和y=d x的图象,则a，b，c，d与1的大小关系是（）A ．a <b <1<c <dB ．a <b <1<d <cC ．b <a <1<c <dD ．b <a <1<d <c 答案：D分析：先根据指数函数的单调性，确定a ，b ，c ，d 与1的关系，再由x =1时，函数值的大小判断. 因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数， 当底数小于1时，指数函数是定义域上的减函数， 所以c ，d 大于1，a ，b 小于1，由图知：c 1>d 1 ，即c >d ， b 1<a 1，即 b <a ， 所以b <a <1<d <c ， 故选：D 多选题9、若f (x )满足对定义域内任意的x 1,x 2，都有f (x 1)+f (x 2)=f (x 1⋅x 2)，则称f (x )为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（ ）A ．f (x )=2xB ．f (x )=(12)xC ．f (x )=log 12x D ．f (x )=log 3x答案：CD分析：利用“好函数”的定义，举例说明判断A ，B ；计算判断C ，D 作答.对于A ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=6，f (x 1⋅x 2)=4， 则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，A 不是；对于B ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=34，f (x 1⋅x 2)=14，则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，B 不是；对于C ，函数f (x )定义域{x|x >0}内任意的x 1,x 2，f (x 1)+f (x 2)=log 12x 1+log 12x 2=log 12(x 1x 2)=f (x 1⋅x 2)，C 是；对于D ，函数f (x )定义域{x|x >0}内任意的x 1,x 2，f (x 1)+f (x 2)=log 3x 1+log 3x 2=log 3(x 1x 2)=f (x 1⋅x 2)，D 是． 故选：CD10、下列函数中，有零点且能用二分法求零点的近似值的是（ ） A ．y =2x −3B ．y ={−x +1,x ≥0x +1,x <0C ．y =x 2−3x +3D ．y =|x −2| 答案：AB分析：根据二分法定义，只有零点两侧函数值异号才可用二分法求近似值． 对于选项A ，当x =1时，y =21−3=−1<0，当x =12时，y =212−3=1>0，所以能用二分法求零点的近似值．对于选项B ，当x =2时，y =−2+1=−1<0，当x =12时，y =−12+1=12>0，能用二分法求零点的近似值．对于选项C ，y =x 2−3x +3=(x −32)2+34>0，故不能用二分法求零点的近似值． 对于选项D ，y =|x −2|≥0，故不能用二分法求零点的近似值． 故选：AB ．11、某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，若使这种溶液的杂质含量达到市场要求，则过滤次数可以为（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10 答案：BCD分析：由2100×(23)n≤11000解不等式可得答案.设经过n 次过滤，这种溶液的杂质含量达到市场要求，则2100×(23)n≤11000， 即(23)n≤120，两边取对数，得nlg 23≤−lg20，即n (lg2−lg3)≤−(1+lg2)， 得n ≥1+lg2lg3−lg2≈7.4. 故选：BCD.12、下面几个结论正确的是（ ）A ．已知a =(√32)23，b =(45)13，c =ln3，则a <b <cB ．已知a =312，b =√63，c =log 47，则a <c <b C ．已知a =0.32，b =log 20.3，c =20.3，则b <c <a D ．已知log 12a >log 12b >0，则a b <a a <b a答案：AD 分析：对于A ，a =(√32)23=(34)13<(45)13<1，c =ln3>1，即可得到大小关系；对于B ，a 6=(312)6=27，b 6=(√63)6=36可得到a <b ，再选取中间量32，通过比较，得到最终结果；对于C ，b <0，a <1，c >1，可得到大小关系；对于D ，通过构造对数函数和幂函数，利用函数的单调性可得到最终结果.对于A ，a =(√32)23=(34)13<(45)13<1，c =ln3>1，所以a <b <c ；故A 正确；对于B ，a 6=(312)6=27，b 6=(√63)6=36>27∴a <b c =log 47，∵32=log 4432，∵(32)3=278,b 3=6>278∴b >32(432)2=64>72=49∴c <32，∴c <b ∵a >32∴c <a 最终为：c <a <b .故B 错误；对于C ，b =log 20.3<0，a =0.32=0.09<1，c =20.3>20=1∴b <a <c ；故C 错误； 对于D ，当log 12a >log 12b >0时，∵y =log 12x 在定义域内是减函数，故得到0<a <b <1，∵y =a x 是减函数，故得到a b <a a ，又因为y =x α在x >0时是增函数，故得到a a <b a ，故D 正确. 故选：AD.13、给定函数f (x )=2x x 2+1（ ）A ．f (x )的图像关于原点对称B ．f (x )的值域是[−1,1]C ．f (x )在区间[1,+∞)上是增函数D ．f (x )有三个零点 答案：AB分析：对于A ：由函数f (x )的定义域为R ，f (−x )=−f (x )，可判断； 对于B ：当x =0时，f (x )=0，当x ≠0时，f (x )=2x+1x，由x +1x ≥2或x +1x ≤−2，可判断；对于C ：由t =x +1x 在[1,+∞)单调递增可判断；对于D ：令f (x )=0，解方程可判断.解：对于A ：因为函数f (x )的定义域为R ，且f (−x )=2(−x )(−x )2+1=−2xx 2+1=−f (x )，所以函数f (x )是奇函数，所以f (x )的图像关于原点对称，故A 正确； 对于B ：当x =0时，f (x )=0， 当x ≠0时，f (x )=2x+1x，又x +1x≥2或x +1x≤−2，所以0<f (x )≤1或−1≤f (x )<0，综上得f (x )的值域为[−1,1]，故B 正确；对于C ：因为t =x +1x 在[1,+∞)单调递增，所以由B 选项解析得， f (x )在区间[1,+∞)上是减函数，故C 不正确；对于D ：令f (x )=0，即2xx 2+1=0，解得x =0，故D 不正确， 故选：AB. 填空题14、把满足log 23×log 34×⋅⋅⋅×log n+1(n +2)，n ∈N ∗为整数的n 叫作“贺数”，则在区间(1,50)内所有“贺数”的个数是______． 答案：4分析：利用换底公式计算可得log 23×log 34×⋅⋅⋅×log n+1(n +2)=log 2(n +2)，即可判断. 解：因为log 23×log 34×⋅⋅⋅×log n+1(n +2) =lg3lg2×lg4lg3×⋅⋅⋅×lg (n+2)lg (n+1)=lg (n+2)lg2=log 2(n +2)，又log 24=2，log 28=3，log 216=4，log 232=5，log 264=6，……， 所以当n +2=4，8，16，32时，log 2(n +2)为整数， 所以在区间(1,50)内“贺数”的个数是4． 所以答案是：415、函数f (x )=2√2−x+lg (x +3)的定义域为______．答案：(−3,2)分析：根据给定函数有意义列出不等式组，求解即可得原函数定义域. 函数f (x )=2√2−x lg (x +3)有意义，则有{2−x >0x +3>0，解得−3<x <2，所以函数f (x )的定义域为(−3,2). 所以答案是：(−3,2)16、已知125x =12.5y =1000，则y−x xy=________．答案：13分析：先把指数式化为对数式，再由换底公式化为同底数对数运算即可. 解：因为125x =12.5y =1000，所以x =log 1251000，y =log 12.51000，y−xxy =1x −1y =log 1000125−log 100012.5=log 100012512.5=log 100010=13．所以答案是：13.小提示：本题考查指对数互化公式、换底公式和对数运算，属于基础题. 解答题17、已知函数f(x)=log 2(2x +1). （1）求不等式f(x)>1的解集；（2）若函数g(x)=log 2(2x −1)(x >0)，若关于x 的方程g(x)=m +f(x)在[1,2]有解，求m 的取值范围. 答案：（1）{x |x >0}；（2）[log 213,log 235].分析：（1）由f(x)>1可得2x +1>2，从而可求出不等式的解集， （2）由g(x)=m +f(x)，得m =g (x )−f (x )=log 2(1−22x +1)，再由x ∈[1,2]可得log 2(1−22x +1)的范围，从而可求出m 的取值范围（1）原不等式可化为2x +1>2，即2x >1,∴x >0， 所以原不等式的解集为{x |x >0}（2）由g(x)=m +f(x)， ∴m =g (x )−f (x )=log 2(1−22x +1)，当1≤x ≤2时，25≤22x +1≤23，13≤1−22x +1≤35，m ∈[log 213，log 235]18、对于定义在区间[m,n ]上的两个函数f (x )和g (x )，如果对任意的x ∈[m,n ]，均有|f (x )−g (x )|≤1成立，则称函数f (x )与g (x )在[m,n ]上是“友好”的，否则称为“不友好”的．已知函数f (x )=log a (x −3a )，g (x )=log a1x−a(a >0,a ≠1)．(1)若f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上都有意义，求a 的取值范围； (2)讨论函数f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是否“友好”． 答案：(1)(0,1) (2)答案见解析分析：（1）由题意解不等式组{a +2−3a >0a +2−a >0即可；（2）假设存在实数a ，使得f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是“友好”的，即|f (x )−g (x )|=|log a (x 2−4ax +3a 2)|≤1，即−1≤log a (x 2−4ax +3a 2)≤1，只需求出函数y =log a (x 2−4ax +3a 2)在区间[a +2,a +3]上的最值，解不等式组即可． （1）若f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上都有意义，则必须满足{a +2−3a >0a +2−a >0，解得a <1，又a >0且a ≠1，所以a 的取值范围为(0,1)． （2）假设存在实数a ，使得f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是“友好”的，则|f (x )−g (x )|=|log a (x 2−4ax +3a 2)|≤1，即−1≤log a (x 2−4ax +3a 2)≤1，因为a ∈(0,1)，则2a ∈(0,2)，a +2>2，所以[a +2,a +3]在x =2a 的右侧，由复合函数的单调性可得y =log a (x 2−4ax +3a 2)在区间[a +2,a +3]上为减函数， 从而当x =a +2时，y max =log a (4−4a )，当x =a +3时，y min =log a (9−6a )，所以{log a(4−4a)≤1log a(9−6a)≥−10<a<1，即{4−4a≥a9a−6a2−1≤00<a<1，解得0<a≤9−√5712，所以当0<a≤9−√5712时，f(x)与g(x)在区间[a+2,a+3]上是“友好”的；当9−√5712<a<1时，f(x)与g(x)在区间[a+2,a+3]上是“不友好”的．。

高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结归纳完整版单选题1、青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足L =5+lgV ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（√1010≈1.259） A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.6 答案：C分析：根据L,V 关系，当L =4.9时，求出lgV ，再用指数表示V ，即可求解. 由L =5+lgV ，当L =4.9时，lgV =−0.1， 则V =10−0.1=10−110=√1010≈11.259≈0.8.故选：C.2、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（ ） A ．25B ．5C ．259D ．53 答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 因为2a=5，b =log 83=13log 23，即23b=3，所以4a−3b=4a 43b =(2a )2(23b )2=5232=259．故选：C.3、中国茶文化博大精深，某同学在茶艺选修课中了解到，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤清澈明亮，营养也较少破坏.为了方便控制水温，该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ1℃，环境温度是θ0℃，则经过t 分钟后物体的温度θ℃将满足θ=θ0+(θ1−θ0)e −kt ，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中，12分钟以后温度下降到50℃.则在上述条件下，100℃的水应大约冷却( )分钟冲泡该绿茶(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1) A ．3B ．3.6C ．4D ．4.8 答案：B分析：根据题意求出k的值，再将θ＝80℃，θ1＝100℃，θ0＝20℃代入θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt即可求得t的值.由题可知：50=20+(100−20)e−12k⇒(e−k)12=38⇒e−k=(38)112，冲泡绿茶时水温为80℃，故80=20+(100−20)⋅e−kt⇒(e−k)t=34⇒t⋅lne−k=ln34⇒t=ln 3 4ln(38)112=12(ln3−2ln2)ln3−3ln2≈12(1.1−2×0.7)1.1−3×0.7=3.6.故选：B.4、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I1I2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍.故选：B.5、中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+SN).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ）附：lg2≈0.3010A ．10%B ．20%C ．50%D ．100% 答案：B分析：根据题意，计算出log 24000log 21000的值即可；当SN=1000时，C =Wlog 21000，当SN=4000时，C =Wlog 24000，因为log 24000log 21000=lg4000lg1000=3+2lg23≈3.60203≈1.2所以将信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了20%，故选：B.小提示：本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用. 6、指数函数 y =a x 的图象经过点(3,18)，则a 的值是（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4 答案：B分析：将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得a 的值. 因为y =a x 的图象经过点(3,18)，所以a 3=18，解得a =12，故选：B.7、用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算f (0.64)<0，f (0.72)>0，f (0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（ ） A ．0.9B ．0.7C ．0.5D ．0.4 答案：B分析：利用二分法求函数零点的近似值的条件及方法分析判断即得.依题意，函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.7∈(0.68,0.72)，且满足|0.72-0.68|<0.1， 所以所求的符合条件的近似值为0.7.故选：B8、若ln2=a ，ln3=b ，则log 818=（ ） A ．a+3b a 3B ．a+2b 3aC ．a+2b a 3D ．a+3b 3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得. log 818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a 3a.故选：B 多选题9、（多选）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477） A ．6B ．9C ．8D ．7 答案：BC分析：因为每过滤一次杂质含量减少13,所以每过滤一次杂志剩余量为原来的23,由此列式可解得.设经过n 次过滤，产品达到市场要求，则 2100×(23)n⩽11000，即(23)n⩽120，由 nlg 23⩽−lg20，即 n(lg2−lg3)⩽−(1+lg2)，得 n ⩾1+lg2lg3−lg2≈7.4， 故选BC ．小提示：本题考查了指数不等式的解法,属于基础题. 10、已知a =log 3e,b =log 23，c =ln3，则（ ） A ．a <b <c B ．a <c <b C ．D ．a +c <b 答案：BC分析：由对数函数的单调性结合换底公式比较a,b,c 的大小，计算出a +c ，利用基本不等式得a +c >2，而b <2，从而可比较大小．a cb +>由题意可知，对于选项AB ，因为b =log 23=ln3ln2>ln3lne =ln3=c ，所以b >c ，又因为a =log 3e <log 33=1，且c =ln3>lne =1，所以，则b >c >a ，所以选项A 错误，选项B 正确；对于选项CD ，a +c =log 3e +ln3=lne ln3+ln3=1ln3+ln3>2√1ln3⋅ln3=2，且b =log 23<b =log 24=2，所以，故选项C 正确，选项D 错误； 故选：BC.小提示：关键点点睛：本题考查对数函数的单调性，利用单调性比较对数的大小，对于不同底的对数，可利用换底公式化为同底，再由用函数的单调性及不等式的性质比较大小，也可结合中间值如0或1或2等比较后得出结论．11、甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y （个）与加工时间x （分）之间的函数关系，A 点横坐标为12，B 点坐标为(20,0),C 点横坐标为128．则下面说法中正确的是（ ）A ．甲每分钟加工的零件数量是5个B ．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件C ．D 点的横坐标是200D ．y 的最大值是216 答案：ACD分析：甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A 正确；在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B 错误；设D 的坐标为(t,0)，由题得△AOB ∽△CBD ，则有1220=128−20t−20，解可得t =200，所以选项C 正确；当x =128时，y =216，所以y 的最大值是216.所以选项D 正确. 根据题意，甲一共加工的时间为(12−0)+(128−20)=120分钟，c a >a c b +>一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A正确，设D的坐标为(t,0)，在区间(128,t)和(12，20 )上，都是乙在加工，则直线AB和CD的斜率相等，则有∠ABO=∠CDB，在区间(20,128)和(0,12)上，甲乙同时加工，同理可得∠AOB=∠CBD，则△AOB∽△CBD，则有1220=128−20t−20，解可得t=200；即点D的坐标是(200,0)，所以选项C正确；由题得乙每分钟加工的零件数为600200=3个，所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B错误；当x=128时，y=(128−20)×2=216，所以y的最大值是216.所以选项D正确. 故选：ACD12、已知函数f(x)=a x(a>1)，g(x)=f(x)−f(−x)，若x1≠x2，则（）A．f(x1)f(x2)=f(x1+x2)B．f(x1)+f(x2)=f(x1x2)C．x1g(x1)+x2g(x2)>x1g(x2)+x2g(x1)D．g(x1+x22)⩽g(x1)+g(x2)2答案：AC分析：对选项A、B，利用指数幂的运算性质即可判断选项A正确，选项B错误；对选项C、利用g(x)=f(x)−f(−x)=a x−a−x(a>1)在R上单调递增即可判断，选项C正确；对选项D、根据f(x)=a x(a>1)，且x1≠x2，由凹凸性有f(x1+x22)<12[f(x1)+f(x2)]，又f(−x)=(1 a )x(a>1)，由凹凸性有f(−x1−x22)>12[f(−x1)+f(−x2)]即可判断选项D错误；解：对选项A：因为a x1⋅a x2=a x1+x2，所以f(x1)f(x2)=f(x1+x2)，故选项A正确；对选项B：因为a x1+a x2≠a x1x2，所以f(x1)+f(x2)≠f(x1x2)，故选项B错误；对选项C：由题意，因为a>1，所以g(x)=f(x)−f(−x)=a x−a−x在R上单调递增，不妨设x1>x2，则g(x1)>g(x2)，所以(x1−x2)g(x1)>(x1−x2)g(x2)，即x1g(x1)+x2g(x2)>x1g(x2)+ x2g(x1)，故选项C正确；对选项D：因为f(x)=a x(a>1)，且x1≠x2，所以由凹凸性有f(x1+x22)<12[f(x1)+f(x2)]，又f(−x)=(1a )x(a>1)，所以由凹凸性有f(−x1−x22)>12[f(−x1)+f(−x2)]，所以有f(x1+x22)+12[f(−x1)+f(−x2)]<f(−x1−x22)+12[f(x1)+f(x2)]，即f(x1+x22)−f(−x1−x22)<12[f(x1)+f(x2)]−12[f(−x1)+f(−x2)]，即g(x1+x22)<g(x1)+g(x2)2，故选项D错误；故选：AC.13、已知函数f(x)={lnx,x>0,−x2−4x,x≤0.关于x的方程f(x)−t=0的实数解个数，下列说法正确的是（）A．当t≤0时，方程有两个实数解B．当t>4时，方程无实数解C．当0<t<4时，方程有三个实数解D．当t=4时，方程有两个实数解答案：CD分析：方程f(x)−t=0即f(x)=t，作出函数f(x)的简图，数形结合可得结果.方程f(x)−t=0即f(x)=t，作出函数f(x)的简图，由图可知：当t<0时，函数y=f(x)的图象与直线y=t有2个交点，即方程f(x)−t=0有2个实数解；当t=0时，函数y=f(x)的图象与直线y=t有3个交点，即方程f(x)−t=0有3个实数解，故A错误；当t>4时，函数y=f(x)的图象与直线y=t有1个交点，即方程f(x)−t=0有1个实数解，故B错误；当0<t<4时，函数y=f(x)的图象与直线y=t有3个交点，即方程f(x)−t=0有3个实数解，故C正确；当t=4时，函数y=f(x)的图象与直线y=t有2个交点，即方程f(x)−t=0有2个实数解，故D正确.故选：CD.填空题14、已知函数f(x)=1+log a(x−1)(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，又点P的坐标满足方程mx+ny=1，则mn的最大值为_____．答案：18##0.125分析：根据对数型函数的过定点(2,1)，代入方程中可得2m+n=1，根据基本不等式即可求解.f(x)=1+log a(x−1)(a>0且a≠1)过定点(2,1)，所以P(2,1),所以2m+n=1故2m⋅n≤(2m+n2)2⇒m⋅n≤18，当且仅当m=14,n=12时等号成立.所以答案是：1815、已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=−e ax.若f(ln2)=8，则a=__________.答案：-3分析：当x>0时−x<0，f(x)=−f(−x)=e−ax代入条件即可得解.因为f(x)是奇函数，且当x>0时−x<0，f(x)=−f(−x)=e−ax．又因为ln2∈(0,1)，f(ln2)=8，所以e−aln2=8，两边取以e为底的对数得−aln2=3ln2，所以−a=3，即a=−3．小提示：本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．16、函数y=log12(3x−1)的单调递减区间为_____答案：(13,+∞)分析：根据复合函数单调性规律即可求解 函数y =log 12(3x −1)的定义域为(13,+∞)又y =log 12(3x −1)是由y =log 12u 与u =3x −1复合而成，因为外层函数y =log 12u 单调递减，所以求函数y =log 12(3x −1)的单调递减区间即是求内层函数u =3x −1的增区间，而内层函数u =3x −1在(13,+∞)上单调递增，所以函数y =log 12(3x −1)的减区间为(13,+∞)所以答案是：(13,+∞)解答题17、已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )=x 2+mx ，函数f (x )在y 轴左侧的图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )−a =0有4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． 答案：(1)f (x )={x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x >0(2)(−1,0)分析：（1）利用f (−2)=0可求x ≤0时f (x )的解析式，当x >0时，利用奇偶性f (x )=f (−x )可求得x >0时的f (x )的解析式，由此可得结果；（2）作出f (x )图象，将问题转化为f (x )与y =a 有4个交点，数形结合可得结果.（1）由图象知：f (−2)=0，即4−2m =0，解得：m =2，∴当x ≤0时，f (x )=x 2+2x ； 当x >0时，−x <0，∴f (−x )=(−x )2−2x =x 2−2x ，∵f (x )为R 上的偶函数，∴当x >0时，f (x )=f (−x )=x 2−2x ； 综上所述：f (x )={x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x >0；（2）∵f (x )为偶函数，∴f (x )图象关于y 轴对称，可得f (x )图象如下图所示，f (x )−a =0有4个不相等的实数根，等价于f (x )与y =a 有4个不同的交点， 由图象可知：−1<a <0，即实数a 的取值范围为(−1,0).18、吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x 万盒，需投入成本ℎ(x )万元，当产量小于或等于50万盒时ℎ(x )=180x +100；当产量大于50万盒时ℎ(x )=x 2+60x +3500，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式； (2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？ 答案：(1)y ={20x −300,0≤x ≤50−x 2+140x −3700,x >50,x ∈N(2)70万盒分析：（1）根据题意分0≤x ≤50和x >50两种情况求解即可； （2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.（1）当产量小于或等于50万盒时，y =200x −200−180x −100=20x −300， 当产量大于50万盒时，y =200x −200−x 2−60x −3500=−x 2+140x −3700， 故销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式为y={20x−300,0≤x≤50−x2+140x−3700,x>50,x∈N （2）当0≤x≤50时，y≤20×50−300=700；当x>50时，y=−x2+140x−3700，当x=1402=70时，y=−x2+140x−3700取到最大值，为1200．因为700<1200，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．。

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第四章指数函数与对数函数重难点归纳单选题1、若函数f(x)=x3+x2−2x−2的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3+x2−2x−2=0的一个近似根（精确度0.1）为（）．A．1.2B．1.4C．1.3D．1.5答案：B分析：根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.解：因为f(1)<0,f(1.5)>0，所以f(1)f(1.5)<0，所以函数在(1,1.5)内有零点，因为1.5−1=0.5>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.25)<0，所以f(1.25)f(1.5)<0，所以函数在(1.25,1.5)内有零点，因为1.5−1.25=0.25>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.375)<0，所以f(1.375)f(1.5)<0，所以函数在(1.375,1.5)内有零点，因为1.5−1.375=0.125>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.4375)>0，所以f(1.4375)f(1.375)<0，所以函数在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375−1.375= 0.0625<0.1，所以满足精确度0.1；所以方程x3+x2−2x−2=0的一个近似根（精确度0.05）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B .故选：B2、已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b答案：A分析：由题意可得a 、b 、c ∈(0,1)，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由b =log 85，得8b =5，结合55<84可得出b <45，由c =log 138，得13c =8，结合134<85，可得出c >45，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.由题意可知a 、b 、c ∈(0,1)，a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1(lg5)2⋅(lg3+lg82)2=(lg3+lg82lg5)2=(lg24lg25)2<1，∴a <b ；由b =log 85，得8b =5，由55<84，得85b <84，∴5b <4，可得b <45； 由c =log 138，得13c =8，由134<85，得134<135c ，∴5c >4，可得c >45.综上所述，a <b <c . 故选：A.小提示：本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.3、已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=log 2(x +2)+t ，f (−6)=（ ） A ．−2B ．2C ．−4D ．4 答案：A分析：因f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)=0，从而可求t ，再由奇函数的定义即可求出f (−6)的值. 解：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，又当x ≥0时，f(x)=log 2(x +2)+t ， ∴ f (0)=log 2(0+2)+t =0， ∴t =−1，∴当x ≥0时，f(x)=log 2(x +2)−1，∴f (−6)=−f (6)=−[log 2(6+2)−1]=−(log 223−1)=−2， 故选：A.4、已知函数f(x)=9+x 2x，g(x)=log 2x +a ，若存在x 1∈[3,4]，对任意x 2∈[4,8]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,134]B ．(134,+∞)C ．(0,134)D ．（1，4）答案：A分析：将问题化为在对应定义域内f(x 1)max ≥g(x 2)max ，结合对勾函数和对数函数性质求它们的最值，即可求参数范围.由题意知：f(x)在[3,4]上的最大值大于或等于g(x)在[4,8]上的最大值即可． 当x ∈[3,4]时，f(x)=9x +x ，由对勾函数的性质得：f(x)在[3,4]上单调递增，故f(x)max =f(4)=94+4=254．当x ∈[4,8]时，g(x)=log 2x +a 单调递增，则g(x)max =g(8)=log 28+a =3+a ， 所以254≥3+a ，可得a ≤134．故选：A5、已知y 1=(13)x，y 2=3x ，y 3=10−x ，y 4=10x ，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A分析：根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.y 2=3x 与y 4=10x是增函数，y 1=(13)x与y 3=10−x=(110)x是减函数，在第一象限内作直线x =1，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A ． 故选：A6、设a =30.7, b =(13)−0.8, c =log 0.70.8，则a,b,c 的大小关系为（ ）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b 答案：D分析：利用指数函数与对数函数的性质，即可得出a,b,c 的大小关系. 因为a =30.7>1， b =(13)−0.8=30.8>30.7=a ，c =log 0.70.8<log 0.70.7=1， 所以c <1<a <b . 故选：D.小提示：本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：y =a x ，当a >1时，函数递增；当0<a <1时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：y =log a x ，当a >1时，函数递增；当0<a <1时，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0或1等.7、若32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，则f (x )的另一个零点为（ ）A ．1B ．2C ．（1，0）D ．（2，0） 答案：A分析：由32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，可得a 值，再利用韦达定理列方程解出f (x )的另一个零点． 因为32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，所以f (32)=2×(32)2−a ×32+3=0，解得a =5．设另一个零点为x 0，则x 0+32=52，解得x 0=1，所以f (x )的另一个零点为1． 故选：A ．8、已知0<a <1,b <−1，则函数y =a x +b 的图像必定不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：A解析：根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项. 因为0<a <1，故y =a x 的图象经过第一象限和第二象限， 且当x 越来越大时，图象与x 轴无限接近.因为b <−1，故y =a x 的图象向下平移超过一个单位，故y =a x +b 的图象不过第一象限. 故选：A ．9、设函数f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|，则f （x ）（ ） A ．是偶函数，且在 (12，+∞)单调递增B ．是奇函数，且在 (−12，12)单调递增 C ．是偶函数，且在(−∞，−12)单调递增 D ．是奇函数，且在 (−∞，−12)单调递增分析：先求出f (x )的定义域结合奇偶函数的定义判断f (x )的奇偶性，设t ＝|2x+12x−1|，则y ＝ln t ，由复合函数的单调性判断f (x )的单调性，即可求出答案.解：由{2x +1≠02x −1≠0，得x ≠±12．又f （﹣x ）＝ln |﹣2x +1|﹣ln |﹣2x ﹣1|＝﹣（ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|）＝﹣f （x ）， ∴f （x ）为奇函数，由f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|＝ln |2x+12x−1|， ∵2x+12x−1=1+22x−1=1+1x−12．可得内层函数t ＝|2x+12x−1|的图象如图，在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减，在（−12，12）上单调递增， 又对数式y ＝lnt 是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f （x ）在（−12，12）上单调递增， 在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减． 故选：B ．10、设f(x)={e x−1,x <3log 3(x −2),x ≥3，则f(f (11))的值是（ ）A ．1B ．eC ．e 2D ．e −1分析：根据自变量的取值，代入分段函数解析式，运算即可得解. 由题意得f(11)=log 3(11−2)=log 39=2， 则f(f (11))=f (2)=e 2−1=e . 故选：B.小提示：本题考查了分段函数求值，考查了对数函数及指数函数求值，属于基础题. 填空题11、已知log a 13>1，则实数a 的取值范围为______．答案：(13,1).分析：分0<a <1和a >1两种情况求解即可.解：当0<a <1时，由log a13>1，可得log a13>log aa，解得13<a <1；当a >1时，log a 13>1，可得log a13>log aa，得a <13，不满足a >1，故无解.综上所述a 的取值范围为：(13,1). 所以答案是：(13,1).12、已知a ，b 为正数，化简√a 5b 2⋅(a 2b )−1⋅√b 3=_______．答案：a 12b 12分析：根据根式与分数指数幂的互化以及指数幂的运算公式即可求出结果.原式=a 52b 2⋅a −2b −1⋅b 32=a 12b 12． 所以答案是：a 12b 12．13、已知√(a −1)44+1=a ，化简(√a −1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=_________． 答案：a −1分析：根据已知条件判断a 的范围，再结合根式的运算性质，即可求得结果. 由已知√(a −1)44+1=a ，即|a −1|=a −1，即a ⩾1，所以(√a −1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=(a −1)+(a −1)+(1−a)=a −1， 所以答案是：a −1小提示：本题考查根式的运算性质，属简单题；注意公式的熟练应用即可. 14、函数f （x ）＝3x −3−x 3x +3−x+2，若有f （a ）＋f （a －2）＞4，则a 的取值范围是________.答案：（1，＋∞）分析：构造函数F （x ）＝f （x ）－2，则f （a ）＋f （a －2）＞4等价于F （a ）＋F （a －2）＞0，分析F(x)奇偶性和单调性即可求解.设F （x ）＝f （x ）－2，则F （x ）＝3x −3−x3x +3−x ，易知F （x ）是奇函数，F （x ）＝3x −3−x3x +3−x ＝32x −132x +1＝1－232x +1在R 上是增函数，由f （a ）＋f （a －2）＞4得F （a ）＋F （a －2）＞0， 于是可得F （a ）＞F （2－a ），即a ＞2－a ，解得a ＞1. （1，＋∞）15、已知函数f (x )={x 2+4x x ≥22|x−a | x <2 ，若对任意的x 1∈[2,+∞)，都存在唯一的x 2∈(−∞,2)，满足f (x 2)=f (x 1)，则实数a 的取值范围是______． 答案：0≤a <4分析：由题意可得函数f (x )在[2，＋∞）时的值域包含于函数f (x )在（−∞，2）时的值域，利用基本不等式先求出函数f (x )在x ∈[2，＋∞）时的值域，当x ∈（−∞，2）时，对a 分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出a 的取值范围． 解：设函数g (x )=x 2+4x , x ≥2的值域为A ，函数ℎ(x )=2|x−a | , x <2的值域为B ，因为对任意的x 1∈[2,+∞)，都存在唯一的x 2∈(−∞,2)，满足f (x 2)=f (x 1)， 则A ⊆B ，且B 中若有元素与A 中元素对应，则只有一个.当x1∈[2,+∞)时，g(x)=x2+4x =x+4x，因为x+4x ≥2√x⋅4x=4，当且仅当x=4x，即x=2时，等号成立，所以A=[4,+∞)，当x2∈(−∞,2)时，ℎ(x)=2|x−a| , x<2①当a≥2时，ℎ(x)=2a−x , x<2，此时B=(2a−2,+∞)，∴2a−2<4，解得2≤a<4，②当a<2时，ℎ(x)={2a−x,x<a2x−a,a≤x<2，此时ℎ(x)在(−∞,a)上是减函数，取值范围是(1,+∞)，ℎ(x)在[a,2)上是增函数，取值范围是[1,22−a)，∴22−a≤4，解得0≤a<2，综合得0≤a<4.所以答案是：0≤a<4小提示：关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想.解答题16、已知函数ℎ(x)=|log12x|.(1)求ℎ(x)在[12,a](a>12)上的最大值；(2)设函数f(x)的定义域为I，若存在区间A⊆I，满足:对任意x1∈A，都存在x2∈A(其中A表示A在I上的补集)使得f(x1)=f(x2)，则称区间A为f(x)的“Γ区间”.已知ℎ(x)=|log12x|(x∈[12,2])，若A=[12,a)为函数ℎ(x)的“Γ区间”，求a的最大值.答案：（1）答案见解析；（2）1.解析：（1）作出函数ℎ(x)=|log12x|的图象，分12<a≤2，a>2，利用数形结合法求解.(2)根据对任意x1∈A，都存在x2∈A使得f(x1)=f(x2)，分12<a≤1，1<a≤2，分别求得ℎ(x)在[12,a)和[a,2]上的值域，利用集合法求解.（1）函数ℎ(x)=|log12x|的图象如图所示：当12<a≤2时，ℎ(x)的最大值为ℎ(12)=1，当a>2时，ℎ(x)的最大值为ℎ(a)=−log12a.(2) 当12<a≤1时，ℎ(x)在[12,a)上的值域为(log12a,1]，ℎ(x)在[a,2]上的值域为[0,1]，因为满足:对任意x1∈A，都存在x2∈A使得f(x1)=f(x2)，所以(log12a,1)[0,1]，成立；此时A=[12,a)为函数ℎ(x)的“Γ区间”，当1<a≤2时，ℎ(x)在[12,a)上的值域为[0,1]，ℎ(x)在[a,2]上的值域为[−log12a,1]，当1≤x1<a时，ℎ(x1)<ℎ(a)=−log12a，所以∃x1∈[1,a)，ℎ(x1)∉[−log12a,1]，即存在x1∈A，对任意x2∈A使得f(x1)≠f(x2)，所以A=[12,a)不为函数ℎ(x)的“Γ区间”，所以a的最大值是1.小提示：方法点睛：双变量存在与恒成立问题：若∀x 1∈D 1,∀x 2∈D 2， f (x 1)>g (x 2)成立，则 f (x )min >g (x )max ；若∃x 1∈D 1,∃x 2∈D 2， f (x 1)>g (x 2)成立，则 f (x )max >g (x )min ；若∃x 1∈D 1,∀x 2∈D 2， f (x 1)>g (x 2)成立，则 f (x )max >g (x )max ；若∀x 1∈D 1,∃x 2∈D 2， f (x 1)>g (x 2)成立，则 f (x )miax >g (x )min ；若∀x 1∈D 1,∃x 2∈D 2， f (x 1)=g (x 2)成立，则 f (x )的值域是g (x )的子集；17、（1）计算：(279)12+(lg5)0+(2764)−13； （2）设4a =5b =100，求2(1a +2b )的值．答案：（1）4；（2）2．分析：（1）根据指数的运算性质直接计算即可；（2）通过换底公式可得1a=1log 4100=log 1004，1b =1log 5100=log 1005，进而可得解. （1）原式=(259)12+(lg5)0+[(34)3]−13=53+1+43=4． （2）∵4a =100， ∴a =log 4100．同理可得，b =log 5100，则1a =1log4100=log 1004，1b =1log 5100=log 1005， ∴1a +2b=log 1004+2log 1005=log 100(4×52)=log 100100=1． ∴2(1a +2b )=2．18、已知函数f (x )=log 12x +12x −172．(1)用单调性的定义证明：f (x )在定义域上是减函数；(2)证明：f (x )有零点；(3)设f (x )的零点在区间(1n+1,1n )内，求正整数n ．答案：(1)证明见解析(2)证明见解析(3)10分析：（1）设0<x 1<x 2，则结合对数的运算法则可证得f (x 1)−f (x 2)=(log 12x 1−log 12x 2)+(12x 1−12x 2)>0，则f (x 1)>f (x 2)，由此可得证.（2）结合函数的解析式有f (1)=−8<0，f (116)=72>0，且f (x )在区间(116 ， 1)上连续不断，由零点存在定理可得证.（3）结合函数的解析式可得f (110)f (111)<0，由此可得答案.（1）因为f (x )的定义域为(0,+∞)，设x 1，x 2是(0,+∞)内的任意两个不相等的实数，且x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)=(log 12x 1−log 12x 2)+(12x 1−12x 2)， 因为x 2−x 1>0，x 1x 2>0，所以log 12x 1−log 12x 2>0，12x 1−12x 2=x 2−x 12x 1x 2>0，所以f (x 1)>f (x 2)，故f (x )在定义域(0,+∞)上是减函数．（2）因为f (1)=0+12−172=−8<0，f (116)=4+8−172=72>0， 所以f (1)⋅f (116)<0，所以f (x )有零点．（3）f (111)=log 12111+112−172=log 211−3>log 28−3=0，f (110)=log 12110+5−172=log 210−72=log 25−52=log 2√25−log 2√32<0，所以f (110)f (111)<0，又f (x )在(0,+∞)上为减函数，所以f (x )的零点在区间(111,110)内，故n ＝10． 19、某校手工爱好者社团出售自制的工艺品，每件的售价在20元到40元之间时，其销售量y （件）与售价x （元/件）之间满足一次函数关系，部分对应数据如下表所示．(1)求此一次函数的解析式；(2)若每件工艺品的成本是20元，在不考虑其他因素的情况下，每件工艺品的售价是多少时，利润最大？最大利润是多少？答案：(1)y =−20x +840(20⩽x ⩽40)(2)每件工艺品的售价为31元时，利润最大，最大利润为2420元分析：（1）设y =ax +b ，任取两级数据代入求得参数值得解析式；（2）由（1）中关系式得出利润与x 的关系，由二次函数的性质得最大值．（1）设y =ax +b ，不妨选择两组数据(20,440)，(22,400)代入，可得{440=20a +b,400=22a +b,解得{a =−20,b =840, ∴一次函数的解析式为y =−20x +840(20⩽x ⩽40)．（2）设利润为S 元，由题意可得S =(−20x +840)(x −20)=−20x 2+1240x −16800=−20(x −31)2+2420，∴当x =31时，S max =2420，∴每件工艺品的售价为31元时，利润最大，最大利润为2420元．。

模块六：幂函数、指数函数与对数函数1、幂函数（1）函数y x α=（α为常数）叫做幂函数，其中x 是自变量．幂函数特征（1）系数为 ；（2）x α中底数自变量，指数是常数；（3）后面不加任何项，如3y x =，2x y x +=，22y x =+都不是幂函数（2）五个常见幂函数的图象（3）五个常见幂函数的性质（3）幂函数y x α=（α为常数）的性质1）幂函数y x α=（α为常数）在()0,+∞上都有定义，并且图象都过点()1,1；2）0α>时，幂函数的图象过原点，并且在区间[)0,+∞上是增函数； 3）0α<时，幂函数在区间()0,+∞上是减函数； 4）幂函数y x α=（α为常数）的图象都不过第四象限 2、指数与指数幂的运算 （1）指数幂mna = （0a >，,m n N *∈且1n >）； m na −= ；（0a >，,m n N *∈且1n >） n= ；当n = ；当n = ；（2）指数幂运算（3）指数幂运算3、指数函数（1）指数函数的概念:（2）指数函数的图象与性质特别说明：指数函数x y a =（0a >且1a ≠）的图象与函数1xy a⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称．（3）底数对指数函数图象的影响（4）指数函数的图象变换（翻折变换）→4、对数及对数运算（1）对数式与指数式的互化： ．（2）对数恒等式：log 1a = ；log a a = ；log b a a = ；lg 2lg5+= ； ln e = ； （3）对数的运算性质如果0a >且1a ≠，0M >，0N >，则 （1）()log a MN = ；（2）log aMN= ； （3）log n a M = ；（4）恒等式：log ab a = ；log mn a b = ；（5）换底公式：log a b = ． （6）其他变形5、对数函数（1）对数函数的概念：（2）对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）的图象与性质特别说明：（1）函数log a y x =（0a >且1a ≠）的图象与函数1log ay x =的图象关于x 轴对称．（3）底数对对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）的图象的影响 1）当1a >时，对数函数的图象“上升”；当01a <<时，对数函数的图象“下降”；2）底数的大小决定了图象相对位置的高低（4）对数函数的图象变换6、反函数注：互为反函数的两个函数的图象关于直线y x=对称．7、指数不等式与对数不等式8、指数方程与对数方程【课本优质习题汇总】新人教A版必修一110新人教A版必修一119新人教A版必修一120新人教A版必修一127新人教A版必修一127新人教A版必修一160新人教A版必修一160新人教A版必修一161新人教A版必修一161新人教B版必修二14新人教B版必修二30新人教B版必修二30新人教B版必修二38新人教B版必修二54。

(名师选题)2023年人教版高中数学第四章指数函数与对数函数重难点归纳单选题1、若x 1，x 2是二次函数y =x 2−5x +6的两个零点，则1x 1+1x 2的值为（ ）A ．−12B ．−13C ．−16D ．56答案：D分析：解方程可得x 1=2,x 2=3，代入运算即可得解. 由题意，令x 2−5x +6=0，解得x =2或3， 不妨设x 1=2,x 2=3，代入可得1x 1+1x 2=12+13=56.故选：D.2、设函数f(x)=ln|2x +1|−ln|2x −1|，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在(−12,12)单调递减C ．是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D ．是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减 答案：D分析：根据奇偶性的定义可判断出f (x )为奇函数，排除AC ；当x ∈(−12,12)时，利用函数单调性的性质可判断出f (x )单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，利用复合函数单调性可判断出f (x )单调递减，从而得到结果.由f (x )=ln |2x +1|−ln |2x −1|得f (x )定义域为{x |x ≠±12}，关于坐标原点对称， 又f (−x )=ln |1−2x |−ln |−2x −1|=ln |2x −1|−ln |2x +1|=−f (x )， ∴f (x )为定义域上的奇函数，可排除AC ；当x ∈(−12,12)时，f (x )=ln (2x +1)−ln (1−2x )，∵y =ln (2x +1)在(−12,12)上单调递增，y =ln (1−2x )在(−12,12)上单调递减， ∴f (x )在(−12,12)上单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，f (x )=ln (−2x −1)−ln (1−2x )=ln 2x+12x−1=ln (1+22x−1)， ∵μ=1+22x−1在(−∞,−12)上单调递减，f (μ)=lnμ在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：f (x )在(−∞,−12)上单调递减，D 正确. 故选：D.小提示：本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据f (−x )与f (x )的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.3、荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把(1−1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过(参考数据：lg 101≈2.0043，lg 99≈1.9956) （ ）天． A ．200天B ．210天C ．220天D ．230天 答案：D分析：根据题意可列出方程100×0.99x =1.01x ，求解即可.设经过x 天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则100×0.99x =1.01x ，即(1.010.99)x=100，∴x =log 1.010.99100=lg 100lg 1.010.99=lg 100lg 10199=2lg 101−lg 99 ≈22.0043−1.9956=20.0087≈230．故选：D ．4、若2x −2y <3−x −3−y ，则（ ）A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y|>0D ．ln|x −y|<0答案：A分析：将不等式变为2x−3−x<2y−3−y，根据f(t)=2t−3−t的单调性知x<y，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.由2x−2y<3−x−3−y得：2x−3−x<2y−3−y，令f(t)=2t−3−t，∵y=2x为R上的增函数，y=3−x为R上的减函数，∴f(t)为R上的增函数，∴x<y，∵y−x>0，∴y−x+1>1，∴ln(y−x+1)>0，则A正确，B错误；∵|x−y|与1的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.小提示：本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到x,y的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.5、已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3，则A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<c<a答案：B分析：运用中间量0比较a , c，运用中间量1比较b , ca=log20.2<log21=0,b=20.2>20=1,0<0.20.3<0.20=1,则0<c<1,a<c<b．故选B．小提示：本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．).若普通列车的声强级是95dB，高速列车6、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I1I2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍.故选：B.7、基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天答案：B分析：根据题意可得I(t)=e rt=e0.38t，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，根据e0.38(t+t1)=2e0.38t，解得t1即可得结果.因为R0=3.28，T=6，R0=1+rT，所以r=3.28−16=0.38，所以I(t)=e rt=e0.38t，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t+t1)=2e0.38t，所以e0.38t1=2，所以0.38t1=ln2，所以t1=ln20.38≈0.690.38≈1.8天.故选：B.小提示：本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.8、我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型c(t)=c0e−kt描述，假定某药物的消除速率常数k=0.1（单位：h−1），刚注射这种新药后的初始血药含量c0=2000mg/L，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln2≈0.693,ln3≈1.099）A．5.32hB．6.23hC．6.93hD．7.52h答案：C分析：利用已知条件c(t)=c0e−kt=2000e−0.1t，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L时需要的时间为t1，转化求解即可.解：由题意得：c(t)=c0e−kt=2000e−0.1t设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L需要的时间为t1c(t1)=2000e−0.1t1≥1000e−0.1t1≥1 2故−0.1t≥−ln2，t≤ln20.1≈6.93故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93ℎ故选：C9、如图所示，函数y=|2x−2|的图像是（）A．B．C．D．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x=1及x≠1时的函数值即可得解.∵y=|2x−2|={2x−2,x≥12−2x,x<1，∴x=1时，y=0,x≠1时，y>0.故选：B.10、已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b答案：A分析：由题意可得a、b、c∈(0,1)，利用作商法以及基本不等式可得出a、b的大小关系，由b=log85，得8b=5，结合55<84可得出b<45，由c=log138，得13c=8，结合134<85，可得出c>45，综合可得出a、b、c的大小关系.由题意可知a、b、c∈(0,1)，ab =log53log85=lg3lg5⋅lg8lg5<1(lg5)2⋅(lg3+lg82)2=(lg3+lg82lg5)2=(lg24lg25)2<1，∴a<b；由b=log85，得8b=5，由55<84，得85b<84，∴5b<4，可得b<45；由c=log138，得13c=8，由134<85，得134<135c，∴5c>4，可得c>45.综上所述，a<b<c.故选：A.小提示：本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.11、满足函数f(x)=ln(mx+3)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是（）A ．−4<m <−2B ．−3<m <0C ．−4<m <0D ．−3<m <−1 答案：D分析：根据复合函数的单调性，求出m 的取值范围，结合充分不必要条件的定义进行求解即可． 解：若f(x)=ln(mx +3)在(−∞,1]上单调递减， 则满足m <0且m +3>0， 即m <0且m >−3， 则−3<m <0，即f(x)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是−3<m <−1， 故选：D ．12、已知f (x )＝a −x (a >0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是（ ） A ．a >0B ．a >1 C ．a <1D ．0<a <1 答案：D分析：把f (－2)，f (－3)代入解不等式，即可求得．因为f (－2)＝a 2， f (－3)＝a 3，f (－2)>f (－3)，即a 2>a 3，解得：0<a <1． 故选：D 双空题13、放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化.常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为T 12现测得某种放射性元素的剩余质量A 随时间t 变化的6次数据如下：从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A (t )=________.答案： 4 320×(12)t 4(t ≥0)解析：从题表中数据易知半衰期的单位时间，由指数函数可得A (t ).从题表中数据易知半衰期T 为4个单位时间，由初始质量为A 0=320，则经过时间t 的剩余质量为A (t )=A 0·(12)t T=320×(12)t 4(t ≥0).所以答案是：4；320×(12)t 4(t ≥0).小提示：本题考查函数模型的实际应用，关键在于理解其实际意义，属于基础题.14、已知函数f(x)={−x 2−2x +4,x ≤1log 12x,x >1，则f(f(2))=_____________，函数f(x)的单调递减区间是_______． 答案： 5 (−1,+∞)##[−1,+∞)分析：根据分段函数依次计算即可得f(f(2))的值；分段求出函数f(x)的单调区间即可得解. 因函数f(x)={−x 2−2x +4,x ≤1log 12x,x >1，则f(2)=log 122=−1，所以f(f(2))=f(−1)=5； 当x ≤1时，f(x)=−x 2−2x +4在(−∞,−1)上单调递增，在(−1,1]上单调递减，f(1)=1， 当x >1时，f(x)=log 12x 在(1,+∞)上单调递减，且log 121=0<1，所以函数f(x)的单调递减区间是(−1,+∞). 所以答案是：5；(−1,+∞)15、已知λ∈R ，函数f (x )={x +1,x ≤λ−x 2+2x,x >λ，当λ=0时，不等式f (x )>0的解集为________，若函数f (x )与x 轴恰有两个交点，则λ的取值范围是________ 答案： {x|−1<x <2} (−∞,−1)∪[0,2)分析：利用分段函数转化求解不等式的解集即可；利用函数的图象，通过函数的零点得到不等式求解即可． 解：当λ=0时，f (x )={x +1,x ≤0−x 2+2x,x >0，∵f (x )>0，∴{x ≤0x +1>0 或{x >0−x 2+2x >0 ，解得−1<x ≤0或0<x <2， 则当λ=0时，不等式f (x )>0的解集为{x|−1<x <2}； 画出函数y =x +1和y =−x 2+2x 的草图得：由图可知，函数f(x)与x轴恰有两个交点时，λ<−1或0≤λ<2；所以答案是：{x|−1<x<2}；(−∞,−1)∪[0,2)．小提示：本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的零点个数的判断，考查发现问题解决问题的能力，属于中档题．16、若x∈(0,+∞)，则使log2x<2x<x2成立的x的取值范围是________，使log2x<x2<2x成立的x的取值范围是________．答案：(2,4)(0,2)∪(4,+∞)分析：画出指对幂函数的图象，数形结合法判断不等关系下对应x的范围即可.在同一平面直角坐标系中作出y=2x，y=x2，y=log2x在(0,+∞)上的图象如下．由图得，若log2x<2x<x2，则2<x<4，若log2x<x2<2x，则0<x<2或x>4．所以答案是：(2,4)，(0,2)∪(4,+∞)17、已知函数f(x)={log0.5x,x>0x2+2x,x≤0，那么f(2)=_________;当函数y=f(x)−a有且仅有三个零点时，实数a的取值范围是__________.答案：−1−1<a<0解析：由f(2)=log0.52可得结果，函数y=f(x)−a有且仅有三个零点，即函数y=f(x)的图象与y=a的图象仅有三个交点，作出函数y=f(x)的图象，根据图象可得答案.f(2)=log0.52=−1函数y=f(x)−a有且仅有三个零点，即函数y=f(x)的图象与y=a的图象仅有三个交点.作出函数y=f(x)的图象,如图.由图可知，当−1<a<0时，函数y=f(x)的图象与y=a的图象有三个交点.所以函数y=f(x)−a有且仅有三个零点时，实数a的取值范围是−1<a<0所以答案是：−1；−1<a<0解答题18、给出下面两个条件：①函数f(x)的图象与直线y=−1只有一个交点；②函数f(x)的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数f(x)的解析式确定.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x+1)−f(x)=2x−1，且______.(1)求f(x)的解析式；(2)若对任意x∈[19,27]，2f(log3x)+m≤0恒成立，求实数m的取值范围；(3)若函数g(x)=(2t−1)f(3x)−2×3x−2有且仅有一个零点，求实数t的取值范围.答案：(1)选①f (x )=x 2−2x ，选②f (x )=x 2−2x(2)(−∞,−16](3){−√3+12}∪(12,+∞) 分析：（1）利用已知条件求出a 、b 的值，可得出f (x )=x 2−2x +c .选①，由题意可得出f (1)=−1，可得出c 的值，即可得出函数f (x )的解析式；选②，由根与系数的关系求出c 的值，即可得出函数f (x )的解析式；（2）ℎ=log 3x ，ℎ∈[−2,3]，由参变量分离法可得出m ≤[−2f (ℎ)]min ，结合二次函数的基本性质可求得实数m 的取值范围；（3）令n =3x >0，所以关于n 的方程(2t −1)f (n )−2n −2=0有且仅有一个正实根，对实数t 的取值进行分类讨论，结合二次函数的零点分布可得出关于实数n 的不等式组，综合可解得实数t 的取值范围.（1）解：因为二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足f (x +1)−f (x )=2x −1，f (x +1)−f (x )=a (x +1)2+b (x +1)+c −ax 2−bx −c =2ax +a +b =2x −1，所以{2a =2a +b =−1 ，解得{a =1b =−2，所以f (x )=x 2−2x +c . 选①，因为函数f (x )的图象与直线y =−1只有一个交点，所以f (1)=1−2+c =−1，解得c =0，所以f (x )的解析式为f (x )=x 2−2x .选②，设x 1、x 2是函数f (x )的两个零点，则|x 1−x 2|=2，且Δ=4−4c >0，可得c <1，由根与系数的关系可知x 1+x 2=2，x 1x 2=c ，所以|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√4−4c =2，解得c =0，所以f (x )的解析式为f (x )=x 2−2x .（2）解：由2f (log 3x )+m ≤0，得m ≤−2f (log 3x )，当x ∈[19,27]时，log 3x ∈[−2,3]，令ℎ=log 3x ，则ℎ∈[−2,3]，所以对任意x ∈[19,27]，2f (log 3x )+m ≤0恒成立，等价于m ≤−2f (ℎ)在ℎ∈[−2,3]上恒成立，所以m ≤[−2f (ℎ)]min =−2f (−2)=−16，所以实数m 的取值范围为(−∞,−16].（3）解：因为函数g (x )=(2t −1)f (3x )−2×3x −2有且仅有一个零点，令n =3x >0，所以关于n 的方程(2t −1)f (n )−2n −2=0有且仅有一个正实根，因为f (x )=x 2−2x ，所以(2t −1)n 2−4tn −2=0有且仅有一个正实根，当2t −1=0，即t =12时，方程可化为−2n −2=0，解得n =−1，不符合题意；当2t −1>0，即t >12时，函数y =(2t −1)x 2−4tx −2的图象是开口向上的抛物线，且恒过点(0,−2)， 所以方程(2t −1)n 2−4tn −2=0恒有一个正实根；当2t −1<0，即t <12时，要使得(2t −1)n 2−4tn −2=0有且仅有一个正实根，{∆=16t 2+8(2t −1)=02t 2t−1>0 ，解得t =−√3+12. 综上，实数t 的取值范围为{−√3+12}∪(12,+∞).19、定义在D 上的函数f(x)，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f(x)|≤M 成立，则称f(x)是D 上的有界函数，其中M 称为函数f(x)的上界，已知函数f(x)=14x +a 2x +1.(1)当a ＝－1时，求函数f(x)在(－∞,0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f(x)在[0,＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．答案：(1)(1,＋∞)，函数f(x)在(－∞,0)上不是有界函数，理由见解析；(2)[－5,1].分析：（1）应用换元法及二次函数的性质求y ＝t 2－t ＋1在(1，+∞)上的值域，即知f(x)的值域，进而判断f(x)是否为有界函数.（2）将问题转化为−(t +4t )≤a ≤2t −t 对t ∈(0,1]恒成立，求a 的取值范围．（1）当a ＝－1时，y ＝f(x)=(12)2x −(12)x +1 (x <0)，令t ＝(12)x ，x <0， ∴t >1，y ＝t 2－t ＋1＝(t −12)2+34， ∴y >1，即函数f(x)在(－∞,0)上的值域为(1,＋∞)，∴不存在常数M >0，使得|f(x)|≤M 成立．∴函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．（2）由题意知，|f(x)|≤3对x ∈[0,＋∞)恒成立，即－3≤f(x)≤3对x ∈[0,＋∞)恒成立， 令t ＝(12)x ，x ≥0，则t ∈(0,1]．∴−(t +4t )≤a ≤2t −t 对t ∈(0,1]恒成立，即[−(t +4t )]max ≤a ≤(2t −t)min . 设h (t )＝−(t +4t )，p (t )＝2t −t ，t ∈(0,1]，∵h (t )在(0,1]上递增，p (t )在(0,1]上递减，∴h (t )在(0,1]上的最大值为h (1)＝－5，p (t )在(0,1]上的最小值为p (1)＝1. ∴实数a 的取值范围为[－5,1]．20、已知函数ℎ(x )=|log 12x|. (1)求ℎ(x )在[12,a](a >12)上的最大值；(2)设函数f (x )的定义域为I ，若存在区间A ⊆I ，满足:对任意x 1∈A ，都存在x 2∈A (其中A 表示A 在I 上的补集)使得f (x 1)=f (x 2)，则称区间A 为f (x )的“Γ区间”.已知ℎ(x )=|log 12x|(x ∈[12,2])，若A =[12,a)为函数ℎ(x )的“Γ区间”，求a 的最大值.答案：（1）答案见解析；（2）1.解析：（1）作出函数ℎ(x )=|log 12x|的图象，分12<a ≤2， a >2，利用数形结合法求解. (2)根据对任意x 1∈A ，都存在x 2∈A 使得f (x 1)=f (x 2)，分12<a ≤1，1<a ≤2，分别求得ℎ(x )在[12,a)和[a,2]上的值域，利用集合法求解.（1）函数ℎ(x)=|log12x|的图象如图所示：当12<a≤2时，ℎ(x)的最大值为ℎ(12)=1，当a>2时，ℎ(x)的最大值为ℎ(a)=−log12a.(2) 当12<a≤1时，ℎ(x)在[12,a)上的值域为(log12a,1]，ℎ(x)在[a,2]上的值域为[0,1]，因为满足:对任意x1∈A，都存在x2∈A使得f(x1)=f(x2)，所以(log12a,1)[0,1]，成立；此时A=[12,a)为函数ℎ(x)的“Γ区间”，当1<a≤2时，ℎ(x)在[12,a)上的值域为[0,1]，ℎ(x)在[a,2]上的值域为[−log12a,1]，当1≤x1<a时，ℎ(x1)<ℎ(a)=−log12a，所以∃x1∈[1,a)，ℎ(x1)∉[−log12a,1]，即存在x1∈A，对任意x2∈A使得f(x1)≠f(x2)，所以A=[12,a)不为函数ℎ(x)的“Γ区间”，所以a的最大值是1.小提示：方法点睛：双变量存在与恒成立问题：若∀x1∈D1,∀x2∈D2，f(x1)>g(x2)成立，则f(x)min>g(x)max；若∃x1∈D1,∃x2∈D2，f(x1)>g(x2)成立，则f(x)max>g(x)min；若∃x1∈D1,∀x2∈D2，f(x1)>g(x2)成立，则f(x)max>g(x)max；若∀x1∈D1,∃x2∈D2，f(x1)>g(x2)成立，则f(x)miax>g(x)min；若∀x1∈D1,∃x2∈D2，f(x1)=g(x2)成立，则f(x)的值域是g(x)的子集；。

高中数学重点、难点突破（4）指数函数与对数函数(培优)1.指数函数的定义、图象与性质 定义 函数叫做指数函数a >1 0<a <1图 象定义域值域性质在R 上是 在R 上是2.对数函数的定义、图象与性质定义 函数 叫做指数函数a >1 0<a <1图 象定义域值域性质在R 上是 在R 上是 3.反函数指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称．1.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )等于( )A.12x B ．2x －2 C ．log 12x D ．log 2x 2.如果0log log 2121<<y x 那么( )A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x | 0＜x ≤10，－12x ＋6 x ＞10，若a 、b 、c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)4.已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝lg x ，h (x )＝log 3x ，直线y ＝a (a ＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 2＜x 3＜x 1B ．x 1＜x 3＜x 2C ．x 1＜x 2＜x 3D ．x 3＜x 2＜x 15.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x ＞0，log 12(－x )， x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)6.已知f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4] B ．(－∞，4) C ．(－4,4] D ．[－4,4]7.函数f (x )＝2|x －1|的图象是( ) 8.当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( ) A ．(0，22) B ．(22，1) C ．(1，2) D ．(2，2) 9.化简416x 8y 4(x ＜0，y ＜0)得( )10.方程4x －2x ＋1－3＝0的解是________．11.计算(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)=12.函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________．13.指数函数y ＝(a 2－1)x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________．14.函数f (x )＝(13)－x 2－4x ＋3的单调递减区间为________，值域为________． 15.已知f (x )＝|2x －1|，(1)求f (x )的单调区间；(2)比较f (x ＋1)与f (x )的大小；16.若直线y＝2a与函数y＝|a x－1|(a＞0，a≠1)的图象有两个公共点，求实数a的取值范围．17.已知函数f(x)＝log a(2－ax)，是否存在实数a，使函数f(x)在[0,1]上是关于x的减函数，若存在，求a的取值范围．18.已知函数f(x)＝log a(8－ax)(a＞0，a≠1)，若f(x)＞1在区间[1,2]上恒成立，求实数a的取值范围．。