北师大版数学必修二课件-第一章 立体几何初步 5

图 1－4
【证明】 ∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE， ∴BED1F是平行四边形， ∴D1E∥BF， 又∵D1 E 平面BGF，BF 平面BGF， ∴D1E∥平面BGF. ∵FG是△DAD1的中位线， ∴FG∥AD1， 又AD1 平面BGF，FG 平面BGF， ∴AD1∥平面BGF. 又∵AD1∩D1E＝D1， ∴平面AD1E∥平面BGF.
如图1－5所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中， AB＝3，AA1＝4，M为AA1中点，P是BC上一点，且由P沿棱 柱侧面过棱CC1到M的最短距离为 29 ，设这条最短路线与 CC1的交点为N.求：
图1－5 (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC与NC的长．
【思路点拨】 借助于侧面展开图计算最短路线问题． 【规范解答】 (1)三棱柱ABC－A1B1C1侧面展开图是一 个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为 92＋42＝ 97. (2)如图，将侧面BB1C1C绕CC1旋转120°使其与侧面 AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1， 则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．
一个圆锥底面半径为R，高为 3 R，求此圆锥 的内接正四棱柱表面积的最大值．
【思路点拨】 画出其轴截面，转化为平面问题．
【规范解答】
设正四棱柱高为h，底面正方形边长为a，则DE＝
2 2 a.
∵△SDE∽△SAO，∴DAOE＝SSOE .
∵AO＝R，SO＝
2
3 R，∴
2a ＝ R
3R－h， 3R
∴h＝
几何体的结构、表面积与体积
准确理解几何体的定义，熟练掌握直观图与三视图的画 法，能更好地把握几何体的特征．三视图是几何体的平面表 示形式，常与几何体的结构、表面积与体积结合命题，是高 考命题的热点，解决此类问题的关键是利用三视图获取表面 积、体积公式中所涉及的基本量的有关信息，进而解决问题．

探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
解:(1)错误.棱锥的侧面一定是三角形,可以是等腰三角形,也可以 是正三角形,例如棱长均相等的正三棱锥的各个面都是正三角形.
(2)正确.在三棱锥中,共有4个面,每一个面均可作为底面,每一个 顶点均可作为棱锥的顶点.
(3)错误.只有当棱锥被与其底面平行的平面所截时,才能截得一 个棱锥和一个棱台.
4.棱台 (1)棱台的定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截 面之间的部分叫作棱台.原棱锥的底面和截面叫作棱台的下底面和 上底面,其他各面叫作棱台的侧面,相邻侧面的公共边叫作棱台的 侧棱.如图所示.
(2)表示:用表示底面各顶点的字母表示棱台.如上图中的棱台可记 作:四棱台ABCD-A'B'C'D'. (3)分类:按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台…… (4)特殊的棱台:用正棱锥截得的棱台叫作正棱台.正棱台的侧面是 全等的等腰梯形.
锥的顶点,于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点,故命题④
为真命题.故选A. 答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练1 下列说法中正确的是
.
①在正方体上任意选择4个不共面的顶点,它们可能是正四面体的4
个顶点;
②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;
其中假命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
解析:解答本题可先根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征进行详细
分析,再结合已知的各个命题具体条件进行具体分析.显然命题① ②③均是真命题.对于命题④,棱台的侧棱所在的直线就是截得原

小 结
·
探
提
新 你发现直观图的面积与原图形面积有何关系？
素
知
养
合
课
作
时
探
分
究
层
释
作
疑
业
难
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·
32
·
自
课
主
堂
预
小
习
结
探
提示：由题意，易知在△ABC 中，AC⊥AB，且 AC＝6，AB＝3， 提
·
新
素
知
∴S△ABC＝12×6×3＝9.
养
合
课
作 探 究
又
S△A′B′C′＝12×3×(3sin
45°)＝9 4 2，∴S△A′B′C′＝
结
探
OB＝2O′B′＝2 2，OC＝O′C′＝AB＝
·
提
新
素
知 A′B′＝1，
养
·
·
合
且 AB∥OC，∠BOC＝90°.
BC ＝ B′C′ ＝ 1 ＋
2，在
y
轴上截取线段
BA ＝
课 堂
预
小
习 2B′A′＝2.
·
结
探
提
新 知
过 A 作 AD∥BC，截取 AD＝A′D′＝1.
素 养
·
·
合
连接 CD，则四边形 ABCD 就是四边形 A′B′C′D′的平面图 课
作
时
探 形．
分
究
层
释 疑
四边形 ABCD 为直角梯形，上底 AD＝1，下底 BC＝1＋
自
课
主
堂
预
小
习
结

定理
平面平表 行示的判定定理，直并线知与道平其面地平位 行和 的判 作定 用定 ．理(重点、易错点)
3．能运用直线与若平面平行一、条平直面线与与平 此面平行的 的一判条定直定线理证明，空则间该线面关
Hale Waihona Puke 文字叙述系．(难点)
直线与此平面平行
平面外
平面内
平行
能保证直线 a 与平面 α 平行的条件是( l∥b )
∵E 为 PB 的中点， ∴EH∥AB，EH＝12AB， 又∵AB∥CD，AB＝2CD， ∴EH∥CD，EH＝CD， ∴四边形 DCEH 是平行四边形，∴CE∥DH. 又∵DH 平面 PAD，CE⊆ / 平面 PAD，
∴CE∥平面 PAD.
[再练一题] 1．如图 1-5-2，四边形 ABCD 是平行四边形，S 是平面 ABCD 外一点，M 为 SC 的中点，求证：SA∥平面 MDB.
又∵SB 平面 BDD1B1，
EG⊆/ 平面 BDD1B1， ∴直线 EG∥平面 BDD1B1.
探究2 在上述问题中，能否证明平面EFG∥平面BDD1B1?
【提示】
能．连接 SD，
∵F、G 分别是 DC、SC 的中点，
∴FG∥SD如.图 1-5-6，已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M，N 分别又 是∵ ABS，D PC平的面中B点D．D1B1，
∴AM∥DF. 又 AM⊆/ 平面 EFDB，DF 平面 EFDB，
∴AM∥平面 EFDB. 又∵AM∩MN＝M， ∴平面 MAN∥平面 EFDB.
1．要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另 一个平面．
2．判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先 在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．

圆锥；若绕其斜边所在的直线旋转得到的是两个同底面圆锥
构成的一个几何体，如图(1)．B项错误，没有说明这两个平行 截面的位置关系,当这两个平行截面与底面平行时正确，其他
情况则结论是错误的，如图 (2) ． D 项错误，通过圆台侧面上
一点，只有一条母线，如图(4)．C项正确，如图(3)．
栏目 导引
第一章
由圆柱、圆锥、圆台定义可知,三者分别为矩形、
三角形、直角梯形旋转而得，所以其上、下底面都是圆面， 故正确； B 圆台的母线是直角梯形不垂直于旋转轴的边，不
是上、下底面圆周上任意两点的连线，故错误； C 球的截面
一定是圆，用平行于圆柱底面的面截圆柱得到的截面是圆， 其他平面截得的截面不是圆，故错误； D 以直角三角形的一 条直角边所在的直线为轴旋转，其余各边旋转而成的旋转面 形成的曲面所围成的几何体叫作圆锥，以斜边为轴旋转形成
第一章
立体几何初步
第一章 立体几何初步
栏目 导引
第一章
立体几何初步
§1 简单几何体
1．1 简单旋转体栏目 导引Fra bibliotek第一章
立体几何初步
学习导航
学习目标
理解
实例 ― ― → 旋转体
了解
― ― → 圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征 重点难点 重点：圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征．
难点：多面体和旋转体概念的理解及几何体形状的判断．
栏目 导引
第一章
立体几何初步
想一想 2.“ 直角三角形绕其一边旋转一周所形成的几何体必是圆
锥”，这种说法正确吗？
提示：不正确，当以斜边所在直线为轴旋转时，其余各边 旋转形成的曲面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，是
由两个同底圆锥组成的几何体．

下面我们来证 明这一结论. 明这一结论.
7
探研新知
已知：如图，a∥α， 已知：如图，a∥α， α∩β＝ a ⊂β，α∩β＝b。 求证：a∥b。 求证：a∥b。 证明：∵α∩β＝ 证明：∵α∩β＝b，∴b⊂α ∴b⊂ a∥α，∴a与 无公共点， ∵ a∥α，∴a与b无公共点， ∵a⊂ ∴a∥b。 ∵a⊂β，b⊂β，∴a∥b。 我们可以把这个结论作定理来用. 我们可以把这个结论作定理来用.
b a
b c a α γ d δ β
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例题示范 有一块木料如图， 例2：有一块木料如图，已知棱BC平行于面 (1)要经过木料表面 A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的 一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所 BC将木料锯开 一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所 画的线和面AC有什么关系？ AC有什么关系 画的线和面AC有什么关系？ ：（1 过点P EF∥B’C ， 解：（1）过点P作EF∥B C’， 分别交棱A B ， D 于点 于点E 分别交棱A’B’，C’D’于点E， 连接BE CF， BE， F。连接BE，CF，则 D1 E EF，BE，CF就是应画的线 就是应画的线。 EF，BE，CF就是应画的线。
结合实例(教室内的有关例子)得出结论: 结合实例(教室内的有关例子)得出结论: 如果一条直线与平面平行， 如果一条直线与平面平行，这条直线不会 与这个平面内的所有直线都平行, 与这个平面内的所有直线都平行,但在这个 平面内却有无数条直线与这条直线平行。 平面内却有无数条直线与这条直线平行。
5
探研新知 探究2.如果一条直线与一个平面平行， 2.如果一条直线与一个平面平行 探究2.如果一条直线与一个平面平行，那么这条 直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？ 直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？

求证：AP∥GH．
数
学
必 修
[思路分析] 欲证线线平行，往往先证线面平行，再由线面平行的性质定理
·
② 可证得线线平行．
北
师
大
版
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第一章 立体几何初步
[解析] 连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO ∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴O 是 AC 的中点．又 M 是 PC 的中点，∴AP∥OM．
②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；
③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；
④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．
A．①②③④
B．①②③
C．②④
D．①②④
数
[解析] 由线面平行的性质定理知①④正确；由直线与平面平行的定义知②
学 必
正确．因为经过一点可作一直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个
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·
第一章 立体几何初步
(2)符号表示 a__∥____α a______ β⇒a∥b． α∩β＝b
(3)图形表示
数 学 必
(4)简记为：线面平行⇒线线平行．
修
②
·
北 师 大 版
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第一章 立体几何初步
2．平面与平面平行的性质定理
(1)定理内容 如果两个__平__行____平面同时与第三个平面相交，那么它们的__交__线____平行．
大
版
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第一章 立体几何初步
(2)若 AB、CD 不共面，如图，过 A 作 AE∥CD 交 α 于 E，取 AE 中点 P，连
接 MP、PN、BE、ED．
∵AE∥CD，∴AE、CD 确定平面 AEDC．

向量的加法运算：向量加法遵循平行四边形 法则如(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)
添加 标题
向量的减法运算：向量减法遵循平行四边形 法则如(x1, y1, z1) - (x2, y2, z2) = (x1x2, y1-y2, z1-z2)
向量积的坐标表示：两个向量的向 量积的坐标表示为两个向量坐标的 乘积
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
混合积：三个向量的混合积是一个 向量其坐标表示为三个向量坐标的 乘积
混合积的坐标表示：三个向量的混 合积的坐标表示为三个向量坐标的 乘积
总结与展望
本章内容的总结与回顾
本章主要介绍了立体几何的基本概念和性质包括点、线、面、体等。 学习了立体几何的度量方法如长度、角度、体积等。 掌握了立体几何的证明方法如平行、垂直、相似等。 学习了立体几何的应用如空间图形的绘制、空间物体的测量等。 展望未来我们将继续深入学习立体几何掌握更多的知识和技能为未来的学习和工作打下坚实的基础。
棱锥的表面积和体积
棱锥的定义： 由一个多边 形底面和若 干个侧面组 成的几何体
棱锥的表面 积：底面积+ 侧面积
棱锥的体积： 底面积×高 ÷3
棱锥的表面 积和体积的 计算公式： S=πr²+n(l ×h)V=πr²h /3
棱锥的表面 积和体积的 应用：建筑、 工程等领域
球的表面积和体积
球的表面积：4πr^2 球的体积：4/3πr^3 球的表面积和体积公式推导 球的表面积和体积在实际生活中的应用
几何性质：立体几何具有空间位置、 形状、大小等性质平面几何具有位 置、形状等性质

D．A1A
B [可证 BD⊥平面 AA1C1C，而 CE 平面 AA1C1C，故 BD⊥CE.]
2．若平面 α⊥β，直线 a∥α，则( )
A．a⊥β
B．a∥β 或 a β
C．a 与 β 相交
D．a β 或 a∥β 或 a 与 β 相交
D [a 与 β 三种位置关系都有可能．]
3．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该
第一章 立体几何初步
§6 垂直关系 6.2 垂直关系的性质
学习目标
核心素养
1.理解直线与平面、平面与平面垂 1.通过学习直线与平面、平面与平
直的性质定理．(重点) 面垂直的性质定理提升数学抽象、
2．理解并掌握空间“平行”与 直观想象素养．
“垂直”之间的相互转化．(难点、 2．通过应用线面与面面垂直的性
()
[解析] (3)×，α∥γ 或 α∩γ＝l. [答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．已知平面 α⊥平面 β，α∩β＝l，点 P∈l，给出下面四个结论：
①过 P 与 l 垂直的直线在 α 内；
②过 P 与 β 垂直的直线在 α 内；
③过 P 与 l 垂直的直线必与 α 垂直；
④过 P 与 β 垂直的平面必与 l 垂直．
立体几何中的垂直关系有三类：线线垂直、线面垂直、面面垂 直．处理垂直问题时，要注意三者之间的内在联系．转化思想是立体 几何中解决垂直问题的重要思想．垂直关系的转化如下：
课堂 小结 提素 养
1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系 的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
[解] (1)证明：设 G 为 AD 的中点，连接 PG，BG，
∵△PAD 为正三角形，∴PG⊥AD. 在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°， G 为 AD 的中点，∴BG⊥AD. 又 BG∩PG＝G，∴AD⊥平面 PGB. ∵PB 平面 PGB，∴AD⊥PB. (2)当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF⊥平面 ABCD.

平行投影
把在一束平行光线照射下形成的投影，叫平行投影
投影线平行
投影法分类 投影法
中心投影法 平行投影法 正投影 斜投影
一、三视图相关概念
视图
正投影
从上面看
主视图
正面
主视图 高 长
左视图 宽 宽
从左面看
俯视图
从正面看
你能总结出三视图的概念吗
三视图概念：
将空间图形分别从正面，左面和上面向三个两两 垂直的平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布
作业
1.预习下一节“三视图的还原” 2.课本P22 习题1.2 A组 1、2
4.检查。
我相信你一定能画 出这个复杂几何体 的三视图！
巩固提高
10 6 12 8
组合体的三视图
归纳总结
1.三视图 主视图——从正面看到的图 左视图——从左面看到的图
俯视图——从上面看到的图
2.画物体的三视图时,要符合如下原则: 位置： 主视图 左视图 俯视图 大小：长对正,高平齐,宽相等。
北京师范大学出版社 | 必修二
第一章 · 立体几何初步
简单组合体的三视图
横看成岭侧成峰， 远近高低各不同。 不识庐山真面目， 只缘身在此山中。 ——苏轼
新课导入
中心投影
把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影
投影线交于一点，随着 物体距离光源（屏幕） 的远近，形成的投影大 小不同，相似图形。
局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的
三视图。
三视图的形成及其投影规则(1)
三视图的形成及其投影规则(2)
二、三视图的作图规则 主—俯：长对正 主—左：高平齐 左—俯：宽相等
主 视 图 左视图
俯视图