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2021年高三上学期10月月考试题 数学（理） 含答案(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1. 已知集合M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |lg(2x ＋1)＞0}，则M ∩N ＝ ．(0,1)2. 复数z ＝a ＋i 1－i为纯虚数，则实数a 的值为 ．13. 不等式|x ＋1|·(2x ―1)≥0的解集为 ． {x |x ＝―1或x ≥12}4. 函数f (x )＝13x －1＋a （x ≠0），则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）．5. 充要6. m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5必过定点_________．(9,－4)7. 向量a ＝(1,2)、b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k ＝_________． 8. 由题意知，a 与b 不共线，故k ∶1＝1∶(－3)，∴k ＝－139. 关于x 的方程cos 2x ＋4sin x －a ＝0有解，则实数a 的取值范围是 ． 10. [－4,4]11. 已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．412. 解：x ＋2y ＝8－x ·(2y )≥8－⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22，整理得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4) (x＋2y ＋8)≥0．又x ＋2y ＞0，∴x ＋2y ≥4．13. 已知点x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2，若ax ＋y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围是__________．(－∞,3]14. 已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足→AB ＋12·→AC ＝→AD ，且|→CD |＝3，那么→DA ·→DC＝ ． 315. 若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是_________．[12,＋∞)16. 解：f '(x )＝2mx ＋1x －2≥0对x ＞0恒成立，2mx 2＋1－2x ≥0∴2m ≥2x －1x 2＝－1x 2＋2x，令t ＝1x ＞0∴2m ≥－t 2＋2t ，∵()－t 2＋2t max ＝1，∴2m ≥1，∴m ≥12． 17. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋ax (x ≤1)2ax －5 (x ＞1)，若x 1, x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是 ． (－∞,4)18. 将y ＝sin2x 的图像向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图像仍过点⎝⎛⎭⎫π3，32，则φ的最小值为_______．19. 解法一：点代入y ＝sin(2x －2φ)∴sin(2π3－2φ)＝32∴－2φ＋2π3＝2k π＋π3或－2φ＋2π3＝2k π＋2π3∴φ＝－k π＋π6或φ＝－k π∴φ的最小值为π6．20. 解法二：结合函数y ＝sin2x 的图形．21. 已知函数f (x )满足f (x )＝f (1x )，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ，若在区间[13,3]内，函数g (x )＝f(x )－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是 ． 22. ⎣⎡ln33,⎭⎫1e二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23. （本小题满分14分） 24. 已知直线和．25. 问：m 为何值时，有：（1）；（2）．解：（1）∵，∴，得或；当m ＝4时，l 1：6x ＋7y －5＝0，l 2：6x ＋7y ＝5,即l 1与l 2重合，故舍去． 当时，即 ∴当时，． ………7分 （2）由得或； ∴当或时，． ………14分 26. （本小题满分14分）27. 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M ⎝⎛⎭⎫π3，12，且与x 轴两个相邻的交点的距离为π． 28. （1）求f (x )的解析式；29. （2）在△ABC 中，a ＝13，f (A )＝35，f (B )＝513，求△ABC 的面积．解：（1）依题意知，T ＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)∵f (π3)＝sin(π3＋φ)＝12，且0＜φ＜π ∴π3＜π3＋φ＜4π3 ∴π3＋φ＝5π6 即φ＝π2∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ． ………6分（2）∵f (A )＝cos A ＝35，f (B )＝cos B ＝513， ∴A ,B ∈(0,π2)∴sin A ＝45，sin B ＝1213 ………8分∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665………10分 ∵在△ABC 中a sin A ＝bsin B ∴b ＝15. ………12分∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×13×15×5665＝84． ………14分30. （本小题满分15分）31. 已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为120º，当k 为何值时， 32. （1）k a －b 与a －k b 垂直；33. （2）|k a －2b |取得最小值？并求出最小值．解：（1）∵k a －b 与a －k b 垂直，∴(k a －b )·(a －k b )＝0．∴k a 2－k 2a ·b －b ·a ＋k b 2＝0．∴9k －(k 2＋1)×3×2·cos120°＋4k ＝0．∴3k 2＋13k ＋3＝0．∴k ＝－13±1336． ………7分（2）∵|k a －2b |2＝k 2a 2－4k a ·b ＋4b 2＝9k 2－4k ×3×2·cos120°＋4×4 ＝9k 2＋12k ＋16＝(3k ＋2)2＋12．∴当k ＝－23时，|k a －2b |取得最小值为23． ………15分34. （本小题满分15分）35. 如图①，一条宽为1km 的两平行河岸有村庄A 和供电站C ，村庄B 与A 、C 的直线距离都是2km ，BC 与河岸垂直，垂足为D ．现要修建电缆，从供电站C 向村庄A 、B 供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/km 、4万元/km ．36. （1）已知村庄A 与B 原来铺设有旧电缆，但旧电缆需要改造，改造费用是0.5万元/km ．现决定利用此段旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．37. （2）如图②，点E 在线段AD 上，且铺设电缆的线路为CE 、EA 、EB ．若∠DCE ＝θ(0≤θ≤ π3)，试用θ表示出总施工费用y (万元)的解析式，并求y 的最小值．解：（1）由已知可得△ABC 为等边三角形，∵AD ⊥CD ，∴水下电缆的最短线路为CD . 过D 作DE ⊥AB 于E ，可知地下电缆的最短线路为DE 、AB . ………3分又CD ＝1，DE ＝32，AB ＝2，故该方案的总费用为 1×4＋32×2＋2×0.5＝5＋ 3 （万元）． …………6分 （2）∵∠DCE ＝θ (0≤θ≤ π3)∴CE ＝EB ＝1cos θ，ED ＝tan θ，AE ＝3－tan θ.则y ＝1cos θ×4＋1cos θ×2＋(3－tan θ)×2＝2×3－sin θcos θ＋2 3 ……9分令f (θ)＝3－sin θcos θ (0≤θ≤ π3)则f '(θ)＝－cos 2θ－(3－sin θ)(－sin θ)cos 2θ＝3sin θ－1cos 2θ，……11分∵0≤θ≤ π 3，∴0≤sin θ≤32，记sin θ0＝13，θ0∈(0, π 3)当0≤θ＜θ0时，0≤sin θ＜13，∴f '(θ)＜0当θ0＜θ≤ π 3时，13＜sin θ≤32，∴f '(θ)＞0∴f (θ)在[0,θ0)上单调递减，在(θ0, π3]上单调递增．……13分∴f (θ)min ＝f (θ0)＝3－13223＝22，从而y min ＝42＋23，此时ED ＝tan θ0＝24，答：施工总费用的最小值为（42＋23）万元，其中ED ＝24. ……15分38. （本小题满分16分）39. 已知a 为实数，函数f (x )＝a ·ln x ＋x 2－4x ．40. （1）是否存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值？证明你的结论； 41. （2）若函数f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围； 42. （3）设g (x )＝2a ln x ＋x 2－5x －1＋ax，若存在x 0∈[1, e]，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，求实数a 的取值范围．解：（1）函数f (x )定义域为(0,＋∞)，f '(x )＝a x ＋2x －4＝2x 2－4x ＋a x假设存在实数a ，使f (x )在x ＝1处取极值，则f '(1)＝0，∴a ＝2， ……2分此时，f '(x )＝2(x －1)2x，∴当0＜x ＜1时，f '(x )＞0，f (x )递增；当x ＞1时，f '(x )＞0，f (x )递增． ∴x ＝1不是f (x )的极值点．故不存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值． ………4分（2）f '(x )＝2x 2－4x ＋a x ＝2(x －1)2＋a －2x，①当a ≥2时，∴f '(x )≥0，∴f (x )在(0,＋∞)上递增，成立； ………6分②当a ＜2时，令f '(x )＞0，则x ＞1＋1－a 2或x ＜1－1－a2，∴f (x )在(1＋1－a2,＋∞)上递增，∵f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，∴1＋1－a2＜3，解得：6＜a ＜2 综上，a ＞－6． ………10分（3）在[1,e]上存在一点x 0，使得成立，即在[1,e]上存在一点，使得，即函数在[1,e]上的最小值小于零．有22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==①当，即时， 在上单调递减， 所以的最小值为，由可得，因为，所以； ………12分 ②当，即时，在上单调递增，所以最小值为，由可得； ………14分 ③当，即时，可得最小值为， 因为，所以，，故 此时不存在使成立．综上可得所求的范围是：或． ………16分解法二：由题意得，存在x ∈[1, e]，使得a (ln x －1x )＞x ＋1x成立．令m (x )＝ln x －1x ，∵m (x )在[1, e]上单调递增，且m (1)＝－1＜0, m (e)＝1－1e ＞0故存在x 1∈(1,e)，使得x ∈[1, x 1)时，m (x )＜0；x ∈(x 1, e]时，m (x )＞0 故存在x ∈[1, x 1)时，使得a ＜x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆)或存在x ∈(x 1, e]时，使得a ＞x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆☆) ………12分记函数F (x )＝x 2＋1x ln x －1，F '(x )＝(x 2－1)ln x －(x ＋1)2(x ln x －1)2当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＝(x 2－1)·⎝⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x －1∵G (x )＝ln x －x ＋1x －1＝ln x －2x －1－1递增，且G (e)＝－2e －1＜0∴当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＜0，即F '(x )＜0∴F (x )在[1, x 1)上单调递减，在(x 1, e]上也是单调递减， ………14分 ∴由条件(☆)得：a ＜F (x )max ＝F (1)＝－2 由条件(☆☆)得：a ＞F (x )min ＝F (e)＝e 2＋1e －1综上可得，a ＞e 2＋1e －1或a ＜－2． ………16分43. （本小题满分16分）44. 已知常数a ＞0，函数f (x )＝13ax 3－4(1－a )x ，g (x )＝ln(ax ＋1)－2x x ＋2．45. （1）讨论f (x )在(0,＋∞)上的单调性；46. （2）若f (x )在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上存在两个极值点x 1、x 2，且g (x 1)＋g (x 2)＞0，求实数a 的取值范围．解：（1）由题意可知：f '(x )＝ax 2－4(1－a )当a ≥1时，f '(x )＞0，此时，f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增． 当0＜a ＜1时，由f '(x )＝0得：x 1＝2a (1－a )a （x 2＝－2a (1－a )a＜0舍去） 当x ∈(0, x 1)时，f '(x )＜0；当x ∈(x 1,＋∞)时，f '(x )＞0.故f (x )在区间(0, x 1)上单调递减，在区间(x 1,＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≥1时，f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增； 当0＜a ＜1时，f (x )在区间(0,2a (1－a )a )上单调递减，在区间(2a (1－a )a,＋∞)上单调递增． ………6分（2）由（1）知，当a ≥1时，f '(x )≥0，此时f (x )不存在极值点， 因而要使得f (x )有两个极值点，必有0＜a ＜1. 又∵f (x )的极值点只可能是x 1＝2a (1－a )a 和x 2＝－2a (1－a )a， 由g (x )的定义可知，x ＞－1a 且x ≠－2，∴－2a (1－a )a ＞－1a 且2a (1－a )a x ≠2解得：0＜a ＜12或12＜a ＜1 【定义域在这里很重要】 ………8分此时，由（*）式易知，x 1, x 2分别是f (x )的极小值点和极大值点． 而g (x 1)＋g (x 2)＝ln(ax 1＋1)(ax 2＋1)－2x 1x 1＋2－2x 2x 2＋2＝ln[a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1]－4x 1x 2＋4(x 1＋x 2)x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝ln(2a －1)2－4(a －1)2a －1＝ln(2a －1)2－22a －1－2………10分令x ＝2a －1，由0＜a ＜12且a ≠12知，当0＜a ＜12时，－1＜x ＜0；当12＜a ＜1时，0＜x ＜1 ，记h (x )＝ln x 2＋2x－2．①当－1＜x ＜0时，h (x )＝2ln(－x )＋2x－2，设t ＝－x ∈(0,1)， (t )＝2ln t －2t －2单调递增 ∴ (t )＜ (1)＝－4＜0∴h (x )＜－4＜0，故当0＜a ＜12时，g (x 1)＋g (x 2)＜0，不合题意，舍去．②当0＜x ＜1时，h (x )＝2ln x ＋2x －2，∴h '(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2＜0，∴h (x )在(0,1)上单调递减，∴h (x )＞h (1)＝0，故当12＜a ＜1时，g (x 1)＋g (x 2)＞0．综上，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1．………16分附加题(考试时间：30分钟 总分：40分)xx.1021.（选修4—2：矩阵与变换）（本小题满分10分) 已知矩阵（1）求；（2）满足AX ＝二阶矩阵X解：(1) ………5分(2) ………10分22．（选修4—4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分)在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝3t(t 为参数)，求直线l 被曲线C 所截得的弦长．解：曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0，圆心为(1，1)，半径为2，(3分)直线的直角坐标方程为3x －y －3＝0，(5分)所以圆心到直线的距离为d ＝||3－1－32＝12，(8分)所以弦长＝22－14＝7.(10分)23.（本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝AC ＝4，AA 1⊥平面ABC ； AB ⊥AC ， （1）求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；（2）在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，求BDBC 1的值．解： （1）如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A －, 则B (0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4),设平面A 1BC 1的法向量为, 则,即,令,则,,所以.同理可得,平面BB 1C 1的法向量为, 所以.由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角,所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为. ………5分（2）设D 是直线BC 1上一点,且. 所以.解得,,. 所以.由,即.解得.因为,所以在线段BC 1上存在点D , 使得AD ⊥A 1B .此时,. ………10分1C 1A 1B 1C ABC24.（本小题满分10分)（1）证明：①；②（其中）；（2）某个比赛的决赛在甲、乙两名运动员之间进行，比赛共设局，每局比赛甲获胜的概率均为，首先赢满局者获胜（）. ①若，求甲获胜的概率；②证明：总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）. 解：（1）①()()()()()()()()()111!1!!!()!1!(1)!1!()!1!1!11!r r n nr n n r n r n n C C r n r r n r r n r n C r n r +++++-⎡⎤⎣⎦+=+=-+--+-+==++-+……2分②由① ……3分（2）①若，甲获胜的概率()10156)1()1(2322242233+-=-+-+=p p p p p pC p p pC p P ……5分②证明：设乙每一局获胜的概率为，则． 记在甲最终获胜的概率为，则()nn nn n nn n nn n n n n n n n n n n qC q Cq Cpqp pC q p pC q p pC p P 2221122211...1...++++=++++=++++++所以，()()()()()[]()()[()][][]()()()0122)()()(...)1()1()11(......1...1...11...1...1 (112111212111212211122211212211122211212211211221)3221211212231321211222131222211112221312222111122213122222111<-=-=-=+--=+--+-+++-++-+-=+++++++++-++++=++++--++++=++++-++++=-++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++q C q p C qC q p C qC q p C qC C q p C q C C q C C C q C C q C C q p qC q C q C q q C q C q C qC q C q C p q C q C q C q qC q C q C p q C q C q C p q C q C q C p P P n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n所以即总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）． ………10分 26545 67B1 枱Ay21102 526E 剮40664 9ED8 默33073 8131 脱 35752 8BA8 讨25121 6221 戡24143 5E4F 幏34944 8880 袀34497 86C1 蛁。
山东省2021版高三上学期数学10月月考试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·大连模拟) 已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则A∩B=（）A . {x|1＜x＜3}B . {x|﹣1＜x＜3}C . {x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3}D . {x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}2. （2分） f(x)=tanx+sinx+1，若f(b)=2，则f(-b)= （）A . 0B . 3C . -1D . -23. （2分）(2018·衡阳模拟) 下列说法正确的是（）A . 命题“若，则.”的否命题是“若，则.”B . 是函数在定义域上单调递增的充分不必要条件C .D . 若命题，则4. （2分）已知点A(1,-2)，若向量与同向，且，则点B的坐标为（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高一上·浙江期中) 函数f（x）=x•lg|x|的图象可能是（）A .B .C .D .6. （2分） (2020高一下·六安期末) 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A . 9B . 18C . 20D . 357. （2分）(2017·安徽模拟) 函数f（x）=x2﹣bx+c满足f（1+x）=f（1﹣x）且f（0）=3，则f（bx）和f （cx）的大小关系是（）A . f（bx）≤f（cx）B . f（bx）≥f（cx）C . f（bx）＞f（cx）D . 大小关系随x的不同而不同8. （2分） (2019高二下·湖州期末) 把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）.A .B .C .D .9. （2分） (2018高二上·嘉兴期中) 已知点，若圆上存在点（不同于点），使得，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二上·长沙开学考) 已知函数f（x）= sin2x+cos2x﹣m在[0， ]上有两个零点，则实数m的取值范围是（）A . （﹣1，2）B . [1，2）C . （﹣1，2]D . [1，2]11. （2分）函数f(x)= sin2x-2sin2x,(0≤x≤π/2)则函数f(x)的最小值为（）A . 1B . -2C .D . -12. （2分）已知正四棱锥的各棱棱长都为，则正四棱锥的外接球的表面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c﹣1），则c=________ ．14. （1分） (2018高三上·昭通期末) ，若，则x=________．15. （1分） (2016高一下·溧水期中) 在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=2：3：4，则最大角的余弦值=________．16. （1分） (2020高一上·建昌月考) 已知函数同时满足：①对于定义域上任意，恒有；②对于定义域上的任意当时，恒有，则称函数为“理想函数”.在下列三个函数中：（1），（2），（3）“理想函数”有________（只填序号）三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2020高一下·大庆期中) 已知数列为等差数列，其前n项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）求．18. （10分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=3，BC=2，D是BC的中点，F是C1C上一点．（1）当CF=2，求证：B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，求三棱锥B1﹣ADF体积．19. （10分）某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T（单位：年）有关．若T≤1，则销售利润为0元；若1＜T≤3，则销售利润为200元；若T＞3，则销售利润为400元．设每台该种电器的无故障使用时间T≤1，1＜T≤3及T＞3这三种情况发生的概率分别为p1 ， p2 ， p3 ，又知p1 ， p2是方程20x2﹣15x+a=0的两个根，且p2=p3 ，（1）求p1 ， p2 ， p3的值；（2）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列及均值．20. （5分） (2020高二下·乌拉特前旗月考) 已知椭圆的离心率为，且过点．若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点，且两点的“椭点”分别为，以为直径的圆经过坐标原点，试判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．21. （10分） (2016高一上·武汉期末) 已知函数f（x）=4sin2（ + ）•sinx+（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）﹣1．（1）化简f（x）；（2）常数ω＞0，若函数y=f（ωx）在区间上是增函数，求ω的取值范围；（3）若函数g（x）= 在的最大值为2，求实数a的值．22. （10分）(2020·南京模拟) 在极坐标系中,已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.23. （10分） (2017·上高模拟) 已知不等式|x+3|﹣2x﹣1＜0的解集为（x0 ，+∞）（Ⅰ）求x0的值；（Ⅱ）若函数f（x）=|x﹣m|+|x+ |﹣x0（m＞0）有零点，求实数m的值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共65分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、考点：解析：。
开 是输入秘密★启用前2021年高三10月月考试题 数学文 含答案一、选择题：（每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.已知，则的值为 A.B.C.D.2.“”是“”的( )条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 3.函数的定义域是A ．B ．C ．D ．4.已知是夹角为的两个单位向量，若向量，则A ．2B ．4C ．5D ．7 5．已知等差数列中，是方程的两根，则A ．B ．C ．1007D ．xx 6. 函数的零点所在的一个区间是 A ． B ． C ． D ．7.在中，角的对边分别为，已知命题若，则；命题若，则为等腰三角形或直角三角形，则下列的判断正确的是为真 B.为假 C.为真 D.为假8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ． B ． C ．16 D ．329.设对任意实数，不等式总成立．则实数的取值范围是 A ． B ． C ． D ．10.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点．若，则双曲线的离心率为 A ． B ． C ． D ． 二、填空题：（每小题5分，共计25分，把答案填在答题卡的相应位置．）11.复数（是虚数单位），则 .12.设为定义在上的奇函数，当时，（为实常数），则 .13.不等式组所表示的平面区域面积为 .14．如图是某算法的程序框图，若任意输入中的实数， 则输出的大于的概率为 .设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上 是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在[0,3]A B MC D P上是“关联函数”，则的取值范围是 . 三、解答题：（本大题共6小题，共计75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.某公司近年来科研费用支出万元与公司所获得利润万元之间有如下的统计数据：（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：参考数据：2×18+3×27+4×32+5×35=42017.已知．（1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若 求函数的单调区间.18.先将函数的图象上所有的点都向右平移个单位，再把所有的点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象. （1）求函数的解析式和单调递减区间； （2）若为锐角三角形的内角，且，求的值.19.已知三棱锥中，⊥，,为的中点，为的中点，且△为正三角形． （1）求证：⊥平面； （2）若，，求三棱锥的体积．20.已知数列中，点在直线上，其中. （1）求证：为等比数列并求出的通项公式； （2）设数列的前且，令的前项和。
2021学年山东省枣庄市某校高一（上）10月月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1. 设集合A ={0, 1, 2, 3}，集合B ={2, 3, 4}，则A ∩B =( )A.{2, 3}B.{0, 1}C.{0, 1, 4}D.{0, 1, 2, 3, 4}2. 函数y =√x+2x−1的定义域为( ) A.{x|x >−2且x ≠1} B.x ≥−2，且x ≠1 C.[−2, 1)∪(1, +∞)D.(−2, 1)∪(1, +∞)3. 设偶函数f(x)的定义域为R ，当x ∈[0, +∞)时f(x)是增函数，则f(−2)，f(π)，f(−3)的大小关系是( )A.f(π)>f(−3)>f(−2)B.f(π)>f(−2)>f(−3)C.f(π)<f(−3)<f(−2)D.f(π)<f(−2)<f(−3)4. 设集合M ={x|0≤x ≤34}，N ={x|23≤x ≤1}，如果把b −a 叫做集合{x|a ≤x ≤b}的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”是（ ）A.112B.14C.13D.235. 下列函数中，满足“f(x +y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是（ ）A.f(x)＝x 12B.f(x)＝x 3C.f(x)＝(12)xD.f(x)＝3x6. 函数f(x)=2x −2−x 2是（ ）A.偶函数，在(0, +∞)是增函数B.奇函数，在(0, +∞)是增函数C.偶函数，在(0, +∞)是减函数D.奇函数，在(0, +∞)是减函数7. 已知函数f(x)={log 3x ，x >02x ，x ≤0.则f[f(127)]的值为（ ）A.18B.4C.2D.148. 已知a >0，b >0且ab =1，则函数f(x)=a x 与函数g(x)=−log b x 的图象可能是（ ）A. B.C.D.9. 设函数f(x)={21−x ，x ≤1，1−log 2x ，x >1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是( ) A.[−1, 2]B.[0, 2]C.[1, +∞)D.[0, +∞) 10. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(−∞, 0]上是增函数，设a =f(log 47)，b =f(log 23)，c =f(0.20.6)，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.c <b <aB.b <c <aC.b <a <cD.a <b <c11. 设函数f(x)={2x +a,x >2x+a 2,x ≤2，若f(x)的值域为R ，则常数a 的取值范围是（ ） A.(−∞, −1]∪[2, +∞)B.[−1, 2]C.(−∞, −2]∪[1, +∞)D.[−2, 1]12. 若函数y =log a (x 2−ax +1)有最小值，则a 的取值范围是( )A.0<a <1B.0<a <2，a ≠1 C .1<a <2 D.a ≥2 二、填空题（每小题4分，共16分）为________．若函数f(x)=x(2x+1)(x+a)的图象关于原点对称，则a=________．函数f(x)=log12(2x2−3x+1)的增区间是________．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=(13)x，则f(−2+ log35)=________．三、解答题：（本大题共4小题，共44分）已知A={x|13<3x<9}，B={x|log2x>0}．(1)求A∩B和A∪B；(2)定义A−B={x|x∈A且x∉B}，求A−B和B−A．已知二次函数f(x)满足条件f(0)＝1和f(x+1)−f(x)＝2x．（1）求f(x)的解析式；（2）求f(x)在区间[−1, 1]值域．已知a>0且a≠1，函数f(x)=log a(x−1)，g(x)=log1a(3−x)（1）若ℎ(x)=f(x)−g(x)，求函数ℎ(x)的值域；（2）利用对数函数单调性讨论不等式f(x)+g(x)≥0中x的取值范围．已知函数f(x)=(13)x，x∈[−1, 1]，函数g(x)=f2(x)−2af(x)+3的最小值为ℎ(a)．(1)求ℎ(a)的解析式；(2)是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m>n>3；②当ℎ(a)的定义域为[n, m]时，值域为[n2, m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2021学年山东省枣庄市某校高一（上）10月月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】根据题意和交集的运算直接求出A∩B．【解答】解：因为集合A={0, 1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，所以A∩B={2, 3}，故选：A．2.【答案】C【考点】函数的定义域及其求法【解析】函数的定义域是使函数表达式有意义的x的集合，因此二次根式的被开方数非负且分母不为零，由此建立不等式组并求解集，即可得到函数的定义域．【解答】解：根据题意，得{x+2≥0，x−1≠0，解得x≥−2且x≠1，∴函数y=√x+2x−1的定义域为{x|x≥−2且x≠1}.故选C.3.【答案】A【考点】偶函数函数单调性的性质【解析】由偶函数的性质，知若x∈[0, +∞)时f(x)是增函数则x∈(−∞, 0)时f(x)是减函数，此函数的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，故比较三式大小的问题，转化成比较三式中自变量−2，−3，π的绝对值大小的问题．【解答】解：由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0, +∞)时，f(x)是增函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵ |−2|<|−3|<π，∴ f(π)>f(−3)>f(−2).故选A ．4.【答案】A【考点】集合的含义与表示【解析】根据所给的集合的表示形式，求出两个集合的交集．根据所给的新定义，写出集合的长度，即把不等式的两个端点相减．【解答】解：∵ M ={x|0≤x ≤34}，N ={x|23≤x ≤1} ∴ 集合M ∩N ={x|23≤x ≤34}，∵ b −a 叫做集合x|a ≤x ≤b}的“长度”，∴ 集合M ∩N 的“长度”是34−23=112故选A ．5.【答案】D【考点】抽象函数及其应用【解析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f(x +y)＝f(x)f(y)，然后考虑函数的单调性，即可得到答案．【解答】A ．f(x)=x 12，f(y)=y 12，f(x +y)=(x +y)12，不满足f(x +y)＝f(x)f(y)，故A 错；B ．f(x)＝x 3，f(y)＝y 3，f(x +y)＝(x +y)3，不满足f(x +y)＝f(x)f(y)，故B 错；C ．f(x)=(12)x ，f(y)=(12)y ，f(x +y)=(12)x+y ，满足f(x +y)＝f(x)f(y)，但f(x)在R 上是单调减函数，故C 错．D ．f(x)＝3x ，f(y)＝3y ，f(x +y)＝3x+y ，满足f(x +y)＝f(x)f(y)，且f(x)在R 上是单调增函数，故D 正确；6.【答案】B【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明f(x)单调性．【解答】解：f(x)的定义域为R ，f(−x)=2−x −2x 2=−2x −2−x 2=−f(x)，则函数f(x)为奇函数；又y =2x 为增函数，y =−2−x 为增函数，∴ f(x)为增函数；故选B ．7.【答案】A【考点】函数的求值【解析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵ 函数f(x)={log 3x ，x >02x ，x ≤0.， ∴ f(127)=log 3127=−3，f[f(127)]=f(−3)=2−3=18．故选：A ．8.【答案】B【考点】对数函数的图象与性质指数函数的性质函数的图象【解析】由条件ab =1化简g(x)的解析式，结合指数函数、对数函数的性质可得正确答案【解答】解：∵ ab =1，且a >0，b >0,∴ a =1b , 又g(x)=−log b x =log (b −1)x =log 1bx =log a x , 所以f(x)与g(x)的底数相同，单调性相同.故选B .9.【答案】对数函数的单调性与特殊点【解析】分类讨论：①当x≤1时；②当x>1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．【解答】解：当x≤1时，21−x≤2的可变形为1−x≤1，x≥0，∴0≤x≤1，当x>1时，1−log2x≤2的可变形为x≥12，∴x>1，故x的取值范围是[0, +∞)．故选D．10.【答案】C【考点】对数值大小的比较奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】由f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞, 0]上是增函数，可得出自变量的绝对值越小，函数值越大，由此问题转化为比较自变量的大小，问题即可解决．【解答】解：f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞, 0]上是增函数，得到函数在(0, +∞)上是减函数，由于0<0.20.6<1<log47<log49=log23，可得b<a<c.故选C．11.【答案】A【考点】分段函数的应用【解析】由题意可知，y＝2x+a>4+a，y＝x+a2≤2+a2，a2+2≥a+4，解不等式可求【解答】当x>2时，y＝2x+a>4+a当x≤2时，y＝x+a2≤2+a2∵f(x)的值域为R，∴a2+2≥a+4解不等式可得，a≥2或a≤−1C【考点】函数的最值及其几何意义【解析】先根据复合函数的单调性确定函数g(x)=x2−ax+1的单调性，进而分a>1和0< a<1两种情况讨论：①当a>1时，考虑地函数的图象与性质得到x2−ax+1的函数值恒为正；②当0<a<1时，x2−ax+1没有最大值，从而不能使得函数y=log a(x2−ax+1)有最小值．最后取这两种情形的并集即可．【解答】解：令g(x)=x2−ax+1(a>0，且a≠1)，g(x)开口向上；①当a>1时，g(x)在R上恒为正；∴Δ=a2−4<0，解得1<a<2；②当0<a<1时，x2−ax+1没有最大值，从而不能使得函数y=loga(x2−ax+1)有最小值，不符合题意．综上所述：1<a<2.故选C.二、填空题（每小题4分，共16分）【答案】m<n【考点】不等式比较两数大小【解析】由题意可得：函数f(x)=a x在R上是单调减函数，又f(m)>f(n)，可得：m<n．【解答】解：因为a=a=√5−√22∈(0, 1)，所以函数f(x)=a x在R上是单调减函数，因为f(m)>f(n)，所以根据减函数的定义可得：m<n．故答案为：m<n．【答案】−1 2【考点】函数奇偶性的性质【解析】根据奇函数的图象的性质，可以函数f(x)图象关于原点对称，即f(x)为奇函数．【解答】解：∵函数f(x)=x(2x+1)(x+a)的图象关于原点对称，∴函数f(x)为奇函数，∴f(−x)=−f(x)，−x x∴ (−2x +1)(−x +a)=(2x +1)(x +a)，解得，a =−12. 故答案为：−12.【答案】(−∞, 12) 【考点】复合函数的单调性【解析】令t(x)=2x 2−3x +1>0，求得函数的定义域．根据复合函数的单调性，本题即求函数t(x)在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质求得t(x)=2x 2−3x +1在定义域内的减区间．【解答】解：令t(x)=2x 2−3x +1>0，求得x <12或x >1，故函数的定义域为{x|x <12或x >1}，且 f(x)=log 12t(x)， 根据复合函数的单调性，本题即求函数t(x)在定义域内的减区间．∵ 二次函数y =2x 2−3x +1在定义域内的减区间是(−∞, 12)，∴ f(x)的增区间是(−∞, 12)．故答案为：(−∞, 12)．【答案】−59【考点】奇函数函数的求值【解析】可利用奇函数的定义将f(−2+log 35)的值的问题转化为求f(2−log 35)的值问题，再根据函数的性质求出f(−2+log 35)【解答】解：由题意f(−2+log 35)=−f(2−log 35)由于当x >0时，f(x)=(13)x ，故f(−2+log 35)=−f(log 395)=(13)log 395=−59 故答案为−59 三、解答题：（本大题共4小题，共44分）【答案】解：(1)由A 中的不等式变形得：3−1<3x <32，解得−1<x <2，即A =(−1, 2)，∴ B =(1, +∞)，则A ∩B =(1, 2)，A ∪B =(−1, +∞)；(2)∵ A =(−1, 2)，B =(1, +∞)，又A −B ={x|x ∈A 且x ∉B}，∴ A −B =(−1, 1]，B −A =[2, +∞).【考点】集合新定义问题指、对数不等式的解法交集及其运算并集及其运算【解析】（1）求出A 与B 中其他不等式的解集确定出A 与B ，找出两集合的交集，并集即可；（2）根据A −B 的定义，求出A −B 与B −A 即可．【解答】解：(1)由A 中的不等式变形得：3−1<3x <32，解得−1<x <2，即A =(−1, 2)，由B 中的不等式变形得：log 2x >0=log 21，得到x >1，∴ B =(1, +∞)，则A ∩B =(1, 2)，A ∪B =(−1, +∞)；(2)∵ A =(−1, 2)，B =(1, +∞)，又A −B ={x|x ∈A 且x ∉B}，∴ A −B =(−1, 1]，B −A =[2, +∞).【答案】二次函数f(x)满足条件f(0)＝1设f(x)＝ax 2+bx +1，f(x +1)−f(x)＝2x ．∴ a(x +1)2+b(x +1)+1−[ax 2+bx +1]＝2x展开化简得：2ax +a +b ＝2x ，2a ＝2．a +b ＝0即a ＝1，b ＝−1，故f(x)＝x 2−x +1，f(x)＝x 2−x +1，x ∈[−1, 1]∵ =12为对称轴，12∈[−1, 1]f(12)=34，f(−1)＝3，f(1)＝1， ∴ f(x)在区间[−1, 1]值域为[34, 3]【考点】函数的值域及其求法函数解析式的求解及常用方法（1）f(x)＝ax 2+bx +1，代入求解f(x +1)−f(x)＝2x ，化简求解系数．（2）求对称轴，端点值，判断大小．【解答】二次函数f(x)满足条件f(0)＝1设f(x)＝ax 2+bx +1，f(x +1)−f(x)＝2x ．∴ a(x +1)2+b(x +1)+1−[ax 2+bx +1]＝2x展开化简得：2ax +a +b ＝2x ，2a ＝2．a +b ＝0即a ＝1，b ＝−1，故f(x)＝x 2−x +1，f(x)＝x 2−x +1，x ∈[−1, 1]∵ =12为对称轴，12∈[−1, 1]f(12)=34，f(−1)＝3，f(1)＝1， ∴ f(x)在区间[−1, 1]值域为[34, 3] 【答案】解：（1）ℎ(x)=log a (x −1)−log 1a(3−x)=log a (x −1)(3−x) 由{x −1>03−x >0得1<x <3所以函数ℎ(x)的定义域为(1, 3) 令t =(x −1)(3−x)而x ∈(1, 3)所以t ∈(0, 1]当0<a <1时log a t ≥0即ℎ(x)≥0当a >1时log a t ≤0即ℎ(x)≤0所以当0<a <1时函数ℎ(x)的值域为[0, +∞)；当a >1时函数ℎ(x)的值域为(−∞, 0]（2）由f(x)+g(x)≥0得f(x)≥−g(x)即log a (x −1)≥log a (3−x)①当0<a <1时要使不等式①成立则{x −1>03−x >0x −1≤3−x即1<x ≤2当时要使不等式①成立则{x −1>03−x >0x −1≥3−x即2≤x <3综上所述当0<a <1时不等式f(x)+g(x)≥0中x 的取值范围为(1, 2]当a >1时不等式f(x)+g(x)≥0中x 的取值范围为[2, 3)【考点】其他不等式的解法对数的运算性质【解析】（1）化简ℎ(x)=f(x)−g(x)，求出函数的定义域，然后通过a 的范围讨论函数ℎ(x)的值域；（2）利用对数函数单调性，讨论a 的范围，列出不等式f(x)+g(x)≥0的不等式组，求出x 的取值范围．【解答】解：（1）ℎ(x)=log a (x −1)−log 1a(3−x)=log a (x −1)(3−x) 由{x −1>03−x >0得1<x <3所以函数ℎ(x)的定义域为(1, 3) 令t =(x −1)(3−x)而x ∈(1, 3)所以t ∈(0, 1]当0<a <1时log a t ≥0即ℎ(x)≥0当a >1时log a t ≤0即ℎ(x)≤0所以当0<a <1时函数ℎ(x)的值域为[0, +∞)；当a >1时函数ℎ(x)的值域为(−∞, 0]（2）由f(x)+g(x)≥0得f(x)≥−g(x)即log a (x −1)≥log a (3−x)①当0<a <1时要使不等式①成立则{x −1>03−x >0x −1≤3−x即1<x ≤2当时要使不等式①成立则{x −1>03−x >0x −1≥3−x即2≤x <3综上所述当0<a <1时不等式f(x)+g(x)≥0中x 的取值范围为(1, 2]当a >1时不等式f(x)+g(x)≥0中x 的取值范围为[2, 3)【答案】解：(1)由f(x)=(13)x ，x ∈[−1,1]， 可知f(x)∈[13，3]，设f(x)=t ，则g(x)=y =t 2−2at +3，则g(x)的对称轴为t =a ，故有： ①当a ≤13时，g(x)的最小值ℎ(a)=289−2a 3， ②当a ≥3时，g(x)的最小值ℎ(a)=12−6a ， ③当13<a <3时，g(x)的最小值ℎ(a)=3−a 2,综上所述，ℎ(a)={289−2a 3，a ≤13，3−a 2，13<a <3，12−6a,a ≥3.(2)当a ≥3时，ℎ(a)=−6a +12，故m >n >3时，ℎ(a)在[n, m]上为减函数， 所以ℎ(a)在[n, m]上的值域为[ℎ(m), ℎ(n)]．由题意，则{ℎ(m)=n 2，ℎ(n)=m 2，⇒{−6m +12=n 2，−6n +12=m 2，两式相减得6n −6m =n 2−m 2，又m ≠n ，所以m +n =6，这与m >n >3矛盾，故不存在满足题中条件的m ，n 的值．【考点】二次函数在闭区间上的最值指数函数的定义、解析式、定义域和值域函数单调性的性质【解析】（1）g(x)为关于f(x)的二次函数，可用换元法，转化为二次函数在特定区间上的最值问题，定区间动轴；（2）由（1）可知a ≥3时，ℎ(a)为一次函数且为减函数，求值域，找关系即可．【解答】解：(1)由f(x)=(13)x ，x ∈[−1,1]，可知f(x)∈[13，3]， 设f(x)=t ，则g(x)=y =t 2−2at +3，则g(x)的对称轴为t =a ，故有： ①当a ≤13时，g(x)的最小值ℎ(a)=289−2a 3， ②当a ≥3时，g(x)的最小值ℎ(a)=12−6a ， ③当13<a <3时，g(x)的最小值ℎ(a)=3−a 2,综上所述，ℎ(a)={289−2a 3，a ≤13，3−a 2，13<a <3，12−6a,a ≥3.(2)当a ≥3时，ℎ(a)=−6a +12，故m >n >3时，ℎ(a)在[n, m]上为减函数， 所以ℎ(a)在[n, m]上的值域为[ℎ(m), ℎ(n)]．由题意，则{ℎ(m)=n 2，ℎ(n)=m 2，⇒{−6m +12=n 2，−6n +12=m 2，两式相减得6n −6m =n 2−m 2，又m ≠n ，所以m +n =6，这与m >n >3矛盾，故不存在满足题中条件的m ，n 的值．。
2021年高三10月月考数学（理）试题含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知全集，集合,则A. B. C. D.2. 命题“若”的逆否命题是A．若B．若C．若则D．若3．给出下列四个命题:①命题,则.②当时,不等式的解集为非空.③当时,有.④设复数z满足（1-i）z=2 i，则z=1-i其中真命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．44．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下右图所示，则导函数y=f (x)可能为（）5. 设，则（）A. B. C. D.6. 曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为A. B. C. D.7. 设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|最小值为A． B. C. D.8. 若定义在R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是A. 2个B. 3个C. 4个D. 多于4个9．已知函数,若||≥,则的取值范围是A. B. C. D.10．已知函数，若，且，则的取值范围（ ）A ． B. C. D.11．已知函数定义在R 上的奇函数，当时，，给出下列命题：①当时， ②函数有2个零点③的解集为 ④，都有其中正确命题个数是A ．1B ．2C ．3D ．412. 已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示中的较大值,表示中的较小值,记得最小值为得最大值为,则A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 若集合，则=___________14、已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.15. 已知“命题”是“命题”成立的必要不充分条件,则实数的取值范围为_________________.16. 关于函数，有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数；③f (x )的最小值是lg 2；④f (x )在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数；⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题(17-21题每小题满分12分，选做题10分，共70分)17．设p ：关于的不等式的解集是；q ：函数的定义域为R 。
2021年高三上学期10月月考理数试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，，则集合（ ）A ．B ．C ．D ．2．若，则下列不等式中不成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．函数的零点有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．设，，，则的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则+=B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D ．在数列中，，，计算，由此推测通项6．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数的定义域和值域都是，则( )A ．B ．C ．D ．8．函数满足，那么函数的图象大致为（ ）9．设函数是定义在上周期为3的奇函数，若，，则有（ ）A ．且B ．或C ．D ．10．已知，是互不相同的正数，且，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在题中横线上11．．12．设实数满足则的最大值为．13．观察下列式子：，，，…，根据上述规律，第个不等式应该为．14．在等式“”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数依次为、．15．下列四个命题：①命题“若，则”的否命题是“若，则”；②若命题，则；③若命题“”与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题；④命题“若，则”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题有6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16．（本题满分12分）已知集合，，．(Ⅰ)求集合；(Ⅱ)若，求实数的取值范围．17．（本题满分12分）设命题：函数在上是增函数，命题：，如果是假命题，是真命题，求的取值范围．18．（本题满分12分）已知函数．(Ⅰ)若函数的图象在处的切线方程为求的值；(Ⅱ)若函数在上是增函数，求实数的最大值．19．（本题满分12分）已知二次函数．(Ⅰ)若且函数的值域为求函数的解析式；(Ⅱ)若且函数在上有两个零点，求的取值范围．20．（本题满分13分）某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度(单位：毫克/立方米)随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用．(Ⅰ)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？(Ⅱ)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求的最小值(精确到，参考数据：取)．21．（本题满分14分）设，函数．(Ⅰ)求的单调递增区间；(Ⅱ)设问是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；(Ⅲ)设是函数图象上任意不同的两点，线段的中点为直线的斜率为．证明：．高三数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题：ABADA BCCBD二、填空题：11．8 12．4 13．14．4，12 15．②③三、解答题16.解：(Ⅰ)由，得．…………………………2分由不等式得所以．…………………………4分所以．…………………………6分(Ⅱ)因为，所以，…………………………8分所以…………………………9分解得．…………………………11分所以，实数的取值范围是．…………………………12分17．解：∵函数在上是增函数，∴，…………………………2分由得方程有解，………………4分∴，解得或…………………………5分∵是假命题，是真命题，∴命题一真一假，…………………………6分①若真假，则∴；…………………………8分②若假真，则解得，…………………………10分综上可得的取值范围为…………………………12分18．解：(Ⅰ)∵∴．于是由题知解得．…………………………2分∴．∴，于是，解得．…………………………4分(Ⅱ)由题意即恒成立，∴恒成立；……………6分减函数极小值增函数∴…………………………11分∴．∴的最大值为…………………………12分19．解：(Ⅰ)因为所以…………………………2分因为函数的值域为所以方程有两个相等的实数根，…………………………3分即有等根，故．…………………………5分所以；…………………6分(Ⅱ)解法一：因为在上有两个零点，且，所以有……8分(图正确，答案错误，扣2分)通过线性规划可得．……12分(若答案为，则扣1分)解法二：设的两个零点分别为，所以；…………8分不妨设，因为，且，所以,…………………………10分因为，所以．…………………………12分20．解：(Ⅰ)因为一次喷洒4个单位的去污剂，所以空气中释放的浓度为…………………………2分当时，令，解得，所以．当时，令，解得，所以．于是得，…………………………5分即一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达8天．…………………………6分(Ⅱ)设从第一次喷洒起，经天，浓度．…………………………8分因为，而，所以，…………………………10分故当且仅当时，有最小值为．令，解得，…………………………12分所以的最小值为．…………………………13分21．解：在区间上，．…………………………1分(Ⅰ) ．(1)当时，∵，∴恒成立，的单调增区间为；………2分(2)当时，令，即，得∴的单调增区间为…………………………3分综上所述：当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为…………………………4分(Ⅱ)得…………………………5分当时，恒有∴在上为单调增函数，故在上无极值；…………………………6分当时，令，得单调递增，单调递减．∴无极小值…………………………8分综上所述：时，无极值时，有极大值无极小值．…………………………9分29922 74E2 瓢25903 652F 支{28051 6D93 涓>31261 7A1D 稝11[~29029 7165 煥p31708 7BDC 篜21076 5254 剔20099 4E83 亃。
2020～2021学年度第一学期10月单元检测高一数学 2020.10命题人：田久华 审核人：陈兵一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的． 1．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,8,92,3,4,51,2,3,6,7U A B ===，，，则()U BA = ( )A ．{}1,6B ．{}6,7C ．{}6,7,8D ．{}1,6,7 2.设命题p ：k ∃∈N,223k k >+则p ⌝为( )A. k ∀∈N,223k k >+ B ．k ∃∈N,223k k <+C ．k ∀∈N,223k k ≤+D ．k ∃∈N,223k k ≤+3．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A.()2f x x =+与24()2x g x x -=- B ．()1f x x =+与1,1,()1, 1.x x g x x x --<⎧=⎨+≥⎩C ．()1f x =与0()g x x = D.()32(R)f x x x =+∈与()32(R)g t t t =+∈4.设,R a b ∈，则“4a b +≤”是“2a ≤，且2b ≤”的( )A.充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件5．下列说法中，错误．．的是（ ） A. 若0,0b a m >>>，则a m ab m b+>+ B ．若22a b c c >，则a b > C ．若22,0a b ab >>，则11a b < D.若,a b c d ><，则a c b d ->- 6．已知函数()()2,1,11,1,x x f x f x x ⎧<⎪=⎨--≥⎪⎩则()2020f =( ) . A ．1- B ．2020- C ．1 D ．20207．已知函数()x f x x m =-，若函数()f x 在区间()2,+∞上单调递减，则实数m 的取值范围为( )A ．()0,2B ．(]0,2C ．[)2,+∞D ．()2,+∞8．已知函数2240,()0,x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，，若()()5f f m ≥,则实数m 的取值范围是（ ） A ．)5,⎡+∞⎣ B ．0,5⎡⎤⎣⎦ C ．(,5⎤-∞-⎦ D ． 5,0⎡⎤-⎣⎦二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9.已知集合{}{}2|60,|10,A x x x B x mx =--==-=A B B =,则实数m 取值为（ ）A ．13 B.12- C ．13- D ．010. 下列命题正确．．的是（ ） A ．若0x <，则4x x+的最小值为4. B ．若R x ∈,则221 32x x +++的最小值为3. C ．若22 ,R,15a b a b ab ∈+=-，则 a b 的最大值为5.D ．若 0,0,24a b a b >>+=，则 a b 的最大值为2. 11．已知()f x 为定义在R 上的函数，对任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+， 并且当0x <时，有()0f x <，则（ ）A ．(0)0f =B ．若(2)2f =，则(2)2f -=C ．()f x 在(),-∞+∞上为增函数D ．若(2)2f =，且2()(25)4f a f a -->，则实数a 的取值范围为()(),11,-∞+∞.12.若对任意满足22x y +=的正实数,,x y 223524x y x y xy+++2*2(N )m m >∈恒成立，则正整数．．．m 的取值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分,第16题第一空2分，第二空3分.13.函数()f x 的值域为__________________.14.若{},,min ,,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩则函数{}2()min ,23f x x x =---的最大值为________. 15.若0,x y z >>>则2211269()x xz z x x y xy++-+-的最小值为_______. 16.函数()21f x x =++的单调递减区间为_______;函数21,,()3,,x x k g x kx x k ⎧++<=⎨-≥⎩若()g x 是定义在R 上的减函数，则实数k 的值为____________.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知全集R,U =集合}{}{|2,|44.A x x B x x =>=-<< （Ⅰ）求()U C A B ；（Ⅱ）定义}{,,|B x A x x B A ∉∈=-且求B A -，()A A B --.18.(本小题满分12分)已知函数4()f x x x =+. （Ⅰ）求()(2)f f ；（Ⅱ）判断函数()f x 在区间[]2,4上的单调性，并证明；（III ）关于x 的不等式4x m x+<在区间[]2,4上有解，求实数m 的取值范围.19.(本小题满分12分)（Ⅰ）若,0,a b >且3ab a b =++，求ab 的最小值；（Ⅱ）若,0,a b >且ab a b =+，求4a b +的最小值.20.（本小题满分12分）已知不等式2320ax x -+>的解集为{1,x x <或}x b >， （Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）解关于x 的不等式2()0cx ac b x ab ++>-()c ∈R ．21.（本小题满分12分）2020年滕州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元．每生产x （百辆）新能源汽车，需另投入成本()C x 万元，且210100, 040,() 36005014500, 40.x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩由市场调研知，每辆车售价5万元，且生产的车辆当年能全部销售完．（Ⅰ）求出2020年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）（Ⅱ）2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．22．（本小题满分12分）已知函数().32++=ax x x f （Ⅰ）当[]2,2-∈x 时，()f x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）关于x 的不等式()0f x <的解集为{|x m x m <<+，求实数a 的值.。
卜人入州八九几市潮王学校师范大学附属2021届高三数学上学期10月月考试题文〔含解析〕第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕(){|20}A x x x=-<，且()A B A⋃=，那么集合B可能是()A.{}1-B.{}0C.{}1D.{}2【答案】C【解析】【分析】先解出A＝〔0，2〕，根据A∪B＝A可得出B⊆A，依次看选项里面哪个集合是A的子集即可．【详解】A＝〔0，2〕；∵A∪B＝A；∴B⊆A；选项里面，只有{1}⊆A．应选：C．【点睛】此题考察了并集的定义及运算，子集的定义及一元二次不等式的解法问题，属于根底题．z满足11iz z=+，那么复数z的一共轭复数z对应的点在〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法那么首先求得z 的值，然后求解其一共轭复数即可确定其所在的象限.【详解】由题意可得：1zi z =+，那么()()111111122i z i i i i --===----+--， 故1122zi =-+，其所对的点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第二象限.应选：B.【点睛】此题主要考察复数的运算法那么，复数所在象限确实定等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.3.以下判断正确的选项是〔〕A.“2x <-〞是“ln(3)0x +<〞的充分不必要条件B.函数()f x =的最小值为2C.当,R αβ∈sin sin αβ≠，那么αβ≠D.0x ∀>，201920190x +>〞的否认是“00x ∃≤，020*******x +≤〞【答案】C 【解析】 【分析】求解对数不等式之后即可考察选项A 是否正确，利用换元法可确定选项BCD 是否正确. 对于选项A ：由ln(3)0x +<可得031x <+<，即32x -<<-，故“2x <-〞是“ln(3)0x +<对于选项B ：令)3tt =≥，由对勾函数的性质可知函数()()13f t t t t =+≥单调递增，其最小值为()1033f =对于选项C αβ=，那么sin sin αβ=〞，对于选项D 0x ∀>，201920190x +>〞的否认是“00x ∃>，020*******x +≤应选：C.{}n a 满足()2*12n nn a an N +=∈，那么65a a -的值是B.-C.2D.【答案】D 【解析】分析：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，由()212nn n a a n N *+=∈，可得()21122122n n n nn n a a a a ++++=，解得2,q=2222,0n n n a a ∴⨯=>，解得2122n na -=，代入即可得结果.详解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，()212n n n a a n N *+=∈，所以()2121221242n n n n n n a a q a a ++++===，解得2q，2222,0nn n a a ∴⨯=>，解得2122n na -=，那么119226522aa -=-=，应选D.点睛：此题主要考察数列递推关系，等比数列的通项公式，意在考察推理才能与计算才能以及根本概念与根本公式的掌握的纯熟程度，属于中档题.2tan ()1xf x x x=++的局部图象大致为〔〕A. B. C.D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的性质和函数值的取值情况进展分析、判断可得结论． 【详解】因为()()21tanxf x x f x x-=++=， 所以函数()f x 为偶函数，故函数的图象关于y 轴对称，故可排除A ，C ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0tanx >，所以()0f x >，故可排除B ． 从而可得选项D 正确． 应选D ．【点睛】此题考察用排除法判断函数图象的形状，解题的关键是根据函数的解析式得到函数为偶函数，进而得到图象的对称情况，然后再通过判断函数值的方法求解． 6.O 为ABC ∆的外接圆的圆心，且345OA OBOC +=-，那么C ∠的值是〔〕A.4π B.2π C.6π D.12π【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先结合平面向量数量积的运算法那么确定AOB ∠的大小，然后建立平面直角坐标系，结合向量的运算法那么求得cos C 的值即可确定C ∠的值.【详解】由题意可得：||||||OA OB OC ==，且1(34)5OCOA OB =-+，224||25OC OA OB =+⋅， 24025OA OB ∴⋅=，∴∠AOB =90°. 如下列图，建立平面直角坐标系，设()0,1A ，()10B ,， 由()344,35OA OB OC +==-可知：43,55C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，那么：48,55CA ⎛⎫= ⎪⎝⎭，93,55CB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，362425cos 4CA CB C CA CB +⋅===⨯，那么4Cπ∠=.应选：A.【点睛】此题主要考察平面向量的运算法那么，向量垂直的充分必要条件，由平面向量求解角度值的方法等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.7.,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα，那么sin (sin )αα，cos (sin )αα，sin (cos )αα，cos (cos )αα中值最大的为〔〕 A.cos (cos )ααB.sin (sin )ααC.cos (sin )ααD.sin (cos )αα【答案】C 【解析】 【分析】由题意首先确定sin ,cos αα的范围，然后结合指数函数的单调性和幂函数的单调性确定所给选项里面最大的数即可.【详解】由于,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα，故0sin 1,0cos 1αα<<<<，且sin cos αα>. 由指数函数的单调性可得：()()sin cos sin sin αααα<，()()sin cos cos cos αααα<，由幂函数的单调性可得：()()cos cos sin cos αααα>， 综上可得，sin (sin )αα，cos (sin )αα，sin (cos )αα，cos (cos )αα中值最大的为cos (sin )αα.应选：C.【点睛】此题主要考察三角函数范围的应用，指数函数的单调性，幂函数的单调性的应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.{}n a 满足12a =，且对任意正整数n ，总有()()1112n n n a a a +--=成立，那么数列{}n a 的前2021项的乘积为〔〕A.12B.1C.2D..3【答案】D 【解析】【分析】由题意结合递推关系式求得数列的前几项，确定数列为周期数列，然后结合周期性即可求解数列{}n a 的前2021项的乘积即可.【详解】由题意可得：1211n n na a a +=+-，故：12a =，1212131a a a =+=--，23221112a a a =+=--， 34321113a a a =+=-，45142121a a a a =+==-， 据此可得数列{}n a 是周期为4T =的周期数列，注意到201943MOD =，且：12341a a a a =，故数列{}n a 的前2021项的乘积为：()12332⎛⎫⨯-⨯-= ⎪⎝⎭. 应选：D.【点睛】此题主要考察数列的递推关系及其应用，数列的周期性等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.()2cos()4f x x πω=+〔0>ω〕的图象向右平移4πω个单位，得取函数()y g x =的图象，假设()y g x =在[0,]3π上为减函数，那么ω的最大值为〔〕 A.2 B.3C.4D.5【答案】B 【解析】由题意可得函数()g x 的解析式为ππ()2cos 2cos 44g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数()g x 的一个单调递减区间是π0ω⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，假设函数()y g x =在区间π03，⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，那么ππ003ω⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，只要ππ3ω≥，∴3ω≤，那么ω的最大值为3，应选B ． 点睛：函数的单调区间，求参，直接表示出函数的单调区间，让区间π03，⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调区间的子集；{}n a 满足11a =，()*11(1)n n n n a a a a n N n n ++-=∈+，那么10a 的值是〔〕 A.23B.12C.1019D.52【答案】C 【解析】 【分析】首先整理所给的递推关系式，然后累加求通项即可求得10a 的值.【详解】由11(1)n n n n a a a a n n ++-=+可得:()11111111n na a n n n n +-==-++， 那么：101099821111111111a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111191191089210⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，那么101019a =. 应选：C.【点睛】此题主要考察数列递推关系的应用，裂项求通项的方法等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.{}n a 的前n 项和为n S ，假设()2*12n n S S n n ++=∈N ，且1028a =，那么2a =〔〕A.－5B.－10C.12D.16【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用递推关系式确定数列为隔项等差数列，然后结合10a 的值可得2a 的值.【详解】由题意可得：212n n S S n ++=，()2121n n S S n -+=-，两式作差可得：()122142nn a a n n ++=-=-，① 进一步有：()141246n n a a n n -+=--=-，②①-②可得：114n n a a +--=，故数列的偶数项为等差数列，且公差为4， 据此可得：1024a a d =+，即：22844a =+⨯，解得：212a =.应选：C.【点睛】给出n S 与n a 的递推关系，求a n ，常用思路是：一是利用1n nn S S a +-=转化为a n的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n . 12.()e xf x x =，又2()()()1()g x f x tf x t R =-+∈有四个零点，那么实数t 的取值范围是〔〕A.21,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭B.212,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.21,2e e ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭D.21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先将函数写成分段函数的形式研究函数()f x 的性质，然后结合二次函数的性质研究复合函数()g x 的性质即可确定实数t 的取值范围.【详解】,0()e ,0x xxxe x f x x xe x ⎧≥==⎨-<⎩， 当x ⩾0时,()0x x f x e xe '=+恒成立,所以f (x )在[0,+∞)上为增函数；当x <0时,()(1)x x x f x e xe e x '=--=-+，由f ′(x )=0,得x =−1,当x ∈(−∞,−1)时,f ′(x )=−e x(x +1)>0,f (x )为增函数，当x ∈(−1,0)时,f ′(x )=−e x(x +1)<0,f (x )为减函数，所以函数f (x )=|xe x|在(−∞,0)上有一个最大值为1(1)f e-=， 那么函数()f x 的大致图象如下列图：令f (x )=m ,要使方程f 2(x )−tf (x )+1=0(t ∈R )有四个实数根，那么方程m 2-tm +1=0应有两个不等根,且一个根在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内,一个根在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内. 再令h (m )=m 2−m +1,因为h (0)=1>0,那么只需10h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭,即21110t e e⎛⎫-⋅+< ⎪⎝⎭，解得21e t e +>. 应选：A.【点睛】此题主要考察导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的零点等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.将答案填在答题卡相应的位置上〕23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________．【答案】30x y -=. 【解析】 【分析】此题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程 【详解】详解：/223(21)3()3(31),x x x y x e x x e x x e =+++=++所以，/0|3x ky ===所以，曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【点睛】准确求导数是进一步计算的根底，此题易因为导数的运算法那么掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢〞，计算要准，是解答此类问题的根本要求．a 与b 的夹角为45，()1,1a=-，b 1=，那么a 2b +=______．.【解析】【详解】分析：先计算||a ，再利用向量模的公式求2a b +.详解：由题得2a ||=，所以2a b +=224424a b a b ++⋅=++==.点睛：(1)此题主要考察向量的模的计算，意在考察学生对这些知识的掌握程度和根本计算才能.(2)假设(,)a x y =，那么222a x y a =+=.R 上的奇函数()f x 满足()112f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()11f =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且()421n n a S n N +-=∈，()()35f a f a +=_________.【答案】2- 【解析】 【分析】利用题中条件可推出函数()y f x =是以3为周期的周期函数，由421n n a S -=可得出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可得出3a 、5a 的值，再利用周期性和奇函数的性质求出()()35f a f a +的值.【详解】对任意的n ∈+N ，421n n a S -=，当1n =时，11421a S -=，得112a =； 当2n ≥时，由421nn a S -=得11421n n a S ---=，上述两式相减得14420n n n a a a ---=，整理得12nn a a -=， 所以，数列{}n a 是以12为首项，以2为公比的等比数列，231222a ∴=⨯=，451282a =⨯=.()112f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()32f x f x ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，由于函数()y f x =为奇函数， ()()32f x f x f x ⎛⎫∴+=-=- ⎪⎝⎭，()()332f x fx f x ⎛⎫∴+=-+= ⎪⎝⎭，那么函数()y f x =是以3为周期的周期函数，()()()()32111f a f f f ∴==-=-=-，()()()5821f a f f ===-，因此，()()352f a f a +=-，故答案为：2-.【点睛】此题考察函数周期性与奇偶性求值，同时也考察了利用前n 项和公式求数列的通项，考察运算求解才能，属于中等题.16.G 点为ABC ∆的重心，且AG BG ⊥，那么222sin sin sin A BC+的值是________. 【答案】5 【解析】 【分析】由题意建立平面直角坐标系，然后结合重心的性质和正弦定理即可求得222sin sin sin A BC+的值. 【详解】以点G 为坐标原点，建立如下列图的平面直角坐标系，设()()0,2,2,0A m B n ，由重心的性质可得：()()0,,,0Mm N n --，故直线AN 的方程为：12x y n m +=-，直线BM 的方程为：12x y n m+=-， 联立直线AN 与直线BM 的方程可得点C 的坐标为()2,2C n m --.结合两点之间间隔公式可得：222164a n m =+，222416b n m =+，22244c m n =+，利用正弦定理可知：222222sin sin 5sin A B a b C c++==. 故答案为：5．【点睛】此题主要考察正弦定理及其应用，直线方程的应用，直线交点坐标的求解等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕()|1|||f x x x a =++-.〔Ⅰ〕当2a=时，解不等式：()5f x x ≥；〔Ⅱ〕假设存在0x R ∈，使得()020f x -<，试务实数a 的取值范围.【答案】〔Ⅰ〕3,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦〔Ⅱ〕{}|31a a -<<. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意将不等式转化为分段函数的形式，然后分别求解相应的不等式组即可确定不等式的解集； (Ⅱ)首先利用绝对值三角不等式求得|1|||x x a ++-的最小值，据此得到关于a 的不等式即可确定实数a的取值范围. 【详解】〔Ⅰ〕|1||2|5x x x ++-≥，1125x x x x ≤-⎧⎨---+≥⎩或者12125x x x x -<<⎧⎨+-+≥⎩或者2125x x x x ≥⎧⎨++-≥⎩， 所以，1x ≤-或者315x -<≤或者x ∈∅， 不等式解集为3,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 〔Ⅱ〕即假设存在0x R ∈，使得()02f x <，因为|1|||x x a ++-|(1)()||1|x x a a +--=+，所以|1|2a +<， 所以a 的取值范围为{}|31a a -<<.【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，表达了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法〞求解，表达了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，表达了函数与方程的思想．18.cos 2,2sin 34ax x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1,sin 4b x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.记()f x a b =⋅〔Ⅰ〕求函数()f x 的单调递增区间和图象的对称轴方程； 〔Ⅱ〕画出函数()f x 在区间[0,]π上的图象.【答案】〔Ⅰ〕单调递增区间是,()63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦;对称轴方程是32k x ππ=+，()k ∈Z ；〔Ⅱ〕见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)首先将函数的解析式整理为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式，然后讨论函数的单调递增区间和函数的对称轴方程即可；(Ⅱ)首先利用函数的解析式列表，然后绘制函数图像即可.【详解】〔Ⅰ〕()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令222262k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈， 那么：222233k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，据此可得()f x 的单调递增区间是,()63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.令262x k πππ-=+，可得对称轴方程为32k x ππ=+，()k ∈Z .〔Ⅱ〕列表可得函数值如下：据此绘制函数图像如下列图：【点睛】此题主要考察三角函数式的化简，三角函数单调区间的求解，三角函数图象的绘制等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.{}n a 的首项12a =，且()*132n n a a n N +=+∈.〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕记等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，37b =，763S =，设11n n c a =+，求证：数列{}n n b c ⋅的前n 项和2n T <.【答案】〔Ⅰ〕31n n a =-〔Ⅱ〕证明见解析【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意利用题中所给的递推关系式构造等比数列，然后结合等比数列的通项公式即可求得数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)由题意首先求得数列的首项和公差，据此即可确定数列{}n b 的通项公式，据此确定数列{}n n b c ⋅的通项公式，最后错位相减求得其前n 项和即可证得题中的结论. 【详解】〔Ⅰ〕∵数列{}n a 的首项12a =，且()*132n n a a n N +=+∈，∴()1131n n a a ++=+，113a +=，∴{}1n a +是首项为3，公比为3的等比数列，∴13n na +=，31n n a =-.〔Ⅱ〕记等差数列{}n b 的公差为d ，那么：3127b b d =+=，7172163S b d =+=，解得13b =，2d =，所以，21n b n =+，1(21)3n n n b c n =+ 23111111357(21)(21)33333n n nT n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅〔1〕3142111111357(21)(21)333333n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅〔2〕〔1〕－〔2〕得，23121111112(21)3333333n nn T n +⎛⎫=+⋅++++-+⋅ ⎪⎝⎭111111332(21)13313n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⋅-+⋅-141(24)33n n +=-+，12(2)3n nT n =-+⋅ 12(2)23n nT n=-+⋅<. 【点睛】此题主要考察由递推关系式求解数列通项公式的方法，错位相减求和的方法，数列中不等式的证明等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且2sin 2cos )sin 30A A B C A -+-=〔Ⅰ〕求A 的大小；〔Ⅱ〕假设2a=，求ABC ∆的周长L 的最大值. 【答案】〔Ⅰ〕3A π=.〔Ⅱ〕6【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意利用诱导公式和两角和差正余弦公式得到关于A 的三角方程，然后结合角的范围即可确定∠A 的大小；(Ⅱ)由题意结合正弦定理将边长整理为关于∠B 的三角函数式，然后结合三角函数的性质和角的范围即可求得周长的最大值. 【详解】〔Ⅰ〕∵A B C π++=，∴cos()cos B C A +=-①，∵32A A A =+，∴sin 3sin(2)A A A =+sin 2cos cos2sin A A A A =+②，又sin 22sin cos A A A =③，2cos22cos 1A A =-④，将①②③④代入，得2sin 2cos A A Asin 2cos cos 2sin A A A A =++得sinA A +=sin 3A π⎛⎫+=⎪⎝⎭，又0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴233A ππ+=，即3A π=.2sin sin 3b c B B π==⎛⎫- ⎪⎝⎭∵62B ππ<<，∴2363B πππ<+<，当62B ππ+=时，即3B π=，ABC ∆的周长max 6L =.【点睛】解三角形的根本策略：一是利用正弦定理实现“边化角〞，二是利用余弦定理实现“角化边〞；求三角形周长的最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用根本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.{}n a 满足()1,2n n a a n N n -+<∈≥，记数列{}n a 前n 项和n S ，()2*441n n S a n n N =+-∈，其中13a ≠.〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕假设()*11n n n b n N a a +=∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ，假设9n m T ≤恒成立，务实数m 的最小值.【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕92【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意分类讨论n =1和n ≥2两种情况即可确定数列的通项公式； (Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论首先裂项求和求得数列{}n b 的前n 项和为nT，然后结合恒成立的结论确定实数m 的取值范围即可确定实数m 的最小值. 【详解】〔Ⅰ〕()2441n n S a n n N +=+-∈，令1n =，可得：21441n a a =+-，解得13a =〔舍〕或者11a =2441n n S a n =+-，211445(2)n n S a n n --=+-≥，两式作差得，22144n n n a a a -=-+，即()2212n n a a --=，所以12nn a a --=±. 〔1〕当12(2)nn a a n --=≥时，{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，此时，12(1)21n a n n =+-=- 〔2〕当12(2)n n a a n -+=≥时，11a =，此时1n a =，不满足数列{}n a 是递增数列，舍去.所以21na n =-，〔Ⅱ〕111(21)(21)nn n b a a n n +==-+11122121n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭19292n m T m <≤⇒≥，实数m 的取值范围9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 那么实数m 的最小值为92. 【点睛】此题考察的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保存了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，本质上造成正负相消是此法的根源与目的．21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R .〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间； 〔Ⅱ〕设2()2x g x e x e =--+，假设对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈使得()()12f x g x <，求a 的取值范围.【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕ln 21a >- 【解析】 【分析】(Ⅰ)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的定义域和导函数的符号分类讨论即可确定函数的单调区间； (Ⅱ)首先求得函数()g x 的最大值，然后进展等价转化，结合(Ⅰ)中的结果分类讨论即可确定a 的取值范围.【详解】〔Ⅰ〕()2(1)(2)()21(0)ax x f x ax a x x x--'=-++=>. ①当0a ≤时，0x >，10ax ，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞. ②当102a <<时，12a>， 在区间(0,2)和1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>；在区间12,a ⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间是12,a ⎛⎫⎪⎝⎭.③当12a =时，2(2)()02x f x x-'=≥，故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞.④当12a>时，102a <<，在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(2,)+∞上，()0f x '>；区间1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(2,)+∞，单调递减区间是1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭. 〔Ⅱ〕设()1x g x e '=-，2(]0,x ∈，()0g x '>，()g x 为增函数，由，()max g(2)0gx ==.据此可得max()0f x <.由〔Ⅰ〕可知， ①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2f x f a a ==-++222ln 2a =--+，所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤. ②当12a >时，()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 故max 11()22ln 2f x f a a a ⎛⎫==--- ⎪⎝⎭.由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<， 所以，22ln 0a --<，max ()0f x <，综上所述，ln 21a >-.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考察主要从以下几个角度进展：(1)考察导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联络．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考察数形结合思想的应用．。
山东省滕州一中2020-2021学年高一第一学期10月月考数学试题【含解析】一､单项选择题1. 已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,8,92,3,4,51,2,3,6,7U A B ===，，，则()UB A ⋂=（ ） A. {}1,6 B. {}6,7 C. {}6,7,8 D. {}1,6,7【答案】D 【解析】 【分析】 先求出UA ，然后再求()UB A ⋂即可求解.【详解】由集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,8,92,3,4,51,2,3,6,7U A B ===，， 则{}1,6,7,8,9UA =.所以(){}1,6,7UB A ⋂=故选：D【点睛】本题主要考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题. 2. 设命题p ：k ∃∈N ，223k k >+，则p ⌝为（ ） A. ∀∈k N ，223k k >+ B. k ∃∈N ，223k k <+ C. ∀∈k N ，223k k ≤+ D. k ∃∈N ，223k k ≤+【答案】C 【解析】 【分析】特称命题否定为全称命题，改量词，否结论即可 【详解】解：因为命题p ：k ∃∈N ，223k k >+， 所以p ⌝：∀∈k N ，223k k ≤+， 故选：C【点睛】此题考查命题的否定，属于基础题 3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A. ()2f x x =+与24()2x g x x -=-B. ()1f x x =+与1,1,()1, 1.x x g x x x --<⎧=⎨+≥⎩C. ()1f x =与0()g x x =D. ()32(R)f x x x =+∈与()32(R)g t t t =+∈【答案】D 【解析】 【分析】根据相等函数的定义域和对应关系相同依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，()2f x x =+定义域为R ，24()2x g x x -=-的定义域为{}2x x ≠，故不满足条件；对于B 选项，1,1()11,1x x f x x x x +≥-⎧=+=⎨--<-⎩，显然与1,1,()1, 1.x x g x x x --<⎧=⎨+≥⎩的对应关系不同，故不满足条件；对于C 选项，()1f x =定义域为R ，0()g x x =的定义域为{}0x x ≠，故不满足条件；对于D 选项，()32(R)f x x x =+∈与()32(R)g t t t =+∈定义域相同，对应关系相同，故满足条件． 故选：D ．【点睛】本题考查函数相等的概念，熟练掌握函数相等概念是解题的关键，是基础题． 4. 设,R a b ∈，则“4a b +≤”是“2a ≤且2b ≤”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.【详解】若1a =-，3b =，满足4a b +≤，但不满足“2a ≤且2b ≤”；所以“4a b +≤”不是“2a ≤且2b ≤”的充分条件；若2a ≤且2b ≤，则4a b +≤显然成立；所以“4a b +≤”是“2a ≤且2b ≤”的必要条件； 因此，“4a b +≤”是“2a ≤且2b ≤”的必要而不充分条件. 故选：B .【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判定，属于基础题型. 5. 下列说法中，错误．．的是（ ） A. 若0b a >>，0m >，则a m ab m b +>+ B. 若22a b c c >，则a b > C. 若22a b >，0ab >，则11a b<D. 若a b >，c d <，则a c b d ->-【答案】C 【解析】 【分析】根据作差法比较大小，即可判定A 正确；根据不等式的性质，可得BD 正确；根据特殊值，可判断C 错.【详解】A 选项，若0b a >>，0m >，则()()()0m b a a m a ab mb ab am b m b b b m b b m -++---==>+++，故A 正确；B 选项，若22a bc c>，根据不等式的可乘性，可得a b >，故B 正确； C 选项，若2a =-，1b =-，则满足22a b >，0ab >，但112->-，故C 错；D 选项，若a b >，c d <，则c d ->-，所以a c b d ->-，故D 正确. 故选：C.【点睛】本题主要考查根据不等式的性质判断所给不等式是否成立，属于基础题.6. 已知函数()()2,1,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨--≥⎪⎩，则()2020f =（ ）A. 1-B. 2020-C. 1D. 2020【答案】B【分析】先利用分段函数及周期性求得()()202002020f f =-，再代入计算即得结果.【详解】函数()()2,1,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨--≥⎪⎩，则()()()()20202019120182...02020020202020f f f f =-=-==-=-=-. 故选：B.【点睛】本题考查了分段函数求函数值，属于基础题. 7. 已知函数()xf x x m=-，若函数()f x 在区间2,上单调递减，则实数m 的取值范围为（ ） A. ()0,2 B. (]0,2C. [)2,+∞D.2,【答案】B 【解析】 【分析】 由于()1x mf x x m x m==+--在区间2,上单调递减，则有2m ≤且0m >，从而可求出m 的取值范围【详解】解：因为2x >时，0x m -≠，所以2m ≤， 因为()1x mf x x m x m==+--在2,上单调递减，所以0m >， 综上02m <≤， 故选：B【点睛】此题考查由函数的单调性求参数的范围问题，考查分析问题的能力，属于基础题8. 已知函数2240()0x x x f x x x ⎧+<=⎨-≥⎩，，，若()()5f f m ≥，则实数m 的取值范围是（ ）A. )5,⎡+∞⎣B. 5⎡⎤⎣⎦C. (,5-∞-D.5,0⎡⎤-⎣⎦【答案】A【分析】根据题中条件，得到()()()2450f m f m f m ⎧⎡⎤+≥⎪⎣⎦⎨<⎪⎩，解得()5f m ≤-，分别讨论0m <，0m ≥两种情况，即可得出结果.【详解】因为2240()0x x x f x x x ⎧+<=⎨-≥⎩，，，20x -≤，为使()()5f f m ≥，只能()0f m <，即有()()()2450f m f m f m ⎧⎡⎤+≥⎪⎣⎦⎨<⎪⎩，解得()5f m ≤-， 当0m <时，245m m +≤-，无解；当0m ≥时，25m -≤-，解得5m ≥5m ≤-5m ≥综上，5m ≥. 故选：A【点睛】本题主要考查解分段函数不等式，涉及一元二次不等式的解法，属于常考题型.二､多项选择题9. 已知集合{}{}2|60,|10,A x x x B x mx =--==-=AB B =，则实数m 取值为（ ）A.13B. 12-C. 13-D. 0【答案】ABD 【解析】 【分析】 先求集合A ，由AB B =得B A ⊆，然后分B =∅和B ≠∅两种情况求解即可【详解】解：由260x x --=，得2x =-或3x =， 所以{}2,3A =-， 因为AB B =，所以B A ⊆，当B =∅时，方程10mx -=无解，则0m =， 当B ≠∅时，即0m ≠，方程10mx -=的解为1x m=，因为B A ⊆，所以12m =-或13m=，解得12m =-或13m =，综上0m =，或12m =-，或13m =，故选：ABD【点睛】此题考查集合的交集的性质，考查由集合间的包含关系求参数的值，属于基础题 10. 下列命题正确．．的是（ ） A. 若0x <，则4x x+的最小值为4 B. 若R x ∈，则22132x x +++的最小值为3 C. 若22,R,15a b a b ab ∈+=-，则ab 的最大值为5 D. 若0,0,24a b a b >>+=，则ab 的最大值为2 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A ，由于0x <，所以对4x x+变形后再利用基本不等式求最值判断即可；对于B ，不满足基本不等式的条件；对于C ，D 利用基本不等式判断即可 【详解】解：对于A ，因为0x <，所以444[()]2()4x x x x x x+=--+≤--⋅---，当且仅当2x =-取等号，所以4x x+有最大值4-，所以A 错误； 对于B ，22221132122x x x x ++=+++++，而22122x x +=+不成立，所以22132x x +++的最小值不等于3，而其最小值为72，对于C ，由22,R,15a b a b ab ∈+=-可知22152ab a b ab -=+≥，得5≤ab ，当且仅当a b =时取等号，ab 的最大值为5，所以C 正确；对于D ，由于0,0,24a b a b >>+=，所以4222a b ab =+≥即2ab ≤，当且仅当2a b =，即2,1a b ==时取等号，所以ab 的最大值为2， 故选：CD【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题11. 已知()f x 为定义在R 上的函数，对任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，并且当0x <时，有()0f x <，则（ ） A. (0)0f =B. 若(2)2f =，则(2)2f -=C. ()f x 在(),-∞+∞上为增函数D. 若(2)2f =，且2()(25)4f a f a -->，则实数a 的取值范围为()(),11,-∞+∞【答案】ACD 【解析】 【分析】取0x y ==即可求得(0)f 的值，令y x =-，易得()()0f x f x +-=，从而可判断其奇偶性；设1x ，2x R ∈且12x x <，作差21()()f x f x -后判断其符号即可证得()f x 为R 上的增函数；依题意可得(4)4f =，原不等式等价于()2()(25)4f a f a f >-+，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：取0x y ==得，则(00)(0)(0)f f f +=+，即(0)0f =；故A 正确； 取y x =-代入，得(0)()()f f x f x =+-，又(0)0f =，于是()()f x f x -=-，()f x ∴为奇函数；因为(2)2f =，所以()()222f f -=-=-，故B 错误； 设1x ，2x R ∈且12x x <，则()11222121()()()()()f x f x f x f x f x x f x x -=+-=-=--， 由120x x -<知，12()0f x x -<，所以21()()0f x f x ->21()()f x f x ∴>，∴函数()f x 为R 上的增函数．故C 正确；因为(2)2f =，所以(4)(2)(2)4f f f =+=，所以2()(25)4f a f a -->等价于()2()(25)4f a f a f -->，即()2()(25)4f a f a f >-+所以2()(254)f a f a >-+等价于2254a a >-+，即()210a ->，解得1a >或1a <，故D 正确； 故选：ACD【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，函数奇偶性的判断以及函数不等式的解法，利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．12. 若对任意满足22x y +=的正实数,,x y 223524x y x yxy+++2*2(N )m m >∈恒成立，则正整数．．．m 的取值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】AB 【解析】 【分析】由已知条件可得223524x y x y xy +++22494x y xy xy++=494x yy x =++，然后利用基本不等式求出其最小值为16，再由2162m >可求出m 的值，从而可求出正整数m 的取值 【详解】解：因为22x y +=，且0,0x y >>，所以2222222352435435(2)x y x y x y x y x y xy xy xy ++++++++==22494x y xyxy ++=494x y y x=++ 492416x yy x≥⋅=，当且仅当49x y y x =，即64,77x y ==时取等号， 所以223524x y x yxy+++的最小值为16，所以由2162m >，得2222m -<<， 因为m N +∈，所以1m =或2m =， 故选：AB【点睛】此题考查基本不等式的应用，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题三､填空题13. 函数2()4f x x x =-+的值域为__________________. 【答案】[]0,2 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再令24(04)t x x x =-+≤≤，则y t =，然后利用配方法结合二次函数的性质求出t 的取值范围，从而可求出函数的值域 【详解】解：由240x x -+≥，得04x ≤≤，令24(04)t x x x =-+≤≤，则yt =因为224(2)4t x x x =-+=--+，04x ≤≤ 所以04t ≤≤，所以02t ≤≤，即02y ≤≤，所以函数2()4f x x x =-+的值域为[]0,2， 故答案为：[]0,2【点睛】此题考查求复合函数的值域，利用了换元法，属于基础题14. 若{},,min ,,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩则函数{}2()min ,23f x x x =---的最大值为________.【答案】1- 【解析】 【分析】由223x x ---，解得13x -，再利用单调性，即可求出其最大值． 【详解】解：由223x x ---，解得13x -．∴①当13x -时，函数{}2()min ,2323f x x x x =---=--，其最大值()11f -=-；②当1x ≤-或3x ≥时，函数{}22()min ,23f x x x x =---=-，其最大值为1-．综上可知：函数()f x 的最大值是1-． 故答案为：1-．【点睛】充分理解定{},min a b 表示a ，b 中的较小者和掌握函数的单调性是解题的关键，属于基础题15. 若0,x y z >>>则2211269()x xz z x x y xy++-+-的最小值为_______.【答案】4 【解析】 【分析】 根据题意将原式变形为()()2222211112693()x xz z x xy xy x z x x y xy x xy xy ⎛⎫++-+=-++++- ⎪--⎝⎭，再结合基本不等式求解即可得答案.【详解】解：因为0x y z >>>， 所以20x xy ->，0xy >，所以210x xy>-，10xy >， 所以222222111126969()x xz z x xy xy x xz z x x y xy x xy xy++-+=-++++-+--()()222113x xy xy x z x xy xy ⎛⎫=-++++- ⎪-⎝⎭()()222112234x xy xy x z x xy xy≥-⋅⋅-=-， 当且仅当2=1130x xy xy x z ⎧-⎪=⎨⎪-=⎩，即222,23x y z ===时等号成立，故答案为：4.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题的关键是将原式适当的变形，是中档题. 16. 函数()21f x x =++的单调递减区间为_______；函数21,,()3,,x x k g x kx x k ⎧++<=⎨-≥⎩若()g x 是定义在R 上的减函数，则实数k 的值为____________. 【答案】 (1). (),2-∞- (2). 2- 【解析】 【分析】由于3,2()1,2x x f x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩，从而可求出其减区间；由为21,,()3,,x x k g x kx x k ⎧++<=⎨-≥⎩在R 上为减函数，可得21y x =++在(,)k -∞上为减函数，3y kx =-在[,)k +∞上为减函数，从而得2213k k k ≤-⎧⎨--≥-⎩，进而可求出k 的值 【详解】解：由()21f x x =++，得3,2()1,2x x f x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩，所以()f x 的递减区间为(),2-∞-；因为21,,()3,,x x k g x kx x k ⎧++<=⎨-≥⎩在R 上为减函数，所以21y x =++在(,)k -∞上为减函数，3y kx =-在[,)k +∞上为减函数，所以2213k k k ≤-⎧⎨--≥-⎩，得221k k ≤-⎧⎨-≤≤⎩，解得2k =-， 故答案为：(),2-∞-，2-【点睛】此题考查分段函数的单调性问题，考查由单调性求参数的范围，属于中档题四､解答题17. 已知全集U =R ，集合}{2A x x =>，}{44B x x =-<<. （1）求()UA B ；（2）定义{A B x x A -=∈且}x B ∉，求A B -，()A A B --.【答案】（1）}{4x x ≤-；（2）}{4A B x x -=≥，()}{24A A B x x --=<<. 【解析】 【分析】（1）根据并集的概念，先求AB ，再由补集的概念，即可得出结果；（2）根据题中条件，可直接求出A B -，进而可求出()A A B --. 【详解】（1）因为}{2A x x =>，}{44B x x =-<<， 所以}{4A B x x ⋃=>-，则()}{4UA B x x ⋃=≤-；（2）因为{A B x x A -=∈且}x B ∉， 所以}{4A B x x -=≥， 因此()}{24A A B x x --=<<.【点睛】本题主要考查集合的并集和补集运算，考查集合的新定义，属于基础题型. 18. 已知函数4()f x x x=+. （1）求()(2)ff ；（2）判断函数()f x 在区间[]2,4上的单调性，并证明； （3）关于x 的不等式4x m x+<在区间[]2,4上有解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）5；（2）()f x 在区间[]2,4上单调递增，证明见解析；（3）()4,+∞. 【解析】 【分析】（1）由题意可得()24f =，故()()()24ff f =可得出答案.（2）利用函数的单调性的定义证明函数单调性的步骤证明即可. （3）不等式4x m x+<在区间[]2,4上有解, 所以min ()m f x >,由单调性求出函数()f x 的最小值即可.【详解】解：（1）()42242f =+=，()()()424454f f f ==+= （2）()f x 在区间[]2,4上单调递增.证明：∀1x ，2x ∈[]2,4，且12x x <，12121244()()f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()121244x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()2112124()x x x x x x -=-+()()1212124x x x x x x --=1x ，2x ∈[]2,4，且12x x <，1212120,40,0.x x x x x x ∴>->-<，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <. ∴函数()f x 在区间[]2,4上是增函数.（3）由（2）知min ()(2)4f x f == 因为关于x 的不等式4x m x+<在区间[]2,4上有解，所以min ()m f x >. 所以4m >.所以实数m 的取值范围是()4,+∞【点睛】本题考查利用单调性的定义证明函数的单调性，解决不等式有解问题，属于中档题. 19. （1）若,0,a b >且3ab a b =++，求ab 的最小值； （2）若,0,a b >且ab a b =+，求4a b +的最小值. 【答案】（1）9；（2）9. 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式可得230ab ab -≥，再解不等式即可得解； （2）依题意可得111a b+=，再利用基本不等式乘“1”法计算可得； 【详解】解：（1）,0a b >，2a b ab ∴+≥323ab a b ab =++≥.230ab ab ∴-≥，()310ab ab ∴≥.10ab +>，30ab ≥.3ab ≥9.ab ∴≥当且仅当3a b ==，等号成立.故当3a b ==时，ab 的最小值为9. （2）,0,a b >且ab a b =+.1a b ab+∴=，111a b +=()114445a b a b a b a b b a ⎛⎫∴+=++=++ ⎪⎝⎭459a bb a≥+=.当且仅当2b a =，即3,32a b ==时，等号成立. 故当3,32a b ==时，4a b +的最小值为9 【得解】本题考查的是基本不等式，注意不等式使用的条件“一正、二定、三相等”，要配凑成和为定值的形式，并关注取等号的条件，属于中档题． 20. 已知不等式2320ax x -+>的解集为{1,x x <或}x b >， （1）求实数,a b 的值；（2）解关于x 的不等式2()0cx ac b x ab ++>-()c R ∈.【答案】（1）12a b =⎧⎨=⎩；（2）当0c <时，原不等式的解集为：2{|1}x x c <<；当0c 时，原不等式的解集为：{|1}<x x ；当02c <<时，原不等式的解集为：{|1,x x <或2}x c>；当2c =时，原不等式的解集为：{|1}x x ≠；当2>c 时，原不等式的解集为：2{|,x x c<或1}x > 【解析】 【分析】（1）由题知1和b 是方程2320ax x -+>的根，利用韦达定理即可求出a , b 的值.（2）由（1）知不等式为2(2)20cx c x +-+>，讨论2c 和2的大小，写出对应的解集即可.【详解】解：（1）因为不等式2320ax x -+>的解集为{1,x x <或}x b <所以1和b 是方程2320ax x -+=的两个实数根.故：3121b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩. 经验证，符合条件.（2）由（1）知不等式2()0cx ac b x ab ++>-，即2(2)20cx c x +-+>， 即(2)(1)0cx x -->.当0c时，2(1)0x -->，解得1x <.当0c <时，(2)(1)0cx x -->即2()(1)0x x c--<，解得21x c<<当0c >时，(2)(1)0cx x -->即2()(1)0x x c -->.比较2c与1的大小 当21c =，即2c =时，解得1x ≠ 当21c >，即02c <<时，解得1,x <或2x c > 当21c <，即2>c 时，解得2,x c<或1x > 综上所述，当0c <时，原不等式的解集为：2{|1}x x c<< 当0c时，原不等式的解集为：{|1}<x x当02c <<时，原不等式的解集为：{|1,x x <或2}x c> 当2c =时，原不等式的解集为：{|1}x x ≠ 当2>c 时，原不等式的解集为：2{|,x x c<或1}x > 【点睛】考查一元二次不等式的解法，主要考查一元二次不等式与一元二次方程之间的关系的不等式的解法；考查含参不等式的解法，分类讨论为解题的关键，属于中档题.21. 2020年滕州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元.每生产x (百辆)新能源汽车，需另投入成本()C x 万元，且210100,040()?36005014500,40x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩由市场调研知，每辆车售价5万元，且生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润()L x (万元)关于年产量x (百辆)的函数关系式；(利润=销售额-成本)（2）2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）2104002500,040()36002000(),40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+≥⎪⎩；（2）产60百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1880万元. 【解析】 【分析】（1）根据年利润=销售额-投入的总成本-固定成本，分040x <<和40x ≥两种情况得到()L x 与x 的分段函数关系式；（2）当040x <<时根据二次函数求最大值的方法来求()L x 的最大值，当40x ≥时，利用基本不等式求()L x 的最大值，最后综合即可 【详解】解：（1）当040x <<时，2()5100101002500L x x x x =⨯---2104002500x x =-+-当40x ≥时，3600()5100501L x x x x =⨯--3600450025002000()x x+-=-+ 所以2104002500,040()36002000(),40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+≥⎪⎩（2）当040x <<时，2()10(20)1500L x x =--+， 当20x时，max ()1500L x =；当40x ≥时，3600()2000()L x x x =-+360020002x x≤-⋅20001201880=-=， (当且仅当3600x x=，即60x =时，“=”成立) 因为18801500>，所以，当60x =时，即2020年生产60百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1880万元.【点睛】此题考查函数的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想及计算能力，属于中档题22. 已知函数()23.f x x ax =++（1）当[]2,2x ∈-时，()f x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）关于x 的不等式()0f x <的解集为{}|6x m x m <<+，求实数a 的值.【答案】（1）[]7,2-；（2）6a =±. 【解析】 【分析】（1）设()23g x x ax a =++-，根据题意，对[]2,2x ∀∈-，()0g x ≥恒成立；分别讨论22a -≤-，22a -≥，222a-<-<三种情况，即可得出结果； （2）由不等式的解集，根据三个二次之间的关系，结合韦达定理，结合题中条件，即可得出结果.【详解】（1）当[]2,2x ∈-，设()23g x x ax a =++-，对称轴为2ax =-， 由题意知对[]2,2x ∀∈-，()0g x ≥恒成立； （1）当22a-≤-，即4a ≥时，()g x 在[]22-,上单调递增， 此时只需()42730a g a ≥⎧⎨-=-≥⎩，此时无解；（2）当22a-≥，即4a ≤-时，()g x []22-,上单调递减，此时只需()4270a g a ≤-⎧⎨=+≥⎩，解得74a -≤≤-；（3）当222a-<-<，即44a -<<时， 此时只需2443024a a a g a -<<⎧⎪⎨⎛⎫-=--+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得42a -<≤； 综上所述，a 的取值范围是[]7,2-.（2）因为()0f x <即230x ax ++<的解集为{}|26x m x m <<+，所以1x m =和226x m =+2x ax 30++=的两个实数根； 由韦达定理可知12123x x ax x +=-⎧⎨=⎩，且1226x x -=； ()222121212412x x x x x x a ∴-=+-=-，所以有22412a =-，解得 6.a =±【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立求参数的问题，考查由不等式的解集求参数的问题，属于常考题型.。
2021年高三10月月考数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．（5分）已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，则a= ﹣2 ．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：由A为B的子集，得到A中的所有元素都属于B，得到a+3=1，即可求出a 的值．解答：解：∵集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，∴a+3=1，解得：a=﹣2．故答案为：﹣2点评：此题考查了集合的包含关系判断与应用，弄清题意是解本题的关键．2．（5分）在复平面内，复数对应的点在第一象限．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，化简所给的复数，求出它在复平面内对应点的坐标，从而得出结论．解答：解：复数==+i，它在复平面内对应点的坐标为（，），在第一象限，故答案为一．点本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面评：内对应点之间的关系，属于基础题．3．（5分）已知510°终边经过点P（m，2），则m=﹣2．考点：诱导公式的作用；任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：直接利用任意角的三角函数的定义，求出510°的正弦值，即可求出m．解答：解：因为510°终边经过点P（m，2），所以sin510°=，所以sin150°=，即sin30°==，解得m=±2．因为510°是第二象限的角，所以m=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查诱导公式的作用，任意角的三角函数的定义的应用，考查计算能力．4．（5分）（xx•普陀区二模）已知向量，若，则实数n=3．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：先求出|+|的解析式，再求出•的解析式，根据题中的已知等式建立方程求出实数n．解答：解：|+|=|（3，n+1）|=，•=（1，1）•（2，n）=2+n，由题意知9+（n+1）2=n2+4n+4，∴n=3，故答案为3．点评：本题考查向量的模的计算方法，两个向量的数量积公式的应用．5．（5分）已知等差数列的前n项和为S n，若a4=18﹣a5，则S8=72．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：先根据a4=18﹣a5求得a4+a5，进而求得a1+a8代入S8中答案可得．解答：解：∵a4=18﹣a5，∴a4+a5=18，∴a1+a8=18，∴S8==72故答案为72点评：本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是利用等差中项简化了解题的步骤．6．（5分）（2011•上海二模）已知直线m⊥平面α，直线n在平面β内，给出下列四个命题：①α∥β⇒m⊥n；②α⊥β⇒m∥n；③m⊥n⇒α∥β；④m∥n⇒α⊥β，其中真命题的序号是①，④．考点：直线与平面垂直的性质．分析：由已知中直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，我们根据面面平行的性质及线面垂直的性质和几何特征，可以判断①的真假，根据面面垂直的几何特征可以判断②的真假，根据面面平行的判定定理，可以判断③的对错，根据面面垂直的判定定理，可以判断④的正误，进而得到答案．解答：解：∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当α∥β时，直线m⊥平面β，则m⊥n，则①正确；∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当α⊥β时，直线m∥平面β或直线m⊂平面β，则m与n可能平行也可能相交也可能异面，故②错误；∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当m⊥n时，则直线n∥平面α或直线m⊂平面α，则α与β可能平行也可能相交，故③错误；∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当m∥n时，则直线直线n⊥平面α，则α⊥β，故④正确；故答案为：①④点评：本题考查的知识点是空间直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间直线与平面之间各种关系的几何特征是解答本题的关键．7．（5分）函数y=x+2cosx在区间上的最大值是．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：对函数y=x+2cosx进行求导，研究函数在区间上的极值，本题极大值就是最大值．解答：解：∵y=x+2cosx，∴y′=1﹣2sinx令y′=0而x∈则x=，当x∈[0，]时，y′＞0．当x∈[，]时，y′＜0．所以当x=时取极大值，也是最大值；故答案为点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最大值问题，属于导数的基础题．8．（5分）（xx•石景山区一模）在△ABC中，若，则∠C=．考点：正弦定理．专题：计算题；压轴题．分析：利用正弦定理化简已知的等式，把sinB的值代入求出sinA的值，由a小于b，根据大边对大角，得到A小于B，即A为锐角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出C的度数．解答：解：∵b=a，∴根据正弦定理得sinB=sinA，又sinB=sin=，∴sinA=，又a＜b，得到∠A＜∠B=，∴∠A=，则∠C=．故答案为：点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的边角关系，三角形的内角和定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．9．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．解答：解：∵a+b=2，∴=1∴y==（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）则的最小值是故答案为：．点评：本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．10．（5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为4．考点：简单线性规划；平面向量数量积的运算．专题：数形结合．分析：首先画出可行域，z=•代入坐标变为z=x+y，即y=﹣x+z，z表示斜率为的直线在y 轴上的截距，故求z的最大值，即求y=﹣x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值．解答：解：由不等式组给定的区域D如图所示：z=•=x+y，即y=﹣x+z首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B（，2），故z的最大值为4．故答案为：4．点评：本题考查线性规划、向量的坐标表示、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．11．（5分）函数f（x）=x2+bx在点A（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣1=0，设数列的前n项和为S n，则S xx为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．专题：导数的概念及应用；等差数列与等比数列．分析：对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=1处的斜率，然后根据直线平行时斜率相等的条件可求b，代入可求f（n），利用裂项求和即可求解答：解：∵f（x）=x2+bx∴f′（x）=2x+b∴y=f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2+b ∵切线与直线3x﹣y+2=0平行∴b+2=3∴b=1，f（x）=x2+x∴f（n）=n2+n=n（n+1）∴==∴S xx=++…+=1﹣++…+=1﹣=故答案为点评：本题以函数的导数的几何意义为载体，主要考查了切线斜率的求解，两直线平行时的斜率关系的应用，及裂项求和方法的应用．12．（5分）设若存在互异的三个实数x1，x2，x3，使f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（3，4）．考根的存在性及根的个数判断．点：专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：先作出函数f（x）的图象，利用图象分别确定x1，x2，x3，的取值范围．解答：解：不妨设x1＜x2＜x3，当x≥0时f（x）=（x﹣2）2+2，此时二次函数的对称轴为x=2，最小值为2，作出函数f（x）的图象如图：由2x+4=2得x=﹣1，由f（x）=（x﹣2）2+2=4时，解得x=2或x=2，所以若f（x1）=f（x2）=f（x3），则﹣1＜x1＜0，，且，即x2+x3=4，所以x1+x2+x3=4+x1，因为﹣1＜x1＜0，所以3＜4+x1＜4，即x1+x2+x3的取值范围是（3，4）．故答案为：（3，4）．点评：本题主要考查利用函数的交点确定取值范围，利用数形结合，是解决本题的关键．13．（5分）已知△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=120°，点O是△ABC的外心，且，则λ+μ=．考点：三角形五心；向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线m方程和AC的中垂线n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求λ和μ的值．解答：解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：则A（0，0），B （3，0），C（﹣1，），∵O为△ABC的外心，∴O在AB的中垂线m：x= 上，又在AC的中垂线n 上，AC的中点（﹣，），AC的斜率为tan120°=﹣，∴中垂线n的方程为y﹣=（x+）．把直线m和n 的方程联立方程组，解得△ABC的外心O（，），由条件，得（，）=λ（3，0）+μ（﹣1，）=（3λ﹣μ，），∴，解得λ=，μ=，∴λ+μ=．故答案为：．点评：本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．属中档题．14．（5分）数列{a n}满足a1=a∈（0，1]，且a n+1=，若对任意的，总有a n+3=a n成立，则a 的值为或1．考点：数列递推式．专题：综合题；分类讨论．分析：由a1=a∈（0，1]，知a2=2a∈（0，2]，当时，a3=2a2=4a，若，a4=2a3=8a≠a1，不合适；若，=a，解得．当时，，==a．解得a=1．解答：解：∵a1=a∈（0，1]，∴a2=2a∈（0，2]，当时，a3=2a2=4a，若，则a4=2a3=8a≠a1，不合适；若，则，∴，解得．当时，，∴=．∴=a，解得a=1．综上所述，，或a=1．故答案为：或1．点评：本题考查数列的递推式的应用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．二、解答题（本大题共6小题，计90分）15．（14分）（xx•江苏模拟）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=sinB=﹣cosC，（1）求角A，B，C的大小；（2）若BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．考点：解三角形；二倍角的余弦；正弦定理的应用．专题：计算题．分析：（1）由正弦定理、二倍角公式结合题中的条件可得，故有，．（2）在△ABM中，由余弦定理得①，在△ABC中，由正弦定理可得②，由①②解得a，b，c 的值，即可求得△ABC的面积．解答：解：（1）由sinA=sinB知A=B，所以C=π﹣2A，又sinA=﹣cosC得，sinA=cos2A，即2sin2A+sinA﹣1=0，解得，sinA=﹣1（舍）．故，．（2）在△ABC中，由于BC边上中线AM的长为，故在△ABM中，由余弦定理得，即．①在△ABC中，由正弦定理得，即．②由①②解得．故．点评：本题考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式的应用，求出，是解题的难点．16．（15分）（xx•惠州二模）正方体ABCD_A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：B1D1⊥AE；（Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE；（Ⅲ）求三棱锥A﹣BDE的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）先证BD⊥面ACE，再利用线面垂直的性质，即可证得结论；（II）连接AF、CF、EF，由E、F是CC1、BB1的中点，易得AF∥ED，CF∥B1E，从而可证平面ACF∥面B1DE．进而由面面平行的性质可得AC∥平面B1DE；（Ⅲ）三棱锥A﹣BDE的体积，即为三棱锥E﹣ABD的体积，根据正方体棱长为2，E为棱CC1的中点，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：证明：（1）连接BD，则BD∥B1D1，（1分）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵CE⊥面ABCD，∴CE⊥BD．又AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．（4分）∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．（5分）（2）连接AF、CF、EF．∵E、F是CC1、BB1的中点，∴CE平行且等于B1F，∴四边形B1FCE是平行四边形，∴CF∥B1E，CF⊄平面B1DE，B1E⊂平面B1DE（7分）∴CF∥平面B1DE∵E，F是CC1、BB1的中点，∴EF平行且等于BC又BC平行且等于AD，∴EF平行且等于AD．∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED，∵AF⊄平面B1DE，ED⊂平面B1DE（7分）∴AF∥平面B1DE∵AF∩CF=F，∴平面ACF∥平面B1DE．（9分）又∵AC⊂平面ACF∴AC∥平面B1DE；解：（Ⅲ）三棱锥A﹣BDE的体积，即为三棱锥E﹣ABD的体积∴V=••AD•AB•EC=••2•2•1=点评：本题主要考查线面垂直和面面平行，解题的关键是正确运用线面垂直和面面平行的判定定理，属于中档题．17．（14分）已知数列{a n}是首项a1=a，公差为2的等差数列，数列{b n}满足2b n=（n+1）a n；（Ⅰ）若a1、a3、a4成等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若对任意n∈N*都有b n≥b5成立，求实数a的取值范围．考点：等比关系的确定；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）因为a1、a3、a4成等比数列，所以a1•a4=a32，由此能求出a n．（II）由2b n=（n+1）a n，结合配方法，即可求实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）因为a1、a3、a4成等比数列，所以a1•a4=a32，即a•（a+6）=（a+4）2，∴a=﹣8，∴a n=﹣8+（n﹣1）×2=2n﹣10，（II）由2b n=（n+1）a n，b n=n2+n+=（n+）2﹣（）2，由题意得：≤﹣≤，∴﹣22≤a≤﹣18．点评：本题考查数列与函数的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（15分）某企业拟在xx年度进行一系列促销活动，已知某产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3﹣x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，已知xx年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用．若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．（1）将xx年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数（2）该企业xx年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？（注：利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本=固定费用+生产费用）考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）根据3﹣x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，可求出k的值；进而通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数；（2）利用基本不等式求出最值，即可得结论．解答：解：（1）由题意：，将t=0，x=1代入得k=2∴当年生产x（万件）时，年生产成本=，当销售x（万件）时，年销售收入=150% 由题意，生产x万件产品正好销完，∴年利润=年销售收入﹣年生产成本﹣促销费即（2），此时t=7，y max=42．点评：本题主要考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题19．（16分）已知函数，a为正常数．（Ⅰ）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调减区间；（Ⅱ）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：（Ⅰ）求导函数，令其小于0，结合函数的定义域，可求函数的单调减区间；（Ⅱ）由已知，，构造h（x）=g（x）+x，利用导数研究其单调性，及最值进行求解．解答：解：（Ⅰ），∵，令f′（x）＜0，得，故函数f（x）的单调减区间为．…（5分）（Ⅱ）∵，∴，∴，设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数，当1≤x≤2时，h（x）=lnx++x，，令h′（x）≤0，得a═对x∈[1，2]恒成立设，则，∵1≤x≤2，∴，∴m（x）在[1，2]上是增函数，则当x=2时，m（x）有最大值为，∴．当0＜x＜1时，，，令h'（x）≤0，得：，设，则，∴t（x）在（0，1）上是增函数，∴t（x）＜t（1）=0，∴a≥0，综上所述，．…（16分）点评：本题考查函数单调性与导数的关系及应用，考查转化、计算能力．20．（16分）已知集合A={x|x2+a≤（a+1）x，a∈R}．（1）是否存在实数a，使得集合A中所有整数的元素和为28？若存在，求出符合条件的a，若不存在，请说明理由．（2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为S n，对于任意的n∈N+，均有S n∈A，求a的取值范围．考点：一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用；等比数列的前n项和．专题：计算题；压轴题．分析：（1）利用因式分解法求解含字母的一元二次不等式，写解集时要注意对字母a进行讨论，注意存在性问题的解决方法，只需找出合题意的实数a即可；（2）写出该数列的通项公式是解决本题的关键．注意对字母a的讨论，利用S n∈A 得出关于a的不等式或者找反例否定某种情况，进行探求实数a的取值范围．解答：解：（1）当a＜1时，A={x|a≤x≤1}，不符合；当a≥1时，A={x|﹣2≤x≤1}，设a∈[n，n+1），n∈N，则1+2++n==28，所以n=7，即a∈[7，8）（2）当a≥1时，A={x|1≤x≤a}．而S2=a+a2∉A，故a≥1时，不存在满足条件的a；当0＜a＜1时，A={a≤x≤1}，而是关于n的增函数，所以S n随n的增大而增大，当且无限接近时，对任意的n∈N+，S n∈A，只须a满足解得．当a＜﹣1时，A={x|a≤x≤1}．而S3﹣a=a2+a3=a2（1+a）＜0，S3∉A故不存在实数a满足条件．当a=﹣1时，A={x|﹣1≤x≤1}．S2n﹣1=﹣1，S2n=0，适合．⑤当﹣1＜a＜0时，A={x|a≤x≤1}．S2n+1=S2n﹣1+a2n+a2n+1=S2n﹣1+a2n+a2n+1=S2n﹣1+a2n（1+a）＞S2n﹣1，S2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1（1+a）＜S2n，∴S2n﹣1＜S2n+1，S2n+2＜S2n，且S2=S1+a2＞S1．故S1＜S3＜S5＜…＜S2n+1＜S2n＜S2n﹣2＜…＜S4＜S2．故只需即解得﹣1＜a＜0．综上所述，a的取值范围是．点评：本题属于含字母二次不等式解法的综合问题，关键要对字母进行合理的讨论．注意存在性问题问题的解决方法，注意分类讨论思想的运用，注意等比数列中有关公式的运用．三、加试题21．（10分）已知⊙O的方程为（θ为参数），求⊙O上的点到直线（t为参数）的距离的最大值．考点：直线的参数方程；圆的参数方程．专题：探究型．分析：分别将圆和直线的参数方程转化为普通方程，利用直线与圆的位置关系求距离．解答：解：将圆转化为普通方程为x2+y2=8，所以圆心为（0，0），半径r=2．将直线转化为普通方程为x+y﹣2=0，则圆心到直线的距离d=，所以⊙O上的点到直线的距离的最大值为d+r=3．点评：本题主要考查直线与圆的参数方程以及直线与圆的位置关系的判断．将参数方程转化为普通方程是解决本题的关键．22．（10分）在四棱锥S﹣OABC中，SO⊥平面OABC，底面OABC为正方形，且SO=OA=2，D为BC的中点，=λ，问是否存在λ∈[0，1]使⊥？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．考点：棱锥的结构特征．专题：计算题；压轴题．分析：本题可以建立空间直角坐标系，直接利用坐标求解．解答：解题探究：本题考查在空间直角坐标系下，空间向量平行及垂直条件的应用解：O为原点，、、方向为X轴、Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系．则O（0，0，0），S（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），c（0，2，0），D（1，2，0），，则，∵，，要使，则，即（2﹣2λ）﹣4λ=0，∴，∴存在∴，使点评：本题考查学生对于空间直角坐标系的利用，以及对于坐标的利用，是中档题．23．（10分）（2011•朝阳区二模）为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利﹣80元）．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A，然后利用对立事件的概率公式解之即可；（Ⅱ）由已知可知X的取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，然后根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．解答：解（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A，则．所以，该产品不能销售的概率为．…（4分）（Ⅱ）由已知，可知X的取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160．…（5分），，，，．…（10分）所以X的分布列为X ﹣320 ﹣200 ﹣80 40 160P…（11分）E（X）==40 所以，均值E（X）为40．…（13分）点评：本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及离散型随机变量的概率分别和数学期望，同时考查了计算能力，属于中档题．24．（10分）已知二项式，其中n∈N，n≥3．（1）若在展开式中，第4项是常数项，求n；（2）设n≤xx，在其展开式，若存在连续三项的二项式系数成等差数列，问这样的n共有多少个？考点：二项式定理的应用；等差数列的性质；数列与函数的综合．专题：计算题．分析：（1）利用二项式的展开式求出第4项，通过x的指数为0，求出a的值．（2）连续三项的二项式系数分别为、、（1≤k≤n﹣1），由题意，化简求解，利用n 为自然数求出所有的n的个数．解答：解：（1）∵为常数项，∴=0，即n=18；…..（3分）（2）连续三项的二项式系数分别为、、（1≤k≤n﹣1），由题意，依组合数的定义展开并整理得n2﹣（4k+1）n+4k2﹣2=0，故，…..（6分）则因为n为整数，并且8k+9是奇数，所以令8k+9=（2m+1）2⇒2k=m2+m﹣2，代入整理得，，∵442=1936，452=2025，故n的取值为442﹣2，432﹣2，…，32﹣2，共42个．…..（10分）点评：本题考查二项式定理的展开式的应用，方程的思想的应用，考查计算能力．35787 8BCB 诋R34362 863A 蘺FL25155 6243 扃40252 9D3C 鴼T32214 7DD6 緖<O30428 76DC 盜n。
