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运筹学课件 第2章：线性规划的对偶理论

运筹学课件 第2章：线性规划的对偶理论

min w 16y1 36y2 65y3
90 y1 3 y 2 y1 2 y 2 5 y 3 70 y , y , y 0 1 2 3
原问题 A b C 约束系数矩阵
对偶问题 约束系数矩阵的转臵
约束条件的右端项向量 目标函数中的价格系数向量 目标函数中的价格系数向量 约束条件的右端项向量 Max z=CX Min w=Y’b 目标函数 AX≤b A’Y≥C’ 约束条件 X≥0 Y≥0 决策变量
若原问题为求极小形式的对称形式线性规划问题， 对偶问题应该具有什么形式？
Min w Y 'b A'Y C Y 0
max w Y 'b A'Y C Y 0
min z CX
Max z CX
AX b X 0
AX b X 0
min w 5 y1 4 y2 6 y3 4 y1 3 y2 2 y3 2 y1 2 y2 3 y3 3 3 y1 4 y3 5 2 y 7 y y 1 2 3 1 y1 0, y2 0, y3无约束
对偶问题 约束系数矩阵的转臵
目标函数中的价格系数向量
目标函数 约束条件
变量
Max z=CX m个 ≤ ≥ = n个 ≥0 ≤0 无约束
约束条件的右端项向量 目标函数 Min w=Y’b m个 ≥0 变量 ≤0 无约束 n个 ≥ 约束条件 ≤ =
【例2-3】写出下列线性规划问题的对偶问题
min 2x1 3x2 5x3 x4
1.初始表中单位阵在迭代后单纯形表中对应的位臵就是B-1 2.对于原问题的最优解，各松弛变量检验数的相反数恰好 是其对偶问题的一个可行解，且两者具有相同的目标函数 值。根据下面介绍的对偶问题的基本性质还将看到，若原 问题取得最优解，则对偶问题的解也为最优解。

运筹学PPT完整版

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线性规划通常解决下列两类问题：
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
线性规划问题的数学模型
例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最 大？
(2)
x j 0, j 1,2,, n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
线性规划问题的数学模型
Page 27
可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
绪论
本章主要内容： （1）运筹学简述 （2）运筹学的主要内容 （3）本课程的教材及参考书 （4）本课程的特点和要求 （5）本课程授课方式与考核 （6）运筹学在工商管理中的应用
运筹学简述
Page 2
运筹学（Operations Research） 系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹
学称之为管理科学(Management Science)。运筹学所研究的 问题，可简单地归结为一句话： “依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案” 故有人称之为最优化技术。
Page 3
运筹学的主要内容
Page 4
数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态 规划等） 图论 存储论 排队论 对策论 排序与统筹方法 决策分析
本课程的教材及参考书
Page 5
❖选用教材 ➢ 《运筹学基础及应用》胡运权主编 哈工大出版社
❖参考教材 ➢ 《运筹学教程》胡运权主编 （第2版）清华出版社 ➢ 《管理运筹学》韩伯棠主编 （第2版）高等教育出版社 ➢ 《运筹学》(修订版) 钱颂迪主编 清华出版社

运筹学第2章

运筹学第2章
China University of Mining and Technology
-43-
运 筹 学
线性规划的对偶理论
性质3 最优性定理：如果 X 0 是原问题的可行解， 0 是其对偶 Y 问题的可行解，并且:
CX 0 BY 0
即: z w
则 X 0是原问题的最优解，Y 0是其对偶问题的最优解。
T
分别是原问题和对偶问题的可行解。 且原问题的目标函数值为
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
Z CX 10
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
(DP)
-41China University of Mining and Technology
-44China University of Mining and Technology
运 筹 学
线性规划的对偶理论
性质4 强(主)对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解， 则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。
还可推出另一结论：若一对对偶问题中的任意一个有最优解， 则另一个也有最优解，且目标函数最优值相等；若一个问题 无最优解，则另一问题也无最优解。 一对对偶问题的关系，有且仅有下列三种： 1. 都有最优解，且目标函数最优值相等； 2. 两个都无可行解； 3. 一个问题无界，则另一问题无可行解。
-1-
运 筹 学
学习要点： 1. 理解对偶理论，掌握描述一个线性规划问题 的对偶问题。 2. 能够运用对偶单纯形法来求解线性规划问题。 3. 会用互补松弛条件来考虑一对对偶问题的界。

运筹学课件 第二章线性规划

运筹学课件 第二章线性规划

2020/11/23
广东工业大学管理学院
10
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
投资问题：如何从不同的投资项目中选出一个投资方案， 使得投资的回报达到最大。
甲
乙
丙
A B C 加工费
x11 60%以上 x12 20%以下 x13 0.50
x21 15%以上 x22 60%以下 x23 0.40
x31 x32 50%以下 x33 0.30
售价
3.40
2.85
2.25
原料成本 2.00 1.50 1.00
限制用量 2000 2500 1200
设该厂每月生产甲品牌糖果(x11 x12 x13)千克，其中用原料A x11千克，用原料B x12千克，用原料C x13千克; 生产乙品牌糖果(x21 x22 x23)千克，其中用原料A x21千克，用原料B x22千克，用原料C x23千克; 生产丙品牌糖果(x31 x32 x33)千克，其中用原料A x31千克，用原料B x32千克，用原料C x33千克。
设一共植了y棵树，男生中有x1人挖坑, x2人栽树, x3人浇水； 女生中有x4人挖坑, x5人栽树, x6人浇水.
max z y
20x1 10x4 y 0 30x2 20x5 y 0
s.t.
25x3
x1
x2
15x6 x3
y 30
0
x4
x5
x6
20
x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , y 0
松弛变量
xs 2 (2x1 3x2 x3)

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整数规划的解法
总结词
整数规划的解法可以分为精确解法和近似解法两大类。
详细描述
整数规划的解法可以分为两大类，一类是精确解法，另一类是近似解法。精确解法包括割平面法、分支定界法等， 这些方法可以找到整数规划的精确最优解。而近似解法包括启发式算法、元启发式算法等，这些方法可以找到整 数规划的近似最优解，但不一定能保证找到最优解。
模拟退火算法采用Metropolis准则来 判断是否接受一个较差解，即如果新 解的能量比当前解的能量低，或者新 解的能量虽然较高但接受的概率足够 小，则接受新解。
模拟退火算法的应用
01
模拟退火算法在旅行商问题中得到了广泛应用。通过模拟退火算 法，可以求解旅行商问题的最优解，即在给定一组城市和每对城 市之间的距离后，求解访问每个城市恰好一次并返回出发城市的 最短路径。
动态规划的解法
确定问题的阶段和状态
首先需要确定问题的阶段和状态，以便将问 题分解为子问题。
建立状态转移方程
根据问题的特性，建立状态转移方程，描述 状态之间的转移关系。
求解子问题
求解每个子问题，并存储其解以供将来使用。
递推求解
从最后一个阶段开始，通过递推方式向前求 解每个阶段的最优解。
动态规划的应用
线性规划的解法
单纯形法
01
单纯形法是求解线性规划问题的经典方法，通过迭代过程逐步
找到最优解。
对偶理论
02
对偶理论是线性规划的一个重要概念，它通过引入对偶问题来
简化求解过程。
分解算法
03
分解算法是将大规模线性规划问题分解为若干个小问题，分别
求解后再综合得到最优解。
线性规划的应用
生产计划
线性规划可以用于生产计划问题， 通过优化资源配置和生产流程， 提高生产效率和利润。

运筹学--第2节(线性规划-标准型)

运筹学--第2节(线性规划-标准型)
一、问题的提出 二、线性规划数学模型的一般形式 三、线性规划数学模型的标准形式
分析和表述问题
目 例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造标一件时
分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工
序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利：情况如 表 的I利—润l所为示最。大问。该公司应制造A、B两种家电各多少件，利使获取
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33
x11 +x12+x13 50 x21+x22+x23 30 x31+x32+x33 10
x11 +x21+x31 = 40 x12 +x22+x32 = 15 x13 +x23+x33 = 35
假设：利润——Z
家电I的数量——x1
家电II的数量——x2
分析和表述问题
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造一件时 分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工 序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况如 表I—l所示。问该公司每天应制造I、II两种家电各多少件，使 获取的利润为最大。
x1 , x2 , x4 , … , x7 0
练习
补充作业、运输问题
从仓库到工厂运送单位原材料的成本，工厂对原
材料的需求量，仓库目前库存分别如表所示，求成本 最低的运输方案。
工厂 仓库
1 2 3 需求
1 2 3 库存
213
50
224

《运筹学第二版》PPT课件

(4) 要有一个达到目标的要求，它可用决策 变量的线性函数(称为目标函数)来表示。 按问题的不同，要求目标函数实现最大化 或最小化。
精选ppt
16
它们的对应关系可用表格表示：
1
活
2
动
m
价值系数
决策变量
x1 x2 xn a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
a m 1 a m 2 a mn
经第2工厂后的水质要求：
[0.8(2x1)(1.4x2 )] 2
700
1000
精选ppt
13
数学模型
目标函数 约束条件
min z 1000 x1 800 x2
x1 1
0.8 x1 x2 1.6
x1 2
x2 1.4
x , x 0 1精选ppt 2
14
共同的特征
(1)每一个线性规划问题都用一组决策变量
拥有量
8台时 16 kg 12 kg
6
续例1
该工厂 • 每生产一件产品Ⅰ可获利2元， • 每生产一件产品Ⅱ可获利3元， • 问应如何安排计划使该工厂获利
最多?
精选ppt
7
如何用数学关系式描述这问题， 必须考虑
•设x1,x2分别表示计 I,II产 划品 生的 产数 称它们为决策变量。
•生产 x1,x2的数量多少，有 受量 资的 源 ,限 拥 这是约束条x1 件 2x2。 8即 ;4x116;4x2 12
19
图1-2
max z 2 x 1 3 x 2
x1 2 x2 2
4 x1
16 4 x 2 12
x 1 , x 2 0
精选ppt
20
图1-3 目标值在（4，2）点，达到最大值14 目标函数 mz ax 2x13x2

运筹学第2讲


例二、将线性规划问题化为标准型
max 3 x1 x1 x 1 解： min Z
Z = − x − 8 x − 3 x
2 2
1
+ 2 x
2
≤ 5 ≥ 4
≥ 0 , x 2 为无约束
= x1 − 2( x 3 − x 4 )
= 5 3 x1 − 8( x 3 − x 4 ) + x 5 − x6 = 4 x1 − 3( x 3 − x 4 ) x ,x ,x ,x ,x ≥ 0 4 5 6 1 3
2 图 解 法
x2
6
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
⑶
4
5
⑷
3
1
2
(4 2)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x1
⑵ ⑴
∴ 最优解：x1 = 4 x2 = 2 有唯一最优解，Z = 14
满足约束条件的所有点都会在阴影区域，叫可行域 可行域
例二、 例二、
max Z = x 1 + 2 x 2
x2
无穷多最优解
⑵ ⑶
2 图 解 法
x1 + 2 x2 ≤ 6 3 x + 2 x ≤ 12 1 2 x2 ≤ 2 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Z = 2 x1 + 3 x
2
− x1 + 2 x2 ≤ 2 2 x1 − x2 ≤ 3 x2 ≥ 4 x1, x2 ≥ 0
1.4 线性规划问题的解
的 数 1 学 一 模 般 型 线 性 规 划 问 题
线性规划问题：
目标函数： 约束条件： s.t.
max Z =
∑c x

运筹学第2章-线性规划的对偶理论

❖ 影子价格不是市场价格，而是在现有技术和管理条件下， 新增单位资源所能够创造的价值，是特定企业的一种边 际价格；不同企业或同一企业不同时期，同种资源的影 子价格可能不同；当市场价格高于影子价格，可以卖出； 相反，则应买进，以获取更大收益
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0

运筹学2


例如
1 0 A= ⋮ 0
0 1 ⋮ 0
⋯ 0 a1m +1 ⋯ a1n ⋯ 0 a2 m + 1 ⋯ a2 n ⋯ 1 anm +1 ⋯ ann
此时，问题的约束条件可以改写成 此时，
x1 = b1 − a1m +1 xm +1 − ⋯ − a1n xn x = b −a 2 2 2 m + 1 xm + 1 − ⋯ − a2 n xn ⋮ xm = bm − amm +1 xm +1 − ⋯ − amn xn
n
zj
于是 那么
z = z0 + z = z0 +
如果某一个 σ j > 0 , 则引入变量 x j 为进基变量 目标函数值会上升， 起了判断作用. 目标函数值会上升，可见 σ j 起了判断作用 检验数. 因此我们称 σ j 为检验数 定理1 最优解判别定理 最优解判别定理) 定理 (最优解判别定理 为对应于基矩阵B的基 若 x(0) = (b1 ,⋯, bm ,0,⋯,0)T为对应于基矩阵 的基 ′ ′ 本可行解， 本可行解，且对于一切 j = m + 1,⋯ , n 有 σ j ≤ 0 (0) 为最优解. 则 x 为最优解
x1
从初始基可行解X 开始迭代， 从初始基可行解 (0)开始迭代，依次得到 X(1),X(2),X(3)，这相当于图中的目标函数平移 点开始， 时，从O点开始，首先碰到 ，然后碰到 ， 点开始 首先碰到A，然后碰到B， 最后达到C. 最后达到 .
第一章 线性规划及单纯形法
第四节 单纯形法的计算步骤
一 一般线性规划问题的单纯形法 1 初始基本可行解的确定 单纯形法需要从一个初始基本可行解开始运 为了确定初始基本可行解， 算，为了确定初始基本可行解，首先要找出 初始基本可行基. 初始基本可行基 (1) 如果线性规划等式约束中能直接观察到存 在m个线性无关的单位向量，经过重新排序 个线性无关的单位向量，经过重新排序, 就可以得到一个可行基 可行基. 就可以得到一个可行基
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《辞海》对运筹学解释为：“二十世纪四十年代开始形成的一门 科学，主要研究经济活动与军事活动中能用数量来表达的有关运 用，筹划与管理方面的问题，它根据问题的要求，通过数学的分 析与运算，作出综合性的合理的安排，以达到较经济、较有效地 使用人力、物力。近年来，它在理论与应用方面都有较大发展。 其主要分枝有规划论、对策论、排队论及质量控制等。”
后来田忌的谋士孙膑献了一计：在每次开赛前要求对方先报马名， 由此区分对方参赛的是上马、中马还是下马；然后以自己的上马 对对方的中马、自己的中马对对方和下马、自己的下马对对方的 上马。这样，两胜一负每天赢得一千金。
6
1．赛马与桂陵之战
不久，即公元前354年，魏国以庞涓为将率军伐赵，兵围邯郸。 次年，邯郸在久困之下已岌岌可危，而魏军因久攻不下，损失也很 大。齐国应赵国的要求，以田忌为将，孙膑为军师，率军击魏救赵。 孙膑令一部轻兵乘虚直趋魏都大梁，而以主力埋伏于庞涓大军归途 必经的桂陵之地。魏国因主力远征，都城十分空虚。魏惠王见齐军 逼进，急令庞涓回师自救。刚刚攻下邯郸的庞涓闻大梁告急，急率 疲惫之师回救。
8
2．晋国公重建皇城
距今约1000年前，开封一场 大火，北宋皇城毁于一旦。宋真 宗命晋国公丁渭，主持重建全部 宫室殿宇。
当时，皇城都是砖木结构的， 建筑材料必须从远地通过汴水运 来。由于时间紧、任务重，按一 般的操作法肯定不能按时完成。 丁渭深思熟虑，规划并实施了一 个至今令人拍案叫绝的施工方案。
运筹学
1
内容提要
绪论 线性规划与单纯形法 线性规划的进一步研究 运输问题 动态规划 存储论 排队论
2
绪论
3
第一节 运筹学的产生和发展
运筹学，英国称Operational Research，美国称Operations Research，直译作“作业研究”或“运用研究”，简称OR。中文 “运筹”二字取自《史记•高祖本记》中，刘邦“夫运筹帷幄之中， 决胜于千里之外，吾不如子房”。由此可见，它是一门决策科学， 优化科学。
11
1．“OR”一词的提出
“运筹学”这个名称正式使用是在1938年，当时英国为解决空袭的早期 预警，作好反侵略战争准备，积极进行“雷达”的研究。但随着雷达性能的 改善和配置数量的增多，出现了来自不同雷达站的信息以及雷达站同整个防 车作战系统的协调配合问题。1938年7月，波得塞（Bawdsey）雷达站的负 责人罗伊（A. P. Rowe）提出立即进行整个防空作战系统运行的研究，并用 “Operational Research” 一词作为这方面研究的描述，这就是O.R.（运筹 学）这个名词的起源。1940年9月英国成立了由物理学家布莱克特（P. M. S. Blackett）领导的第一个运筹学小组，后来发展到每一个英军指挥部都成立 运筹学小组。1942年美国和加拿大也都相继成立运筹学小组，这些小组在确 定扩建舰队规模、开展反潜艇战的侦察和组织有效的对敌轰炸等方面作了大 量研究，为取得反法西斯战争的胜利及运筹学有关分支的建立作出了贡献。
9
2．晋国公重建皇城
先在皇宫前的大道上挖土烧砖备料；待把大道挖成深沟后，引进城 外汴水，使之与汴水连通成为“临时运河”，用船把其他建筑材料 直接运入工地；等到皇宫修复后，将碎砖石填入河道，修复原来皇 宫前的大道。按照这一方案，挖街取土，就地烧砖，渠成引水，运 送建材（本地砖瓦和外地石木），宫殿完工，渣土回填，恢复街道。 这就巧妙地解决了取土之难，运输之难，清场之难，可谓“一石三 鸟”，使重建皇城事半功倍。
7
1．赛马与桂陵之战
相传当时庞涓将魏军分为上、中、下三军扑向齐军。田忌想起赛 马的事，打算用同样的办法迎敌。孙膑说，作战不是赛马只需拼个输 赢，而是要消灭敌人的有生力量。于是，他把齐军也分成三队，以中 军对战魏国的上军，下军对战魏国的中军，这两军并不急于决战，主 要是牵制对手；以自己上军的优势兵力对战魏国的下军，速战速决； 得胜后的上军会同下军会战魏国的中军并将其歼灭；最后，将得胜的 上军和下军与中军合兵一处决战魏国的上军。桂陵会战，魏军遭到齐 军迎头痛击，几乎全军覆灭，庞涓侥幸逃脱。这便是历史上著名的 “桂陵之战”。
13
3．盟军封锁直布罗陀海峡（猎潜战例）
1944年初， 为帮助美国海军 在连接大西洋和 地中海的直布罗 陀海峡封锁过往 的德军潜艇，美 军OR小组的约 翰·佩芝姆博士提 出了一种“屏障 巡逻”飞行战术。
4
一、运筹学的历史
运筹学的精粹可归纳为“优化决策”，而优化决策 古已有之，作为完整、系统的学科，运筹学产生于本世 纪，古代的优化决策与现代运筹学的产生有着的积极影 响。
（一）朴素的优化思想
1．赛马与桂陵之战 2．晋国公重建皇城
5
1．赛马与桂陵之战
“田忌赛马”是家喻户晓的历史故事。战国时齐威王与齐相田忌赛 马，双方各出三匹马比赛，每胜一场赢得一千金。由于王府的马 比相府的马好，所以田忌每天都要输掉三千金。
晋国公重建皇城的施工方案，体现了运筹学的朴素思想。要使重建 工程的各个工序，在时间、空间上彼此协调，环环相扣，就需要运 用行列式的相关知识，进行精确计算。
10
（二）运筹学的产生的背景为第二次世界大战。
1．“OR”一词的提出 2．不列颠之战 3．盟军封锁直布罗陀海峡
12
2．不列颠之战
1941年，希特勒为了实施在英伦三岛登陆的计划，命令德国空军轮番对英 国进行狂轰滥炸。当时英国皇家空军以一比七的数量劣势迎战，为此需要尽可 能地保持飞机处于飞行状态。于是，空军司令部规定保持70%的飞机在天上巡 逻。但是，英军很快发现要保持这么高的飞行比例有困难，因为飞机的被击落 的、有需要维修的，飞行员也有伤亡。这一决策的后果是在空中飞行的飞机数 量越来越少。那么，究竟保持多大比例的飞机在巡逻才能持久作战呢？OR小 组的数学家、物理学家纷纷研究这个问题。出乎意料的是，这个问题最后被生 物学家康顿解决了。他根据计算生物平均寿命的方法，运用飞机飞行时间、维 修时间、空战特点和飞机被落击伤状况等数据，得出的结论是：只要保持35% 的飞机在飞行状态，就能使全部飞机的飞行战斗时间最多。这一研究成果为取 得不列颠之战的胜利作出了贡献。