二次函数教材分析--王东

人教版九年级数学上册22.1.1《二次函数》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册22.1.1《二次函数》是整个初中数学的重要内容，也是九年级数学的重点和难点。

这部分内容主要介绍了二次函数的定义、性质和图象。

二次函数是实际问题中常见的函数之一，对于学生来说，掌握二次函数的知识，不仅能够提高他们解决实际问题的能力，还能够为高中阶段的数学学习打下坚实的基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本知识，对一次函数和二次函数有一定的了解。

然而，他们对二次函数的深入理解和运用还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，我们需要关注学生的认知基础，引导学生逐步理解和掌握二次函数的知识。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解二次函数的定义，掌握二次函数的性质和图象，能够运用二次函数解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，让学生体会数学与生活的紧密联系，提高学生解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生对数学的信心，培养学生积极思考、合作交流的良好学习习惯。

四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的定义、性质和图象。

2.教学难点：二次函数的性质和图象的理解与应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习参与度。

2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片、黑板等，直观展示二次函数的图象和性质，帮助学生理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例，引导学生关注二次函数，激发学生的学习兴趣。

2.新课导入：介绍二次函数的定义，引导学生观察二次函数的图象，分析二次函数的性质。

3.案例分析：通过具体的案例，让学生运用二次函数解决实际问题，巩固所学知识。

4.小组讨论：让学生分组讨论，分享各自的解题思路和经验，提高学生的合作交流能力。

5.课堂小结：总结本节课的主要内容，强调二次函数的性质和图象的重要性。

二次函数教材分析本章主要介绍了二次函数的概念、性质和应用，旨在帮助学生深入理解函数知识，掌握二次函数的图象和性质，并能灵活应用于实际问题中。

本章的编写特点如下：1.以探索、分析和建立二次函数关系为主线，注重培养学生的数学思维和语言表达能力。

2.通过表格、关系式、图象等多种形式，帮助学生理解和描述变量之间的二次函数关系。

3.强调二次函数的图象和性质对于理解和掌握函数知识的重要性，注重培养学生的观察和分析能力。

4.重视实际问题的应用，帮助学生将二次函数理论知识应用于实际问题中，培养学生的数学建模能力。

5.难点在于帮助学生理解二次函数研究过程中所蕴含的数学思想方法，掌握函数图象的特征和变换，以及二次函数性质的灵活应用。

关于函数的内容在中学数学中是一个稳定的主题。

为了更好地帮助学生理解函数概念，教材在体例、结构、呈现方式等方面体现了以下特点：首先，强调背景和展现过程，让学生感受概念和结论的得出是水到渠成的。

例如，通过具体实例展示函数概念的产生背景，让学生理解如何用函数来描述变量之间的相互依赖关系。

同时，在丰富的背景中提出问题，引导学生思考和经历知识发展的过程，鼓励学生主动思考和自主探索。

其次，突出联系和应用，培养学生的应用意识。

函数的基础知识在现实生活、科技、经济和许多学科中都有着广泛的应用。

因此，教科书安排了较多的实际应用问题，并专门设置了函数的应用，让学生体会运用函数观点解决实际问题的作用，让学生初步体验建立函数模型的过程和方法。

最后，重视数学思想方法。

教材注重培养学生的数学思想方法，让学生在观察实例、归纳共性、逐层分析概念的过程中，感受函数概念的发展过程，提升学生的数学思维能力。

北师大版数学九年级下册《二次函数》说课稿一. 教材分析北师大版数学九年级下册《二次函数》这一章节，主要让学生了解二次函数的定义、性质及其在实际问题中的应用。

通过本章的学习，学生能掌握二次函数的一般形式，了解二次函数的图像特点，以及如何运用二次函数解决实际问题。

教材内容安排合理，由浅入深，环环相扣，有利于学生掌握二次函数的相关知识。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念和一次函数的知识，具备了一定的逻辑思维能力和数学运算能力。

但二次函数相对于一次函数，其图像和性质更为复杂，需要学生能够灵活运用已有的知识体系，建立新的知识结构。

因此，在教学过程中，要关注学生的学习兴趣，调动他们的积极性，引导他们主动探究二次函数的性质和应用。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次函数的一般形式、图像特点，了解二次函数的顶点公式，学会用二次函数解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、实验、猜想、验证等方法，让学生探究二次函数的性质，培养学生的动手操作能力和探究能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于挑战、自主学习的品质，感受数学在生活中的应用。

四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的一般形式、图像特点，二次函数的顶点公式。

2.教学难点：二次函数的图像与性质的关系，如何运用二次函数解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等，引导学生主动探究，培养学生的创新能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等软件，直观展示二次函数的图像和性质，提高学生的学习兴趣。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引入二次函数的概念，激发学生的学习兴趣。

2.新课导入：讲解二次函数的一般形式、图像特点，引导学生观察、分析、总结二次函数的性质。

3.案例分析：通过几个典型的例子，让学生学会用二次函数解决实际问题。

4.课堂练习：设计一些练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

第22章二次函数本章学情分析与教材分析（一）学情分析：“二次函数”这一章是在学习一次函数、反比例函数的基础上，具体研究的第三个函数模型，是应用研究函数性质的一般方法去研究函数的第三次实践，对学生而言，即学习了新的函数模型，又增强了对函数研究方法的掌握，为后续研究其他函数积累宝贵经验。

二次函数的学习过程充满着观察、分析、抽象、概括等方法，蕴含着从特殊到一般，数形结合、函数的思想，因此学习二次函数是学生认识函数的又一次飞跃。

“二次函数”是初中数学的核心内容，是学生体会数形结合思想的载体，是初中代数终结性知识，在初中代数有统领地位。

通过本章知识的学习，使数与式、方程与不等式的知识进一步完善，对培养和提高学生用函数模型（函数思想）来解决实际问题，逐步提高分析问题，解决问题的能力有着一定的作用，为高中进一步学习奠定基础。

（二）教材分析：1.核心素养本章所涉及的数学思想方法主要有：二次函数概念及其图象性质学习中的类比、化归、归纳、数形结合等思想方法；在求二次函数的顶点坐标和最值时的配方法；求二次函数解析式时的待定系数法；利用二次函数模型解决简单实际问题的建模思想以及分类讨论的数学思想。

2.本章学习目标（1）通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；（2）会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象认识二次函数的性质；（3）会用配方法确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题；（4）知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数，并会用待定系数法求二次函数解析式；（5）会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.3.课时安排本章教学需12课时，具体分配如下：22.1 二次函数6课时22.2 二次函数与一元二次方程1课时22.3 实际问题与二次函数3课时章末回顾2课时4.本章重点二次函数的图象与性质的理解与掌握及应用，教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象研究函数性质并解决相关问题。

2024北师大版数学九年级下册2.1《二次函数》教学设计一. 教材分析2024北师大版数学九年级下册2.1《二次函数》是学生在学习了函数、一次函数的基础上，进一步深化对函数概念的理解，学习二次函数的图像和性质。

本节课的内容包括二次函数的定义、一般式、图像特点、顶点坐标的求法等。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握二次函数的基本知识，为后续学习二次方程、二次不等式打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数的概念、图像和性质有所了解。

但是，二次函数相对于一次函数来说，图像更复杂，性质更多样，学生可能会感到难以理解和掌握。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生从一次函数的知识体系向二次函数的知识体系过渡，通过对比、类比等方法，帮助学生建立起二次函数的基本概念和图像观念。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数的定义、一般式、图像特点、顶点坐标的求法等基本知识。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生对二次函数图像和性质的理解和探究能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的自主学习能力，使学生体验到数学学习的乐趣。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的定义、一般式、图像特点、顶点坐标的求法。

2.难点：二次函数图像的性质，特别是顶点坐标的求法。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次函数的概念，激发学生的学习兴趣。

2.对比教学法：通过对比一次函数和二次函数的特点，帮助学生理解二次函数的图像和性质。

3.实践操作法：让学生通过动手操作，自己发现二次函数的图像特点，培养学生的实践能力。

六. 教学准备1.教师准备：熟练掌握二次函数的知识，准备相关的教学案例和练习题。

2.学生准备：掌握一次函数的知识，具备一定的数学思维能力。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次函数的概念，例如：一个物体从地面抛出，其高度与时间的关系可以表示为一个二次函数。

第十六章二次函数学情与教材分析简介本文档旨在分析第十六章关于二次函数的学情和教材。

通过对学生的研究情况和教材内容的分析，旨在为教师提供有关教学策略和教材优化的建议。

学情分析在学情分析中，我们对学生在研究二次函数方面的情况进行了观察和评估。

以下是我们的发现：1. 学生对二次函数的基本概念掌握较为牢固，如函数的表达形式和图像特征。

2. 学生在解二次方程和求解二次函数的最值方面还存在一定的困惑和错误。

3. 部分学生在应用二次函数解决实际问题时遇到难题，对于如何把问题转化为数学表达式的过程理解不够深入。

4. 学生在理解二次函数的变换和平移方面存在一定的困难，无法准确把握图像在坐标平面上的变化。

教材分析在教材分析中，我们对第十六章关于二次函数的内容进行了评估和研究。

以下是我们的观察和建议：1. 教材对于二次函数的基本概念和性质的介绍较为清晰和详细，学生易于理解。

2. 教材对于解二次方程和求解二次函数最值的方法讲解较为简单，可能需要更多的例题和练来加深学生的理解。

3. 教材在应用二次函数解决实际问题方面的例题较少，建议增加更多的实际问题来培养学生的应用能力。

4. 教材对于二次函数的变换和平移方面的讲解较为简略，可能需要更多的图示和实例来帮助学生理解。

教学策略和建议基于学情和教材分析的结果，我们提出以下教学策略和建议：1. 强调解二次方程和求解二次函数最值的方法，提供更多的例题和练，帮助学生掌握解题技巧。

2. 结合实际问题进行教学，给学生提供更多的实际应用场景，培养他们的解决问题的能力。

3. 在教学中注重二次函数的变换和平移的讲解，使用图示和实例来帮助学生理解这一概念。

4. 鼓励学生进行小组讨论和互动，加强合作研究和互助研究的氛围。

希望以上分析和建议对于第十六章二次函数的教学有所帮助。

第二章二次函数1．二次函数【教学目标】1、通过问题情境列函数关系式，归纳总结二次函数的定义及表达式和注意事项；2、根据二次函数的定义会判断函数是不是二次函数，并会列出符合条件的二次函数表达式；3、根据二次函数的定义，会求出二次函数式中字母的取值. 【重点难点】1．重点：理解二次例函数的概念，能根据已知情境列出函数表达式2．难点：理解二次例函数的概念.【教学过程】活动1知识回顾问题．什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的?设计意图：承上启下，将即将学习的二次函数归为函数体系，反映了研究函数的一般思维方法，进行对照研究。

活动2合作学习，探索新知1、正方形的边长是3cm，若边长增加xcm，增加后的正方形面积为ycm2,写出y与x之间的函数关系表达式；2、圆的半径是4cm,假设半径增加x cm时，圆的面积增加到ycm²，写出y 与x之间的函数关系表达式；3、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子. 根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.假设果园増种x棵橙子树，果园共有棵橙子树，平均每棵树结个橙子。

如果果园橙子的总产量为y个，请写出y与x之间的函数关系式。

观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?感悟新知：二次函数的概念经化简后都具有y=ax²+bx+c的形式,(a,b,c是常数, a≠0). 我们把形如y=ax²+bx+c(其中a, b, c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数称：a为二次项系数，ax2叫做二次项;b为一次项系数，bx叫做一次项;c为常数项你说我说二次函数的注意事项：同桌互相说，然后交流(1)关于x 的代数式一定是整式，a,b,c 为常数,a≠0。

(2)等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。

（3）判断一个函数是不是二次函数，先把它化成一般形式。

设计意图：通过举例说明二次函数的关系来自生活，让学生体会建模的思想，通过直观形式的对比总结二次函数的概念与表现形式，加深学生对概念的印象。

九年级数学《二次函数》教学案例分析和思考教学目标：1.了解二次函数的定义和基本形式。

2.掌握二次函数的图像、顶点和轴对称性。

3.能够根据函数的表达式绘制二次函数的图像。

4.能够应用二次函数解决实际问题。

教学重难点：教学过程：一、导入（5分钟）通过提问的方式导入二次函数的概念，“什么是二次函数？”，并让学生回答。

二、知识点讲解（15分钟）二次函数是指形如y=ax^2+bx+c（其中a≠0）的函数。

二次函数的图像是抛物线，其顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)），f(-b/2a)为抛物线上的最低点或最高点。

二次函数的轴对称轴为x=-b/2a。

三、例题讲解（20分钟）例题1：已知二次函数f(x)=2x^2-4x+1，求二次函数的图像。

解析：根据二次函数的定义，我们可以求得二次函数的顶点和轴对称点。

然后根据顶点和轴对称性，我们可以绘制出二次函数的图像。

解析：根据二次函数的定义，我们可以求得二次函数的最值和最值点。

四、拓展练习（20分钟）五、实际应用（20分钟）在实际生活中，我们经常会遇到与二次函数相关的问题。

某购物网站每天销售商品的数量与商品价格的关系可以用一个二次函数模型来表示。

现在，请你们根据以下数据绘制该二次函数的图像，并求出该二次函数的最值和最值点。

商品价格（元）销售数量（件）10 2020 1530 1040 5解析：根据给定数据，我们可以列出以下表达式：f(x)=ax^2+bx+c。

然后，我们再根据这些数据求出a、b和c的值，进而求出二次函数的图像和最值。

六、总结（10分钟）通过本次课程的学习，大家了解了二次函数的基本概念和特征，并掌握了绘制二次函数图像、求最值和最值点的方法。

我们还进行了实际应用的训练，提升了解决问题的能力。

下节课我们将学习二次函数的性质和相关定理。

教学反思：。

《二次函数》教材分析一、教学目标：1．使学生经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系；2．能用表格、关系式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理地进行思考和语言表达的能力，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系；3．会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，并逐步积累研究一般函数性质的经验；4．能根据二次函数的表达式，确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。

5.能根据二次函数的性质解决实际问题。

二、教材分析：本章是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。

二次函数是描述变量之间关系的重要的数学模型，它既是其他学科研究时所采用的重要方法之一，也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。

二次函数的图像抛物线，既是人们最为熟悉的曲线之一，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。

和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。

函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。

学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。

这几节的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。

二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此这一章节的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。

初中数学_二次函数教学设计学情分析教材分析课后反思教学设计一，创设情境，引入新课师：节日的喷泉给人们带来喜庆，夏日的喷泉给人们带来凉爽，你是否会注意到喷泉水流所经过的路线？生：学生联想不同的季节，不同地方见过的喷泉，产生曲线印象设计意图：让学生从喷泉曲线中抽象出曲线模型。

预设情境：跳绳的绳子曲线，篮球入篮的曲线...设计意图：欣赏生活情景，培养数学观察与思考意识，强化曲线模型。

追问：直线可以用一次函数来表示，双曲线可以用反比例函数表示，像图中的这种曲线能用什么函数来描述呢？这节课让我们共同学习《二次函数》一节。

（出示学习目标，提出教学要求。

）数学源于生活：1.圆的半径是xcm，圆的面积为ycm2，写出y与x之间的函数关系式；y＝πx22.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，写出场地面积y(m2)与矩形一边长x(m)之间的关系式y＝x(30－x)即y＝－x2＋30x3.某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。

现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。

根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。

①问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？②假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？③如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式。

100＋x 600－5xy=(100+x)(600-5x) =-5x2+100x+60000.4.设人民币一年教育储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).y=100(1+x)2=100x2+200x+100.问题设置意图：通过这几个问题的设置，让学生根据题意列出函数解析式，并归纳总结解析式的特点，进而得到二次函数的一般定义。

①y＝πx2②y＝－x2＋30x③y＝100x2＋200x＋100④y＝－5x2＋100x＋60000（观察解析式，总结函数特点）经过整理后,(1) 自变量x的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.（2）等号的右边是整式定义：一般地,形如y=ax2+bx+c 的函数叫做x 的二次函数.(a,b,c 是常数,a≠ 0)学以致用：通过这几个式子的辨析，明确二次函数的特点下列函数中,哪些是二次函数？(1) y=3(x -1)2+1 (2)v=10πr 2(3) y=x 2+x 3+25 (4)y=22+2x(5) s=3-2t2(6)y=(x+3)2-x2特点总结：二次函数的一般形式:y ＝ax2＋bx ＋c (其中a 、b 、c 是常数,a≠0)二次函数的特殊形式：当b ＝0时， y ＝ax2＋c当c ＝0时， y ＝ax2＋bx当b ＝0，c ＝0时， y ＝ax2议一议:2(,,),,123y ax bx c a b c a b c =++函数其中是常数，当满足什么条件时（）它是二次函数？（）它是一次函数？（）它是正比例函数？小试牛刀：1. 圆的半径是1cm,假设半径增加xcm 时,圆的面积增加ycm2.（1）写出y 与x 之间的函数关系表达式；（2）当圆的半径分别增加1cm, 2cm ,2cm 时，圆的面积增加多少？2.已知矩形的周长是40cm,（1）能表示出这个矩形的面积与其一边的关系吗？（2）两个数的和是20，设其中一个数是X ，写出这两个数之积Y 的表达式。

《二次函数》复习课教学设计复习目标：知识目标：1、了解二次函数解析式的三种表示方法；2、会确定抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴以及抛物线与对称轴的交点坐标等;3 、会做一元二次方程与抛物线的结合与应用问题。

4、利用二次函数解决实际问题。

技能目标：培养学生运用函数知识与几何知识解决数学综合题和实际问题的能力。

情感目标：1、通过问题情境和探索活动的创设，激发学生的学习兴趣；2.让学生感受到数学与人类生活的密切联系，体会到学习数学的乐趣。

复习重、难点：函数综合题型复习方法：自主探究、合作交流复习过程：一、知识梳理（学生独立练习，分小组批改）1、二次函数解析式的三种表示方法：（1）顶点式：（2）交点式：（3）一般式：2、二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，在对称轴右侧，y随x的增大而 ______ ，在对称轴左侧，y随x的增大而_________；当a＜0时，在对称轴右侧，y随x的增大而________ , 在对称轴左侧，y随x的增大而_________4、抛物线y=ax2+bx+c当a＞0时图象有最______ 点，此时函数有最_____ 值_______ ；当a＜0时图象有最________ 点，此时函数有最______值________。

二、探究、讨论、练习（先独立思考，再分小组讨论，最后反馈信息）（一）中考热点1：图像及性质1、抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标为( )A．(3,－4) B. (3,4)C．(－3,－4) D．(－3,4)2、抛物线y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)的对称轴是( )A．直线x＝1 B．直线x＝－1C．直线x＝－3 D．直线x＝33、二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是( )A．－1＜x＜3 B．x＜－1 C．x＞3 D．x＜－3或x＞3（二）中考热点2：抛物线位置与a、b、c的关系1. 如图,抛物线y=a x2+b x+c,请判断下列各式的符号：①a 0;②c 0; ③b2 - 4ac 0;④ b 0;⑤a+b+c __0（三）中考热点3：函数性质的综合应用1.已知函数 的图象如下图所示，则函数 的图象只可能是2.已知点（1，y 1），（2，y 2），（4，y 3）在函数y=x2-4x+3的图象上，那么y 1，y 2，y 3的大小关系是A. B. C. D.（四）中考热点4：利用二次函数解决实际问题水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱,价格每提高1元，平均每天少销售3箱。

第二十二章二次函数教材分析一、本章在教材中的意义学生在初二学习过函数的有关概念与一次函数，对函数己经有了一定的认识.从研究方法上看，本章学习二次函数延续了学习函数的一般思路：首先通过实例认识二次函数，然后研充二次函数的图象和性质，再探索二次函数与一元二次方程的联系，最后运用二次函数解决实际问题.因此从内容上看，学习了二次函数，实际上是将初中代数关于数与式、整式方程与不等式、函数等模块的大部分内容贯穿起来了，一些拓展性的问题充分体现出了代数内容的融会贸通.从思想方法上看，涵盖类比、数形结合、归纳、建模等思想，尤其是数形结合的思想贸穿始终.从学段衔接的角度看，在初中阶段研究函数的数形结合，主要是通过图象特征来归纳性质，而到高中继续学习二次函数和其它初等函数时，更侧重通过解析式的代数特征来推导函数性质和图象特点.二、本章教学目标和考试要求1.本章教学目标(1)通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.(2)会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质.(3)会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h):+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，能说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题.(4)会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.2.教学重、难点教学重点：二次函数的图象和性质.教学难点：从解析式的角度研究二次函数的性质.3.中考说明对本章的要求考试内容考试要求A3C数与代数函次函了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象：通过图象了解二次函数的性质；会用配方法将数字系数的二次函数的表达式转化为y=a(x—h)"+k的形式：会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能根据己知条件确定二次函数的表达式：能确定二次函数留象的开口方向；能用配方法确定二次函数图象的顶点坐标和对称轴运用二次函数的有关内容解决有关问题三、本章教学建议1.本章知识结构框图2.课时安排本章教学约18课时（含讲评），具体安排如卜（仅供参考）:22.1-次函数共10课时22.1.1二次函数1课时22.1.2二次函数y=ax'的图象和性质2课时22.1.3二次函数y=a（x-h）:4-k的图象和性质4课时22.1.4二次函数y二ax'+bx+c的图象和性质3课时22.2二次函数与一元二次方程22.3实际问题与二次函数数学活动小结2课时3课时1课时2课时3.教学中需要斟酌的问题（1）研究二次函数的思路.（2）代数推理的深度.（3）二次函数与一元二次方程的联系.（4）使用信息技术的时机.4.教学建议（1）经历函数的研究过程.（2）关注数形结合的研究方法.（3）关注抛物线的对称性.（4）加强对实际问题的分析.四、各节内容分析22.1二次函数【教学目标】（1）知道二次函数解析式中字母的意义，并且能根据给出的函数解析式判断一个函数是不是二次函数.（2）根据二次函数的解析式列表、画图象.进而研究二次函数的性质.（3）会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为疙a（x-h广+k的形式，并能由此说出二次函数图象的顶点坐标、开口方向、对称轴.【重点】二次函数的图象和性质.【难点】理解二次函数的对称性.【典型例题】例1判断下列函数y是否是关于x的二次函数（1）y=-3x2；（2）>*=2a-3：（3）y=2x（x-5）：（4）y=2x2+4.v-6:（5）y=x（2-x）+x2 ；（6）y=―；一!----:（7）y=2x（x2-x+1）；3x~+2x—1（8）某种药品现价每盒26元，计划两年内每年降价戒，两年后这种药品的价格为每盒y元.（9）一个边长为8cm的正方形，把它的边长延长xcm后得到一个新的正方形.新正方形的周长增加了Vi皿面积增加了％cm'；例2当m为何值时，y=（〃】+3）/ji+（〃i+2）x+3是x的二次函数？例3在同一坐标系中.作出卜列各组函数的图象:(1)y=X2;y=-a2;y=—x2;y=-2.v2:2(2)y=2x2;y=2x2+1;y=2x2-3：如=_：(—l)，(3)y=_#；,,=_：(x+])x2;y=(x+1)2;y=(x+l)2 -2.例4写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出函数图象.(1)y=3x2+6.r-9；(2)>• =-^x2+2.r-3.例5将抛物线yx=-2x：向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线片写出抛物线尖的开口方向.对称轴.顶点坐标，并求出抛物线巴的解析式.例6已知二次函数y=x'+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如卜表:X•••-101234•••y•••1052125•••(1)求该二次函数的解析式；(2)当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？(3)若A(m.y：),BCm+l.yJ两点都在该函数的图象上.试比找y上咒的大小.例7将抛物线咛2营向右平移2个单位后，所得图象在y轴右侧的部分记为G,直线l：y=kx+b经过点(-2,0).请结合图象回答：当直线1与G有两个公共点时，求k的取值范围.例8抛物线y=ax'+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号.例9已知函数y=x:-mx+2m-3分别满足下列条件，求相应的m的值.(1)顶点在x轴上；(2)顶点在y轴上；(3)过原点.例10己知y=ax-+bx+c的图象如卜图,试判断在abc,b--lac.2a+b,a+b+c>a-b+c中是正数的有哪些？例11根据条件，求卜列二次函数的解析式:(1)(2)(3)已知二次函数的图象经过（-1,10）, （1,4）, （2, 7）三点：二次函数的图象如下图所示；抛物线的对称轴平行于y 轴，顶点为A （l,-2）,且经过点（0.-1）.22.2二次函数与一元二次方程【教学目标】（1） 了解一元二次方程的根的几何意义（抛物线与x 轴的公共点的横坐标），知道抛物线与x 轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况.（2）会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【重点】一元二次方程的根的几何意义.【难点】一元二次方程和函数图象的转化.【典型例题】例12己知二次函数y =x ：-2x-3,求出它的图象与x 轴交点的坐标.例13当m 为何值时，抛物线y=（mT ）x'+2mx+mT 与x 轴：（1＞只有一个公共点；（2）有两个公共点：（3）没有公共点.例14己知二次函数y =ax'bx+c 的图象如图所示，若方程ax'+bx-c+KO 有实数根.则k 的取值范国是例15己知二次函数yFx-x-2和一次函数yFx+1.（1） 它们的图象是否有公共点？如果有，求出公共点的坐标；（2） 当自变量x 取何值时，y,〉yj22.3实际问题与二次函数【教学目标】（1） 能在实际问题中建立函数模型.（2） 能利用二次函数的图象和性质，解决简单的实际问题.【重点】利用二次函数解决最值问题.【难点】与抛物线有关的实际问题.【典型例题】例16 （1）-个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面枳S 与宽x 之间的函数关系式.（2）已知AABC 中，边BC 的长与BC 边上的高的和为20,写出△ABC 的而枳y 与BC 的长x 之间的函数关系式.（3）某种商品的价格是2元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x,经过两次降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率嚣的变化而变化，写出y与x之间的函数关系式.例17某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。

二次函数教材分析一、本章的地位1. 二次函数一章位于初中数学函数模块的最后一章，是学生在学习了一次函数与反比例函数之后学习的最后一类函数，因此这一章的一个重要作用是对函数及其应用知识学习的深化和提高。

这一章的学习不仅仅限于二次函数这一类函数的性质特点掌握，更重要的是能够初步构建函数的研究框架：函数的事实——函数的定义与表示——函数的性质——几类初等函数，并在回顾、梳理基础上提炼、迁移、培养一般性的思想方法；2. 人教版教材实际上是把二次函数一章放到反比例函数一章之前，主要出于函数图象本身的连续性及其本身是整函数来考虑的，尽量避免因为图象的不连续增加学生的认知负担。

但在实际的教学中，我们仍然延续了先学反比例函数，主要出于反比例函数的定义形式简单，参量少，并且考虑一次函数学习后学生有能力认识不连续函数；3. 二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型，也是某些单变量最优化问题的数学模型，学习二次函数有助于发展学生数学建模素养；4. 二次函数一章再次让学生体会知识间的联系，即将一元二次方程、不等式统一起来，有助于培养学生的数学整体观，也为高中函数的深入学习作好铺垫，在整个中学教学中起到承上启下的作用；5. 从中考的角度，因为本章知识的综合性，并且是多个重要板块知识的结合点，因此往往以代数综合题的形式呈现。

二、本章的目标（1）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；（2）会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质；（3）会用配方法将数字系数的二次函数表达式化为y=a(x−ℎ)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题。

（4）会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解；（5）知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。

三、本章内容及知识结构图(上图中a≠0)第一部分——二次函数的图象与性质第二部分——二次函数与一元二次方程第三部分——实际问题与二次函数该部分侧重培养学生的数学建模能力。

新人教版第二十六章《二次函数》教材分析与教学建议广州市美华中学 黎少敏一、教学目标与要求1. 了解二次函数的一般形式，会用描点法画出二次函数的图象，并通过图象了解二次函数的性质。

2. 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为k h x a y +-=2)(的形式，并依此确定图象的顶点、开口方向、对称轴。

3.了解2(0)y ax a =≠与k h x a y +-=2)(图象之间的关系，会根据条件确定二次函数的表达式。

4. 了解一元二次方程的根的几何意义，知道一元二次方程的根的三种情况对应着抛物线与x 轴的三种位置关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

5.会应用二次函数的最值解决简单的实际问题。

体会二次函数是一类最优化问题的数学模型。

经历数学建模的基本过程。

感受数学的应用价值。

发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。

二、本章课时安排本章教学时间约需12课时 ，具体安排如下：26．1节 二次函数…………………………………………6课时 26．2用函数的观点看一元二次方程………………………1课时 26．3实际问题与二次函数…………………………………3课时 教学活动 小结………………………………………………2课时 三、学法教法建议1．在教学上要注重引入二次函数概念的现实背景，让学生感受其实际意义，激发学生的学习兴趣；并注意让学生在学习的过程和实际应用中逐步深化对概念的理解和认识。

2. 在研究二次函数的图像和性质时，首先要抓住最简单的二次函数2(0)y ax a =≠的图像与性质，对于一般的二次函数，常利用配方法，将函数关系式化为k h x a y +-=2)((0,,)a h k ≠为常数的形式，抓住它与2(0)y ax a =≠的图像之间的联系来研究，要注意在研究具体实例的过程中，体会这种化归（化未知为一直，变复杂为简单）的思想方法3. 注意把握二次函数图象的特点（对称轴、开口方向、顶点坐标），通过图象去发现和认识二次函数的一些性质，还要善于运用图象，领会和运用数形结合、函数的思想方法（包括利用函数图象求解方程和方程组）。

2024北师大版数学九年级下册2.1《二次函数》教案一. 教材分析《二次函数》是北师大版数学九年级下册第2.1节的内容。

本节课主要让学生了解二次函数的定义、性质及图像，培养学生利用二次函数解决实际问题的能力。

教材通过引入二次函数的概念，让学生从图像和解析式两个方面理解二次函数的性质，为后续学习二次方程和二次不等式打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念和一次函数的性质，具备了一定的函数思维。

但在二次函数方面，学生可能对函数图像的解读、对称性、顶点坐标的求解等方面存在困难。

因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.了解二次函数的定义，理解二次函数的图像特征，掌握二次函数的性质。

2.能够从实际问题中识别二次函数模型，运用二次函数解决实际问题。

3.培养学生的抽象思维能力、数学表达能力及合作交流能力。

四. 教学重难点1.二次函数的定义及其图像特征。

2.二次函数的性质，包括对称性、顶点坐标、开口方向等。

3.运用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型。

2.利用数形结合的方法，让学生直观地理解二次函数的图像特征。

3.采用合作交流的学习方式，培养学生的主体参与意识。

4.运用启发式教学，激发学生的思维，引导学生发现和总结二次函数的性质。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引入二次函数的概念。

2.制作二次函数图像的课件，用于展示二次函数的图像特征。

3.准备一些关于二次函数性质的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型。

例如：抛物线与x轴的交点问题。

2.呈现（15分钟）展示二次函数图像的课件，让学生直观地了解二次函数的图像特征，如顶点、开口方向等。

同时，引导学生观察图像，发现二次函数的性质。

第二十二章二次函数一、教学目标1. 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．2. 会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质．3．会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，能说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单的实际问题．4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．5．能够在实际问题中通过建立函数模型，进而解决实际问题．二、教材分析函数是描述现实世界中变化规律的数学模型．某些问题中的数量关系可以用二次函数表示．本章在一次函数的基础上，介绍二次函数的概念、图象和性质，讨论二次函数与一元二次方程的联系，运用二次函数的图象和性质解决一些简单的实际问题．三、教学建议1．注意复习相关内容二次函数的学习是以已学函数内容为基础的．从八年级下册“一次函数”的学习到九年级上册“二次函数”的学习，中间相隔了一段时间．函数的概念，描点法画函数的图象等在本章中都要用到．因此，要注意复习已学函数内容，帮助学生学好二次函数．2．关注数形结合的研究方法二次函数的图象和性质的讨论运用了数形结合的研究方法，即先画出二次函数的图象，再结合图象讨论二次函数的性质．把握好数形结合的研究方法有利于本章教学的开展．3．重视类比、数学建模等数学核心素养的培养在教学过程中注意引导学生运用类似一次函数的方法学习二次函数；要培养学生能够在实际问题情景中发现和提出问题，针对问题建立数学模型，并运用所学数学知识求解模型的能力．4．重视信息技术的使用用某些计算机画图软件(如《几何画板》)，可以方便地画出二次函数的图象，进而从图象探索二次函数的性质．在本章的选学栏目“信息技术应用探索二次函数的性质”中，有条件的话，可以让学生加以尝试．第1页共1页。

22.2二次函数与一元二次方程太和县肖口镇陈庙初中王东友本节课的主要内容是二次函数与一元二次方程之间的关系,要求用函数的观点看方程,渗透数形结合的思想。

【敎學目标】一、知识与技能1、经历复习二次函数与一元二次方程关系的过程,进一步体会方程与函数之间的互相转化,能够用函数的观点看方程。

2、掌握二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系,掌握何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根,并熟练的用于解题中。

3、掌握一元二次方程的根就是二次函数与y与x轴交点的横坐标.二、过程与方法1、经历学习二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的综合解题能力。

2、通过观察二次函数与x 轴交点的个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.3、通过学生共同学习和讨论,培养合作交流意识.三、情感态度与价值观1、经历学习二次函数与一元二次方程的关系的过程,认识到事物的联系与转化,体验探究的乐趣。

2、学会用辨证的观点看问题,具有初步的创新精神和实践能力.【敎學重点】1.掌握方程与函数之间的联系.2. 掌握一元二次方程的实数根个数与二次函数与x轴公共点个数的对应关系,根据具体的函数图像解决有关问题；3.掌握二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象与x轴交点的横坐标,就是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根。

【敎學难点】1、掌握二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.探索方程与函数之间的联系的过程.2、掌握由方程根来求待定系数,或由待定系数的取值决定方程根的解题套路.【敎學方法】讲练法,教师引导启发,学生合作探索【敎學过程】一、问题引入:如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h（单位:m）与飞行时间t（单位:s）之间具有关系h = 20t－5t 2考虑以下问题:（1）球的飞行高度能否达到15m？如能,需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能,需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到25m？为什么？（4）球从飞出到落地需要用多少时间？方程及根的情况:对应二次函数图像:几何画板演示绘图二次方程△=b2-4a c方程的根x2-4x+3=0△>0x1=1,x2=3x2-4x+4=0△=0x1=x2=2x2-4x+5=0△<0无解x2-4x=0△>0x1=0,x2=4换几个方程及对应函数试一试:（1）y =x 22+x -2 （2）y =x 22-6x +9 （3）y =x 2-x +1结论:（1）抛物线y = x 2＋x －2与x 轴有两个公共点,它们的横坐标是－2,1.当x 取公共点的横坐标时,函数的值是0.由此得出方程x 2＋x －2＝0的根是－2,1（2）抛物线y = x 2－6x ＋9与x 轴有一个公共点,这点的横坐标是3. 当x = 3 时,函数的值是0．由此得出方程 x 2－6x ＋9＝0有两个相等的实数根3.（3）抛物线y = x 2－x ＋1与x 轴没有公共点,由此可知,方程x 2－x ＋1＝0没有实数根． 二、归纳:从上面可以看出,二次函数与一元二次方程关系密切．例如,已知二次函数y = －x 2＋4x 的值为3,求自变量x 的值,可以解一元二次方程－x 2＋4x =3（即x 2-4x +3=0）．反过来,解方程x 2－4x +3=0 又可以看作已知二次函数 y = x 2－4x +3 的值为0,求自变量x 的值．一般地,我们可以利用二次函数y =a x 2+b x +c 深入讨论一元二次方程a x 2+b x +c =0 1、文字归纳小结:一般地,从二次函数y =a x 22+b x +c 的图象可知（1）如果抛物线y =a x 2+b x +c 与x 轴有公共点,公共点的横坐标是x 0,那么当x =x 0时,函数的值是0,因此x = x 0 就是方程 a x 2+b x +c =0 的一个根．（2）二次函数的图象与x 轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点,这对应着一元二次方程根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根．二次方程 △=b 2-4a c 方程的根 X 2+x -2=0△ > 0x 1=-2,x 2=1 x 2-6x +9=0 △ = 0 x 1=x 2=3 X 2-x +1=0 △ < 0无解2、图表归纳小结三、范例1.求二次函数y＝x2＋4x－5与x轴的交点坐标解:令y＝0则x22＋4x－5＝0解之得,x1＝－5,x2＝1¡à交点坐标为:（－5,0）（1,0）结论一:若一元二次方程a x2+b x+c=0的两个根是x1、x2,则抛物线y=a x2+b x+c与x轴的两个交点坐标分别是A（x1,0）,B（x2,0）2、思考:函数y＝x2-5x＋6与x轴的交点坐标是什么？试试看！3、探究:二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的解有关系吗？结论:函数与x轴有两个交点方程有两不相等根函数与x轴有一个交点方程有两相等根函数与x轴没有交点方程没有根方程的根的情况是由什么决定的？判别式b2－4a c的符号结论:对于二次函数y＝a x2＋b x＋c,判别式又能给我们什么样的结论？（1）b2－4a c＞0函数与x轴有两个交点（2）b2－4a c＝0函数与x轴有一个交点（3）b2－4a c＜0函数与x轴没有交点四、试一试:1、判断下列二次函数图象与x轴的交点情况（1）y＝x2－1；（2）y＝－2x2＋3x－9；（3）y＝x2－4x＋4；2、不解方程,你能利用函数图像求方程x2-2x-2=0的实数根吗？（结果保留小数点后一位）3、下列二次函数的图象与x轴有交点吗?若有,求出交点坐标.（1）y=2x2＋x－3（2）y=4x22－4x+1（3）y=x22–x+1五、小结:同学们,通过这节课的学习,你收获了什么？六、反思:本课的亮点是采用了“几何画板”这个数学软件作二次函数图像,快速简便的作图可以腾出大量的时间去思考本课的重难点,表格展示二次方程的△值及根的情况并与二次函数的图像对比,便于分析得出二次函数与一元二次方程的关系。

北京市西城区九年级上册《二次函数》教材分析第 - 2 - 页第 - 3 - 页象和性质，二次函数与一元二次方程的联系，用二次函数的图象和性质解决实际问题.教学重点：二次函数的图象和性质及其应用.教学难点：①二次函数与一元二次方程的联系；②运用数形结合的数学思想解决二次函数问题.三、本章的学习目标1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.2.会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质.3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题.4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.第 - 4 - 页5.*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.四、考试说明要求A层次B层次C层次了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象；通过图象了解二次函数的性质；会用配方法将数字系数的二次函数的表达式转化为y=a(x h)2+k的形式；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 能根据已知条件确定二次函数的表达式；能确定二次函数图象的开口方向；能用配方法确定二次函数图象的顶点坐标和对称轴.运用二次函数的有关内容解决有关问题.五、本章的知识结构第 - 5 - 页第 - 6 - 页六、课时安排：本章教参安排为12课时，实际教学约需15课时，可分配如下（仅供参考）：22.1二次函数的图象和性质（共8课时）二次函数的概念 （1课时）二次函数y =ax 2的图象和性质 （1课时）二次函数y =ax 2＋c 的图象和性质（1课时）二次函数y =a (x －h )2的图象和性质 （1课时）二次函数y = a (x －h )2＋k 的图象和性质（1课时）二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象和性质 实际问题 二次函数 利用二次函数的图象和性质求解实际问题的答案 目标二次函数的解析式二次函数的图象 二次函数的性质描点画图图象特征几何变换函数最值 函数增减性 函数对称性（1课时）二次函数解析式的确定（2课时）22.2二次函数与一元二次方程（共1课时）22.3实际问题与二次函数（共4课时）实际问题与二次函数（2课时）二次函数综合问题（2课时）数学活动与小结（共2课时）七、教学建议1. 注重研究函数的方法教学，为学生探究具体新函数积累数学活动经验学生已经学习了函数的有关概念，及具体的初等函数---一次函数和反比例函数，本章是学生第三次研究具体函数的过程，应该让学生建立在已有研究经验的基础上，体会函数思想，掌握研究函数的一般方法.教材安排学习函数过程大致包括以下内容：（1）通过具体实例认识这种函数；（2）研究这种函数的图象和性质；（3）探索这种函数与相应方程（不等式）的关系；（4）利用这种函数解决实际问题.第 - 7 - 页2.注意由浅入深、循序渐进地理解二次函数的概念对二次函数的概念有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则，分三步来展开这部分的内容.第一步，从学生熟悉问题背景引入相应的二次函数入手，由具体到一般，建立二次函数的概念.第二步，利用变换的观点研究二次函数的图象，通过函数图象研究二次函数的性质，体现函数解析式与图象的关系.第三步，在二次函数模型的应用过程中，通过建立二次函数模型以及模型的求解，更全面地体会二次函数的本质.教学中，要让学生经历知识发生发展的全过程，引导学生用好节前问题、探究、思考、归纳等教材设计的环节，给学生充分的自主探究时间，让学生真正理解函数概念，提升学习能力.3. 注重数学思想方法的教学本章教学始终沿着由特殊到一般的研究思路，一般二次函数的图象和性质是从最简单的二第 - 8 - 页次函数y=x2出发逐步深入探讨的.类比思想在研究的过程中多次体现，对于y=ax2的研究分a>0和a<0，研究完a>0的情况，a<0的情况就可以类比a>0的情况进行讨论.数形结合的思想贯穿二次函数讨论的始终，每一个二次函数的研究都展现了从解析式到图象，再从图象到性质的过程.另外，利用函数模型解决实际问题是数学应用的一个重要方面，利用好本章的实际问题背景，培养学生的数学建模的思想.八、具体内容建议(一) 二次函数的概念概念的引入要突出过程，引导学生从丰富的实例中列出函数关系式，观察共性，归纳概念的本质特征，在整个过程中，要给学生充分的观察、比较、分析、概括的时间，要让学生体验到二次函数与生活的紧密联系.另外，通过本节课的教学，可以再次熟悉列函数关系式的方法，突出方程思想，为实际问题与二次函数的学习奠定基础.(二) 二次函数的图象和性质第 - 9 - 页第 - 10 - 页 y =ax 2的图象和性质的教学是二次函数教学的基础，要把这节课作为一节新函数的探究过程，如何画图，如何看图，如何归纳性质，都是本节它函数就可以类比研究了.作图方法：五点法图象特征：图象形状、开口方向、开口大小、对称轴、顶点（最高点、最低点）函数性质：对称性、增减性和最值 y =ax 2的图象和性质a >0 a <0示意图图象形状抛物线 开口向上开口向下 y =x 2 y =ax 2(a y =ax 2+k y =a (x －y =a (x －y =ax 2+bx 目几何几何x y O x y O开口a 越大，开口越小；a 越小， 开口越大. 对称轴y 轴（直线x=0） 顶点坐标最低点（0,0） 最高点（0,0） 最值 当x =0时，y 有最小值是0. 当x =0时，y 有最大值是0.增减性 当x ≤0时，y 随x 的增大而减小；当x >0时，y 随x 的增大而增大. 当x ≤0时，y 随x 的增大而增大，当x >0时，y 随x的增大而减小.例题与练习：1．确定下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．①25y x =-；②2152y x =+；③23(4)y x =-+；④24(2)7y x =+-． 2.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.①x x y 232+= ②x x y 22+-= ③8822-+-=x x y ④34212+-=x x y3. 已知二次函数223=--y x x（1）把它变为2=-+的形y a x h k()式:_________________________________（2）它的图象是抛物线2y x=向_______平移______个单位长度，又向______平移______个单位长度后得到的.（3）它的图象与x轴的交点坐标为_______________，与y轴的交点坐标为_______________（4）它的图象开口方向为________________ （5）对称轴方程为________________，顶点坐标为________________（6）x的取值范围为________时，y随x的增大而增大；x的取值范围为________时，y随x的增大而减小（7）当x__________时，y>0 ; x________时，y=0 ; x_________时，y<0（8）当x=__________时，y有最_______值，这个最____值是____________________（9）当-3<x<3时，观察图象直接写出函数值y 的取值的范围________________（三）二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)图象的变换——平移、对称、旋转平移：函数y=ax2+bx+c (a≠0)图象的平移要抓住顶点的平移（也可以是其它关键点的平移），a 不变翻折：要抓住顶点的变化及其它关键点的变化.*结论：抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线解析式是y= -ax2-bx-c抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称的抛物线解析式是y= ax2-bx+c旋转：绕某一定点旋转180°：要抓住顶点的变化，a取相反数.结论：抛物线y=a(x-h)2+k绕顶点旋转180°后的解析式为y= -a(x-h)2+k例题与练习：1.将抛物线y=－2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. y =－2（x +1）2B. y =－2（x －1）2C. y =－2x 2+1D. y =－2x 2－12.将抛物线233y x 向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为( ) A .2333y x B .23y x C .2332y x D .236y x3. 将抛物线22x y =向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（ ）A ．5)3(22--=x y B ．5)3(22++=x y C ．5)3(22+-=x y D ．5)3(22-+=x y4.将二次函数y=x 2+2x ﹣1的图象沿x 轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（ ）A ．y =（x +3）2﹣2B ．y =（x +3）2+2C ．y =（x ﹣1）2+2D ．y =（x ﹣1）2﹣25.抛物线5422---=x xy 经过平移得到22x y -=，平移方法是( )A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 6.将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）．A ．221216y x x =--+B ．221216y x x =-+-C ．221219y x x =-+-D ．221220y x x =-+-7.将抛物线12+=x y 绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（ ）A. 2x y -=B. 12+-=x yC. 12-=x yD. 12--=x y 8.设二次函数2143y x x =-+的图象为C 1．二次函数22(0)y ax bx c a =++≠的图象与C 1关于y 轴对称． （1）求二次函数22y ax bx c =++的解析式； （2）当3x -<≤0时，直接写出2y 的取值范围； （3）设二次函数22(0)y ax bx c a =++≠图象的顶点为点A ，与y 轴的交点为点B ，一次函数3y kx m =+( k ，m 为常数，k ≠0)的图象经过A ，B 两点，当23y y <时，直接写出x 的取值范围．(四) 确定二次函数解析式 一般式：y =ax 2+bx +c (a ≠0) 顶点式：y =a (x -h )2+k (a ≠0)交点式（双根式）：y =a (x -x 1)( x -x 2) (a ≠0) ， 其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标用待定系数法确定抛物线的解析式一般需要两个或三个独立条件，灵活的选用不同方法设并求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键.例题与练习：1．已知二次函数的图象过(1，0)，(－1，－4)和(0，－3)三点，求这个二次函数解析式.2. 抛物线的顶点坐标是（1，-4），且与x轴的交点坐标是（－1，0）. 求这个二次函数解析式.3. 已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是x1=－3，x2=1，且与y轴交点为(0，－3)，求这个二次函数解析式.4.已知抛物线与x轴的交点坐标是（－1，0），（－3，0）且函数有最小值－5.求这个二次函数解析式.5. 抛物线过（-1，-1）点，它的对称轴是直线x+2=0，且在x轴上截得线段的长度为4，求此抛物线的解析式．6. 抛物线22平移后经过点(0,3)y xB，求平移A，(2,3)后的抛物线的表达式．（五）a，b，c的符号对抛物线形状位置的影响a的符号开口方向b的符号对称轴的位置：对称轴在y轴左侧⇔a，b同号；对称轴在y轴右侧⇔a，b异号；b=0⇔caxy+=2⇔对称轴是y轴.c的符号与y轴交点位置：c>0⇔抛物线与y轴交点在y轴正半轴；c<0⇔抛物线与y轴交点在y轴负半轴；c=0⇔抛物线bxaxy+=2⇔抛物线过原点.△的符号与x轴交点个数：△>0⇔抛物线与x轴有两个交点(x1, 0), (x2, 0)；△=0⇔抛物线与x轴有一个交点(ab2-, 0)；△<0⇔抛物线与x轴没有交点.例题与练习：1.对于抛物线2y ax bx c=++（0≠a）（1）若顶点是原点，则；（2）若经过原点，则；（3）若顶点在y轴上，则；（4）若顶点在x 轴上，则 ；（5）若抛物线与x 轴有两个交点, 则 ；（6）若抛物线与x 轴有一个交点, 则 ；（7）若抛物线与x 轴没有交点, 则 ；（8）若经过（1，0）点，则 ； 若经过（－1，0）点，则 ；（9）若函数值恒为正，则________________；若函数值恒为负，则__________________.2. 如图，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象的对称轴是直线x ＝1，则下列结论，①b 2＞4ac ②2a ＋b =0；③a +b +c >0，④a -b +c <0，⑤当x >1时，y 随x 的增大而减小,⑥b c 32<；其中正确的有 .3.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如下表：x ﹣1 0 1 3y ﹣3 1 3 1下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x =1；③当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2+bx+c=0有一个根大于4，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，且对称轴为直线1x =，有下列结论： ①0abc <；②1030a b c ++>；③抛物线经过点()14,y 与点()23,y -，则12y y >；④无论,,a b c 取何值，抛物线都经过同一个点,0c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；⑤20am bm a ++≥，其中所有正确的结论是 ． 5.如图，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴为直线2x =-，与x 轴的一个交点在(3,0)-和(4,0)-之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①40a b -=；②0c <；x y O 1-1③30a c -+>；④242a b atbt ->+（t 为实数）；⑤点19(,)2y -，25(,)2y -，31(,)2y -是该抛物线上的点，则123y y y <<，正确的个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6.如图是抛物线y 1=ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2=mx +n （m ≠0）与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①2a +b =0；②abc ＞0；③方程ax 2+bx +c =3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1，其中正确的是（ ）A ． ①②③B ． ①③④C ．①③⑤D ．②④⑤（六）二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系（1）如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x= x0时，函数的值是0，因此x= x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）从形的角度从数的角度抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x0当x= x0时，函数的值是0x= x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根（2）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0根的三种情况(没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根)及一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式的三种情况.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的位置关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式没有公共点没有实数根△<0有一个公共点有两个相等的实数根△=0有两个公共点有两个不相等的实数根△>0（3）二次函数与一元二次方程、二次不等式的关系二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象示意图一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的情况*不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集*不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集△>0有两个不相等的实x<x1或x>x2x1<x<x2（x1<x2）O xyy（4）利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解例题与练习：1. 下表是一组二次函数235yx x 的自变量x 与函数值y 的对应值： x 11.1 1.2 1.3 1.4 y 10.49 0.04 0.59 1.16 那么方程2350x x 的一个近似解是( )A. 1B. 1.1C. 1.2D. 1.3数根x 1，x 2 （x 1<x 2） △=0有两个相等的实数根x 1，x 2 x≠x 1 （x 1=x 2） 无解 △<0无实数根 x 取任意实数 无解x O y y 3212. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根； （2）写出不等式20axbx c ++>的解集； （3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围； （4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．3.如图，抛物线2y ax =与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，则关于x 的方程20ax bx c --=的解为_____________.4.若1x 、2x （12x x <）是方程()()1x a x b --=（a b <）的两个根， 则实数1x 、2x 、a 、b 的大小关系是 ．5.关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是12x =-，21x =（a ，m ，b 均为常数，a ≠0）.则方程2(2)0a x m b +++=的解是 .6. 如果关于x 的函数2(2)1y ax a x a =++++的图象与x 轴只有一个公共点，求实数a 的值．7. 已知二次函数c x x y ++=22． （1）当c ＝－3时，求出该二次函数的图象与x 轴的交点坐标；（2）若－2＜x ＜1时，该二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，求c 的取值范围．（七）实际问题与二次函数1、最值问题根据实际问题的题意所求的函数关系式是二次函数，再解决最值问题：步骤：①列出函数解析式；②求自变量x 的取值范围； ③求a b x 2-=的值； ④判断a b x 2-=的值是否在x 的取值范围中： 若在，a b ac y 442-=最值；若不在，利用图象在端点处找最值或利用增减性找最值.2、抛物线形问题①建立适当的平面直角坐标系；②根据题意将已知条件翻译成已知点的坐标；（注意点在各象限中的符号）③求出抛物线的解析式；④利用解析式解决实际问题.例题与练习：1．如图，有长为30m 的铁丝网，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m ），围成中间隔有一道铁丝网（平行于AB ）的矩形花圃，设花圃一边AB 的长为x m ，花圃的面积为y m ².(1)求y 与x 的函数关系式(2)AB 为多长时，花圃的面积为63cm 22.某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y （个）与销售单价x （元）有如下关系：y =﹣x +60（30≤x ≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w 元．（1）求w 与x 之间的函数关系式；（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ CA D B（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？3. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD 的宽是10米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？（八）与二次函数有关的代数综合题1.（15年27）. 在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)且平行于x 轴的直线，与直线1y x =-交于点A ，点A 关于直线1x =的对称点为B ，抛物线21:C y x bx c =++经过点A ，B 。