爱提分圆和扇形的周长及面积公式(五年级)培训资料

扇形周长公式和面积公式弧度制好的，以下是为您生成的文章：在我们的数学世界里，扇形这个家伙可是个有趣的存在。

今天，咱们就来好好聊聊扇形的周长公式和面积公式弧度制，这可是数学学习中的重要知识点哦！还记得我之前教过的一个班级，有个叫小明的同学，对扇形的知识那叫一个头疼。

每次遇到相关的题目，他总是愁眉苦脸的。

有一次课堂上，我出了一道关于扇形周长的题目：一个扇形的半径是 5 厘米，圆心角是60 度，求它的周长。

小明盯着题目看了半天，愣是毫无头绪。

那咱们先来看看扇形的周长公式。

扇形的周长由两部分组成，一部分是扇形的弧长，另一部分是两个半径的长度。

弧长的计算在弧度制下有特别的公式哦，弧长等于圆心角的弧度乘以半径。

那圆心角的弧度怎么算呢？如果圆心角是 n 度，那么它对应的弧度就是n×π/180。

所以，扇形的弧长就等于n×π×r/180（其中n 是圆心角度数，r 是半径）。

回到刚才小明的那道题，60 度对应的弧度就是60×π/180 = π/3。

扇形的弧长就是π/3×5 = 5π/3 厘米。

再加上两个半径，也就是 5×2 = 10 厘米，所以扇形的周长就是5π/3 + 10 厘米。

再来说说扇形的面积公式。

扇形的面积等于圆心角的弧度乘以半径的平方的一半。

比如说，还是刚才那个扇形，半径是 5 厘米，圆心角60 度对应的弧度是π/3，那它的面积就是1/2×π/3×5² = 25π/6 平方厘米。

后来，经过多次的讲解和练习，小明终于掌握了扇形周长和面积的计算方法。

有一次测验，又遇到了扇形的题目，小明不仅做得又快又准，还主动跟其他同学分享解题思路呢！总之，扇形的周长公式和面积公式弧度制虽然看起来有点复杂，但只要咱们多练习、多思考，就一定能轻松拿下。

相信大家在学习的过程中也能像小明一样，克服困难，取得进步！。

加油站
C B
答案：1
【例6】（★★★★）（北大附中“资优博雅杯”数学竞赛）（2）如图，阴影正方形的顶点分别是大正方形
各边的中点，分别以大正方形各边的一半为直径向外
各边的中点分别以大正方形各边的一半为直径向外
做半圆，再分别以阴影正方形的各边为直径向外作半
圆，形成个月牙形个月牙形
圆，形成8个“月牙形”。

这8个“月牙形”的总面积
为32平方厘米，问大正方形EFGH的面积是多少？
A
H
D
加加点睛
三个转化：化未知为已知；
化不规则为规则；为不可求为可求
四个基本方法：割补、变换、
差不变、整体、
重点例题：例1，例2，例3，例4，例5。

扇形的周长公式和面积公式扇形是一种有弧和两条半径组成的特殊图形，它可以用来描述圆形的一部分。

在数学中，扇形的周长和面积可以通过一些公式来计算得出。

首先，我们来看扇形的周长公式。

周长是指围绕着图形的一条封闭曲线的长度。

对于扇形来说，周长即为扇形的弧长加上两条半径的长度之和。

设扇形的半径为r，圆心角为θ（单位为弧度）。

扇形的弧长可以通过弧长公式得到：l=rθ接下来，我们来看扇形的面积公式。

面积是指图形所占据的平面区域的大小。

对于扇形来说，面积即为扇形弧所对的圆内扇形所夹的区域的面积。

扇形的面积可以通过求解扇形弧和两条半径组成的三角形的面积之和来得到。

设扇形的半径为r，圆心角为θ（单位为弧度）。

扇形的弧所对的圆心角可以计算得出：α=θ/2扇形的弧所对的圆的半径可以计算得出：R = 2r * sin(α)扇形的面积可以计算得出：A = (1/2) * θ * R^2 = (1/2) * θ * (2r * sin(α))^2 = (1/2) * r^2 * θ * 4 * sin^2(θ/2) = r^2 *(θ/2 - sin(θ/2))总结扇形的周长公式和面积公式如下：周长公式：C=r(θ+2)面积公式：A = r^2 * (θ/2 - sin(θ/2))这两个公式可以在解决相关问题时非常有用。

假设我们有一个半径为5cm的扇形，圆心角为60度（即1弧度），我们可以用这两个公式来计算周长和面积。

周长公式中，r=5cm，θ=1弧度，带入公式可以得到C = 5(1 + 2) = 15cm。

因此，该扇形的周长为15cm。

面积公式中，r=5cm，θ=1弧度，带入公式可以得到A = 5^2 * (1/2 - sin(1/2)) = 25 * (1/2 - sin(1/2)) cm^2、因此，该扇形的面积约为25 * (1/2 - sin(1/2))平方厘米。

总而言之，扇形的周长和面积可以通过特定的公式来计算得出。

扇形的周长公式和面积公式
扇形的周长公式：扇形的周长=弧度*半径。

扇形的面积公式：扇形的面积=弧度/2*半径的平方。

以上两个公式都是求扇形的基本公式，对于没有给出具体的角度或者是弧度的题目，都可以直接利用上述公式计算。

扇形的周长公式需要给出的参数为弧度和半径，弧度一般可以由角度来计算，由公式可知，要求求出扇形的周长就需要知道扇形的半径和其弧度。

扇形的面积公式需要给出的参数为弧度和半径，由公式可知，要求求出扇形的面积就需要知道扇形的半径和其弧度，弧度一般可以由角度来计算。

扇形的周长公式和面积公式都需要半径和弧度两个参数，由角度可以求出弧度，所以知道了半径和角度，就可以直接根据上述公式求出扇形的周长和面积了。

扇形周长公式和面积公式
1、扇形周长公式：
因为扇形周长=半径×2+弧长
若半径为r，直径为d，扇形所对的圆心角的度数为n°，那么扇形周长：C=2r+（n÷360）πd=2r+（n÷180）πr。

2、扇形面积计算公式：
R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，也可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n。

S=nπR^2/360
S=1/2LR（L为弧长，R为半径）
S=1/2|α|r平方
一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形（半圆与直径的组合也是扇形）。

显然，它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。

《几何原本》中这样定义扇形：由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形。

扇形，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成，在较小的区域被称为小扇形，较大的区域被称为大扇形。

θ是扇形的角弧度，r是圆的半径，L是小扇形的弧长。

第15讲 圆与扇形内容概述掌握圆与扇形的根本概念和性质，以及它们的周长和面积计算公式，并能熟练运用公式处理相关的几何问题；学习如何利用割补法和包含排阵的思想计算图形中特定局部的面积；学会分析几何图形的运动过程，并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域。

典型问题兴趣篇1．一个扇形的圆心角为120°，半径为2，这个扇形的面积和周长各是多少？〔л取3.14〕 解析：知道了圆心角，就相当于知道了扇形占圆面积的31，扇形的弧长也是圆周长的31。

2．一个扇形的面积为18.84平方厘米，圆心角为60°，这个扇形的半径和周长各是多少？〔л取3.14〕解析：366114.384.18=÷÷，半径r=6 周长：28.18122614.361=+⨯⨯⨯ 3．(1)根据图15-1所给的数值，求这个图形的外周长和面积．〔л取3.14〕(2)如图15.2，有8个半径为1厘米的小圆，用它们圆周的一局部连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心。

如果圆周率л取3.14，那么花瓣图形的周长和面积分别是多少？ 解析：1.圆的半径：144=÷ 周长：28.14421214.3=⨯+⨯⨯面积：14.15114.3224122=⨯+⨯+⨯⨯2. 如下列图，添上局部辅助线，有花瓣的面积为4个边长为2的小正方形面积加上4个的面积减去4个的面积，即加上4×43－4×21＝1个半径为1的圆的面积． 所以花瓣组成的图形的面积为4×2×2－1×1×1π≈16+3.14＝19.14(平方厘米)．4．如图15-3，求各图形中阴影局部的面积．〔图中长度单位为厘米，л取3.14〕解析：1.用平移法阴影为三角形面积，29233=÷⨯ 2.用平移法阴影面积为正方形面积，111=⨯ 3.22114.32)114.322(22=÷⨯+÷⨯-⨯5．如图154，求各图中阴影局部的面积．〔图中长度单位为厘米，л取3.14〕解析：1.考虑到重叠，28.2222214.32=⨯-÷⨯2.考虑到重叠，56.4244214.32=÷⨯-⨯3.考虑到重叠，965.132774714.32=÷⨯-÷⨯6．图15-5中甲区域比乙区域的面积大57平方厘米，且半圆的半径是10厘米．其中直角三角形竖直的直角边的长度是多少？〔л取3.14〕解析：10202)5721014.3(2=÷⨯-÷⨯〔厘米〕7．求图15-6中阴影局部的面积．〔л取3.14〕解析： 我们只用将两个半径为10厘米的四分之一圆减去空白的①、②局部面积和即可，其中①、②面积相等．易知①、②局部均是等腰直角三角形，但是①局部的直角边AB 的长度未知，单独求①局部面积不易，于是我们将①、②局部平移至一起，如下列图所示，那么①、②局部变为一个以AC 的直角边的等腰直角三角形，而AC 为四分之一圆的半径，所以有AC ＝10．两个四分之一圆的面积和为2×41×102×π≈50×3.14＝157，而①、②局部的面积和为21×10×10＝50，所以阴影局部的面积为157－50＝107(平方厘米)． 8．如图15-7，在3×3的方格表中，分别以A 、E 为圆心，3、2为半径，画出圆心角都是90°的两段圆弧．图中阴影局部的面积是多少？〔л取3.14〕解析：()()075.14214.3224314.33322=÷⨯-⨯-÷⨯-⨯9．如图15—8，在一块面积为36平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米？解析：首先算出大圆和小圆的面积比，设小圆的半径为r ，那么大圆为3r大圆面积：小圆面积=1:9:)3(22=r r ππ小圆的面积为4936=÷余下边角料的面积为：84736=⨯-平方厘米10．一条直线上放着一个长和宽分别为4厘米和3厘米的长方形I 〔图15-9〕．让这个长方形绕顶点B 顺时针旋转090后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，A 点到达E 点的位置．求A 点经过的总路程的长度．〔圆周率按3计算〕解析：三次转动，每次A 点走的都是四分之一个圆周，只是圆周的半径不一样。

扇形的周长公式和面积公式是什么
扇形也是一种图形，那么扇形的周长公式和面积公式是多少呢?有些同学需要这种问题的解答。

下面是由小编为大家整理的“扇形的周长公式和面积公式是什么”，仅供参考，欢迎大家阅读。

扇形的周长公式和面积公式是什么
1、扇形周长公式为：扇形周长=扇形半径×2+弧长，即C=2r+ (n÷360) πd=2r+(n÷180)πr。

扇形面积公式是S=(lR)/2 或S=(1/2)θR²，R是底圆的半径，l为扇形弧长，θ为圆心角。

2、一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形(半圆与直径的组合也是扇形)。

拓展阅读：如何计算扇形圆心角的度数
计算扇形圆心角的度数的方法：
1、用弧长除以周长，用这个比值乘以圆周角360度;
2、用扇形面积除以圆的面积，用所得比值乘以圆周角360度即可。

扇形是什么图形
一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形(半圆与直径的组合也是扇形)。

《几何原本》中这样定义扇形：由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形。

扇形，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成，在较小的区域被称为小扇形，较大的区域被称为大扇形。

在右图中，θ是扇形的角弧度，r是圆的半径，L是小扇形的弧长。

圆弧为180°的扇形称为半圆。

其他圆弧角的扇形有时给予其特别的名字，其中包括象限角(90°)、六分角(60°)以及八分角(45°)，它们分别是整圆的1/4、1/6、1/8。

一：周长与面积公式知识精讲在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．点O就称为该圆的圆心；圆心与圆周上任意一点的连线（例如线段OA）叫做半径；通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径．直径长恰好是半径长的两倍．圆心确定了圆所在的位置，半径长度确定了圆的大小．一个圆只要确定了“圆心”和“半径”，就能完全确定下来．圆周长与直径的比值是一个固定不变的数，我们称之为圆周率，用希腊字母表示．圆周率是一个无限不循环小数，无法写成分数的形式．在实际问题的计算中，常常取近似值．一．圆的周长与面积公式1．直径长度通常用字母d表示，半径长度通常用r表示，圆周长通常用C 表示，圆面积通常用字母S表示．2．圆周长公式：蜜蜂飞行：无论小圆有多少个，大小是否相等，只要所有小圆的直径之和等于大圆的直径，那么它们的周长之和也等于大圆的周长．3．圆面积公式：二．扇形的周长与面积公式扇形是指圆上被两条半径和半径之间的弧所包围的部分．其中，圆的半径也称为扇形的半径，而两条半径所成的夹角称为扇形的圆心角．扇形是圆的一部分．要想知道扇形的弧长与面积，只要知道它是所在圆的几分之几就可以了．它是圆的几分之几，它的弧长就是圆周长的几分之几，它的面积也同样就是圆面积的几分之几．1．扇形弧长公式：2．扇形面积公式：3．温馨提示：扇形的弧长不是它的周长，扇形的周长还必须加上两条半径．三点剖析重难点：扇形周长公式，需要加上两条半径题模精讲题模一圆的周长与面积公式例、已知一个圆的直径为2厘米，那么这个圆的周长为_________厘米，面积为_________平方厘米．答案：；解析：周长为厘米，面积为平方厘米．例、已知一个圆的周长为厘米，那么这个圆的直径为_________厘米．答案：16解析：直径为厘米．例、有一个圆形花坛，直径为20米，一只小蜜蜂沿着花坛外周飞了一圈，请问它飞了多少米如果小蜜蜂沿着图中的虚线，飞一个“8”字，路线构成过花坛圆心的两个小圆，那么这次它飞了多少米（取）答案：（1）米（2）米解析：小圆半径是5米，飞行路线为两个小圆周长，所以是米．无论小圆有多少个，大小是否相等，只要所有小圆的直径之和等于大圆，那么它们的周长之和也等于大圆．例、如图，已知长方形的面积是12，则图中阴影部分的面积是多少（取）答案：解析：长方形可以分成两个面积相等的正方形，面积都是6．方中圆，方和圆的面积比为，可求出小圆的面积是，那么阴影部分的面积是．例、如图，在一块面积为平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米（取）答案：平方厘米解析：，大圆半径是3厘米．小圆半径是1厘米，所以边角料面积为平方厘米．例、已知大圆的直径为10厘米，有四个大小不等的圆，圆心都在大圆的一条直径上，并且它们的直径之和与大圆相等．那么4个小圆的周长之和是________厘米．（取）答案：解析：假设中间4个小圆的直径分别为a、b、c、d，则有，4个小圆的周长之和为厘米．例、如图，直角三角形的面积是40平方厘米，圆的面积是________平方厘米（π取3）．答案：240解析：直角三角形的直角边即为圆的半径，所以，，圆的面积是平方厘米．题模二扇形的周长与面积公式例、如图3，圆P的直径OA是圆O的半径，，，则阴影部分的面积是__________．（π取3）答案：75解析：阴影部分的面积等于大圆面积的一半减去小圆的面积，即．例、一个扇形的半径为6平方厘米，圆心角为60°，这个扇形的周长是__________厘米．（取）答案：解析：这个扇形是它所在圆的，所以这个扇形的弧长是cm，扇形的周长是厘米．例、一个扇形的面积为平方厘米，圆心角为45°，这个扇形的周长是_______厘米．（取）解析：这个扇形是它所在圆的，所以这个圆的半径的平方是，所以这个圆的半径是4厘米，所以扇形的半径是4厘米，扇形的周长是厘米．例、在荷兰的小镇卡茨赫弗尔，2013年6月建成了一个由三个半圆组成的城市雕塑，三个半圆的直径分别为，，．这个雕塑的原始图形来自于阿基米德《引理集》中的鞋匠刀形（Arbelos），即下图中阴影部分所示的图形．那么，该城市雕塑中的鞋匠刀形的周长为__________（圆周率用π表示）答案：πm解析：鞋匠刀形的周长是由3条半圆形弧线组成，所以周长为m．例、如图，等边三角形ABC的边长是1，依次以A、C、B为圆心，以BA、CD、BE为半径画扇形，那么三个扇形的面积和是多少（结果保留π）答案：解析：各扇形圆心角均为，半径分别为1、2、3，因此三个扇形的面积和是．例、一个半径为3分米的扇形，面积为平方分米，那么它的圆心角是__________，它的弧长又是__________分米．答案：80°，根据题意得，，所以，所以圆心角是度．弧长为．例、如图，边长为3cm与5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是________（结果保留π）．答案：解析：连结AC、FB．易知，故，．例、如图，有三个同心半圆，它们的直径分别为2，6，10，用线段分割成9块，如果每块字母代表这一块的面积并且相同的字母代表相同的面积，那么(A＋B)：C ＝_______答案：55：48解析：设A的半径为，B的半径为，C的半径为A的面积：B的面积：3B=，．C的面积：5C=，．．题模三捆圆的周长和面积已知下图中的每个小圆的半径均为1，这个图形的面积是__________．（取）答案：解析：如图，对图形进行分割后可知这个图形的面积相当于8个边长为2的正方形和一个半径为1的圆的面积的和．面积为．例、如图，有8个半径为1的小圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．那么花瓣图形的周长和面积分别是多少答案：周长，面积解析：如图，做辅助线后可以看出周长为4个的圆弧加上4个半圆弧，所以周长为；而面积为正方形减去4个半圆加上4个圆，即．例、如图，每个圆的面积都为，求该图形的外周长．答案：解析：圆半径为2．图形外周长可以分为三段长为4的线段和三段120°角的圆弧，则外周长为．如图，有七根直径为5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米答案：解析：如图，作辅助线后可以发现外周长是由6段长度为5的线段和6个60°角的圆弧组成，所以皮筋长度为．随堂练习随练、已知一个圆的直径是12厘米，那么这个圆的面积为__________平方厘米（取）答案：解析：直径为12厘米，那么半径为6厘米，面积是平方厘米．随练、已知一个圆的面积为314平方厘米，那么这个圆的直径为_______厘米（取）答案：20解析：这个圆的半径为平方是，所以这个圆的半径是10厘米，直径是20厘米．随练、半径分别为1、2、3、4厘米的四个圆的周长之和是多少厘米（取）答案：厘米解析：圆的周长公式为，周长之和为厘米．随练、如图，在一块面积为平方厘米的纸板中，裁出了2个同样大小的圆纸板．问：余下的纸板的总面积是多少平方厘米（取）答案：平方厘米解析：大圆的面积是平方厘米，可求出大圆的半径是2厘米，那么小圆的半径是1厘米，面积是平方厘米．阴影部分的面积是平方厘米．随练、已知三个小圆的圆心在大圆同一直径上，周长分别为3、1、2厘米，则大圆周长为多少厘米（π取近似值）答案：6解析：大圆的直径等于三个小圆的直径之和，周长也恰为3个小圆周长之和．随练、如图，边长为3cm与5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是__________（结果保留π）．答案：解析：阴影部分面积为梯形ABFE与扇形ABC的面积之和减去三角形FEC的面积，易得为．随练、已知一个扇形的半径是10厘米，圆心角是，那么：（1）这个扇形所在圆的周长是_________厘米，扇形的圆心角占圆周角的_________，它的弧长占圆周长的_________，这个扇形的弧长是_________厘米，周长是_________厘米．（2）这个扇形面积占它所在圆的面积的_________，是_________平方厘米．答案：（1）；；；；（2）；解析：（1）这个扇形所在圆的周长是厘米，扇形的圆心角占圆周角的，它的弧长占圆周长的，这个扇形的弧长是厘米，周长是．（2）这个扇形面积占它所在圆的面积的，面积是平方厘米．随练、半径为10、20、30的三个扇形如下图放置，是的__________倍．答案：5解析：为，为，所以是的5倍．随练、根据图中所给的数值，求这个图形的面积．（π取近似值）答案：解析：平方厘米．4个直角扇形的面积之和是4，因此整个圆角矩形的面积就是．随练、如图，有七根直径为4厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米（π取近似值）答案：解析：把圆角六边形的周长分为12个部分，由6条直线段和6段圆弧组成．6条直线段中，每段的长度都是5厘米，它们的长度和是厘米6段圆弧中，每段所对应的圆心角都是60°，每段的弧长都是圆周长的，6段圆弧恰好能拼成一个完整的圆周．它们的弧长之和就是圆周长，即厘米．圆角六边形的周长就是这两部分长度之和，即厘米．课后作业作业1、已知圆的直径为20米，那这个圆的周长为多少米（π取近似值）答案：解析：圆周长的计算公式为：C圆=π×D．作业2、把两根横截面半径都是10厘米的钢管用铁丝紧紧捆在一起，如果捆绑处不计，至少要用铁丝____________厘米．答案：解析：厘米．作业3、一辆压路机的前轮是圆柱形，轮宽米，直径是米．前轮转动一周，压路的面积是______平方米．答案：平方米解析：轮子压一周，周长为米，即压在路面上的长是米，压路的面积=长×宽平方米．作业4、已知圆的面积是314平方米，那圆的周长是多少米（π取近似值）答案：解析：由圆的面积可以求出半径的平方，算出半径后可由公式计算圆的周长，为．作业5、已知三个小圆的圆心在大圆同一直径上，周长分别为1、2、3厘米，则大圆周长为多少厘米（π取近似值）答案：6解析：大圆的直径等于三个小圆的直径之和，周长也恰为3个小圆周长之和．作业6、如图，在一块面积为36平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米答案：8平方厘米解析：小圆的半径是整个大圆半径的，因此小圆的面积是大圆面积的，为平方厘米；大圆去掉7个小圆后剩下的面积是平方厘米．作业7、已知一个扇形的圆心角为120°，半径为2，这个扇形的面积是________，周长是________（π取）．答案：面积，周长解析：扇形的面积；周长．作业8、如图，求各图中阴影部分的面积．（取）答案：解析：阴影部分面积为半径为4的半圆面积减去对角线为8的等腰直角三角形面积．阴影部分面积为．作业9、已知扇形的半径为3米，面积为米，那扇形的圆心角为多少度（π取近似值）答案：180解析：扇形所在圆的面积≈×32=平方米，由此可知该扇形是它所在圆的．那么圆心角应该是360°的二分之一．作业10、已知一个扇形的半径为5厘米，弧长为厘米，这个扇形的面积是多少答案：解析：因为扇形的弧长为厘米，所以，可得．扇形面积为平方厘米．作业11、根据图中所给的数值，求这个图形的面积．（π取近似值）答案：解析：平方厘米．4个直角扇形的面积之和是，因此整个圆角矩形的面积就是．作业12、如图，三个圆的半径都是4，那整个图形的外周长是多少（π取近似值）答案：解析：整个外周长可以分为3段直线和3段弧形．作业13、如图，有七根直径为10厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米（π取近似值）答案：解析：把圆角六边形的周长分为12个部分，由6条直线段和6段圆弧组成．6条直线段中，每段的长度都是5厘米，它们的长度和是厘米6段圆弧中，每段所对应的圆心角都是60°，每段的弧长都是圆周长的，6段圆弧恰好能拼成一个完整的圆周．它们的弧长之和就是圆周长，即厘米．圆角六边形的周长就是这两部分长度之和，即厘米．。

一：周长与面积公式知识精讲在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．点O就称为该圆的圆心；圆心与圆周上任意一点的连线（例如线段OA）叫做半径；通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径．直径长恰好是半径长的两倍．圆心确定了圆所在的位置，半径长度确定了圆的大小．一个圆只要确定了“圆心”和“半径”，就能完全确定下来．圆周长与直径的比值是一个固定不变的数，我们称之为圆周率，用希腊字母表示．圆周率是一个无限不循环小数，无法写成分数的形式．在实际问题的计算中，常常取近似值．一．圆的周长与面积公式1．直径长度通常用字母d表示，半径长度通常用r表示，圆周长通常用C 表示，圆面积通常用字母S表示．2．圆周长公式：蜜蜂飞行：无论小圆有多少个，大小是否相等，只要所有小圆的直径之和等于大圆的直径，那么它们的周长之和也等于大圆的周长．3．圆面积公式：?二．扇形的周长与面积公式扇形是指圆上被两条半径和半径之间的弧所包围的部分．其中，圆的半径也称为扇形的半径，而两条半径所成的夹角称为扇形的圆心角．扇形是圆的一部分．要想知道扇形的弧长与面积，只要知道它是所在圆的几分之几就可以了．它是圆的几分之几，它的弧长就是圆周长的几分之几，它的面积也同样就是圆面积的几分之几．1．扇形弧长公式：2．扇形面积公式：3．温馨提示：扇形的弧长不是它的周长，扇形的周长还必须加上两条半径．三点剖析重难点：扇形周长公式，需要加上两条半径题模精讲题模一?圆的周长与面积公式例、已知一个圆的直径为2厘米，那么这个圆的周长为_________厘米，面积为_________平方厘米．答案：；解析：周长为厘米，面积为平方厘米．?例、已知一个圆的周长为厘米，那么这个圆的直径为_________厘米．答案：16解析：直径为厘米．?例、有一个圆形花坛，直径为20米，一只小蜜蜂沿着花坛外周飞了一圈，请问它飞了多少米？如果小蜜蜂沿着图中的虚线，飞一个“8”字，路线构成过花坛圆心的两个小圆，那么这次它飞了多少米？（取）答案：（1）米（2）米解析：小圆半径是5米，飞行路线为两个小圆周长，所以是米．无论小圆有多少个，大小是否相等，只要所有小圆的直径之和等于大圆，那么它们的周长之和也等于大圆．?例、如图，已知长方形的面积是12，则图中阴影部分的面积是多少？（取）答案：解析：长方形可以分成两个面积相等的正方形，面积都是6．方中圆，方和圆的面积比为，可求出小圆的面积是，那么阴影部分的面积是．?例、如图，在一块面积为平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米？（取）答案：平方厘米解析：，大圆半径是3厘米．小圆半径是1厘米，所以边角料面积为平方厘米．?例、已知大圆的直径为10厘米，有四个大小不等的圆，圆心都在大圆的一条直径上，并且它们的直径之和与大圆相等．那么4个小圆的周长之和是________厘米．（取）答案：解析：假设中间4个小圆的直径分别为a、b、c、d，则有，4个小圆的周长之和为厘米．?例、如图，直角三角形的面积是40平方厘米，圆的面积是________平方厘米（π取3）．答案：240解析：直角三角形的直角边即为圆的半径，所以，，圆的面积是平方厘米．?题模二?扇形的周长与面积公式例、如图3，圆P的直径OA是圆O的半径，，，则阴影部分的面积是__________．（π取3）答案：75解析：阴影部分的面积等于大圆面积的一半减去小圆的面积，即．?例、一个扇形的半径为6平方厘米，圆心角为60°，这个扇形的周长是__________厘米．（?取）答案：解析：这个扇形是它所在圆的，所以这个扇形的弧长是cm，扇形的周长是厘米．?例、一个扇形的面积为平方厘米，圆心角为45°，这个扇形的周长是_______厘米．（取）答案：解析：这个扇形是它所在圆的，所以这个圆的半径的平方是，所以这个圆的半径是4厘米，所以扇形的半径是4厘米，扇形的周长是厘米．?例、在荷兰的小镇卡茨赫弗尔，2013年6月建成了一个由三个半圆组成的城市雕塑，三个半圆的直径分别为，，．这个雕塑的原始图形来自于阿基米德《引理集》中的鞋匠刀形（Arbelos），即下图中阴影部分所示的图形．那么，该城市雕塑中的鞋匠刀形的周长为__________（圆周率用π表示）答案：πm解析：鞋匠刀形的周长是由3条半圆形弧线组成，所以周长为m．?例、如图，等边三角形ABC的边长是1，依次以A、C、B为圆心，以BA、CD、BE 为半径画扇形，那么三个扇形的面积和是多少？（结果保留π）答案：解析：各扇形圆心角均为，半径分别为1、2、3，因此三个扇形的面积和是．?例、一个半径为3分米的扇形，面积为平方分米，那么它的圆心角是__________，它的弧长又是__________分米．答案：80°，解析：根据题意得，，所以，所以圆心角是度．弧长为．?例、如图，边长为3cm与5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是________（结果保留π）．答案：解析：?连结AC、FB．易知，故，．?例、如图，有三个同心半圆，它们的直径分别为2，6，10，用线段分割成9块，如果每块字母代表这一块的面积并且相同的字母代表相同的面积，那么(A＋B)：C ＝_______答案：55：48解析：设A的半径为，B的半径为，C的半径为A的面积：B的面积：3B=，．C的面积：5C=，．．?题模三?捆圆的周长和面积例、已知下图中的每个小圆的半径均为1，这个图形的面积是__________．（取）答案：解析：如图，对图形进行分割后可知这个图形的面积相当于8个边长为2的正方形和一个半径为1的圆的面积的和．面积为．?例、如图，有8个半径为1的小圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．那么花瓣图形的周长和面积分别是多少？答案：周长，面积解析：如图，做辅助线后可以看出周长为4个的圆弧加上4个半圆弧，所以周长为；而面积为正方形减去4个半圆加上4个圆，即．?例、如图，每个圆的面积都为，求该图形的外周长．答案：解析：圆半径为2．图形外周长可以分为三段长为4的线段和三段120°角的圆弧，则外周长为．?例、如图，有七根直径为5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米？答案：解析：如图，作辅助线后可以发现外周长是由6段长度为5的线段和6个60°角的圆弧组成，所以皮筋长度为．?随堂练习随练、已知一个圆的直径是12厘米，那么这个圆的面积为__________平方厘米？（取）答案：解析：直径为12厘米，那么半径为6厘米，面积是平方厘米．?随练、已知一个圆的面积为314平方厘米，那么这个圆的直径为_______厘米？（取）答案：20解析：这个圆的半径为平方是，所以这个圆的半径是10厘米，直径是20厘米．?随练、半径分别为1、2、3、4厘米的四个圆的周长之和是多少厘米？（取）答案：厘米解析：圆的周长公式为，周长之和为厘米．?随练、如图，在一块面积为平方厘米的纸板中，裁出了2个同样大小的圆纸板．问：余下的纸板的总面积是多少平方厘米？（取）答案：平方厘米解析：大圆的面积是平方厘米，可求出大圆的半径是2厘米，那么小圆的半径是1厘米，面积是平方厘米．阴影部分的面积是平方厘米．?随练、已知三个小圆的圆心在大圆同一直径上，周长分别为3、1、2厘米，则大圆周长为多少厘米？（π取近似值）答案：6解析：大圆的直径等于三个小圆的直径之和，周长也恰为3个小圆周长之和．?随练、如图，边长为3cm与5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是__________（结果保留π）．答案：解析：阴影部分面积为梯形ABFE与扇形ABC的面积之和减去三角形FEC的面积，易得为．?随练、已知一个扇形的半径是10厘米，圆心角是，那么：（1）这个扇形所在圆的周长是_________厘米，扇形的圆心角占圆周角的_________，它的弧长占圆周长的_________，这个扇形的弧长是_________厘米，周长是_________厘米．（2）这个扇形面积占它所在圆的面积的_________，是_________平方厘米．答案：（1）；；；；（2）；解析：（1）这个扇形所在圆的周长是厘米，扇形的圆心角占圆周角的，它的弧长占圆周长的，这个扇形的弧长是厘米，周长是．（2）这个扇形面积占它所在圆的面积的，面积是平方厘米．?随练、半径为10、20、30的三个扇形如下图放置，是的__________倍．答案：5解析：为，为，所以是的5倍．?随练、根据图中所给的数值，求这个图形的面积．（π取近似值）答案：解析：平方厘米．4个直角扇形的面积之和是4，因此整个圆角矩形的面积就是．?随练、如图，有七根直径为4厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米？（π取近似值）答案：解析：把圆角六边形的周长分为12个部分，由6条直线段和6段圆弧组成．6条直线段中，每段的长度都是5厘米，它们的长度和是厘米6段圆弧中，每段所对应的圆心角都是60°，每段的弧长都是圆周长的，6段圆弧恰好能拼成一个完整的圆周．它们的弧长之和就是圆周长，即厘米．圆角六边形的周长就是这两部分长度之和，即厘米．?课后作业作业1、已知圆的直径为20米，那这个圆的周长为多少米？（π取近似值）答案：解析：圆周长的计算公式为：C=π×D．?作业2、把两根横截面半径都是10厘米的钢管用铁丝紧紧捆在一起，如果捆绑处不计，至少要用铁丝____________厘米．答案：解析：厘米．?作业3、一辆压路机的前轮是圆柱形，轮宽米，直径是米．前轮转动一周，压路的面积是______平方米．答案：平方米解析：轮子压一周，周长为米，即压在路面上的长是米，压路的面积=长×宽平方米．?作业4、已知圆的面积是314平方米，那圆的周长是多少米？（π取近似值）答案：解析：由圆的面积可以求出半径的平方，算出半径后可由公式计算圆的周长，为．?作业5、已知三个小圆的圆心在大圆同一直径上，周长分别为1、2、3厘米，则大圆周长为多少厘米？（π取近似值）答案：6解析：大圆的直径等于三个小圆的直径之和，周长也恰为3个小圆周长之和．?作业6、如图，在一块面积为36平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米？答案：8平方厘米解析：小圆的半径是整个大圆半径的，因此小圆的面积是大圆面积的，为平方厘米；大圆去掉7个小圆后剩下的面积是平方厘米．?作业7、已知一个扇形的圆心角为120°，半径为2，这个扇形的面积是________，周长是________（π取）．答案：面积，周长解析：扇形的面积；周长．?作业8、如图，求各图中阴影部分的面积．（取）答案：解析：阴影部分面积为半径为4的半圆面积减去对角线为8的等腰直角三角形面积．阴影部分面积为．?作业9、已知扇形的半径为3米，面积为米，那扇形的圆心角为多少度？（π取近似值）答案：180解析：扇形所在圆的面积≈×3=平方米，由此可知该扇形是它所在圆的．那么圆心角应该是360°的二分之一．?作业10、已知一个扇形的半径为5厘米，弧长为厘米，这个扇形的面积是多少？答案：解析：因为扇形的弧长为厘米，所以，可得．扇形面积为平方厘米．作业11、根据图中所给的数值，求这个图形的面积．（π取近似值）答案：解析：平方厘米．4个直角扇形的面积之和是，因此整个圆角矩形的面积就是．?作业12、如图，三个圆的半径都是4，那整个图形的外周长是多少？（π取近似值）答案：解析：整个外周长可以分为3段直线和3段弧形．作业13、如图，有七根直径为10厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米？（π取近似值）答案：解析：把圆角六边形的周长分为12个部分，由6条直线段和6段圆弧组成．6条直线段中，每段的长度都是5厘米，它们的长度和是厘米6段圆弧中，每段所对应的圆心角都是60°，每段的弧长都是圆周长的，6段圆弧恰好能拼成一个完整的圆周．它们的弧长之和就是圆周长，即厘米．圆角六边形的周长就是这两部分长度之和，即厘米．。

知识点1.圆周率通过上述的操作和计算，我们发现：圆的周长都是直径的三倍多一些。

其实，这个倍数是个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π来表示，π读作“pai ”。

圆的周长÷直径=圆周率。

人们后来发现圆周率是个无限不循环小数，近似等于3.14，即π≈3.14.知识点2.周长公式用字母C 表示圆的周长，d 表示直径，r 表示半径长，那么C=πd 或C=2πr.知识点3.弧长公式圆上A 、B 两点之间的部分就是弧，读作弧AB ，角AOB 称为圆心角。

圆的周长C=2πr ，圆周所对的圆心角是360°，所以：1°圆心角所对弧长=23601⨯πr=r π1801 n °圆心角所对弧长=r 2360n π⨯=r π180n 设圆的半径长为r ，n °圆心角所对的弧长是l ，那么l = r π180n 知识点4.圆的面积圆所占平面的大小叫做圆的面积。

圆的面积S=πr ×r=πr ²。

知识点5.扇形的面积由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形。

设组成扇形的半径为r ，圆心角为n °，弧长为l ，那么S 扇形=π360n r ²=21lr二、专题精讲例1：一种压路机的前轮直径是1.32米．①前轮的周长是多少米？②如果前轮每分种转6周，它每分钟前进多少米？（得数保留整米数）习题1.大酒店门前有一根圆形柱子，量得它的周长是31.4分米，这根柱子的直径是多少分米？例2：一个长方形与一个圆的周长相等，长方形的长是4.85厘米，比宽长1.85厘米，求圆的半径．习题2.已知圆心角是n度，所对的弧长是L厘米，用n、L的代数式表示所在圆半径为___________.例3：一块等边三角形的木板，边长为3厘米，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B 点从开始至结束所走过的路径长度为多少？习题3.如图所示，长为4cm，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点A位置变化为A→A1→A2，由A1翻滚到A2时被桌面上一小木块挡住，此时长方形木板的边A2C与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时所经过的路径总长度为_________ cm．例4：一个圆的半径缩小为原来长度的三分之一，那么它的面积缩小为原来的几分之几？习题4.有大、小两个圆，小圆周长是12.56米，大圆直径是小圆直径的2倍，大圆的面积是多少例5.一个直径是20厘米的圆片，在它的正中心剪下一个半径6厘米的圆，剩下部分的面积是多少平方厘米？习题5.在直径4米的圆形花坛外，铺一条环形石子路，路面宽2米．这条石子路的面积是多少？例6.一块铁片形状如图所示，这块铁片的面积和周长分别是多少？习题6.求下图阴影部分的周长和面积专题过关圆的周长与它的直径的商（比值）叫做（），用字母（）表示。

1.圆的周长C=2πr=πd2.圆的面积S=πr²3.扇形弧长l=nπr/1804.扇形面积S=nπr²/360=rl/25.圆锥侧面积S=πrl〖圆的定义〗几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

定点称为圆心，定长称为半径。

轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。

集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

〖圆的相关量〗圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944 5923078164062862089986280348253421170679...，通常用π表示，计算中常取3.14为它的近似值(但奥数常取3或3.1416)。

圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。

圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。

顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。

和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

圆锥侧面展开图是一个扇形。

这个扇形的半径成为圆锥的母线。

〖圆和圆的相关量字母表示方法〗圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d 扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S〖圆和其他图形的位置关系〗圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。

直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。

圆和扇形是常见的几何图形，以下是它们的面积和周长公式：
1.圆的面积公式：
A = π × r^2
其中，A 是圆的面积，π 是一个常数（约等于3.14159），r 是圆的半径。

2.圆的周长公式：
C = 2 × π × r
其中，C 是圆的周长，π 是一个常数（约等于3.14159），r 是圆的半径。

3.扇形的面积公式：
A_sector = (θ/360) × π × r^2
其中，A_sector 是扇形的面积，θ 是扇形的圆心角（以度为单位），π 是
一个常数（约等于3.14159），r 是圆的半径。

4.扇形的周长公式：
C_sector = 2 × r + θ/180 × π × r
其中，C_sector 是扇形的周长，θ 是扇形的圆心角（以度为单位），π 是
一个常数（约等于3.14159），r 是圆的半径。

注意：扇形的周长包括两个半径和一个弧长。

弧长是圆的周长的一部分，其长度等于圆心角占圆周角（360度）的比例乘以圆的周长。

因此，扇形的周长公式中的θ/180 × π × r 就是弧长。