扇形面积公式是怎样的-扇形面积怎么求

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生活经验知识分享怎样求扇形的面积
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操作方法扇形可以类比为三角形，三角形的面积公式为：底×高×1/2 ,扇形的面积可以类比为，弧长×半径×1/2，所以扇形的面积为：S=1/2 L R(L 为扇形的弧长，R为扇形的半径。

）
因为L=Rθ。

所以扇形的公式也可以简化为S=1/2R^2θ
如图所示，扇形也可以被看做是圆形的一部分，所以扇形的面积也可以通过圆形的面积类化而来哦。

扇形的面积为：S=（nΠR^2）/360 , ΠR^2是整个圆的面积，n为扇形的角度。

特别提示希望对你有所帮助。

感谢阅读，希望能帮助您！。

辅导：弧长和扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积一、弧长和扇形的面积：『活动一』因为360°的圆心角所对弧长就是圆周长C =2πR ，所以1°的圆心角所对的弧长是 .这样，在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l = . 『活动二』类比弧长的计算公式可知：在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积的计算公式为：S = . 『活动三』扇形面积的另一个计算公式比较扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以发现：可以将扇形面积的计算公式：S =360nπR 2化为S =180R n ·21R ，从面可得扇形面积的另一计算公式：S = . 二、圆锥的侧面积和全面积：1．圆锥的基本概念： 的线段SA 、SA 1……叫做圆锥的母线，的线段叫做圆锥的高．2.圆锥中的各元素与它的侧面展开图——扇形的各元素之间的关系：将圆锥的侧面沿母线l 剪开，展开成平面图形，可以得到一个扇形，设圆锥的底面半径为r ，这个扇形的半径等于 ，扇形弧长等于 ． 3．圆锥侧面积计算公式圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长， 这样，S 圆锥侧=S 扇形=21·2πr · l = πrl 4．圆锥全面积计算公式S 圆锥全=S 圆锥侧＋S 圆锥底面= πr l ＋πr 2=πr （l ＋r ）三、例题讲解：例1、（2011•德州，11，4分）母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为 ． 例2、（2011年山东省东营市，21，9分）如图，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠BAD =120°，四边形ABCD 的周长为15．A1（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积．例3、（2010广东，14，6分）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（－4，0），⊙P 的半径为2，将⊙P 沿x 轴向右平移4个单位长度得⊙P 1． （1）画出⊙P 1，并直接判断⊙P 与⊙P 1的位置关系；（2）设⊙P 1与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，求劣弧AB 与弦AB 围成的图形的面积（结果保留π）．y x－3 O 12312 3 －3－2 －1－1 －2 －4 －5 －6A BCDEF（第3题）O四、同步练习：1、（2012北海,11，3分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为： （ ）A ．10πB ．10C ．10πD ．π2、（2012北海,12，3分）如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了：（ ）A ．2周B ．3周C ．4周D ．5周3、（2012湖北咸宁，7，3分）如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）．A ．-3π2B ．-32π3C ．-32π2D ．-322π34、（2012四川内江，8，3分）如图2，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分图形的面积为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π35、（2012·湖南省张家界市·14题·3分）已知圆锥的底面直径和母线长都是１０cm ，则圆锥的侧面积为________.6、（2012·哈尔滨，题号16分值 3）一个圆锥的母线长为4，侧面积为8π，则这个圆锥的底面圆的半径是 ．ABD CO图2ABC 第1题图A OD第2题图 第9题第11题7、（2012江苏省淮安市，17，3分）若圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则此圆锥的侧面积为 cm 2．8、（2012四川达州，11，3分）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面积是 .（不取近似值）9、（2012年广西玉林市，16，3）如图，矩形OABC 内接于扇形MON ，当CN =CO 时，∠NMB10、(2012广安中考试题第15题，3分)如图6，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC =3，∠ACB =90o，∠A =30o，若△RtABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线上l 时，点A 所经过的路线的长为________________（结果用含л的式子表示）．11、（2011•丹东，14，3分）如图，将半径为3cm 的圆形纸片剪掉三分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ．12、（2012贵州贵阳，23，10分）如图，在⊙O 中，直径AB =2，CA 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于D ，若∠C =45°，则（1）BD 的长是 ；（5分） （2）求阴影部分的面积. （5分）第12题图AC13、（2012浙江省义乌市，20，8分）如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上,点E 在⊙O 外,∠EAC =∠D =60°. （1）求∠ABC 的度数； （2）求证：AE 是⊙O 的切线； （3）当BC =4时，求劣弧AC 的长.14、（2012年吉林省，第23题、7分．）如图，在扇形OAB 中，∠AOB =90°，半径OA =6．将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠．点O 恰好落在弧AB 上点D 处，折痕交OA 于点C ，求整个阴影部分的周长和面积．O BCDE15、（2011甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.（1）请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD.（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①写出点的坐标：C、D；②⊙D的半径= （结果保留根号）；③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为（结果保留π）；④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由.参考答案例1、考点：圆锥的计算。

常用面积公式面积公式扇形面积公式00在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR^2，所以圆心角为n°的扇形面积：00S=nπR²÷360 00比如：半径为1cm的圆，那么所对圆心角为135°的扇形的周长：00C=2R+nπR÷180 00=2×1+135×3.14×1÷180 00=2+2.355 00=4.355(cm)=43.55(mm) 00扇形的面积：00S=nπR²÷360 00=135×3.14×1×1÷360 00=1.1775(cm²)=117.75(mm²) 00扇形还有另一个面积公式00S=1/2lR 00其中l为弧长，R为半径00扇环面积00圆环周长:外圆的周长+内圆的周长(圆周率X(大直径+小直径)) 0圆环面积:外圆面积-内圆面积(圆周率X大半径的平方-圆周率X小半径的平方\圆周率X(大半径的平方-小半径的平方)) 00用字母表示：00S内+S外（∏R方）00S外—S内=∏(R方-r方）00还有第二种方法：00S=π[(R-r)×(R+r)] 00R=大圆半径00r=圆环宽度=大圆半径-小圆半径00还有一种方法：00已知圆环的外直径为D，圆环厚度（即外内半径之差）为d。

00d=R-r，00D-d=2R-（R-r）=R+r，00可由第一、二种方法推得S=π[(R-r)×(R+r)]=π(D-d)×d，0圆环面积S=π(D-d)×d 00这是根据外直径和圆环厚度（即外内半径之差）得出面积。

这两个数据在现实易于测量，适用于计算实物，例如圆钢管。

三角形面积公式00海伦公式00任意三角形的面积公式（海伦公式）：S²=p(p-a)(p-b)(p-c), p=（a+b+c）/2, a.b.c为三角形三边。

扇形是指以圆心为顶点，圆周上的两点为边的部分。

在几何学中，我们经常会遇到求扇形面积的问题。

但是，如果这个扇形是阴影部分呢？那么，如何求解扇形的阴影部分面积呢？下面，我们将从两个不同角度来探讨扇形阴影部分面积的公式。

一、通过扇形面积公式求解1. 我们来回顾一下扇形的面积公式。

对于一个半径为r，夹角为θ的扇形，其面积公式为：S = (π * r^2 * θ) / 360，其中S表示扇形的面积，r表示扇形的半径，θ表示扇形的夹角。

2. 当我们遇到一个扇形的阴影部分时，我们可以先求出整个扇形的面积，然后再减去阴影部分外面积，即可得到阴影部分的面积。

3. 假设整个扇形的面积为S1，阴影部分外面积为S2，则阴影部分的面积S = S1 - S2。

4. 通过扇形面积公式求解扇形的阴影部分面积，是一种简单直接的方法。

但是，在实际问题中，我们可能会遇到无法直接求解整个扇形的面积，或者无法确定阴影部分外面积的情况。

这时，就需要借助其他方法来求解扇形的阴影部分面积。

二、通过几何分析求解1. 在实际问题中，我们常常会遇到两个扇形的阴影部分面积需要求解的情况。

假设两个扇形分别为扇形A和扇形B，它们的半径分别为r1和r2，夹角分别为θ1和θ2。

我们需要求解两个扇形的阴影部分面积。

2. 我们可以将扇形A和扇形B分别划分成两个部分：一个是正常的扇形部分，一个是阴影部分。

我们可以对正常的扇形部分进行面积求解，得到S1和S2。

3. 接下来，我们需要分析阴影部分的面积。

由于阴影部分是由两个扇形的叠加部分组成，我们可以利用几何分析的方法，将两个扇形的阴影部分分别表示为两个三角形，并求解它们的面积。

4. 假设扇形A的阴影部分面积为S1'，扇形B的阴影部分面积为S2'，则两个扇形的阴影部分面积之和为：S' = S1' + S2'。

5. 通过几何分析求解扇形的阴影部分面积，无需求解整个扇形的面积，只需对阴影部分进行分析和计算，更加灵活和实用。

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图［学习目标］1. 掌握基本概念：正多边形，正多边形的中心角、半径、边心距以及平面镶嵌等。

2. 扇形面积公式：n是圆心角度数，R是扇形半径，l是扇形中弧长。

3. 圆柱是由矩形绕一边旋转360°形成的几何体，侧面展开是矩形，长为底面圆周长，宽为圆柱的高r底面半径 h圆柱高4. 圆锥侧面积圆锥是由直角三角形绕一直角边旋转360°形成的几何体。

侧面展开是扇形，扇形半径是圆锥的母线，弧长是底面圆周长。

5. 了解圆柱由两平行圆面和一曲面围成，明确圆柱的高和母线，它们相等。

6. 了解圆锥由一个曲面和一个底面圆围成，明确圆锥的高和母线，知道可以通过解高、母线、底面半径所围直角三角形，解决圆锥的有关问题。

7. 圆柱圆柱的侧面展开图是两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面周长的矩形。

圆柱的侧面积等于底面周长乘以圆柱的高。

如图所示，若圆柱的底面半径为r，高为h，则：，。

8. 圆锥圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。

圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，这个曲面在一个平面上展开后是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥底面的周长。

因此，圆锥的侧面积是圆锥的母线与底面周长积的一半。

如图所示，若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则。

［重点、难点］扇形面积公式及圆柱、圆锥侧面积公式的理解和灵活应用。

【典型例题】例1. 已知如图1，矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm，以B为圆心，BC为半径作圆弧交AD于F，交BA延长线于E，求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面积。

图1解：∵AB＝1，BC＝2，F点在以B为圆心，BC为半径的圆上，∴BF＝2，∴在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，∠ABF＝60°∴例2. 已知扇形的圆心角150°，弧长为，则扇形的面积为____________。

解：设扇形的面积为S，弧长为l，所在圆的半径为R，由弧长公式，得：∴由扇形面积公式，，故填。

[本讲教育信息]一. 教学内容：弧长与扇形的面积圆锥的侧面积二. 教学要求1、了解弧长计算公式与扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。

2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。

三. 重点与难点重点：1、弧长的公式、扇形面积公式与其应用。

2、圆锥的侧面积展开图与圆锥的侧面积、全面积的计算。

难点：1、弧长公式、扇形面积公式的推导。

2、圆锥的侧面积、全面积的计算。

［知识要点］知识点1、弧长公式因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。

（2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。

知识点2、扇形的面积如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。

又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。

知识点3、弓形的面积（1）弓形的定义：由弦与其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。

（2）弓形的周长＝弦长＋弧长（3）弓形的面积如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。

当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是（）（结果用表示）分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以，所以圆周长弧长圆面积扇形面积公式图示面积知识点4、圆锥的侧面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的全面积说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。

扇形、圆锥相关计算考试内容考试要求圆的半径是R，弧所对的圆心角度数是nb 弧长公式弧长l＝n πR180扇形面积公式S扇＝nπR2360＝12lR拓展求运动所形成的路径长或面积时，关键是理清运动所形成图形的轨迹变化，特别是扇形，需要理清圆心与半径的变化．考试内容考试要求基本思想转化思想：处理不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变换转化为规则图形，再利用规则图形的公式求解．c弧长，扇形面积计算题型一弧长和扇形面积计算典型例题1.（2019年宿迁中考第7题3分）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（）A．6π B．6C．6+π D．6+2π2.（2019年杨州中考第17题3分）如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至AB’C’D’的位置，若AB=16cm，则图中阴影部分的面积为．题型二圆锥、圆柱的相关计算典型例题（2019年淮安中考第14题3分）若圆锥的侧面积是15π，母线长是5，则该圆锥底面圆的半径是_______．2.（2019年泰州中考第15题3分）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为____________cm．2.（2019年南通中考第16题3分）已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为_______________．cm．3.（2019年无锡中考第15题3分）已知圆锥的母线成为5cm，侧面积为15πcm2，则这个圆锥的底面圆半径为____________cm．1.（2019年无锡中考第24（2）题4分）一次函数的图像与x轴的负半轴相交于点A，与y轴的正半轴相交于点B，且sin∠ABO＝．△OAB的外接圆的圆心M的横坐标为﹣3，求图中阴影部分的面积．2.（2019年宿迁中考第5题3分）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是（）A．20π B．15π C．12π D．9π3.（2019年徐州中考第15题3分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为__________cm．年月日苏州市5年中考真题高频考点与扇形的相关计算1.（2019年苏州中考第17题3分）如图，扇形OAB中，∠AOB=90°．P为弧AB上的一点，过点P 作PC⊥OA，垂足为C，PC与AB交于点D．若PD=2，CD=1，则该扇形的半径长为___________.2.（2018年苏州中考第7题3分）如图，8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD，点O，A，B，C，D均在格点上．若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r1；若用扇形OCD围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r2，则的值为____________.3.（2017年苏州中考第16题3分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC=3，∠BOC=2∠AOC．若用扇形OAC（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是____________.4.（2016年苏州中考第6题3分）如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的弦，过点C的切线交AB 的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为________.5.（2015年苏州中考第9题3分）如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．6.（2015年苏州中考第24（2）题4分）如图，在△ABC中，AB=AC．分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧，设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD．若BC=6，∠BAC＝50°，求、的长度之和（结果保留）．2019苏州市名校中考模拟真题1.（2019年苏州工业园区一模第15题3分）半径为3 cm，圆心角为120º的扇形的弧长为cm____________.2.（2019年苏州高新区一模第13题3分）已知一扇形的圆心角是60º，扇形的半径为9，则这个扇形的弧长是____________.3.（2019年苏州市区一模第17题3分）如图，一张扇形纸片OAB中，半径OA为2，点C是⌢ AB 的中点，现将这张扇形纸片沿着弦AB折叠，点C恰好与圆心O重合，则图中阴影部分的面积为.4.（2019年苏州景范中学二模第16题3分）如图，OC是圆O的半径，弦AB⊥OC于点D，∠OBA=30°，AB=，则S阴影=____________．5.（2019年苏州吴中、吴江、相城区一模第16题3分）如图，AB是半圆O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，若弦CD=6，则图中阴影部分的面积为____________.6.（2019年苏州景范中学二模第15题3分）一圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为____________．7.（2019年苏州市区一模第15题3分）用半径为10，圆心角为54°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径等于____________．8.（2019年苏州市区二模第17题3分）己知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是____________.9.（2019年苏州吴中、吴江、相城区一模第13题3分）一圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的侧面积为____________.10.（2019年苏州胥江实验中学二模第16题3分）已知圆锥的底面半径为1 cm，母线长为3 cm，则其侧面积为____________cm2．(结果保留π)11.（2019年苏州高新区二模第13题3分）一个圆锥的底面半径为3cm，将其侧面展开，得到的扇形圆心角为120°，则此圆锥的母线长为__________cm ．12.（2019年苏州青云中学港一模第13题3分）底面周长为8πcm,母线长为5cm的圆锥的侧面积为____________cm2.13.（2019年苏州太仓二模第14题3分）己知圆锥的侧面积是12，母线长为4，则圆锥的底面圆半径为____________.。

弧长和扇形面积的计算(2013-2014)-教师版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（弧长和扇形面积的计算(2013-2014)-教师版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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弧长和扇形面积计算2014年中考解决方一、弧长公式由于圆周角课看做的圆弧，而的圆心角所对的弧长就是圆周长 ，所以在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长的计算公式：【注意】1. 圆心角的单位若不全是“度”，一定要化为“度”再代入公式;2. 公式中的三个未知量只要知道两个就可以求出第三个,从而可以推得圆心角的计算公式为：二、多边形滚动问题解决多边形滚动问题，要明确旋转中心，旋转半径、旋转方向以及旋转角度． 常见的多边形滚动问题有：1. 正三角形沿水平线翻滚；2. 正方形沿水平线翻滚；3. 各内角相等的非正多边形沿水平线翻滚；4.各内角不相等的多边形沿水平线翻滚．360︒360︒2πC R =Rn ︒lπ180n Rl =l n R ，，180πln R=A’‘A‘B’C‘A BC三、扇形1. 扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．2. 扇形的周长：在半径为，圆心角的度数为的扇形中，周长的公式为：3. 扇形面积的计算公式：① ② （为扇形的弧长）【注意】扇形的面积有两个计算公式，根据题目的不同可以选择不同的公式进行计算．四、弓形面积的计算方法1. 弓形的定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．2. 弓形的面积计算:弓形的面积问题可以转化成扇形面积和三角形面积来计算．根据弧的情况不同，有以下三种情况：① 当弓形所含的弧是劣弧时,② 当弓形所含的弧是优弧时，③ 当弓形所含的弧是半圆时，A''A'B''C''A BCRn ︒π22180nR C R l R =+=+2π360n R S =12S lR =lABA B C S S S ∆=-弓形扇形+A B C S S S ∆=弓形扇形12S S =弓形圆五、圆锥1.圆锥的概念:圆锥可以看做是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形．这条直线叫做圆锥的轴．垂直于轴的边旋转而成的面叫做圆锥的底面，底面是一个圆面． 斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面． 从圆锥的顶点到底面的距离叫做圆锥的高．连接圆锥的顶点和底面周长的任意一点的线段叫做圆锥的母线．2.圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为,底面圆的半径为,那么这个扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥的底面周长，因此圆锥的侧面积公式为：3. 圆锥的全面积：圆锥的测面积与底面积之和称为圆锥的全面积．公式为：【注意】圆锥面积计算公式中的与扇形面积计算公式中的表示的含义是不一样的，应用时不要用混淆．4.推论：已知扇形的半径为，圆心角为， 扇形围成的圆锥的底面半径为,则可以三者之间的关系为:l r l 2r ππS r l =2ππS r l r =+r l，R l ，Rnr360n rR =一、弧长的计算【例1】在半径为3的圆中,150°的圆心角所对的弧长为( ）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【例2】如果中标的轴心到分针针端的长为5，那么经过40分钟，钟表的分针针端转过的弧长是________．【答案】【解析】一小时有60分钟,所以40分钟相当于转过了表的，所以转过的弧长是圆的周长．【例3】一条弧的长度为，所对的圆心角为108°,那么这段弧的半径为___________．【答案】20【例4】（2012年漳州）如图，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】圆心移动的距离等于圆的周长．【例5】（2013年玉林）如图，实线部分是半径为 的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长是___________m ．【答案】【解析】解：如图，连接15π415π25π45π220π3232312π2πcm 4πcm 8πcm 16πc m 15m 40π122O OC D C O ，，，∵ , ∴ ， ∴ , 则圆 的圆心角为 ， 则游泳池的周长为【例6】（2013年宜宾）如图，是正三角形，曲线叫做正三角形的渐开线，其中弧、弧、弧的圆心依次是,如果,那么曲线的长是____________．【答案】【解析】弧的长是, 弧的长是：， 弧的长是:,则曲线的长是：++2π=4π．【例7】（2013年扬州）如图,在扇形中,，半径，将扇形沿过点的直线折叠,点恰好落在弧上的点处,折痕交于点,则弧的长为 _________ ．1221015OO CC Oc m ===2160C O O ∠=︒2120C O D ∠=︒12O O ，360120240︒︒=︒-π240π152240π180180n r C ⨯=⨯=⨯=A B C ∆C DE F CD DE EF A B C 、、1A B =C DE F 4πCD 120π12π1803⨯=DE 120π24π1803⨯=EF120π32π180⨯=C D E F 24π+π+2π4π33=OAB 110A O B ∠=︒18O A =OAB BOAB DO A CAD【答案】【解析】连接根据折叠的性质知,． 又∵ , ∴，即 是等边三角形， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴弧的长为．二、多边形滚动问题【例8】（2013年遵义）如图，将边长为的等边三角形沿直线向右翻动（不滑动），点从开始到结束，所经过路径的长度为（ ） ．A． B ． C ． D ．3【答案】C【解析】通过观察图形,可得从开始到结束经过两次翻动，求出点B 两次划过的弧长，即可得出所经过路径的长度．解题过程如下： 解:∵是等边三角形,ACBOD5πOD ACBODO B D B =OD O B =OD O BD B ==O D B ∆60D O B ∠=︒110A O B ∠=︒50A O D A O B D O B ∠=∠∠=︒-AD 50π185π180l ⨯==1cm ABC l Bcm 3π222+π34π3A B C ∆∴ ， ∴ , 点两次翻动划过的弧长相等，则点经过的路径长【例9】（2011年兰州)已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置,搬动时为了保护圆弧部分不受损伤,先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50米，半圆的直径为4米，则圆心O 所经过的路线长是_____________米．【答案】【解析】解：由图形可知，圆心先向前走的长度即圆的周长,然后沿着弧旋转圆的周长，最后向右平移50米，所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上50, 由已知得圆的半径为2， 设半圆形的弧长为 ,则半圆形的弧长，故圆心所经过的路线长米．【例10】(2013年贵阳）在矩形中，,有一个半径为1的硬币与边相切，硬币从如图所示的位置开始，在矩形内沿着边滚动到开始的位置为止，硬币自身滚动的圈数大约是（ )60A C B ∠=︒120A C A ∠=︒（）B B120π142π1803l ⨯=⨯=2π+5012O O 1423O O 14l (9090)π2=2π180l +⋅⋅=O 2π50=+（）A B C D 64AB BC ==，A B AD 、AB BC CD D A 、、、A ．1圈B ．2圈C ．3圈D ．4圈【答案】B【解析】连接与的切点， 则． 易证四边形是正方形，则 ． ∵的周长，硬币从如图所示的位置开始，在矩形内沿着边滚动到开始的位置为止，硬币自身滚动的路程是： ,∴硬币自身滚动的圈数大约是：． 故选B ．【例11】（2012年呼伦贝尔)如图，在中,,将绕顶点按照顺时针旋转至的位置，且三点在同一条直线上，则点经过的路线的长度是（ ）A ．4B ． C． D ．【答案】D【解析】解：∵将绕顶点顺时针旋转的位置,∴ 又∵， AD A B 、OE F 、OE A D OF A B ⊥⊥，O E A F 1AFO E ==O 2π12πC =⨯=A B B C C D D A 、、、2820812A B B C A F +-=-=（）122π2÷≈R t A B C ∆9030A B C B A ∠=︒∠=︒A B C ∆CABC ∆'''AC B '、、A32π34π3A B C ∆C ABC ∆'''A C B A C B ∠=∠''9030A B C B A C ∠=︒∠=︒，∴ ； ∵三点在同一条直线上， ∴． 又∵ ,∴ ， ∴点经过的路线的长度故选D ．【例12】（2009年黄冈)已知：矩形的边，现将矩形放在直线上且沿着向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置时(如图所示），则顶点所经过的路线长是______________．【答案】【例13】(2010年台州)如图，菱形中，,菱形在直线上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作,则经过36次这样的操作菱形中心所经过的路径总长为(结果保留π）________________．【答案】【解析】第一、二次旋转的弧长和 第三次旋转的弧长 ,∵， 故中心所经过的路径总长，【例14】(2013年内江)如图，正六边形硬纸片在桌面上由图1的起始位置沿直线l 不滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为2cm,则正六边形的中心运动的路程为_______cm ．60A C B A C B ∠=∠''=︒'AC B 、、120A C A ∠'=︒30B A C ∠=︒A B 2AC =A 120π24π==1803⨯A B C D 86AB A D ==，A BCD l l 1111ABCDAlD 1CB 1AC 1A 1BD12πA B C D 260AB C =∠=︒，A B C D lO =60π1180⨯=36312÷=O360π112+14)π80⨯=AB C D E F O【答案】【解析】解：根据题意得:每次滚动正六边形的中心就以正六边形的半径为半径旋转60°，正六边形的中心O 运动的路程∵正六边形的边长为2cm ，∴运动的路径为：；∵从图1运动到图2共重复进行了六次上述的移动， ∴正六边形的中心运动的路程【例15】（2013年六盘水)把边长为1的正方形纸片放在直线上，边在直线上，然后将正方形纸片绕着顶点按顺时针方向旋转90°，此时,点运动到了点处（即点处），点运动到了点处,点运动到了点处，又将正方形纸片绕点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后，顶点经过的总路程为___________，经过61次旋转后，顶点O 经过的总路程为_____________．【解析】解:如图，为了便于标注字母，且位置更清晰,每次旋转后不防向右移动一点，第1次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形,路线长为4π60π22π=1803⨯O26π=4π3cm⨯OA B C m O AmAO 1O BC1C B1B 111A OCB 1B O第2为半径，以90°圆心角的扇形,路线长为第3次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形，路线长为第4次旋转点没有移动，旋转后于最初正方形的放置相同，因此4次旋转,顶点经过的路线长为∵61÷4=15…1，∴经过61次旋转，顶经过的路程是4次旋转路程的15倍加上第1次路线长,即．．【例16】如图,边长为2的等边置于边长为4的正方形内，使点在边上．将三角形先绕点作顺时针旋转，然后再绕作顺时针旋转，如此进行，使三角形沿着正方形的边向前转动，直到回到原来位置．这时顶点所行路程长度为________________【答案】【解析】点旋转的路线都是半径是2的弧，并且从开始旋转的角度是120°,120°，30°,30°，120°，120°,30°，30°，120°…，从开始到回到开始点正好旋转了15次，因而旋转的角度是：1200°,因而顶点所行路程长度为：故答案是:．90π11π1802⨯=90π11π1802⨯=OO 11ππ22+O1152⨯+A B P ∆A X Y Z B AX BPP P40π3P PPP1200π240π1803⨯=40π3三、扇形、弓形面积的计算【例17】（2013年资阳）钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（ ）A． B ． C ． D ．【答案】A【例18】（2013•襄阳)如图，以为直径的半圆经过斜边的两个端点，交直角边于点是半圆弧的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．B CD【答案】D【解析】本题中和面积相等是解题关键,具体解题过程如下:解：连接，∵ 是半圆弧的三等分点， ∴， ∴ ， 1π21π41π8πAD O Rt A B C ∆AB AC EB E ，、BE 2π31π93π22π3B O E ∆A B E ∆BD BE B O E O ，，，B E ，60E O A E O B B O D ∠=∠=∠=︒30B A C ∠=︒∵弧的长为，∴，解得： ,∴， ∴，∴， ∴,∵和同底等高， ∴和面积相等，∴图中阴影部分的面积为：故选：D ．【例19】（2013年东营）如图，正方形中，分别以为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案,则树叶形图案的周长为( )A ．B ． C． D ．【答案】A【例20】(2013年昭通）如图所示是某公园为迎接“中国﹣﹣南亚博览会”设置的一休闲区．,弧的半径长是6米,是的中点,点在弧上，,则图中休闲区（阴影部分）的面积是？BE2π360π2π1803R ⨯=2R =3AB A D c o s =︒12BC A B =3A1122A B CS B C A C ∆=⨯⨯=B O E ∆A B E ∆B O E ∆A B E ∆2360π232π3603A B C B O S S ∆⨯--扇形﹣A B C D B D 、aπa2πa 1π2a3a90A O B ∠=︒AB O A C O AD AB C D O B ∥【答案】【解析】解：连接OD ，∵弧的半径长是6米，是的中点,∴米，∵ , ∴ ， 在 中, ∵ ， ∴， ∵, ∴， ∴【例21】（2012•宁夏）如图，一根5m 长的绳子,一端拴在互相垂直的围墙墙角的柱子上,另一端拴着一只小羊（羊只能在草地上活动），那么小羊在草地上的最大活动区域面积是？=【答案】【解析】解:大扇形的圆心角是90度，半径是5，所以面积；小扇形的圆心角是,半径是1m, 6πAB O AC O A132O C O A ==90A O B C D O B ∠=︒，∥CD O A ⊥Rt O C D ∆63OD O C ==，s i n C D D O C O D ∠=60D O C ∠=︒2260π613602D O C A O DS S S ∆⨯==-阴影扇形﹣A A277π12m 290π2525π3604S m⨯==18012060︒-︒=︒则面积,∴小羊在草地上的最大活动区域面积【例22】（2013年遵义）如图,在中,,为边上的一点,以为圆心，为半径的圆弧交于点,交的延长于点,若图中两个阴影部分的面积相等，则的长为？（结果保留根号）．【解析】解：∵图中两个阴影部分的面积相等，∴,即：,又∵ , ∴，∴．【例23】（2013年•盐城）如图，在中， ,将绕顶点按顺时针方向旋转45°至的位置，则线段扫过区域（图中的阴影部分）的面积为?【答案】260π1πm 3606S ==A277π12m R t A B C ∆901A C B A C B C ∠=︒==，EBC AAE AB D AC FAF A B C A D F S S ∆=扇形245π13602A F A CB C ⨯=⋅1ACB C ==24πAF =AF =A B C ∆9052B A C A B c m A C c m ∠=︒==，，A B C ∆C11ABC ∆AB 25π8【解析】解：在中， , 扇形的面积是，；．故四、圆锥【例24】（2013年贵港）如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的高与母线所夹的角为，且，则该圆锥的侧面积是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】 D【例25】(2013•黔西南州)如图，一扇形纸片，圆心角为120°，弦的长为，用它围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为____________．【答案】【例26】（2013年盘锦）如图，张老师在上课前用硬纸做了一个无底的圆锥形教具,那么这个教具的用纸面积是 ______ cm 2．（不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）．Rt A B C ∆1BCB 29π8S =1115252C BA S ∆=⨯⨯=2145π2π3602C A A S ⨯==扇形111129125π55ππ828C B A A B C B C B C A A S S S S S =+=+--=阴影部分扇形扇形﹣﹣θ13sin θ=24π16π12πA O B ∠AB BA O23cm【答案】【例27】(2013年佛山）如图,圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线与高的夹角．(参考公式：圆锥的侧面积，其中为底面半径，为母线长)【答案】 30°【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，则：， ∴，∴母线与高的夹角的正弦值，∴母线与高的夹角30°【例28】(2009年永州）问题探究：（1） 如图①所示是一个半径为，高为4的圆柱体和它的侧面展开图,是圆柱的一条母线,一只蚂蚁从点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路:将圆柱的侧面沿母线剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段的长）；（2） 如图②所示是一个底面半径为，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，是它的一条母线，一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点，求蚂蚁爬行的最短路程;（3） 如图③所示，在②的条件下,一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线上的一点,求蚂蚁爬行的最短路程．300πAB AO S r lπ=rllr2l r ππ=2l r =12r l ==AB AO 32πAB A BAB A B BA ''AB '23PAA AAPA【答案】解:(1）∵，．即蚂蚁爬行的最短路程为5． （2）连接，则的长为蚂蚁爬行的最短路程，设为圆锥底面半径，为侧面展开图(扇形)的半径，则,由题意得：∴ ，∴ 是等边三角形，∴最短路程为． （3）如图③所示是圆锥的侧面展开图， 过作于点 ，则线段AC 的长就是蚂蚁爬行的最短路程．∴，∴蚂蚁爬行的最短距离为 ．3232πB B π'=⨯=5A B '=AA 'AA '1r 2r 12234r r ==，21π2π180n r r =60n =P A A ∆'4AA P A '==AAC P A ⊥'C•'46A C P A s i n A P A s i n =∠=⨯︒【例29】（2008年南通)铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm 的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）请你帮助他算一算可以吗？（1） 请说明方案一不可行的理由；（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径;若不可行,请说明理由．【答案】解：连接为两圆的切点， （1）理由如下：∵扇形的弧长，圆锥底面周长 ，∴圆的半径 ． 过作 ， ∴为等腰直角三角形,∴, 又∵， 而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为∵， ∴方案一不可行；(2）方案二可行．求解过程如下： 设圆锥底面圆的半径为cm ，圆锥的母线长为cm,∵在一块边长为16cm 的正方形纸片上，∴正方形对角线长为cm ，cmcm ．AC E ，116π8π2l =⨯=2r π=14OE c m =1O 1OF C D ⊥1C OF ∆111m 16AE A B c m ==1116A E E O O C m ++=2r R【例30】如图：有一个半径为的半圆,要用这个半圆做一个圆锥的侧面和底面,小芳想这样做:在圆弧上取点，使，用扇形作圆锥的侧面，在扇形内剪一个最大的作圆锥的底面，你认为小芳这样做办得到吗？请你通过计算说明理由．【答案】解：连接．∵与相切于，∴, 设的半径为， ∵切于,切于，∴ ， ∴∴ ∵ ∴ ，∴的周长而弧∴小芳这样办得到．【例31】己知圆锥的底面半径是4cm ，母线长为12cm ，为母线的中点,求从到在圆锥的侧面上的最短距离．R C 60A O C ∠=︒OBC OAC MME MO AEME O A ⊥MrOC OFO AOEOD A O C ∠平分1302M O E A O C ∠=∠=︒2OM r =2r r R +=13r R =M 2π3C R=120π2π1803R B C R==CPB AC【答案】解：圆锥的底面周长是8π，则，∴，即圆锥侧面展开图的圆心角是120度． ∴， ∵, ∴是等边三角形, ∵是中点，∴, ∴． ∵在圆锥侧面展开图中 ， ∴在圆锥侧面展开图中 cm ． 最短距离是cm ．π128180n π⨯=120n =60A P B ∠=︒PA PB =P A B ∆CPBAC P B ⊥90A C P ∠=︒126AP P C ==，AC=【题1】 （2012•北海)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点都在格点上，将绕点顺时针旋转60°，则顶点所经过的路径长为（ ）A ． BCD ．【答案】C【解析】如图所示：在中，, 根据勾股定理得：， 又将绕点顺时针旋转60°，则顶点所经过的路径长为故选C【题2】 （2013•山西）如图，四边形是菱形,，扇形的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）A． B．C ．D ．【答案】B【解析】连接，如图即可解得A BC ∆A B C ∆CA10ππRt A C D ∆31A D D C ==，A B C ∆C A l AB C D 602A A B ∠=︒=，BEF 2π32π3-π-πBD【题3】 （2013•泰安）如图,是的两条互相垂直的直径，点分别是的中点，若的半径为2，则阴影部分的面积为( ）A ．8B ．4C ．D ．【答案】A【解析】如图所示：可得正方形，边长为2， 正方形中两部分阴影面积为：4﹣π，∴正方形内空白面积为： ， ∵的半径为2，∴的半径为1，∴小圆的面积为： , 扇形的面积为:，∴扇形中两空白面积相等，∴阴影部分的面积为： ． 故选：A ．AB C D ，O1234OOOO，，，OA 、OB 、O C O D 、O4π4+4π4-E F MN 424π2π4--=-（）O1234OOOO，，，2π1π⨯=COB 290π2π360S ⨯==COB 2π222π48⨯--=（）【题4】 （2013年遂宁)如图，的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上,将绕点逆时针旋转到的位置,且点仍落在格点上，则图中阴影部分的面积约是？（ ，结果精确到0。

《弧长及扇形面积的计算》教案教学目标：1.能够理解什么是弧长和扇形面积。

2.能够掌握弧长和扇形面积的计算方法。

3.能够应用所学知识解决实际问题。

教学重点：1.弧长和扇形面积的定义和计算方法。

2.弧长和扇形面积的应用，能够解决实际问题。

教学难点：应用所学知识解决实际问题。

教学准备：1.教师准备黑板、粉笔、教学PPT。

2.学生准备纸和铅笔。

教学过程：Step 1：导入新知（5分钟）教师通过展示一幅画面，简要介绍弧长和扇形面积的概念，并激发学生对于这两个概念的兴趣。

Step 2：概念讲解（15分钟）教师通过PPT向学生介绍弧长和扇形面积的定义，同时讲解计算公式以及相关的单位。

-弧长的定义：一个圆的弧长是指弧所对应的圆周上的一段弧的长度。

弧长与半径和弧度有关。

弧度是用来表示弧长的度量单位，它是指半径等于1的圆的弧长所对应的角。

弧长的计算公式为：弧长=半径×弧度。

-扇形面积的定义：一个圆的扇形面积是指由圆心和圆上两端点围成的一段圆弧和两条相连的半径所形成的区域的面积。

扇形面积的计算公式为：扇形面积=1/2×弧长×半径。

Step 3：实例演练（20分钟）教师通过PPT和讲解，给出一些实例进行演练，让学生运用所学知识计算弧长和扇形面积。

- 实例1：一个半径为5cm的圆的弧度为1.2弧度，求它的弧长和扇形面积。

- 实例2：一个直径为10cm的圆的圆心角为60度，求它的弧长和扇形面积。

- 实例3：一个半径为8cm的圆的弧长为12cm，求它的弧度和扇形面积。

Step 4：拓展应用（20分钟）教师出示一些与弧长和扇形面积相关的实际问题，鼓励学生运用所学知识解决问题。

- 问题1：一个轮胎的直径为60cm，每次转一圈需要转4.8米，求这个轮胎的弧长。

- 问题2：一个车轮半径为50cm，旋转一周需要走300cm的距离，求这个车轮的弧度。

-问题3：一个广告牌的直径为10m，将广告牌按照弧度等分为8份，求每份的弧长和扇形面积。