初中数学九年级《数学活动：三角点阵中前n行的点数计算及拓展》公开课教学设计

（二）讲授新知
我通过多媒体展示三角点阵的图像，引导学生观察并发现其中的规律。然后，我引入数列的概念，解释和证明三角点阵的规律。我以清晰的逻辑和简洁的语言，讲解数列的定义、通项公式和求和公式。同时，我通过示例和练习，让学生理解和掌握数列的应用。
（三）学生小组讨论
我将学生分成小组，让他们共同探究三角点阵的规律。我给予学生一定的时间，让他们观察、讨论并分享自己的发现。在小组讨论过程中，我鼓励学生积极表达自己的观点，倾听他人的意见，并共同解决问题。
五、案例亮点
1.生活情境的创设：通过引入广场地砖的实际问题，激发了学生的兴趣和思考，使他们对三角点阵的规律产生好奇心，为后续学习打下了基础。
2.问题导向的教学策略：通过提出引导性问题，引导学生深入思考和探索三角点阵的规律，提高了他们的思维能力和解决问题的能力。
3.小组合作的学习方式：通过小组合作，学生能够共同探究和解决问题，培养了他们的团队合作能力和沟通能力，同时也促进了他们的交流和分享。
3.学生能够认识到数学在生活中的重要性，提高他们的数学应用意识和实践能力。
三、教学策略
（一）情景创设
在教学开始时，我创设了一个生活情境：某城市广场的地砖是正六边形，每块地砖的边长相同。我引导学生观察并思考，如果广场由一层地砖镶嵌而成，需要多少块地砖；如果有两层地砖，需要多少块地砖。这个情境引起了学生的兴趣，激发了他们的思考，为后续学习三角点阵的规律打下了基础。
（四）总结归纳
在学生完成小组讨论后，我组织了一个总结归纳的环节。我引导学生回顾和总结三角点阵的规律，并用简洁的语言进行归纳。我强调三角点阵的规律是数列的基础，也是初高中数学的重要衔接点。同时，我也提醒学生要注意数列的应用，解决实际问题。
（五）作业小结

二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的解法有初步的了解，但在实际应用中，可能仍存在对配方法理解不深、运用不熟练的问题。此外，学生在解决与图形结合的实际问题时，可能缺乏观察、分析、归纳的能力。在本章的学习中，学生需要通过数学活动，进一步提升对一元二次方程的理解，并掌握数学归纳法在解决问题中的应用。
1.重点：一元二次方程的配方法解法及其在三角点阵问题中的应用；数学归纳法的理解和运用。
2.难点：三角点阵中前n行点数计算公式的推导过程；将实际问题转化为数学模型，并运用一元二次方程解决。
（二）教学设想
1.教学方法：
-采用情境导入法，通过实际问题引出一元二次方程的解法，激发学生兴趣。
-运用任务驱动法，引导学生通过自主探究、合作交流，发现三角点阵中点数的变化规律。
-创设互动氛围，促进合作学习。通过小组讨论、组间交流，培养学生的团队协作能力，提高课堂效果。
4.教学评价：
-采用多元化评价方式，关注学生知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的全面发展。
-适时给予学生反馈，指导他们在学习过程中不断调整方法，提高效率。
-定期对学生的学习情况进行跟踪评价，了解教学效果，为改进教学提供依据。
3.采用数学归纳法，让学生经历从特殊到一般的思维过程，理解数学归纳法的基本原理。
4.通过课堂练习，巩固一元二次方程的解法，并让学生在实际操作中体会数学的应用价值。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生积极探究、主动思考的学习态度，激发学生对数学知识的兴趣和好奇心。
2.通过小组合作，培养学生的团队协作精神，让学生学会在合作中成长，体验共同解决问题的喜悦。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动：教师展示一个由三角形组成的点阵图形，引导学生观察并思考：“这个图形由多少个点组成？如何计算前n行的点数？”

随后，我会在黑板上绘制一个简单的三角点阵图形，让学生观察并思考以下问题：
1.每一行的点数是如何变化的？
2.你们能找出点数之间的规律吗？
3.如果我们要求前n行的点数，应该如何计算？
（二）讲授新ห้องสมุดไป่ตู้，500字
在导入新课的基础上，我会正式进入新知识的学习。首先，我会向学生介绍三角点阵的基本概念，包括点阵的构成、特点等。然后，我会引导学生观察三角点阵的图形，让他们发现每一行点数的变化规律。
5.思考反思题：
-请学生总结自己在学习三角点阵点数计算过程中的收获和困惑，以及在解决问题时遇到的问题和解决方法。
-这类题目旨在引导学生进行自我反思，培养他们的自主学习能力和自我评价意识。
在作业布置过程中，我将注意以下几点：
1.作业难度要适中，既能巩固课堂所学，又能激发学生的挑战欲望。
2.作业量要适宜，避免给学生造成过重的负担，保证他们有足够的时间进行思考和消化。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：三角点阵中前n行点数计算公式的推导与应用。
-掌握三角点阵的构成及其特点。
-理解并运用数学归纳法推导出三角点阵前n行点数的计算公式。
-能够运用所学的公式解决实际生活中的问题。
2.难点：数学归纳法的灵活运用及三角点阵与实际问题的联系。
-学生在理解归纳法原理的基础上，能够将其应用于不同的问题情境。
人教版九年级数学上册数学活动：三角点阵中前n行的点数计算1教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解三角点阵的基本概念，能够准确地描述三角点阵的特点和规律。
-掌握三角点阵的构成，理解每一行点数的递增规律。
-能够通过观察和推理，找出三角点阵中前n行点数之间的关系。

此外，在实践活动和小组讨论中，学生们表现出了很高的热情。他们积极参与讨论，动手实践，课堂氛围十分融洽。但我也注意到，部分小组在讨论过程中偏离了主题，导致讨论效果不佳。为此，我将在接下来的教学中加强对学生的引导，确保讨论紧紧围绕教学目标进行。
在重点难点解析部分，我尽力用简洁明了的语言解释一元二次方程在解决三角点阵问题中的应用。但从学生的反馈来看，这个部分仍然有一定难度。为了帮助学生更好地理解，我计划在下一节课增加一些典型例题，让学生在实际操作中感受一元二次方程的解题过程。
5.增强合作意识：在小组讨论和合作中，培养学生团队协作和沟通交流能力。数计算规律：本节课的核心是让学生掌握三角点阵中前n行点数的计算方法，通过观察、分析和归纳总结出点数与行数之间的关系。
-举例：第1行有1个点，第2行有2个点，第3行有3个点，以此类推，第n行有n个点。
首先，关于教学导入，我通过提问的方式引导学生关注日常生活中的三角点阵现象，激发他们的学习兴趣。然而，部分学生对这个问题还不够敏感，可能是我问题的设置还不够贴近他们的生活实际。在今后的教学中，我需要更加关注学生的生活经验，提高问题的针对性和趣味性。
其次，在新课讲授环节，我发现有些学生对三角点阵的概念理解不够深入，对点数与行数之间的关系把握不够准确。在讲解过程中，我试图用生动的例子和详细的解释帮助学生理解，但效果并不理想。这可能是因为我讲得太快，没有给学生充分的思考时间。在以后的教学中，我要注意放慢节奏，让学生有更多的时间消化吸收。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解三角点阵的基本概念。三角点阵是由点按照一定规律排列组成的图形，它的特点是每行点的数量逐渐增加，形成等差数列。这个概念在数学和生活中有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们通过一个具体案例来看三角点阵在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。

第二十一章数学活动三角点阵中前n行的点数计算及拓展导学案武汉市光谷第二初级中学姜海轮一、导学（一）活动导入老师在黑板上画1个点，说明点是几何中最基本的图形，许多点排列起来可以构成一个点阵,点阵是非常有趣的图形.今天我们就来研究“点阵中的规律”（板书课题）（二）活动目标1．通过观察点阵（数学模型），了解并掌握一些点阵及数学模型的变化规律2.探索三角点阵中前n行的点数和的计算公式.3.运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.4.通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力,培养学生的空间想象能力.（三）活动重难点重点：探索三角及正多边形点阵中前n行的点数和的计算公式,运用一元二次方程的知识和三角及正多边形点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.难点：运用一元二次方程的知识和点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.二、活动过程探究一三角形点阵1．活动指导（3）活动方法：完成活动参考提纲.（4）活动参考提纲：③该三角点阵前n行的点数和能是600吗？如果能，求出其行数n；如果不能，请说明理由．④如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，你能探究出前n行的点数的和满足什么规律吗？⑤在④中，三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生归纳公式、建立一元二次方程模型等方面的情况.②差异指导：对困难学生从归纳公式、建立一元二次方程模型等方面进行指导.（2）生助生：学生同桌之间互相交流.4.强化：（1）三角点阵中前n行的点数和的计算公式.（2）运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题的一般过程.探究二正六边形点阵1．活动指导（1）活动內容：正六边形点阵.（2）活动时间：5分钟.（3）活动方法：完成活动参考提纲.（4）活动参考提纲：③写出所有n层的正六边形点阵的总点数（n≥2）；④如果点阵中所有层的总点数为331，请求出它共有几层？⑤点阵设计大赛：设计时间：5分钟.设计要求：○a每人设计一组有规律、美观的点阵图，画出前4个点阵，并仿照三角形点阵的探索提出问题，然后在小组内交流自己的设计方案.图例：○b每组评选出优秀作品，派代表说明设计的方法及点阵中的规律.○c优秀设计作品将在班级“学习园地”展出.2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生是否会归纳所有n层的正六边形点阵的总点数.②差异指导：对困难学生在归纳所有n层的正六边形点阵的总点数方面进行指导.（2）生助生：学生同桌之间互相交流.4.强化：探索正六边形的点阵的方法.三、评价1.学生学习的自我评价：这节课你有什么收获？有哪些不足？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生回答问题，课堂的注意力等方面进行评价.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.课后巩固：1. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：（1）下图反映了任何一个三角形数是如何得到的，认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式；①1=1②1+2= ； ③1+2+3= ； ④ .（2）通过猜想，写出（1）中与第九个点阵相对应的等式. （3）2015是“三角形数”吗？为什么？（4）从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．结合（1）观察下列点阵图，并在⑤看面的黄线上写出相应的等式．①1=12 ②1+3=22 ③3+6=32 ④6+10=42⑤ .（5）通过猜想，写出（3）中与第n 个点阵相对应的等式：.（6）判断225是不是正方形数，如果不是，说明理由；如果是，225可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和？2. 如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第几个图形由217个圆组成？……3. 如图：正五边形点阵，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点.这个五边形点阵前n层共有331个点,求n；这个五边形点阵会不会存在前n层共有1261个点的情形？如果存在，求n的值；如果不存在，说明理由.4. 如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面．请观察下列图形并解答有关问题：(1)在第n个图中，每一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖(均用含n的代数式表示)；(2) 按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；(3) 若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(3)中，共需花多少元钱购买瓷砖?(4) 是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形?请通过计算说明为什么?。

三角点阵中前n行的点数计算教学设计1教学目标知识与技能：1.探究发现三角点阵中前 n 行的点数规律；2.建立一元二次方程解决三角点阵中前n行的点数计算问题。

过程与方法：通过探索发现三角点阵前n行点数的计算方法，并利用规律建立一元二次方程模型解决问题。

体验从特殊到一般的研究方法，学会有条理的观察、分析问题，体会转化的数学思想和建立数学模型解决问题的意识。

情感、态度与价值观：培养学生敢于实践、勇于发现、大胆创新的合作创新精神和应用意识。

2重点难点教学重点：三角点阵中前 n 行的点数和所满足的规律，并应用规律进行计算．教学难点：三角点阵中前 n 行的点数和规律的探究方法，及建立数学模型解决问题.3教学过程3.1 第一学时教学活动活动1【导入】创设情境泰姬陵是印度著名的旅游景点，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见右图）。

你知道这个图案一共花了多少宝石吗？设计意图：提出问题，引发学生思考，激发学生学习兴趣。

活动2【活动】合作探究1．认识三角点阵三角点阵中，从上往下有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有个点2．探究规律前1行的点数和：前2行的点数和：前3行的点数和：前4行的点数和：......前20行的点数和：前n行的点数和：处理方式：学生直接口答设计意图：由简单到复杂，引发学生的认知冲突，体会探究前n行点数之和计算方法的必要性。

探究１：当n很大的时候，我们怎么快速地求出前n行的点数之和呢？问题１：前20行的点数之和如何计算？（具体情况）（1）明确问题：?1+2+3+...+20=?（2）思考：为什么可以首尾相加？处理方式：学生自主发现利用首尾相加问题２：前21行的点数之和呢？（具体情况）（1）明确问题：1+2+3+...+20+21=?（2）与问题1的计算有什么不同？如何处理？方法预设：法1，直接利用问题1结果再加上21法2，依旧首尾相加，由于21行是奇数，中间的会多出一个11法3：由于21行是奇数，为了避免中间剩下一项，在最开始添加一个0，变成22个数相加，这样依次首尾相加，刚好组成11组处理方式：学生小组讨论，分享各自想法，再进行总结归纳，本质就是将奇数转化成偶数的情况。

学
年级
初三
学期
第一学期
课题
数学活动：三角点阵中前n行的点数计算
教科书
书名：《数学》九年级上册
出版社：人民教育出版社出版日期：2014年3月
教学人员
姓名
单位
授课教师
指导教师
教学目标
教学目标：：
1.通过观察三角点阵，探究发现三角点阵中前n行的点数规律，并能用于计算.
2.运用一元二次方程的知识探索三角点阵中前n行的点数和的计算公式.
3.掌握从特殊到一般的分析问题的方法，建立数学模型解决问题.
教学重点：探索并运用三角点阵中前n行的点数和的计算公式
教学难点：探索并运用三角点阵中前n行的点数和的计算公式
时间
教学环节
教学过程
2分钟
活动1
问题引入
教师展示三角形点阵：
问题1：三角点阵中，从上往下有无数多行，你能说说它的规律吗？
对了，它的第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点。
活动3
建立方程
解决问题
我们再回到问题3：你能发现300是前多少行的点数的和吗？
将方程：
转化为：
整理得：
解得：
由实际意义得：
即三角形点阵中前24行的点数和为300.
活动4
巩固提高
拓展延伸
通过刚才的探索，我们发现，得到自然数的前n项和的公式后，可以建立一元二次方程，“一劳永逸”的解决类似的问题，比如：
问题4：三角点阵中前n行的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，请说明理由.
问题2：前4行的点数和是多少？
通过“逐个数”的方式，我们可以得到前四行的点数和是10，当然我们也可以通过这种方式得到前5行，前6行或者任意前几行的点数和，不过我们也发现当n逐渐变大，点数和越来越大，数起来就越来越麻烦了.

点阵设计大赛：
设计要求：每人设计一组有规律、美观的点阵图， 画出前4个点 阵，并仿照三角形点阵的探索提出 问题，然后在小组内交流自己的设计方案. 图例：
1.每组评选出优秀作品，派代表说明设计的方法及 点阵中的规律. 2.优秀设计作品将在班级“学习园地”展出.
=3n(n-1) （n≥2）
3．动脑思考，解决问题
如果点阵中所有层的总点数为33n-1)+1=331
（n=1）
3n(n-1)（n≥2）
3n -3n - 330 = 0
2
即n -n – 110 = 0
2
解方程： n 1 = 11， n 2 = -10（舍去）．
拓展延伸
1．发现规律
前 1 行的点数和：1 前 2 行的点数和：3 前 3 行的点数和：6 前 4 行的点数和：10 …… 前 n 行的点数和： ？
2．发现规律
用试验的方法，由上而下 逐行相加其点数，可以得到结 果，但是当 n 很大的时候，我 们怎么简捷地得出答案呢？
…… 前 n 行的点数和： n （n+1） 1+2+3+…+ ． （ n-2）+ （ n-1）+n= 2
n （ n+1） = 600 2
n 2 + n - 1 200 = 0
方程无整数根，所以不存在点数和为 600 的情况．
拓展延伸
如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为 2， 4，6，…，2n，…，你能探究出前 n 行的点数和满足什 么规律吗？这个三角形点阵中前 n 行的点数和能是 600 吗？如果能，求出 n；如果不能，试用一元二次方程说 明道理．
3．动脑思考，解决问题
假设三角点阵中前 n 行的点数和为 300，求 n 的值．

新人教版九年级上册第十二一章数学活动—《三角点阵中前n行的点数计算》教学设计……一、教材分析1、教材地位和作用：人教版初中数学教材在每章结束后，都围绕教学内容增加了相关的数学活动课，它是传统数学课堂的延伸和升华，也是学科课程的重要组成部分。

比如本节内容是九年级上册第二十一章数学活动《三角点阵中前n行的点数计算》。

这节课，课本内容是给出了一个点数为1，2 ，3 ，4... 的点阵，研究它的前n行的点数和，并和一元二次方程联系，求前多少行的点数和300 ，探究发现三角点阵中前n行的点数规律，建立数学模型解决问题，把具体的点数和问题转化成数学的方程求根问题，体会类比和转化的魅力，体会数学建模思想。

2、教学目标：知识与技能: 探究发现三角点阵中前n行的点数规律，能建立数学模型解决问题。

过程与方法:掌握从特殊到一般，从个别到整体地观察、分析问题的方法，体会类比转化和数形结合的思想，体会知识之间的联系，提高总结归纳的能力，培养应用意识。

情感、态度与价值观:在自主探究的过程中培养主动探究、勇于发现的探索精神，体会数学的趣味性和实用性，发现数学的美感。

3、教学重点、难点教学重点：三角点阵中前n行的点数规律的探索和应用。

教学难点：从具体问题中抽象出数学模型，从特殊到一般探索规律。

二、教法与学法分析这节课采用以观察发现、操作探究为主，多媒体演示为辅的教学组织方式。

在教学过程中，通过设置带有启发性和思考性的问题串，创设问题情景，启发学生思维，并结合学生亲自观察、猜想、证明、归纳等方式，让学生亲身体验知识的产生、发展和形成的过程，并学会解决生活中的数学问题。

三、教学问题诊断学生学习新知识过程中可能存在的困难及应对预案：从特殊到一般，从个别到整体地观察，类比转化的数学方法和数形结合的思想学生不够熟练，所以整节课贯穿由数到形又由形到数，让学生深刻的感受这个思想。

四、教学资源与工具设计PPT课件、网络资源图1。

数学活动三角点阵中前n行的点数计算教学设计（四）学会应用，深化主题1、（课堂检测）放铅笔的V形槽如图，每往上一层可以多放一支铅笔，现有190支铅笔，则要放多少层？2、（课后巩固）观察图1至图4中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中小黑点的个数为s。

（1）对图形进行分析比较，找出规律，再经过计算得出第n个图形中小黑点的个数。

（2）假设第n个图中小黑点的个黑点的个数）n=1时，s=1+1×0=21；n=2时，s=1+2×1=3；n=3时，s=1+3×2=7；n=4时，s=1+4×3=13；……；故第n个图中小黑点的个数为1+n（n-1），所以，s=n2-n+1。

学生独立完成，完成后交流结果。

学生进行归纳总结，畅谈本节课的收获。

课后加强巩固本节课的学习内容。

运用一元二次方程解决三角点阵中前n行的点数计算问题。

加强实践环节，重视数学思维的训练，全面提高学生的数学素质。

注重课堂小结，激发学生参与的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会。

数为91，求 n 的值。

3、（课后巩固）观察下图给出的四个点阵，s 表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n 个点阵中的点的个数s 为（ ）A ．3n －2B ．3n －1C ．4n ＋1D ．4n －3（五）收获与体会 你学到了什么？（六）作业每人设计一组有规律、美观的点阵图，画出前4个点阵，并仿照三角形点阵的探索提出问题，然后在小组内交流自己的设计方案。

学生课后认真合作完成。

加强实践环节，重视数学思维的训练，促进学生兴趣、个性、特长等自主、和谐发展，从而全面提高学生的数学素质。

（七）板书设计21章数学活动三角点阵中前n 行的点数计算1、前n 行的点数和： 1+2+3+······+（n-2）+（n-1）+n=2、倒序相加法：变形为：2×[1+2+3+······+（n-2）+（n-1）+n]2)1( n n。

部编版九年级数学上册《数学活动三角点阵中前n行的点数计算》说课稿一、引入1. 说教材与教材分析•本节课所涉及的教材为部编版九年级数学上册。

•本节课主要内容是关于数学活动中三角点阵中前n 行的点数计算。

•通过本节课的学习，学生能够深入理解三角数的产生规律，提高他们的数学计算能力和逻辑思维能力。

2. 说学生分析•本节课适用于九年级学生，他们已经具备了一定的数学基础和解决问题的能力。

•学生在掌握数学计算方法的基础上，需要进一步培养他们的逻辑思维和数学推理能力。

3. 说教材分析本节课所涉及的内容主要包括：•三角数的概念及特征；•三角形点阵的构成和性质；•前n行的点数计算公式推导。

二、教学目标1. 知识目标•理解三角数的概念和特征；•掌握三角形点阵的构成和性质；•掌握计算前n行的点数的公式。

2. 能力目标•能够运用数学方法解决与三角数相关的问题；•能够运用逻辑思维推导计算前n行的点数的公式。

3. 情感目标•培养学生对数学的兴趣和好奇心；•培养学生的合作意识和团队精神。

三、教学重难点1. 教学重点•理解三角数的概念和特征；•掌握三角形点阵的构成和性质；•掌握计算前n行的点数的公式。

2. 教学难点•运用逻辑思维推导计算前n行的点数的公式。

四、教学过程1. 导入与引出为了引起学生的兴趣，我将使用一个生活情境导入本节课的内容。

让学生思考：在我们日常生活中是否有应用到三角数的地方？请举例。

2. 提出问题接下来，我将提出一系列问题，以激发学生的思考：•你们知道什么是三角数吗？•三角数有什么特点？•三角数跟什么有关系？3. 引入概念在学生对三角数有了初步了解后，我将引入概念。

通过示意图，我将向学生详细解释三角形点阵的构成和性质。

4. 讲解计算方法在学生理解了三角形点阵的构成和性质后，我将继续讲解计算前n行的点数的方法。

通过具体的例子，我将逐步演示推导计算公式的过程，并引导学生思考这个过程中的规律和逻辑。

5. 练习与巩固接下来，我将给学生一些练习题，让他们运用所学的知识计算不同行数的点数，以巩固和加深对计算公式的理解与掌握。

nn 1
600. 2
整理方程得 n2 n 1200 0, ∵ b2 4ac 1 4800 4801 0,
巩固提高 问题4：三角点阵中前n行的和能是600吗？如果能， 求出n；如果不能，请说明理由. 解：设前n行的点数和为600.
∴n 1 4801 . 2
∴方程没有整数根，
答：三角点阵中前n行的和不能是600.
2
2
2
若n为奇数，
1 2 3 4 n 3 n 2 n 1 n
1 2 3 4 n 1 n 3 n 2 n 1 n.
2
n 1个数 2
n 1个数 2
有 n 1对和为n 1的数,总和为n 1n 1 n 1,
2
2
2
整理得 n2 1 n 1 n2 n .
2
2
设：m 1 2 3 4 n 3 n 2 n 1 n. ①
……
1 2 3 24 300.
问题转化
问题3：你能发现300是前多少行的点数的和吗？ 解：设前n行的点数和为300.
1 2 3 4 n 3 n 2 n 1 n 300.
1 n n 1,
2 n 1 n 1, 3 n 2 n 1, 4 n 3 n 1,
……
巩固提高
补充问题：三角点阵中从上往下，每行从左往右逐 个加，当点数和为600时，刚好加到第几行第几个数？
分析：
mm 1 点数和.
2
∴m 1 8点数和 1 . 2
对比上一问 n 1 4801 .
……
2
巩固提高
补充问题：三角点阵中从上往下，每行从左往右逐 个加，当点数和为600时，刚好加到第几行第几个数？
m n n 1 n 2 n 3 4 3 2 1, ②

数学活动——三角点阵中前n行的点数计算数学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。

在数学活动中，感悟数学思想，积累数学活动经验。

标签：数形结合;模型思想;转化思想教学过程：一、创设问题情境，引入新课观看一段视频影片---有关数学家高斯小时候课堂学习“解决从1+2+3+。

+100”的故事。

师：今天我们就探究解决一个相关的数学问题---三角点阵点数和的探究问题。

引出课题。

二、探究新知活动一：出示三角点阵图形1、学生观察图形特征，2、完成表格的分析信息。

（表1：各行点数和的统计，表2前n行点数和的统计）意图：通过观察图形完成表格，培养学生利用表格分析问题的能力。

生1：叙述结果：1、2、3、...、n。

3、继续观察图形，完成表2生2：展示结果依次：师：好，那么前n行点数和如何表示呢？生：1+2+3+4+......+n师：好，由特殊到一般，我们可以类比上面几行的结果表示得出前n行的点数和的表示，在此基础上，你能提出哪些问题？生1：前4行共有10个点，那么前10行共有多少个点？前20行呢？生2：300个点是前多少行的点数和？生3：300个点是第几行，第几个点？生4：这个图形的探究问题能否与三角形的面积联系到一起呢？师：大家提出的问题都非常有代表性，很有想法。

尤其是最后一位同学，能够大胆的猜想：点数和的问题与三角形的面积关系。

同时我们把这四位同学的问题板书到黑板上，稍后我们逐一取解决它们。

如何表示三角点阵前n行的点数和的问题，大家能否从一开始视频中小高斯的计算方法给我们一些启发呢？---（类比思想）学生独立思考完成猜想、证明过程。

（选生代表板演并叙述思路）生：有特殊到一般，借助首尾相加的方法，归纳出：师：非常好。

师板书.大家通过将图形问题转化为数列问题，从数列的角度分析找出规律。

在这个过程中渗透了数学上的由特殊到一般的思想。

问题：我们能否从“形”的角度去考虑呢？师提示：之前我们在研究几何问题如四边形的相关问题，常常会转化成三角形的问题去解决，在今天的这个图形-三角点阵的问题，能否转化为平行四边形去尝试解决呢？师：很好，两位同学的思路都很好，所求的点数和应该是（每一行的点数和×行数）的一半。

前 1 行的点数和是 前 3 行的点数和是 前 100 行的点数和是 前 n 行的点数和是
前 2 行的点数和是 前 4 行的点数和是
设计意图：创设情境，激发学生的学习兴趣和求知欲。
【活动 3】小组讨论，得出结论
如果用试验的方法， 由上而下逐渐相加其点数， 虽然能得到结果， 但是当 n 很大
的时候，我们怎么简捷的得出答案呢？
考发现解决问题的办法。
【活动 5】拓展延伸
如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为 2，4，6，…，2n，…，你能探究
出前 n 行的点数和满足什么规律吗？这个三角形点阵中前
n 行的点数和能是
600 吗？如果能，求出 n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
n(n +1) = 600
n 2 + n - 600 = 0
1. 一元二次方程的一般形式是什么？ 2.解一元二次方程有哪几种方法？
3.一元二次方程的根与系数有什么关系？
4.学校要组织一次排球赛，参赛的每两个队之间都要比一场，共比赛 邀请多少个队参赛？
15 场，应
5.同学之间互赠贺卡，每个人都给其他同学送一张贺卡，共送出 班共有少个学生？
420 张贺卡，全
师生活动：学生代表在黑板上写出解题过程，学生的方法有：公式法，配方法，
学生学情状况
在本节课之前，学生学习了一元二次方程的相关知识，熟练掌握用公式法， 配方法解一元二次方程， 初步了解用十字相乘法解一元二次方程。 而且积累了一 些动手操作、观察比较、抽象概括、推理论证等数学活动经验。 通过本节课学习， 掌握从特殊到一般， 从个别到整体地观察、 分析问题的方法， 建立数学模型解决 问题。
学生先自主完成，然后合作交流，得出几下几种方法：

人民教育出版社《数学》九年级上第二十一章一元二次方程数学活动三角点阵中前n行的点数计算教材分析：本节课是九年级上第二十一章一元二次方程中的数学活动课，是学生在学习了解一元二次方程以及实际问题与一元二次方程后的进一步提升与拓展．为今后学习二次函数及数列奠定了基础，更好地培养学生的数学思维能力及推理归纳的思想方法．教学目标：1．通过推理归纳探索发现三角点阵中前n行的点数计算，掌握建立一元二次方程模型解决三角点阵中前n行的点数计算问题．2．体会数形结合的思想，掌握从特殊到一般再到特殊的研究方法，培养学生归纳，猜想的数学思维能力．3．培养学生敢于操作，勇敢实践以及团队合作意识．教学重点：探究三角点阵中前n行的点数的和与数量n的关系的规律．教学难点：从实际问题中抽象出数学模型．教学法设计：动手操作、小组合作、探究规律．教具准备：PPT课件，格子纸，围棋．教学过程：一、新课导入：我们知道，点是几何中最基本的图形，许多点排列起来可以构成一个点阵，点阵是非常有趣的图形．今天我们就来研究点阵中的规律：三角点阵中前ｎ行的点数计算．设计意图：在黑板上将若干点排列起来构成点阵，一下子将学生拉入正题中，大大调动学生探究点阵规律的欲望，增强学生学习的兴趣．二、探究新知：出示问题：问题1：下图的点阵中，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有3个点……（1）你知道第四行有几个点吗？你发现这个点阵有什么规律吗？（2）将第n行的点数用式子表示出来？（3）前3行的点数和为多少？（4）你能发现361是前多少行的点数的和吗？设计意图：出示一个可以研究的模型，鼓励学生大胆探索，对于（1）-（3）学生独立思考，（3）学生可以逐个数，也可以列式求，但（4）按逐个数的方法繁琐易错，进而引起学生思维上的冲突，自然过渡到下个环节，探究规律.探究规律：前1行的点数和是．前2行的点数和是．前3行的点数和是．前4行的点数和是．前n行的点数和是．（1）你是如何发现这个规律的？学生独立思考，师生共同归纳，方法一：总结规律.（2）能否从图形的角度解释为什么前1行的点数和为12，前2行的点数和为22…前n行的点数和为n2小组合作，利用方格纸进行探究，部分学生利用围棋摆子，总结出如下方法：方法二：变三角点阵为正方形点阵……方法三：三角点阵补为平行四边形点阵……总结归纳：倒序相加法前n行的点数和：1+3+5+······+（2n-5）+（2n-3）+（2n-1）可以发现：2×[1+3+5+······+（2n-5）+（2n-3）+（2n-1）] = [1+3+5+······+（2n-5）+（2n-3）+（2n-1）]+[（2n-1）+（2n- 3）+（2n-5）+······+5+3+1] 把两个中括号中的第一项相加、第二项相加……第n项相加，会得到……=（1+2n-1）+（3+2n-3）+（5+2n-5）····（2n-5+5）+（2n-3+3）+（2n-1+1）我们会发现，这n 个括号内的值都是2n ，所以整个式子等于n(2n)1+3+5+······+（2n-5）+（2n-3）+(2n-1)=n2 现在你能解决问题1中（4）吗？设计意图：留给学生充足的时间独立思考，小组交流，利用格纸画图，围棋摆子，调动学生动手操作能力，鼓励学生从不同角度去看待问题，体会数形结合的思想，感受推理演绎的逻辑性，从特殊到一般再到特殊的发展规律.三、感知新知：问题2：下图是一个 三角点阵，从上往下有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n 行有n 个点…………（1）你能发现300是前多少行的点数的和吗？（2）三角点阵中前n 行的和能是600吗？如果能，求出n ；如果不能，试用一元二次方程说明道理.设计意图：类比问题1的三种研究方式，让学生自主探究问题2，提出解决问题的方法. ．．．让学生感受学以致用，提升学生学习数学的自信心.四、应用新知如果把三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2 n, …你能探究出前n 行的点数和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n 行的点数和能是600吗？如果能，求出n ；如果不能，试用一元二次方程说明道理.设计意图：通过变式问题的设计，让学生明确解决问题的方法，建立一元二次方程模型.从中体验到独立解决问题的成就感.五、课堂小结：你学到了什么？你学到了哪些思考问题的方法？六、板书设计：三角点阵中前n 行的点数计算1+2+3+······+（n-2）+（n-1）+n=()112n n+ ……．．．。