高中数学第二章推理与证明章末高效整合新人教A版选修

第10课时 归纳推理一、知识盘点1．推理的概念：根据 得出一个新结论，这种思维方式叫做推理.推理一般有两个部分组成， .推理一般分为 与 两类. 2．合情推理：所谓的合情推理，就是 ，数学中常见的合情推理是 与 . 3．归纳推理：由某类事物的 具有某种特征，推出该事物的 都具的这种特征的推理，或者由 概括出 的推理，称为归纳推理(简称归纳).简而言之，归纳推理是由 到 、由 到 的推理.归纳推理的一般步骤是(1) ； (2) . 二、基础训练1．已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为 （ ）A ．4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+2．观察一下各式：⋅⋅⋅=++++++=++++=++=;710987654;576543,3432;112222，你得到的一般性结论是______________________________________________________.三、例题分析：例1已知数列{}n a 的通项公式21()(1)n a n N n +=∈+，12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值。

［变式训练］1、已知111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈，经计算: 35(2),(4)2,(8),22f f f =>> (16)3,f >7(32)2f >，推测当2n ≥时，有__________________________.例2．观察下列两式：①110tan 60tan 60tan 20tan 20tan 10tan 000000=⋅+⋅+⋅ ；②15tan 75tan 75tan 10tan 10tan 5tan 0=⋅+⋅+⋅.分析上面的两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论。

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第二章 推理与证明知识网络：一、推理●1.归纳推理1）归纳推理的定义：从个别事实．．．．中推演出一般性．．．的结论,像这样的推理通常称为归纳推理。

2）归纳推理的思维过程大致如图：3）归纳推理的特点：①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。

②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具.③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

●2。

类比推理1）根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理. 2）类比推理的思维过程是：推理与证明推理证明合情推理演绎推理归纳类比综合法分析法反证法直接证明间接证明 数学归纳法●3。

演绎推理1）演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。

2）主要形式是三段论式推理. 3）三段论式推理常用的格式为：M —-P （M 是P ） ① ①是大前提，它提供了一个一般性的原理；S-—M (S 是M ） ② ②是小前提，它指出了一个特殊对象；S-—P (S 是P) ③ ③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

第二章 推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。

是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。

2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是3、归纳推理有如下特点（1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。

（2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。

（填“能”或“不能”）（3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么？首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。

2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。

3、归纳推理的一般模式是什么？S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象） 所以A 类事件具有P【典型例题】例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则)()(2005=x fA 、x sinB 、x sin -C 、x cosD 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=)()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f xx x f xx x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++xf x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++故选C【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。

高中数学第二章推理与证明本章整合新人教A版选修1-2知识网络专题探究专题一合情推理和演绎推理的应用1．合情推理的应用归纳推理和类比推理是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳推理是由部分特殊的对象得到一般性的结论的推理方法，它在科学研究或数学学习中有着重要的作用，有助于发现新知识、探索新规律、检验新结论，或预测答案、探索解题思路等；类比推理是由特殊到特殊的推理，它以比较为基础，有助于启迪思维、触类旁通、拓宽知识、发现命题等．合情推理的结论不一定正确，有待于演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．【例1】设f(x)＝12x＋2，利用推导等差数列前n项和的方法——倒序相加法，求f(－5)＋f(－4)＋f(－3)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)．分析：本题要求利用类比推理的方法，即与倒序相加法相类比．在等差数列求和中，我们采用倒序相加法的依据是等差数列的性质：a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝…，因而本题可以采用类比方法解决．解：由已知可得f(x)＋f(1－x)＝12x＋2＋121－x＋2＝12＝22.设S＝f(－5)＋f(－4)＋f(－3)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)．又S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(0)＋…＋f(－3)＋f(－4)＋f(－5)，∴2S＝12[f(－5)＋f(6)]＝12×22＝62，∴S＝3 2.【例2】如图所示是一个有n层(n≥2，n∈N*)的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第1层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，第n层每边有n个点，则这个点阵共有________个点．解析：设第n 层共有a n 个点，结合图形可知a 1＝1，a 2＝6，…，a n ＋1＝a n ＋6(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝6＋(n －2)×6＝6n －6(n ≥2，n ∈N *)，前n 层所有点数之和为S n ＝1＋n －＋n －2＝3n 2－3n ＋1，故这个点阵共有3n 2－3n ＋1个点．答案：3n 2－3n ＋1 2．演绎推理的应用演绎推理是由一般到特殊的推理方法，又叫逻辑推理，其在前提和推理形式均正确的前提下，得到的结论一定正确，演绎推理的内容一般是通过合情推理获取的．【例3】已知定义在R 上的函数f (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx (a ＜b ＜c )在x ＝1时取得极值，且y ＝f (x )的图象上有一点处的切线的斜率为－a .(1)求证：0≤ba＜1；(2)若f (x )在区间(s ，t )上为增函数，求证：－2＜s ＜t ≤1.提示：充分利用函数与其导数之间的关系，以及二次方程根的分布情况，将条件转化为a ，b ，c 的关系来解决问题．证明：(1)由f (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ，得f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c .又函数y ＝f (x )在x ＝1处取得极值，故f ′(1)＝a ＋b ＋c ＝0. 又a ＜b ＜c ，∴a ＜0，c ＞0.∵y ＝f (x )的图象上有一点处的切线的斜率为－a ， ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝－a 有实数根．∴Δ＝b 2－4a (a ＋c )≥0，即b 2－4a (a －a －b )≥0， 整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＋4·b a ≥0，解得b a ≥0或b a≤－4.又由a ＋b ＋c ＝0，b ＜c ，得b ＜－a －b ，∴b a ＞－12.再由a ＜b 且a ＜0，得ba ＜1.综上可得0≤b a＜1.(2)若f (x )在区间(s ，t )上为增函数，则f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 在区间(s ，t )上恒非负．∵a＜0，c＞0，∴Δ＝b2－4ac＞0，故方程f′(x)＝0必有两个不相等的实数根．设为x1，x2，且x1＜x2.∵二次函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴的方程为x＝－b2a ，由(1)，得－b2a≤0，而f′(1)＝0，故x2＝1.又f′(－2)＝4a－2b＋c＝4a－2b－a－b＝3(a－b)＜0，∴x1＞－2.若f′(x)在区间(s，t)上恒非负，则有x1≤s＜t≤x2，即－2＜s＜t≤1.专题二直接证明和间接证明1．综合法和分析法综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但这两种证明方法的思路截然相反．分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，在解题中综合法和分析法的联合运用，能转换解题思路，增加解题途径．【例4】试用多种方法推证下列命题：已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤sin α1－cos α.提示：这是一道三角不等式的证明题，可考虑分别使用比较法、综合法、分析法等证明方法进行证明．证法一：(作差比较法)：2sin 2α－sin α1－cos α＝4sin αcos α－sin α1－cos α＝sin αα－4cos2α－1－cos α＝－sin αα－21－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α＞0,1－cos α＞0，(2cos α－1)2≥0.∴2sin 2α－sin α1－cos α≤0，即2sin 2α≤sin α1－cos α.证法二：(分析法)：要证明2sin 2α≤sin α1－cos α成立，只要证明4sin αcos α≤sin α1－cos α. ∵α∈(0，π)，∴sin α＞0，∴只要证明4cos α≤11－cos α.上式可变形为4≤11－cos α＋4(1－cos α)．∵α∈(0，π)，∴1－cos α＞0. ∴11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α－cos α＝4，当且仅当11－cos α＝4(1－cos α)，即cos α＝12，α＝π3时取等号．∴4≤11－cos α＋4(1－cos α)成立．∴不等式2sin 2α≤sin α1－cos α成立．证法三：(综合法)：∵α∈(0，π)，∴1－cos α＞0. ∴11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α－cos α＝4.当且仅当11－cos α＝4(1－cos α)，即cos α＝12，α＝π3时取等号．∴4cos α≤11－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α＞0.∴4sin αcos α≤sin α1－cos α.∴2sin 2α≤sin α1－cos α.2．反证法反证法是一种间接证明命题的方法，它的理论基础是互为逆否命题的两个命题为等价命题．反证法反映了“正难则反”的证明思想，它是从命题结论的反面出发引出矛盾，从而肯定命题的结论．【例5】已知a 3＋b 3＝2，求证a ＋b ≤2.分析：对于条件较少的题目，可假设结论不成立，通过假设推出矛盾，进而得出原命题成立．证法一：假设a ＋b ＞2，那么a ＞2－b ， 所以a 3＞(2－b )3＝8－12b ＋6b 2－b 3， 即a 3＋b 3＞8－12b ＋6b 2.因为a 3＋b 3＝2，所以8－12b ＋6b 2＜2，化简得b2－2b＋1＜0，即(b－1)2＜0，这与(b－1)2≥0矛盾，所以假设不成立，故当a3＋b3＝2时，a＋b≤2.证法二：假设a＋b＞2，则a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＞2(a2－ab＋b2)．因为a3＋b3＝2，所以2＞2(a2－ab＋b2)，即a2－ab＋b2＜1，所以1＋ab＞a2＋b2≥2ab，从而ab＜1，所以a2＋b2＜1＋ab＜2，故(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＜2ab＋2＜4，即－2＜a＋b＜2，这与假设a＋b＞2矛盾，所以假设不成立，故当a3＋b3＝2时，a＋b≤2.。