当前位置：文档之家 › 数形结合的几个经典题

数形结合的几个经典题

  • 格式：docx
  • 大小：76.51 KB
  • 文档页数：5

数形结合
1.如图1，大长方形的面积从整体看为 S=m (a +b +c ),
同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成： S = S +S+S 3= ma^mk +mc
于是有
m (a +b +c )= mahmb +mc 。

2. 如图2，大长方形的面积从整体可以表示成( 同
时这个大长方形的面积也可以从局部表示成 于是有(
a+b ) ( m+n = m3+mt+na +nb .
3. 如图3,阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积， 若把小长方形S 4旋转到小长方形S 3的位置， 则此时的阴影部分的面积又可以看成
S +S 2+S 3= ( a +b )( a - b ) o
于是有
(a +b )( a -b ) = a 2
-b 2。

4. 如图4 :将边长为b 的小正方形放到边长为 a 的正方形的一角, 空白部分的面积从整体计算为
a 2-
b 2；
而如果从局部考虑，其面积可以看作为两个梯形
[1
Sk
Si
S,
Sa
a+b ) (m+n ,
S = S +S 2+S 3+S =
即 a 2- b 2
；
S 1+S 2之和,
2 2
2 2
于是有
(a +b )( a — b ) = a — b 。

5. 如图5，大正方形的面积从整体可以表示为
(a +b )2
,
从局部可以表示为也可以表示为
S = S + S 2+ S 3+S 4,
同时 S = a 2
+ab +ab +b 2
= a 2
+2ab +b 2
, 于是有(a +b ) 2
= a 2
+2ab +b 2。

6. 如图6，从整体看，这个图形的面积为 从局部我们可以看出，它分为 6部分，
2 2
所以(a+b ) ( a+2b ) = a +3ab+2b 。

数形结合例题
例1在边长为a 的正方形中挖去一个边长为
b 的小正方形(a >b )(如图1)，把余下的部分
拼成一个长方形(如图 2)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证(
)
A. (a +b ) 2= a 2+2ab +b 2
B . (a -b ) 2
=a 2
-2ab +b 2
C. a 2-b 2= (a +b ) (a -b )
D (a +2b ) (a -b ) =a 2
+ab-2 b 2
析解：图1的阴影部分面积等于边长为 a 的正方形面积与边长为 b 的正方形的面积差，
表示为a 2
-b 2
.图2中阴影部分是长方形，其中长为a +b ，宽为a - b ，其面积为(a +b ) (a -b ).根 据两
个图形中阴影部分的面积相等，有
a 2-
b 2= (I
a
b
a
b 1\ -k 1 ■ ■ ■
b
图1
E2
例2如图3是四张全等的长方形纸片拼成的图形，
请利用图中空白部分面积的不同表
其面积为
a b a b a b a b
(a b)(a b)。

( a+b ) ( a+2b ),
这6部分的面积之和为 a 2
+3ab+2b 2
.
Si Sj
s,
隔
(a +b ) (a -b ).故选 C.
b
阎5
b b
示方法，写出一个关于a、b的恒等式___________ .
析解：空白部分的面积可看成是一个正方形，它的边长为a-b,所以面积为(a-b) 2; 空白部分面积又可看成大正方形面积与四个长方形面积的差，大正方形的面积为( a+b) 2,
每个长方形的面积为 ab ，所以空白部分面积为(a +b ) 2
-4ab. 因此有恒等式(a +b )2-4 ab =( a - b )2成立.故填(a +b ) 2
-4ab = (a -b ) 2
.
— d —*
b
图3 t
1
—fl 胡- B4 例3图4是由一个边长为 a 的正方形与两个长、宽分别为 a 、b 的小长方形拼接而成 的长方形ABCD 则整个图形可表达出一些等式，请你写出其中任意三个等式 ___________ 、 ____ 析解：读懂题意，观察图中数据关系是关键，其次利用面积写出代数式, 组合特点，由面积间的相等关系，写出符合要求的等式，如： a 2
+2ab =a (a +2b ) ； a (a +b ) + ab =a (a +2b )；
a (a +2
b ) -a (a +b ) =ab ； a ( a +2b ) - ab =a (a +b )； a (a +2b ) - a 2=2ab ; a (a +2b ) -2 ab =a 2
. .根据图形的 数形结合解题
1.将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，根据两个图形的面积关系可以 得到一个关于a b 的恒等式为( Aa b 2 2ab b 2
B. a
2ab b 2
C D.a a
a b a- b a 2
b 2
a 2 ab
1
-b 1
a - b
-
4— a ------
b
A b
甲 乙
a n)的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状, 由图①
A. (m n)2 (m n)2 4mn
B. (m n)2 (m 2 n 2) 2mn
C. (m n)2 2mn m 2
2 n
D. (m n)(n) m 2
2 n
2.图①是一个边长为(m 和图②能验证的式子是( )
團©
3.如图，边长为（m +3）的正方形纸片剪出一个边长为 m 的正方形之后余部分又剪拼成一个矩
形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为 3,则另一边长是（
）
等式：（a b ）（2a b ） 2a 2 3ab b 2
.（请按照图⑴中卡片的形状来画图
5. 数形结合是一种重要的数学方法，，你能利用这种方法把算式 （2a+b ）（a+2b ）=2a 2
+5ab+2b 2
的合理性解释清楚吗
A. 2m +3
B. C. D. 2rr+6 m+3
4. 七年级学生小明剪出了多张如图⑴中的正方形和长方形的卡片,
利用这些卡片他拼成了如
图⑵中的大正方形，由此验证了我们学过的公式: (a b)2
a 2 2a
b b 2
•现在请你选取
图⑴中的卡片（各种卡片的张数不限）
，并利用它们在图⑶中拼出一个长方形，由此来验证
(3)
⑴。

合集下载

数形结合找规律试题集锦

数形结合找规律试题集锦

4=1+3 9=3+616=6+10图7 … 数形结合找规律试题集锦1 如图所示，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律____________________。

2古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”．从图7中可以发现，任何一个大于1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符 合这一规律的是（ ）A ．13 = 3+10B ．25 = 9+16C ．36 = 15+21D ．49 = 18+313 如图，是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形，则图中的平行四边形共有_______个．4 (08河北)有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图5-1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90 ，则完成一次变换．图5-2，图5-3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（ ）A ．上B ．下C ．左D ．右第（4）题图5-1图5-2图5-3 …5 如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有个.6把长方形的纸条对折一次可得1条折痕，对折两次可得3条折痕，那么对折6次可得条折痕。

对折n次可得条折痕。

7如图第二个三角形是由第一个三角形连接三边的中点而得到的，猜想第四个图形中有个三角形，………，第n个图形共有个三角形（1 ）（ 2 ）（ 3 ）这n个图形共有个三角形。

数形结合的题目

数形结合的题目

数形结合的题目1. 已知一个圆的面积为 $\pi$，求它的周长。

解：圆的面积为$\pi r^2$，所以$r=1$。

周长为$2\pi r=2\pi$。

2. 在一个边长为 $1$ 的正方形中，一只苍蝇从一个角爬到另一个角，求苍蝇爬行的最短距离。

解：由于正方形的两条对角线相等，所以苍蝇从一个角到另一个角的最短距离为对角线的长度，即 $\sqrt{2}$。

3. 已知一个等边三角形的周长为 $6$，求其面积。

解：设该三角形的边长为 $a$，则 $a\times 3=6$，即 $a=2$。

由于该三角形是等边三角形，所以它的高等于边长的一半，即$\frac{\sqrt{3}}{2}\times 2=\sqrt{3}$。

所以该三角形的面积为$\frac{1}{2}\times 2\times\sqrt{3}=\sqrt{3}$。

4. 在一个正方形中，一条对角线被分成两段，比为 $3:4$。

求正方形的边长。

解：设正方形的边长为 $a$，则对角线的长度为 $\sqrt{2}a$。

由于对角线被分成的两段比为 $3:4$，所以两段分别为$\frac{3}{7}\sqrt{2}a$ 和 $\frac{4}{7}\sqrt{2}a$。

根据勾股定理，我们得到$(\frac{3}{7}\sqrt{2}a)^2+(\frac{4}{7}\sqrt{2}a)^2=(\sqrt{2}a)^2$，化简得 $a=7$。

5. 已知半径相等的两个圆相切，其中一个圆的面积为$16\pi$，求另一个圆的面积。

解：由于两个圆相切，所以它们的切点处连线的长度等于两个圆的半径之和，即 $r+r=2r$。

设另一个圆的面积为 $S$，则$S=\pi(2r)^2-\pi r^2=3\pi r^2$。

设第一个圆的面积为 $16\pi$，则 $\pi r^2 = 16\pi$，即 $r=4$。

所以另一个圆的面积为 $3\pir^2=3\times 16\pi=48\pi$。

数形结合初中数学题

数形结合初中数学题

数形结合初中数学题
数形结合是初中数学中一个重要的概念,是指将数与形结合起来进行思考和推理。

以下是一些数形结合的初中数学题:
1. 一个圆的半径是2,它的面积是多少?
2. 一根长度为6cm的棒,它的周长是多少?
3. 一张桌子上有n个苹果,它们的重量之和是20千克,每个苹果的重量是多少?
4. 一个矩形的长和宽相等,高是4cm,它的面积是多少?
5. 一个三角形的三个底之和等于12,求这个三角形的高的值。

6. 一根长度为10cm的棒,它的重心在它的5cm直径的截面的中心,那么这个棒的质量是多少?
7. 一个正方形的边长是5cm,它的周长是多少?
8. 一个圆的半径是3cm,它在平面上的位置是A,它在立体空间的坐标是多少?
这些题目通过将数形结合,提供了更多的思考方法和解决问题的思路。

学生可以通过理解这些题目,掌握数形结合的概念和技巧,提高自己的数学思维能力。

小学数学数形结合练习题

小学数学数形结合练习题

小学数学数形结合练习题题目一：数形结合的认知训练1. 看图填空：(a) 在图中，将所有的三角形标记一下。

(b) 将你周围的物体，如书桌、椅子等尽可能多地找出正方形、长方形和圆形，并分别写下它们的名称。

2. 计算下列各图形的周长和面积：(a) 根据提供的边长，计算正方形的周长和面积。

(b) 根据提供的长和宽，计算长方形的周长和面积。

(c) 根据提供的半径，计算圆形的周长和面积。

(d) 尝试设计一个你认为面积最大的正方形，画出它的示意图，并计算周长和面积。

3. 图形转换：(a) 请将以下图形按照标号进行旋转，并写出每个旋转后的图形名称。

图1：正方形图2：长方形图3：三角形图4：圆形(b) 请将以下图形按照标号进行翻转，并写出每个翻转后的图形名称。

图1：正方形图2：长方形图3：三角形图4：圆形4. 找规律：(a) 请观察以下数字序列，找出其规律，并写出下一个数字：1, 4, 9, 16, ...(b) 请观察以下形状序列，找出其规律，并画出下一个形状：△, □, ○, ▽, ...5. 图形拼凑：(a) 使用提供的拼图块，组合成一个正方形。

(b) 使用提供的拼图块，组合成一个长方形。

(c) 使用提供的拼图块，组合成一个圆形。

6. 图形推理：给出以下图形的排列顺序，请写出图形编号，并解释其排列规律。

图1：▽图2：□ 图3：○ 图4：△题目二：数形结合的实际应用1. 实际问题运用：(a) 小明家花园的形状是长方形，长为8米，宽为5米，他要在花园的四周围上一圈砖。

砖的规格是2米长、1米宽，请问他需要多少块砖？如果砖的价格是每块20元，他需要多少钱？(b) 小红的家有一个圆形的花坛，直径是3米。

她想在花坛周围种植一圈花草，每株花草之间的间距是20厘米。

她需要多少株花草？题目三：数形结合的解决问题能力训练1. 智力题：(a) 小明手上有12枚硬币，其中有一个是假币，假币的重量比真币轻。

小明有一个天平，最多能使用3次天平，能否找出假币？如果能，请写出解决方法；如果不能，请解释原因。